Случайные процессы и их характеристики. Комплексные случайные функции и их характеристики

До сих пор мы изучали только скалярные или векторные случайные величины, каждая из которых в результате опыта принимает одно определенное значение, скалярное или векторное, соответственно. Однако в приложениях приходится встречаться еще с такими случайными величинами, значения которых в каждом данном опыте изменяются в зависимости от времени или каких-нибудь других аргументов. Каждая такая случайная величина принимает в результате опыта бесчисленное (в общем случае несчетное) множество значений - по одному для каждого значения аргумента или для каждой совокупности значений аргументов. Так, например, в результате измерения непрерывно изменяющейся величины мы получаем функцию, определяющую закон изменения результата измерения со временем в процессе измерения. Эта функция имеет одно вполне определенное значение для каждого момента времени в интервале, в течение которого производится измерение. Повторяя измерение, казалось бы в одинаковых условиях, мы будем получать вследствие неточности измерительных приборов различные функции. Таким образом, результат измерения непрерывно изменяющейся величины является такой случайной величиной, которая в каждом данном опыте представляет собой определенную функцию времени, а в различных опытах, произведенных как будто бы в совершенно одинаковых условиях, представляет собой различные функции времени. Подобные случайные величины представляют собой случайные функции. Результат одновременного измерения нескольких непрерывно изменяющихся величин (например, координат какого-либо движущегося объекта) может служить примером векторной случайной функции, т. е. совокупности нескольких случайных функций.

Случайной функцией называется функция, значение которой при каждом данном значении аргумента (или нескольких аргументов)

является случайной величиной. В результате опыта случайная функция может принимать различные конкретные формы. Всякая функция, которой может оказаться равной случайная функция в результате опыта, называется реализацией случайной функции (или возможным значением случайной функции). В соответствии с принятым в настоящей книге правилом обозначения случайных величин и их возможных значений мы будем обозначать случайные функции большими буквами латинского алфавита, например Реализации случайных функций будем обозначать соответствующими малыми буквами, например х, у и т. д.

Аргумент случайной функции или совокупность всех ее аргументов будем обозначать буквой или буквой 5 и писать, как обычно принято, в скобках за обозначением самой функции, например Если аргумент случайной функции представляет собой совокупность скалярных переменных, то его можно рассматривать как -мерный вектор. Таким образом, аргументами случайных функций в излагаемой дальше теории могут быть произвольные скалярные или векторные величины

Случайную функцию можно также рассматривать как бесконечную (в общем случае несчетную) совокупность случайных величин, зависящую от одного или нескольких непрерывно изменяющихся параметров Каждому данному значению параметра (или параметров) соответствует одна случайная величина Вместе все случайные величины определяют случайную функцию Такая трактовка случайной функции показывает, что случайная функция как объект математического исследования значительно сложнее обычной случайной величины, а именно равноценна бесконечному (в общем случае несчетному) множеству случайных величин.

В физических и технических приложениях часто приходится рассматривать случайные функции времени. Такие случайные функции обычно называются случайными или стохастическими процессами. Соответственно теория случайных функций одной независимой переменной часто называется теорией случайных (стохастических) процессов. Примером случайной функции времени может служить ошибка измерения непрерывно изменяющейся величины. На рис. 18 приведена запись ошибки измерения угловой координаты самолета радиолокатором, заимствованная из .

В физике часто приходится рассматривать случайные функции координат точки пространства. Пространство с заданным в нем распределением значений некоторой величины называется полем данной величины. Случайная функция координат точки пространства приводит

(кликните для просмотра скана)

в соответствие каждой точке пространства некоторую случайную величину. Вследствие этого, изучая случайную функцию координат точки пространства, можно говорить о случайном поле. Поэтому теорию случайных функций координат точки пространства часто называют теорией случайных полей. Примером случайного поля может служить поле вектора скорости ветра в установившейся турбулентной атмосфере. В общем случае неустановившейся атмосферы вектор скорости ветра является случайной функцией координат точки пространства и времени.

Так как при каждом данном значении аргумента значение случайной функции является обычной скалярной случайной величиной, то полной вероятностной характеристикой этого значения является его закон распределения. Этот закон распределения называется одномерным законом распределения случайной функции Одномерный закон распределения случайной функции в общем случае зависит от как от параметра и может быть задан одномерной плотностью вероятности Одномерный закон распределения случайной функции является достаточной характеристикой случайной функции для тех задач, в которых значения случайной функции при различных значениях аргумента рассматриваются изолированно друг от друга. Для решения задач, в которых приходится рассматривать совместно значения случайной функции при двух или большем числе значений аргумента, необходимо ввести совместные законы распределения значений случайной функции при нескольких значениях аргумента.

Двумерным законом распределения случайной функции называется совместный закон распределения ее значений при двух произвольно взятых значениях аргумента Вообще -мерным законом распределения случайной функции называется закон распределения совокупности ее значений при произвольно взятых значениях аргумента Мы будем характеризовать -мерный закон распределения случайной функции ее -мерной плотностью вероятности которая в общем случае зависит от значений аргумента как от параметров.

Зная двумерную плотность вероятности случайной функции, можно определить ее одномерную плотность вероятности по формуле (15.8). В результате получим соотношение

Вообще, зная -мерную плотность вероятности случайной функции, можно определить все ее плотности вероятности чисел измерений, меньших чем пользуясь формулой (15.17). В результате

Таким образом, задавая -мерную плотность вероятности случайной функции, мы тем самым задаем и все ее плотности вероятности меньших чисел измерений. Закон распределения случайной функции большего числа измерений является более полной характеристикой случайной функции, чем любой закон распределения меньшего числа измерений. Однако закон распределения любого конечного числа измерений не может служить в общем случае исчерпывающей характеристикой случайной функции, так как знание -мерного закона распределения в общем случае недостаточно для определения законов распределения больших, чем чисел измерений. Лишь в частных случаях закон распределения конечного числа измерений может служить исчерпывающей характеристикой случайной функции. В общем случае для полной характеристики случайной функции необходимо задать всю последовательность ее законов распределения, т. е. плотности вероятности для всех значений

Если значения случайной функции при любых различных значениях аргумента являются независимыми случайными величинами, то -мерная плотность вероятности случайной функции согласно формуле (16.9) и определению независимости случайных величин (§ 16), при любом выражается через ее одномерную плотность вероятности формулой

Эта формула показывает, что исчерпывающей характеристикой случайной функции с независимыми значениями является ее одномерный закон распределения.

Примером случайных функций, исчерпывающей характеристикой которых являются двумерные законы распределения, могут служить марковские случайные процессы. Марковским случайным процессом, или случайным процессом без последствия, называется случайная функция скалярной переменной значения которой при значениях переменной при любом образуют простую цепь Маркова . Согласно определению простой цепи Маркова,

данному в § 47, условный закон распределения значения случайной функции зависит только от значения случайной величины и не зависит от значений случайных величин Поэтому, применяя последовательно общую формулу (16.17), получим для -мерной плотности вероятности марковского случайного процесса формулу

Но условная плотность вероятности на основании формулы (16.6) равна:

Формулы (48.4) и (48.5) дают:

Формулы (48.1) и (48.6) показывают, что -мерная плотность вероятности марковского случайного процесса при любом может быть определена, если известна его двумерная плотность вероятности. Следовательно, двумерный закон распределения является исчерпывающей характеристикой марковского случайного процесса.

Вторым примером случайных функций, для которых исчерпывающей характеристикой является двумерный закон распределения, могут служить нормально распределенные случайные функции. Мы будем считать, что случайная функция распределена нормально, если совокупность ее значений при любом и при любых из области изменения аргумента образует нормально распределенный случайный вектор. В § 23 мы видели, что -мерный нормальный закон распределения полностью определяется математическими ожиданиями, дисперсиями и корреляционными моментами случайных величин. Но математические ожидания и дисперсии случайных величин вполне определяются одномерным законом распределения случайной функции а их корреляционные моменты - двумерным законом распределения случайной функции Следовательно, двумерный закон распределения нормально распределенной случайной функции вполне определяет ее -мерный закон распределения при любом таким образом, является исчерпывающей ее характеристикой.

Несколько более общей, чем случайная функция с независимыми значениями, является случайная функция с некоррелированными значениями. Однако случайная функция с некоррелированными значениями в общем случае не может быть полностью охарактеризована никаким конечномерным законом распределения. Несмотря на это,

случайные функции с некоррелированными значениями играют большую роль в прикладной теории случайных функций.

Легко понять, что интеграл от случайной функции с некоррелированными (в частном случае независимыми) значениями представляет собой случайную функцию с некоррелированными (соответственно независимыми) приращениями на неперекрывающихся областях изменения аргумента. В § 54 будет показано, что интеграл от случайной функции с некоррелированными значениями имеет конечную дисперсию только в том случае, если дисперсия этой случайной функции бесконечна. Вследствие этого особенно важными для приложений являются случайные функции с некоррелированными значениями и бесконечной дисперсией, называемые обычно белыми шумами. Мы будем называть белым шумом любую случайную функцию с некоррелированными значениями, имеющую бесконечную дисперсию и конечную дисперсию интеграла от нее по любэй конечной области изменения аргумента. В основе этого термина лежат физические представления, связанные с быстро изменяющимися величинами, значения которых, разделенные очень малыми промежутками времени, практически независимы. Мы увидим дальше, что при разложении таких случайных функций на элементарные гармонические колебания гармоники всех частот оказываются одинаковыми по интенсивности. Эта аналогия с белым светом и послужила причиной того, что такие случайные функции называются белыми шумами. Это название удобно распространить на все случайные функции, обладающие перечисленными свойствами, независимо от физической (или математической) природы их аргументов.

Белый шум в чистом виде в природе не существует. Как мы увидим в § 74, для реализации белого шума необходима бесконечная мощность. Поэтому понятие белого шума является математической абстракцией, удобной для построения теории. Практически же можно говорить лишь о большей или меньшей степени приближения к белому шуму, о том, что минимальный промежуток времени, разделяющий значения случайной функции, которые можно считать практически некоррелированными, достаточно мал для того, чтобы его можно было не учитывать.

Очевидно, что вместо того, чтобы характеризовать случайную функцию последовательностью ее законов распределения различных чисел измерений, можно характеризовать ее одномерным законом распределения и последовательностью условных законов распределения, которые можно задать соответствующими условными плотностями вероятности

Совершенно так же, как был определен двумерный закон распределения случайной функции, определяется двумерный закон распределения двух случайных функций Двумерным законом распределения случайных функций называется закон распределения двумерного случайного вектора, составляющими которого

являются значение случайной функции при данном значении аргумента и значение случайной функции при данном значении аргумента Аналогично определяются совместные законы распределения других чисел измерений двух или нескольких случайных функций.

Исчерпывающей характеристикой случайной функции является ее вероятностная мера, определение которой было дано в § 14 для любых случайных объектов, в том числе и для случайных функций. Вероятностную меру случайной функции можно определить, если известны ее законы распределения всех чисел измерений. Выделим сначала из множества всех возможных реализаций случайной функции X множество всех реализаций, значения которых в точках принадлежат данным числовым множествам Согласно определению вероятностной меры значение вероятностной меры случайной функции X, соответствующее множеству ее реализаций, определится формулой

Эта формула определяет вероятностную меру случайной функции X для всех множеств рассмотренного типа при любых и при любом выборе числовых множеств Поставим теперь в соответствие каждому значению аргумента случайной функции X некоторое числовое множество и рассмотрим множество А всех реализаций случайной функции значения которых при всех принадлежат соответствующим множествам Для того чтобы определить значение вероятностной меры случайной функции X для такого множества ее реализаций, поставим в соответствие каждому целому положительному разбиение области изменения аргумента случайной функции X на ячеек таким образом, чтобы размеры всех ячеек стремились к нулю при . В каждой ячейке разбиения выберем произвольную точку так, чтобы множество точек содержало все точки соответствующие предыдущим разбиениям. Обозначим через множество реализаций случайной функции X, значения которых в точках принадлежат соответственно множествам Тогда получим последовательность множеств реализаций случайной функции X, каждое из которых включает все последующие множества. Предположим, что произведение всех множеств (т. е. множество реализаций случайной функции X, принадлежащих всем множествам совпадает с исходным множеством реализаций А, если не считать некоторых исключительных реализаций, имеющих нулевую суммарную вероятность появления, при любом выборе такого множества реализаций А. Это предположение накладывает определенные ограничения на характер возможных реализаций случайной функции . А именно, необходимо, чтобы любое множество ее реализаций можно было определить с любой степенью точности, накладывая на них ограничения в конечном числе достаточно близких друг к другу точек. Полагая в формуле (48.7)

найдем значения вероятностной меры случайной функции для множеств Числа образуют монотонную невозрастающую последовательность неотрицательных чисел. Следовательно, существует предел

который и является значением вероятностной меры случайной функции X для рассматриваемого множества ее реализаций А.

Формулы (48.7) и (48.8) определяют вероятностную меру случайной функции для всех цилиндрических множеств реализаций. Этого достаточно для того, чтобы определить ее для любых множеств реализаций .

Для случайной функции можно также определить функционал распределения, который является естественным обобщением функции распределения случайной величины. В соответствии с определением функции распределения (14.13) функционалом распределения случайной функции X называется вероятность выполнения неравенства при всех значениях аргумента

где произвольно заданная функция. Величина является функционалом, так как она зависит от вида функции Очевидно, что функционал распределения случайной функции представляет собой значение ее вероятностной меры, соответствующее множеству всех реализаций, значения которых при каждом принадлежат соответствующему полубесконечному интервалу Поэтому на основании (48.8) и (48.7) функционал распределения случайной функции X выражается формулой

Вероятностная мера и функционал распределения случайной функции пока не имеют большого практического значения, вследствие того, что методы вычисления интегралов типа (18.12) для произвольно заданной вероятностной меры в настоящее время еще очень мало разработаны .

Совершенно аналогично можно обобщить понятие характеристической функции на случайные функции. Рассматривая случайную функцию как совокупность бесконечного множества случайных величин зависящую от непрерывно изменяющегося параметра и обобщая определение характеристической функции -мерного случайного вектора (28.1), мы должны будем распространить сумму в показателе степени на все возможные значения непрерывно изменяющегося параметра При этом вместо придется взять и заменить сумму интегралом. В результате получим определение характеристического функционала действительной случайной функции

где интеграл распространяется на всю область изменения аргумента Характеристический функционал случайной функции зависит от функции (т. е. от значений этой функции при всех значениях аргумента

Характеристический функционал является исчерпывающей характеристикой случайной функции Действительно, задавая функцию к как линейную комбинацию импульсных -функций:

получим на основании свойств -функции:

Сравнивая это выражение с (28.1), приходим к заключению, что величина представляет собой характеристическую функцию -мерного случайного вектора с составляющими Поэтому, применяя формулу (28.14), можно определить -мерную плотность вероятности случайной функции при любом значении Таким образом, если задан характеристический функционал случайной функции то его значения при частных видах функции определяют все законы распределения случайной функции.

Можно дать более общее определение характеристического функционала. Для этого необходимо предварительно дать определение линейного функционала. Линейным функционалом называется такая величина, которая зависит от функции и удовлетворяет условию

где произвольные постоянные, а произвольные функции. Интеграл в показателе в формуле (48.11), очевидно, является линейным функционалом от случайной функции Сумма в показателе формулы (48.13) также является линейным функционалом от случайной функции Линейный функционал от функции можно сокращенно обозначать опуская скобки и обозначение аргумента функции х.

Обобщая определение (48.11), можно определить характеристический функционал случайной функции формулой

где А - произвольный линейный функционал. Задавая в формуле (48.15), линейный функционал А в виде интеграла или суммы, получим формулы (48.11) и (48.13) как частные случаи формулы (48.15). Формула (48.15) определяет характеристический функционал и в том случае, когда аргумент случайной функции X является вектором, одни составляющие которого представляют собой непрерывно изменяющиеся переменные, а другие составляющие являются дискретными переменными, в то время как формула (48.11) определяет характеристический функционал только в частном случае, когда все составляющие вектора являются непрерывно изменяющимися переменными.

Если характеристический функционал случайной функции X определяется формулой

где - некоторые функции, а индексы у линейных функционалов А указывают, к функциям каких аргументов они применяются, то характеристические функции всех чисел измерений случайной функции А

будут нормальными и, следовательно, случайная функция X распределена нормально. Таким образом, формула (48.16) определяет характеристический функционал нормально распределенной случайной функции. Эта формула является очевидным обобщением формулы (28.18) для характеристической функции нормально распределенного случайного вектора.

Пример 1. Найти плотности вероятности случайной функции скалярной независимой переменной с независимыми приращениями, если при ее значение равно нулю, а ее приращение на любом интервале распределено нормально и имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию

В данном случае значение случайной функции X при любом равно сумме ее значения при (равного нулю) и ее приращения на интервале Следовательно, одномерная плотность вероятности случайной функции X определяется формулой

Рассматриваемая случайная функция, очевидно, представляет собой марковский случайный процесс, так как ее приращение на любом интервале не зависит от ее значений вне этого интервала и, следовательно, ее значение в конце интервала связано лишь с ее значением в начале интервала и не имеет непосредственной статистической связи с ее значениями в точках, предшествующих началу интервала. Вследствие этого для определения всех плотностей вероятности случайной функции X в данном случае достаточно найти условную плотность вероятности ее значения в конце любого интервала относительно ее значения в начале интервала. Эта условная плотность вероятности, очевидно, выражается формулой

100 р бонус за первый заказ

Выберите тип работы Дипломная работа Курсовая работа Реферат Магистерская диссертация Отчёт по практике Статья Доклад Рецензия Контрольная работа Монография Решение задач Бизнес-план Ответы на вопросы Творческая работа Эссе Чертёж Сочинения Перевод Презентации Набор текста Другое Повышение уникальности текста Кандидатская диссертация Лабораторная работа Помощь on-line

Узнать цену

Случайная функция – функция, которая в результате опыта может принять тот или иной неизвестный заранее конкретный вид. Обычно аргументом случайной функции (с.ф.) является время, тогда с.ф. называют случайным процессом (с.п.).

С.ф. непрерывно изменяющегося аргумента t называется такая с.в., распределение которой зависит не только от аргумента t=t1 , но и от того, какие частные значения принимала эта величина при других значениях данного аргумента t=t 2. Эти с.в. корреляционно связаны между собой и тем больше, чем ближе одни к другим значения аргументов. В пределе при интервале между двумя значениями аргумента, стремящемся к нулю, коэффициент корреляции равен единице:

т.е. t 1 и t1+Dt1 при Dt1 ®0 связаны линейной зависимостью.

С.ф. принимает в результате одного опыта бесчисленное (в общем случае несчетное) множество значений – по одному для каждого значения аргумента или для каждой совокупности значений аргументов. Эта функция имеет одно вполне определенное значение для каждого момента времени. Результат измерения непрерывно изменяющейся величины является такой с.в., которая в каждом данном опыте представляет собой определенную функцию времени.

С.ф. можно также рассматривать как бесконечную совокупность с.в., зависящую от одного или нескольких непрерывно изменяющихся параметров t . Каждому данному значению параметра t соответствует одна с.в Xt. Вместе все с.в. X t определяют с.ф. X(t). Эти с.в. корреляционно связаны между собой и тем сильнее, чем ближе друг к другу.

Элементарная с.ф. – это произведение обычной с.в. Х на некоторую неслучайную функцию j(t): X(t)=X×j(t) , т.е. такая с.ф., у которой случайным является не вид, а только ее масштаб.

С.ф. - имеет м.о. равное нулю. p – плотность распределения с.в. Х (значения с.ф. X(t) ), взятой при произвольном значении t 1 аргумента t .

Реализация с.ф. X(t) – описывается уравнением x=f1(t) при t=t1 и уравнением x=f2(t) при t=t2 .

Вообще функции x=f1(t) и x=f2(t) – различные функции. Но эти функции тождественны и линейны тем более, чем более (t1 ®t2 ) t 1 ближе к t 2.

Одномерная плотность вероятности с.ф. p(x,t) – зависит от х и от параметра t . Двумерная плотность вероятности p(x1,x2;t1,t2) – совместный закон распределения значений X(t1) и X(t2) с. ф. X(t) при двух произвольных значениях t и t ¢ аргумента t .

. (66.5)

В общем случае функция X(t) характеризуется большим числом n -мерных законов распределения .

М.о. с.ф. X(t) - неслучайная функция , которая при каждом значении аргумента t равна м.о. ординаты с.ф. при этом аргументе t.

- функция, зависящая от x и t .

Аналогично и дисперсия - неслучайная функция.

Степень зависимости с.в. для различных значений аргумента характеризуется автокорреляционной функцией.

Автокорреляционная функция с.ф. X(t) Kx(ti,tj) , которая при каждой паре значений ti, tj равна корреляционному моменту соответствующих ординат с.ф. (при i=j корреляционная функция (к.ф.) обращается в дисперсию с.ф.);

где - совместная плотность распределения двух с.в. (значений с.ф.), взятых при двух произвольных значениях t 1 и t 2 аргумента t . При t1=t2=t получаем дисперсию D(t).

Автокорреляционная функция - совокупность м.о. произведений отклонений двух ординат с.ф. , взятых при аргументах t1 и t 2, от ординат неслучайной функции м.о. , взятых при тех же аргументах.

Автокорреляционная функция характеризует степень изменчивости с.ф. при изменении аргумента. На рис. видно, что зависимость между значениями с.ф., соответствующим двум данным значениям аргумента t - слабее в первом случае.

Рис . Корреляционно связанные случайные функции

Если две с.ф. X(t) и Y(t) , образующие систему не являются независимыми, то тождественно не равна нулю их взаимная корреляционная функция:

где - совместная плотность распределения двух с.в. (значений двух с.ф. X(t) и Y(t) ), взятых при двух произвольных аргументах (t 1 - аргумент функции X(t) , t 2 - аргумент функции Y(t) ).

Если X(t) и Y(t) независимы, то K XY(t1,t2 )=0. Система из n с.ф. X 1(t), X2(t),...,Xn(t) характеризуется n м.о. , n автокорреляционными функциями и еще n (n -1)/2 корреляционными функциями .

Взаимная корреляционная функция (характеризует связь между двумя с.ф., т.е. стохастическую зависимость) двух с.ф. X(t) и Y(t) - неслучайная функция двух аргументов t i и t j, которая при каждой паре значений t i, t j равна корреляционному моменту соответствующих сечений с.ф. Она устанавливает связь между двумя значениями двух функций (значения - с.в.), при двух аргументах t 1 и t 2.

Особое значение имеют стационарные случайные функции , вероятностные характеристики которых не меняются при любом сдвиге аргумента. М.о. стационарной с.ф. постоянно (т.е. не является функцией), а корреляционная функция зависит лишь от разности значений аргументов t i и t j.

Это четная функция (симметрично OY ).

При большом значении интервала времени t=t2-t1 отклонение ординаты с.ф. от ее м.о. в момент времени t 2 становится практически независимым от значения этого отклонения в момент времени t 1. В этом случае функция KX(t), дающая значение корреляционного момента между X(t1) и X(t2), при ½t ½®¥ стремится к нулю.

Многие стационарные с.ф. обладают эргодическим свойством, которое заключается в том, что при неограниченно возрастающем интервале наблюдения среднее наблюденное значение стационарной с.ф. с вероятностью, равной 1, будет неограниченно приближаться к ее м.о. Наблюдение стационарной с.ф. при разных значениях t на достаточно большом интервале в одном опыте равноценно наблюдению ее значений при одном и том же значении t в ряде опытов.

Иногда требуется определить характеристики преобразованных с.ф. по характеристикам исходных с.ф. Так если

(70.5),

то т.е. м.о. интеграла (производной) от с.ф. равно интегралу (производной) от м.о. (y(t) - скорость изменения с.ф. X(t) , - скорость изменения м.о.).

При интегрировании или дифференцировании с.ф. получаем также с.ф. Если X(t) распределена нормально, то Z(t) и Y(t) распределены тоже нормально. Если X(t) – стационарная с.ф., то Z(t) уже не стационарная с.ф., т.к. зависит от t .

Примеры корреляционных функций.

1) (из (2) при b®0); 2) ;

3) ; 4) ;

5) (из (3) при b ®0); 6) (из (4) при b ®0).

На графиках a = 1, b = 5, s = 1.

a - характеризует быстроту убывания корреляционной связи между ординатами с.ф. при увеличении разности аргументов этих ординат t.

a/b - характеризует "степень нерегулярности процесса". При малом a/b ординаты процесса оказываются сильно коррелированными и реализация процесса похожа на синусоиду; при большом a/b (71.5).

Формула (71) для стационарной функции примет вид:

Корреляционная функция с.ф. и ее производной . Для дифференцируемого стационарного процесса ордината с.ф. и ее производной, взятая в тот же момент времени являются некоррелированными с.в. (а для нормального процесса и независимыми).

При умножении с.ф. на детерминированную получаем с.ф. Z(t)=a(t)X(t) , корреляционная функция которой равна

KZ(t1,t2)=a(t1)a(t2) KX(t1,t2) (72.5),

где a(t) - детерминированная функция.

Сумма двух с.ф. является тоже с.ф. Z(t)=X(t)+Y(t) и ее корреляционная функция при наличии корреляционной связи между X(t) и Y(t):

KZ(t1,t2)=KX(t1,t2)+ KY(t1,t2)+ 2KXY(t1,t2), (73.5)

где KXY(t1,t2) - см. (68.5) - взаимная корреляционная функция двух зависимых с.ф. X(t) и Y(t).

Если X(t) и Y(t) независимы, то KXY(t1,t2) =0. М.о. с.ф. Z(t): .

1. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ

До определенных пор теория вероятностей ограничивалась понятием случайных величин. Их использование позволяет выполнять статические расчеты, учитывающие случайные факторы. Однако механические системы подвергаются также разнообразным динамическим, то есть изменяющимся во времени воздействиям случайного характера. К ним относятся, в частности, вибрационные и ударные воздействия при движении транспортных средств, аэродинамические силы, вызванные атмосферной турбулентностью, сейсмические силы, нагрузки, обусловленные случайными отклонениями от номинальных режимов работы машин.

Случайные динамические явления изучаются при анализе тенденций в экономике (например, изменения курса акций или валюты). Работа в условиях случайных возмущений характерна для систем управления разнообразными динамическими объектами.

Для анализа подобных явлений используется понятие случайной функции . Случайной функцией X (t ) называется такая функция аргумента t , значение которой при любом t является случайной величиной. Если аргумент принимает дискретные значения t 1 , t 2 , …, t k то говорят о случайной последовательности X 1 , X 2 ,…, X k , где X i = X (t i ).

Во многих практических задачах неслучайный аргумент t имеет смысл времени, при этом случайную функцию называют случайным процессом , а случайную последовательность – временным рядом . Вместе с тем, аргумент случайной функции может иметь и иной смысл. Например, речь может идти о рельефе местности Z (x , y ), где аргументами являются координаты местности x и y , а роль случайной функции играет высота над уровнем моря z. В дальнейшем, для определенности, имея в виду приложения случайных функций к исследованию динамических систем, будем говорить о случайных процессах.

Предположим, что при исследовании случайного процесса X (t ) произведено n независимых опытов, и получены реализации

представляющие собой n детерминированных функций. Соответствующее семейство кривых в определенной мере характеризует свойства случайного процесса. Так, на рис.1.1а представлены реализации случайного процесса с постоянными средним уровнем и разбросом значений возле среднего, на рис. 1.1б – реализации случайного процесса с постоянным средним и изменяющимся разбросом, на рис. 1.1в – реализации случайного процесса с изменяющимися во времени средним и разбросом.

Рис.1.1. Типичные реализации случайных процессов

На рис. 1.2 показаны реализации двух случайных процессов, имеющих одинаковый средний уровень и разброс, но различающихся плавностью. Реализации случайного процесса на рис. 1.2а имеют высокочастотный характер, а на рис. 1.2б – низкочастотный.

Рис. 1.2. Высокочастотный и низкочастотный случайные процессы

Таким образом, X (t ) можно рассматривать и как совокупность всевозможных реализаций, которая подчиняется определенным вероятностным закономерностям. Как и для случайных величин, исчерпывающую характеристику этих закономерностей дают функции или плотности распределения. Случайный процесс считается заданным, если заданы все многомерные законы распределения случайных величин X (t i ), X (t 2 ), …, X (t n ) для любых значений t 1 , t 2 , …, t n из области изменения аргумента t . Речь идет, в частности, об одномерной плотности распределения , двумерной плотности распределения и т.д. .

Для упрощения анализа в большинстве случаев ограничиваются моментными характеристиками, причем чаще всего используют моменты первого и второго порядков. Для характеристики среднего уровня случайного процесса служит математическое ожидание

. (1.1)

Для характеристики амплитуды отклонений случайного процесса от среднего уровня служит дисперсия

Для характеристики изменчивости (плавности) случайного процесса служит корреляционная (автокорреляционная) функция

(1.3)

Как следует из (1.3), корреляционная функция представляет собой ковариацию случайных величин X (t 1) и X (t 2). Ковариация же, как известно из курса теории вероятностей, характеризует взаимозависимость между X (t 1) и X (t 2).

В рамках корреляционной теории случайных функций, которая оперирует лишь моментами первого и второго порядков, могут быть решены многие технические задачи. В частности, могут быть определены априорная, а также условная вероятности выхода случайного процесса за пределы заданных границ. Вместе с тем, некоторые важные в практическом плане задачи не решаются средствами корреляционной теории и требуют использования многомерных плотностей распределения. К таким задачам относится, например, расчет среднего времени нахождения случайного процесса выше или ниже заданной границы.

2. ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

2.1. Квазидетерминированные случайные процессы

Предварительные замечания. Найдем изображение Фурье от d -функции.

Очевидно, справедливо и обратное преобразование Фурье:

А также:

1. Пусть процесс представляет собой постоянную величину x(t)=A o . Как уже было выяснено ранее, корреляционная функция такого процесса равна Найдем спектральную плотность процесса путем прямого преобразования Фурье функции R(t):

Спектр процесса состоит из единственного пика типа импульсной функции, расположенной в начале координат. Таким образом, если в процессе присутствует только одна частота w =0, то это значит, что вся мощность процесса сосредоточена на этой частоте, что и подтверждает вид функции S(w). Если случайная функция содержит постоянную составляющую, т.е. среднее значение , то S(w) будет иметь разрыв непрерывности в начале координат и будет характеризоваться наличием d -функции в точке w =0.

2. Для гармонической функции X=A o sin(w 0 t+j) корреляционная функция:

Спектральная плотность равна

График S(w) будет иметь два пика типа импульсной функции, расположенных симметрично относительно начала координат при w= +w 0 и w= -w 0 . Это говорит о том, что мощность процесса сосредоточена на двух частотах +w 0 и -w 0 .

Если случайная функция имеет гармонические составляющие, то спектральная плотность имеет разрывы непрерывности в точках w = ±w 0 и характеризуется наличием двух дельта-функций, расположенных в этих точках.

Белый шум . Под белым шумом понимают случайный процесс, имеющий одинаковые значения спектральной плотности на всех частотах от -¥ до +¥ : S(w ) = Const.

Примером такого процесса при определенных допущениях являются тепловые шумы, космическое излучение и др. Корреляционная функция такого процесса равна

Таким образом R(t) представляет собой импульсную функцию, расположенную в начале координат.

Этот процесс является чисто случайным процессом, т.к. при любом t ¹0 отсутствует корреляция между последующими и предыдущими значениями случайной функции. Процесс с такой спектральной плотностью является физически нереальным, т.к. ему соответствуют бесконечно большие дисперсия и средний квадрат случайной величины:

Такому процессу соответствует бесконечно большая мощность и источник с бесконечно большой энергией.

2. Белый шум с ограниченной полосой частот. Такой процесс характеризуется спектральной плотностью вида

S(w)=C при ½w½ <w n ,

S(w) =0 при ½w½>w n .

где (-w n , w n) полоса частот для спектральной плотности.

Это такой случайный процесс, спектральная плотность которого остается практически постоянной в диапазоне частот, могущих оказать влияние на рассматриваемую систему управления, т.е. в диапазоне частот, пропускаемых системой. Вид кривой S (w ) вне этого диапазона не имеет значения, т.к. часть кривой, соответствующая высшим частотам, не окажет влияния на работу системы. Этому процессу соответствует корреляционная функция

Дисперсия процесса равна

5. Типовой входной сигнал следящей системы. В качестве типового сигнала принимают сигнал, график которого показан на рис.63. Скорость вращения задающего вала следящей системы сохраняет постоянное значение в течение некоторых интервалов времени t 1 , t 2 ,...

Переход от одного значения к другому совершается мгновенно. Интервалы времени подчиняются закону распределения Пуассона. Математическое ожидание

Рис.63. Типовой сигнал

График такого вида получается в первом приближении при слежении РЛС за движущейся целью. Постоянные значения скорости соответствуют движению цели по прямой. Перемена знака или величины скорости соответствует маневру цели.

Пусть m -среднее число перемен скорости за 1 с. Тогда Т=1/m будет среднее значение интервалов времени, в течение которых угловая скорость сохраняет свое постоянное значение. Применительно к РЛС это значение будет средним временем движения цели по прямой. Для определения корреляционной функции необходимо найти среднее значение произведения

При нахождении этого значения могут быть два случая.

1. Моменты времени t и t+t относятся к одному интервалу. Тогда среднее произведения угловых скоростей будет равно среднему квадрату угловой скорости или дисперсии:

2. Моменты времениt и t+t относятся к разным интервалам. Тогда среднее произведения скоростей будет равно нулю, так как величины W(t) и W(t+t) для разных интервалов можно считать независимыми величинами:

Корреляционная функция равна:

где, Р 1 - вероятность нахождения моментов времени t и t+t в одном интервале, а Р 2 =1- Р 1 вероятность нахождения их в разных интервалах.

Оценим величину Р 1 . Вероятность появления перемены скорости на малом интервале времени Dt пропорциональна этому интервалу и равна mDt или Dt/Т. Вероятность отсутствия перемены скорости для этого же интервала будет равна 1-Dt/Т. Для интервала времени t вероятность отсутствия перемены скорости т.е. вероятность нахождения моментов времени t и t+t в одном интервале постоянной скорости будет равна произведению вероятности отсутствий перемены скорости на каждом элементарном промежутке Dt, т.к. эти события независимые. Для конечного промежутка получаем, что число промежутков равно t/Dt и

Перейдя к пределу, получим

Задание на курсовую работу

Дано: пять начальных моментов

а1 = 1, а2 = 2, а3 = 2, а4 = 1, а5 = 1 (µ г = 0, µ 0 = 1).

Найти: пять центральных моментов.

Имея в своём распоряжении пять начальных и пять центральных моментов, вычислить значения:

а) математическое ожидание;

б) дисперсию;

в) стандартное отклонение;

г) коэффициент вариации;

д) коэффициент асимметрии;

е) коэффициент эксцессии.

По полученным данным качественно описать плотность вероятности данного процесса.

1. Теоретические сведения

Распределения случайных величин и функции распределения

Распределение числовой случайной величины - это функция, которая однозначно определяет вероятность того, что случайная величина принимает заданное значение или принадлежит к некоторому заданному интервалу.

Первое - если случайная величина принимает конечное число значений. Тогда распределение задается функцией Р (Х = х), ставящей каждому возможному значению х случайной величины X вероятность того, что X = х.

Второе - если случайная величина принимает бесконечно много значений. Это возможно лишь тогда, когда вероятностное пространство, на котором определена случайная величина, состоит из бесконечного числа элементарных событий. Тогда распределение задается набором вероятностей Р (а Х для всех пар чисел а, b таких, что аРаспределение может быть задано с помощью т.н. функции распределения F(x) = Р (Х<х), определяющей для всех действительных х вероятность того, что случайная величина X принимает значения, меньшие х. Ясно, что

Р (а Х

Это соотношение показывает, что как распределение может быть рассчитано по функции распределения, так и, наоборот, функция распределения - по распределению.

Используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях функции распределения бывают либо дискретными, либо непрерывными, либо их комбинациями.

Дискретные функции распределения соответствуют дискретным случайным величинам, принимающим конечное число значений или же значения из множества, элементы которого можно перенумеровать натуральными числами (такие множества в математике называют счетными). Их график имеет вид ступенчатой лестницы (рис. 1).

Пример 1. Число X дефектных изделий в партии принимает значение 0 с вероятностью 0,3, значение 1 с вероятностью 0,4, значение 2 с вероятностью 0,2 и значение 3 с вероятностью 0,1. График функции распределения случайной величины X изображен на рис. 1.

Рис. 1. График функции распределения числа дефектных изделий.

Непрерывные функции распределения не имеют скачков. Они монотонно возрастают при увеличении аргумента - от 0 при х→∞ до 1 при х→+∞. Случайные величины, имеющие непрерывные функции распределения, называют непрерывными.

Непрерывные функции распределения, используемые в вероятностно-статистических методах принятия решений, имеют производные. Первая производная f(x) функции распределения F(x) называется плотностью вероятности,

По плотности вероятности можно определить функцию распределения:

Для любой функции распределения

Перечисленные свойства функций распределения постоянно используются в вероятностно-статистических методах принятия решений. В частности, из последнего равенства вытекает конкретный вид констант в формулах для плотностей вероятностей, рассматриваемых ниже.

Пример 2. Часто используется следующая функция распределения:

(1)

где а и b - некоторые числа, аНайдем плотность вероятности этой функции распределения:

(в точках х = а их = b производная функции F(x) не существует).

Случайная величина с функцией распределения (1) называется «равномерно распределенной на отрезке ».

Смешанные функции распределения встречаются, в частности, тогда, когда наблюдения в какой-то момент прекращаются. Например, при анализе статистических данных, полученных при использовании планов испытании на надежность, предусматривающих прекращение испытаний по истечении некоторого срока. Или при анализе данных о технических изделиях, потребовавших гарантийного ремонта.

Пример 3. Пусть, например, срок службы электрической лампочки - случайная величина с функцией распределения F(t), а испытание проводится до выхода лампочки из строя, если это произойдет менее чем за 100 часов от начала испытаний, или до момента t 0 = 100 часов. Пусть G(t) - функция распределения времени эксплуатации лампочки в исправном состоянии при этом испытании. Тогда

Функция G(t) имеет скачок в точке t 0 , поскольку соответствующая случайная величина принимает значение t 0 с вероятностью 1-F(t 0 )>0.

Характеристики случайных величин. В вероятностно-статистических методах принятия решений используется ряд характеристик случайных величин, выражающихся через функции распределения и плотности вероятностей.

При описании дифференциации доходов, при нахождении доверительных границ для параметров распределений случайных величин и во многих иных случаях используется такое понятие, как «квантиль порядка р», где 0 <р < 1 (обозначается х р ). Квантиль порядка р - значение случайной величины, для которого функция распределения принимает значение р или имеет место «скачок» со значения меньшер до значения больше р (рис. 2). Может случиться, что это условие выполняется для всех значений х, принадлежащих этому интервалу (т.е. функция распределения постоянна на этом интервале и равна р). Тогда каждое такое значение называется «квантилем порядка р». Для непрерывных функций распределения, как правило, существует единственный квантиль х р порядка р (рис. 2), причем

F(x p )=p. (2)

Рис. 2. Определение квантиля х р порядка р.

Пример 4. Найдем квантиль х р порядка р для функции распределения F(x) из (1).

При 0 <р < 1 квантиль х р находится из уравнения

т.е. х р = а + p (b - а) = а (1-р) +bр. При р = 0 любое х а является квантилем порядка p = 0. Квантилем порядка р = 1 является любое число х b.

Для дискретных распределений, как правило, не существует х р , удовлетворяющих уравнению (2). Точнее, если распределение случайной величины дается табл. 1, где x 1 < х 2 <… < х к , то равенство (2), рассматриваемое как уравнение относительно х р , имеет решения только для k значений р, а именно,

p =p 1

p =p 1 +p 2 ,

p = p 1 +p 2 +p 3 ,

p = p 1 +p 2 + р т , 3<т<к,

р =р, + р 2 +… +p k

Таблица 1. Распределение дискретной случайной величины

Значения х случайной величины Xх 1 х 2 …х k Вероятности Р (Х =х)P 1 Р 2 …Р k

Для перечисленных к значений вероятности р решение х р уравнения (2) неединственно, а именно,

F(x) =р, +р 2 +… + Р т

для всех х таких, что х т < х < х т+1 . Т.е. х р - любое число из интервала (х т ; x m+1 ). Для всех остальных р из промежутка (0; 1), не входящих в перечень (3), имеет место «скачок» со значения меньше р до значения больше р. А именно, если

p 1 +p 2 +… + p т 1 +p 2 + … + p т + p т+1 ,

то x р =x т+1 .

Рассмотренное свойство дискретных распределений создает значительные трудности при табулировании и использовании подобных распределений, поскольку невозможным оказывается точно выдержать типовые численные значения характеристик распределения. В частности, это так для критических значений и уровней значимости непараметрических статистических критериев (см. ниже), поскольку распределения статистик этих критериев дискретны.

Большое значение в статистике имеет квантиль порядка p = ½. Он называется медианой (случайной величины X или ее функции распределения F(x)) и обозначается Ме(Х). В геометрии есть понятие «медиана» - прямая, проходящая через вершину треугольника и делящая противоположную его сторону пополам. В математической статистике медиана делит пополам не сторону треугольника, а распределение случайной величины: равенство F(x 0,5 ) = 0,5 означает, что вероятность попасть левее x 0,5 и вероятность попасть правее x 0,5 (или непосредственно x 0,5 ) равны между собой и равны ½ , т.е.

Медиана указывает «центр» распределения. С точки зрения одной из современных концепций - теории устойчивых статистических процедур - медиана является более хорошей характеристикой случайной величины, чем математическое ожидание . При обработке результатов измерений в порядковой шкале (см. главу о теории измерений) медианой можно пользоваться, а математическим ожиданием - нет.

Ясный смысл имеет такая характеристика случайной величины, как мода - значение (или значения) случайной величины, соответствующее локальному максимуму плотности вероятности для непрерывной случайной величины или локальному максимуму вероятности для дискретной случайной величины.

Если х 0 - мода случайной величины с плотностью f(x), то, как известно

из дифференциального исчисления,

У случайной величины может быть много мод. Так, для равномерного распределения (1) каждая точка х такая, что а < х < b, является модой. Однако это исключение. Большинство случайных величин, используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях, имеют одну моду. Случайные величины, плотности, распределения, имеющие одну моду, называются унимодальными.

Математическое ожидание для дискретных случайных величин с конечным числом значений рассмотрено в главе «События и вероятности». Для непрерывной случайной величины X математическое ожидание М(Х) удовлетворяет равенству

Пример 5. Математическое ожидание для равномерно распределенной случайной величины X равно

Для рассматриваемых в настоящей главе случайных величин верны все те свойства математических ожиданий и дисперсий, которые были рассмотрены ранее для дискретных случайных величин с конечным числом значений. Однако доказательства этих свойств не приводим, поскольку они требуют углубления в математические тонкости, не являющегося необходимым для понимания и квалифицированного применения вероятностно-статистических методов принятия решений.

Замечание. В настоящем учебнике сознательно обходятся математические тонкости, связанные, в частности, с понятиями измеримых множеств и измеримых функций, -алгебры событий и т.п. Желающим освоить эти понятия необходимо обратиться к специальной литературе, в частности, к энциклопедии .

Каждая из трех характеристик - математическое ожидание, медиана, мода - описывает «центр» распределения вероятностей. Понятие «центр» можно определять разными способами - отсюда три разные характеристики. Однако для важного класса распределений - симметричных унимодальных - все три характеристики совпадают.

Плотность распределения f(x) - плотность симметричного распределения, если найдется число х 0 такое, что

(3)

Равенство (3) означает, что график функции у =f(х) симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через центр симметрии х = х 0 . Из (3) следует, что функция симметричного распределения удовлетворяет соотношению

(4)

Для симметричного распределения с одной модой математическое ожидание, медиана и мода совпадают и равны х 0 .

Наиболее важен случай симметрии относительно 0, т.е. х п = 0. Тогда (3) и (4) переходят в равенства

(5)

(6)

соответственно. Приведенные соотношения показывают, что симметричные распределения нет необходимости табулировать при всех х, достаточно иметь таблицы при х х 0 .

Отметим еще одно свойство симметричных распределений, постоянно используемое в вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях. Для непрерывной функции распределения

Р(а) = Р (-а <Х а) = F(a) - F(-a),

где F - функция распределения случайной величины X. Если функция распределения F симметрична относительно 0, т.е. для нее справедлива формула (6), то

Р(а) =2F(a) - 1.

Часто используют другую формулировку рассматриваемого утверждения: если

Если и - квантили порядка α и 1-α соответственно (см. (2)) функции распределения, симметричной относительно 0, то из (6) следует, что

От характеристик положения - математического ожидания, медианы, моды - перейдем к характеристикам разброса случайной величины X:

дисперсии , среднему квадратическому отклонению σ и коэффициенту вариации v . Определение и свойства дисперсии для дискретных случайных величин рассмотрены в предыдущей главе. Для непрерывных случайных величин

Среднее квадратическое отклонение - это неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии:

Коэффициент вариации - это отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

Коэффициент вариации применяется при М(Х)>0. Он измеряет разброс в относительных единицах, в то время как среднее квадратическое отклонение - в абсолютных.

Пример 6. Для равномерно распределенной случайной величины X найдем дисперсию, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации. Дисперсия равна:

Замена переменной дает возможность записать:

где с = (b - а )/2. Следовательно, среднее квадратическое отклонение равно , а коэффициент вариации таков:

По каждой случайной величине X определяют еще три величины - центрированную Y, нормированную V и приведенную U. Центрированная случайная величина Y - это разность между данной случайной величиной X и ее математическим ожиданием М(Х), т.е. Y= Х - М(Х). Математическое ожидание центрированной случайной величины Г равно 0, а дисперсия - дисперсии данной случайной величины: M(Y) = 0, D(Y) = D(X). Функция распределения F Y (x) центрированной случайной величины Y связана с функцией распределения F(x) исходной случайной величины X соотношением:

F Y (x) =F (x + М(Х)).

Для плотностей этих случайных величин справедливо равенство

f Y (x) =f (x + М(Х)).

Нормированная случайная величина V -это отношение данной случайной величины Х к ее среднему квадратическому отклонению σ, т.е. . Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины V выражаются через характеристики X так:

где v - коэффициент вариации исходной случайной величины X. Для функции распределения F v (x) и плотности f v (x) нормированной случайной величины V имеем:

где F(x) - функция распределения исходной случайной величины X, a f(x) - ее плотность вероятности.

Приведенная случайная величина U - это центрированная и нормированная случайная величина:

Для приведенной случайной величины:

(7)

Нормированные, центрированные и приведенные случайные величины постоянно используются как в теоретических исследованиях, так и в алгоритмах, программных продуктах, нормативно-технической и инструктивно-методической документации. В частности, потому, что позволяют упростить обоснования методов, формулировки теорем и расчетные формулы.

Используются преобразования случайных величин и более общего плана. Так, если Y= аХ+ b, где а и b - некоторые числа, то

(8)

Пример 7. Если то У - приведенная случайная величина, и формулы (8) переходят в формулы (7).

С каждой случайной величиной X можно связать множество случайных величин Y, заданных формулой У = аХ+b при различных а>0 и b. Это множество называют масштабно-сдвиговым семейством, порожденным случайной величиной X. Функции распределения F Y (x) составляют масштабно сдвиговое семейство распределений, порожденное функцией распределения F(x). Вместо Y= аХ+ b часто используют запись

(9)

Число с называют параметром сдвига, а число d - параметром масштаба. Формула (9) показывает, что Х - результат измерения некоторой величины - переходит в У - результат измерения той же величины, если начало измерения перенести в точку с, а затем использовать новую единицу измерения, в d раз большую старой.

Для масштабно-сдвигового семейства (9) распределение X называют стандартным. В вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях используют стандартное нормальное распределение, стандартное распределение Вейбулла-Гнеденко, стандартное гамма-распределение и др. (см. ниже).

Применяют и другие преобразования случайных величин. Например, для положительной случайной величины X рассматривают Y= gX, где lgX -десятичный логарифм числа X. Цепочка равенств