Рассмотрим некоторые частные случаи преломления света. Одним из простейших является прохождение света через призму. Она представляет собой узкий клин из стекла или другого прозрачного материала, находящийся в воздухе.

Показан ход лучей через призму. Она отклоняет лучи света по направлению к основанию. Для наглядности профиль призмы выбран в виде прямоугольного треугольника, а падающий луч параллелен его основанию. При этом преломление луча происходит только на задней, косой грани призмы. Угол w, на который отклоняется падающий луч, называется отклоняющим углом призмы. Он практически не зависит от направления падающего луча: если последний не перпендикулярен грани падения, то отклоняющий угол слагается из углов преломления на обеих гранях.

Отклоняющий угол призмы приблизительно равен произведению величины угла при ее вершине на показатель преломления вещества призмы минус 1:

w = α (n-1).

Проведем перпендикуляр ко второй грани призмы в точке падения на нее луча (штрихпунктирная линия). Он образует с падающим лучом угол β. Этот угол равен углу α при вершине призмы, так как их стороны взаимно перпендикулярны. Так как призма тонкая и все рассматриваемые углы малы, можно считать их синусы приблизительно равными самим углам, выраженным в радианах. Тогда из закона преломления света следует:

В этом выражении n стоит в знаменателе, так как свет идет из более плотной среды в менее плотную.

Поменяем местами числитель и знаменатель, а также заменим угол β на равный ему угол α:

Поскольку показатель преломления стекла, обычно применяемого для очковых линз, близок к 1,5, отклоняющий угол призм примерно вдвое меньше угла при их вершине. Поэтому в очках редко применяются призмы с отклоняющим углом более 5°; они будут слишком толстыми и тяжелыми. В оптометрии отклоняющее действие призм (призматическое действие) чаще измеряют не в градусах, а в призменных диоптриях (Δ) или в сантирадианах (срад). Отклонение лучей призмой силой в 1 прдптр (1 срад) на расстоянии 1 м от призмы составляет 1 см. Это соответствует углу, тангенс которого равен 0,01. Такой угол равен 34".

Поэтому приближенно можно считать, что отклоняющее действие призмы в призменных диоптриях вдвое больше, чем в градусах (1 прдптр = 1 срад = 0,5°).

Это же относится и к самому дефекту зрения, косоглазию, исправляемому призмами. Угол косоглазия можно измерять в градусах и в призменных диоптриях.

Геометрическая оптика

Геометрической оптикой называется раздел оптики, в котором изучаются законы распространения световой энергии в прозрачных средах на основе представления о световом луче.

Световой луч - это не пучок света,а линия указывающая направление распространения света.

Основные законы:

1. Закон о прямолинейном распространении света.

Свет в однородной среде распространяется прямолинейно. Прямолинейностью распространения света объясняется образование тени,то есть место, куда не проникает световая энергия. От источников малых размеров образуется резко очерченная тень,а больших размеров создают тени и полутени, в зависимости от величины источника и расстояния между телом и источником.

2. Закон отражения. Угол падения равен углу отражения.

Падающий луч, отраженный луч и перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости

б-угол падения в-угол отражения г-перпендикуляр опущенный в точку падения

3. Закон преломления.

На границе раздела двух сред свет меняет направление своего распространения. Часть световой энергии возвращается в первую среду,то есть происходит отражение света. Если вторая среда прозрачна,то часть света при определенных условиях может пройти через границу сред также меняя при этом,как правило, направление распространения. Это явление называется преломлением света.

б-угол падения в- угол преломления.

Падающий луч, отраженный луч и перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости. отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для двух данных сред.

Постоянная n называется относительным показателем преломления или показателем преломления второй среды относительно первой.

Ход лучей в треугольной призме

В оптических приборах часто применяется треугольная призма из стекла или других прозрачных материалов.

Ход лучей в сечении треугольной призмы

Луч, проходящий через треугольную стеклянную призму, всегда стремится к её основанию.

Угол цназывается преломляющим углом призмы.Угол отклонения луча и зависит от показания преломления n призмы и угла падения б.В оптических приборах часто применяют оптические призмы в виде равнобедренного прямоугольного треугольника. Их применение основано на том что предельный угол полного отражения для стекла равенб 0 =45 0

Видеоурок 2: Геометрическая оптика: Законы преломления

Лекция: Законы преломления света. Ход лучей в призме

В тот момент, когда луч падает на некоторую другую среду, он не только отражается, но и проходит сквозь нее. Однако, из-за разности плотностей, он меняет свой путь. То есть луч, попадая на границу, изменяет свою траекторию распространения и двигается со смещением на некоторый угол. Преломление будет происходить в том случае, когда луч падает под некоторым углом к перпендикуляру. Если же он совпадает с перпендикуляром, то преломления не происходит и луч проникает в среду под таким же углом.

Воздух-Среда

Самой распространенной ситуацией при переходе света из одной среды в другую является переход из воздуха.

Итак, на рисунке АО - луч, падающий на границу раздела, СО и ОD - перпендикуляры (нормали) к разделам сред, опущенные из точки падения луча. ОВ - луч, который преломился и перешел в другую среду. Угол, находящийся между нормалью и падающим лучом, называется углом падения (АОС) . Угол, что находится между преломленным лучом и нормалью, называется углом преломления (ВОD) .

Чтобы выяснить интенсивность преломления той или иной среды, вводят ФВ, которая носит название показатель преломления. Данная величина является табличной и для основных веществ значение является постоянной величиной, которую можно найти в таблице. Чаще всего в задачах используются показатели преломления воздуха, воды и стекла.

Законы преломления для воздух-среда

1. При рассмотрении падающего и преломленного луча, а также нормали к разделам сред, все перечисленные величины находятся в одной плоскости.

2. Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления является постоянной величиной, равной показателю преломления среды.

Из данного соотношения понятно, что значение показателя преломления больше единицы, это значит, что синус угла падения всегда больше синуса угла преломления. То есть, если луч выходит из воздуха в более плотную среду, то угол уменьшается.

Показатель преломления так же показывает, как изменяется скорость распространения света в той или иной среде, относительно распространения в вакууме:

Отсюда можно получить следующее соотношение:

Когда мы рассматриваем воздух, то можем делать некоторые пренебрежения - будем считать, что показатель преломления данной среды равен единице, тогда и скорость распространения света в воздухе будет равен 3*10 8 м/с.

Обратимость лучей

Данные законы применимы и в тех случаях, когда направление лучей происходит в обратном направлении, то есть из среды в воздух. То есть на траекторию распространения света не влияет направление, в котором происходит перемещение лучей.

Закон преломления для произвольных сред

11.2. Геометрическая оптика

11.2.2. Отражение и преломление световых лучей в зеркале, плоскопараллельной пластинке и призме

Формирование изображения в плоском зеркале и его свойства

Законы отражения, преломления и прямолинейного распространения света используются при построении изображений в зеркалах, рассмотрении хода световых лучей в плоскопараллельной пластинке, призме и линзах.

Ход световых лучей в плоском зеркале показан на рис. 11.10.

Изображение в плоском зеркале формируется за плоскостью зеркала на том же расстоянии от зеркала f , на каком находится предмет перед зеркалом d :

f = d .

Изображение в плоском зеркале является:

• прямым;
• мнимым;
• равным по величине предмету: h = H .

Если плоские зеркала образуют между собой некоторый угол, то они формируют N изображений источника света, помещенного на биссектрису угла между зеркалами (рис. 11.11):

N = 2 π γ − 1 ,

где γ - угол между зеркалами (в радианах).

Примечание. Формула справедлива для таких углов γ, для которых отношение 2π/γ является целым числом.

Например, на рис. 11.11 показан источник света S , лежащий на биссектрисе угла π/3. Согласно приведенной выше формуле формируются пять изображений:

1) изображение S 1 формируется зеркалом 1;

2) изображение S 2 формируется зеркалом 2;

Рис. 11.11

3) изображение S 3 является отражением S 1 в зеркале 2;

4) изображение S 4 является отражением S 2 в зеркале 1;

5) изображение S 5 является отражением S 3 в продолжении зеркала 1 или отражением S 4 в продолжении зеркала 2 (отражения в указанных зеркалах совпадают).

Пример 8. Найти число изображений точечного источника света, полученных в двух плоских зеркалах, образующих друг с другом угол 90°. Источник света находится на биссектрисе указанного угла.

Решение . Выполним рисунок, поясняющий условие задачи:

• источник света S расположен на биссектрисе угла между зеркалами;
• первое (вертикальное) зеркало З1 формирует изображение S 1;
• второе (горизонтальное) зеркало З2 формирует изображение S 2;
• продолжение первого зеркала формирует изображение мнимого источника S 2, а продолжение второго зеркала - мнимого источника S 1; указанные изображения совпадают и дают S 3.

Число изображений источника света, помещенного на биссектрису угла между зеркалами, определяется формулой

N = 2 π γ − 1 ,

где γ - угол между зеркалами (в радианах), γ = π/2.

Число изображений составляет

N = 2 π π / 2 − 1 = 3 .

Ход светового луча в плоскопараллельной пластинке

Ход светового луча в плоскопараллельной пластинке зависит от оптических свойств среды, в которой находится пластинка.

1. Ход светового луча в плоскопараллельной пластинке, находящейся в оптически однородной среде (по обе стороны от пластинки коэффициент преломления среды одинаков), показан на рис. 11.12.

Световой луч, падающий на плоскопараллельную пластинку под некоторым углом i 1 , после прохождения плоскопараллельной пластинки:

• выходит из нее под тем же углом:

i 3 = i 1 ;

• смещается на величину x от первоначального направления (пунктир на рис. 11.12).

2. Ход светового луча в плоскопараллельной пластинке, находящейся на границе двух сред (по обе стороны от пластинки коэффициенты преломления сред различны), показан на рис. 11.13 и 11.14.

Рис. 11.13

Рис. 11.14

Световой луч после прохождения плоскопараллельной пластинки выходит из пластинки под углом, отличающимся от угла падения его на пластинку:

• если показатель преломления среды за пластинкой меньше показателя преломления среды перед пластинкой (n 3 < n 1), то:

i 3 > i 1 ,

т.е. луч выходит под бо́льшим углом (см. рис. 11.13);

• если показатель преломления среды за пластинкой больше показателя преломления среды перед пластинкой (n 3 > n 1), то:

i 3 < i 1 ,

т.е. луч выходит под меньшим углом (см. рис. 11.14).

Смещение луча - длина перпендикуляра между выходящим из пластинки лучом и продолжением луча, падающего на плоскопараллельную пластинку.

Смещение луча при выходе из плоскопараллельной пластинки, находящейся в оптически однородной среде (см. рис. 11.12), рассчитывается по формуле

где d - толщина плоскопараллельной пластинки; i 1 - угол падения луча на плоскопараллельную пластинку; n - относительный показатель преломления материала пластинки (относительно той среды, в которую помещена пластинка), n = n 2 /n 1 ; n 1 - абсолютный показатель преломления среды; n 2 - абсолютный показатель преломления материала пластинки.

Рис. 11.12

Смещение луча при выходе из плоскопараллельной пластинки может быть рассчитано с помощью следующего алгоритма (рис. 11.15):

1) вычисляют x 1 из треугольника ABC , пользуясь законом преломления света:

где n 1 - абсолютный показатель преломления среды, в которую помещена пластинка; n 2 - абсолютный показатель преломления материала пластинки;

2) вычисляют x 2 из треугольника ABD ;

3) рассчитывают их разность:

Δx = x 2 − x 1 ;

4) смещение находят по формуле

x = Δx  cos i 1 .

Время распространения светового луча в плоскопараллельной пластинке (рис. 11.15) определяется формулой

где S - путь, пройденный светом, S = | A C | ; v - скорость распространения светового луча в материале пластинки, v = c /n ; c - скорость света в вакууме, c ≈ 3 ⋅ 10 8 м/с; n - показатель преломления материала пластинки.

Путь, пройденный световым лучом в пластинке, связан с ее толщиной выражением

S = d  cos i 2 ,

где d - толщина пластинки; i 2 - угол преломления светового луча в пластинке.

Пример 9. Угол падения светового луча на плоскопараллельную пластинку равен 60°. Пластинка имеет толщину 5,19 см и изготовлена из материала с показателем преломления 1,73. Найти смещение луча при выходе из плоскопараллельной пластинки, если она находится в воздухе.

Решение . Выполним рисунок, на котором покажем ход светового луча в плоскопараллельной пластинке:

• световой луч падает на плоскопараллельную пластинку под углом i 1 ;
• на границе раздела воздуха и пластинки луч преломляется; угол преломления светового луча равен i 2 ;
• на границе раздела пластинки и воздуха луч преломляется еще раз; угол преломления равен i 1 .

Указанная пластинка находится в воздухе, т.е. по обе стороны от пластинки среда (воздух) имеет одинаковый показатель преломления; следовательно, для расчета смещения луча можно применить формулу

x = d sin i 1 (1 − 1 − sin 2 i 1 n 2 − sin 2 i 1) ,

где d - толщина пластинки, d = 5,19 см; n - показатель преломления материала пластинки относительно воздуха, n = 1,73; i 1 - угол падения света на пластинку, i 1 = 60°.

Вычисления дают результат:

x = 5,19 ⋅ 10 − 2 ⋅ 3 2 (1 − 1 − (3 / 2) 2 (1,73) 2 − (3 / 2) 2) = 3,00 ⋅ 10 − 2 м = 3,00 см.

Cмещение луча света при выходе из плоскопараллельной пластинки равно 3 см.

Ход светового луча в призме

Ход светового луча в призме показан на рис. 11.16.

Грани призмы, через которые проходит луч света, называются преломляющими . Угол между преломляющими гранями призмы называется преломляющим углом призмы.

Световой луч после прохождения через призму отклоняется; угол между лучом, выходящим из призмы, и лучом, падающим на призму, называется углом отклонения луча призмой.

Угол отклонения луча призмой φ (см. рис. 11.16) представляет собой угол между продолжениями лучей I и II - на рисунке обозначены пунктиром и символом (I), а также пунктиром и символом (II).

1. Если световой луч падает на преломляющую грань призмы под произвольным углом , то угол отклонения луча призмой определяется формулой

φ = i 1 + i 2 − θ,

где i 1 - угол падения луча на преломляющую грань призмы (угол между лучом и перпендикуляром к преломляющей грани призмы в точке падения луча); i 2 - угол выхода луча из призмы (угол между лучом и перпендикуляром к грани призмы в точке выхода луча); θ - преломляющий угол призмы.

2. Если световой луч падает на преломляющую грань призмы под малым углом (практически перпендикулярно преломляющей грани призмы), то угол отклонения луча призмой определяется формулой

φ = θ(n − 1),

где θ - преломляющий угол призмы; n - относительный показатель преломления материала призмы (относительно той среды, в которую эта призма помещена), n = n 2 /n 1 ; n 1 - показатель преломления среды, n 2 - показатель преломления материала призмы.

Вследствие явления дисперсии (зависимость показателя преломления от частоты светового излучения) призма разлагает белый свет в спектр (рис. 11.17).

Рис. 11.17

Лучи различного цвета (различной частоты или длины волны) отклоняются призмой по-разному. В случае нормальной дисперсии (показатель преломления материала тем выше, чем больше частота светового излучения) призма наиболее сильно отклоняет фиолетовые лучи; наименее - красные.

Пример 10. Стеклянная призма, изготовленная из материала с коэффициентом преломления 1,2, имеет преломляющий угол 46° и находится в воздухе. Луч света падает из воздуха на преломляющую грань призмы под углом 30°. Найти угол отклонения луча призмой.

Решение . Выполним рисунок, на котором покажем ход светового луча в призме:

• световой луч падает из воздуха под углом i 1 = 30° на первую преломляющую грань призмы и преломляется под углом i 2 ;
• световой луч падает под углом i 3 на вторую преломляющую грань призмы и преломляется под углом i 4 .

Угол отклонения луча призмой определяется формулой

φ = i 1 + i 4 − θ,

где θ - преломляющий угол призмы, θ = 46°.

Для расчета угла отклонения светового луча призмой необходимо вычислить угол выхода луча из призмы.

Воспользуемся законом преломления света для первой преломляющей грани

n 1  sin i 1 = n 2  sin i 2 ,

где n 1 - показатель преломления воздуха, n 1 = 1; n 2 - показатель преломления материала призмы, n 2 = 1,2.

Рассчитаем угол преломления i 2:

i 2 = arcsin (n 1  sin i 1 /n 2) = arcsin(sin 30°/1,2) = arcsin(0,4167);

i 2 ≈ 25°.

Из треугольника ABC

α + β + θ = 180°,

где α = 90° − i 2 ; β = 90° − i 3 ; i 3 - угол падения светового луча на вторую преломляющую грань призмы.

Отсюда следует, что

i 3 = θ − i 2 ≈ 46° − 25° = 21°.

Воспользуемся законом преломления света для второй преломляющей грани

n 2  sin i 3 = n 1  sin i 4 ,

где i 4 - угол выхода луча из призмы.

Рассчитаем угол преломления i 4:

i 4 = arcsin (n 2  sin i 3 /n 1) = arcsin(1,2 ⋅ sin 21°/1,0) = arcsin(0,4301);

i 4 ≈ 26°.

Угол отклонения луча призмой составляет

φ = 30° + 26° − 46° = 10°.

Примененного к случаю падения луча из среды, в которой свет распространяется со скоростью ν 1 в среду, где свет распространяется со скоростью ν 2 >ν 1 следует, что угол преломления больше угла падения:

Но если угол падения удовлетворяет условию:

(5.5)

то угол преломления обращается в 90°, т. е. преломленный луч скользит по границе раздела. Такой угол падения называют предельным (α пр.). При дальнейшем увеличении угла падения проникновение луча в глубь второй среды прекращается и наступает полное отражение (рис. 5.6). Строгое рассмотрение вопроса с волновой точки зрения показывает, что в действительности волна проникает во вторую среду на глубину порядка длины волны.

Полное отражение находит различные практические применения. Так как для системы стекло- воздух предельный угол α пр составляет менее 45°, то призмы, показанные на рисунке 5.7, позволяют изменять ход луча, причем на рабочей границе отражение происходит практически без потерь.

Если ввести свет в тонкую стеклянную трубку с ее торца, то, испытывая на стенках полное отражение, луч будет следовать вдоль трубки даже при сложных изгибах последней. На этом принципе работают световоды - тонкие прозрачные волокна, позволяющие проводить световой пучок по искривленному пути.

На рисунке 5.8 показан отрезок световода. Луч, входящий в световод с торца под углом падения а, встречает поверхность световода под углом γ=90°-β, где β - угол преломления. Чтобы при этом возникло полное отражение, необходимо выполнение условия:

где n - показатель преломления вещества световода. Так как треугольник ABC прямоугольный, то получается:

Следовательно,

Полагая а→90°, находим:

Таким образом, даже при почти скользящем падении луч испытывает в световоде полное отражение, если выполнено условие:

В действительности световод набирается из тонких гибких волокон с показателем преломления n 1 окруженных оболочкой с показателем преломления n 2

Изучая явление преломления, Ньютон выполнил опыт, ставший классическим: узкий пучок белого света, направленный на стеклянную призму, дал ряд цветных изображений сечения пучка - спектр. Затем спектр попадал на вторую такую же призму, повернутую на 180° вокруг горизонтальной оси. Пройдя эту призму, спектр снова собрался в единственное белое изображение сечения светового пучка. Тем самым был доказан сложный состав белого света. Из этого опыта следует, что показатель преломления зависит от длины волны (дисперсия). Рассмотрим работу призмы для монохроматического света, падающего под углом α 1 на одну из преломляющих граней прозрачной призмы (рис. 5.9) с преломляющим углом А.

Из построения видно, что угол отклонения луча δ связан с преломляющим углом призмы сложным соотношением:

Перепишем его в виде

и исследуем на экстремум отклонение луча. Беря производную и приравнивая ее нулю, находим:

Отсюда следует, что экстремальное значение угла отклонения получается прй симметричном ходе луча внутри призмы:

Легко видеть, что при этом получается минимальный угол отклонения, равный:

(5.7)

Уравнение (5.7) применяется для определения показателя преломления по углу минимального отклонения.

Если призма имеет малый преломляющий угол, такой, что можно синусы заменить углами, получается наглядное соотношение:

(5.8)

Опыт показывает, что стеклянные, призмы сильнее преломляют коротковолновую часть спектра (синие лучи), но что нет прямой простой связи между λ, и δ min . Теорию дисперсии мы рассмотрим в главе 8. Пока для нас важно ввести меру дисперсии - разность показателей преломления двух определенных длин волн (одна из них берется в красной, другая - в синей части спектра):

Мера дисперсии для разных сортов стекла различна. На рисунке 5.10 изображен ход показателя преломления для двух распространенных сортов стекла: легкого - крона и тяжелого - флинта. Из чертежа видно, что меры дисперсии отличаются значительно.

Это дает возможность создать весьма удобную призму прямого зрения, где свет разлагается в спектр, почти не меняя направления распространения. Эта призма делается из нескольких (до семи) призм разного стекла с несколько различными преломляющими углами (рис. 5.10, внизу). За счет различной меры дисперсии добиваются хода луча, приблизительно показанного на рисунке.

В заключение отметим, что пропускание света через плоскопараллельную пластину (рис. 5.11) позволяет получить смещение луча параллельно самому себе. Значение смещения

зависит от свойств пластины и от угла, падения на нее первичного луча.

Разумеется, во всех рассмотренных случаях наряду с преломлением существует и отражение света. Но мы его не учитываем, так как преломление в этих вопросах считается основным явлением. Это замечание относится и к преломлению света на искривленных поверхностях различных линз.