Dans cette leçon, nous examinerons une autre caractéristique de certaines figures : la symétrie axiale et centrale. Nous rencontrons chaque jour une symétrie axiale lorsque nous nous regardons dans le miroir. La symétrie centrale est très courante dans la nature vivante. Dans le même temps, les figures symétriques ont un certain nombre de propriétés. De plus, nous apprenons par la suite que les symétries axiales et centrales sont des types de mouvements à l'aide desquels toute une classe de problèmes est résolue.

Cette leçon est consacrée à la symétrie axiale et centrale.

Définition

Les deux points sont appelés symétrique relativement droit si :

En figue. 1 montre des exemples de points symétriques par rapport à une droite et , et .

Riz. 1

Notons également le fait que tout point d'une droite est symétrique à lui-même par rapport à cette droite.

Les figures peuvent également être symétriques par rapport à une ligne droite.

Formulons une définition stricte.

Définition

Le chiffre s'appelle symétrique par rapport à droite, si pour chaque point de la figure le point qui lui est symétrique par rapport à cette droite appartient également à la figure. Dans ce cas, la ligne s'appelle axe de symétrie. Le chiffre a symétrie axiale.

Examinons quelques exemples de figures présentant une symétrie axiale et leurs axes de symétrie.

Exemple 1

L'angle a une symétrie axiale. L'axe de symétrie de l'angle est la bissectrice. En effet : abaissons une perpendiculaire à la bissectrice depuis n’importe quel point de l’angle et prolongeons-la jusqu’à ce qu’elle coupe l’autre côté de l’angle (voir Fig. 2).

Riz. 2

(puisque - le côté commun, (propriété d'une bissectrice), et les triangles sont rectangles). Moyens, . Les points sont donc symétriques par rapport à la bissectrice de l’angle.

Il s'ensuit qu'un triangle isocèle présente également une symétrie axiale par rapport à la bissectrice (altitude, médiane) tirée vers la base.

Exemple 2

Un triangle équilatéral possède trois axes de symétrie (bissectrices/médianes/altitudes de chacun des trois angles (voir Fig. 3).

Riz. 3

Exemple 3

Un rectangle possède deux axes de symétrie, dont chacun passe par les milieux de ses deux côtés opposés (voir Fig. 4).

Riz. 4

Exemple 4

Un losange possède également deux axes de symétrie : des lignes droites qui contiennent ses diagonales (voir Fig. 5).

Riz. 5

Exemple 5

Un carré, qui est à la fois un losange et un rectangle, possède 4 axes de symétrie (voir Fig. 6).

Riz. 6

Exemple 6

Pour un cercle, l'axe de symétrie est toute ligne droite passant par son centre (c'est-à-dire contenant le diamètre du cercle). Par conséquent, un cercle a une infinité d’axes de symétrie (voir Fig. 7).

Riz. 7

Considérons maintenant le concept symétrie centrale.

Définition

Les points sont appelés symétrique par rapport au point si : - le milieu du segment.

Regardons quelques exemples : sur la Fig. La figure 8 montre les points et , ainsi que et , qui sont symétriques par rapport au point , et les points et ne sont pas symétriques par rapport à ce point.

Riz. 8

Certaines figures sont symétriques par rapport à un certain point. Formulons une définition stricte.

Définition

Le chiffre s'appelle symétrique par rapport au point, si pour n'importe quel point de la figure le point qui lui est symétrique appartient également à cette figure. Le point s'appelle centre de symétrie, et le chiffre a symétrie centrale.

Regardons des exemples de figures à symétrie centrale.

Exemple 7

Pour un cercle, le centre de symétrie est le centre du cercle (cela est facile à prouver en rappelant les propriétés du diamètre et du rayon d'un cercle) (voir Fig. 9).

Riz. 9

Exemple 8

Pour un parallélogramme, le centre de symétrie est le point d'intersection des diagonales (voir Fig. 10).

Riz. dix

Résolvons plusieurs problèmes sur la symétrie axiale et centrale.

Tache 1.

Combien d’axes de symétrie le segment possède-t-il ?

Un segment a deux axes de symétrie. Le premier d'entre eux est une ligne contenant un segment (puisque tout point d'une ligne est symétrique à lui-même par rapport à cette ligne). La seconde est la médiatrice du segment, c'est-à-dire une droite perpendiculaire au segment et passant par son milieu.

Réponse : 2 axes de symétrie.

Tâche 2.

Combien d’axes de symétrie possède une droite ?

Une ligne droite possède une infinité d’axes de symétrie. L'un d'eux est la ligne elle-même (puisque tout point de la ligne est symétrique à lui-même par rapport à cette ligne). Et aussi les axes de symétrie sont toutes les lignes perpendiculaires à une ligne donnée.

Réponse : il existe une infinité d’axes de symétrie.

Tâche 3.

Combien d’axes de symétrie la poutre possède-t-elle ?

Le rayon a un axe de symétrie, qui coïncide avec la ligne contenant le rayon (puisque tout point de la ligne est symétrique à lui-même par rapport à cette ligne).

Réponse : un axe de symétrie.

Tâche 4.

Montrer que les droites contenant les diagonales d’un losange sont ses axes de symétrie.

Preuve:

Considérons un losange. Montrons par exemple que la droite est son axe de symétrie. Il est évident que les points sont symétriques par rapport à eux-mêmes puisqu’ils se situent sur cette droite. De plus, les points et sont symétriques par rapport à cette droite, puisque . Choisissons maintenant un point arbitraire et prouvons que le point symétrique par rapport à lui appartient également au losange (voir Fig. 11).

Riz. onze

Tracez une perpendiculaire à la ligne passant par le point et prolongez-la jusqu'à ce qu'elle croise . Considérons les triangles et . Ces triangles sont rectangles (par construction), de plus, ils ont : - une branche commune, et (puisque les diagonales d'un losange sont ses bissectrices). Donc ces triangles sont égaux : . Cela signifie que tous leurs éléments correspondants sont égaux, donc : . De l'égalité de ces segments il résulte que les points et sont symétriques par rapport à la droite. Cela signifie que c'est l'axe de symétrie du losange. Ce fait peut être prouvé de la même manière pour la deuxième diagonale.

Éprouvé.

Tâche 5.

Montrer que le point d'intersection des diagonales d'un parallélogramme est son centre de symétrie.

Preuve:

Considérons un parallélogramme. Montrons que le point est son centre de symétrie. Il est évident que les points et , et sont deux à deux symétriques par rapport au point , puisque les diagonales d'un parallélogramme sont divisées en deux par le point d'intersection. Choisissons maintenant un point arbitraire et prouvons que le point symétrique par rapport à lui appartient également au parallélogramme (voir Fig. 12).

Tu auras besoin de

• - propriétés des points symétriques ;
• - propriétés des figures symétriques ;
• - règle;
• - carré;
• - boussole;
• - crayon;
• - papier;
• - un ordinateur avec un éditeur graphique.

Instructions

Tracez une ligne droite a, qui sera l'axe de symétrie. Si ses coordonnées ne sont pas précisées, dessinez-le arbitrairement. Placez un point arbitraire A d’un côté de cette ligne. Vous devez trouver un point symétrique.

Conseil utile

Les propriétés de symétrie sont utilisées en permanence dans AutoCAD. Pour ce faire, utilisez l'option Miroir. Pour construire un triangle isocèle ou un trapèze isocèle, il suffit de dessiner la base inférieure et l'angle entre celle-ci et le côté. Reflétez-les à l'aide de la commande spécifiée et étendez les côtés à la taille requise. Dans le cas d'un triangle, ce sera le point de leur intersection, et pour un trapèze, ce sera une valeur donnée.

Vous rencontrez constamment de la symétrie dans les éditeurs graphiques lorsque vous utilisez l'option « retourner verticalement/horizontalement ». Dans ce cas, l'axe de symétrie est considéré comme une droite correspondant à l'un des côtés verticaux ou horizontaux du cadre.

Sources:

• comment dessiner la symétrie centrale

Construire une section transversale d’un cône n’est pas une tâche si difficile. L'essentiel est de suivre une séquence d'actions stricte. Cette tâche sera alors facile à accomplir et ne vous demandera pas beaucoup de travail.

Tu auras besoin de

• - papier;
• - stylo;
• - cercle;
• - règle.

Instructions

Lorsque vous répondez à cette question, vous devez d'abord décider quels paramètres définissent la section.
Soit ceci la droite d'intersection du plan l avec le plan et le point O, qui est l'intersection avec sa section.

La construction est illustrée sur la figure 1. La première étape de la construction d'une section passe par le centre de la section de son diamètre, étendu jusqu'à l perpendiculairement à cette ligne. Le résultat est le point L. Ensuite, tracez une ligne droite LW passant par le point O et construisez deux cônes de guidage situés dans la section principale O2M et O2C. A l'intersection de ces guides se trouvent le point Q, ainsi que le point W déjà indiqué. Ce sont les deux premiers points de la section souhaitée.

Tracez maintenant une perpendiculaire MS à la base du cône BB1 ​​​​et construisez des génératrices de la section perpendiculaire O2B et O2B1. Dans cette section, passant par le point O, tracez une droite RG parallèle à BB1. Т.R et Т.G sont deux autres points de la section souhaitée. Si la section transversale de la boule était connue, elle pourrait déjà être construite à ce stade. Cependant, ce n’est pas du tout une ellipse, mais quelque chose d’elliptique qui présente une symétrie par rapport au segment QW. Par conséquent, vous devez créer autant de points de coupe que possible afin de les relier ultérieurement avec une courbe lisse afin d'obtenir l'esquisse la plus fiable.

Construisez un point de coupe arbitraire. Pour ce faire, dessinez un diamètre arbitraire AN à la base du cône et construisez les guides correspondants O2A et O2N. Grâce à t.O, tracez une ligne droite passant par PQ et WG jusqu'à ce qu'elle croise les guides nouvellement construits aux points P et E. Ce sont deux autres points de la section souhaitée. En continuant de la même manière, vous pouvez trouver autant de points que vous le souhaitez.

Certes, la procédure pour les obtenir peut être légèrement simplifiée en utilisant la symétrie par rapport à QW. Pour ce faire, vous pouvez tracer des droites SS’ dans le plan de la section souhaitée, parallèles à RG jusqu’à ce qu’elles coupent la surface du cône. La construction est complétée en arrondissant la polyligne construite à partir des accords. Il suffit de construire la moitié de la section souhaitée en raison de la symétrie déjà évoquée par rapport à QW.

Vidéo sur le sujet

Astuce 3 : Comment représenter graphiquement une fonction trigonométrique

Tu dois dessiner calendrier trigonométrique les fonctions? Maîtrisez l'algorithme des actions en utilisant l'exemple de la construction d'une sinusoïde. Pour résoudre le problème, utilisez la méthode de recherche.

Tu auras besoin de

• - règle;
• - crayon;
• - connaissance des bases de la trigonométrie.

Instructions

Vidéo sur le sujet

note

Si les deux demi-axes d'un hyperboloïde à bande unique sont égaux, alors la figure peut être obtenue en faisant tourner une hyperbole à demi-axes, dont l'un est celui ci-dessus et l'autre, différent des deux égaux, autour du axe imaginaire.

Conseil utile

En examinant cette figure par rapport aux axes Oxz et Oyz, il apparaît clairement que ses principales sections sont des hyperboles. Et lorsque cette figure spatiale de rotation est coupée par le plan Oxy, sa section est une ellipse. L'ellipse du cou d'un hyperboloïde à bande unique passe par l'origine des coordonnées, car z=0.

L'ellipse de la gorge est décrite par l'équation x²/a² +y²/b²=1, et les autres ellipses sont composées par l'équation x²/a² +y²/b²=1+h²/c².

Sources:

• Ellipsoïdes, paraboloïdes, hyperboloïdes. Générateurs rectilignes

La forme d'une étoile à cinq branches est largement utilisée par l'homme depuis l'Antiquité. Nous considérons sa forme comme belle parce que nous y reconnaissons inconsciemment les relations du nombre d'or, c'est-à-dire la beauté de l’étoile à cinq branches se justifie mathématiquement. Euclide fut le premier à décrire la construction d'une étoile à cinq branches dans ses Éléments. Partageons son expérience.

Tu auras besoin de

• règle;
• crayon;
• boussole;
• rapporteur.

Instructions

La construction d'une étoile se résume à la construction et à la connexion ultérieure de ses sommets les uns aux autres de manière séquentielle via l'un d'eux. Afin de construire le bon, vous devez diviser le cercle en cinq.
Construisez un cercle arbitraire à l’aide d’une boussole. Marquez son centre avec le point O.

Marquez le point A et utilisez une règle pour tracer le segment de ligne OA. Il faut maintenant diviser le segment OA en deux, pour ce faire, à partir du point A, tracez un arc de rayon OA jusqu'à ce qu'il coupe le cercle en deux points M et N. Construisez le segment MN. Le point E où MN coupe OA divisera en deux le segment OA.

Restituez la perpendiculaire OD au rayon OA et reliez les points D et E. Faites une entaille B sur OA à partir du point E de rayon ED.

Maintenant, à l’aide du segment de droite DB, marquez le cercle en cinq parties égales. Étiquetez les sommets du pentagone régulier séquentiellement avec des nombres de 1 à 5. Reliez les points dans l'ordre suivant : 1 avec 3, 2 avec 4, 3 avec 5, 4 avec 1, 5 avec 2. Voici le nombre régulier à cinq pointes. étoile, en un pentagone régulier. C'est exactement comme ça que je l'ai construit

Depuis l’Antiquité, l’homme a développé des idées sur la beauté. Toutes les créations de la nature sont belles. Les gens sont beaux à leur manière, les animaux et les plantes sont incroyables. La vue d'une pierre précieuse ou d'un cristal de sel plaît à l'œil ; il est difficile de ne pas admirer un flocon de neige ou un papillon. Mais pourquoi cela arrive-t-il ? Il nous semble que l'apparence des objets est correcte et complète, dont les moitiés droite et gauche se ressemblent, comme dans une image miroir.

Apparemment, les gens d’art ont été les premiers à réfléchir à l’essence de la beauté. Sculpteurs antiques qui ont étudié la structure du corps humain, au 5ème siècle avant JC. Le concept de « symétrie » a commencé à être utilisé. Ce mot est d'origine grecque et signifie harmonie, proportionnalité et similitude dans la disposition des éléments constitutifs. Platon affirmait que seul ce qui est symétrique et proportionné peut être beau.

En géométrie et en mathématiques, trois types de symétrie sont considérés : la symétrie axiale (par rapport à une droite), la symétrie centrale (par rapport à un point) et la symétrie miroir (par rapport à un plan).

Si chacun des points d’un objet a sa propre cartographie exacte par rapport à son centre, il existe une symétrie centrale. Son exemple est constitué de corps géométriques tels qu'un cylindre, une sphère, un prisme régulier, etc.

La symétrie axiale des points par rapport à une droite fait que cette droite coupe le milieu du segment reliant les points et lui est perpendiculaire. Des exemples sont la bissectrice d'un angle non développé d'un triangle isocèle, toute ligne passant par le centre d'un cercle, etc. Si la symétrie axiale est caractéristique, la définition des points miroir peut être visualisée en les pliant simplement le long de l'axe et en plaçant les moitiés égales « face à face ». Les points souhaités se toucheront.

Avec la symétrie miroir, les points d'un objet sont situés de manière égale par rapport au plan qui passe par son centre.

La nature est sage et rationnelle, c'est pourquoi presque toutes ses créations ont une structure harmonieuse. Cela s'applique aussi bien aux êtres vivants qu'aux objets inanimés. La structure de la plupart des formes de vie est caractérisée par l’un des trois types de symétrie : bilatérale, radiale ou sphérique.

Le plus souvent, l'axial peut être observé chez les plantes se développant perpendiculairement à la surface du sol. Dans ce cas, la symétrie est le résultat de la rotation d'éléments identiques autour d'un axe commun situé au centre. L'angle et la fréquence de leur localisation peuvent être différents. Les exemples sont les arbres : épicéa, érable et autres. Chez certains animaux, une symétrie axiale se produit également, mais cela est moins courant. Certes, la nature est rarement caractérisée par une précision mathématique, mais la similitude des éléments d’un organisme n’en reste pas moins frappante.

Les biologistes considèrent souvent non pas la symétrie axiale, mais la symétrie bilatérale (bilatérale). Un exemple en est les ailes d'un papillon ou d'une libellule, les feuilles des plantes, les pétales de fleurs, etc. Dans chaque cas, les parties droite et gauche de l’objet vivant sont égales et sont des images miroir l’une de l’autre.

La symétrie sphérique est caractéristique des fruits de nombreuses plantes, de certains poissons, mollusques et virus. Des exemples de symétrie radiale sont certains types de vers et d'échinodermes.

Aux yeux de l’homme, l’asymétrie est le plus souvent associée à une irrégularité ou à une infériorité. Par conséquent, dans la plupart des créations de mains humaines, la symétrie et l'harmonie peuvent être retracées.

Objectifs:

• éducatif:
  • donner une idée de symétrie ;
  • présenter les principaux types de symétrie dans le plan et dans l'espace ;
  • développer de solides compétences dans la construction de figures symétriques ;
  • élargissez votre compréhension des personnages célèbres en introduisant les propriétés associées à la symétrie ;
  • montrer les possibilités d'utiliser la symétrie pour résoudre divers problèmes ;
  • consolider les connaissances acquises;
• enseignement général:
  • apprenez à vous préparer au travail ;
  • apprenez à vous contrôler ainsi que votre voisin de bureau ;
  • apprenez à vous évaluer ainsi que votre voisin de bureau ;
• développement:
  • intensifier l'activité indépendante;
  • développer une activité cognitive;
  • apprendre à résumer et à systématiser les informations reçues ;
• éducatif:
  • développer un « sens des épaules » chez les élèves ;
  • cultiver les compétences en communication;
  • inculquer une culture de la communication.

PENDANT LES COURS

Devant chaque personne se trouvent des ciseaux et une feuille de papier.

Exercice 1(3 minutes).

- Prenons une feuille de papier, plions-la en morceaux et découpons une figure. Déplions maintenant la feuille et regardons la ligne de pliage.

Question: Quelle fonction remplit cette ligne ?

Réponse suggérée: Cette ligne divise le chiffre en deux.

Question: Comment se situent tous les points de la figure sur les deux moitiés résultantes ?

Réponse suggérée: Tous les points des moitiés sont à égale distance de la ligne de pliage et au même niveau.

– Cela signifie que la ligne de pliage divise la figure en deux de sorte que 1 moitié soit une copie de 2 moitiés, c'est-à-dire cette droite n'est pas simple, elle a une propriété remarquable (tous les points par rapport à elle sont à la même distance), cette droite est un axe de symétrie.

Tâche 2 (2 minutes).

– Découpez un flocon de neige, trouvez l’axe de symétrie, caractérisez-le.

Tâche 3 (5 minutes).

– Dessine un cercle dans ton cahier.

Question: Déterminer comment va l’axe de symétrie ?

Réponse suggérée: Différemment.

Question: Alors, combien d’axes de symétrie possède un cercle ?

Réponse suggérée: Beaucoup de.

– C’est vrai, un cercle a plusieurs axes de symétrie. Une figure tout aussi remarquable est une balle (figure spatiale)

Question: Quelles autres figures ont plus d’un axe de symétrie ?

Réponse suggérée: Triangles carrés, rectangles, isocèles et équilatéraux.

– Considérons des figures tridimensionnelles : cube, pyramide, cône, cylindre, etc. Ces figures ont également un axe de symétrie. Déterminez combien d'axes de symétrie ont le carré, le rectangle, le triangle équilatéral et les figures tridimensionnelles proposées ?

Je distribue des moitiés de figurines en pâte à modeler aux élèves.

Tâche 4 (3 minutes).

– À l’aide des informations reçues, complétez la partie manquante de la figure.

Note: la figure peut être à la fois plane et tridimensionnelle. Il est important que les élèves déterminent le sens de l’axe de symétrie et complètent l’élément manquant. L'exactitude du travail est déterminée par le voisin de bureau et évalue dans quelle mesure le travail a été effectué correctement.

Une ligne (fermée, ouverte, avec auto-intersection, sans auto-intersection) est tracée à partir d'un lacet de même couleur sur le bureau.

Tâche 5 (travail de groupe 5 min).

– Déterminez visuellement l’axe de symétrie et, par rapport à celui-ci, complétez la deuxième partie à partir d’une dentelle d’une couleur différente.

L'exactitude du travail effectué est déterminée par les étudiants eux-mêmes.

Des éléments de dessins sont présentés aux étudiants

Tâche 6 (2 minutes).

– Retrouver les parties symétriques de ces dessins.

Pour consolider la matière abordée, je vous propose les tâches suivantes, programmées sur 15 minutes :

Nommez tous les éléments égaux du triangle KOR et KOM. De quel type de triangles s'agit-il ?

2. Dessinez plusieurs triangles isocèles dans votre cahier avec une base commune de 6 cm.

3. Dessinez un segment AB. Construire un segment de droite AB perpendiculaire et passant par son milieu. Marquez dessus les points C et D pour que le quadrilatère ACBD soit symétrique par rapport à la droite AB.

– Nos premières idées sur la forme remontent à une époque très lointaine de l’âge de pierre antique – le Paléolithique. Pendant des centaines de milliers d'années de cette période, les hommes ont vécu dans des grottes, dans des conditions peu différentes de celles des animaux. Les hommes fabriquaient des outils pour chasser et pêcher, développaient un langage pour communiquer entre eux et, à la fin du Paléolithique, ils embellissaient leur existence en créant des œuvres d'art, des figurines et des dessins qui révèlent un sens des formes remarquable.
Lorsqu'il y a eu une transition de la simple cueillette de nourriture à sa production active, de la chasse et de la pêche à l'agriculture, l'humanité est entrée dans un nouvel âge de pierre, le Néolithique.
L'homme du Néolithique avait un sens aigu des formes géométriques. La cuisson et la peinture de récipients en argile, la fabrication de nattes de roseaux, de paniers, de tissus et plus tard le traitement des métaux ont développé des idées sur les figures planaires et spatiales. Les ornements néolithiques étaient agréables à l’œil, révélant l’égalité et la symétrie.
– Où se produit la symétrie dans la nature ?

Réponse suggérée: ailes de papillons, coléoptères, feuilles d'arbres...

– La symétrie peut également être observée en architecture. Lors de la construction de bâtiments, les constructeurs respectent strictement la symétrie.

C'est pourquoi les bâtiments sont si beaux. Les humains et les animaux sont également un exemple de symétrie.

Devoirs:

1. Créez votre propre ornement, dessinez-le sur une feuille A4 (vous pouvez le dessiner sous la forme d'un tapis).
2. Dessinez des papillons, notez où sont présents les éléments de symétrie.

Symétrie je Symétrie (du grec symetria - proportionnalité)

en mathématiques,

1) symétrie (au sens étroit), ou réflexion (miroir) par rapport au plan α dans l'espace (par rapport à la droite UN sur le plan), est une transformation de l'espace (plan), dans laquelle chaque point M. va au point M" tel que le segment MM" perpendiculaire au plan α (droite UN) et le divise en deux. Plan α (droit UN) est appelé plan (axe) C.

La réflexion est un exemple de transformation orthogonale (Voir Transformation orthogonale) qui change d'orientation (Voir Orientation) (par opposition au mouvement propre). Toute transformation orthogonale peut être réalisée en effectuant séquentiellement un nombre fini de réflexions - ce fait joue un rôle important dans l'étude de la structure des figures géométriques.

2) Symétrie (au sens large) - une propriété d'une figure géométrique F, caractérisant une certaine régularité de forme F, son invariabilité sous l'action des mouvements et des réflexions. Plus précisément, le chiffre F a S. (symétrique) s'il existe une transformation orthogonale non identique qui prend cette figure en elle-même. L'ensemble de toutes les transformations orthogonales qui combinent une figure F avec lui-même, est un groupe (Voir Groupe) appelé groupe de symétrie de cette figure (parfois ces transformations elles-mêmes sont appelées symétries).

Ainsi, une figure plate qui se transforme en elle-même lors de la réflexion est symétrique par rapport à une ligne droite - l'axe C. ( riz. 1 ); ici, le groupe de symétrie est constitué de deux éléments. Si le chiffre F sur le plan est telle que les rotations par rapport à tout point O d'un angle de 360°/ n, n- entier ≥ 2, convertissez-le en lui-même, puis F possède S. n-ième ordre par rapport au point À PROPOS- centre C. Un exemple de telles figures sont les polygones réguliers ( riz. 2 ); groupe S. ici - soi-disant. groupe cyclique n-ième ordre. Un cercle a un cercle d’ordre infini (puisqu’il peut être combiné avec lui-même en tournant selon n’importe quel angle).

Les types de systèmes spatiaux les plus simples, outre le système généré par les réflexions, sont le système central, le système axial et le système de transfert.

a) Dans le cas de symétrie centrale (inversion) par rapport au point O, la figure Ф se combine avec elle-même après réflexions successives depuis trois plans perpendiculaires entre eux, autrement dit, le point O est le milieu du segment reliant les points symétriques Ф ( riz. 3 ). b) Dans le cas de symétrie axiale, ou S. par rapport à une droite n-ème ordre, la figure se superpose sur elle-même en tournant autour d'une certaine ligne droite (axe C.) selon un angle de 360°/ n. Par exemple, un cube a une droite UN B l'axe C est du troisième ordre et la ligne droite CD- axe C du quatrième ordre ( riz. 3 ); En général, les polyèdres réguliers et semi-réguliers sont symétriques par rapport à un certain nombre de lignes. La localisation, le nombre et l'ordre des axes cristallins jouent un rôle important en cristallographie (voir Symétrie des cristaux), c) Une figure superposée sur elle-même par rotation successive selon un angle de 360°/2 k autour d'une ligne droite UN B et la réflexion dans un plan perpendiculaire à lui, a un axe miroir C. Ligne directe UN B, est appelé axe de rotation du miroir C. ordre 2 k, est l'axe C de l'ordre k (riz. 4 ). L'alignement axial miroir d'ordre 2 équivaut à l'alignement central. d) Dans le cas de symétrie de transfert, la figure se superpose sur elle-même par transfert le long d'une certaine droite (axe de translation) sur n'importe quel segment. Par exemple, une figure avec un seul axe de translation possède un nombre infini de plans C (puisque toute translation peut être réalisée par deux réflexions successives à partir de plans perpendiculaires à l'axe de translation) ( riz. 5 ). Les figures ayant plusieurs axes de transfert jouent un rôle important dans l'étude des réseaux cristallins (Voir Réseau cristallin).

Dans l'art, la composition s'est répandue comme l'un des types de composition harmonieuse (voir Composition). Elle est caractéristique des œuvres d'architecture (étant une qualité indispensable, sinon de l'ensemble de la structure, du moins de ses parties et détails - plan, façade, colonnes, chapiteaux, etc.) et des arts décoratifs et appliqués. S. est également utilisé comme technique principale pour construire des bordures et des ornements (figures plates qui comportent respectivement un ou plusieurs transferts S. en combinaison avec des reflets) ( riz. 6 , 7 ).

Les combinaisons de symétrie générées par les réflexions et les rotations (épuisant tous les types de symétrie des figures géométriques), ainsi que les transferts, présentent un intérêt et font l'objet de recherches dans divers domaines des sciences naturelles. Par exemple, un S. hélicoïdal, réalisé par rotation d'un certain angle autour d'un axe, complété par un transfert le long du même axe, s'observe dans la disposition des feuilles chez les plantes ( riz. 8 ) (pour plus de détails, voir l'article. Symétrie en biologie). La symétrie de la configuration des molécules, qui affecte leurs caractéristiques physiques et chimiques, est importante dans l'analyse théorique de la structure des composés, de leurs propriétés et de leur comportement dans diverses réactions (voir Symétrie en chimie). Enfin, dans les sciences physiques en général, outre la structure géométrique déjà indiquée des cristaux et des réseaux, la notion de structure au sens général acquiert une signification importante (voir ci-dessous). Ainsi, la symétrie de l'espace-temps physique, exprimée dans son homogénéité et son isotropie (voir Théorie de la relativité), permet d'établir ce qu'on appelle. Lois sur la conservation ; la symétrie généralisée joue un rôle important dans la formation des spectres atomiques et dans la classification des particules élémentaires (voir Symétrie en physique).

3) La symétrie (au sens général) désigne l'invariance de la structure d'un objet mathématique (ou physique) par rapport à ses transformations. Par exemple, le système des lois de la relativité est déterminé par leur invariance par rapport aux transformations de Lorentz (Voir Transformations de Lorentz). Définition d'un ensemble de transformations qui laissent inchangées toutes les relations structurelles d'un objet, c'est-à-dire définition d'un groupe g ses automorphismes sont devenus le principe directeur des mathématiques et de la physique modernes, permettant de pénétrer profondément dans la structure interne d'un objet dans son ensemble et de ses parties.

Puisqu'un tel objet peut être représenté par des éléments d'un certain espace R., doté d'une structure caractéristique correspondante, dans la mesure où les transformations d'un objet sont des transformations R.. Que. une représentation de groupe est obtenue g dans le groupe de transformation R.(ou juste dans R.), et l'étude de l'objet S. se résume à l'étude de l'action g sur R. et trouver des invariants de cette action. De la même manière, S. lois physiques qui régissent l'objet étudié et sont généralement décrites par des équations satisfaites par les éléments de l'espace R., est déterminé par l'action g pour de telles équations.

Ainsi, par exemple, si une équation est linéaire sur un espace linéaire R. et reste invariant sous les transformations d'un groupe g, alors chaque élément g depuis g correspond à la transformation linéaire Tg dans un espace linéaire R. solutions à cette équation. Correspondance g → Tg est une représentation linéaire g et la connaissance de toutes ces représentations nous permet d'établir diverses propriétés des solutions, et aide également à trouver dans de nombreux cas (à partir de « considérations de symétrie ») les solutions elles-mêmes. Ceci explique notamment la nécessité pour les mathématiques et la physique de développer une théorie développée des représentations linéaires des groupes. Pour des exemples précis, voir l'art. Symétrie en physique.

Lit. : Shubnikov A.V., Symétrie. (Lois de la symétrie et leur application en science, technologie et arts appliqués), M.-L., 1940 ; Coxeter GSM, Introduction à la géométrie, trans. de l'anglais, M., 1966 ; Weil G., Symétrie, trad. de l'anglais, M., 1968 ; Wigner E., Études sur la symétrie, trans. de l'anglais, M., 1971.

M. I. Voitsekhovsky.

Riz. 3. Un cube avec la droite AB comme axe de symétrie du troisième ordre, la droite CD comme axe de symétrie du quatrième ordre et le point O comme centre de symétrie. Les points M et M" du cube sont symétriques tant par rapport aux axes AB et CD que par rapport au centre O.

II Symétrie

en physique. Si les lois qui établissent des relations entre les grandeurs qui caractérisent un système physique, ou qui déterminent l'évolution de ces grandeurs dans le temps, ne changent pas sous certaines opérations (transformations) auxquelles le système peut être soumis, alors ces lois sont dites avoir S .(ou sont invariants) par rapport aux transformations de données. Mathématiquement, les transformations S. forment un groupe (Voir Groupe).

L'expérience montre que les lois physiques sont symétriques par rapport aux transformations les plus générales suivantes.

Transformation continue

1) Transfert (déplacement) du système dans son ensemble dans l'espace. Cette transformation spatio-temporelle et les transformations ultérieures peuvent être comprises dans deux sens : comme une transformation active - un transfert réel d'un système physique par rapport à un système de référence choisi, ou comme une transformation passive - un transfert parallèle d'un système de référence. Le symbole des lois physiques concernant les déplacements dans l'espace signifie l'équivalence de tous les points de l'espace, c'est-à-dire l'absence de tout point distinct dans l'espace (homogénéité de l'espace).

2) Rotation du système dans son ensemble dans l'espace. S. les lois physiques concernant cette transformation signifient l'équivalence de toutes les directions dans l'espace (isotropie de l'espace).

3) Modification du début de l'heure (time shift). S. concernant cette transformation signifie que les lois physiques ne changent pas avec le temps.

4) Transition vers un système de référence se déplaçant par rapport à un système donné avec une vitesse constante (en direction et en amplitude). S. par rapport à cette transformation signifie notamment l'équivalence de tous les systèmes de référence inertiels (Voir Système de référence inertiel) (Voir Théorie de la relativité).

5) Transformations de jauge. Les lois qui décrivent les interactions des particules avec n'importe quelle charge (charge électrique (Voir Charge électrique), charge baryonique (Voir Charge baryon), charge leptonique (Voir Charge lepton), Hypercharge) sont symétriques par rapport aux transformations de jauge du 1er type. Ces transformations consistent dans le fait que les fonctions d'onde (Voir Fonction d'onde) de toutes les particules peuvent être multipliées simultanément par un facteur de phase arbitraire :

où ψ j- fonction d'onde de particules j, z j est la charge correspondant à la particule, exprimée en unités de charge élémentaire (par exemple, charge électrique élémentaire e), β est un facteur numérique arbitraire.

UN→A + diplôme f, , (2)

Où F(X,à,z, t) - fonction arbitraire des coordonnées ( X,à,z) et le temps ( t), Avec- vitesse de la lumière. Pour que les transformations (1) et (2) s'effectuent simultanément dans le cas de champs électromagnétiques, il faut généraliser les transformations de jauge de 1ère sorte : il faut exiger que les lois d'interaction soient symétriques par rapport aux transformations (1) avec la valeur β, qui est une fonction arbitraire des coordonnées et du temps : η - Constante de Planck. Le lien entre les transformations de jauge du 1er et du 2ème type pour les interactions électromagnétiques est dû au double rôle de la charge électrique : d'une part, la charge électrique est une quantité conservée, et d'autre part, elle agit comme une constante d'interaction caractérisant la connexion du champ électromagnétique avec des particules chargées.

Les transformations (1) correspondent aux lois de conservation de diverses charges (voir ci-dessous), ainsi qu'à certaines interactions internes. Si les charges ne sont pas seulement des quantités conservées, mais aussi des sources de champs (comme une charge électrique), alors les champs qui leur correspondent doivent aussi être des champs de jauge (semblables aux champs électromagnétiques), et les transformations (1) sont généralisées au cas où les quantités β sont des fonctions arbitraires de coordonnées et de temps (et même des opérateurs (Voir Opérateurs) qui transforment les états du système interne). Cette approche de la théorie des champs en interaction conduit à diverses théories de jauge des interactions fortes et faibles (dites théorie de Yang-Mills).

Transformations discrètes

Les types de systèmes répertoriés ci-dessus sont caractérisés par des paramètres qui peuvent changer continuellement dans une certaine plage de valeurs (par exemple, un déplacement dans l'espace est caractérisé par trois paramètres de déplacement le long de chacun des axes de coordonnées, une rotation de trois angles de rotation autour de ces axes, etc.). Outre les systèmes continus, les systèmes discrets revêtent une grande importance en physique. Les principaux sont les suivants.

Lois de symétrie et de conservation

Selon le théorème de Noether (Voir Théorème de Noether), chaque transformation d'un système, caractérisée par un paramètre en constante évolution, correspond à une valeur qui est conservée (ne change pas avec le temps) pour un système qui possède ce système. les lois concernant le déplacement d'un système fermé dans l'espace, sa rotation dans son ensemble et la modification de l'origine du temps suivent respectivement les lois de conservation de l'impulsion, du moment cinétique et de l'énergie. Du système des transformations de jauge du 1er type - les lois de conservation des charges (électriques, baryoniques, etc.), de l'invariance isotopique - la conservation du spin isotopique (Voir Spin isotopique) dans les processus d'interaction forte. Quant aux systèmes discrets, en mécanique classique ils ne conduisent à aucune loi de conservation. Cependant, en mécanique quantique, où l'état du système est décrit par une fonction d'onde, ou pour les champs d'ondes (par exemple, le champ électromagnétique), où le principe de superposition est valable, l'existence de systèmes discrets implique des lois de conservation pour certains grandeurs spécifiques qui n’ont pas d’analogues en mécanique classique. L'existence de telles quantités peut être démontrée par l'exemple de la parité spatiale (Voir Parité), dont la conservation découle du système par rapport à l'inversion spatiale. En effet, soit ψ 1 la fonction d'onde décrivant un état du système, et ψ 2 la fonction d'onde du système résultant des espaces. inversion (symboliquement : ψ 2 = R.ψ 1, où R.- exploitant d'espaces. inversion). Alors, s'il existe un système par rapport à l'inversion spatiale, ψ 2 est un des états possibles du système et, selon le principe de superposition, les états possibles du système sont les superpositions ψ 1 et ψ 2 : combinaison symétrique ψ s = ψ 1 + ψ 2 et antisymétrique ψ a = ψ 1 - ψ 2. Lors des transformations d'inversion, l'état de ψ 2 ne change pas (puisque P.ψ s = P.ψ 1 + P.ψ 2 = ψ 2 + ψ 1 = ψ s), et l'état ψ a change de signe ( P.ψ une = P.ψ 1 - P.ψ 2 = ψ 2 - ψ 1 = - ψ a). Dans le premier cas, ils disent que la parité spatiale du système est positive (+1), dans le second - négative (-1). Si la fonction d'onde du système est spécifiée à l'aide de quantités qui ne changent pas lors de l'inversion spatiale (comme le moment cinétique et l'énergie), alors la parité du système aura également une valeur très définie. Le système sera dans un état de parité soit positive, soit négative (et les transitions d'un état à un autre sous l'influence de forces symétriques par rapport à l'inversion spatiale sont absolument interdites).

Symétrie des systèmes de mécanique quantique et des états stationnaires. Dégénérescence

La conservation des grandeurs correspondant aux différents systèmes de mécanique quantique est une conséquence du fait que les opérateurs qui leur correspondent commutent avec l'hamiltonien du système s'il ne dépend pas explicitement du temps (voir Mécanique quantique, Relations de commutation). Cela signifie que ces grandeurs sont mesurables simultanément avec l'énergie du système, c'est-à-dire qu'elles peuvent prendre des valeurs tout à fait définies pour une valeur énergétique donnée. Par conséquent, à partir d'eux, il est possible de composer ce qu'on appelle. un ensemble complet de quantités qui déterminent l'état du système. Ainsi, les états stationnaires (Voir État stationnaire) (états avec une énergie donnée) d'un système sont déterminés par des quantités correspondant à la stabilité du système considéré.

La présence de la mécanique quantique conduit au fait que les différents états de mouvement d'un système de mécanique quantique, obtenus les uns des autres par transformation de la mécanique quantique, ont les mêmes valeurs de grandeurs physiques qui ne changent pas au cours de ces transformations. Ainsi, le système de systèmes conduit généralement à la dégénérescence (voir Dégénérescence). Par exemple, une certaine valeur de l'énergie d'un système peut correspondre à plusieurs états différents qui se transforment les uns par les autres lors des transformations du système. Mathématiquement, ces états représentent la base de la représentation irréductible du groupe du système (voir Groupe ). Cela détermine la fécondité de l’application des méthodes de la théorie des groupes en mécanique quantique.

En plus de la dégénérescence des niveaux d'énergie associée au contrôle explicite d'un système (par exemple, en ce qui concerne les rotations du système dans son ensemble), dans un certain nombre de problèmes, il existe une dégénérescence supplémentaire associée à ce qu'on appelle. interaction S. cachée. De tels oscillateurs cachés existent, par exemple, pour l'interaction coulombienne et pour l'oscillateur isotrope.

Si un système qui possède un système quelconque se trouve dans un champ de forces qui violent ce système (mais sont suffisamment faibles pour être considéré comme une petite perturbation), une division des niveaux d'énergie dégénérés du système d'origine se produit : différents états qui, en raison de le système.les systèmes avaient la même énergie, sous l'influence de perturbations « asymétriques » ils acquièrent des déplacements énergétiques différents. Dans les cas où le champ perturbateur a une certaine valeur qui fait partie de la valeur du système d'origine, la dégénérescence des niveaux d'énergie n'est pas complètement supprimée : certains niveaux restent dégénérés conformément à la valeur de l'interaction qui « inclut » le domaine inquiétant.

La présence d’états énergétiquement dégénérés dans un système indique à son tour l’existence d’une interaction systémique et permet, en principe, de retrouver ce système lorsqu’il n’est pas connu à l’avance. Cette dernière circonstance joue un rôle crucial, par exemple en physique des particules élémentaires. L'existence de groupes de particules avec des masses similaires et d'autres caractéristiques identiques, mais des charges électriques différentes (appelées multiplets isotopiques) ont permis d'établir l'invariance isotopique des interactions fortes, et la possibilité de combiner des particules ayant les mêmes propriétés en groupes plus larges. conduit à la découverte S.U.(3)-C. les interactions fortes et les interactions qui violent ce système (voir Interactions fortes). Il y a des indications que l'interaction forte a un groupe C encore plus large.

Le concept de ce qu'on appelle est très fructueux. système dynamique, qui apparaît lorsque l'on considère des transformations qui incluent des transitions entre des états du système avec des énergies différentes. Une représentation irréductible d'un groupe de système dynamique sera l'ensemble du spectre des états stationnaires du système. Le concept de système dynamique peut également être étendu aux cas où l'hamiltonien d'un système dépend explicitement du temps, et dans ce cas tous les états d'un système de mécanique quantique qui ne sont pas stationnaires (c'est-à-dire n'ont pas une énergie donnée) sont combinés en une représentation irréductible du groupe dynamique du système. ).

Lit. : Wigner E., Études sur la symétrie, trans. de l'anglais, M., 1971.

SS Gershtein.

III Symétrie

en chimie, il se manifeste dans la configuration géométrique des molécules, qui affecte les propriétés physiques et chimiques spécifiques des molécules à l'état isolé, dans un champ externe et lors de l'interaction avec d'autres atomes et molécules.

La plupart des molécules simples possèdent des éléments de symétrie spatiale de la configuration d'équilibre : axes de symétrie, plans de symétrie, etc. (voir Symétrie en mathématiques). Ainsi, la molécule d'ammoniac NH 3 a la symétrie d'une pyramide triangulaire régulière, la molécule de méthane CH 4 a la symétrie d'un tétraèdre. Dans les molécules complexes, la symétrie de la configuration d'équilibre dans son ensemble est généralement absente, mais la symétrie de ses fragments individuels est approximativement préservée (symétrie locale). La description la plus complète de la symétrie des configurations de molécules à l'équilibre et hors équilibre est obtenue sur la base d'idées sur ce qu'on appelle. groupes de symétrie dynamique - groupes qui incluent non seulement des opérations de symétrie spatiale de la configuration nucléaire, mais également des opérations de réarrangement de noyaux identiques dans différentes configurations. Par exemple, le groupe de symétrie dynamique de la molécule NH 3 inclut également l'opération d'inversion de cette molécule : la transition de l'atome N d'un côté du plan formé par les atomes H à son autre côté.

La symétrie de la configuration d'équilibre des noyaux d'une molécule entraîne une certaine symétrie des fonctions d'onde (Voir Fonction d'onde) des différents états de cette molécule, ce qui permet de classer les états selon des types de symétrie. Une transition entre deux états associés à l'absorption ou à l'émission de lumière, selon les types de symétrie des états, peut soit apparaître dans le spectre moléculaire (Voir Spectres moléculaires) soit être interdite, de sorte que la raie ou bande correspondant à cette transition sera absent du spectre. Les types de symétrie des états entre lesquels des transitions sont possibles affectent l'intensité des lignes et des bandes, ainsi que leur polarisation. Par exemple, dans les molécules diatomiques homonucléaires, les transitions entre états électroniques de même parité, dont les fonctions d'onde électroniques se comportent de la même manière lors de l'opération d'inversion, sont interdites et n'apparaissent pas dans les spectres ; dans les molécules de benzène et composés similaires, les transitions entre états électroniques non dégénérés de même type de symétrie... sont interdites. Les règles de sélection de symétrie sont complétées pour les transitions entre différents états par des règles de sélection associées au Spin de ces états.

Pour les molécules à centres paramagnétiques, la symétrie de l'environnement de ces centres conduit à un certain type d'anisotropie g-facteur (multiplicateur de Lande), qui affecte la structure des spectres de résonance paramagnétique électronique (Voir Résonance paramagnétique électronique), tandis que dans les molécules dont les noyaux atomiques ont un spin non nul, la symétrie des fragments locaux individuels conduit à un certain type de division d'énergie d'états avec différentes projections de spin nucléaire, qui affecte la structure des spectres de résonance magnétique nucléaire (Voir Résonance magnétique nucléaire).

Dans les approches approximatives de la chimie quantique, utilisant l'idée d'orbitales moléculaires, la classification par symétrie est possible non seulement pour la fonction d'onde de la molécule dans son ensemble, mais également pour les orbitales individuelles. Si la configuration d'équilibre d'une molécule a un plan de symétrie dans lequel se trouvent les noyaux, alors toutes les orbitales de cette molécule sont divisées en deux classes : symétriques (σ) et antisymétriques (π) par rapport à l'opération de réflexion dans ce plan. Les molécules dans lesquelles les orbitales occupées les plus élevées (en énergie) sont des orbitales π forment des classes spécifiques de composés insaturés et conjugués avec des propriétés qui leur sont caractéristiques. La connaissance de la symétrie locale des fragments individuels de molécules et des orbitales moléculaires localisées sur ces fragments permet de juger quels fragments sont plus facilement excités et changent plus fortement lors de transformations chimiques, par exemple lors de réactions photochimiques.

Les concepts de symétrie sont importants dans l'analyse théorique de la structure des composés complexes, de leurs propriétés et de leur comportement dans diverses réactions. La théorie du champ cristallin et la théorie du champ de ligand établissent les positions relatives des orbitales occupées et vacantes d'un composé complexe sur la base de données sur sa symétrie, la nature et le degré de division des niveaux d'énergie lorsque la symétrie du champ de ligand change. La connaissance de la symétrie d'un complexe permet très souvent à elle seule de juger qualitativement ses propriétés.

En 1965, P. Woodward et R. Hoffman ont avancé le principe de conservation de la symétrie orbitale dans les réactions chimiques, qui a ensuite été confirmé par un vaste matériel expérimental et a eu une grande influence sur le développement de la chimie organique préparative. Ce principe (la règle de Woodward-Hoffman) stipule que les actes élémentaires individuels de réactions chimiques se produisent tout en maintenant la symétrie des orbitales moléculaires, ou symétrie orbitale. Plus la symétrie des orbitales est violée lors d’un événement élémentaire, plus la réaction est difficile.

La prise en compte de la symétrie des molécules est importante lors de la recherche et de la sélection de substances utilisées dans la création de lasers chimiques et de redresseurs moléculaires, lors de la construction de modèles de supraconducteurs organiques, lors de l'analyse de substances cancérigènes et pharmacologiquement actives, etc.

Lit. : Hochstrasser R., Aspects moléculaires de la symétrie, trans. de l'anglais, M., 1968 ; Bolotin A. B., Stepanov N. f.. Théorie des groupes et ses applications en mécanique quantique des molécules, M., 1973 ; Woodward R., Hoffman R., Conservation de la symétrie orbitale, trans. de l'anglais, M., 1971.

N.F. Stepanov.

IV Symétrie

en biologie (biosymétrie). Le phénomène d'harmonie dans la nature vivante a été remarqué dans la Grèce antique par les Pythagoriciens (Ve siècle avant JC) en relation avec le développement de la doctrine de l'harmonie. Dans le 19ème siècle Il y a eu quelques travaux consacrés à la synthèse de plantes (scientifiques français O. P. Decandolle et O. Bravo), d'animaux (allemand - E. Haeckel) et de molécules biogéniques (scientifiques français - A. Vechan, L. Pasteur et autres). Au 20ème siècle les objets biologiques ont été étudiés du point de vue de la théorie générale de la cristallisation (scientifiques soviétiques Yu. V. Wulf, V. N. Beklemishev, B. K. Weinstein, le physico-chimiste néerlandais F. M. Yeger, les cristallographes anglais dirigés par J. Bernal) et la doctrine du droitisme et du gauchisme (Scientifiques soviétiques V.I. Vernadsky, V.V. Alpatov, G.F. Gause et autres ; scientifique allemand W. Ludwig). Ces travaux ont conduit à l'identification en 1961 d'une direction particulière dans l'étude de S. - biosymétrie.

La structure structurelle des objets biologiques a été étudiée de la manière la plus intensive. L'étude des biostructures - moléculaires et supramoléculaires - du point de vue de la structure structurale permet d'identifier à l'avance les types de structure possibles pour celles-ci, et donc le nombre et le type de modifications possibles, et de décrire strictement la forme externe et la structure interne. de tout objet biologique spatial. Cela a conduit à l'utilisation généralisée des concepts de S. structural en zoologie, en botanique et en biologie moléculaire. S. structurel se manifeste principalement sous la forme de l'une ou l'autre répétition régulière. Dans la théorie classique de la structure structurelle, développée par le scientifique allemand I. F. Hessel, E. S. Fedorov (voir Fedorov) et d'autres, l'apparence de la structure d'un objet peut être décrite par un ensemble d'éléments de sa structure, c'est-à-dire de tels éléments géométriques. éléments ( points, lignes, plans) par rapport auxquels les parties identiques d'un objet sont ordonnées (voir Symétrie en mathématiques). Par exemple, l'espèce S. phlox fleur ( riz. 1 , c) - un axe du 5ème ordre passant par le centre de la fleur ; produit par son fonctionnement - 5 rotations (72, 144, 216, 288 et 360°), avec chacune desquelles la fleur coïncide avec elle-même. Vue de la figure du papillon S. ( riz. 2 , b) - un plan le divisant en 2 moitiés - gauche et droite ; l'opération effectuée à travers le plan est un reflet miroir, « faisant » la moitié gauche droite, la moitié droite gauche et la figure du papillon se combinant avec elle-même. Espèce S. radiolaria Lithocubus géométriqueus ( riz. 3 , b), en plus des axes de rotation et des plans de réflexion, il contient également le centre C. Toute ligne droite passant par un tel point unique à l'intérieur des radiolaires rencontre des points identiques (correspondants) de la figure des deux côtés de celle-ci et à distances égales. Les opérations effectuées à travers le centre S. sont des réflexions en un point, après quoi la figure de la radiolaire se combine également avec elle-même.

Dans la nature vivante (comme dans la nature inanimée), en raison de diverses limitations, on trouve généralement un nombre nettement inférieur d'espèces de S. par rapport à ce qui est théoriquement possible. Par exemple, aux stades inférieurs du développement de la nature vivante, on trouve des représentants de toutes les classes de structure ponctuelle - jusqu'aux organismes caractérisés par la structure des polyèdres réguliers et de la boule (voir. riz. 3 ). Cependant, aux stades supérieurs de l'évolution, on trouve principalement des plantes et des animaux. axial (type n) et actinomorphes (type n(m)AVEC. (dans les deux cas n peut prendre des valeurs de 1 à ∞). Objets biologiques avec S. axial (voir. riz. 1 ) sont caractérisés uniquement par l'axe d'ordre C n. Bioobjets de S. sactinomorphes (voir. riz. 2 ) sont caractérisés par un axe d'ordre n et les plans se coupant le long de cet axe m. Les espèces sauvages les plus courantes sont S. spp. n = 1 et 1․ m = m, est appelé respectivement asymétrie (Voir Asymétrie) et bilatérale, ou bilatérale, S. L'asymétrie est caractéristique des feuilles de la plupart des espèces végétales, bilatérale S. - dans une certaine mesure pour la forme externe du corps des humains, des vertébrés, et de nombreux invertébrés. Dans les organismes mobiles, un tel mouvement est apparemment associé à des différences dans leurs mouvements de haut en bas, d'avant en arrière, tandis que leurs mouvements vers la droite et vers la gauche sont les mêmes. La violation de leur S. bilatéral conduirait inévitablement à l'inhibition du mouvement de l'un des côtés et à la transformation du mouvement de translation en mouvement circulaire. Dans les années 50-70. 20ième siècle La dite objets biologiques dissymétriques ( riz. 4 ). Ce dernier peut exister sous au moins deux modifications - sous la forme de l'original et de son image miroir (antipode). De plus, l'une de ces formes (peu importe laquelle) est appelée droite ou D (du latin dextro), l'autre est appelée gauche ou L (du latin laevo). Lors de l'étude de la forme et de la structure des bioobjets D et L, la théorie des facteurs de dissymétrisation a été développée, prouvant la possibilité pour tout objet D ou L de deux ou plusieurs modifications (jusqu'à un nombre infini) (voir aussi riz. 5 ); il contenait en même temps des formules permettant de déterminer le nombre et le type de ces derniers. Cette théorie a conduit à la découverte de ce qu'on appelle. isomérie biologique (Voir Isomérie) (différents objets biologiques de même composition ; sur riz. 5 16 isomères de la feuille de tilleul sont représentés).

Lors de l'étude de l'apparition d'objets biologiques, il a été constaté que dans certains cas, les formes D prédominent, dans d'autres, les formes L, dans d'autres, elles sont représentées tout aussi souvent. Béchamp et Pasteur (années 40 du 19ème siècle), et dans les années 30. 20ième siècle Le scientifique soviétique G.F. Gause et d'autres ont montré que les cellules des organismes sont construites uniquement ou principalement à partir d'acides aminés L, de protéines L, d'acides D-désoxyribonucléiques, de sucres D, d'alcaloïdes L, de D- et L-terpènes, etc. Une telle caractéristique fondamentale et caractéristique des cellules vivantes, appelée par Pasteur la dissymétrie du protoplasme, confère à la cellule, comme cela a été établi au 20ème siècle, un métabolisme plus actif et est maintenue par des mécanismes biologiques et physico-chimiques complexes apparus au cours du processus. d'évolution. Sov. le scientifique V.V. Alpatov en 1952, utilisant 204 espèces de plantes vasculaires, a établi que 93,2 % des espèces végétales appartiennent au type avec L-, 1,5 % - avec D-épaississements hélicoïdaux des parois des vaisseaux sanguins, 5,3 % des espèces - au type racémique (le nombre de vaisseaux D est approximativement égal au nombre de vaisseaux L).

Lors de l'étude des bioobjets D et L, il a été constaté que l'égalité entre les formes D et L est violée dans un certain nombre de cas en raison de différences dans leurs propriétés physiologiques, biochimiques et autres. Cette caractéristique de la nature vivante s'appelait la dissymétrie de la vie. Ainsi, l'effet excitant des acides aminés L sur le mouvement du plasma dans les cellules végétales est des dizaines et des centaines de fois supérieur au même effet de leurs formes D. De nombreux antibiotiques (pénicilline, gramicidine, etc.) contenant des acides aminés D sont plus bactéricides que leurs formes contenant des acides aminés L. La betterave sucrière L-kop en forme de vis, la plus courante, est 8 à 44 % (selon la variété) plus lourde et contient 0,5 à 1 % de sucre en plus que la D-kop.