Comment choisir une solution particulière à une équation différentielle. Équations différentielles du premier ordre

Soit ils ont déjà été résolus par rapport à la dérivée, soit ils peuvent être résolus par rapport à la dérivée .

Solution générale des équations différentielles du type sur l'intervalle X, qui est donné, peut être trouvé en prenant l’intégrale des deux côtés de cette égalité.

On a .

Si l'on regarde les propriétés de l'intégrale indéfinie, on trouve la solution générale souhaitée :

y = F(x) + C,

Où F(x)- une des fonctions primitives f(x) entre X, UN AVEC- constante arbitraire.

Veuillez noter que dans la plupart des problèmes, l'intervalle X n'indique pas. Cela signifie qu’une solution doit être trouvée pour tout le monde. X, pour lequel et la fonction souhaitée oui, et l'équation originale a du sens.

Si vous devez calculer une solution particulière à une équation différentielle qui satisfait la condition initiale y(x 0) = y 0, puis après avoir calculé l'intégrale générale y = F(x) + C, il faut encore déterminer la valeur de la constante C = C0, en utilisant la condition initiale. C'est-à-dire une constante C = C0 déterminé à partir de l'équation F(x 0) + C = y 0, et la solution partielle souhaitée de l'équation différentielle prendra la forme :

y = F(x) + C0.

Regardons un exemple :

Trouvons une solution générale à l'équation différentielle et vérifions l'exactitude du résultat. Trouvons une solution particulière à cette équation qui satisferait la condition initiale.

Solution:

Après avoir intégré l’équation différentielle donnée, nous obtenons :

.

Prenons cette intégrale en utilisant la méthode d'intégration par parties :

Que., est une solution générale de l'équation différentielle.

Pour nous assurer que le résultat est correct, faisons une vérification. Pour ce faire, nous substituons la solution que nous avons trouvée dans l'équation donnée :

.

C'est quand l'équation originale se transforme en identité :

par conséquent, la solution générale de l’équation différentielle a été déterminée correctement.

La solution que nous avons trouvée est une solution générale de l’équation différentielle pour chaque valeur réelle de l’argument X.

Il reste à calculer une solution particulière de l'ODE qui satisferait la condition initiale. Autrement dit, il faut calculer la valeur de la constante AVEC, auquel l'égalité sera vraie :

.

.

Ensuite, en remplaçant C = 2 dans la solution générale de l'ODE, on obtient une solution particulière de l'équation différentielle qui satisfait la condition initiale :

.

Équation différentielle ordinaire peut être résolu pour la dérivée en divisant les 2 côtés de l'équation par f(x). Cette transformation sera équivalente si f(x) ne revient en aucun cas à zéro Xà partir de l'intervalle d'intégration de l'équation différentielle X.

Il existe des situations probables où, pour certaines valeurs de l'argument X ∈ X les fonctions f(x) Et g(x) deviennent simultanément nuls. Pour des valeurs similaires X la solution générale d'une équation différentielle est n'importe quelle fonction oui, qui y est défini, car .

Si pour certaines valeurs d'argument X ∈ X la condition est satisfaite, ce qui signifie que dans ce cas l’ODE n’a pas de solutions.

Pour tout le monde X de l'intervalle X la solution générale de l'équation différentielle est déterminée à partir de l'équation transformée.

Regardons des exemples :

Exemple 1.

Trouvons une solution générale à l'ODE : .

Solution.

D'après les propriétés des fonctions élémentaires de base, il ressort clairement que la fonction logarithme népérien est définie pour des valeurs non négatives de l'argument, donc le domaine de définition de l'expression ln(x+3) il y a un intervalle X > -3 . Cela signifie que l’équation différentielle donnée a du sens pour X > -3 . Pour ces valeurs d'argument, l'expression x+3 ne disparaît pas, vous pouvez donc résoudre l'ODE pour la dérivée en divisant les 2 parties par x + 3.

On a .

Ensuite, nous intégrons l'équation différentielle résultante, résolue par rapport à la dérivée : . Pour prendre cette intégrale, nous utilisons la méthode de la subsumer sous le signe différentiel.

Application

Résolution d'équations différentielles en ligne sur le site Internet pour permettre aux étudiants de consolider la matière abordée. Et former vos compétences pratiques. Équations différentielles en ligne. Difurs en ligne, résolution de mathématiques en ligne. Solutions étape par étape aux problèmes mathématiques en ligne. L'ordre, ou degré, d'une équation différentielle est l'ordre le plus élevé des dérivées qu'elle contient. Équations différentielles en ligne. Le processus de résolution d’une équation différentielle est appelé intégration. Le problème de l'intégration d'une équation différentielle est considéré comme résolu si la recherche d'une fonction inconnue peut être conduite à la quadrature, que l'intégrale résultante soit exprimée ou non sous sa forme finale en termes de fonctions connues. Solution étape par étape d'équations différentielles en ligne. Toutes les équations différentielles peuvent être divisées en équations différentielles ordinaires (ODE), qui incluent uniquement les fonctions (et leurs dérivées) d'un argument, et en équations aux dérivées partielles (PDE), dans lesquelles les fonctions d'entrée dépendent de nombreuses variables. Équations différentielles en ligne. Il existe également des équations différentielles stochastiques (EDS) impliquant des processus aléatoires. Solution étape par étape d'équations différentielles en ligne. Selon les combinaisons de dérivées, de fonctions et de variables indépendantes, les équations différentielles sont divisées en linéaires et non linéaires, à coefficients constants ou variables, homogènes ou inhomogènes. En raison de l'importance des applications, les équations aux dérivées partielles quasi-linéaires (linéaires par rapport aux dérivées supérieures) sont classées dans une classe distincte. Les solutions des équations différentielles sont divisées en solutions générales et particulières. Équations différentielles en ligne. Les solutions générales incluent des constantes indéterminées et, pour les équations aux dérivées partielles, des fonctions arbitraires de variables indépendantes, qui peuvent être affinées à partir de conditions d'intégration supplémentaires (conditions initiales pour les équations différentielles ordinaires, conditions initiales et aux limites pour les équations aux dérivées partielles). Solution étape par étape d'équations différentielles en ligne. Après avoir déterminé le type des fonctions constantes et indéfinies indiquées, les solutions deviennent particulières. La recherche de solutions aux équations différentielles ordinaires a conduit à l'établissement d'une classe de fonctions spéciales - des fonctions souvent rencontrées dans des applications qui ne peuvent être exprimées par des fonctions élémentaires connues. Équations différentielles en ligne. Leurs propriétés ont été étudiées en détail, des tableaux de valeurs ont été établis, les relations mutuelles ont été déterminées, etc. . L’ensemble des nombres énumérés peut être exploré. La meilleure réponse au problème posé. Comment trouver, en première approximation, le vecteur sortant vers la région de convergence des équations différentielles sans connaître la limite supérieure trouvée. Le choix est évident pour les fonctions mathématiques croissantes. Il existe une méthode progressive au-dessus du niveau de la recherche. Aligner la condition initiale du problème avec la résolution d'équations différentielles vous aidera à trouver une valeur choisie de manière unique. Il se peut qu'il puisse immédiatement identifier l'inconnu. Comme dans l’exemple précédent de spécification d’une solution à un problème mathématique, les équations différentielles linéaires sont la réponse à un problème spécifique dans un laps de temps spécifié. Le maintien de la procédure de recherche n'est pas déterminé localement. Il s'agira qu'un exemple soit trouvé pour chaque élève et que la solution des équations différentielles soit déterminée par la personne assignée au responsable à partir d'au moins deux valeurs. Prenez une fonction de valeur générale sur un certain segment et prévenez le long de quel axe il y aura un écart. En étudiant les équations différentielles en ligne, il est possible de montrer sans ambiguïté l'importance du résultat, s'il est prévu par les conditions initiales. Découper une zone d'une définition de fonction est impossible, car il n'existe pas de définition de la tâche localement. Étant trouvée à partir d'un système d'équations, la réponse contient une variable dénombrable au sens général, mais résoudre une équation différentielle en ligne sera naturellement possible sans cette action de détermination de ladite condition. À côté de l'intervalle du segment, vous pouvez voir comment la résolution d'équations différentielles en ligne peut faire avancer le résultat de la recherche dans une direction positive au moment de couper les connaissances des étudiants. Le meilleur ne vient pas toujours d’une approche commerciale généralement acceptée. Au niveau 2x, il est utile de revoir toutes les équations différentielles linéaires nécessaires dans une représentation naturelle, mais être capable de calculer la valeur numérique se traduira par une amélioration des connaissances. Selon toute méthode mathématique, il existe des équations différentielles qui sont présentées dans des expressions essentiellement différentes, telles que homogènes ou complexes. Après avoir effectué une analyse générale de l'étude de la fonction, il devient clair que la résolution des différentielles comme un ensemble de possibilités représente une erreur évidente dans les valeurs. La vérité réside dans l’espace au-dessus des lignes d’abscisse. Quelque part dans le domaine de la définition d'une fonction complexe, à un moment donné de sa définition, les équations différentielles linéaires seront capables de présenter la réponse sous forme analytique. c'est-à-dire en termes généraux comme l'essence. Rien ne change lorsque vous modifiez la variable. Cependant, vous devez examiner la réponse avec un intérêt particulier. Essentiellement, la calculatrice modifie finalement la relation, c'est-à-dire comment la solution des équations différentielles est proportionnelle à la valeur globale et est désignée dans les limites de la solution souhaitée. Dans certains cas, un avertissement d’erreur massif est inévitable. Les équations différentielles en ligne mettent en œuvre une idée générale du problème, mais au final il faut prévoir le plus rapidement possible les aspects positifs du produit vectoriel. En mathématiques, les cas d’idées fausses en théorie des nombres ne sont pas rares. Un contrôle sera certainement nécessaire. Naturellement, il vaut mieux donner ce droit à des professionnels dans leur domaine et ils vous aideront à résoudre l'équation différentielle en ligne, car leur expérience est colossale et positive. La différence sur les surfaces des figures et l'aire est telle que ce n'est pas la résolution d'équations différentielles en ligne qui permettra de voir, mais l'ensemble des objets non sécants est tel que la droite est parallèle à l'axe. En conséquence, vous pouvez obtenir deux fois plus de valeurs. Bien que cela ne soit pas explicite, notre compréhension de l'exactitude de la notation formelle implique des équations différentielles linéaires à la fois dans la zone de visualisation et en relation avec la surestimation délibérée de la qualité du résultat. Une table ronde sur un sujet d’intérêt pour tous les étudiants est revue à plusieurs reprises. Tout au long de l'étude du cours complet, nous concentrerons notre attention particulière sur les équations différentielles et les domaines d'étude scientifique connexes, si cela ne contredit pas la vérité. De nombreuses étapes peuvent être évitées au début du voyage. Si la résolution d'équations différentielles est encore fondamentalement quelque chose de nouveau pour les étudiants, alors l'ancien n'est pas du tout oublié, mais progresse vers le futur à un rythme de développement élevé. Initialement, les conditions du problème en mathématiques divergent, mais cela est indiqué dans le paragraphe de droite. Une fois écoulé le temps spécifié par définition, la possibilité d'un résultat dépendant proportionnel sur différents plans de mouvement vectoriel ne peut être exclue. Un cas aussi simple peut être corrigé de la même manière que les équations différentielles linéaires sont décrites sur une calculatrice sous forme générale, ce sera plus rapide et le décalage des calculs ne conduira pas à une opinion erronée. Seuls cinq cas cités selon la théorie peuvent repousser les limites de ce qui se passe. Notre solution d'équations différentielles vous aidera à calculer manuellement la valeur en nombres dès les premières étapes de décomposition de l'espace fonctionnel. Aux bons endroits, il faut représenter le point de contact des quatre lignes dans un sens général. Mais si vous devez déplacer la tâche, il sera alors facile d’assimiler la complexité. Les données initiales sont suffisantes pour concevoir la jambe adjacente et les équations différentielles en ligne semblent alignées à gauche et la surface est dirigée d'un côté vers le rotor du vecteur. Au-dessus de la limite supérieure, des valeurs numériques au-delà de la condition désignée sont possibles. Il est possible de prendre en compte la formule mathématique et de résoudre l'équation différentielle en ligne à trois inconnues dans la valeur générale de la proportion. La méthode de calcul locale est reconnue valable. Le système de coordonnées est rectangulaire dans le mouvement relatif du plan. La solution générale des équations différentielles en ligne nous permet de tirer sans ambiguïté une conclusion en faveur d'un parcours informatique à travers les définitions matricielles sur toute la droite située au-dessus du graphique d'une fonction explicitement spécifiée. La solution est clairement visible si vous appliquez le vecteur mouvement au point de contact des trois hémisphères. Le cylindre est obtenu en faisant tourner le rectangle autour du côté et des équations différentielles linéaires pourront montrer la direction du mouvement du point selon les expressions données de sa loi du mouvement. Les données initiales sont correctes et le problème mathématique est interchangeable sous une condition simple. Cependant, en raison des circonstances, en raison de la complexité de la sous-tâche posée, les équations différentielles simplifient le processus de calcul des espaces numériques au niveau de l'espace tridimensionnel. Il est facile de prouver le contraire, mais cela peut être évité, comme dans l’exemple donné. En mathématiques supérieures, les points suivants sont fournis : lorsqu'un problème est réduit à une forme simplifiée, le plus grand effort possible de la part des étudiants doit y être appliqué. Les lignes superposées les unes aux autres sont prises en compte. Concernant la résolution différentielle, on reprend encore l'avantage de ladite méthode sur une ligne courbe. Si vous reconnaissez d’abord quelque chose qui n’est pas ce dont vous avez besoin, la formule mathématique créera un nouveau sens pour l’expression. L'objectif est l'approche optimale pour résoudre les tâches fixées par le professeur. Vous ne devez pas supposer que les équations différentielles linéaires sous une forme simplifiée dépasseront le résultat attendu. Nous plaçons trois vecteurs sur une surface de composition finie. orthogonaux les uns aux autres. Calculons le produit. Ajoutons un plus grand nombre de symboles et écrivons toutes les variables de la fonction à partir de l'expression résultante. Il y a une proportion. Plusieurs actions précédant la fin du calcul ne donneront pas immédiatement une réponse univoque à la solution des équations différentielles, mais seulement après l'écoulement du temps imparti le long de l'axe des y. À gauche du point de discontinuité, spécifié implicitement par la fonction, nous traçons un axe orthogonal au meilleur vecteur croissant et plaçons des équations différentielles en ligne le long de la plus petite valeur limite de la face inférieure de l'objet mathématique. Nous ajoutons l'argument supplémentaire dans la zone de rupture de fonction. À droite des points où se trouve la ligne courbe, les formules de réduction à un dénominateur commun que nous avons écrites vous aideront à résoudre l'équation différentielle en ligne. Nous adopterons la seule approche correcte qui mettra en lumière les problèmes non résolus de la théorie à la pratique, dans le cas général sans ambiguïté. Les lignes dans la direction des coordonnées des points donnés n'ont jamais fermé la position extrême du carré, mais la résolution d'équations différentielles en ligne aidera les étudiants, nous et simplement les débutants dans ce domaine à étudier les mathématiques. Nous parlons de la possibilité de substituer un argument de valeur dans toutes les lignes significatives d'un champ. En principe, comme on pouvait s’y attendre, nos équations différentielles linéaires sont isolées en un seul concept de signification donnée. Pour aider les étudiants, l'une des meilleures calculatrices parmi les services similaires. Suivez tous les cours et choisissez celui qui vous convient le mieux.

=

I. Équations différentielles ordinaires

1.1. Concepts et définitions de base

Une équation différentielle est une équation qui relie une variable indépendante X, la fonction requise oui et ses dérivés ou différentiels.

Symboliquement, l'équation différentielle s'écrit comme suit :

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Une équation différentielle est dite ordinaire si la fonction recherchée dépend d'une variable indépendante.

Résoudre une équation différentielle s'appelle une fonction qui transforme cette équation en une identité.

L'ordre de l'équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée incluse dans cette équation

Exemples.

1. Considérons une équation différentielle du premier ordre

La solution de cette équation est la fonction y = 5 ln x. En effet, en substituant oui" dans l’équation, nous obtenons l’identité.

Et cela signifie que la fonction y = 5 ln x– est une solution de cette équation différentielle.

2. Considérons l'équation différentielle du second ordre y" - 5y" +6y = 0. La fonction est la solution de cette équation.

Vraiment, .

En substituant ces expressions dans l'équation, on obtient : , – identité.

Et cela signifie que la fonction est la solution de cette équation différentielle.

Intégration d'équations différentielles est le processus de recherche de solutions aux équations différentielles.

Solution générale de l'équation différentielle appelée fonction de la forme , qui comprend autant de constantes arbitraires indépendantes que l'ordre de l'équation.

Solution partielle de l'équation différentielle est une solution obtenue à partir d'une solution générale pour diverses valeurs numériques de constantes arbitraires. Les valeurs de constantes arbitraires se trouvent à certaines valeurs initiales de l'argument et de la fonction.

Le graphique d'une solution particulière à une équation différentielle est appelé courbe intégrale.

Exemples

1. Trouver une solution particulière à une équation différentielle du premier ordre

xdx + ydy = 0, Si oui= 4 à X = 3.

Solution. En intégrant les deux côtés de l’équation, on obtient

Commentaire. Une constante arbitraire C obtenue à la suite de l'intégration peut être représentée sous n'importe quelle forme pratique pour des transformations ultérieures. Dans ce cas, compte tenu de l'équation canonique d'un cercle, il convient de représenter une constante arbitraire C sous la forme .

- solution générale de l'équation différentielle.

Solution particulière de l'équation satisfaisant les conditions initiales oui = 4 à X = 3 est trouvé à partir du général en substituant les conditions initiales dans la solution générale : 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

En substituant C=5 dans la solution générale, on obtient x 2 + y 2 = 5 2 .

Il s'agit d'une solution particulière d'une équation différentielle obtenue à partir d'une solution générale dans des conditions initiales données.

2. Trouver la solution générale de l'équation différentielle

La solution de cette équation est n’importe quelle fonction de la forme , où C est une constante arbitraire. En effet, en substituant dans les équations, on obtient : , .

Par conséquent, cette équation différentielle a un nombre infini de solutions, puisque pour différentes valeurs de la constante C, l'égalité détermine différentes solutions à l'équation.

Par exemple, par substitution directe vous pouvez vérifier que les fonctions sont des solutions à l’équation.

Un problème dans lequel vous devez trouver une solution particulière à l'équation y" = f(x,y) satisfaisant la condition initiale y(x 0) = y 0, s'appelle le problème de Cauchy.

Résoudre l'équation y" = f(x,y), satisfaisant la condition initiale, y(x 0) = y 0, est appelé une solution au problème de Cauchy.

La solution du problème de Cauchy a une signification géométrique simple. En effet, selon ces définitions, pour résoudre le problème de Cauchy y" = f(x,y)étant donné que y(x 0) = y 0, signifie trouver la courbe intégrale de l'équation y" = f(x,y) qui passe par un point donné M 0 (x 0,oui 0).

II. Équations différentielles du premier ordre

2.1. Concepts de base

Une équation différentielle du premier ordre est une équation de la forme F(x,y,y") = 0.

Une équation différentielle du premier ordre inclut la dérivée première et n'inclut pas les dérivées d'ordre supérieur.

L'équation y" = f(x,y) est appelée une équation du premier ordre résolue par rapport à la dérivée.

La solution générale d'une équation différentielle du premier ordre est une fonction de la forme , qui contient une constante arbitraire.

Exemple. Considérons une équation différentielle du premier ordre.

La solution de cette équation est la fonction.

En effet, en remplaçant cette équation par sa valeur, on obtient

c'est 3x=3x

Par conséquent, la fonction est une solution générale de l’équation pour toute constante C.

Trouver une solution particulière à cette équation qui satisfait la condition initiale y(1)=1 Remplacement des conditions initiales x = 1, y =1 dans la solution générale de l’équation, on obtient d’où C=0.

Ainsi, on obtient une solution particulière à partir de la solution générale en substituant dans cette équation la valeur résultante C=0– solution privée.

2.2. Équations différentielles à variables séparables

Une équation différentielle à variables séparables est une équation de la forme : y"=f(x)g(y) ou par différentiels, où f(x) Et g(y)– fonctions spécifiées.

Pour ceux oui, pour lequel , l'équation y"=f(x)g(y) est équivalent à l'équation, dans lequel la variable oui est présente uniquement sur le côté gauche et la variable x est uniquement sur le côté droit. Ils disent : « dans l'équation. y"=f(x)g(y Séparons les variables."

Équation de la forme appelée équation à variables séparées.

Intégrer les deux côtés de l’équation Par X, on a G(y) = F(x) + C est la solution générale de l'équation, où G(o) Et F(x)– quelques primitives, respectivement, de fonctions et f(x), C constante arbitraire.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle du premier ordre à variables séparables

Exemple 1

Résous l'équation y" = xy

Solution. Dérivée d'une fonction oui" remplacez-le par

séparons les variables

Intégrons les deux côtés de l'égalité :

Exemple 2

2aa" = 1- 3x 2, Si oui 0 = 3à x0 = 1

Il s'agit d'une équation à variables séparées. Imaginons-le en différentiels. Pour ce faire, on réécrit cette équation sous la forme D'ici

En intégrant les deux côtés de la dernière égalité, on trouve

Remplacement des valeurs initiales x 0 = 1, y 0 = 3 nous trouverons AVEC 9=1-1+C, c'est à dire. C = 9.

Par conséquent, l’intégrale partielle requise sera ou

Exemple 3

Écrire une équation pour une courbe passant par un point M(2;-3) et ayant une tangente avec un coefficient angulaire

Solution. Selon l'état

Il s'agit d'une équation à variables séparables. En divisant les variables, on obtient :

En intégrant les deux côtés de l’équation, on obtient :

En utilisant les conditions initiales, x = 2 Et y = - 3 nous trouverons C:

Par conséquent, l’équation recherchée a la forme

2.3. Équations différentielles linéaires du premier ordre

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation de la forme y" = f(x)y + g(x)

Où f(x) Et g(x)- quelques fonctions spécifiées.

Si g(x)=0 alors l'équation différentielle linéaire est dite homogène et a la forme : y" = f(x)y

Si alors l'équation y" = f(x)y + g(x) est dit hétérogène.

Solution générale d'une équation différentielle homogène linéaire y" = f(x)y est donné par la formule : où AVEC– constante arbitraire.

En particulier, si C =0, alors la solution est y = 0 Si une équation linéaire homogène a la forme y" = ky Où k est une constante, alors sa solution générale a la forme : .

Solution générale d'une équation différentielle inhomogène linéaire y" = f(x)y + g(x) est donné par la formule ,

ceux. est égal à la somme de la solution générale de l'équation homogène linéaire correspondante et de la solution particulière de cette équation.

Pour une équation linéaire inhomogène de la forme y" = kx + b,

Où k Et b- certains nombres et une solution particulière seront une fonction constante. La solution générale est donc de la forme .

Exemple. Résous l'équation y" + 2y +3 = 0

Solution. Représentons l'équation sous la forme y" = -2y - 3 Où k = -2, b= -3 La solution générale est donnée par la formule.

Par conséquent, où C est une constante arbitraire.

2.4. Résolution d'équations différentielles linéaires du premier ordre par la méthode de Bernoulli

Trouver une solution générale à une équation différentielle linéaire du premier ordre y" = f(x)y + g(x) se réduit à résoudre deux équations différentielles avec des variables séparées par substitution y=uv, Où toi Et v- fonctions inconnues de X. Cette méthode de résolution est appelée méthode de Bernoulli.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre

y" = f(x)y + g(x)

1. Entrez le remplacement y=uv.

2. Différencier cette égalité y" = u"v + uv"

3. Remplacer oui Et oui" dans cette équation : u"v + uv" =f(x)uv + g(x) ou u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Regroupez les termes de l'équation de manière à ce que toi retirez-le des parenthèses :

5. À partir du support, en l'assimilant à zéro, trouvez la fonction

Il s'agit d'une équation séparable :

Divisons les variables et obtenons :

Où . .

6. Remplacez la valeur résultante v dans l'équation (de l'étape 4) :

et trouvez la fonction C'est une équation à variables séparables :

7. Écrivez la solution générale sous la forme : , c'est à dire. .

Exemple 1

Trouver une solution particulière à l'équation y" = -2y +3 = 0 Si y =1à x = 0

Solution. Résolvons-le en utilisant la substitution y=uv,.y" = u"v + uv"

Remplacement oui Et oui" dans cette équation, on obtient

En regroupant les deuxième et troisième termes du côté gauche de l'équation, on retire le facteur commun toi hors parenthèses

Nous assimilons l'expression entre parenthèses à zéro et, après avoir résolu l'équation résultante, nous trouvons la fonction v = v(x)

Nous obtenons une équation avec des variables séparées. Intégrons les deux côtés de cette équation : Trouvez la fonction v:

Remplaçons la valeur résultante v dans l'équation on obtient :

Il s'agit d'une équation à variables séparées. Intégrons les deux côtés de l'équation : Trouvons la fonction u = u(x,c) Trouvons une solution générale : Trouvons une solution particulière à l'équation qui satisfait aux conditions initiales y = 1à x = 0:

III. Équations différentielles d'ordre supérieur

3.1. Concepts et définitions de base

Une équation différentielle du second ordre est une équation contenant des dérivées ne dépassant pas le second ordre. Dans le cas général, une équation différentielle du second ordre s’écrit : F(x,y,y",y") = 0

La solution générale d'une équation différentielle du second ordre est fonction de la forme , qui comprend deux constantes arbitraires C1 Et C2.

Une solution particulière d'une équation différentielle du second ordre est une solution obtenue à partir d'une solution générale pour certaines valeurs de constantes arbitraires C1 Et C2.

3.2. Equations différentielles homogènes linéaires du second ordre avec coefficients constants.

Équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants appelé une équation de la forme y" + py" + qy = 0, Où p Et q- des valeurs constantes.

Algorithme de résolution d'équations différentielles homogènes du second ordre à coefficients constants

1. Écrivez l'équation différentielle sous la forme : y" + py" + qy = 0.

2. Créez son équation caractéristique, désignant oui"à travers r2, oui"à travers r, oui en 1: r 2 + pr + q = 0

Ce calculateur en ligne vous permet de résoudre des équations différentielles en ligne. Il suffit de saisir votre équation dans le champ approprié, en désignant la dérivée de la fonction par une apostrophe et de cliquer sur le bouton "Résoudre l'équation". Et le système, mis en œuvre sur la base du site Web populaire WolframAlpha, donnera des informations détaillées résoudre une équation différentielle complétement gratuit. Vous pouvez également définir un problème de Cauchy pour sélectionner parmi l'ensemble des solutions possibles le quotient qui correspond aux conditions initiales données. Le problème de Cauchy est inscrit dans un champ séparé.

Équation différentielle

Par défaut, la fonction dans l'équation oui est fonction d'une variable X. Cependant, vous pouvez spécifier votre propre désignation pour la variable ; si vous écrivez, par exemple, y(t) dans l'équation, la calculatrice reconnaîtra automatiquement que oui il y a une fonction à partir d'une variable t. A l'aide d'une calculatrice, vous pouvez résoudre des équations différentielles de toute complexité et de tout type : homogènes et inhomogènes, linéaires ou non linéaires, du premier ordre ou du deuxième ordre et supérieur, équations à variables séparables ou non séparables, etc. Différence de solution. l'équation est donnée sous forme analytique et a une description détaillée. Les équations différentielles sont très courantes en physique et en mathématiques. Sans les calculer, il est impossible de résoudre de nombreux problèmes (notamment en physique mathématique).

L'une des étapes de la résolution des équations différentielles consiste à intégrer des fonctions. Il existe des méthodes standard pour résoudre des équations différentielles. Il est nécessaire de réduire les équations à une forme avec des variables séparables y et x et d'intégrer séparément les fonctions séparées. Pour ce faire, un certain remplacement doit parfois être effectué.

Rappelons la tâche à laquelle nous étions confrontés lors de la recherche d'intégrales définies :

ou dy = f(x)dx. Sa solution :

et cela revient à calculer l’intégrale indéfinie. En pratique, une tâche plus complexe est plus souvent rencontrée : trouver la fonction oui, si l'on sait qu'il satisfait une relation de la forme

Cette relation relie la variable indépendante X, fonction inconnue oui et ses dérivés à hauteur de l'ordre n inclus, sont appelés .

Une équation différentielle comprend une fonction sous le signe des dérivées (ou différentielles) d'un ordre ou d'un autre. L'ordre le plus élevé est appelé ordre (9.1) .

Équations différentielles:

- Premier ordre,

Deuxième ordre

- cinquième ordre, etc.

La fonction qui satisfait une équation différentielle donnée est appelée sa solution , ou intégrale . Le résoudre, c’est trouver toutes ses solutions. Si pour la fonction requise oui réussi à obtenir une formule qui donne toutes les solutions, alors on dit qu'on a trouvé sa solution générale , ou intégrale générale .

Décision commune contient n constantes arbitraires et on dirait

Si l’on obtient une relation qui concerne x, y Et n constantes arbitraires, sous une forme non autorisée par rapport à oui -

alors une telle relation est appelée l'intégrale générale de l'équation (9.1).

Problème de Cauchy

Chaque solution spécifique, c'est-à-dire chaque fonction spécifique qui satisfait une équation différentielle donnée et ne dépend pas de constantes arbitraires, est appelée une solution particulière. , ou une intégrale partielle. Pour obtenir des solutions particulières (intégrales) à partir de solutions générales, les constantes doivent recevoir des valeurs numériques spécifiques.

Le graphique d’une solution particulière est appelé courbe intégrale. La solution générale, qui contient toutes les solutions partielles, est une famille de courbes intégrales. Pour une équation du premier ordre cette famille dépend d'une constante arbitraire, pour l'équation n-ième commande - à partir de n constantes arbitraires.

Le problème de Cauchy consiste à trouver une solution particulière à l'équation n-ième ordre, satisfaisant n conditions initiales:

par lequel n constantes c 1, c 2,..., c n sont déterminées.

équations différentielles du 1er ordre

Pour une équation différentielle du 1er ordre non résolue par rapport à la dérivée, elle a la forme

ou pour permis relativement

Exemple 3.46. Trouver la solution générale de l'équation

Solution. En intégrant, on obtient

où C est une constante arbitraire. Si nous attribuons des valeurs numériques spécifiques à C, nous obtenons des solutions particulières, par exemple,

Exemple 3.47. Considérons une somme d'argent croissante déposée à la banque sous réserve de l'accumulation de 100 r intérêts composés par an. Soit Yo le montant d'argent initial, et Yx - à la fin X années. Si les intérêts sont calculés une fois par an, nous obtenons

où x = 0, 1, 2, 3,.... Lorsque les intérêts sont calculés deux fois par an, on obtient

où x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Lors du calcul des intérêts n une fois par an et si x prend les valeurs séquentielles 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., puis

Désignez 1/n = h, alors l’égalité précédente ressemblera à :

Avec un grossissement illimité n(à ) à la limite, nous arrivons au processus d'augmentation du montant d'argent avec accumulation continue d'intérêts :

Il est donc clair qu'avec un changement continu X la loi de variation de la masse monétaire est exprimée par une équation différentielle du premier ordre. Où Y x est une fonction inconnue, X- variable indépendante, r- constante. Résolvons cette équation, pour ce faire nous la réécrivons comme suit :

où , ou , où P désigne e C .

A partir des conditions initiales Y(0) = Yo, on trouve P : Yo = Pe o, d'où, Yo = P. La solution a donc la forme :

Considérons le deuxième problème économique. Les modèles macroéconomiques sont également décrits par des équations différentielles linéaires du 1er ordre, décrivant les changements de revenu ou de production Y en fonction du temps.

Exemple 3.48. Supposons que le revenu national Y augmente à un taux proportionnel à sa valeur :

et laissez le déficit des dépenses publiques être directement proportionnel au revenu Y avec le coefficient de proportionnalité q. Un déficit de dépenses entraîne une augmentation de la dette nationale D :

Conditions initiales Y = Yo et D = Do à t = 0. D'après la première équation Y= Yoe kt. En remplaçant Y, nous obtenons dD/dt = qYoe kt . La solution générale a la forme
D = (q/ k) Yoe kt +С, où С = const, qui est déterminé à partir des conditions initiales. En substituant les conditions initiales, nous obtenons Do = (q/ k)Yo + C. Donc, finalement,

D = Faire +(q/ k)Yo (e kt -1),

cela montre que la dette nationale augmente au même rythme relatif k, la même chose que le revenu national.

Considérons les équations différentielles les plus simples nème ordre, ce sont des équations de la forme

Sa solution générale peut être obtenue en utilisant n fois les intégrations.

Exemple 3.49. Prenons l'exemple y """ = cos x.

Solution. En intégrant, on trouve

La solution générale a la forme

Équations différentielles linéaires

Ils sont largement utilisés en économie ; envisageons de résoudre de telles équations. Si (9.1) a la forme :

alors on l'appelle linéaire, où рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) reçoivent des fonctions. Si f(x) = 0, alors (9.2) est dit homogène, sinon il est dit inhomogène. La solution générale de l'équation (9.2) est égale à la somme de l'une de ses solutions particulières y(x) et la solution générale de l'équation homogène qui lui correspond :

Si les coefficients р o (x), р 1 (x),..., р n (x) sont constants, alors (9.2)

(9.4) est appelée une équation différentielle linéaire à coefficients d'ordre constants n .

Car (9.4) a la forme :

Sans perte de généralité, on peut poser p o = 1 et écrire (9.5) sous la forme

Nous chercherons une solution (9.6) sous la forme y = e kx, où k est une constante. Nous avons: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . En substituant les expressions résultantes dans (9.6), nous aurons :

(9.7) est une équation algébrique, son inconnue est k, cela s’appelle caractéristique. L'équation caractéristique a un degré n Et n racines, parmi lesquelles elles peuvent être à la fois multiples et complexes. Soient k 1 , k 2 ,..., k n réels et distincts, alors - solutions particulières (9.7), et générales

Considérons une équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants :

Son équation caractéristique a la forme

(9.9)

son discriminant D = p 2 - 4q, selon le signe de D, trois cas sont possibles.

1. Si D>0, alors les racines k 1 et k 2 (9.9) sont réelles et différentes, et la solution générale a la forme :

Solution.Équation caractéristique : k 2 + 9 = 0, d'où k = ± 3i, a = 0, b = 3, la solution générale a la forme :

y = C 1 cos 3x + C 2 péché 3x.

Des équations différentielles linéaires du 2ème ordre sont utilisées lors de l'étude d'un modèle économique de type Web avec des stocks de biens, où le taux de variation du prix P dépend de la taille des stocks (voir paragraphe 10). Si l’offre et la demande sont des fonctions linéaires du prix, c’est-à-dire

a est une constante qui détermine le taux de réaction, alors le processus de changement de prix est décrit par l'équation différentielle :

Pour une solution particulière, nous pouvons prendre une constante

prix d’équilibre significatif. Déviation satisfait l'équation homogène

(9.10)

L'équation caractéristique sera la suivante :

Dans le cas où le terme est positif. Notons . Les racines de l'équation caractéristique k 1,2 = ± i w, donc la solution générale (9.10) a la forme :

où C et sont des constantes arbitraires, elles sont déterminées à partir des conditions initiales. Nous avons obtenu la loi de variation des prix dans le temps :

Entrez votre équation différentielle, l'apostroa "" est utilisée pour saisir la dérivée, appuyez sur Soumettre pour obtenir la solution