Математическое моделирование. Понятие математической модели

ЛЕКЦИЯ 4

Определение и назначение математического моделирования

Под моделью (от латинского modulus - мера, образец, норма) будем понимать такой материально или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты. Процесс построения и использования модели называется моделированием.

Суть математического моделирования (ММ ) заключается в замене изучаемого объекта (процесса) адекватной математической моделью и последующем исследовании свойств этой модели с помощью либо аналитических методов, либо вычислительных экспериментов.

Иногда полезнее вместо того, чтобы давать строгие определения, описывать то или инее понятие на конкретном примере. Поэтому проиллюстри-руем приведенные выше определения ММ на примере задачи расчета удельного импульса. В начале 60-х годов перед учеными ставилась задача разработки ракетного топлива с наибольшим удельным импульсом. Принцип движения ракеты состоит в следующем: жидкое топливо и окислитель из баков ракеты подаются в двигатель, где происходит их сгорание, а продукты сгорания вылетают в атмосферу. Из закона сохранения импульса следует, что в этом ракета будет двигаться со скоростью.

Удельный импульс топлива – это полученный импульс, деленный на массу топлива. Проведение экспериментов было очень дорогостоящим и приводило к систематической порче оборудования. Оказалось, что легче и дешевле рассчитать термодинамические функции идеальных газов, вычислить с их помощью состав вылетающих газов и температуру плазмы, а затем и удельный импульс. То есть провести ММ процесса горения топлива.

Понятие математического моделирования (ММ) сегодня одно из самых распространенных в научной литературе . Подавляющее большинство современных дипломных и диссертационных работ связано с разработкой и использованием соответствующих математических моделей. Компьютерное ММ сегодня является составной частью многих областей человеческой деятельности (наука, техника, экономика, социология и т. д.). Это одна из причин сегодняшнего дефицита специалистов в области информационных технологий .

Бурный рост математического моделирования обусловлен стремительным совершенствованием вычислительной техники. Если еще 20 лет назад проведением численных расчетов занималось лишь небольшое число программистов, то теперь объем памяти и быстродействие современных компьютеров, позволяющих решать задачи математического моделирования доступных всем специалистам, включая студентов ВУЗов.

В любой дисциплине вначале дается качественное описание явлений. А затем уже – количественное, сформулированное в виде законов, устанавливающих связи между различными величинами (напряженность поля, интенсивность рассеяния, заряд электрона, …) в форме математических уравнений. Поэтому можно сказать, что в каждой дисциплине столько науки, сколько в ней есть математики, и этот факт позволяет успешно решать многие задачи методами математического моделирования.

Данный курс предназначен для студентов, специализирующихся в области прикладной математики, которые выполняют дипломные работы под руководством ведущих ученых, работающих в различных областях. Поэтому данный курс необходим не только как учебный материал, но и как подготовка к дипломной работе. Для изучения данного курса нам будут необходимы следующие разделы математики:

1. Уравнения математической физики (кантовая механика, газо - и гидродинамика)

2. Линейная алгебра (теория упругости)

3. Скалярные и векторные поля (теория поля)

4. Теория вероятностей (квантовая механика, статистическая физика, физическая кинетика)

5. Специальные функции.

6. Тензорный анализ (теория упругости)

7. Математический анализ

ММ в естествознании, технике, и экономике

Рассмотрим вначале различные разделы естествознания, техники, экономики, в которых используются математические модели.

Естествознание

Физика, устанавливающая основные законы естествознания, давно разделилась на теоретическую и экспериментальную. Выводом уравнений, описывающих физические явления, занимается теоретическая физика. Таким образом, теоретическая физика также может считаться одним из направлений математического моделирования. (Вспомним, что название первой книги по физике – «Математические начала натуральной философии» И. Ньютона можно перевести на современный язык как «Математические модели естествознания».) На основании полученных законов проводятся инженерные расчеты, которые проводятся в различных институтах, фирмах, КБ. Эти организации разрабатывают технологии изготовления современной продукции, которые являются наукоемкими.Таким образом, понятие наукоемкие технологии включает в себя расчеты с помощью соответствующих математических моделей.

Один из наиболее обширных разделов физики – классическая механика (иногда этот раздел называется теоретической или аналитической механикой). Данный раздел теоретической физики изучает движение и взаимодействие тел. Расчеты с помощью формул теоретической механики необходимы при изучении вращения тел (расчет моментов инерции, гиростатов – устройств сохраняющих в неподвижности оси вращения), анализе движения тела в безвоздушном пространстве, и др. Один из разделов теоретической механики называется теорией устойчивости и лежит в основе многих математических моделей, описывающих движение самолетов, кораблей, ракет. Разделы практической механики – курсы «Теория машин и механизмов», «Детали машин», изучается студентами почти всех технических вузов (включая МГИУ).

Теория упругости – часть раздела механики сплошных сред , предполагающая, что материал упругого тела однороден и непрерывно распределен по всему объему тела, так что самый малый элемент, вырезанный из тела, обладает теми же физическими свойствами, что и все тело. Приложение теории упругости – курс «сопротивление материалов», изучается студентами всех технических вузов (включая МГИУ). Данный раздел необходим для всех расчетов прочности. Здесь и расчет прочности корпусов кораблей, самолетов, ракет, расчет прочности стальных и железобетонных конструкций зданий и многое другое.

Газо- и гидродинамика , как и теория упругости – часть раздела механики сплошных сред , рассматривает законы движения жидкости и газа. Уравнения газо - и гидродинамики необходимы при анализе движения тел в жидкой и газообразной среде (спутники, подводные лодки, ракеты, снаряды, автомобили), при расчетах истечения газа из сопел двигателей ракет, самолетов. Практическое приложение гидродинамики – гидравлика (тормоз, руль,…)

Предыдущие разделы механики рассматривали движении тел в макромире, и физические законы макромира неприменимы в микромире, в котором движутся частицы вещества - протоны, нейтроны, электроны. Здесь действуют совершенно другие принципы, и для описания микромира необходима квантовая механика . Основное уравнение, описывающее поведение микрочастиц - уравнение Шредингера: . Здесь - оператор Гамильтона (гамильтониан). Для одномерного уравнения движения частицы https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-потенциальная энергия. Решение этого уравнения – набор собственных значений энергии и собственных функций..gif" width="55" height="24 src=">– плотность вероятности. Квантовомеханические расчеты нужны для разработки новых материалов (микросхемы), создания лазеров, разработки методов спектрального анализа, и др.

Большое количество задач решает кинетика , описывающая движение и взаимодействие частиц. Здесь и диффузия , теплообмен, теория плазмы – четвертого состояния вещества.

Статистическая физика рассматривает ансамбли частиц, позволяет сказать о параметрах ансамбля, исходя из свойств отдельных частиц. Если ансамбль состоит из молекул газа, то выведенные методами статистической физики свойства ансамбля представляют собой хорошо известные со средней школы уравнения газового состояния: https://pandia.ru/text/78/009/images/image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17">-молекулярный вес газа. К – постоянная Ридберга. Статистическими методами рассчитываются также свойства растворов, кристаллов, электронов в металлах. ММ статистической физики – теоретическая основа термодинамики, которая лежит в основе расчета двигателей, тепловых сетей и станций.

Теория поля описывает методами ММ одну из основных форм материи – поле. При этом основной интерес представляют электромагнитные поля. Уравнения электромагнитного поля (электродинамики) были выведены Максвеллом: , , , . Здесь и https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - плотность заряда, -плотность тока. Уравнения электродинамики лежат в основе расчетов распространения электромагнитных волн, необходимых для описания распространения радиоволн (радио, телевидение, сотовая связь), объяснения работы радиолокационных станций.

Химию можно представить в двух аспектах, выделяя описательную химию – открытие химических факторов и их описание – и теоретическую химию – разработку теорий, позволяющих обобщить установленные факторы и представить их в виде определенной системы (Л. Полинг). Теоретическая химия называется также физической химией и является, в сущности, разделом физики, изучающей вещества и их взаимодействия. Поэтому все, что было сказано относительно физики, в полной мере относится и к химии. Разделами физической химии будут термохимия, изучающая тепловые эффекты реакций, химическая кинетика (скорости реакций), квантовая химия (строение молекул). При этом задачи химии бывают чрезвычайно сложными. Так, например, для решения задач квантовой химии – науки о строении атомов и молекул, используются программы, сравнимые по объему с программами ПВО страны. Например, для того, чтобы описать молекулу UCl4, состоящую из 5 ядер атомов и +17*4) электронов, нужно записать уравнение движения – уравнения в частных производных.

Биология

В биологию математика пришла по настоящему только во второй половине 20 века. Первые попытки математически описать биологические процессы относятся к моделям популяционной динамики. Популяцией называется сообщество особей одного вида, занимающих некоторую область пространства на Земле. Эта область математической биологии, изучающая изменение численности популяции в различных условиях (наличие конкурирующих видов, хищников, болезней и т. п.) и в дальнейшем служила математическим полигоном, на котором "отрабатывались" математические модели в разных областях биологии. В том числе модели эволюции, микробиологии, иммунологии и других областей, связанных с клеточными популяциями.
Самая первая известная модель, сформулированная в биологической постановке, ‑ знаменитый ряд Фибоначчи (каждое последующее число является суммой двух предыдущих), который приводит в своем труде Леонардо из Пизы в 13 веке. Это ряд чисел, описывающий количество пар кроликов, которые рождаются каждый месяц, если кролики начинают размножаться со второго месяца и каждый месяц дают потомство в виде пары кроликов. Ряд представляет последовательность чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

1,

2 ,

3,

5,

8, 13, …

Другим примером является изучение процессов ионного трансмембранного переноса на искусственной бислойной мембране. Здесь для того, чтобы изучить законы образования поры, через которую ион проходит сквозь мембрану внутрь клетки, необходимо создать модельную систему, которую можно изучать экспериментально, и для которой можно использовать хорошо разработанное наукой физическое описание.

Классическим примером ММ также является популяция дрозофилы. Еще более удобной моделью являются вирусы , которые можно размножать в пробирке. Методами моделирования в биологии служат методы динамической теории систем, а средствами - дифференциальные и разностные уравнения, методы качественной теории дифференциальных уравнений, имитационное моделирование.
Цели моделирования в биологии:
3. Выяснение механизмов взаимодействия элементов системы
4. Идентификация и верификация параметров модели по экспериментальным данным.
5. Оценка устойчивости системы (модели).

6. Прогноз поведения системы при различных внешних воздействиях, различных способах управления и проч.
7. Оптимальное управление системой в соответствии с выбранным критерием оптимальности .

Техника

Совершенствованием техники занимается большое количество специалистов, которые в своей работе опираются на результаты научных исследований. Поэтому ММ в технике те же самые, что и ММ естествознания, о которых говорилось выше.

Экономика и социальные процессы

Принято считать, что математическое моделирование как метод анализа макроэкономических процессов было впервые применено лейб-медиком короля Людовика XV доктором Франсуа Кенэ , который в 1758 г. опубликовал работу «Экономическая таблица». В этой работе была сделана первая попытка количественно описать национальную экономику. А в 1838 г. в книге О. Курно «Исследование математических принципов теории богатства» количественные методы были впервые использованы для анализа конкуренции на рынке товара при различных рыночных ситуациях.

Широко известна также теория Мальтуса о народонаселении, в которой он предложил идею: рост населения далеко не всегда желателен, и рост этот идет быстрее, чем растут возможности обеспечения населения продовольствием. Математическая модель такого процесса достаточно проста: Пусть - прирост численности населения за время https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> численность была равна . и - коэффициенты, учитывающие рождаемость и смертность (чел/год). Тогда

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Инструментальные и математические методы " href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel="bookmark">математические методы анализа (например, в последние десятилетия в гуманитарных науках появились математические теории развития культуры, построены и исследованы математические модели мобилизации, циклического развития социокультурных процессов, модель взаимодействия народа и правительства, модель гонки вооружений и др.).

В самых общих чертах процесс ММ социально-экономических процессов условно можно подразделить на четыре этапа:

формулировка системы гипотез и разработка концептуальной модели; разработка математической модели; анализ результатов модельных расчетов, который включает сравнение их с практикой; формулировка новых гипотез и уточнение модели в случае несоответствия результатов расчетов и практических данных.

Отметим, что, как правило, процесс математического моделирования носит циклический характер, поскольку даже при исследовании сравнительно простых процессов редко удается с первого шага построить адекватную математическую модель и подобрать точные ее параметры.

В настоящее время экономика рассматривается как сложная развивающаяся система, для количественного описания которой применяются динамические математические модели различной степени сложности. Одно из направлений исследования макроэкономической динамики связано с построением и анализом относительно простых нелинейных имитационных моделей, отражающих взаимодействие различных подсистем – рынка труда, рынка товаров, финансовой системы , природной среды и др.

Успешно развивается теория катастроф. Эта теория рассматривает вопрос об условиях, при которых изменение параметров нелинейной системы вызывает перемещение точки в фазовом пространстве, характеризующей состояние системы, из области притяжения к начальному положению равновесия в область притяжения к другому положению равновесия. Последнее очень важно не только для анализа технических систем, но и для понимания устойчивости социально-экономических процессов. В этой связи представляют интерес выводы о значении исследования нелинейных моделей для управления. В книге «Теория катастроф», опубликованной в 1990 г., он, в частности, пишет: «…нынешняя перестройка во многом объясняется тем, что начали действовать хотя бы некоторые механизмы обратной связи (боязнь личного уничтожения)».

(параметры модели)

При построении моделей реальных объектов и явлений часто приходится сталкиваться с недостатком информации. Для исследуемого объекта распределение свойств, параметры воздействия и начальное состояние известны с той или иной степенью неопределенности. При построении модели возможны следующие варианты описания неопределенных параметров:

Классификация математических моделей

(методы реализации)

Методы реализации ММ можно классифицировать в соответствии с таблицей, приведенной ниже.

Методы реализации ММ Очень часто аналитическое решение для модели представляется в виде функций. Для получения значений этих функций при конкретных значениях входных параметров используют их разложение в ряды (например, Тейлора), и значение функции при каждом значении аргумента определяется приближенно. Модели, использующие такой прием, называются приближенными . При численном подходе совокупность математических соотношений модели заменяется конечномерным аналогом. Это чаще всего достигается дискретизацией исходных соотношений, т. е. переходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента (сеточные методы). Найденное после расчетов на компьютере решение принимается за приближен-ное решение исходной задачи. Большинство существующих систем является очень сложными, и для них невозможно создать реальную модель, описанную аналитически. Такие системы следует изучать с помощью имитационного моделирования . Один из основных приемов имитационного моделирования связан с применением датчика случайных чисел. Так как огромное количество задач решается методами ММ, то способы реализации ММ изучаются не в одном учебном курсе. Здесь и уравнения в частных производных, численные методы решения этих уравнений, вычислительная математика, компьютерное моделирование и т. п. ПОЛИНГ, ЛАЙНУС КАРЛ (Pauling, Linus Carl) (), американский химик и физик, удостоенный в 1954 Нобелевской премии по химии за исследования природы химической связи и определение структуры белков. Родился 28 февраля 1901 в Портленде (шт. Орегон). В разработал квантовомеханический метод изучения строения молекул (наряду с американским физиком Дж. Слейером) - метод валентных связей, а также теорию резонанса, позволяющую объяснить строение углеродосодержащих соединений, прежде всего соединений ароматического ряда. В период культа личности СССР ученые, занимавшиеся квантовой химией подвергались гонениям и обвинялись в «полингизме». МАЛЬТУС, ТОМАС РОБЕРТ (Malthus, Thomas Robert) (), английский экономист. Родился в Рукери близ Доркинга в Суррее 15 или 17 февраля 1766. В 1798 анонимно опубликовал труд Опыт о законе народонаселения. В 1819 Мальтус был избран членом Королевского общества.

По учебнику Советова и Яковлева : «модель (лат. modulus - мера) - это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.» (с. 6) «Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием.» (с. 6) «Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.»

Наконец, наиболее лаконичное определение математической модели: "Уравнение , выражающее идею . "

Классификация моделей

Формальная классификация моделей

Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий. Например, один из популярных наборов дихотомий :

и так далее. Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминированной или стохастической, … Естественно, что возможны и смешанные типы: в одном отношении сосредоточенные (по части параметров), в другом - распределённые модели и т. д.

Классификация по способу представления объекта

Наряду с формальной классификацией, модели различаются по способу представления объекта:

• Структурные или функциональные модели

Структурные модели представляют объект как систему со своим устройством и механизмом функционирования. Функциональные модели не используют таких представлений и отражают только внешне воспринимаемое поведение (функционирование) объекта. В их предельном выражении они называются также моделями «чёрного ящика» Возможны также комбинированные типы моделей, которые иногда называют моделями «серого ящика».

Содержательные и формальные модели

Практически все авторы, описывающие процесс математического моделирования, указывают, что сначала строится особая идеальная конструкция, содержательная модель . Устоявшейся терминологии здесь нет, и другие авторы называют этот идеальный объект концептуальная модель , умозрительная модель или предмодель . При этом финальная математическая конструкция называется формальной моделью или просто математической моделью, полученной в результате формализации данной содержательной модели (предмодели). Построение содержательной модели может производиться с помощью набора готовых идеализаций, как в механике, где идеальные пружины, твёрдые тела, идеальные маятники, упругие среды и т. п. дают готовые структурные элементы для содержательного моделирования. Однако в областях знания, где не существует полностью завершенных формализованных теорий (передний край физики , биология , экономика , социология , психология , и большинство других областей), создание содержательных моделей резко усложняется.

Содержательная классификация моделей

Никакая гипотеза в науке не бывает доказана раз и навсегда. Очень чётко это сформулировал Ричард Фейнман :

«У нас всегда есть возможность опровергнуть теорию, но, обратите внимание, мы никогда не можем доказать, что она правильна. Предположим, что вы выдвинули удачную гипотезу, рассчитали, к чему это ведет, и выяснили, что все ее следствия подтверждаются экспериментально. Значит ли это, что ваша теория правильна? Нет, просто-напросто это значит, что вам не удалось ее опровергнуть.»

Если модель первого типа построена, то это означает что она временно признаётся за истину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой в исследованиях, но только вре́менной паузой: статус модели первого типа может быть только вре́менным.

Тип 2: Феноменологическая модель (ведем себя так, как если бы …)

Феноменологическая модель содержит механизм для описания явления. Однако этот механизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтверждён имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус вре́менных решений. Считается, что ответ всё ещё неизвестен и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Ко второму типу Пайерлс относит, например, модели теплорода и кварковую модель элементарных частиц.

Роль модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, что новые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут повышены до статуса гипотезы. Аналогично, новое знание может постепенно прийти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа и те могут быть переведены во второй. Так, кварковая модель постепенно переходит в разряд гипотез; атомизм в физике возник как временное решение, но с ходом истории перешёл в первый тип. А вот модели эфира , проделали путь от типа 1 к типу 2, а сейчас находятся вне науки.

Идея упрощения очень популярна при построении моделей. Но упрощение бывает разным. Пайерлс выделяет три типа упрощений в моделировании.

Тип 3: Приближение (что-то считаем очень большим или очень малым )

Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае - использование приближений (моделей типа 3). Среди них модели линейного отклика . Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример - закон Ома .

А вот и тип 8, широко распространенный в математических моделях биологических систем.

Тип 8: Демонстрация возможности (главное - показать внутреннюю непротиворечивость возможности )

Это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что предполагаемое явление согласуется с базовыми принципам и внутренне непротиворечиво. В этом основное отличие от моделей типа 7, которые вскрывают скрытые противоречия.

Один из самых знаменитых таких экспериментов - геометрия Лобачевского (Лобачевский называл её «воображаемой геометрией»). Другой пример - массовое производство формально - кинетических моделей химических и биологических колебаний, автоволн и др. Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена был задуман как модель 7 типа, для демонстрации противоречивости квантовой механики. Совершенно незапланированным образом он со временем превратился в модель 8 типа - демонстрацию возможности квантовой телепортации информации.

Пример

Рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины, закрепленной с одного конца, и груза массой m , прикрепленного к свободному концу пружины. Будем считать, что груз может двигаться только в направлении оси пружины (например, движение происходит вдоль стержня). Построим математическую модель этой системы. Будем описывать состояние системы расстоянием x от центра груза до его положения равновесия. Опишем взаимодействие пружины и груза с помощью закона Гука (F = − k x ) после чего воспользуемся вторым законом Ньютона , чтобы выразить его в форме дифференциального уравнения :

где означает вторую производную от x по времени: .

Полученное уравнение описывает математическую модель рассмотренной физической системы. Эта модель называется «гармоническим осциллятором ».

По формальной классификация эта модель линейная, детерминисткая, динамическая, сосредоточенная, непрерывная. В процессе её построения мы сделали множество допущений (об отсутствии внешних сил, отсутствии трения, малости отклонений и т.~д.), которые в реальности могут не выполняться.

По отношению к реальности это, чаще всего, модель типа 4 упрощение («опустим для ясности некоторые детали»), поскольку опущены некоторые существенные универсальные особенности (например, диссипация). В некотором приближении (скажем, пока отклонение груза от равновесия невелико, при малом трении, в течение не слишком большого времени и при соблюдении некоторых других условий), такая модель достаточно хорошо описывает реальную механическую систему, поскольку отброшенные факторы оказывают пренебрежимо малое влияние на её поведение. Однако модель можно уточнить, приняв во внимание какие-то из этих факторов. Это приведет к новой модели, с более широкой (хотя и снова ограниченной) областью применимости.

Впрочем, при уточнении модели сложность её математического исследования может существенно возрасти и сделать модель фактически бесполезной. Зачастую более простая модель позволяет лучше и глубже исследовать реальную систему, чем более сложная (и, формально, «более правильная»).

Если применять модель гармонического осциллятора к объектам, далёким от физики, её содержательный статус может быть другим. Например, при приложении этой модели к биологическим популяциям, её следует отнести, скорее всего, к типу 6 аналогия («учтём только некоторые особенности»).

Жёсткие и мягкие модели

Гармонический осциллятор - пример так называемой «жёсткой» модели. Она получена в результате сильной идеализации реальной физической системы. Для решения вопроса о её применимости необходимо понять, насколько существенными являются факторы, которыми мы пренебрегли. Иными словами, нужно исследовать «мягкую» модель, получающуюся малым возмущением «жёсткой». Она может задаваться, например, следующим уравнением:

Здесь - некоторая функция, в которой может учитываться сила трения или зависимость коэффициента жёсткости пружины от степени её растяжения, - некоторый малый параметр. Явный вид функции f нас в данный момент не интересует. Если мы докажем, что поведение мягкой модели принципиально не отличается от поведения жёсткой (вне зависимости от явного вида возмущающих факторов, если они достаточно малы), задача сведется к исследованию жёсткой модели. В противном случае применение результатов, полученных при изучении жёсткой модели, потребует дополнительных исследований. Например, решением уравнения гармонического осциллятора являются функции вида , то есть колебания с постоянной амплитудой. Следует ли из этого, что реальный осциллятор будет бесконечно долго колебаться с постоянной амплитудой? Нет, поскольку рассматривая систему со сколь угодно малым трением (всегда присутствующим в реальной системе), мы получим затухающие колебания . Поведение системы качественно изменилось.

Если система сохраняет свое качественное поведение при малом возмущении, говорят, что она структурно устойчива. Гармонический осциллятор - пример структурно-неустойчивой (негрубой) системы. Тем не менее, эту модель можно применять для изучения процессов на ограниченных промежутках времени.

Универсальность моделей

Важнейшие математические модели обычно обладают важным свойством универсальности : принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью. Скажем, гармонический осциллятор описывает не только поведение груза на пружине, но и другие колебательные процессы, зачастую имеющие совершенно иную природу: малые колебания маятника, колебания уровня жидкости в U -образном сосуде или изменение силы тока в колебательном контуре. Таким образом, изучая одну математическую модель, мы изучаем сразу целый класс описываемых ею явлений. Именно этот изоморфизм законов, выражаемых математическими моделями в различных сегментах научного знания, подвиг Людвига фон Берталанфи на создание «Общей теории систем ».

Прямая и обратная задачи математического моделирования

Существует множество задач, связанных с математическим моделированием. Во-первых, надо придумать основную схему моделируемого объекта, воспроизвести его в рамках идеализаций данной науки. Так, вагон поезда превращается в систему пластин и более сложных тел из разных материалов, каждый материал задается как его стандартная механическая идеализация (плотность, модули упругости, стандартные прочностные характеристики), после чего составляются уравнения, по дороге какие-то детали отбрасываются, как несущественные, производятся расчёты, сравниваются с измерениями, модель уточняется, и так далее. Однако для разработки технологий математического моделирования полезно разобрать этот процесс на основные составные элементы.

Традиционно выделяют два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные.

Прямая задача : структура модели и все её параметры считаются известными, главная задача - провести исследование модели для извлечения полезного знания об объекте. Какую статическую нагрузку выдержит мост? Как он будет реагировать на динамическую нагрузку (например, на марш роты солдат, или на прохождение поезда ни различной скорости), как самолёт преодолеет звуковой барьер, не развалится ли он от флаттера , - вот типичные примеры прямой задачи. Постановка правильной прямой задачи (задание правильного вопроса) требует специального мастерства. Если не заданы правильные вопросы, то мост может обрушиться, даже если была построена хорошая модель для его поведения. Так, в 1879 г. в Англии обрушился металлический мост через реку Тей , конструкторы которого построили модель моста, рассчитали его на 20-кратный запас прочности на действие полезной нагрузки, но забыли о постоянно дующих в тех местах ветрах. И через полтора года он рухнул.

В простейшем случае (одно уравнение осциллятора, например) прямая задача очень проста и сводится к явному решению этого уравнения.

Обратная задача : известно множество возможных моделей, надо выбрать конкретную модель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего, структура модели известна, и необходимо определить некоторые неизвестные параметры. Дополнительная информация может состоять в дополнительных эмпирических данных, или в требованиях к объекту (задача проектирования ). Дополнительные данные могут поступать независимо от процесса решения обратной задачи (пассивное наблюдение ) или быть результатом специально планируемого в ходе решения экперимента (активное наблюдение ).

Одним из первых примеров виртуозного решения обратной задачи с максимально полным использованием доступных данных был построенный И. Ньютоном метод восстановления сил трения по наблюдаемым затухающим колебаниям.

Дополнительные примеры

где x s - «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к равновесному значению x s , причем такое поведение структурно устойчиво.

Эта система имеет равновесное состояние , когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к колебаниям численности кроликов и лис, аналогичным колебаниям гармонического осциллятора . Как и в случае гармонического осциллятора, это поведение не является структурно устойчивым : малое изменение модели (например, учитывающее ограниченность ресурсов, необходимых кроликам) может привести к качественному изменению поведения . Например, равновесное состояние может стать устойчивым, и колебания численности будут затухать . Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведет к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Вольтерра - Лотки ответа не дает: здесь требуются дополнительные исследования.

Примечания

1. «A mathematical representation of reality»(Encyclopaedia Britanica)
2. Новик И. Б. , О философских вопросах кибернетического моделирования. М., Знание, 1964.
3. Советов Б. Я., Яковлев С. А. , Моделирование систем: Учеб. для вузов - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
4. Самарский А. А. , Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. . - 2-е изд., испр.. - М.: Физматлит, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Мышкис А. Д. , Элементы теории математических моделей. - 3-е изд., испр. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wiktionary: mathematical model
7. CliffsNotes
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
9. «Теория считается линейной или нелинейной в зависимости от того, какой - линейный или нелинейный - математический аппарат, какие - линейные или нелинейные - математические модели она использует. … ез отрицание последней. Современный физик, доведись ему заново создавать определение столь важной сущности, как нелинейность, скорее всего, поступил бы иначе, и, отдав предпочтение нелинейности как более важной и распространенной из двух противоположностей, определил бы линейность как „не нелинейность“.» Данилов Ю. А. , Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. Серия «Синергетика: от прошлого к будущему». Изд.2. - M.: URSS, 2006. - 208 с. ISBN 5-484-00183-8
10. «Динамические системы, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений, называют сосредоточенными или точечными системами. Они описываются с помощью конечномерного фазового пространства и характеризуются конечным числом степеней свободы. Одна и та же система в различных условиях может рассматриваться либо как сосредоточенная, либо как распределенная. Математические модели распределенных систем - это дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения или обыкновенные уравнения с запаздывающим аргументом. Число степеней свободы распределенной системы бесконечно, и требуется бесконечное число данных для определения ее состояния.» Анищенко В. С. , Динамические системы, Соросовский образовательный журнал, 1997, № 11, с. 77-84.
11. «В зависимости от характера изучаемых процессов в системе S все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные. Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, то есть процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события. … Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени. Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно непрерывное моделирование позволяет отразить непрерывные процессы в системах, а дискретно-непрерывное моделирование используется для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.» Советов Б. Я., Яковлев С. А. , Моделирование систем: Учеб. для вузов - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
12. Обычно в математической модели отражается структура (устройство) моделируемого объекта, существенные для целей исследования свойства и взаимосвязи компонентов этого объекта; такая модель называется структурной. Если же модель отражает только то, как объект функционирует - например, как он реагирует на внешние воздействия,- то она называется функциональной или, образно, черным ящиком. Возможны и модели комбинированного типа. Мышкис А. Д. , Элементы теории математических моделей. - 3-е изд., испр. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
13. «Очевидный, но важнейший начальный этап построения или выбора математической модели - это получение по возможности более четкого представления о моделируемом объекте и уточнение его содержательной модели, основанное на неформальных обсуждениях. Нельзя жалеть времени и усилий на этот этап, от него в значительной мере зависит успех всего исследования. Не раз бывало, что значительный труд, затраченный на решение математической задачи, оказывался малоэффективным или даже потраченным впустую из-за недостаточного внимания к этой стороне дела.» Мышкис А. Д. , Элементы теории математических моделей. - 3-е изд., испр. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4, с. 35.
14. «Описание концептуальной модели системы. На этом подэтапе построения модели системы: а) описывается концептуальная модель М в абстрактных терминах и понятиях; б) дается описание модели с использованием типовых математических схем; в) принимаются окончательно гипотезы и предположения; г) обосновывается выбор процедуры аппроксимации реальных процессов при построении модели.» Советов Б. Я., Яковлев С. А. , Моделирование систем: Учеб. для вузов - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2, с. 93.

ЭВМ прочно вошла в нашу жизнь, и практически нет такой области человеческой деятельности, где не применялась бы ЭВМ. ЭВМ сейчас широко используется в процессе создания и исследования новых машин, новых технологических процессов и поиске их оптимальных вариантов; при решении экономических задач, при решении задач планирования и управления производством на различных уровнях. Создание же крупных объектов в ракетотехнике, авиастроении, судостроении, а также проектирование плотин, мостов, и др. вообще невозможно без применения ЭВМ.

Для использования ЭВМ при решении прикладных задач, прежде всего прикладная задача должна быть "переведена" на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы должна быть построена его математическая модель.

Слово "Модель" происходит от латинского modus (копия, образ, очертание). Моделирование - это замещение некоторого объекта А другим объектом Б. Замещаемый объект А называется оригиналом или объектом моделирования, а замещающий Б - моделью. Другими словами, модель - это объект-заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Целью моделирования являются получение, обработка, представление и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой; а модель здесь выступает как средство познания свойств и закономерности поведения объекта.

Математическое моделирование - это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью, более удобной для экспериментального исследования с помощью ЭВМ.

Математическое моделирование - процесс построения и изучения математических моделей реальных процессов и явлений. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его моделью и затем изучают последнюю. Как и в случае любого моделирования, математическая модель не описывает полностью изучаемое явление, и вопросы о применимости полученных таким образом результатов являются весьма содержательными. Математическая модель - это упрощенное описание реальности с помощью математических понятий.

Математическая модель выражает существенные черты объекта или процесса языком уравнений и других математических средств. Собственно говоря, сама математика обязана своим существованием тому, что она пытается отразить, т.е. промоделировать, на своем специфическом языке закономерности окружающего мира.

При математическом моделировании исследование объекта осуществляется посредством модели, сформулированной на языке математики с использованием тех или иных математических методов.

Путь математического моделирования в наше время гораздо более всеобъемлющ, нежели моделирования натурного. Огромный толчок развитию математического моделирования дало появление ЭВМ, хотя сам метод зародился одновременно с математикой тысячи лет назад.

Математическое моделирование как таковое отнюдь не всегда требует компьютерной поддержки. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для аналитического исследования модели. Аналитические решения (т.е. представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Возможности аналитических методов решения сложных математических задач, однако, очень ограниченны и, как правило, эти методы гораздо сложнее численных.

Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала. Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи

Все модели можно разделить на два класса:

1. вещественные,
2. идеальные.

В свою очередь вещественные модели можно разделить на:

1. натурные,
2. физические,
3. математические.

Идеальные модели можно разделить на:

1. наглядные,
2. знаковые,
3. математические.

Вещественные натурные модели - это реальные объекты, процессы и системы, над которыми выполняются эксперименты научные, технические и производственные.

Вещественные физические модели - это макеты, муляжи, воспроизводящие физические свойства оригиналов (кинематические, динамические, гидравлические, тепловые, электрические, световые модели).

Вещественные математические - это аналоговые, структурные, геометрические, графические, цифровые и кибернетические модели.

Идеальные наглядные модели - это схемы, карты, чертежи, графики, графы, аналоги, структурные и геометрические модели.

Идеальные знаковые модели - это символы, алфавит, языки программирования, упорядоченная запись, топологическая запись, сетевое представление.

Идеальные математические модели - это аналитические, функциональные, имитационные, комбинированные модели.

В приведенной классификации некоторые модели имеют двойное толкование (например - аналоговые). Все модели, кроме натурных, можно объединить в один класс мысленных моделей, т.к. они являются продуктом абстрактного мышления человека.

Элементы теории игры

В общем случае решение игры представляет довольно трудную задачу, причем сложность задачи и объем необходимых для решения вычислений резко возрастает с увеличением . Однако это трудности не носят принципиального характера и связаны только сочень большим объемом расчетов, который в ряде случаев может оказаться практически невыполнимым. Принципиальная сторона метода отыскания решения остается при любом одной и той же.

Проиллюстрируем это на примере игры . Дадим ей геометрическую интерпретацию - уже пространственную. Три наши стратегии , изобразим тремя точками на плоскости ; первая лежит в начале координат (рис.1). вторая и третья - на осях Ох и Оу на расстояниях 1 от начала.

Через точки проводятся оси I-I, II-II и III-III, перпендикулярные к плоскости . На оси I-I откладываются выигрыши при стратегии на осях II-II и III-III - выигрыши при стратегиях . Каждая стратегия противника изобразится плоскостью, отсекающей на осях I-I, II-II и III-III, отрезки, равные выигрышам

при соответствующих стратегия и стратегия . Построив, таким образом, все стратегии противника, мы по­лучим семейство плоскостей над треугольником (рис2) .

Для этого семейства также можно построить нижнюю границу выигрыша, как мы это делали в случае, и найти на этой границе точку N с максимальной высотой нал плоскостью . Эта высота и будет ценой игры .

Частоты стратегий в оптимальной стра­тегии будут определяться координатами (x, у) точки N, а именно:

Однако такое геометрическое построение даже для случая нелегко осуществимо и требует большой затраты времени и усилий воображения. В общем же случае игры оно переносится в - мерное пространство и теряет всякую наглядность, хотя употребление геометрической терминологии в ряде случаев может оказаться полезным. При решении игр на практике удобнее пользоваться не геометрическими аналогиями, а расчетными аналитическими методами, тем более, что для решения задачи на вычислительных машинах эти методы единственно пригодны.

Все эти методы по существу сводятся к решению задачи путем последовательных проб, но упорядочение последо­вательности проб позволяет построить алгоритм, приводящий к решению наиболее экономичным способом.

Здесь мы вкратце остановимся на одном расчетном методе решения игр - на так называемом методе «линейного программирования».

Для этого дадим сначала общую постановку задачи о нахождении решения игры . Пусть дана игра с т стратегиями игрока А и n стра­тегиями игрока В и задана платежная ма­трица

Требуется найти решение игры, т. е. две оптимальные смешанные стратегии игроков А и В

где (некоторые из чисел и могут быть равными нулю).

Наша оптимальная стратегия S* A должна обеспечивать нам выигрыш, не меньший , при любом поведении про­тивника, и выигрыш, равный , при его оптимальном пове­дении (стратегия S* B ).Аналогично стратегия S* B должна обе­спечивать противнику проигрыш, не больший , при любом нашем поведении и равный при нашем оптимальном пове­дении (стратегия S* A ).

Величина цены игры в данном случае нам неизвестна; будем считать, что она равна некоторому положительному числу. Полагая так, мы не нарушаем общности рассуждений; для того чтобы было > 0, очевидно, достаточно, чтобы все элементы матрицы были неотрицательными. Этого всегда можно добиться, прибавляя к элементам доста­точно большую положительную величину L;при этом цена игры увеличится на L, а решение не изменится.

Пусть мы выбрали свою оптимальную стратегию S* A . Тогда наш средний выигрыш при стратегии противника будет равен:

Наша оптимальная стратегия S* A обладает тем свойством, что при любом поведении противника обеспечивает выигрыш не меньший, чем ; следовательно, любое из чисел не может быть меньше . Получаем ряд условий:

(1)

Разделим неравенства (1) на положительную величину и обозначим:

Тогда условие (1) запишется виде

(2)

где - неотрицательные числа. Так как величины удовле­творяют условию

Мы хотим сделать свой гарантированный выигрыш максимально возможным; очевидно, при этом правая часть равенства (3) принимает минимальное значение.

Таким образом, задача нахождения решения игры сво­дится к следующей математической задаче: определить не­отрицательные величины , удовлетворяющие условиям (2), так, чтобы их сумма

была минимальной.

Обычно при решении задач, связанных с нахождением экстремальных значений (максимумов и минимумов), функцию дифференцируют и приравнивают производные нулю. Но такой прием в данном случае бесполезен, так как функ­ция Ф, которую нужно обратить в минимум, линейна, и ее производные по всем аргументам равны единице, т. е. нигде не обращаются в нуль. Следовательно, максимум функции достигается где-то на границе области изменения аргумен­тов, которая определяется требованием неотрицательности аргументов и условиями (2). Прием нахождения экстре­мальных значений при помощи дифференцирования непри­годен и в тех случаях, когда для решения игры опреде­ляется максимум нижней (или минимум верхней) границы выигрыша, как мы. например, делали при решении игр .Действительно, нижняя граница составлена из участков прямых линий, и максимум достигается не в точке, где производная равна нулю (такой точки вообще нет), а на границе интер­вала или в точке пересечения прямолинейных участков.

Для решения подобных задач, довольно часто встречаю­щихся на практике, в математике разработан специальный аппарат линейного программирования.

Задача линейного программирования ставится следующим образом.

Дана система линейных уравнений:

(4)

Требуется найти неотрицательные значения величин удовлетворяющие условиям (4) и вместе с тем обращающие в минимум заданную однородную линейную функцию величин (линейную форму):

Легко убедиться, что поставленная выше задача теории игр является частным случаем задачи линейного программирование при

С первого взгляда может показаться, что условия (2) не эквивалентны условиям (4), так как вместо знаков равенства они содержат знаки неравенства. Однако от знаков неравенства легко избавиться, вводя новые фиктивные неотрицательные переменные и записывая условия (2) в виде:

(5)

Форма Ф, которую нужно обратить в минимум, равна

Аппарат линейного программирования позволяет путем сравнительно небольшого числа последовательных проб подобрать величины , удовлетворяющие поставленным требованиям. Для большей ясности мы здесь продемонстрируем применение этого аппарата прямо на материале решения конкретных игр.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Целью курса моделирование подъемно-транспортных систем является обучение основам моделирования подъемно-транспортных машин (ПТМ), что включает в себя составление математических моделей ПТМ, программную реализацию моделей на ЭВМ, а также получение, обработку и анализ результатов моделирования.

Для самостоятельного ознакомления с перечисленными вопросами рекомендуется следующая литература: Брауде В. И., Тер-Мхитаров М. С. «Системные методы расчета грузоподъемных машин», Игнатьев Н. Б., Ильевский Б. З., Клауз Л. П. «Моделирование системы машин», Рачков Е. В., Силиков Ю. В. «Подъемно - транспортные машины и механизмы», а также справочники и учебные пособия по численным методам вычислительной математики и использованию математического редактора MathCad.

§1. ОСНОВНЫЕ ЦЕЛИ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИНЦИПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ, ВИДЫ МОДЕЛЕЙ

1.1 Основные определения

Моделирование - это теоретико-экспериментальный метод познавательной деятельности, это метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем (объектов-оригиналов) на основе создания новых объектов - моделей.

Моделирование – это замещение исследуемого объекта (оригинала) его условным образом или другим объектом (моделью) и изучение свойств оригинала путем исследования свойств модели.

В зависимости от способа реализации все модели можно разделить на 4 группы: физические, математические, предметно-математические и комбинированные [, ].

Физическая модель – реальное воплощение тех свойств оригинала, которые интересует исследователя. Физические модели называют еще макетами, поэтому физическое моделирование называется макетированием.

Математическая модель – это формализованное описание системы (или процесса) с помощью некоторого абстрактного языка (математически), например, в виде графов, уравнений, алгоритмов, математических соответствий и пр.

Предметно-математические модели являются аналоговыми, т.е. при этом для моделирования используется принцип одинакового математического описания процессов, реального и протекающего в модели.

Комбинированные модели представляют собой сочетание математической или предметно-математической и физической модели. Они используются тогда, когда математическое описание одного из элементов исследуемой системы неизвестно или затруднительно, а также по условиям моделирования необходимо ввести в качестве элемента физическую модель (например, тренажер).

Математическое моделирование – это замещение оригинала математической моделью и исследование свойств оригинала на данной модели.

Системой называется объединение нескольких объектов (элементов), взаимосвязанных между собой, образующее определенную целостность.

Элемент - это относительно самостоятельная часть системы, рассматриваемая на данном уровне анализа как единое целое, предназначенная для реализацию некоторой функции.

Система обладает следующими, т.н. «системными» свойствами:

структурой, т.е. строго определенным порядком объединения элементов в группы;

целенаправленностью или функциональностью, т.е. наличием цели, для которой создана система;

эффективностью, способностью достигать цели с наименьшими затратами ресурсов;

устойчивостью, способностью сохранять характеристики своих свойств неизменными в определенных пределах при изменении внешних условий.

В настоящее время в технике для исследования работы машинных комплексов и машин используется понятие «человеко-машинной системы» (ЧМС), т.е. смешанной системы, составной частью которой наряду с техническими объектами является человек-оператор [, ]. Кроме того, ЧМС взаимодействует с окружающей средой. Таким образом, для моделирования ПТС необходимо рассматривать систему Человек-Машина-Среда, которая может быть отображена следующим графом (Рис. 1).

Р
ис. 1 Граф системы Человек-Машина-Среда.

Стрелками на графе изображены потоки энергии, вещества и информации, которыми обмениваются элементы системы.

Процессы, протекающие в технических системах, образованы совокупностью простейших операций. Операции – преобразования входных физических величин в выходные в низкоуровневом элементе системы (Рис. 2).

В каждом элементе системы (E i) происходит преобразование входных воздействий (X i) в выходные (Y i), причем выходные воздействия одного элемента могут являться входными следующего. Соединение элементов в структурную схему по характеру передачи воздействий происходит последовательно или параллельно.

Рис. 2 Структурная схема системы.

Подъемно-транспортными системами (ПТС), изучаемыми в рамках данного курса, будем называть системы, включающими в себя человека, окружающую среду и подъемно-транспортные машины (ПТМ).

ПТМ – это машины, предназначенные для перемещения груза на относительно небольшие расстояния без его переработки. ПТМ применяются для облегчения, ускорения, повышения эффективности перегрузочных работ.

1.2 Принципы и виды математического моделирования

Математические модели должны обладать следующими свойствами:

адекватность, свойство соответствия модели и объекта исследований;

достоверность, обеспечение заданной вероятности попадания результатов моделирования в доверительный интервал,

точность, незначительное (в пределах допустимой погрешности) расхождение результатов моделирования с показателями реальных объектов (процессов);

устойчивость, свойство соответствия малых изменений выходных параметров малым изменениям входных;

эффективность, способность достижения цели с малыми затратами ресурсов;

адаптабельность, способность легко перестраиваться для решения различных задач.

Для достижения этих свойств существуют некоторые принципы (правила) математического моделирования , ряд которых приведен ниже.

Принцип целенаправленности заключается в том, что модель должна обеспечивать достижение строго определенных целей и, в первую очередь, отражать те свойства оригинала, которые необходимы для достижения цели.

Принцип информационной достаточности заключается в ограничении количества информации об объекте при создании его модели и поиске оптимума между вводимой информацией и результатами моделирования. Он может быть проиллюстрирован следующей схемой.

Все возможные случаи моделирования располагаются в столбце 2.

Принцип осуществимости состоит в том, что модель должна обеспечивать достижение поставленной цели с вероятностью близкой к 1 и за конечное время. Этот принцип можно выразить двумя условиями

и
, (1)

где
- вероятность достижения цели, - время достижения цели,
и - допустимые значения вероятности и времени достижения цели.

Принцип агрегатирования заключается в том, что модель должна состоять из подсистем 1-го уровня, которые, в свою очередь, состоят из подсистем 2-го уровня и т.д. Подсистемы должны оформляться в виде отдельных самостоятельных блоков. Подобное построение модели позволяет использовать стандартные процедуры расчетов, а также делает более легкой адаптацию модели к решению различных задач.

Принцип параметризации состоит в замене при моделировании определенных параметров подсистем, описанных функциями, соответствующими числовыми характеристиками.

Процесс моделирования с использованием этих правил заключается в выполнении следующих 5 шагов (этапов).

Определение целей моделирования.

Разработка концептуальной модели (расчетной схемы).

Формализация.

Реализация модели.

Анализ и интерпретация результатов моделирования.

Существенные различия в выполнении 3-5 этапов позволяют говорить о двух подходах к построению модели.

Аналитическое моделирование – это использование математической модели в виде дополненных системой ограничений уравнений, связывающих входные переменные с выходными параметрами. Аналитическое моделирование используется, если существует законченная постановка задачи на исследования и необходимо получить один конечный результат, соответствующий ей.

Имитационное моделирование – это использование математической модели для описания функционирования системы во времени при различных сочетаниях параметров системы и различных внешних воздействиях. Имитационное моделирование используется, если конечной постановки задачи не существует и необходимо исследовать протекающие в системе процессы. Имитационное моделирование предполагает соблюдение временного масштаба. Т.е. события на одели происходят через интервалы времени пропорциональные событиям на оригинале с постоянным коэффициентом пропорциональности.

По использованию средств для реализации модели можно выделить еще один вид моделирования, компьютерное моделирование. Компьютерное моделирование – это математическое моделирование с использованием средств вычислительной техники.

1.3 Классификация математических моделей

Все математические модели можно разделить на несколько групп по следующим классификационным признакам.

По виду моделируемой системы модели бывают статические и динамические. Статические модели служат для исследования статических систем, динамические для исследования динамических. Динамические системы характеризуются тем, что обладают множеством состояний, которые изменяют во времени.

По целям моделирования модели подразделяются на нагрузочные, управленческие и функциональные. Нагрузочные модели служат для определения нагрузок, действующих на элементы системы, управленческие – для определения кинематических параметров исследуемой системы, к которым относятся скорости и перемещения элементов системы, функциональные – для определения координат модели в пространстве возможных функциональных состояний системы.

По степени дискретизации модели подразделяются на дискретные, смешанные и континуальные. Дискретные модели содержат элементы, связанные между собой, характеристики которых сосредоточены в точках. Это могут быть массы, объемы, силовые и прочие воздействия, сосредоточенные в точках. Континуальные модели содержат элементы, параметры которых распределены по длине, по площади или по объему всего элемента. Смешанные модели содержат элементы обоих типов.

Модель (от лат. modulus - мера) и моделирование являются общенаучными понятиями. Моделирование с общенаучной точки зрения выступает как способ познания с помощью построения особых объектов, систем – моделей исследуемых объектов, явлений или процессов. При этом тот или иной объект называют моделью тогда, когда он используется для получения информации относительно другого объекта – прототипа модели.

Метод моделирования используется фактически во всех без исключения науках и на всех этапах научного исследования. Эвристическая сила этого метода определяется тем, что с помощью метода моделирования удается свести изучение сложного к простому, невидимого и неощутимого и видимому и ощутимому и т.д.

При исследовании какого-то объекта (процесса или явления) с помощью метода моделирования, в качестве модели можно выбрать те свойства, которые нас в данный момент интересуют. Научное исследование любого объекта всегда относительно. В конкретном исследовании нельзя рассмотреть объект во всем его многообразии. Следовательно, один и тот же объект может иметь много различных моделей и ни про одну из них нельзя сказать, что она единственная, настоящая модель данного объекта.

Принято различать четыре основных свойства моделей:

· упрощенность по сравнению с изучаемым объектом;

· способность отражать или воспроизводить объект исследования;

· возможность замещать объект исследования на определенных этапах его познания;

· возможность получать новую информацию об изучаемом объекте.

Исследование различных явлений или процессов математическими методами осуществляется с помощью математической модели. Математическая модель представляет собой формализованное описание на языке математики исследуемого объекта. Таким формализованным описанием может быть система линейных, нелинейных или дифференциальных уравнений, система неравенств, определенный интеграл, многочлен с неизвестными коэффициентами и т. д. Математическая модель должна охватывать важнейшие характеристики исследуемого объекта и отражать связи между ними.

Прежде чем создать математическую модель объекта (процесса или явления) его длительно изучают различными методами: наблюдением, специально организованными экспериментами, теоретическим анализом и т.д., то есть достаточно хорошо изучают качественную сторону явления, выявляют отношения, в которых находятся элементы объекта. Затем объект упрощается, из всего многообразия присущих ему свойств выделяются наиболее существенные. При необходимости делаются предположения об имеющихся связях с окружающим миром.

Как указывалось ранее, любая модель не тождественна самому явлению, она только дает некоторое приближение к действительности. Но в модели перечислены все предположения, которые положены в ее основу. Эти предположения могут быть грубыми и тем не менее давать вполне удовлетворительное приближение к реальности. Для одного и того же явления может быть построено несколько моделей, в том числе и математических. Например, описать движение планет Солнечной системы можно с помощью:

8 модели Кеплера, которая состоит из трех законов, включая математические формулы (уравнение эллипса);

8 модели Ньютона, которая состоит из одной формулы, но тем не менее она более общая и точная.

В оптике рассматривалось несколько моделей света: корпускулярная, волновая и электромагнитная. Для них были выведены многочисленные закономерности количественного характера. Каждая из этих моделей требовала своего математического подхода и соответствующих математических средств. Корпускулярная оптика пользовалась средствами евклидовой геометрии и пришла к выводу законов отражения и преломления света. Волновая модель теории света потребовала новых математических идей и чисто вычислительным путем были открыты новые факты, относящиеся к явлениям дифракции и интерференции света, которые ранее не наблюдались. Геометрическая оптика, связанная с корпускулярной моделью, здесь оказалась бессильной.

Построенная модель должна быть такой, чтобы она могла замещать в исследованиях объект (процесс или явление), должна иметь с ним сходные черты. Сходство достигается либо за счет подобия структуры (изоморфизм), либо аналогии в поведении или функционировании (изофункциональность). Опираясь на сходство структуры или функции модели и оригинала в современной технике проверяют, рассчитывают и проектируют сложнейшие системы, машины и сооружения.

Как указывалось выше, для одного и того же объекта, процесса или явления может быть построено много различных моделей. Некоторые из них (не обязательно все) могут оказаться изоморфными. Например, в аналитической геометрии кривая на плоскости используется в качестве модели соответствующего уравнения с двумя переменными. В этом случае модель (кривая) и прототип (уравнение) являются изоморфнымти системами (точек, лежащих на кривой, и соответствующих пар чисел, удовлетворяющих уравнению),

В книге «Математика ставит эксперимент» академик Н.Н.Моисеев пишет, что любая математическая модель может возникнуть тремя путями:

· В результате прямого изучения и осмысления объекта (процесса или явления) (феноменологическая) (пример – уравнения, описывающие динамику атмосферы, океана),

· В результате некоторого процесса дедукции, когда новая модель получается как частный случай более общей модели (асимптоматическая) (пример – уравнения гидро-термодинамики атмосферы),

· В результате некоторого процесса индукции, когда новая модель является естественным обобщением «элементарных» моделей (модель ансамблей или обобщенная модель).

Процесс разработки математических моделей состоит из следующих этапов :

· формулирование проблемы;

· определение цели моделирования;

· организация и проведение исследования предметной области (исследование свойств объекта моделирования);

· разработка модели;

· проверка ее точности и соответствия реальности;

· практическое использование, т.е. перенос полученных с помощью модели знаний на исследуемый объект или процесс.

Особое значение моделирование как способ познания законов и явлений природы приобретает в изучении объектов, недоступных в полной мере прямому наблюдению или экспериментированию. К ним относятся и социальные системы, единственно возможным способом изучения которых, зачастую служит моделирование.

Общих способов построения математических моделей не существует. В каждом конкретном случае нужно исходить из имеющихся данных, целевой направленности, учитывать задачи исследования, а также соразмерять точность и подробность модели. Она должна отражать важнейшие черты явления, существенные факторы, от которых в основном зависит успех моделирования.

При разработке моделей необходимо придерживаться следующих основных методологических принципов моделирования социальных явлений:

· принципа проблемности, предполагающего движение не от готовых "универсальных" математических моделей к проблемам, а от реальных, актуальных проблем - к поиску, разработке специальных моделей;

· принципа системности, рассматривающего все взаимосвязи моделируемого явления в терминах элементов системы и ее среды;

· принципа вариативности при формализации процессов управления, связанного со специфическими различиями законов развития природы и общества. Для его объяснения необходимо раскрыть коренное отличие моделей общественных процессов от моделей, описывающих явления природы.