Спектральная плотность сигналов. Пара преобразований Фурье

30.09.2019

Математические модели многих сигналов, широко применяемых в радиотехнике, не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости, поэтому метод преобразований Фурье в обычном виде к ним неприменим. Однако, как указывалось, можно говорить о спектральных плотностях таких сигналов, если допустить, что эти плотности описываются обобщенными функциями.

Обобщенная формула Рэлея. Докажем важное вспомогательное положение, касающееся спектральных свойств сигналов.

Пусть два сигнала в общем случае комплекснозначные, определены своими обратными преобразованиями Фурье:

Найдем скалярное произведение этих сигналов, выразив один из них, например через его спектральную плотность:

Здесь внутренний интеграл представляет собой, очевидно, спектральную плотность сигнала . Поэтому

Полученное соотношение представляет собой обобщенную формулу Рэлея. Легко запоминающаяся трактовка этой формулы такова: скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей.

Обобщение понятия спектральной плотности.

Будем считать, что сигнал представляет собой абсолютно интегрируемую функцию. Тогда его преобразование Фурье - обычная классическая функция частоты. Пусть наряду с этим сигнал не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости и в обычном классическом смысле преобразование Фурье не существует. Однако можно расширить понятие спектральной плотности, допустив, что является обобщенной функцией в том смысле, который был установлен в § 1.2. Для этого в соответствии с обобщенной формулой Рэлея достаточно положить, что - функционал, который, действуя на известную функцию , дает следующий результат:

Приемы вычисления спектров неинтегрируемых сигналов целесообразно рассмотреть на конкретных примерах.

Спектральная плотность постоянного во времени сигнала. Простейший неинтегрируемый сигнал - это постоянная величина и . Предположим, что - произвольный вещественный абсолютно интегрируемый сигнал с известной спектральной плотностью

Раскрывая формулу (2.43), имеем

Но, как легко заметить,

Отсюда на основании фильтрующего свойства дельтафункции приходим к выводу, что равенство (2.43) возможно лишь при условии, что

Физический смысл полученного результата нагляден - неизменный во времени сигнал имеет спектральную составляющую только на нулевой частоте.

Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала.

Пусть - комплексный экспоненциальный сигнал с заданной вещественной частотой Этот сигнал не является абсолютно интегрируемым, поскольку при функция s(t) не стремится ни к какому пределу. Преобразование Фурье этого сигнала, рассматриваемое в обобщенном смысле, должно удовлетворять соотношению

Отсюда искомая спектральная плотность S (со), выражается таким образом:

Отметим следующее:

1. Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала равна нулю всюду, кроме точки где она имеет дельта-особенность.

2. Спектр данного сигнала несимметричен относительно точки и сосредоточивается в области либо положительных, либо отрицательных частот.

Спектральная плотность гармонических колебаний. Пусть По формуле Эйлера

Найденный выше спектр комплексного экспоненциального сигнала, а также свойство линейности преобразования Фурье позволяют сразу записать выражение спектральной плотности косинусоидального сигнала:

Читатель может легко проверитьсамостоятельно, что для синусоидального сигнала справедливо соотношение

Следует заметить, что выражение (2.46) представляет собой четную, а выражение (2.47) - нечетную функцию частоты.

Спектральная плотность произвольного периодического сигнала.

Ранее периодические сигналы исследовались методами теории рядов Фурье. Теперь можно расширить представления об их спектральных свойствах, описав периодические сигналы с помощью преобразования Фурье.

Периодический сигнал, заданный своим рядом Фурье в комплексной форме. На основании формулы (2.45), принимая во внимание свойство линейности преобразования Фурье, сразу получаем выражение спектральной плотности такого сигнала:

Соответствующий график спектральной плотности своей конфигурацией повторяет обычную спектральную диаграмму периодического сигнала. График образован дельта-импульсами в частотной области, которые располагаются в точках с координатами

Спектральная плотность функции включения.

Вычислим спектральную плотность функции включения , которую для простоты определим во всех точках, кроме точки t = 0 [ср. с (1.2)]:

Заметим прежде всего, что функция включения получается путем предельного перехода из экспоненциального видеоимпульса:

Поэтому можно попытаться получить спектральную плотность функции включения, выполнив предельный переход при а- О в формуле спектральной плотности экспоненциального колебания:

Непосредственный переход к пределу, согласно которому справедлив при всех частотах, кроме значения , когда необходимо более тщательное рассмотрение.

Прежде всего выделим в спектральной плотности экспоненциального сигнала вещественную и мнимую части:

Можно убедиться в том, что

Действительно, предельное значение этой дроби при любых обращается в нуль, и в то же ремя

независимо от величины а, откуда и следует сделанное утверждение.

Итак, получено взаимно однозначное соответствие функции включения и ее спектральной плотности:

Дельта-особенность при свидетельствует о том, что функция включения имеет постоянную составляющую, равную 1/2.

Спектральная плотность радиоимпульса.

Как известно, радиоимпульс задается в виде произведения некоторого видеоимпульса играющего роль огибающей, и неинтегрируемого гармонического колебания: .

Чтобы найти спектральную плотность радиоимпульса, будем полагать известной функцию - спектр его огибающей. Спектр косинусоидального сигнала с произвольной начальной фазой получается путем элементарного обобщения формулы (2.46):

Спектр радиоимпульса есть свертка

Приняв во внимание фильтрующее свойство дельтафункции, получаем важный результат:

Рис. 2.8 иллюстрирует трансформацию спектра видеоимпульса при умножении его на высокочастотный гармонический сигнал.

Рис. 2.8. Частотные зависимости модуля спектральной плотности: а - видеоимпульса; б - радиоимпульса

Видно, что переход от видеоимпульса к радиоимпульсу при спектральном подходе означает перенос спектра видеоимпульса в область высоких частот - вместо единственного максимума спектральной плотности при наблюдаются два максимума при абсолютные значения максимумов сокращаются вдвое.

Отметим, что графики на рис. 2.8 отвечают ситуации, когда частота значительно превышает эффективную ширину спектра видеоимпульса (именно такой случай обычно и реализуется на практике). При этом не наблюдается ощутимого «перекрытия» спектров, отвечающих положительным и отрицательным частотам. Однако может оказаться, что ширина спектра видеоимпульса велика настолько (при коротком импульсе), что выбранное значение частоты не устраняет эффект «перекрытия». Как следствие, профили спектров видеоимпульса и радиоимпульса перестают быть подобными.

Пример 2.3. Спектральная плотность прямоугольного радиоимпульса.

Для простоты положим начальную фазу нулевой и запишем математическую модель радиоимпульса в виде

Зная спектр соответствующего видеоимпульса [см. формулу (2.20)], на основании (2.50) находим искомый спектр:

На рис. 2.9 изображены результаты расчета спектральной плотности по формуле (2.51) для двух характерных случаев,

В первом случае (рис. 2.9,а) импульс огибающей содержит 10 периодов высокочастотного заполнения частота здесь достаточно высока для того, чтобы избежать «перекрытия». Во втором случае (рис. 2.9, б) радиоимпульс состоит всего лишь из одного периода заполнения Наложение составляющих, которые соответствуют областям положительных и отрицательных частот, приводит к характерной асимметрии лепестковой структуры графика спектральной плотности радиоимпульса.

Рис. 2.9. Графики спектральных плотностей радиоимпульса с прямоугольной огибающей: а - при ; б - при

Пусть сигнал s (t ) задан в виде непериодической функции, причем он существует только на интервале (t 1 ,t 2) (пример - одиночный импульс). Выберем произвольный отрезок времени T , включающий в себя интервал (t 1 ,t 2) (см. рис.1).

Обозначим периодический сигнал, полученный из s (t ), в виде (t ). Тогда для него можно записать ряд Фурье

Для того, чтобы перейти к функции s (t ) следует в выражении (t ) устремить период к бесконечности. При этом число гармонических составляющих с частотами w =n 2p /T будет бесконечно велико, расстояние между ними будет стремиться к нулю (к бесконечно малой величине:

амплитуды составляющих также будут бесконечно малы. Поэтому говорить о спектре такого сигнала уже нельзя,т.к.спектр становится сплошным.

Внутренний интеграл является функцией частоты. Его называют спектральной плотностью сигнала, или частотной характеристикой сигнала и обозначают т.е.

Пределы интегрирования можно для общности поставить бесконечными, так как все равно там, где s(t) равна нулю, и интеграл равен нулю.

Выражение для спектральной плотности называют прямым преобразованием Фурье. Обратное преобразование Фурье определяет временную функцию сигнала по его спектральной плотности

рямое (*) и обратное (**) преобразования Фурье вместе называют парой преобразований Фурье. Модуль спектральной плотности

определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) сигнала, а ее аргумент называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) сигнала. АЧХ сигнала является четной функцией, а ФЧХ - нечетной.

Смысл модуля S (w ) определяется как амплитуда сигнала (тока или напряжения), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту w . Его размерность - [сигнал/частота].

Энергетический спектр сигнала. Если функция s(t) имеет фурье-плотность мощности сигнала (спектральная плотность энергии сигнала ) определяется выражением:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

Спектр мощности W()-вещественная неотрицательная четная функция, которую обычно называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектральной плотности сигнала, не содержит фазовой информации о его частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности. Последнее позволяет получить выражение для энергетического спектра непосредственно из выражений (5.2.7). В пределе, для одинаковых сигналов u(t) и v(t) при сдвиге t 0, мнимая часть спектра Wuv () стремится к нулевым значениям, а реальная часть - к значениям модуля спектра. При полном временном совмещении сигналов имеем:

т.е. энергия сигнала равна интегралу квадрата модуля его частотного спектра - сумме энергии его частотных составляющих, и всегда является вещественной величиной.

Для произвольного сигнала s(t) равенство

обычно называют равенством Парсеваля (в математике – теоремой Планшереля, в физике – формулой Релея). Равенство очевидно, так как координатное и частотное представления по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала. Аналогично для энергии взаимодействия двух сигналов:

Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье:

В целом ряде чисто практических задач регистрации и передачи сигналов энергетический спектр сигнала имеет весьма существенное значение. Периодические сигналы переводятся в спектральную область в виде рядов Фурье. Запишем периодический сигнал с периодом Т в виде ряда Фурье в комплексной форме:

Интервал 0-Т содержит целое число периодов всех подынтегральных экспонент, и равен нулю, за исключением экспоненты при k = -m, для которой интеграл равен Т. Соответственно, средняя мощность периодического сигнала равна сумме квадратов модулей коэффициентов его ряда Фурье:

Энергетический спектр сигнала – это распределение энергии базисных сигналов, которые составляют негармонический сигнал, на оси частот. Математически энергетический спектр сигнала равен квадрату модуля спектральной функции:

Соответственно амплитудно-частотный спектр показывает множество амплитуд составляющих базисных сигналов на частотной оси, а фазо-частотный – множество фаз

Модуль спектральной функции часто называют амплитудным спектром , а ее аргумент – фазовым спектром .

Кроме того, существует и обратное преобразование Фурье, позволяющее восстановить исходный сигнал, зная его спектральную функцию:

Например, возьмем прямогульный импульс:

Еще один пример спектров:

Частота Найквиста, теорема Котельникова .

Частота Найквиста - в цифровой обработке сигналов частота, равная половине частоты дискретизации. Названа в честь Гарри Найквиста. Из теоремы Котельникова следует, что при дискретизации аналогового сигнала потерь информации не будет только в том случае, если спектр (спектральная плотность)(наивысшая частота полезного сигнала) сигнала равен или ниже частоты Найквиста. В противном случае при восстановлении аналогового сигнала будет иметь место наложение спектральных «хвостов» (подмена частот, маскировка частот), и форма восстановленного сигнала будет искажена. Если спектр сигнала не имеет составляющих выше частоты Найквиста, то он может быть (теоретически) продискретизирован и затем восстановлен без искажений. Фактически «оцифровка» сигнала (превращение аналогового сигнала в цифровой) сопряжена с квантованием отсчѐтов - каждый отсчѐт записывается в виде цифрового кода конечной разрядности, в результате чего к отсчетам добавляются ошибки квантования (округления), при определенных условиях рассматриваемые как «шум квантования».

Реальные сигналы конечной длительности всегда имеют бесконечно широкий спектр, более или менее быстро убывающий с ростом частоты. Поэтому дискретизация сигналов всегда приводит к потерям информации (искажению формы сигнала при дискретизации-восстановлении), как бы ни была высока частота дискретизации. При выбранной частоте дискретизации искажение можно уменьшить, если обеспечить подавление спектральных составляющих аналогового сигнала (до дискретизации), лежащих выше частоты Найквиста, для чего требуется фильтр очень высокого порядка, чтобы избежать наложения «хвостов». Практическая реализация такого фильтра весьма сложна, так как амплитудно-частотные характеристики фильтров имеют не прямоугольную, а гладкую форму, и образуется некоторая переходная полоса частот между полосой пропускания и полосой подавления. Поэтому частоту дискретизации выбирают с запасом, к примеру, в аудио компакт-дисках используется частота дискретизации 44100 Герц, в то время как высшей частотой в спектре звуковых сигналов считается частота 20000 Гц. Запас по частоте Найквиста в 44100 / 2 - 20000 = 2050 Гц позволяет избежать подмены частот при использовании реализуемого фильтра невысокого порядка.

Теорема Котельникова

Для того, чтобы восстановить исходный непрерывный сигнал из дискретизированного с малыми искажениями (погрешностями), необходимо рационально выбрать шаг дискретизации. Поэтому при преобразовании аналогового сигнала в дискретный обязательно возникает вопрос о величине шага дискретизации Интуитивно нетрудно понять следующую идею. Если аналоговый сигнал обладает низкочастотным спектром, ограниченным некоторой верхней частотой Fe, (т.е. функция u(t) имеет вид плавно изменяющейся кривой, без резких изменений амплитуды), то вряд ли на некотором небольшом временном интервале дискретизации эта функция может существенно изменяться по амплитуде. Совершенно очевидно, что точность восстановления аналогового сигнала по последовательности его отсчетов зависит от величины интервала дискретизации Чем он короче, тем меньше будет отличаться функция u(t) от плавной кривой, проходящей через точки отсчетов. Однако с уменьшением интервала дискретизации существенно возрастает сложность и объем обрабатывающей аппаратуры. При достаточно большом интервале дискретизации возрастает вероятность искажения или потери информации при восстановлении аналогового сигнала. Оптимальная величина интервала дискретизации устанавливается теоремой Котельникова (другие названия - теорема отсчетов, теорема К. Шеннона, теорема X. Найквиста: впервые теорема была открыта в математике О. Коши, а затем описана повторно Д. Карсоном и Р. Хартли), доказанной им в 1933 г. Теорема В. А. Котельникова имеет важное теоретическое и практическое значение: дает возможность правильно осуществить дискретизацию аналогового сигнала и определяет оптимальный способ его восстановления на приемном конце по отсчетным значениям.

Согласно одной из наиболее известных и простых интерпретаций теоремы Котельникова, произвольный сигнал u(t), спектр которого ограничен некоторой частотой Fe может - быть полностью восстановлен по последовательности своих отсчетных значений, следующих с интервалом времени

Интервал дискретизации и частоту Fe (1) в радиотехнике часто называют соответственно интервалом и частотой Найквиста. Аналитически теорема Котельникова представляется рядом

где k - номер отсчета; - значение сигнала в точках отсчета - верхняя частота спектра сигнала.

Частотное представление дискретных сигналов .

Большинство сигналов можно представить в виде ряда Фурье:

В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье .

Если процесс имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:

X (f) = ∫ − ∞ ∞ x (t) e − i 2 π f t d t . {\displaystyle X(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}dt.}

(1)

Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия

E x = ∫ − ∞ ∞ | x (t) | 2 d t = ∫ − ∞ ∞ | X (f) | 2 d f . {\displaystyle E_{x}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}df.}

(2)

Функция S x (f) = | X (f) | 2 {\displaystyle S_{x}(f)=|X(f)|^{2}} характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.

Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу x (t) {\displaystyle x(t)} , реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность мощности такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:

S x (f) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) e − i 2 π f τ d τ . {\displaystyle S_{x}(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau)e^{-i2\pi f\tau }d\tau .}

(3)

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье , которое по известной определяет k x (τ) {\displaystyle k_{x}(\tau)} :

k x (τ) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) e i 2 π f τ d f . {\displaystyle k_{x}(\tau)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)e^{i2\pi f\tau }df.}

(4)

Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно f = 0 {\displaystyle f=0} и τ = 0 {\displaystyle \tau =0} , имеем

S x (0) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) d τ , {\displaystyle S_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau)d\tau ,}

(5)

σ x 2 = k x (0) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) d f . {\displaystyle \sigma _{x}^{2}=k_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)df.}

(6)

Формула (6) с учетом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину S x (f) d f {\displaystyle S_{x}(f)df} можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от f − d f / 2 {\displaystyle f-df/2} до f + d f / 2 {\displaystyle f+df/2} . Если понимать под x (t) {\displaystyle x(t)} случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина S x (f) {\displaystyle S_{x}(f)} будет иметь размерность энергии [В 2 /Гц] = [В 2 с]. Поэтому S x (f) {\displaystyle S_{x}(f)} иногда называют энергетическим спектром . В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: σ x 2 {\displaystyle \sigma _{x}^{2}} – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину S x (f) {\displaystyle S_{x}(f)} называют спектром мощности случайного процесса.

Свойства спектральной плотности

Энергетический спектр стационарного процесса (вещественного или комплексного) – неотрицательная величина:

S x (f) ≥ 0 {\displaystyle S_{x}(f)\geq 0} .

(7)

Энергетический спектр вещественного стационарного в широком смысле случайного процесса есть действительная и четная функция частоты:

S x (− f) = S x (f) {\displaystyle S_{x}(-f)=S_{x}(f)} .

(8)

X (f) = ∫ − ∞ ∞ x (t) e − i 2 π f t d t . {\displaystyle X(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}dt.}

(1)

E x = ∫ − ∞ ∞ | x (t) | 2 d t = ∫ − ∞ ∞ | X (f) | 2 d f . {\displaystyle E_{x}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}df.}

(2)

S x (f) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) e − i 2 π f τ d τ . {\displaystyle S_{x}(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau)e^{-i2\pi f\tau }d\tau .}

(3)

k x (τ) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) e i 2 π f τ d f . {\displaystyle k_{x}(\tau)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)e^{i2\pi f\tau }df.}

(4)

Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно f = 0 {\displaystyle f=0} и τ = 0 {\displaystyle \tau =0} , имеем

S x (0) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) d τ , {\displaystyle S_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau)d\tau ,}

(5)

σ x 2 = k x (0) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) d f . {\displaystyle \sigma _{x}^{2}=k_{x}(0)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)df.}

(6)

Энциклопедичный YouTube

1 / 3

Спектр и спектральная плотность

Спектральная плотность прямоугольного импульса

Спектральная плотность треугольного импульса

При исследовании автоматических систем управления удобно пользоваться еще одной характеристикой стационарного случайного процесса, называемой спектральной плотностью. Во многих случаях, особенно при изучении преобразования стационарных случайных процессов линейными системами управления, спектральная плотность оказывается более удобной характеристикой, чем корреляционная функция. Спектральная плотность случайного процесса определяется как преобразование Фурье корреляционной функцией , т. е.

Если воспользоваться формулой Эйлера то (9.52) можно представить как

Так как нечетная функция то в последнем выражении второй интеграл равен нулю. Учитывая, что четная функция получаем

Так как то из (9.53) следует, что

Таким образом, спектральная плотность является действительной и четной функцией частоты о). Поэтому на графике спектральная плотность всегда симметрична относительно оси ординат.

Если спектральная плотность известна, то по формуле обратного преобразования Фурье можно найти соответствующую ей корреляционную функцию:

Используя (9.55) и (9.38), можно установить важную зависимость между дисперсией и спектральной плотностью случайного процесса:

Термин «спектральная плотность» обязан своим происхождением теории электрических колебаний. Физический смысл спектральной плотности можно пояснить следующим образом.

Пусть - напряжение, приложенное к омическому сопротивлению 1 Ом, тогда средняя мощность рассеиваемая на этом сопротивлении за время равна

Если увеличивать интервал наблюдения до бесконечных пределов и воспользоваться (9.30), (9.38) и (9.55) при то можно формулу для средней мощности записать так:

Равенство (9.57) показывает, что средняя мощность сигнала может быть представлена в виде бесконечной суммы бесконечно малых слагаемых , которая распространяется на все частоты от 0 до

Каждое элементарное слагаемое этой суммы играет роль мощности, соответствующей бесконечно малому участку спектра, заключенному в пределах от до Каждая элементарная мощность - пропорциональна значению функции для данной частоты Следовательно, физический смысл спектральной плотности состоит в том, что она характеризует распределение мощности сигнала по частотному спектру.

Спектральная плотность может быть найдена экспериментально через среднюю величину квадрата амплитуды гармоник реализации случайного процесса. Приборы, применяемые для этой цели и состоящие анализатора спектра и вычислителя среднего значения квадрата амплитуды гармоник, называются спектрометрами. Экспериментально находить спектральную плотность сложнее, чем корреляционную функцию, поэтому на практике чаще всего спектральную плотность вычисляют но известной корреляционной функции с помощью формулы (9.52) или (9.53).

Взаимная спектральная плотность двух стационарных случайных процессов определяется как преобразование Фурье от взаимной корреляционной функции т. е.

По взаимной спектральной плотности можно, применяя к (9.58) обратное преобразование Фурье, найти выражение для взаимной корреляционной функции:

Взаимная спектральная плотность является мерой статистической связи между двумя стационарными случайными процессами: Если процессы некоррелированы и имеют равные нулю средние значения, то взаимная спектральная плотность равна нулю, т. е.

В отличие от спектральной плотности взаимная спектральная плотность не является четной функцией о и представляет собой не вещественную, а комплексную функцию.

рассмотрим некоторые свойства спектральных плотностей

1 Спектральная плотность чистого случайного процесса, или белого шума, постоянна во всем диапазоне частот (см. рис. 9.5, г):

Действительно, подставляя в (9.52) выражение (9.47) для корреляционной функции белого шума, получим

Постоянство спектральной плотности белого шума во всем бесконечном диапазоне частот, полученное в последнем выражении, означает, что энергия белого шума распределена по всему спектру равномерно, а суммарная энергия процесса равна бесконечности. Это указывает на физическую нереализуемость случайного процесса типа белого шума. Белый шум является математической идеализацией реального процесса. В действительности частотный спектр западает на очень высоких частотах (как показано пунктиром на рис. 9.5, г). Если, однако, эти частоты настолько велики, что при рассмотрении какого-либо конкретного устройства они не играют роли (ибо лежат вне полосы частот, пропускаемых этим устройством), то идеализация сигнала в виде белого шума упрощает рассмотрение и поэтому вполне целесообразна.

Происхождение термина «белый шум» объъясняется аналогией такого процесса с белым светом, имеющим одинаковые интенсивности всех компонент, и тем, что случайные процессы типа белого шума впервые были выделены при исследовании тепловых флуктуациоиных шумов в радиотехнических устройствах.

2. Спектральная плотность постоянного сигнала представляет собой -функцию, расположенную в начале координат (см. рис. 9.5, а), т. е.

Чтобы доказать это, допустим, что спектральная плотность имеет вид (9.62), и иандем по (9.55) соответствующую ей корреляционную функцию. Так как

то при получаем

Это (в соответствии со свойством 5 корреляционных функций) означает, что сигнал, соответствующий спектральной плотности, определяемой (9.62), является постоянным сигналом, равным

Тот факт, что спектральная плотность представляет собой -функцию при означает, что вся мощность постоянного сигнала сосредоточена на нулевой частоте, что и следовало ожидать.

3. Спектральная плотность периодического сигнала представляет собой две -функции, расположенные симметрично относительно начала кординат при (см. рис. 9.5, д), т. е.

Чтобы доказать это, допустим, что спектральная плотность имеет вид (9.63), и найдем по (9.55) соответствующую ей корреляционную функцию:

Это (в соответствии со свойством 6 корреляционных функций) означает, что сигнал, соответствующий спектральной плотности определяемой (9.63), является периодическим сиг налом, равным

Тот факт, что спектральная плотность представляет собой две -функции, расположенные при означает, что вся мощность периодического сигнала сосредоточена на двух частотах: Если рассматривать спектральную плотность только в области положительных частот, то получим,

что вся мощность периодического сигнала будет сосредоточена на одной частоте .

4. Спектральная плотность временной функции, разлагаемой в ряд Фурье имеет на основании изложенного выше вид

Этой спектральной плотности соответствует линейчатый спектр (рис. 9.9) с -функциями, расположенными на положительных и отрицательных частотах гармоник. На рис. 9.9 -функции условно изображены так, что их высоты показаны пропорциональными коэффициентам при единичной -функции, т. е. величинам и

которая полностью совпадает с корреляционной функцией, определяемой по (9.45).

Из рис. 9.5, б, в видно, что чем шире график спектральной плотности тем уже график соответствующей корреляционной функции и наоборот. Это соответствует физической сущности процесса: чем шире график спектральной плотности, т. е. чем более высокие частоты представлены в спектральной плотности, тем выше степень изменчивости случайного процесса и тем же графики корреляционной функции. Другими словами, связь между видом спектральной плотности и видом функции времени получается обратной по сравнению со связью между корреляционной функцией и видом функции времени. Это особенно ярко проявляется при рассмотрении постоянного сигнала и белого шума. В первом случае корреляционная функция имеет вид горизонтальной прямой, а спектральная плотность имеет вид -функции (см. рис. 9.5, а). Во втором случае (см. рис. 9.5, г) имеет место обратная картина.

6. Спектральная плотность случайного процесса, на кото рой наложены периодические составляющие, содержит непрерывную часть и отдельные -функции, соответствующие частотам периодических составляющих.

Отдельные пики на графике спектральной плотности указывают на то, что случайный процесс смешан со скрытыми периодическими составляющими, которые могут и не обнаруживаться при первом взгляде на отдельные записи процесса. Если, например, на случайный процесс наложен один периодический сигнал с частотой то график; сцектральной плотности имеет вид, показанный на рис. 9.10,

Иногда в рассмотрение вводят нормированную