Théorèmes d'addition et de multiplication de probabilité.
Événements dépendants et indépendants

Le titre fait peur, mais en réalité tout est très simple. Dans cette leçon, nous nous familiariserons avec les théorèmes d'addition et de multiplication des probabilités d'événements et analyserons également les problèmes typiques qui, avec problème sur la détermination classique de la probabilité vous vous rencontrerez certainement ou, plus probablement, vous vous serez déjà rencontrés sur votre chemin. Pour étudier efficacement les éléments de cet article, vous devez connaître et comprendre les termes de base théorie des probabilités et être capable d'effectuer des opérations arithmétiques simples. Comme vous pouvez le constater, il en faut très peu et, par conséquent, un plus gros dans l'actif est presque garanti. Mais d'un autre côté, je mets encore une fois en garde contre une attitude superficielle à l'égard d'exemples pratiques - il y a aussi beaucoup de subtilités. Bonne chance:

Théorème pour ajouter des probabilités d'événements incompatibles: probabilité d'occurrence de l'un des deux incompatible des événements ou (peu importe ce que), est égal à la somme des probabilités de ces événements :

Un fait similaire est vrai pour un plus grand nombre d’événements incompatibles, par exemple pour trois événements incompatibles et :

Le théorème est un rêve =) Cependant, un tel rêve est soumis à une preuve, que l'on peut trouver par exemple dans le manuel de V.E. Gmurman.

Faisons connaissance avec de nouveaux concepts jusqu'alors inconnus :

Événements dépendants et indépendants

Commençons par les événements indépendants. Les événements sont indépendant , si la probabilité d'occurrence n'importe lequel d'entre eux ne dépend pas sur l'apparition/non-apparition d'autres événements de l'ensemble considéré (dans toutes les combinaisons possibles). ...Mais pourquoi s'embêter à essayer des phrases générales :

Théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants: la probabilité d'occurrence conjointe d'événements indépendants et est égale au produit des probabilités de ces événements :

Revenons à l'exemple le plus simple de la 1ère leçon, dans laquelle deux pièces sont lancées et les événements suivants :

– des faces apparaîtront sur la 1ère pièce ;
– des têtes apparaîtront sur la 2ème pièce.

Trouvons la probabilité de l'événement (face apparaîtra sur la 1ère pièce Et un aigle apparaîtra sur la 2ème pièce - rappelez-vous comment lire produit d'événements!) . La probabilité d'obtenir face sur une pièce ne dépend en aucun cas du résultat du lancer d'une autre pièce, les événements sont donc indépendants.

De même:
– la probabilité que la 1ère pièce tombe face Et sur la 2ème queue ;
– la probabilité que face apparaisse sur la 1ère pièce Et sur la 2ème queue ;
– la probabilité que la 1ère pièce montre face Et au 2ème aigle.

Notez que le formulaire d'événements groupe complet et la somme de leurs probabilités est égale à un : .

Le théorème de multiplication s'étend évidemment à un plus grand nombre d'événements indépendants, par exemple, si les événements sont indépendants, alors la probabilité de leur occurrence conjointe est égale à : . Pratiquons avec des exemples précis :

Problème 3

Chacune des trois boîtes contient 10 pièces. La première boîte contient 8 pièces standard, la deuxième – 7, la troisième – 9. Une pièce est retirée au hasard de chaque boîte. Trouvez la probabilité que toutes les pièces soient standard.

Solution: La probabilité de tirer une pièce standard ou non standard d'une boîte ne dépend pas des pièces extraites des autres boîtes, le problème concerne donc des événements indépendants. Considérez les événements indépendants suivants :

– une pièce étalon est retirée de la 1ère case ;
– une pièce étalon a été retirée du 2ème carton ;
– une pièce étalon est retirée de la 3ème case.

Selon la définition classique :
sont les probabilités correspondantes.

Événement qui nous intéresse (une pièce standard sera retirée de la 1ère case Età partir du 2ème standard Età partir de la 3ème norme) est exprimé par le produit.

D'après le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :

– la probabilité qu'une pièce standard soit retirée de trois cases.

Répondre: 0,504

Après des exercices revigorants avec des coffrets, des urnes non moins intéressantes nous attendent :

Problème 4

Trois urnes contiennent 6 boules blanches et 4 boules noires. Une boule est tirée au hasard dans chaque urne. Trouvez la probabilité que : a) les trois boules soient blanches ; b) les trois boules seront de la même couleur.

Sur la base des informations reçues, devinez comment gérer le point « être » ;-) Un exemple approximatif de solution est conçu dans un style académique avec une description détaillée de tous les événements.

Événements dépendants. L'événement s'appelle dépendant , si sa probabilité dépend d'un ou plusieurs événements déjà survenus. Vous n'avez pas besoin d'aller bien loin pour trouver des exemples - rendez-vous simplement au magasin le plus proche :

– demain à 19h00 du pain frais sera en vente.

La probabilité de cet événement dépend de nombreux autres événements : si du pain frais sera livré demain, s'il sera épuisé avant 19 heures ou non, etc. Selon diverses circonstances, cet événement peut être soit fiable, soit impossible. L'événement est donc dépendant.

Du pain... et, comme le réclamaient les Romains, des cirques :

– lors de l’examen, l’étudiant recevra un simple ticket.

Si vous n'êtes pas le tout premier, alors l'événement sera dépendant, puisque sa probabilité dépendra des billets déjà tirés par les camarades de classe.

Comment déterminer la dépendance/indépendance des événements ?

Parfois, cela est directement indiqué dans l'énoncé du problème, mais le plus souvent, vous devez effectuer une analyse indépendante. Il n'y a pas de ligne directrice sans ambiguïté ici, et le fait de dépendance ou d'indépendance des événements découle d'un raisonnement logique naturel.

Afin de ne pas tout regrouper en un seul tas, tâches pour les événements dépendants Je vais souligner la leçon suivante, mais pour l'instant, nous considérerons l'ensemble de théorèmes le plus courant dans la pratique :

Problèmes sur les théorèmes d'addition pour les probabilités incompatibles
et multiplier les probabilités d'événements indépendants

Ce tandem, selon mon évaluation subjective, fonctionne dans environ 80 % des tâches sur le sujet considéré. Coup de hits et véritable classique de la théorie des probabilités :

Problème 5

Deux tireurs ont tiré chacun un coup sur la cible. La probabilité de toucher le premier tireur est de 0,8, pour le second de 0,6. Trouvez la probabilité que :

a) un seul tireur atteindra la cible ;
b) au moins un des tireurs atteindra la cible.

Solution: Le taux de réussite/échec d'un tireur est évidemment indépendant des performances de l'autre tireur.

Considérons les événements :
– Le 1er tireur touchera la cible ;
– Le 2ème tireur touchera la cible.

Par condition : .

Trouvons les probabilités d'événements opposés - que les flèches correspondantes manqueront :

a) Considérons l'événement : – un seul tireur atteindra la cible. Cet événement se compose de deux résultats incompatibles :

Le 1er tireur frappera Et le 2ème manquera
ou
le 1er va manquer Et Le 2ème frappera.

Sur la langue algèbres d'événements ce fait s'écrira par la formule suivante :

On utilise d'abord le théorème d'addition des probabilités d'événements incompatibles, puis le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :

– la probabilité qu'il n'y ait qu'un seul coup sûr.

b) Considérons l'événement : – au moins un des tireurs atteint la cible.

Tout d’abord, RÉFLÉCHISSONS : que signifie la condition « AU MOINS UN » ? Dans ce cas, cela signifie que soit le 1er tireur touchera (le 2ème ratera) ou 2ème (le 1er manquera) ou les deux tireurs à la fois - un total de 3 résultats incompatibles.

Première méthode: compte tenu de la probabilité immédiate du point précédent, il convient de représenter l'événement comme la somme des événements incompatibles suivants :

quelqu'un y arrivera (un événement composé à son tour de 2 résultats incompatibles) ou
Si les deux flèches touchent, nous désignons cet événement par la lettre .

Ainsi:

D'après le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :
– probabilité que le 1er tireur touche Et Le 2ème tireur frappera.

D'après le théorème d'addition de probabilités d'événements incompatibles :
– la probabilité d'au moins un coup sûr sur la cible.

Deuxième méthode: Considérons l'événement inverse : – les deux tireurs rateront.

D'après le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :

Par conséquent:

Portez une attention particulière à la deuxième méthode - en général, elle est plus rationnelle.

De plus, il existe une troisième façon alternative de le résoudre, basée sur le théorème d'addition d'événements conjoints, qui n'a pas été mentionné ci-dessus.

! Si vous découvrez le matériel pour la première fois, afin d'éviter toute confusion, il est préférable de sauter le paragraphe suivant.

Troisième méthode : les événements sont compatibles, ce qui signifie que leur somme exprime l'événement « au moins un tireur touchera la cible » (voir. algèbre des événements). Par le théorème d'addition de probabilités d'événements conjoints et le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :

Vérifions : les événements et (0, 1 et 2 coups respectivement) forment un groupe complet, donc la somme de leurs probabilités doit être égale à un :
, c'est ce qui devait être vérifié.

Répondre:

Avec une étude approfondie de la théorie des probabilités, vous rencontrerez des dizaines de problèmes à contenu militariste et, de manière caractéristique, après cela, vous ne voudrez plus tirer sur personne - les problèmes sont presque un cadeau. Pourquoi ne pas simplifier également le modèle ? Raccourcissons l'entrée :

Solution: par condition : , est la probabilité de toucher les tireurs correspondants. Puis les probabilités de leur échec :

a) D'après les théorèmes d'addition de probabilités d'incompatibilité et de multiplication de probabilités d'événements indépendants :
– la probabilité qu’un seul tireur atteigne la cible.

b) D'après le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :
– la probabilité que les deux tireurs ratent leur coup.

Ensuite : – la probabilité qu'au moins un des tireurs atteigne la cible.

Répondre:

En pratique, vous pouvez utiliser n'importe quelle option de conception. Bien sûr, ils empruntent beaucoup plus souvent le chemin court, mais il ne faut pas oublier la 1ère méthode - même si elle est plus longue, elle est plus significative - elle est plus claire, quoi, pourquoi et pourquoi ajoute et multiplie. Dans certains cas, un style hybride est approprié lorsqu'il est pratique d'utiliser des lettres majuscules pour indiquer uniquement certains événements.

Tâches similaires pour une solution indépendante :

Problème 6

Pour signaler un incendie, deux capteurs fonctionnant indépendamment sont installés. Les probabilités que le capteur fonctionne en cas d'incendie sont respectivement de 0,5 et 0,7 pour le premier et le deuxième capteur. Déterminez la probabilité que lors d'un incendie :

a) les deux capteurs tomberont en panne ;
b) les deux capteurs fonctionneront.
c) Utilisation le théorème d'addition des probabilités d'événements formant un groupe complet, trouvez la probabilité qu'en cas d'incendie, un seul capteur fonctionne. Vérifiez le résultat en calculant directement cette probabilité (en utilisant les théorèmes d'addition et de multiplication).

Ici, l'indépendance de fonctionnement des appareils est directement indiquée dans la condition, ce qui constitue d'ailleurs une clarification importante. L’exemple de solution est conçu dans un style académique.

Et si dans un problème similaire les mêmes probabilités étaient données, par exemple 0,9 et 0,9 ? Vous devez décider exactement de la même manière ! (ce qui a d'ailleurs déjà été démontré dans l'exemple avec deux pièces)

Problème 7

La probabilité que le premier tireur touche la cible d'un seul coup est de 0,8. La probabilité que la cible ne soit pas touchée après que le premier et le deuxième tireurs ont tiré chacun un coup est de 0,08. Quelle est la probabilité que le deuxième tireur atteigne la cible d’un seul coup ?

Et ceci est un petit puzzle conçu de manière courte. La condition peut être reformulée de manière plus succincte, mais je ne refaireai pas l'original - en pratique, je dois me plonger dans des fabrications plus ornées.

Rencontrez-le, c'est lui qui a prévu énormément de détails pour vous =) :

Problème 8

Un ouvrier fait fonctionner trois machines. La probabilité qu'au cours d'un quart de travail la première machine nécessite un réglage est de 0,3, la deuxième de 0,75 et la troisième de 0,4. Trouvez la probabilité que pendant le quart de travail :

a) toutes les machines nécessiteront un réglage ;
b) une seule machine nécessitera un réglage ;
c) au moins une machine nécessitera un réglage.

Solution: puisque la condition ne dit rien sur un seul processus technologique, alors le fonctionnement de chaque machine doit être considéré comme indépendant du fonctionnement des autres machines.

Par analogie avec le problème n°5, vous pouvez ici prendre en compte les événements pour lesquels les machines correspondantes nécessiteront des ajustements pendant le quart de travail, noter les probabilités, trouver les probabilités d'événements opposés, etc. Mais avec trois objets, je n’ai plus vraiment envie de formater la tâche de cette façon – cela s’avérerait long et fastidieux. Par conséquent, il est sensiblement plus rentable d'utiliser ici le style « rapide » :

Selon la condition : – la probabilité que pendant le quart de travail les machines correspondantes nécessitent un réglage. Alors les probabilités qu’ils ne nécessitent pas d’attention sont :

Un des lecteurs a trouvé une faute de frappe sympa ici, je ne la corrigerai même pas =)

a) D'après le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :
– la probabilité que pendant le quart de travail, les trois machines nécessitent des ajustements.

b) L'événement « Pendant le quart de travail, une seule machine nécessitera un réglage » comprend trois résultats incompatibles :

1) 1er appareil il faudra attention Et 2ème appareil ne nécessitera pas Et 3ème appareil ne nécessitera pas
ou:
2) 1er appareil ne nécessitera pas attention Et 2ème appareil il faudra Et 3ème appareil ne nécessitera pas
ou:
3) 1er appareil ne nécessitera pas attention Et 2ème appareil ne nécessitera pas Et 3ème appareil il faudra.

D'après les théorèmes d'addition de probabilités d'incompatibilité et de multiplication de probabilités d'événements indépendants :

– la probabilité qu'au cours d'une équipe, une seule machine nécessite un réglage.

Je pense que maintenant tu devrais comprendre d'où vient l'expression

c) Calculons la probabilité que les machines ne nécessitent pas de réglage, puis la probabilité de l'événement inverse :
– qu'au moins une machine nécessitera un réglage.

Répondre:

Le point « ve » peut également être résolu par la somme , où est la probabilité qu'au cours d'un quart de travail, seules deux machines nécessitent un ajustement. Cet événement, à son tour, comprend 3 résultats incompatibles, qui sont décrits par analogie avec le point « être ». Essayez de trouver vous-même la probabilité pour vérifier l'ensemble du problème en utilisant l'égalité.

Problème 9

Une salve a été tirée par trois canons sur la cible. La probabilité de toucher avec un seul coup du premier pistolet est de 0,7, du deuxième – 0,6, du troisième – 0,8. Trouvez la probabilité que : 1) au moins un projectile touche la cible ; 2) seuls deux obus atteindront la cible ; 3) la cible sera touchée au moins deux fois.

La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

Et encore une fois sur les coïncidences : si, selon la condition, deux ou même toutes les valeurs des probabilités initiales coïncident (par exemple, 0,7, 0,7 et 0,7), alors exactement le même algorithme de solution doit être suivi.

Pour conclure l’article, examinons une autre énigme courante :

Problème 10

Le tireur atteint la cible avec la même probabilité à chaque tir. Quelle est cette probabilité si la probabilité d'au moins un coup sûr avec trois tirs est de 0,973.

Solution: désignons par – la probabilité de toucher la cible à chaque tir.
et à travers - la probabilité d'un échec à chaque tir.

Et écrivons les événements :
– avec 3 tirs, le tireur touchera la cible au moins une fois ;
– le tireur ratera 3 fois.

Par condition, alors la probabilité de l'événement inverse :

En revanche, d'après le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :

Ainsi:

- la probabilité de rater à chaque tir.

Par conséquent:
– la probabilité de toucher à chaque tir.

Répondre: 0,7

Simple et élégant.

Dans le problème considéré, des questions supplémentaires peuvent être posées sur la probabilité d'un seul coup sûr, de deux coups sûrs et de la probabilité de trois coups sûrs sur la cible. Le schéma de solution sera exactement le même que dans les deux exemples précédents :

Toutefois, la différence fondamentale et substantielle est qu'il existe ici tests indépendants répétés, qui sont exécutés séquentiellement, indépendamment les uns des autres et avec la même probabilité de résultats.

L'étude de la théorie des probabilités commence par la résolution de problèmes impliquant l'addition et la multiplication de probabilités. Il convient de mentionner d'emblée qu'un étudiant peut rencontrer un problème lors de la maîtrise de ce domaine de connaissances : si les processus physiques ou chimiques peuvent être représentés visuellement et compris empiriquement, alors le niveau d'abstraction mathématique est très élevé, et la compréhension ici ne vient que avec de l'expérience.

Cependant, le jeu en vaut la chandelle, car les formules - aussi bien celles évoquées dans cet article que les plus complexes - sont utilisées partout aujourd'hui et pourraient bien être utiles au travail.

Origine

Curieusement, le moteur du développement de cette branche des mathématiques était... le jeu. En effet, les dés, le tirage au sort, le poker, la roulette sont des exemples typiques qui utilisent l'addition et la multiplication de probabilités. Cela peut être clairement constaté à l’aide des exemples de problèmes contenus dans n’importe quel manuel. Les gens souhaitaient apprendre à augmenter leurs chances de gagner, et il faut dire que certains y sont parvenus.

Par exemple, déjà au 21e siècle, une personne, dont nous ne divulguerons pas le nom, a utilisé ces connaissances accumulées au fil des siècles pour littéralement « nettoyer » le casino, gagnant plusieurs dizaines de millions de dollars à la roulette.

Cependant, malgré l'intérêt croissant pour le sujet, ce n'est qu'au XXe siècle qu'un cadre théorique a été développé qui a rendu le « théorème » complet. Aujourd'hui, dans presque toutes les sciences, on peut trouver des calculs utilisant des méthodes probabilistes.

Applicabilité

Un point important lors de l'utilisation de formules d'addition et de multiplication de probabilités et de probabilités conditionnelles est la satisfiabilité du théorème central limite. Autrement, même si l’élève ne s’en rend pas compte, tous les calculs, aussi plausibles soient-ils, seront incorrects.

Oui, un étudiant très motivé est tenté d’utiliser de nouvelles connaissances à chaque occasion. Mais dans ce cas, il faut ralentir un peu et définir strictement le champ d'application.

La théorie des probabilités traite d'événements aléatoires qui, en termes empiriques, représentent les résultats d'expériences : nous pouvons lancer un dé à six faces, tirer une carte d'un jeu, prédire le nombre de pièces défectueuses dans un lot. Cependant, dans certaines questions, il est strictement interdit d'utiliser des formules de cette section des mathématiques. Nous aborderons les caractéristiques de la prise en compte des probabilités d'un événement, les théorèmes d'addition et de multiplication des événements à la fin de l'article, mais passons pour l'instant aux exemples.

Concepts de base

Un événement aléatoire fait référence à un processus ou à un résultat qui peut ou non apparaître à la suite d'une expérience. Par exemple, nous lançons un sandwich – il peut atterrir côté beurre vers le haut ou côté beurre vers le bas. L’une ou l’autre des deux issues sera aléatoire et nous ne savons pas à l’avance laquelle d’entre elles aura lieu.

Lors de l’étude de l’addition et de la multiplication des probabilités, nous aurons besoin de deux autres concepts.

De tels événements sont dits conjoints, dont la survenance de l'un n'exclut pas la survenance de l'autre. Disons que deux personnes tirent sur une cible en même temps. Si l'un d'eux réussit, cela n'affectera en rien la capacité du second à faire mouche ou à rater.

Les événements incompatibles seront les événements dont la survenance simultanée est impossible. Par exemple, si vous sortez une seule balle d’une boîte, vous ne pouvez pas obtenir à la fois du bleu et du rouge.

Désignation

Le concept de probabilité est désigné par la lettre majuscule latine P. Entre parenthèses se trouvent ensuite les arguments désignant certains événements.

Dans les formules du théorème d'addition, de probabilité conditionnelle et de multiplication, vous verrez des expressions entre parenthèses, par exemple : A+B, AB ou A|B. Ils seront calculés de différentes manières et nous allons maintenant nous y tourner.

Ajout

Considérons les cas dans lesquels des formules d'addition et de multiplication de probabilités sont utilisées.

Pour les événements incompatibles, la formule d'addition la plus simple est pertinente : la probabilité de l'un des résultats aléatoires sera égale à la somme des probabilités de chacun de ces résultats.

Supposons qu’il y ait une boîte avec 2 billes bleues, 3 billes rouges et 5 billes jaunes. Il y a un total de 10 éléments dans la boîte. Quelle est la vérité de l’affirmation selon laquelle nous tirerons une boule bleue ou une boule rouge ? Il sera égal à 2/10 + 3/10, soit cinquante pour cent.

Dans le cas d'événements incompatibles, la formule se complique puisqu'un terme supplémentaire est ajouté. Revenons-y dans un paragraphe, après avoir considéré une autre formule.

Multiplication

L'addition et la multiplication des probabilités d'événements indépendants sont utilisées dans différents cas. Si, selon les conditions de l’expérience, nous sommes satisfaits de l’un des deux résultats possibles, nous calculerons la somme ; si nous voulons obtenir deux résultats l’un après l’autre, nous aurons recours à une formule différente.

En revenant à l’exemple de la section précédente, nous voulons dessiner d’abord la boule bleue, puis la rouge. Nous connaissons le premier chiffre : 2/10. Que se passe-t-il ensuite ? Il reste 9 boules, et il y a toujours le même nombre de boules rouges - trois. Selon les calculs, ce sera 3/9 ou 1/3. Mais que faire maintenant avec deux nombres ? La bonne réponse est de multiplier pour obtenir 2/30.

Événements conjoints

Nous pouvons désormais nous tourner à nouveau vers la formule de somme pour les événements communs. Pourquoi avons-nous été distraits du sujet ? Pour découvrir comment les probabilités sont multipliées. Nous aurons maintenant besoin de ces connaissances.

Nous savons déjà quels seront les deux premiers termes (les mêmes que dans la formule d'addition évoquée précédemment), mais nous devons maintenant soustraire le produit des probabilités, que nous venons d'apprendre à calculer. Pour plus de clarté, écrivons la formule : P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Il s'avère que l'addition et la multiplication des probabilités sont utilisées dans une seule expression.

Disons que nous devons résoudre l'un des deux problèmes suivants pour obtenir un crédit. Nous pouvons résoudre le premier avec une probabilité de 0,3 et le second avec une probabilité de 0,6. Solution : 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Notez que la simple addition des chiffres ici ne suffira pas.

Probabilite conditionnelle

Il y a enfin la notion de probabilité conditionnelle dont les arguments sont indiqués entre parenthèses et séparés par une barre verticale. L'entrée P(A|B) se lit comme suit : « la probabilité de l'événement A étant donné l'événement B ».

Prenons un exemple : un ami vous offre un appareil, que ce soit un téléphone. Il peut être cassé (20 %) ou intact (80 %). Vous êtes capable de réparer n'importe quel appareil qui vous tombe entre les mains avec une probabilité de 0,4, ou vous ne parvenez pas à le faire (0,6). Enfin, si l'appareil est en état de marche, vous pourrez joindre la bonne personne avec une probabilité de 0,7.

Il est facile de voir comment la probabilité conditionnelle joue dans ce cas : vous ne pourrez pas joindre une personne si le téléphone est cassé, mais s'il fonctionne, vous n'avez pas besoin de le réparer. Ainsi, afin d'obtenir des résultats au « deuxième niveau », vous devez savoir quel événement a été exécuté au premier.

Calculs

Examinons des exemples de résolution de problèmes impliquant l'addition et la multiplication de probabilités, en utilisant les données du paragraphe précédent.

Tout d'abord, trouvons la probabilité que vous répariez l'appareil qui vous a été remis. Pour ce faire, premièrement, il doit être défectueux, et deuxièmement, vous devez pouvoir le réparer. Il s'agit d'un problème typique utilisant la multiplication : nous obtenons 0,2 * 0,4 = 0,08.

Quelle est la probabilité que vous atteigniez immédiatement la bonne personne ? C'est aussi simple que ça : 0,8*0,7 = 0,56. Dans ce cas, vous avez constaté que le téléphone fonctionne et avez passé l'appel avec succès.

Enfin, considérez ce scénario : vous recevez un téléphone cassé, vous le réparez, puis vous composez un numéro et la personne à l'autre bout du fil décroche. Ici, nous devons déjà multiplier trois composants : 0,2*0,4*0,7 = 0,056.

Que faire si vous avez deux téléphones qui ne fonctionnent pas à la fois ? Quelle est la probabilité que vous répariez au moins l’un d’entre eux ? sur l'addition et la multiplication des probabilités, puisque des événements conjoints sont utilisés. Solution : 0,4 + 0,4 - 0,4*0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Ainsi, si vous recevez deux appareils cassés, vous pourrez les réparer dans 64% des cas.

Utilisation prudente

Comme indiqué au début de l’article, l’utilisation de la théorie des probabilités doit être délibérée et consciente.

Plus la série d’expériences est grande, plus la valeur théorique prédite se rapproche de celle obtenue en pratique. Par exemple, nous jetons une pièce de monnaie. Théoriquement, connaissant l'existence de formules d'addition et de multiplication des probabilités, nous pouvons prédire combien de fois « pile » et « face » apparaîtront si nous effectuons l'expérience 10 fois. Nous avons mené une expérience et, par coïncidence, le rapport des côtés dessinés était de 3 à 7. Mais si nous effectuons une série de 100, 1000 tentatives ou plus, il s'avère que le graphique de distribution se rapproche de plus en plus de celui théorique : 44 à 56, 482 à 518, et ainsi de suite.

Imaginez maintenant que cette expérience soit réalisée non pas avec une pièce de monnaie, mais avec la production d'une nouvelle substance chimique dont nous ne connaissons pas la probabilité. Nous ferions 10 expériences et, sans obtenir de résultat positif, nous pourrions généraliser : « il est impossible d’obtenir la substance ». Mais qui sait, si nous avions fait la onzième tentative, aurions-nous atteint notre objectif ou non ?

Donc, si vous partez vers l’inconnu, dans une zone inexplorée, la théorie des probabilités risque de ne pas s’appliquer. Dans ce cas, chaque tentative ultérieure peut être couronnée de succès et des généralisations telles que « X n'existe pas » ou « X est impossible » seront prématurées.

Dernier mot

Nous avons donc examiné deux types d’addition, de multiplication et de probabilités conditionnelles. Avec une étude plus approfondie de ce domaine, il est nécessaire d'apprendre à distinguer les situations dans lesquelles chaque formule spécifique est utilisée. De plus, vous devez imaginer si les méthodes probabilistes sont généralement applicables pour résoudre votre problème.

Si vous pratiquez, après un certain temps, vous commencerez à effectuer toutes les opérations requises exclusivement dans votre esprit. Pour ceux qui s'intéressent aux jeux de cartes, cette compétence peut être considérée comme extrêmement précieuse : vous augmenterez considérablement vos chances de gagner simplement en calculant la probabilité qu'une carte ou une couleur particulière tombe. Cependant, vous pouvez facilement trouver une application des connaissances acquises dans d'autres domaines d'activité.

Concepts de base
Les événements sont dits incompatibles si la survenance de l’un d’eux exclut la survenance d’autres événements dans le même procès. Sinon, ils sont appelés conjoints.
Un groupe complet est un ensemble d’événements dont la combinaison constitue un événement fiable.
Les deux seuls événements possibles qui forment un groupe complet sont dits opposés.
Les événements sont dits dépendants si la probabilité d'occurrence de l'un d'eux dépend de l'occurrence ou de la non-occurrence d'autres événements.
Les événements sont dits indépendants si la probabilité de l'un d'eux ne dépend pas de l'occurrence ou de la non-occurrence des autres.
Théorème pour ajouter des probabilités d'événements incompatibles
P(UNE+B)=P(UNE)+P(B),
où A, B sont des événements incompatibles.

Théorème d'addition de probabilités d'événements conjoints
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), où A et B sont des événements conjoints.

Théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants
,
où A et B sont des événements indépendants.
Théorème de multiplication des probabilités d'événements dépendants
P (AB) = P (A) P A (B),
où P A (B) est la probabilité d'occurrence de l'événement B, à condition que l'événement A se soit produit ; A et B sont des événements dépendants.

Tache 1.
Le tireur tire deux coups sur la cible. La probabilité de réussir chaque coup est de 0,8. Composez un groupe complet d'événements et trouvez leurs probabilités. Solution.
Test - Deux coups sont tirés sur une cible.
Événement UN- raté les deux fois.
Événement DANS- frappé une fois.
Événement AVEC- frappé les deux fois.
.

Contrôle: P(A) +P(B) +P(C) = 1.
Tâche 2.
Selon les prévisions des météorologues, P(pluie)=0,4 ; P(vent)=0,7 ; R(pluie et vent)=0,2. Quelle est la probabilité qu’il pleuve ou qu’il y ait du vent ? Solution. Par le théorème d'addition des probabilités et du fait de la compatibilité des événements proposés, on a :
P(pluie ou vent ou les deux)=P(pluie) +P(vent) –P(pluie et vent)=0,4+0,7-0,2=0,9.
Tâche 3.
A la gare de départ, il y a 8 commandes de marchandises à expédier : cinq pour les expéditions intérieures et trois pour l'exportation. Quelle est la probabilité que deux commandes choisies au hasard soient destinées à la consommation intérieure ? Solution.Événement UN– la première commande prise au hasard se fait à l’intérieur du pays. Événement DANS– le second est également destiné à la consommation intérieure. Nous devons trouver la probabilité. Ensuite, par le théorème de la multiplication des probabilités d’événements dépendants, nous avons

Tâche 4.
À partir d’un lot de produits, le marchandiseur sélectionne au hasard les produits de la plus haute qualité. La probabilité que l'élément sélectionné soit de la plus haute qualité est de 0,8 ; première année – 0,7 ; deuxième année – 0,5. Trouvez la probabilité que sur trois produits sélectionnés au hasard, il y ait :
a) seulement deux qualités premium ;
b) tout le monde est différent. Solution. Que l'événement soit un produit de la plus haute qualité ; événement - produit de première classe ; l'événement est un produit de seconde classe.
Selon les conditions du problème ; ; Les événements sont indépendants.
a) Événement UN– seuls deux produits de première qualité ressembleront alors à ceci

b) Événement DANS– les trois produits sont différents – disons-le ainsi : , Alors .
Tâche 5.
Les probabilités d'atteindre la cible lors du tir avec trois canons sont les suivantes : p1= 0,8; p2=0,7; p3=0,9. Trouver la probabilité d'au moins un coup sûr (événement UN) avec une salve de toutes les armes. Solution. La probabilité que chaque arme touche la cible ne dépend pas des résultats du tir d'autres armes, donc les événements considérés (touché par le premier canon), (touché par le deuxième canon) et (touché par le troisième canon) sont indépendants dans l'ensemble.
Les probabilités d'événements opposés aux événements (c'est-à-dire la probabilité de ratés) sont respectivement égales à :

Probabilité requise
Tâche 6.
L'imprimerie dispose de 4 machines à imprimer. Pour chaque machine, la probabilité qu'elle soit en cours d'exécution est de 0,9. Trouver la probabilité qu'au moins une machine fonctionne actuellement (événement UN). Solution. Les événements « la machine fonctionne » et « la machine ne fonctionne pas » (pour le moment) sont opposés, donc la somme de leurs probabilités est égale à un :
La probabilité que la machine ne fonctionne pas actuellement est donc égale à
La probabilité requise. Problème 7. Dans la salle de lecture, il y a 6 manuels de théorie des probabilités, dont trois sont reliés. Le bibliothécaire a pris deux manuels au hasard. Trouvez la probabilité que les deux manuels soient reliés.

Solution. Considérez les événements suivants :
A1 - le premier manuel relié pris ;
A2 est le deuxième manuel relié pris.
Un événement consistant dans le fait que les deux manuels pris sont reliés. Les événements A1 et A2 sont dépendants, puisque la probabilité d'occurrence de l'événement A2 dépend de l'occurrence de l'événement A1. Pour résoudre ce problème, nous utiliserons le théorème de multiplication des probabilités d'événements dépendants : .
La probabilité d'occurrence de l'événement A1 p(A1) conformément à la définition classique de la probabilité :
P(A1)=m/n=3/6=0,5.
La probabilité d'occurrence de l'événement A2 est déterminée par la probabilité conditionnelle d'occurrence de l'événement A2 sous réserve de l'occurrence de l'événement A1, c'est-à-dire (A2)==0,4.
Ensuite, la probabilité souhaitée pour que l'événement se produise :
P(A)=0,5*0,4=0,2.

Notes IMPORTANTES!
1. Si vous voyez du charabia au lieu de formules, videz votre cache. Comment faire cela dans votre navigateur est écrit ici :
2. Avant de commencer à lire l'article, faites attention à notre navigateur pour connaître les ressources les plus utiles pour

Qu'est-ce que la probabilité ?

La première fois que j’ai rencontré ce terme, je n’aurais pas compris de quoi il s’agissait. Je vais donc essayer de l'expliquer clairement.

La probabilité est la chance que l'événement souhaité se produise.

Par exemple, vous avez décidé d’aller chez un ami, vous vous souvenez de l’entrée et même de l’étage où il habite. Mais j'ai oublié le numéro et l'emplacement de l'appartement. Et maintenant, vous êtes sur l'escalier et devant vous, vous avez le choix entre des portes.

Quelle est la chance (probabilité) que si vous sonnez à la première porte, votre ami ouvre la porte à votre place ? Il n'y a que des appartements, et un ami n'habite que derrière l'un d'eux. A chances égales, nous pouvons choisir n’importe quelle porte.

Mais quelle est cette chance ?

La porte, la bonne porte. Probabilité de deviner en sonnant à la première sonnette : . Autrement dit, une fois sur trois, vous devinerez avec précision.

Nous voulons savoir, après avoir appelé une fois, à quelle fréquence devinerons-nous la porte ? Examinons toutes les options :

1. Vous avez appelé 1er porte
2. Vous avez appelé 2ème porte
3. Vous avez appelé 3ème porte

Examinons maintenant toutes les options où un ami pourrait se trouver :

UN. Derrière 1er la porte
b. Derrière 2ème la porte
V. Derrière 3ème la porte

Comparons toutes les options sous forme de tableau. Une coche indique les options lorsque votre choix coïncide avec l'emplacement d'un ami, une croix - lorsqu'il ne coïncide pas.

Comment vois-tu tout Peut être choix l'emplacement de votre ami et votre choix de la porte à sonner.

UN des résultats favorables pour tous . Autrement dit, vous devinerez une fois en sonnant une fois à la porte, c'est-à-dire .

Il s’agit de la probabilité – le rapport entre une issue favorable (lorsque votre choix coïncide avec l’emplacement de votre ami) et le nombre d’événements possibles.

La définition est la formule. La probabilité est généralement notée p, donc :

Il n'est pas très pratique d'écrire une telle formule, nous prendrons donc pour - le nombre d'issues favorables, et pour - le nombre total d'issues.

La probabilité peut s'écrire en pourcentage ; pour ce faire, vous devez multiplier le résultat obtenu par :

Le mot « résultats » a probablement attiré votre attention. Puisque les mathématiciens appellent diverses actions (dans notre cas, une telle action est une sonnette) des expériences, le résultat de telles expériences est généralement appelé le résultat.

Eh bien, il y a des résultats favorables et défavorables.

Revenons à notre exemple. Disons que nous avons sonné à l'une des portes, mais qu'un étranger nous l'a ouverte. Nous n'avons pas bien deviné. Quelle est la probabilité que si nous sonnons à l’une des portes restantes, notre ami nous l’ouvre ?

Si vous pensiez cela, alors c'est une erreur. Voyons cela.

Il nous reste deux portes. Nous avons donc des étapes possibles :

1) Appeler 1er porte
2) Appeler 2ème porte

L’ami, malgré tout cela, est définitivement derrière l’un d’eux (après tout, il n’était pas derrière celui que nous avons appelé) :

a) Ami pour 1er la porte
b) Ami pour 2ème la porte

Dessinons à nouveau le tableau :

Comme vous pouvez le constater, il n’existe que des options favorables. Autrement dit, la probabilité est égale.

Pourquoi pas?

La situation que nous avons considérée est exemple d'événements dépendants. Le premier événement est la première sonnette, le deuxième événement est la deuxième sonnette.

Et ils sont appelés dépendants car ils influencent les actions suivantes. Après tout, si après la première sonnerie, un ami répondait à la sonnette, quelle serait la probabilité qu'il se trouve derrière l'un des deux autres ? Droite, .

Mais s’il y a des événements dépendants, alors il doit aussi y en avoir. indépendant? C'est vrai, cela arrive.

Un exemple classique est de lancer une pièce de monnaie.

1. Lancez une pièce de monnaie une fois. Quelle est la probabilité d’obtenir face, par exemple ? C'est vrai - car il y a toutes les options (que ce soit face ou face, nous négligerons la probabilité que la pièce atterrisse sur sa tranche), mais cela ne convient qu'à nous.
2. Mais c'est tombé sur face. D'accord, relançons-le. Quelle est la probabilité d’obtenir face maintenant ? Rien n'a changé, tout est pareil. Combien d'options ? Deux. De combien sommes-nous satisfaits ? Un.

Et laissez-le apparaître face au moins mille fois de suite. La probabilité d’obtenir face d’un coup sera la même. Il existe toujours des options, et des plus avantageuses.

Il est facile de distinguer les événements dépendants des événements indépendants :

1. Si l’expérience est réalisée une fois (ils lancent une pièce de monnaie une fois, sonnent une fois à la porte, etc.), alors les événements sont toujours indépendants.
2. Si une expérience est réalisée plusieurs fois (une pièce est lancée une fois, la sonnette retentit plusieurs fois), alors le premier événement est toujours indépendant. Et puis, si le nombre de résultats favorables ou le nombre de résultats change, alors les événements sont dépendants, et sinon, ils sont indépendants.

Entraînons-nous un peu à déterminer la probabilité.

Exemple 1.

La pièce est lancée deux fois. Quelle est la probabilité d’obtenir face deux fois de suite ?

Solution:

Considérons toutes les options possibles :

1. Aigle-aigle
2. Pile-queue
3. Queues-Têtes
4. Queues-queues

Comme vous pouvez le constater, il n’existe que des options. Parmi ceux-ci, nous ne sommes que satisfaits. C'est-à-dire la probabilité :

Si la condition vous demande simplement de trouver la probabilité, alors la réponse doit être donnée sous la forme d’une fraction décimale. S'il était précisé que la réponse doit être donnée sous forme de pourcentage, nous multiplierions par.

Répondre:

Exemple 2.

Dans une boîte de chocolats, tous les chocolats sont conditionnés dans le même emballage. Cependant, des bonbons - aux noix, au cognac, aux cerises, au caramel et au nougat.

Quelle est la probabilité de prendre un bonbon et d’obtenir un bonbon aux noix ? Donnez votre réponse en pourcentage.

Solution:

Combien y a-t-il de résultats possibles ? .

Autrement dit, si vous prenez un bonbon, ce sera l'un de ceux disponibles dans la boîte.

Combien d’issues favorables ?

Car la boîte ne contient que des chocolats aux noix.

Répondre:

Exemple 3.

Dans une boîte de ballons. dont blancs et noirs.

1. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?
2. Nous avons ajouté d'autres boules noires à la boîte. Quelle est maintenant la probabilité de tirer une boule blanche ?

Solution:

a) Il n'y a que des balles dans la boîte. Parmi eux sont blancs.

La probabilité est :

b) Il y a maintenant plus de balles dans la boîte. Et il reste autant de Blancs.

Répondre:

Probabilité totale

La probabilité de tous les événements possibles est égale à ().

Disons qu'il y a des boules rouges et vertes dans une boîte. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ? Boule verte ? Boule rouge ou verte ?

Probabilité de tirer une boule rouge

Boule verte :

Boule rouge ou verte :

Comme vous pouvez le constater, la somme de tous les événements possibles est égale à (). Comprendre ce point vous aidera à résoudre de nombreux problèmes.

Exemple 4.

Il y a des marqueurs dans la boîte : vert, rouge, bleu, jaune, noir.

Quelle est la probabilité de ne pas tirer de marqueur rouge ?

Solution:

Comptons le nombre des issues favorables.

PAS un marqueur rouge, cela signifie vert, bleu, jaune ou noir.

La probabilité qu’un événement ne se produise pas est égale à moins la probabilité que l’événement se produise.

La règle pour multiplier les probabilités d'événements indépendants

Vous savez déjà ce que sont les événements indépendants.

Que se passe-t-il si vous avez besoin de trouver la probabilité que deux événements indépendants (ou plus) se produisent consécutivement ?

Disons que nous voulons savoir quelle est la probabilité que si nous lançons une pièce de monnaie une fois, nous voyions face deux fois ?

Nous avons déjà considéré - .

Et si on jetait une pièce de monnaie une fois ? Quelle est la probabilité de voir un aigle deux fois de suite ?

Total des options possibles :

1. Aigle-aigle-aigle
2. Pile-pile-face
3. Pile-face-tête
4. Pile-pile-pile
5. Face-face-face
6. Pile-pile-pile
7. Queues-queues-têtes
8. Queues-queues-queues

Je ne sais pas pour vous, mais j’ai commis des erreurs à plusieurs reprises en dressant cette liste. Ouah! Et seule l'option (la première) nous convient.

Pour 5 lancers, vous pouvez faire vous-même une liste des résultats possibles. Mais les mathématiciens ne sont pas aussi travailleurs que vous.

Par conséquent, ils ont d'abord remarqué puis prouvé que la probabilité d'une certaine séquence d'événements indépendants diminue à chaque fois de la probabilité d'un événement.

Autrement dit,

Regardons l'exemple de la même pièce malheureuse.

Probabilité de se prendre la tête dans un défi ? . Maintenant, on lance la pièce une fois.

Quelle est la probabilité d’avoir face à face ?

Cette règle ne fonctionne pas seulement si l’on nous demande de trouver la probabilité qu’un même événement se produise plusieurs fois de suite.

Si nous voulions retrouver la séquence QUEUES-TÊTES-QUEUES pour des lancers consécutifs, nous ferions de même.

La probabilité d'atterrir face est de - , face - .

La probabilité d'obtenir la séquence TAILS-HEADS-TAILS-TAILS :

Vous pouvez le vérifier vous-même en créant un tableau.

La règle pour ajouter les probabilités d'événements incompatibles.

Alors arrêtez! Nouvelle définition.

Voyons cela. Prenons notre pièce usée et lançons-la une fois.
Options possibles :

1. Aigle-aigle-aigle
2. Pile-pile-face
3. Pile-face-tête
4. Pile-pile-pile
5. Face-face-face
6. Pile-pile-pile
7. Queues-queues-têtes
8. Queues-queues-queues

Ainsi, les événements incompatibles sont une certaine séquence d'événements donnée. - ce sont des événements incompatibles.

Si nous voulons déterminer quelle est la probabilité de deux (ou plusieurs) événements incompatibles, alors nous ajoutons les probabilités de ces événements.

Vous devez comprendre que pile ou face sont deux événements indépendants.

Si nous voulons déterminer la probabilité qu’une séquence (ou toute autre) se produise, alors nous utilisons la règle de multiplication des probabilités.
Quelle est la probabilité d’obtenir face au premier lancer et face au deuxième et au troisième lancer ?

Mais si nous voulons savoir quelle est la probabilité d’obtenir une séquence parmi plusieurs, par exemple lorsque face apparaît exactement une fois, c’est-à-dire options et, ensuite, nous devons additionner les probabilités de ces séquences.

Toutes les options nous conviennent.

On peut obtenir la même chose en additionnant les probabilités d’occurrence de chaque séquence :

Ainsi, nous ajoutons des probabilités lorsque nous voulons déterminer la probabilité de certaines séquences d’événements incohérentes.

Il existe une excellente règle pour vous aider à éviter de confondre quand multiplier et quand additionner :

Revenons à l'exemple où nous avons lancé une pièce de monnaie une fois et avons voulu connaître la probabilité de voir face une fois.
Ce qui va se passer?

Devrait tomber :
(pile ET pile ET pile) OU (pile ET pile ET pile) OU (face ET pile ET pile).
Voici comment cela se passe :

Regardons quelques exemples.

Exemple 5.

Il y a des crayons dans la boîte. rouge, vert, orange et jaune et noir. Quelle est la probabilité de dessiner des crayons rouges ou verts ?

Solution:

Exemple 6.

Si un dé est lancé deux fois, quelle est la probabilité d’obtenir un total de 8 ?

Solution.

Comment pouvons-nous obtenir des points ?

(et) ou (et) ou (et) ou (et) ou (et).

La probabilité d’obtenir un (n’importe quel) visage est de .

On calcule la probabilité :

Entraînement.

Je pense que vous comprenez maintenant quand vous devez calculer des probabilités, quand les additionner et quand les multiplier. N'est-ce pas? Pratiquons un peu.

Tâches:

Prenons un jeu de cartes contenant des cartes comprenant des piques, des cœurs, 13 trèfles et 13 carreaux. De à l'As de chaque couleur.

1. Quelle est la probabilité de tirer des trèfles d'affilée (on remet la première carte retirée dans le paquet et on la mélange) ?
2. Quelle est la probabilité de tirer une carte noire (pique ou trèfle) ?
3. Quelle est la probabilité de tirer une image (valet, dame, roi ou as) ?
4. Quelle est la probabilité de tirer deux images d'affilée (on retire la première carte tirée du jeu) ?
5. Quelle est la probabilité, en prenant deux cartes, d'obtenir une combinaison (valet, dame ou roi) et un as. L'ordre dans lequel les cartes sont tirées n'a pas d'importance.

Réponses:

Si vous étiez capable de résoudre tous les problèmes vous-même, alors vous êtes génial ! Vous allez désormais résoudre les problèmes de théorie des probabilités lors de l'examen d'État unifié comme des fous !

THÉORIE DES PROBABILITÉS. NIVEAU MOYEN

Regardons un exemple. Disons que nous jetons un dé. De quel genre d'os s'agit-il, le savez-vous ? C'est ce qu'on appelle un cube avec des chiffres sur ses faces. Combien de visages, autant de chiffres : de à combien ? Avant.

Alors on lance les dés et on veut qu'il arrive ou. Et nous comprenons.

Dans la théorie des probabilités, ils disent ce qui s'est passé événement propice(à ne pas confondre avec prospère).

Si cela se produisait, l’événement serait également favorable. Au total, seuls deux événements favorables peuvent survenir.

Combien sont défavorables ? Puisqu'il existe un total d'événements possibles, cela signifie que les événements défavorables sont des événements (c'est-à-dire si ou tombe).

Définition:

La probabilité est le rapport entre le nombre d'événements favorables et le nombre de tous les événements possibles.. Autrement dit, la probabilité montre quelle proportion de tous les événements possibles est favorable.

Ils désignent la probabilité par une lettre latine (apparemment du mot anglais probabilité - probabilité).

Il est d'usage de mesurer la probabilité en pourcentage (voir sujet,). Pour ce faire, la valeur de probabilité doit être multipliée par. Dans l’exemple des dés, probabilité.

Et en pourcentage : .

Exemples (décidez vous-même) :

1. Quelle est la probabilité d’obtenir face en lançant une pièce de monnaie ? Quelle est la probabilité que des têtes atterrissent ?
2. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair en lançant un dé ? Et lequel est étrange ?
3. Dans une boîte de crayons simples, bleus et rouges. Nous dessinons un crayon au hasard. Quelle est la probabilité d’en obtenir un simple ?

Solutions:

1. Combien y a-t-il d’options ? Pile et queue – juste deux. Combien d’entre eux sont favorables ? Un seul est un aigle. Donc la probabilité

   C'est la même chose avec les queues : .

2. Options totales : (combien de côtés le cube a, autant d'options différentes). Les favorables : (ce sont tous des nombres pairs :).
   Probabilité. Bien sûr, c’est la même chose avec les nombres impairs.
3. Total: . Favorable : . Probabilité : .

Probabilité totale

Tous les crayons de la boîte sont verts. Quelle est la probabilité de dessiner un crayon rouge ? Il n'y a pas de hasard : probabilité (après tout, événements favorables -).

Un tel événement est dit impossible.

Quelle est la probabilité de dessiner un crayon vert ? Il y a exactement le même nombre d’événements favorables que le nombre total d’événements (tous les événements sont favorables). La probabilité est donc égale à ou.

Un tel événement est dit fiable.

Si une boîte contient des crayons verts et rouges, quelle est la probabilité de tirer du vert ou du rouge ? Encore. Notons ceci : la probabilité de retirer le vert est égale, et le rouge est égale.

En somme, ces probabilités sont exactement égales. C'est, la somme des probabilités de tous les événements possibles est égale à ou.

Exemple:

Dans une boîte de crayons, parmi eux se trouvent du bleu, du rouge, du vert, uni, du jaune et le reste est orange. Quelle est la probabilité de ne pas tirer vert ?

Solution:

Nous nous souvenons que toutes les probabilités s’additionnent. Et la probabilité de devenir vert est égale. Cela signifie que la probabilité de ne pas tirer du vert est égale.

Rappelez-vous cette astuce : La probabilité qu’un événement ne se produise pas est égale à moins la probabilité que l’événement se produise.

Événements indépendants et règle de multiplication

Vous lancez une pièce une fois et vous voulez qu'elle tombe face les deux fois. Quelle est la probabilité que cela se produise ?

Passons en revue toutes les options possibles et déterminons combien il y en a :

Pile-Tête, Pile-Tête, Pile-Pile, Pile-Tail. Quoi d'autre?

Options totales. Parmi ceux-ci, un seul nous convient : Aigle-Aigle. Au total, la probabilité est égale.

Bien. Maintenant, tirons à pile ou face une fois. Faites le calcul vous-même. Arrivé? (répondre).

Vous avez peut-être remarqué qu'avec l'ajout de chaque lancer suivant, la probabilité diminue de moitié. La règle générale s'appelle règle de multiplication:

Les probabilités d'événements indépendants changent.

Que sont les événements indépendants ? Tout est logique : ce sont ceux qui ne dépendent pas les uns des autres. Par exemple, lorsque l'on lance une pièce plusieurs fois, à chaque fois un nouveau lancer est effectué dont le résultat ne dépend pas de tous les lancers précédents. On peut tout aussi bien lancer deux pièces différentes en même temps.

Plus d'exemples :

1. Les dés sont lancés deux fois. Quelle est la probabilité que cela se produise les deux fois ?
2. La pièce est lancée une fois. Quelle est la probabilité que cela tombe face la première fois, puis face deux fois ?
3. Le joueur lance deux dés. Quelle est la probabilité que la somme de leurs nombres soit égale ?

Réponses:

1. Les événements sont indépendants, ce qui signifie que la règle de multiplication fonctionne : .
2. La probabilité de tomber sur face est égale. La probabilité d’obtenir pile est la même. Multiplier:
3. 12 ne peut être obtenu que si deux -ki sont lancés : .

Les événements incompatibles et la règle d'addition

Les événements qui se complètent au point d’être pleinement probables sont appelés incompatibles. Comme leur nom l’indique, ils ne peuvent pas se produire simultanément. Par exemple, si nous lançons une pièce, elle peut tomber sur pile ou sur face.

Exemple.

Dans une boîte de crayons, parmi eux se trouvent du bleu, du rouge, du vert, uni, du jaune et le reste est orange. Quelle est la probabilité de tirer du vert ou du rouge ?

Solution .

La probabilité de dessiner un crayon vert est égale. Rouge - .

Événements favorables en tout : vert + rouge. Cela signifie que la probabilité de tirer du vert ou du rouge est égale.

La même probabilité peut être représentée sous cette forme : .

Voici la règle d'addition : les probabilités d'événements incompatibles s'additionnent.

Problèmes de type mixte

Exemple.

La pièce est lancée deux fois. Quelle est la probabilité que les résultats des lancers soient différents ?

Solution .

Cela signifie que si le premier résultat est face, le second doit être face, et vice versa. Il s’avère qu’il existe deux paires d’événements indépendants et que ces paires sont incompatibles entre elles. Comment ne pas se tromper sur où multiplier et où ajouter.

Il existe une règle simple pour de telles situations. Essayez de décrire ce qui va se passer en utilisant les conjonctions « ET » ou « OU ». Par exemple, dans ce cas :

Devrait apparaître (pile et face) ou (pile et face).

Là où il y a une conjonction « et », il y aura multiplication, et là où il y a « ou », il y aura addition :

Essayez-le vous-même :

1. Quelle est la probabilité que si une pièce est lancée deux fois, elle tombe du même côté à chaque fois ?
2. Les dés sont lancés deux fois. Quelle est la probabilité d’obtenir un total de points ?

Solutions:

Un autre exemple:

Lancez une pièce de monnaie une fois. Quelle est la probabilité que des têtes apparaissent au moins une fois ?

Solution:

THÉORIE DES PROBABILITÉS. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

La probabilité est le rapport entre le nombre d’événements favorables et le nombre de tous les événements possibles.

Événements indépendants

Deux événements sont indépendants si la survenance de l’un ne modifie pas la probabilité que l’autre se produise.

Probabilité totale

La probabilité de tous les événements possibles est égale à ().

La probabilité qu’un événement ne se produise pas est égale à moins la probabilité que l’événement se produise.

La règle pour multiplier les probabilités d'événements indépendants

La probabilité d'une certaine séquence d'événements indépendants est égale au produit des probabilités de chaque événement

Événements incompatibles

Les événements incompatibles sont ceux qui ne peuvent pas se produire simultanément à la suite d'une expérience. Un certain nombre d'événements incompatibles forment un groupe complet d'événements.

Les probabilités d’événements incompatibles s’additionnent.

Après avoir décrit ce qui devrait se passer, en utilisant les conjonctions « ET » ou « OU », au lieu de « ET » nous mettons un signe de multiplication, et au lieu de « OU » nous mettons un signe d'addition.

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !

Maintenant, le plus important.

Vous avez compris la théorie sur ce sujet. Et je le répète, ça... c'est juste super ! Vous êtes déjà meilleur que la grande majorité de vos pairs.

Le problème est que cela ne suffit peut-être pas...

Pour quoi?

Pour avoir réussi l'examen d'État unifié, pour entrer à l'université avec un budget limité et, SURTOUT, pour la vie.

Je ne vais vous convaincre de rien, je dirai juste une chose...

Les personnes qui ont reçu une bonne éducation gagnent beaucoup plus que celles qui ne l’ont pas reçue. Ce sont des statistiques.

Mais ce n’est pas l’essentiel.

L'essentiel est qu'ils soient PLUS HEUREUX (il existe de telles études). Peut-être parce que de nombreuses autres opportunités s'ouvrent devant eux et que la vie devient plus lumineuse ? Je ne sais pas...

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