Цель: рассмотреть графики и свойства функций у = tg х, у = ctg х.
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).
Вариант I
2. Постройте график функции:
Вариант 2
1. Как построить график функции:
2. Постройте график функции:
III. Изучение нового материала
Рассмотрим две оставшиеся тригонометрические функции - тангенс и котангенс.
1. Функция у = tg x
Остановимся на графиках функций тангенса и котангенса. Сначала обсудим построение графика функции у = tg х на промежутке Такое построение аналогично построению графика функции у = sin х, описанному ранее. При этом значение функции тангенса в точке находится с помощью линии тангенсов (см. рисунок).
Учитывая периодичность функции тангенса, получаем ее график на всей области определения параллельными переносами вдоль оси абсцисс (вправо и влево) уже построенного графика на π, 2π и т. д. График функции тангенса называют тангенсоидой.
Приведем основные свойства функции у = tg х:
1. Область определения - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида
y (x
3. Функция возрастает на промежутках вида где к ∈ Z .
4. Функция не ограничена.
6. Функция непрерывная.
8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = π, т. е. у(х + п k ) = у(х).
9. График функции имеет вертикальные асимптоты
Пример 1
Установим четность или нечетность функции:
Легко проверить, что для функций а, б область определения - симметричное множество. Исследуем эти функции на четность или нечетность. Для этого найдем у(-х) и сравним значения у(х) и y (- x ).
а) Получим: Так как выполнено равенство y (- x ) = у(х), то функция у(х) по определению четная.
б) Имеем:
Так как выполнено равенство y (- x ) = -у(х), то функция у(х) по определению нечетная.
в) Область определения данной функции - несимметричное множество. Например, функция определена в точке х = π/4 и не определена в симметричной точке х = -π/4. Поэтому данная функция определенной четности не имеет.
Пример 2
Найдем основной период функции
Данная функция у(х) представляет собой алгебраическую сумму трех тригонометрических функций, периоды которых равны: T 1 = 2π, Запишем эти числа в виде дробей с одинаковыми знаменателями Наименьшее общее кратное коэффициентов НОК (6; 2; 3). Поэтому основной период данной функции
Пример 3
Построим график функции
Учтем правила преобразования графиков функции. В соответствии с ними график функции получается смещением графика функции у = tg х на π/4 единиц вправо вдоль оси абсцисс и его растяжением в 2 раза вдоль оси ординат.
Пример 4
Построим график функции
Используя определение и свойства модуля, в аргументе функции раскроем знаки модуля, рассмотрев три случая. Если х < 0, то имеем: При 0 ≤ x ≤ π /4 имеем: Для х > π /4 имеем: Далее остается построить три части данного графика. При х < 0 строим прямую у = -1. Для 0 ≤ x ≤ π /4 строим тангенсоиду Этот график получается смещением графика функции у = tg х на π/8 вправо вдоль оси абсцисс и сжатием в два раза вдоль этой оси. При х > π /4 строим прямую у = 1.
2. Функция у = ctg x
Аналогично графику функции у = tg х или с помощью формулы приведения строится график функции у = ctg x .
Перечислим основные свойства функции у = ctg x :
1. Область определения - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида х = п k , к ∈ Z .
2. Функция нечетная (т. е. у(-х) = - y (x )), и ее график симметричен относительно начала координат.
3. Функция убывает на промежутках вида (п k ; п + п k ), к ∈ Z .
4. Функция не ограничена.
5. Функция не имеет наименьшего и наибольшего значений.
6. Функция непрерывная.
7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).
8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = п, т. е. у(х + п k ) = у(x ).
9. График функции имеет вертикальные асимптоты х = п k .
Пример 5
Найдем область определения и область значений функции
Очевидно, что область определения функции y (x ) совпадает с областью определения функции z = ctg х, т. е. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х = nk , k ∈ Z .
Функция y (х) сложная. Поэтому запишем ее в виде Координаты вершины параболы y (z ): zB = 1 и y в = 2 - 4 + 5 = 3. Тогда область значений данной функции Е(у) = .
3. Функция четная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.
Y = tg(x)
График функции y=tg(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k - целое.
3. Функция нечетная.
Y = ctg(x)
График функции y=ctg(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k - целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема:
Свойства функции y=tg x. y x 1 -1 у=tg x Нули функции:tg х = 0 при х = πn, nєZ у>0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ. у
0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ. у
0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ. у
0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ. у 0 при хє (0; π/2) и при сдвиге на πn,nєZ. у
0 при хє и при сдвиге на 8. у 0 при хє и при сдвиге на 8. у 10 Запишите все свойства функции y = tg x. 1. Область определения: 2. Множество значений функции: 3. Периодическая, Т= 4. Нечётная функция 5. Возрастает на всей области определения. 6. Нули функции у = 0 при х = 7. у > 0 при хє и при сдвиге на 8. у 0 при хє и при сдвиге на 8. у 0 при хє и при сдвиге на 8. у 0 при хє и при сдвиге на 8. у 0 при хє и при сдвиге на 8. у title="Запишите все свойства функции y = tg x. 1. Область определения: 2. Множество значений функции: 3. Периодическая, Т= 4. Нечётная функция 5. Возрастает на всей области определения. 6. Нули функции у = 0 при х = 7. у > 0 при хє и при сдвиге на 8. у
У х y = tgx y = tgx + a y = tgx – b
У х y = tgx y = tg(x – a)
У х y = tgx y = ItgxI
Функция y = ctg x 1. Область определения данной функции – все действительные числа, кроме чисел х= πk, k Z. 2. Область значений функции – все действительные числа. 3. Функция убывает на интервалах 4. Функция нечетная, график ее симметричен относительно начала координат. 5. Функция периодическая, ее наименьший положительный период равен π. - 1 у х π0-π-π - у=ctg x
Как выйти замуж за мужчину деву Хочу замуж за мужчину деву
Как выйти замуж за мужчину со знаком зодиака дева Мужчина дева предлагает выйти замуж
Коктейль салаты с курицей
Ооо "аква продукт" Молочная рыба в духовке
Открытый урок по математике «Умножение числа нуль и на нуль