Как найти экстремумы. Нахождение максимума и минимума функции одной переменной

Точка х 0 называетсяточкой максимума (минимума ) функцииf(х), если в некоторой окрестности точки х 0 выполняется неравенствоf(х) ≤f(х 0) (f(х) ≥f(х 0)).

Значение функции в этой точке называется соответственно максимумом илиминимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названиемэкстремума функции.

Экстремум функции в этом смысле часто называют локальным экстремумом , подчеркивая тот факт, что это понятие связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х 0 . На одном и том же промежутке функция может иметь несколько локальных максимумов и минимумов, которые не обязательно совпадают сглобальным максимумом илиминимумом (т.е. наибольшим или наименьшим значением функции на всем промежутке).

Необходимое условие экстремума . Для того, чтобы функция имела экстремум в точке, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Для дифференцируемых функций это условие вытекает из теоремы Ферма. Кроме того, оно предусматривает и случай, когда функция имеет экстремум в точке, в которой она не дифференцируема.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими (илистационарными для дифференцируемой функции). Эти точки должны входить в область определения функции.

Таким образом, если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая (необходимость условия). Заметим, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума, т.е. сформулированное условие не является достаточным.

Первое достаточное условие экстремума . Если при переходе через некоторую точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то это точка максимума функции, а если с минуса на плюс, - то точка минимума.

Доказательство этого условия вытекает из достаточного условия монотонности (при изменении знака производной происходит переход либо от возрастания функции к убыванию, либо от убывания к возрастанию).

Второе достаточное условие экстремума . Если первая производная дважды дифференцируемой функции в некоторой точке равна нулю, а вторая производная в этой точке положительна, то это точка минимума функции; а если вторая производная отрицательна, то это точка максимума.

Доказательство этого условия также основано на достаточном условии монотонности. В самом деле, если вторая производная положительна, то первая производная является возрастающей функцией. Поскольку в рассматриваемой точке она равна нулю, следовательно, при переходе через нее она меняет знак с минуса на плюс, что возвращает нас к первому достаточному условию локального минимума. Аналогично если вторая производная отрицательна, то первая убывает и меняет знак с плюса на минус, что является достаточным условием локального максимума.

Исследование функции на экстремум в соответствии со сформулированными теоремами включает следующие этапы:

1. Найти первую производную функции f`(x).

2. Проверить выполнение необходимого условия экстремума, т.е. найти критические точки функции f(x), в которых производнаяf`(x) = 0 или не существует.

3. Проверить выполнение достаточного условия экстремума, т.е. либо исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки, либо найти вторую производную f``(x) и определить ее знак в каждой критической точке. Сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Нахождение глобального максимума и минимума функции на некотором промежутке также имеет большое прикладное значение. Решение этой задачи на отрезке основано на теореме Вейерштрасса, в соответствии с которой непрерывная функция принимает на отрезке свои наибольшее и наименьшее значения. Они могут достигаться как в точках экстремума, так и на концах отрезка. Поэтому решение включает следующие этапы:

1. Найти производную функции f`(x).

2. Найти критические точки функции f(x), в которых производнаяf`(x) = 0 или не существует.

3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Обратимся к графику функции у = х 3 – 3х 2 . Рассмотрим окрестность точки х = 0, т.е. некоторый интервал, содержащий эту точку. Логично, что существует такая окрестность точки х = 0, что наибольшее значение функция у = х 3 – 3х 2 в этой окрестности принимает в точке х = 0. Например, на интервале (-1; 1) наибольшее значение, равное 0, функция принимает в точке х = 0. Точку х = 0 называют точкой максимума этой функции.

Аналогично, точка х = 2 называется точкой минимума функции х 3 – 3х 2 , так как в этой точке значение функции не больше ее значения в иной точке окрестности точки х = 2, например, окрестности (1,5; 2,5).

Таким образом, точкой максимума функции f(х) называется точка х 0 , если существует окрестность точки х 0 – такая, что выполняется неравенство f(х) ≤ f(х 0) для всех х из этой окрестности.

Например, точка х 0 = 0 – это точка максимума функции f(х) = 1 – х 2 , так как f(0) = 1 и верно неравенство f(х) ≤ 1 при всех значениях х.

Точкой минимума функции f(х) называется точка х 0 , если существует такая окрестность точки х 0 , что выполняется неравенство f(х) ≥ f(х 0) для всех х из этой окрестности.

Например, точка х 0 = 2 – это точка минимума функции f(х) = 3 + (х – 2) 2 , так как f(2) = 3 и f(х) ≥ 3 при всех х.

Точками экстремума называются точки минимума и точки максимума.

Обратимся к функции f(х), которая определена в некоторой окрестности точки х 0 и имеет в этой точке производную.

Если х 0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(х), то f "(х 0) = 0. Это утверждение называют теоремой Ферма.

Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: в точке экстремума касательная параллельна оси абсцисс и поэтому ее угловой коэффициент
f "(х 0) равен нулю.

Например, функция f(х) = 1 – 3х 2 имеет в точке х 0 = 0 максимум, ее производная f "(х) = -2х, f "(0) = 0.

Функция f(х) = (х – 2) 2 + 3 имеет минимум в точке х 0 = 2, f "(х) = 2(х – 2), f "(2) = 0.

Отметим, что если f "(х 0) = 0, то этого недостаточно, чтобы утверждать, что х 0 – это обязательно точка экстремума функции f(х).

Например, если f(х) = х 3 , то f "(0) = 0. Однако точкой экстремума точка х = 0 не является, так как на всей числовой оси функция х 3 возрастает.

Итак, точки экстремума дифференцируемой функции необходимо искать лишь среди корней уравнения
f "(х) = 0, но корень этого уравнения не всегда является точкой экстремума.

Стационарными точками называют точки, в которых производная функции равна нулю.

Таким образом, для того, чтобы точка х 0 была точкой экстремума, необходимо, чтобы она была стационарной точкой.

Рассмотрим достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума, т.е. условия, при выполнении которых стационарная точка является точкой минимума или максимума функции.

Если производная левее стационарной точки положительна, а правее – отрицательна, т.е. производная меняет знак «+» на знак «–» при переходе через эту точку, то эта стационарная точка – это точка максимума.

Действительно, в данном случае левее стационарной точки функция возрастает, а правее – убывает, т.е. данная точка – это точка максимума.

Если производная меняет знак «–» на знак «+» при переходе через стационарную точку, то эта стационарная точка является точкой минимума.

Если производная знак не меняет при переходе через стационарную точку, т.е. слева и справа от стационарной точки производная положительна или отрицательна, то эта точка не является точкой экстремума.

Рассмотрим одну из задач. Найти точки экстремума функции f(х) = х 4 – 4х 3 .

Решение.

1) Найдем производную: f "(х) = 4х 3 – 12х 2 = 4х 2 (х – 3).

2) Найдем стационарные точки: 4х 2 (х – 3) = 0, х 1 = 0, х 2 = 3.

3) Методом интервалов устанавливаем, что производная f "(х) = 4х 2 (х – 3) положительна при х > 3, отрицательна при х < 0 и при 0 < х < 3.

4) Так как при переходе через точку х 1 = 0 знак производной не меняется, то эта точка не является точкой экстремума.

5) Производная меняет знак «–» на знак «+» при переходе через точку х 2 = 3. Поэтому х 2 = 3 – точка минимума.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Функции, вовсе необязательно знать о наличии первой и второй производной и понимать их физический смысл. Для начала нужно уяснить следующее:

• экстремумы функции максимизируют или, наоборот, минимизируют значение функции в сколь угодно малой окрестности;
• в точке экстремума не должно быть разрыва функции.

А теперь то же самое, только простым языком. Посмотрите на кончик стержня шариковой ручки. Если ручку расположить вертикально, пишущим концом вверх, то самая середина шарика будет экстремумом — наивысшей точкой. В этом случае говорят о максимуме. Теперь, если повернуть ручку пишущим концом вниз, то на середке шарика уже будет минимум функции. С помощью рисунка, приведенного здесь же, можно представить перечисленные манипуляции для канцелярского карандаша. Итак, экстремумы функции — это всегда критические точки: ее максимумы или минимумы. Прилегающий участок графика может быть сколь угодно острым или плавным, но он должен существовать с обеих сторон, только в этом случае точка является экстремумом. Если график присутствует лишь с одной стороны, точка эта экстремумом являться не будет даже в том случае, если с одной ее стороны условия экстремума выполняются. Теперь изучим экстремумы функции с научной точки зрения. Дабы точка могла считаться экстремумом, необходимо и достаточно, чтобы:

• первая производная равнялась нулю или не существовала в точке;
• первая производная меняла свой знак в этой точке.

Условие трактуется несколько иначе с точки зрения производных более высокого порядка: для функции, дифференцируемой в точке, достаточно, чтобы существовала производная нечетного порядка, неравная нулю, при том, что все производные более низшего порядка должны существовать и быть равными нулю. Это максимально простое толкование теорем из учебников Но для самых обычных людей стоит пояснить этот момент примером. За основу берется обыкновенная парабола. Сразу оговоримся, в нулевой точке у нее имеется минимум. Совсем немного математики:

• первая производная (X 2) | = 2X, для нулевой точки 2Х = 0;
• вторая производная (2Х) | = 2, для нулевой точки 2 = 2.

Таким нехитрым образом проиллюстрированы условия, определяющие экстремумы функции и для производных первого порядка, и для производных высшего порядка. Можно к этому добавить, что вторая производная как раз является той самой производной нечетного порядка, неравной нулю, о которой говорилось чуть выше. Когда речь заходит про экстремумы функции двух переменных, то условия должны выполняться для обоих аргументов. Когда происходит обобщение, то в ход идут частные производные. То есть необходимо для наличия экстремума в точке, чтобы обе производные первого порядка равнялись нулю, либо хотя бы одна из них не существовала. Для достаточности наличия экстремума исследуется выражение, представляющее собой разность произведения производных второго порядка и квадрата смешанной производной второго порядка функции. Если это выражение больше нуля, значит, экстремум имеет место быть, а если присутствует равенство нулю, то вопрос остается открытым, и нужно проводить дополнительные исследования.

Точка экстремума функции - это точка области определения функции , в которой значение функции принимает минимальное или максимальное значение. Значения функции в этих точках называются экстремумами (минимумом и максимумом) функции .

Определение . Точка x 1 области определения функции f (x ) называется точкой максимума функции , если значение функции в этой точке больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f (x 0 ) > f (x 0 + Δx ) x 1 максимум.

Определение . Точка x 2 области определения функции f (x ) называется точкой минимума функции , если значение функции в этой точке меньше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f (x 0 ) < f (x 0 + Δx ) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум.

Допустим, точка x 1 - точка максимума функции f (x ) . Тогда в интервале до x 1 функция возрастает , поэтому производная функции больше нуля (f "(x ) > 0 ), а в интервале после x 1 функция убывает, следовательно, и производная функции меньше нуля (f "(x ) < 0 ). Тогда в точке x 1

Допустим также, что точка x 2 - точка минимума функции f (x ) . Тогда в интервале до x 2 функция убывает, а производная функции меньше нуля (f "(x ) < 0 ), а в интервале после x 2 функция возрастает, а производная функции больше нуля (f "(x ) > 0 ). В этом случае также в точке x 2 производная функции равна нулю или не существует.

Теорема Ферма (необходимый признак существования экстремума функции) . Если точка x 0 - точка экстремума функции f (x ) , то в этой точке производная функции равна нулю (f "(x ) = 0 ) или не существует.

Определение . Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками .

Пример 1. Рассмотрим функцию .

В точке x = 0 производная функции равна нулю, следовательно, точка x = 0 является критической точкой. Однако, как видно на графике функции, она возрастает во всей области определения, поэтому точка x = 0 не является точкой экстремума этой функции.

Таким образом, условия о том, что производная функции в точке равна нулю или не существует, являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными, поскольку можно привести и другие примеры функций, для которых эти условия выполняются, но экстремума в соответствующей точке функция не имеет. Поэтому нужно располагать достаточными признаками , позволяющими судить, имеется ли в конкретной критической точке экстремум и какой именно - максимум или минимум.

Теорема (первый достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x 0 f (x ) , если при переходе через эту точку производная функции меняет знак, причём, если знак меняется с "плюса" на "минус", то точкой максимума, а если с "минуса" на "плюс", то точкой минимума.

Если же вблизи точки x 0 , слева и справа от неё, производная сохраняет знак, то это означает, что функция либо только убывает, либо только возрастает в некоторой окрестности точки x 0 . В этом случае в точке x 0 экстремума нет.

Итак, чтобы определить точки экстремума функции, требуется выполнить следующее :

1. Найти производную функции.
2. Приравнять производную нулю и определить критические точки.
3. Мысленно или на бумаге отметить критические точки на числовой оси и определить знаки производной функции в полученных интервалах. Если знак производной меняется с "плюса" на "минус", то критическая точка является точкой максимума, а если с "минуса" на "плюс", то точкой минимума.
4. Вычислить значение функции в точках экстремума.

Пример 2. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём производную функции:

Приравняем производную нулю, чтобы найти критические точки:

.

Так как для любых значений "икса" знаменатель не равен нулю, то приравняем нулю числитель:

Получили одну критическую точку x = 3 . Определим знак производной в интервалах, разграниченных этой точкой:

в интервале от минус бесконечности до 3 - знак минус, то есть функция убывает,

в интервале от 3 до плюс бесконечности - знак плюс, то есть функция возрастает.

То есть, точка x = 3 является точкой минимума.

Найдём значение функции в точке минимума:

Таким образом, точка экстремума функции найдена: (3; 0) , причём она является точкой минимума.

Теорема (второй достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x 0 является точкой экстремума функции f (x ) , если вторая производная функции в этой точке не равна нулю (f ""(x ) ≠ 0 ), причём, если вторая производная больше нуля (f ""(x ) > 0 ), то точкой максимума, а если вторая производная меньше нуля (f ""(x ) < 0 ), то точкой минимума.

Замечание 1. Если в точке x 0 обращаются в нуль и первая, и вторая производные, то в этой точке нельзя судить о наличии экстремума на основании второго достаточного признака. В этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.

Замечание 2. Второй достаточный признак экстремума функции неприменим и тогда, когда в стационарной точке первая производная не существует (тогда не существует и вторая производная). В этом случае также нужно вопользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.

Локальный характер экстремумов функции

Из приведённых определений следует, что экстремум функции имеет локальный характер - это наибольшее и наименьшее значение функции по сравнению с близлежайшими значениями.

Предположим, вы рассматриваете свои заработки в отрезке времени протяжённостью в один год. Если в мае вы заработали 45 000 рублей, а в апреле 42 000 рублей и в июне 39 000 рублей, то майский заработок - максимум функции заработка по сравнению с близлежайшими значениями. Но в октябре вы заработали 71 000 рублей, в сентябре 75 000 рублей, а в ноябре 74 000 рублей, поэтому октябрьский заработок - минимум функции заработка по сравнению с близлежашими значениями. И вы легко видите, что максимум среди значений апреля-мая-июня меньше минимума сентября-октября-ноября.

Говоря обобщённо, на промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причём может оказаться, что какой-либо минимум функции больше какого-либо максимума. Так, для функции изображённой на рисунке выше, .

То есть не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, её наибольшим и наименьшим значениями на всём рассматриваемом отрезке. В точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума, а в точке минимума - наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.

Поэтому можно уточнить приведённое выше понятие точек экстремума функции и называть точки минимума точками локального минимума, а точки максимума - точками локального максимума.

Ищем экстремумы функции вместе

Пример 3.

Решение.Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная существует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками служат лишь те, в которых , т.е. , откуда и . Критическими точками и разбивают всю область определения функции на три интервала монотонности: . Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной в этой точке.

Для интервала контрольной точкой может служить : находим . Взяв в интервале точку , получим , а взяв в интервале точку , имеем . Итак, в интервалах и , а в интервале . Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точке экстремума нет (так как производная сохраняет знак в интервале ), а в точке функция имеет минимум (поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс). Найдём соответствующие значения функции: , а . В интервале функция убывает, так как в этом интервале , а в интервале возрастает, так как в этом интервале .

Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При получим уравнение , корни которого и , т. е. найдены две точки (0; 0) и (4; 0) графика функции. Используя все полученные сведения, строим график (см. в начале примера).

Пример 4. Найти экстремумы функции и построить её график.

Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки , т.е. .

Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная функция чётная, так как . Поэтому её график симметричен относительно оси Oy и исследование можно выполнить только для интервала .

Находим производную и критические точки функции:

1) ;

2) ,

но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума.

Таким образом, заданная функция имеет две критические точки: и . Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только точку . Для этого найдём вторую производную и определим её знак при : получим . Так как и , то является точкой минимума функции, при этом .

Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:

(здесь символом обозначено стремление x к нулю справа, причём x остаётся положительным; аналогично означает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным). Таким образом, если , то . Далее, находим

,

т.е. если , то .

Точек пересечения с осями график функции не имеет. Рисунок - в начале примера.

Продолжаем искать экстремумы функции вместе

Пример 8. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём область определения функции. Так как должно выполняться неравенство , то из получаем .

Найдём первую производную функции:

Найдём критические точки функции.

Из данной статьи читатель узнает о том, что такое экстремум функционального значения, а также об особенностях его использования в практической деятельности. Изучение такого концепта крайне важно для понимания основ высшей математики. Эта тема является основополагающей для более глубокого изучения курса.

Вконтакте

Что такое экстремум?

В школьном курсе дается множество определений понятия «экстремум». Данная статья призвана дать самое глубокое и четкое представление о термине для несведущих в вопросе лиц. Итак, под термином понимают, насколько функциональный промежуток приобретает минимальное либо максимальное значение на том или ином множестве.

Экстремум – это и минимальное значение функции, и максимальное одновременно. Различают точку минимума и точку максимума, то есть крайние значения аргумента на графике. Основные науки, в которых используют данный концепт:

• статистика;
• машинное управление;
• эконометрика.

Точки экстремума играют важную роль в определении последовательности заданной функции. Система координат на графике в лучшем виде показывает изменение экстремального положения в зависимости от изменения функциональности.

Экстремумы производной функции

Имеет также место такое явление, как «производная». Она необходима для определения точки экстремума. Важно не путать точки минимума либо максимума с наибольшим и наименьшим значением. Это разные понятия, хотя могут показаться похожими.

Значение функции является основным фактором для определения того, как найти точку максимума. Производная не образуется от значений, а исключительно от крайнего ее положения в том или ином его порядке.

Сама же по себе производная определяется на основе данных точек экстремума, а не наибольшего или наименьшего значения. В российских школах недостаточно четко проводят грань между этими двумя концептами, что влияет на понимание данной темы вообще.

Давайте теперь рассмотрим такое понятие как «острый экстремум». На сегодняшний день выделяют острый минимум значения и острый максимум значения. Определение дано в соответствии с российской классификацией критических точек функции. Концепт точки экстремума лежит в основе нахождения критических точек на графике.

Для определения такого понятия прибегают к использованию теоремы Ферма. Она является важнейшей в ходе изучения крайних точек и дает четкое представление об их существовании в том или ином их виде. Для обеспечения экстремальности важно создать определенные условия для убывания либо возрастания на графике.

Для точного ответить на вопрос «как найти точку максимума», необходимо следовать таким положениям:

1. Нахождение точной области определения на графике.
2. Поиск производной функции и точки экстремума.
3. Решать стандартные неравенства на область нахождения аргумента.
4. Уметь доказывать, в каких функциях точка на графике определена и непрерывна.

Внимание! Поиск критической точки функции возможен только в случае существования производной не менее второго порядка, что обеспечивается высокой долей наличия точки экстремума.

Необходимое условие экстремума функции

Для того чтобы существовал экстремум, важно, чтобы были как точки минимума, так и точки максимума. В случае если это правило соблюдено лишь частично, то условие существование экстремума нарушается.

Каждая функция в любом положении должна быть продифференцирована с целью выявления ее новых значений. Важно понимать, что случай обращения точки в ноль не является основным принципом нахождения дифференцируемой точки.

Острый экстремум, также как и минимум функции – это крайне важный аспект решения математической задачи с использованием экстремальных значений. Для того чтобы лучше понимать данную составляющую, важно обратиться к табличным значениям по заданию функционала.

Полное исследование значения

Построение графика значения

1. Определение точек возрастания и убывания значений. 2. Нахождение точек разрыва, экстремума и пересечение с координатными осями. 3. Процесс определения изменений положения на графике. 4. Определение показателя и направления выпуклости и выгнутости с учетом наличия асимптот. 5. Создание сводной таблицы исследования с точки зрения определения ее координат. 6. Нахождение промежутков возрастания и убывания крайних и острых точек. 7. Определение выпуклости и вогнутости кривой. 8. Построение графика с учетом исследования позволяет найти минимум либо максимум.

Основным элементом при необходимости работы с экстремумами является точное построение его графика. Школьные учителя не часто уделяют столь важному аспекту максимум внимания, что является грубейшим нарушением учебного процесса. Построение графика происходит только по итогам исследования функциональных данных, определения острых экстремумов, а также точек на графике. Острые экстремумы производной функции отображаются на графике точных значений, с использованием стандартной процедуры определения асимптот.