Зная вектор напряженности электростатического поля в каждой его точке, можно представить это поле наглядно с помощью силовых линий напряженности (линий вектора E →). Силовые линии напряженности проводят так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора напряженности E → (рис. 4, а).
Число линий, пронизывающих единичную площадку dS, перпендикулярную к ним, проводят пропорционально модулю вектора E → (рис. 4, б). Силовым линиям приписывают направление, совпадающее с направлением вектора E → . Полученная картина распределения линий напряженности позволяет судить о конфигурации данного электрического поля в разных его точках. Силовые линии начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных зарядах. На рис. 5 приведены линии напряженности точечных зарядов (рис. 5, а, б); системы двух разноименных зарядов (рис. 5, а б Рис. 4 Рис. 5 в) − пример неоднородного электростатического поля и двух параллельных разноименно заряженных плоскостей (рис. 5, г) − пример однородного электрического поля.
Теорема Остроградского–Гаусса и её применение.
Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток вектора напряженности электрического поля. Пусть в пространстве, где создано электрическое поле, расположена некоторая достаточно малая площадка , в пределах которой напряженность , т. е. электростатическое поле однородно. Произведение модуля вектора на площадь и на косинус угла между вектором и нормалью к площадке называется элементарным потоком вектора напряженности через площадку (рис. 10.7):
где - проекция поля на направление нормали .
Рассмотрим теперь некоторую произвольную замкнутую поверхность . В случае замкнутой поверхности всегда выбирается внешняя нормаль к поверхности, т. е. нормаль, направленная наружу области.
Если разбить эту поверхность на малые площадки, определить элементарные потоки поля через эти площадки, а затем их просуммировать, то в результате мы получим поток вектора напряженности через замкнутую поверхность (рис. 10.8):
. (10.9)
![]() |
Рис. 10.7 |
![]() |
Теорема Остроградского-Гаусса утверждает: поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность прямо пропорционален алгебраической сумме свободных зарядов, расположенных внутри этой поверхности:
, (10.10)
где - алгебраическая сумма свободных зарядов, находящихся внутри поверхности , - объемная плотность свободных зарядов, занимающих объем .
Из теоремы Остроградского-Гаусса (10.10), (10.12) следует, что поток не зависит от формы замкнутой поверхности (сфера, цилиндр, куб и т.п.), а определяется только суммарным зарядом внутри этой поверхности.
Используя теорему Остроградского-Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией.
Пример использования теоремы Остроградского-Гаусса . Рассмотрим задачу о вычислении поля тонкостенного пологооднородно заряженного длинного цилиндра радиуса (тонкой бесконечной заряженной нити). Эта задача имеет осевую симметрию. Из соображений симметрии электрическое поле должно быть направлено по радиусу. Выберем замкнутую поверхность в виде цилиндра произвольного радиуса и длины , закрытого с обоих торцов (рис. 10.9)
Изображение электростатического поля с помощью векторов напряженности в различных точках поля является очень неудобным, так как картина получается весьма запутанной. Фарадей предложил более простой и наглядный метод изображения электростатического поля с помощьюлиний напряженностей или силовых линий . Силовыми линиями называются кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности поля (рис.1.2). Направление силовой линии совпадает с направлением . Силовые линии начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных. Силовые линии не пересекаются, так как в каждой точке поля векторимеет лишь одно направление. Электростатическое поле считается однородным, если напряженность во всех его точках одинакова по величине и направлению. Силовыми линиями такого поля являются прямые, параллельные вектору напряженности.
Силовые линии поля точечных зарядов - радиальные прямые, выходящие из заряда и уходящие в бесконечность, если он положителен (рис.1.3а). Если заряд отрицателен, направление силовых линий оказывается обратным: они начинаются в бесконечности и оканчиваются на заряде -q (рис.1.3б). Поле точечных зарядов обладает центральной симметрией.
Рис.1.3. Линии напряженности точечных зарядов: а - положительного, б - отрицательного.
На рис.1.3 изображены плоские сечения электростатических полей системы двух одинаковых по величине зарядов: а) заряды, одинаковые по знаку, б) заряды, разные по знаку.1. 5. Принцип суперпозиции электростатических полей.
Основной задачей электростатики является определение величины и направления вектора напряженности в каждой точке поля, создаваемого либо системой неподвижных точечных зарядов, либо заряженными поверхностями произвольной формы. Рассмотрим первый случай, когда поле создано системой зарядовq 1 , q 2 ,..., q n . Если в какую-либо точку этого поля поместить пробный заряд q 0 , то на него со стороны зарядов q 1 , q 2 ,..., q n будут действовать кулоновские силы . Согласно принципу независимости действия сил, рассмотренного в механике, равнодействующая силаравна их векторной сумме
.
Используя
формулу напряженности электростатического
поля, левую часть равенства можно
записать:
,
где- напряженность результирующего поля,
создаваемого всей системой зарядов в
точке, где расположен пробный зарядq 0 .
Правую часть равенства соответственно
можно записать,
где- напряженность поля, создаваемая
одним зарядомq i .
Равенство примет вид
.
Сокращая наq 0 ,
получим
.
Напряженность электростатического поля системы точечных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из этих зарядов в отдельности. В этом заключается принцип независимости действия электростатических полей или принцип суперпозиции (наложения) полей .
Обозначим
через
радиус-вектор, проведенный из точечного
зарядаq i
в исследуемую точку поля. Напряженность
поля в ней от заряда q i
равна
.
Тогда результирующая напряженность,
создаваемая всей системой зарядов равна
.
Полученная формула применима и для
расчета электростатических полей
заряженных тел произвольной формы
так как любое тело можно разделить на
очень малые части, каждую из которых
можно считать точечным зарядомq i .
Тогда расчет
в любой точке пространства будет
аналогичен выше приведенному.
Графическое изображение поля с помощью векторов напряженности в различных точках поля очень неудобно. Вектора напряженности накладываются друг на друга, и получается очень запутанная картина. Более нагляден метод изображения электрических полей с помощью силовых линий, предложенный Фарадеем.
Линии напряженности (силовые линии) – это линии, проведенные в поле так, что касательные к ним в каждой точке совпадает по направлению с вектором напряженности поля в данной точке (Рис.8).
Линии напряженности не пересекаются, т.к. в каждой точке поля вектор напряженности имеет только одно направление. На Рис.9 изображены электростатические поля точечных зарядов и диполя и бесконечно большой плоскости.
Пусть заряд q перемещается вдоль равномерно заряженной бесконечной плоскости из точки 1 в точку 2. Силовые линии электростатического поля и вектор напряженности этого поля направлены перпендикулярно плоскости (Рис.9). Рассчитаем работу электрических сил при перемещении заряда.
, т.к.
Но эту же работу можно было бы определить и по уравнению . И поскольку она равна нулю, то потенциалы поля в точках 1 и 2 равны. Следовательно, поверхности равного потенциала, т.е. эквипотенциальные и поверхности, расположены вдоль плоскости и нормальны к линиям напряженности. Это справедливо и для поля точечного заряда, поля шара, заряженного либо по поверхности, либо по объему и др. полей.
Таким образом, линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям, т.е. поверхностям равного потенциала.
На Рис.9 видно, что поля точечных зарядов обладают центральной симметрией. Линии напряженности – прямые линии, они выходят из заряда, если он положительный и входящие в заряд, если он отрицательный. Следовательно, положительный заряд можно считать началом линий напряженности, а отрицательный – местом их окончания. Касательные к силовым линиям совпадают с самими линиями и направлены в каждой точке поля в том же направлении, что и напряженность.
В случае диполя эти линии искривлены. Стоит отметить, что во всех этих случаях электростатические поля неоднородны – в каждой точке поля напряженность отличается как по величине, так и по направлению. Очевидно, что линиями однородного поля являются прямые параллельные вектору напряженности.
Число проводимых в пространстве силовых линий ничем не ограничено. Линии напряженности, характеризуя направление напряженности, не характеризуют величину напряженности. Однако можно ввести условие, которое связывает величину напряженности с числом проводимых силовых линий. Там, где напряженность больше, линии проводят гуще, а там, где она меньше – менее густо. Принято, что число линий, проходящих через единицу поверхности, которая расположена перпендикулярно к силовым линиям, равно численному значению напряженности.
Общее число линий напряженности, пронизывающих некоторую поверхность, назовем потоком напряженности через эту поверхность.
Получим уравнение для расчета потока напряженности – N E . Сначала определим поток напряженности через элементарную площадку, расположенную под некоторым углом к вектору напряженности (Рис.10).
Силовые линии напряженности электрического поля - линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором Е По их направлению можно судить, где расположены положительные (+) и отрицательные (–) заряды, создающие электрическое поле. Густота линий (количество линий, пронизывающих единичную площадку поверхности, перпендикулярную к ним) численно равно модулю вектора Е.
Силовые линии напряженности электрического поля Силовые линии напряженности электрического поля не замкнуты, имеют начало и конец. Можно говорить, что электрическое поле имеет «источники» и «стоки» силовых линий. Силовые линии начинаются на положительных (+) зарядах (Рис. а), заканчиваются на отрицательных (–) зарядах (Рис. б). Силовые линии не пересекаются.
Поток вектора напряженности электрического поля Произвольная площадка dS. Поток вектора напряженности электрического поля через площадку dS: - псевдовектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направление вектора n к площадке dS. Е = constdФ Е = N - числу линий вектора напряженности электрического поля Е, пронизывающих площадку dS.
Поток вектора напряженности электрического поля Если поверхность не плоская, а поле неоднородное, то выделяют малый элемент dS, который считать плоским, а поле – однородным. Поток вектора напряженности электрического поля: Знак потока совпадает со знаком заряда.
Закон (теорема) Гаусса в интегральной форме. Телесный угол – часть пространства, ограниченная конической поверхностью. Мера телесного угла – отношение площади S сферы, вырезаемой на поверхности сферы конической поверхностью к квадрату радиуса R сферы. 1 стерадиан – телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, по длине равной радиусу этой сферы.
Теорема Гаусса в интегральной форме Электрическое поле создается точечным зарядом +q в вакууме. Поток d Ф Е, создаваемого этим зарядом, через бесконечно малую площадку dS, радиус вектор которой r. dS n – проекция площадки dS на плоскость перпендикулярную в ектору r. n – единичный вектор положительной нормали к площадке dS.
Если произвольная поверхность окружает k– зарядов, то согласно принципу суперпозиции: Теорема Гаусса: для электрического поля в вакууме поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленных на ε 0.
Методика применения теоремы Гаусса для расчета электрических полей – второй способ определения напряженности электрического поля Е Теорема Гаусса применяется для нахождения полей, созданных телами, обладающими геометрической симметрией. Тогда векторное уравнение сводится к скалярному.
Методика применения теоремы Гаусса для расчета электрических полей – второй способ определения напряженности электрического поля Е 1) Находится поток Ф Е вектора Е по определению потока. 2) Находится поток Ф Е по теореме Гаусса. 3) Из условия равенства потоков находится вектор Е.
Примеры применения теоремы Гаусса 1. Поле бесконечной однородно заряженной нити (цилиндра) с линейной плотностью τ (τ = dq/dl, Кл/м). Поле симметричное, направлено перпендикулярно нити и из соображений симметрии на одинаковом расстоянии от оси симметрии цилиндра (нити) имеет одинаковое значение.
2.Поле равномерно заряженной сферы радиуса R. Поле симметричное, линии напряженности Е электрического поля направлены в радиальном направлении, и на одинаковом расстоянии от точки О поле имеет одно и то же значение. Вектор единичной нормали n к сфере радиуса r совпадает с вектором напряженности Е. Охватим заряженную (+q) сферу вспомогательной сферической поверхностью радиуса r.
2.Поле равномерно заряженной сферы При поле сферы находится как поле точечного заряда. При r
(σ = dq/dS, Кл/м 2). Поле симметричное, вектор Е перпендикулярен плоскости с поверхностной плотностью заряда +σ и на одинаковом расстоянии от плоскости имеет одинаковое значение. 3. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда + σ В качестве замкнутой поверхности возьмем цилиндр, основания которого параллельны плоскости, и который делится заряженной плоскостью на две равные половины.
Теорема Ирншоу Система неподвижных электрических зарядов не может находиться в устойчивом равновесии. Заряд + q будет находиться в равновесии, если при его перемещении на расстояние dr со стороны всех остальных зарядов системы, расположенных вне поверхности S, будет действовать сила F, возвращающая его в исходное положение. Имеется система зарядов q 1, q 2, … q n. Один из зарядов q системы охватим замкнутой поверхностью S. n – единичный вектор нормали к поверхности S.
Теорема Ирншоу Сила F обусловлена полем Е, созданным всеми остальными зарядами. Поле всех внешних зарядов Е должно быть направлено противоположно направлению вектора перемещения dr, то есть от поверхности S к центру. Согласно теореме Гаусса, если заряды не охватываются замкнутой поверхностью, то Ф Е = 0. Противоречие доказывает теорему Ирншоу.
0 вытекает больше, чем втекает. Ф 0 вытекает больше, чем втекает. Ф 33 Закон Гаусса в дифференциальной форме Дивергенция вектора – число силовых линий, приходящихся на единицу объема, или плотность потока силовых линий. Пример: из объема вытекает и втекает вода. Ф > 0 вытекает больше, чем втекает. Ф 0 вытекает больше, чем втекает. Ф 0 вытекает больше, чем втекает. Ф 0 вытекает больше, чем втекает. Ф 0 вытекает больше, чем втекает. Ф title="Закон Гаусса в дифференциальной форме Дивергенция вектора – число силовых линий, приходящихся на единицу объема, или плотность потока силовых линий. Пример: из объема вытекает и втекает вода. Ф > 0 вытекает больше, чем втекает. Ф
а б
![](https://i1.wp.com/studfiles.net/html/2706/811/html_uQnIdQwstC.1x5c/img-SB0Io9.png)
![](https://i2.wp.com/studfiles.net/html/2706/811/html_uQnIdQwstC.1x5c/img-XeLtV_.png)
Число
линий, пронизывающих единичную площадку
dS,
перпендикулярную к ним, проводят
пропорционально модулю вектора
(рис. 1.4,б
).
Силовым
линиям приписывают направление,
совпадающее с направлением вектора
.
Полученная картина распределения линий
напряженности позволяет судить о
конфигурации данного электрического
поля в разных его точках. Силовые линии
начинаются на положительных зарядах и
оканчиваются на отрицательных зарядах.
На
рис. 1.5 приведены линии напряженности
точечных зарядов (рис. 1.5, а
,
б
);
системы двух разноименных зарядов (рис.
1.5, в
)
пример неоднородного электростатического
поля и двух параллельных разноименно
заряженных плоскостей (рис. 1.5, г
)
пример однородного электрического
поля.
1.5. Распределение зарядов
В некоторых случаях для упрощения математических расчетов истинное распределение точечных дискретных зарядов удобно заменить фиктивным непрерывным распределением. При переходе к непрерывному распределению зарядов используют понятие о плотности зарядов линейной , поверхностной и объемной , т. е.
(1.12)
где dq
заряд, распределенный соответственно
по элементу длины
,
элементу поверхностиdS
и элементу объема dV.
С учетом этих распределений формула (1.11) может быть записана в другой форме. Например, если заряд распределен по объему, то вместо q i нужно использовать dq = dV, а символ суммы заменить интегралом, тогда
.
(1.13)
1.6. Электрический диполь
Для объяснения явлений, связанных с зарядами в физике используется понятие электрического диполя .
Систему двух равных по величине разноименных точечных зарядов, расстояние между которыми много меньше расстояния до исследуемых точек пространства, называют электрическим диполем. Согласно определению диполя +q=q= q.
![](https://i0.wp.com/studfiles.net/html/2706/811/html_uQnIdQwstC.1x5c/img-cAaofR.png)
![](https://i0.wp.com/studfiles.net/html/2706/811/html_uQnIdQwstC.1x5c/img-sfxARa.png)
![](https://i2.wp.com/studfiles.net/html/2706/811/html_uQnIdQwstC.1x5c/img-87ix6X.png)
По абсолютной величине
р
= q.
(1.15)
В СИ электрический дипольный момент измеряется в кулонах умноженных на метр (Кл м).
Рассчитаем потенциал
и напряженность электрического поля
диполя, считая его точечным, если
r.
Потенциал
электрического поля, созданного системой
точечных зарядов в произвольной точке,
характеризуемой радиусвектором
,
запишем в виде:
где r 1 r 2
r 2 ,
r 1
r 2
r
=,
так как
r;
угол между радиус-векторами
и
(рис. 1.6).
С учетом этого получим
.
(1.16)
Используя формулу,
связывающую градиент потенциала с
напряженностью, найдем напряженность,
создаваемую электрическим полем диполя.
Разложим вектор
электрического
поля
диполя на две взаимно перпендикулярные
составляющие, т. е.
(рис. 1. 6).
Первая их них
определяется движением точки,
характеризуемой радиусвектором
(при фиксированном значении угла),
т. е. значение Е
найдем дифференцированием (1.81) по r,
т. е.
.
(1.17)
Вторая составляющая
определяется движением точки, связанным
с изменением угла
(при фиксированном r),
т. е. Е
найдем дифференцированием (1.16) по :
,
(1.18)
где
,d
=
rd.
Результирующая
напряженность Е 2
= Е 2
+ Е 2
или после подстановки
.
(1.19)
Замечание
:
При
= 90 о
,
(1.20)
т. е. напряженность в точке на прямой проходящей через центр диполя (т. О) и перпендикулярно оси диполя.
При
= 0 о
,
(1.21)
т. е. в точке на продолжении прямой, совпадающей с осью диполя.
Анализ формул (1.19), (1.20), (1.21) показывает, что напряженность электрического поля диполя убывает с расстоянием обратно пропорционально r 3 , т. е. быстрее, чем для точечного заряда (обратно пропорционально r 2).
Старший аркан таро Башня: значение прямой и перевернутой карты
Снятие отворота с себя и своих близких Как снять отворот от денег
Соборование — Таинство, врачующее душу и тело
Патриарх Никон. Краткая биография. Патриарх Московский и всея Руси. Никон Церковь никон
Что такое сводная отчетность?