Пример 1. Найдите функцию распределения

дискретной случайной величины х из примера 1§ 13.

Используя функцию распределения, вычислите

вероятности событий: х < 3, 1 £ x < 4, 1 £ x £ 3.

полученной в § 13, и формулу (5), получим

функцию распределения:

По формуле (1) Р(x < 3) = F(3) = 0,1808; по формуле (2)

р(1 £ x < 4) = F (4) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888;

p (1 £ x £ 3) = p (1 £ x <3) + p(x = 3) = F(3) – F(1) + F(3+0) – F(3) =

F(3+0) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888.

Пример 2. Дана функция

Является ли функция F(x) функцией распределения некоторой случайной величины? В случае положительного ответа найдите . Построить график функции F(x).

Решение. Для того чтобы наперед заданная функция F(x) являлась функцией распределения некоторой случайной величины х, необходимо и достаточно выполнение следующих условий (характеристических свойств функции распределения):

1. F(x) – неубывающая функция.

3. При любом х Î R F(x – 0) = F(x ).

Для заданной функции F(x) выполнение

этих условий очевидно. Значит,

F(x) – функция распределения.

Вероятность вычисляем по

формуле (2):

График функции F(x ) представлен на рисунке 13.

Пример 3. Пусть F 1 (x ) и F 2 (x ) – функции распределения случайных величин х 1 и х 2 соответственно, а 1 и а 2 – неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Доказать, что F(x ) = a 1 F 1 (x ) + a 2 F 2 (x ) является функцией распределения некоторой случайной величины х .

Решение. 1) Так как F 1 (x ) и F 2 (x ) – неубывающие функции и а 1 ³ 0, а 2 ³ 0, то a 1 F 1 (x ) и a 2 F 2 (x ) - неубывающие, следовательно, их сумма F(x ) тоже неубывающая.

3) При любом х Î R F(x - 0) = a 1 F 1 (x - 0) + a 2 F 2 (x - 0)= a 1 F 1 (x ) + a 2 F 2 (x ) = F(x ).

Пример 4. Дана функция

Является ли F(x) функцией распределения случайной величины?

Решение. Легко заметить, что F(1) = 0,2 > 0,11 = F(1,1). Следовательно, F(x ) не является неубывающей, а значит, не является функцией распределения случайной величины. Заметим, что остальные два свойства для данной функции справедливы.

Контрольное задание №11

1. Дискретная случайная величина х

x ) и, используя ее, найдите вероятности событий: а) –2 £ х < 1; б) ½х ½£ 2. Постройте график функции распределения.

3. Дискретная случайная величина х задана таблицей распределения:

Найдите функцию распределения F(x ) и найдите вероятности следующих событий: а) x < 2; б) 1 £ х < 4; в) 1 £ х £ 4; г) 1 < x £ 4; д) х = 2,5.

4. Найдите функцию распределения дискретной случайной величины х , равной числу выпавших очков при одном бросании игральной кости. Используя функцию распределения, найдите вероятность того, что выпадет не менее 5 очков.

5. Производятся последовательные испытания 5 приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Составьте таблицу распределения и найдите функцию распределения случайного числа испытаний приборов, если вероятность выдержать испытания для каждого прибора 0,9.

6. Задана функция распределения дискретной случайной величины х :

а) Найдите вероятность события 1 £ х £ 3.

б) Найдите таблицу распределения случайной величины х .

7. Задана функция распределения дискретной случайной величины х :

Составьте таблицу распределения данной случайной величины.

8. Монету бросают n раз. Составьте таблицу распределения и найдите функцию распределения числа появлений герба. Постройте график функции распределения при n = 5.

9. Монету бросают, пока не выпадет герб. Составьте таблицу распределения и найдите функцию распределения числа появлений цифры.

10. Снайпер стреляет по цели до первого попадания. Вероятность промаха при отдельном выстреле равна р . Найдите функцию распределения числа промахов.

Определение функции случайных величин. Функция дискретного случайного аргумента и ее числовые характеристики. Функция непрерывного случайного аргумента и ее числовые характеристики. Функции двух случайных аргументов. Определение функции распределения вероятностей и плотности для функции двух случайных аргументов.

Закон распределения вероятностей функции одной случайной величины

При решении задач, связанных с оценкой точности работы различных автоматических систем, точности производства отдельных элементов систем и др., часто приходится рассматривать функции одной или нескольких случайных величин. Такие функции также являются случайными величинами. Поэтому при решении задач необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче случайных величин. При этом обычно известны закон распределения системы случайных аргументов и функциональная зависимость.

Таким образом, возникает задача, которую можно сформулировать так.

Дана система случайных величин (X_1,X_2,\ldots,X_n) , закон распределения которой известен. Рассматривается некоторая случайная величина Y как функция данных случайных величин:

Y=\varphi(X_1,X_2,\ldots,X_n).

Требуется определить закон распределения случайной величины Y , зная вид функций (6.1) и закон совместного распределения ее аргументов.

Рассмотрим задачу о законе распределения функции одного случайного аргумента

Y=\varphi(X).

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{X}&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline{P}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}

Тогда Y=\varphi(X) также дискретная случайная величина с возможными значениями . Если все значения y_1,y_2,\ldots,y_n различны, то для каждого k=1,2,\ldots,n события \{X=x_k\} и \{Y=y_k=\varphi(x_k)\} тождественны. Следовательно,

P\{Y=y_k\}=P\{X=x_k\}=p_k

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{Y}&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\\hline{P}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}

Если же среди чисел y_1=\varphi(x_1),y_2=\varphi(x_2),\ldots,y_n=\varphi(x_n) есть одинаковые, то каждой группе одинаковых значений y_k=\varphi(x_k) нужно отвести в таблице один столбец и соответствующие вероятности сложить.

Для непрерывных случайных величин задача ставится так: зная плотность распределения f(x) случайной величины X , найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=\varphi(X) . При решении поставленной задачи рассмотрим два случая.

Предположим сначала, что функция y=\varphi(x) является монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой на интервале (a;b) , на котором лежат все возможные значения величины X . Тогда обратная функция x=\psi(y) существует, при этом являясь также монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой. В этом случае получаем

G(y)=f\bigl(\psi(y)\bigr)\cdot |\psi"(y)|.

Пример 1. Случайная величина X распределена с плотностью

F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}

Найти закон распределения случайной величины Y , связанной с величиной X зависимостью Y=X^3 .

Решение. Так как функция y=x^3 монотонна на промежутке (-\infty;+\infty) , то можно применить формулу (6.2). Обратная функция по отношению к функции \varphi(x)=x^3 есть \psi(y)=\sqrt{y} , ее производная \psi"(y)=\frac{1}{3\sqrt{y^2}} . Следовательно,

G(y)=\frac{1}{3\sqrt{2\pi}}e^{-\sqrt{y^2}/2}\frac{1}{\sqrt{y^2}}

Рассмотрим случай немонотонной функции. Пусть функция y=\varphi(x) такова, что обратная функция x=\psi(y) неоднозначна, т. е. одному значению величины y соответствует несколько значений аргумента x , которые обозначим x_1=\psi_1(y),x_2=\psi_2(y),\ldots,x_n=\psi_n(y) , где n - число участков, на которых функция y=\varphi(x) изменяется монотонно. Тогда

G(y)=\sum\limits_{k=1}^{n}f\bigl(\psi_k(y)\bigr)\cdot |\psi"_k(y)|.

Пример 2. В условиях примера 1 найти распределение случайной величины Y=X^2 .

Решение. Обратная функция x=\psi(y) неоднозначна. Одному значению аргумента y соответствуют два значения функции x

\begin{gathered}g(y)=f(\psi_1(y))|\psi"_1(y)|+f(\psi_2(y))|\psi"_2(y)|=\\\\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\left(-\sqrt{y^2}\right)^2/2}\!\left|-\frac{1}{2\sqrt{y}}\right|+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\left(\sqrt{y^2}\right)^2/2}\!\left|\frac{1}{2\sqrt{y}}\right|=\frac{1}{\sqrt{2\pi{y}}}\,e^{-y/2}.\end{gathered}

Закон распределения функции двух случайных величин

Пусть случайная величина Y является функцией двух случайных величин, образующих систему (X_1;X_2) , т. е. Y=\varphi(X_1;X_2) . Задача состоит в том, чтобы по известному распределению системы (X_1;X_2) найти распределение случайной величины Y .

Пусть f(x_1;x_2) - плотность распределения системы случайных величин (X_1;X_2) . Введем в рассмотрение новую величину Y_1 , равную X_1 , и рассмотрим систему уравнений

Будем полагать, что эта система однозначно разрешима относительно x_1,x_2

Плотность распределения случайной величины Y

G_1(y)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x_1;\psi(y;x_1))\!\left|\frac{\partial\psi(y;x_1)}{\partial{y}}\right|dx_1.

Заметим, что рассуждения не изменяются, если введенную новую величину Y_1 положить равной X_2 .

Математическое ожидание функции случайных величин

На практике часто встречаются случаи, когда нет особой надобности полностью определять закон распределения функции случайных величин, а достаточно только указать его числовые характеристики. Таким образом, возникает задача определения числовых характеристик функций случайных величин помимо законов распределения этих функций.

Пусть случайная величина Y является функцией случайного аргумента X с заданным законом распределения

Y=\varphi(X).

Требуется, не находя закона распределения величины Y , определить ее математическое ожидание

M(Y)=M[\varphi(X)].

Пусть X - дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{x_i}&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline{p_i}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}

Составим таблицу значений величины Y и вероятностей этих значений:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline{y_i=\varphi(x_i)}&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\\hline{p_i}&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end{array}

Эта таблица не является рядом распределения случайной величины Y , так как в общем случае некоторые из значений могут совпадать между собой и значения в верхней строке не обязательно идут в возрастающем порядке. Однако математическое ожидание случайной величины Y можно определить по формуле

M[\varphi(X)]=\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi(x_i)p_i,

Формула (6.4) не содержит в явном виде закон распределения самой функции \varphi(X) , а содержит только закон распределения аргумента X . Таким образом, для определения математического ожидания функции Y=\varphi(X) вовсе не требуется знать закон распределения функции \varphi(X) , а достаточно знать закон распределения аргумента X .

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле

M[\varphi(X)]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)f(x)\,dx,

Рассмотрим случаи, когда для нахождения математического ожидания функции случайных аргументов не требуется знание даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики. Сформулируем эти случаи в виде теорем.

Теорема 6.1. Математическое ожидание суммы как зависимых, так и независимых двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Теорема 6.2. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

M(XY)=M(X)M(Y)+\mu_{xy}.

Следствие 6.1. Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Следствие 6.2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Дисперсия функции случайных величин

По определению дисперсии имеем D[Y]=M[(Y-M(Y))^2]. . Следовательно,

D[\varphi(x)]=M[(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2] , где .

Приведем расчетные формулы только для случая непрерывных случайных аргументов. Для функции одного случайного аргумента Y=\varphi(X) дисперсия выражается формулой

D[\varphi(x)]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2f(x)\,dx,

где M(\varphi(x))=M[\varphi(X)] - математическое ожидание функции \varphi(X) ; f(x) - плотность распределения величины X .

Формулу (6.5) можно заменить на следующую:

D[\varphi(x)]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\varphi^2(x)f(x)\,dx-M^2(X)

Рассмотрим теоремы о дисперсиях , которые играют важную роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Теорема 6.3. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий этих величин плюс удвоенная сумма корреляционных моментов каждой из слагаемых величин со всеми последующими:

D\!\left[\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right]=\sum\limits_{i=1}^{n}D+2\sum\limits_{i

Следствие 6.3. Дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

D\!\left[\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right]=\sum\limits_{i=1}^{n}D \mu_{y_1y_2}= M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2).

\mu_{y_1y_2}=M(\varphi_1(X)\varphi_2(X))-M(\varphi_1(X))M(\varphi_2(X)).

Рассмотрим основные свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции .

Свойство 1. От прибавления к случайным величинам постоянных величин корреляционный момент и коэффициент корреляции не изменяются.

Свойство 2. Для любых случайных величин X и Y абсолютная величина корреляционного момента не превосходит среднего геометрического дисперсий данных величин:

|\mu_{xy}|\leqslant\sqrt{D[X]\cdot D[Y]}=\sigma_x\cdot \sigma_y,

Чтобы найти функции распределения случайных величин и их переменных, необходимо изучить все особенности данной области знаний. Существует несколько различных методов для нахождения рассматриваемых значений, включая изменение переменной и генерирование момента. Распределение - такое понятие, в основу которого легли такие элементы, как дисперсия, вариации. Однако они характеризуют только степень размаха рассеяния.

Более важными функциями случайных величин являются те, которые связаны и независимы, и одинаково распределены. Например, если X1 - вес случайно выбранного индивидуума из популяции самцов, X2 - вес другого, ..., а Xn - вес еще одного человека из мужского населения, тогда, необходимо узнать, как случайная функция X распределяется. В этом случае применима классическая теорема, называемая центральной предельной. Она позволяет показать, что при больших n функция следует стандартным распределениям.

Функции одной случайной переменной

Центральная предельная теорема предназначена для аппроксимации дискретных рассматриваемых значений, таких как биномиальное и Пуассона. Функции распределения случайных величин, рассматриваются, в первую очередь, на простых значениях одной переменной. Например, если X является непрерывной случайной величиной, имеющей собственное распределение вероятности. В данном случае исследуется, как найти функцию плотности Y, используя два разных подхода, а именно метод функции распределения и изменения переменной. Сначала рассматриваются только взаимно однозначные значения. Затем необходимо модифицировать технику изменения переменной, чтобы найти ее вероятность. Наконец, нужно узнать, как кумулятивного распределения может помочь моделировать случайные числа, которые следуют за определенными последовательными схемами.

Методика распределения рассматриваемых значений

Метод функции распределения вероятностей случайной величины применим для того, чтобы найти ее плотность. При использовании этого способа вычисляется кумулятивное значение. Затем, дифференцируя его, можно получить плотность вероятности. Теперь, при наличии метода функции распределения, можно рассмотреть еще несколько примеров. Пусть X - непрерывная случайная величина с определенной плотностью вероятности.

Какова функция плотности вероятности от x2? Если посмотреть или построить график функции (сверху и справа) у = х2, можно отметить, что она является возрастающей X и 0

В последнем примере большую осторожность использовали для индексирования кумулятивных функций и плотности вероятности либо с помощью X, либо с Y, чтобы указать, к какой случайной переменной они принадлежали. Например, при нахождении кумулятивной функции распределения Y получили X. Если необходимо найти случайную величину X и ее плотность, то ее просто нужно дифференцировать.

Техника смены переменных

Пусть X - непрерывная случайная величина заданная функцией распределения с общим знаменателем f (x). В этом случае, если поместить значение y в X = v (Y), то получится значение x, например v (y). Теперь, нужно получить функцию распределения непрерывной случайной величины Y. Где первое и второе равенство имеет место из определения кумулятивной Y. Третье равенство выполняется потому, что части функции, для которой u (X) ≤ y, также верно, что X ≤ v (Y). И последнее выполняется для определения вероятности в непрерывной случайной величине X. Теперь нужно взять производную от FY (y), кумулятивной функции распределения Y, чтобы получить плотность вероятности Y.

Обобщение для функции уменьшения

Пусть X - непрерывная случайная величина с общим f (x), определенная над c1

Для решения этого вопроса можно собирать количественные данные и использовать эмпирическую кумулятивную функцию распределения. Обладая этой информацией и апеллируя ею, нужно комбинировать образцы средств, стандартные отклонения, медиаданные и так далее.

Аналогично даже довольно простая вероятностная модель может иметь огромное количество результатов. Например, если перевернуть монету 332 раза. Тогда число получаемых результатов от переворотов больше, чем у google (10100) - число, но не менее 100 квинтиллионов раз выше элементарных частиц в известной вселенной. Не интересен анализ, который дает ответ на каждый возможный результат. Потребуется более простая концепция, такая ​​как количество головок или самый длинный ход хвостов. Чтобы сосредоточить внимание на вопросах, представляющих интерес, принимается определенный результат. Определение в данном случае следующее: случайная величина является вещественной функцией с вероятностным пространством.

Диапазон S случайной величины иногда называют пространством состояний. Таким образом, если X - рассматриваемое значение, то так N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc и так далее. Последнее из них, округляя X до ближайшего целого числа, называют функцией пола.

Функции распределения

Как только определена интересующая функция распределения случайной величины х, вопрос обычно становится следующим: «Каковы шансы, что X попадает в какое-то подмножество значений B?». Например, B = {нечетные числа}, B = {больше 1} или B = {между 2 и 7}, чтобы указать эти результаты, которые имеют X, значение случайной величины, в подмножестве А. Таким образом, в приведенном выше примере можно описать события следующим образом.

{X - нечетное число}, {X больше 1} = {X> 1}, {X находится между 2 и 7} = {2

Случайные переменные и функции распределения

Таким образом, можно вычислить вероятность того, что функция распределения случайной величины x примет значения в интервале путем вычитания. Необходимо подумать о включении или исключении конечных точек.

Будем называть случайную переменную дискретной, если она имеет конечное или счетное бесконечное пространство состояний. Таким образом, X - число головок на трех независимых флипсах смещенной монеты, которая поднимается с вероятностью p. Нужно найти кумулятивную функцию распределения дискретной случайной величины FX для X. Пусть X - количество пиков в коллекции из трех карт. То Y = X3 через FX. FX начинается с 0, заканчивается на 1 и не уменьшается с увеличением значений x. Кумулятивная FX функция распределения дискретной случайной величины X является постоянной, за исключением прыжков. При скачке FX является непрерывной. Доказать утверждение о правильной непрерывности функции распределения из свойства вероятности можно с помощью определения. Звучит оно так: постоянная случайная величина имеет кумулятивную FX, которая дифференцируема.

Чтобы показать, как это может произойти, можно привести пример: мишень с единичным радиусом. Предположительно. дротик равномерно распределяется на указанную область. Для некоторого λ> 0. Таким образом, функции распределения непрерывных случайных величин плавно увеличиваются. FX обладает свойствами функции распределения.

Человек ждет автобуса на остановке, пока тот не прибудет. Решив для себя, что откажется, когда ожидание достигнет 20 минут. Здесь необходимо найти кумулятивную функцию распределения для T. Время, когда человек еще будет находиться на автовокзале или не уйдет. Несмотря на то, что кумулятивная функция распределения определена для каждой случайной величины. Все равно достаточно часто будут использоваться другие характеристики: масса для дискретной переменной и функция плотности распределения случайной величины. Обычно выводится значение через одно из этих двух значений.

Массовые функции

Эти значения рассматриваются следующими свойствами, которые имеют общий (массовый характер). Первое основано на том, что вероятности не отрицательны. Второе следует из наблюдения, что набор для всех x=2S, пространство состояний для X, образует разбиение вероятностной свободы X. Пример: броски необъективной монеты, результаты которой независимы. Можно продолжать выполнять определенные действия, пока не получится бросок голов. Пусть X обозначает случайную величину, которая дает количество хвостов перед первой головой. А p обозначает вероятность в любом заданном действии.

Итак, массовая функция вероятности имеет следующие характерные признаки. Поскольку члены образуют численную последовательность, X называется геометрической случайной величиной. Геометрическая схема c, cr, cr2,. , crn имеет сумму. И, следовательно, sn имеет предел при n 1. В этом случае бесконечная сумма является пределом.

Функция массы выше образует геометрическую последовательность с отношением. Следовательно, натуральных чисел a и b. Разность значений в функции распределения равна значению массовой функции.

Рассматриваемые значения плотности имеют определение: X - случайная величина, распределение FX которой имеет производную. FX, удовлетворяющая Z xFX (x) = fX (t) dt-1, называется функцией плотности вероятности. А X называется непрерывной случайной величиной. В основной теореме исчисления функция плотности является производной распределения. Можно вычислить вероятности путем вычисления определенных интегралов.

Поскольку собираются данные по нескольким наблюдениям, то должно рассматриваться более одной случайной величины за раз, чтобы моделировать экспериментальные процедуры. Следовательно, множество этих значений и их совместное распределение для двух переменных X1 и X2 означает просмотр событий. Для дискретных случайных величин определяются совместные вероятностные массовые функции. Для непрерывных рассматриваются fX1, X2, где совместная плотность вероятности удовлетворяется.

Независимые случайные переменные

Две случайные величины X1 и X2 независимы, если любые два связанных с ними события такие же. В словах вероятность того, что два события {X1 2 B1} и {X2 2 B2} происходят одновременно, y равно произведению переменных указанных выше, что каждая из них происходит индивидуально. Для независимых дискретных случайных величин имеется совместная вероятностная массовая функция, которая является произведением предельного объема ионов. Для непрерывных случайных величин являющихся независимыми, совместная функция плотности вероятности - произведение значений предельной плотности. В заключение рассматриваются n независимые наблюдения x1, x2,. , xn, возникающие из неизвестной плотности или массовой функции f. Например, неизвестный параметр в функциях для экспоненциальной случайной величины, описывающей время ожидания автобуса.

Имитация случайных переменных

Основная цель этой теоретической области - предоставить инструменты, необходимые для разработки умозаключительных процедур, основанных на обоснованных принципах статистической науки. Таким образом, одним из очень важных вариантов применения программного обеспечения является способность генерировать псевдоданные для имитации фактический информации. Это дает возможность тестировать и совершенствовать методы анализа перед необходимостью использования их в реальных базах. Это требуется для того, чтобы исследовали свойства данных посредством моделирования. Для многих часто используемых семейств случайных величин R предоставляет команды для их создания. Для других обстоятельств понадобятся методы моделирования последовательности независимых случайных величин, которые имеют общее распределение.

Дискретные случайные переменные и образец Command. Команда sample используется для создания простых и стратифицированных случайных выборок. В результате, если вводится последовательность x, sample (x, 40) выбирает 40 записей из x таким образом, что все варианты размера 40 имеют одинаковую вероятность. Это использует команду R по умолчанию для выборки без замены. Можно использовать также для моделирования дискретных случайных величин. Для этого нужно предоставить пространство состояний в векторе x и массовой функции f. Вызов для replace = TRUE указывает, что сэмплирование происходит с заменой. Затем, чтобы дать образец из n независимых случайных величин, имеющих общую массовую функцию f, используется образец (x, n, replace = TRUE, prob = f).

Определено, что 1 является наименьшим представленным значением, а 4 является наибольшим из всех. Если команда prob = f опущена, то образец будет выбирать равномерно из значений в векторе x. Проверить симуляцию против массовой функции, которая генерировала данные, можно обратив внимание на знак двойного равенства, ==. И пересчитав наблюдения, которые принимают каждое возможное значение для x. Можно сделать таблицу. Повторить это для 1000 и сравнить моделирование с соответствующей функцией массы.

Иллюстрирование трансформации вероятности

Сначала смоделировать однородные функции распределения случайных величин u1, u2,. , un на интервале . Около 10 % чисел должно находиться в пределах . Это соответствует 10 % симуляций на интервале для случайной величины с показанной функцией распределения FX. Точно так же около 10 % случайных чисел должно находиться в интервале . Это соответствует 10 % симуляций на интервале случайной величины с функцией распределения FX. Эти значения на x ось может быть получена из взятия обратной от FX. Если X - непрерывная случайная величина с плотностью fX, положительной всюду в своей области, то функция распределения строго возрастает. В этом случае FX имеет обратную функцию FX-1, известную как функция квантиля. FX (x) u только тогда, когда x FX-1 (u). Преобразование вероятности следует из анализа случайной переменной U = FX (X).

FX имеет диапазон от 0 до 1. Он не может принимать значения ниже 0 или выше 1. Для значений u между 0 и 1. Если можно моделировать U, то необходимо имитировать случайную величину с распределением FX через функцию квантиля. Взять производную, чтобы увидеть, что плотность u варьируется в пределах 1. Поскольку случайная величина U имеет постоянную плотность по интервалу своих возможных значений, она называется равномерной на отрезке . Он моделируется в R с помощью команды runif. Идентичность называется вероятностным преобразованием. Видно, как оно работает в примере с дротильной доской. X между 0 и 1, функция распределения u = FX (x) = x2, и, следовательно, функция квантиля x = FX-1 (u). Можно моделировать независимые наблюдения расстояния от центра панели дротика, и создавая при этом равномерные случайные величины U1, U2,. , Un. Функция распределения и эмпирическая основаны на 100 симуляциях распределения дартс-доски. Для экспоненциальной случайной величины, предположительно u = FX (x) = 1 - exp (- x), и, следовательно, x = - 1 ln (1 - u). Иногда логика состоит из эквивалентных утверждений. В этом случае нужно объединить две части аргумента. Тождество с пересечением аналогично для всех 2 {S i i} S, вместо некоторого значения. Объединение Ci равно пространству состояний S и каждая пара взаимно исключена. Поскольку Bi - разбита на три аксиомы. Каждая проверка основана на соответствующей вероятности P. Для любого подмножества. Используя тождество, чтобы убедиться, что ответ не зависит от того, включены ли конечные точки интервала.

Экспоненциальная функция и ее переменные

Для каждого результата во всех событиях в конечном счете используется второе свойство непрерывности вероятностей, которое считается аксиоматическим. Закон распределения функции случайной величины здесь показывает, что каждой свое решение и ответ.