Exemples de multiplication avec différents signes. Multiplier des nombres avec des signes différents (6e année)

Maintenant, parlons de Multiplication et division.

Disons que nous devons multiplier +3 par -4. Comment faire?

Considérons un tel cas. Trois personnes sont endettées et chacune a une dette de 4 $. Quelle est la dette totale ? Pour le trouver, vous devez additionner les trois dettes : 4 dollars + 4 dollars + 4 dollars = 12 dollars. Nous avons décidé que l'addition de trois nombres 4 est notée 3x4. Puisque dans ce cas nous parlons de dette, il y a un signe « - » avant le 4. Nous savons que la dette totale est de 12 $, donc notre problème devient maintenant 3x(-4)=-12.

Nous obtiendrons le même résultat si, selon le problème, chacune des quatre personnes a une dette de 3 $. En d'autres termes, (+4)x(-3)=-12. Et comme l’ordre des facteurs n’a pas d’importance, on obtient (-4)x(+3)=-12 et (+4)x(-3)=-12.

Résumons les résultats. Lorsque vous multipliez un nombre positif et un nombre négatif, le résultat sera toujours un nombre négatif. La valeur numérique de la réponse sera la même que dans le cas de nombres positifs. Produit (+4)x(+3)=+12. La présence du signe « - » n'affecte que le signe, mais n'affecte pas la valeur numérique.

Comment multiplier deux nombres négatifs ?

Malheureusement, il est très difficile de trouver un exemple concret et approprié sur ce sujet. Il est facile d’imaginer une dette de 3 ou 4 dollars, mais il est absolument impossible d’imaginer -4 ou -3 personnes s’endetter.

Peut-être que nous emprunterons une voie différente. En multiplication, lorsque le signe d'un des facteurs change, le signe du produit change. Si nous changeons les signes des deux facteurs, nous devons changer deux fois marque de travail, d'abord du positif au négatif, puis vice versa, du négatif au positif, c'est-à-dire que le produit aura un signe initial.

Il est donc assez logique, quoique un peu étrange, que (-3) x (-4) = +12.

Position du signe une fois multiplié, cela change comme ceci :

• nombre positif x nombre positif = nombre positif ;
• nombre négatif x nombre positif = nombre négatif ;
• nombre positif x nombre négatif = nombre négatif ;
• nombre négatif x nombre négatif = nombre positif.

Autrement dit, multiplier deux nombres par signes identiques, on obtient un nombre positif. Multiplier deux nombres avec différents signes, on obtient un nombre négatif.

La même règle est vraie pour l'action opposée à la multiplication - pour.

Vous pouvez facilement le vérifier en exécutant opérations de multiplication inverse. Dans chacun des exemples ci-dessus, si vous multipliez le quotient par le diviseur, vous obtiendrez le dividende et vous assurerez qu'il a le même signe, par exemple (-3)x(-4)=(+12).

Puisque l’hiver approche, il est temps de réfléchir à quoi changer les fers de votre cheval de fer, pour ne pas glisser sur la glace et se sentir en confiance sur la glace. routes d'hiver. Vous pouvez par exemple acheter des pneus Yokohama sur le site : mvo.ru ou quelques autres, l'essentiel est qu'ils soient de haute qualité, vous pouvez trouver plus d'informations et de prix sur le site Mvo.ru.

Les nombres fractionnaires ordinaires rencontrent d'abord les écoliers dès la 5e année et les accompagnent tout au long de leur vie, car dans la vie de tous les jours il est souvent nécessaire de considérer ou d'utiliser un objet non pas dans son ensemble, mais en morceaux séparés. Commencez à étudier ce sujet - partages. Les actions sont à parts égales, en lequel tel ou tel objet est divisé. Après tout, il n'est pas toujours possible d'exprimer, par exemple, la longueur ou le prix d'un produit sous forme de nombre entier ; il faut prendre en compte les parties ou fractions d'une certaine mesure. Formé du verbe « diviser » - diviser en parties, et ayant des racines arabes, le mot « fraction » lui-même est apparu dans la langue russe au VIIIe siècle.

Les expressions fractionnaires ont longtemps été considérées comme la branche la plus difficile des mathématiques. Au XVIIe siècle, lorsque les premiers manuels de mathématiques parurent, on les appelait « nombres brisés », ce qui était très difficile à comprendre.

Look moderne les restes fractionnaires simples, dont les parties sont séparées par une ligne horizontale, ont été promus pour la première fois par Fibonacci - Léonard de Pise. Ses œuvres sont datées de 1202. Mais le but de cet article est d'expliquer simplement et clairement au lecteur comment les fractions mixtes se multiplient par différents dénominateurs.

Multiplier des fractions avec différents dénominateurs

Dans un premier temps, il convient de déterminer types de fractions:

• correct;
• Incorrect;
• mixte.

Ensuite, vous devez vous rappeler comment se produit la multiplication nombres fractionnaires Avec mêmes dénominateurs. La règle même de ce processus est facile à formuler indépendamment : le résultat de la multiplication fractions simples avec les mêmes dénominateurs est une expression fractionnaire dont le numérateur est le produit des numérateurs, et le dénominateur est le produit des dénominateurs de ces fractions. Autrement dit, le nouveau dénominateur est le carré de l'un des dénominateurs initialement existants.

En multipliant fractions simples avec différents dénominateurs pour deux facteurs ou plus, la règle ne change pas :

un/b * c/d = a*c / b*d.

La seule différence est que le nombre résultant sous la ligne fractionnaire sera le produit de différents nombres et, bien sûr, le carré d'un. expression numérique il est impossible de le nommer.

Il vaut la peine d'envisager la multiplication de fractions avec des dénominateurs différents à l'aide d'exemples :

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Les exemples utilisent des méthodes pour réduire les expressions fractionnaires. Vous ne pouvez réduire les nombres du numérateur qu'avec les nombres du dénominateur ; les facteurs adjacents au-dessus ou au-dessous de la ligne de fraction ne peuvent pas être réduits.

Outre les fractions simples, il existe le concept de fractions mixtes. Un nombre fractionnaire est constitué d'un nombre entier et d'une partie fractionnaire, c'est-à-dire qu'il est la somme de ces nombres :

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Comment fonctionne la multiplication ?

Plusieurs exemples sont proposés à titre de réflexion.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

L'exemple utilise la multiplication d'un nombre par partie fractionnaire ordinaire, la règle de cette action peut s'écrire :

un* b/c = un B /c.

En fait, un tel produit est la somme de restes fractionnaires identiques, et le nombre de termes indique cet nombre naturel. Cas particulier:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Il existe une autre solution pour multiplier un nombre par un reste fractionnaire. Il vous suffit de diviser le dénominateur par ce nombre :

d* e/F = e/f : d.

Cette technique est utile lorsque le dénominateur est divisé par un nombre naturel sans reste ou, comme on dit, par un nombre entier.

Convertissez les nombres fractionnaires en fractions impropres et obtenez le produit de la manière décrite précédemment :

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Cet exemple implique une manière de représenter une fraction mixte comme une fraction impropre, elle peut également être représentée comme formule générale:

un bc = a*b+ c / c, où le dénominateur de la nouvelle fraction est formé en multipliant la partie entière par le dénominateur et en l'ajoutant au numérateur du reste fractionnaire d'origine, et le dénominateur reste le même.

Ce processus fonctionne également dans le sens inverse. Pour séparer la partie entière et le reste fractionnaire, il faut diviser le numérateur d'une fraction impropre par son dénominateur à l'aide d'un « coin ».

Multiplier des fractions impropres produit d'une manière généralement acceptée. Lorsque vous écrivez sous une seule ligne de fraction, vous devez réduire les fractions si nécessaire afin de réduire les nombres à l'aide de cette méthode et de faciliter le calcul du résultat.

Il existe de nombreuses aides sur Internet pour résoudre des problèmes mathématiques même complexes dans diverses variantes de programmes. Un nombre suffisant de ces services proposent leur aide pour calculer la multiplication de fractions avec des nombres différents dans les dénominateurs - ce qu'on appelle des calculateurs en ligne pour calculer des fractions. Ils sont capables non seulement de multiplier, mais aussi d'effectuer toutes les autres opérations arithmétiques simples avec des fractions ordinaires et des nombres fractionnaires. Ce n'est pas difficile à utiliser : vous remplissez les champs appropriés sur la page du site Web, sélectionnez le signe de l'opération mathématique et cliquez sur "calculer". Le programme calcule automatiquement.

Sujet opérations arithmétiques avec des nombres fractionnaires est pertinent tout au long de la scolarité des collégiens et lycéens. Au lycée, on ne considère plus les espèces les plus simples, mais expressions fractionnaires entières, mais la connaissance des règles de transformation et de calcul obtenues précédemment est appliquée sous sa forme originale. Bien appris notions de base donner une confiance totale dans la résolution réussie des problèmes les plus complexes.

En conclusion, il est logique de citer les mots de Lev Nikolaïevitch Tolstoï, qui a écrit : « L'homme est une fraction. Il n'est pas au pouvoir d'une personne d'augmenter son numérateur - ses mérites - mais n'importe qui peut réduire son dénominateur - son opinion sur lui-même, et avec cette diminution se rapprocher de sa perfection.

Dans cet article, nous traiterons multiplier des nombres avec des signes différents. Ici, nous formulerons d'abord la règle de multiplication des nombres positifs et négatifs, la justifierons, puis envisagerons l'application de cette règle lors de la résolution d'exemples.

Navigation dans les pages.

Règle pour multiplier des nombres avec des signes différents

La multiplication d'un nombre positif par un nombre négatif, ainsi que d'un nombre négatif par un nombre positif, s'effectue comme suit : la règle pour multiplier les nombres avec des signes différents: pour multiplier des nombres avec des signes différents, vous devez multiplier et mettre un signe moins devant le produit obtenu.

Écrivons-le cette règle sous forme de lettre. Pour tout nombre réel positif a et tout nombre réel négatif −b, l'égalité une·(−b)=−(|une|·|b|) , et aussi pour un nombre négatif −a et un nombre positif b l'égalité (−une)·b=−(|une|·|b|) .

La règle de multiplication des nombres avec des signes différents est tout à fait cohérente avec propriétés des opérations avec des nombres réels. En effet, sur cette base, il est facile de montrer que pour les nombres réels et positifs a et b une chaîne d'égalités de la forme une·(−b)+une·b=une·((−b)+b)=une·0=0, ce qui prouve que a·(−b) et a·b sont des nombres opposés, ce qui implique l'égalité a·(−b)=−(a·b) . Et de là découle la validité de la règle de multiplication en question.

Il convient de noter que la règle énoncée pour multiplier les nombres avec des signes différents est valable aussi bien pour les nombres réels que pour les nombres rationnels et pour les nombres entiers. Cela découle du fait que les opérations avec des nombres rationnels et entiers ont les mêmes propriétés que celles utilisées dans la preuve ci-dessus.

Il est clair que multiplier des nombres de signes différents selon la règle résultante revient à multiplier des nombres positifs.

Il ne reste plus qu'à considérer des exemples d'application de la règle de multiplication démontée lors de la multiplication de nombres avec des signes différents.

Exemples de multiplication de nombres avec différents signes

Examinons plusieurs solutions exemples de multiplication de nombres avec différents signes. Commençons par un cas simple pour nous concentrer sur les étapes de la règle plutôt que sur la complexité informatique.

Exemple.

Multipliez le nombre négatif −4 par le nombre positif 5.

Solution.

Selon la règle de multiplication des nombres avec des signes différents, nous devons d'abord multiplier les valeurs absolues des facteurs d'origine. Le module de −4 est 4 et le module de 5 est 5, et multiplier les nombres naturels 4 et 5 donne 20. Enfin, il reste à mettre un signe moins devant le nombre obtenu, nous avons −20. Ceci termine la multiplication.

Brièvement, la solution peut s'écrire comme suit : (−4)·5=−(4·5)=−20.

Répondre:

(−4)·5=−20.

Lorsque vous multipliez des fractions avec des signes différents, vous devez être capable de multiplier des fractions ordinaires, de multiplier des décimales et leurs combinaisons avec des nombres naturels et fractionnaires.

Exemple.

Multipliez les nombres avec des signes différents 0, (2) et .

Solution.

En convertissant une fraction décimale périodique en une fraction commune, et également en convertissant un nombre fractionnaire en une fraction impropre, à partir du produit original nous arriverons au produit de fractions ordinaires avec différents signes de forme . Ce produit, selon la règle de multiplication de nombres de signes différents, est égal à . Il ne reste plus qu'à multiplier les fractions ordinaires entre parenthèses, on a .

Dans cet article, nous traiterons multiplier des nombres avec des signes différents. Ici, nous formulerons d'abord la règle de multiplication des nombres positifs et négatifs, la justifierons, puis envisagerons l'application de cette règle lors de la résolution d'exemples.

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Règle pour multiplier des nombres avec des signes différents

La multiplication d'un nombre positif par un nombre négatif, ainsi que d'un nombre négatif par un nombre positif, s'effectue comme suit : la règle pour multiplier les nombres avec des signes différents: pour multiplier des nombres avec des signes différents, vous devez multiplier et mettre un signe moins devant le produit obtenu.

Écrivons cette règle sous forme de lettre. Pour tout nombre réel positif a et tout nombre réel négatif −b, l'égalité une·(−b)=−(|une|·|b|) , et aussi pour un nombre négatif −a et un nombre positif b l'égalité (−une)·b=−(|une|·|b|) .

La règle de multiplication des nombres avec des signes différents est tout à fait cohérente avec propriétés des opérations avec des nombres réels. En effet, sur cette base, il est facile de montrer que pour les nombres réels et positifs a et b une chaîne d'égalités de la forme une·(−b)+une·b=une·((−b)+b)=une·0=0, ce qui prouve que a·(−b) et a·b sont des nombres opposés, ce qui implique l'égalité a·(−b)=−(a·b) . Et de là découle la validité de la règle de multiplication en question.

Il convient de noter que la règle énoncée pour multiplier les nombres avec des signes différents est valable aussi bien pour les nombres réels que pour nombres rationnels et pour les entiers. Cela découle du fait que les opérations avec des nombres rationnels et entiers ont les mêmes propriétés que celles utilisées dans la preuve ci-dessus.

Il est clair que multiplier des nombres de signes différents selon la règle résultante revient à multiplier des nombres positifs.

Il ne reste plus qu'à considérer des exemples d'application de la règle de multiplication démontée lors de la multiplication de nombres avec des signes différents.

Exemples de multiplication de nombres avec différents signes

Examinons plusieurs solutions exemples de multiplication de nombres avec différents signes. Commençons par un cas simple pour nous concentrer sur les étapes de la règle plutôt que sur la complexité informatique.

Multipliez le nombre négatif −4 par le nombre positif 5.

Selon la règle de multiplication des nombres avec des signes différents, nous devons d'abord multiplier les valeurs absolues des facteurs d'origine. Le module −4 est égal à 4, et le module 5 est égal à 5, et la multiplication nombres naturels 4 et 5 donnent 20. Enfin, il reste à mettre un signe moins devant le nombre obtenu, nous avons −20. Ceci termine la multiplication.

Brièvement, la solution peut s'écrire comme suit : (−4)·5=−(4·5)=−20.

(−4)·5=−20.

Lorsque vous multipliez des fractions avec des signes différents, vous devez être capable de multiplier des fractions ordinaires, de multiplier des décimales et leurs combinaisons avec des nombres naturels et fractionnaires.

Multipliez les nombres avec des signes différents 0, (2) et.

Après avoir traduit le périodique décimal en une fraction ordinaire, et aussi en faisant la transition de nombre mixteà une fraction impropre, du produit original nous arriverons au produit de fractions ordinaires avec des signes de forme différents. Ce produit est égal à la règle de multiplication des nombres de signes différents. Il ne reste plus qu'à multiplier les fractions ordinaires entre parenthèses, on a .

.

Séparément, il convient de mentionner la multiplication de nombres avec des signes différents, lorsqu'un ou les deux facteurs sont

Maintenant, parlons de Multiplication et division.

Disons que nous devons multiplier +3 par -4. Comment faire?

Considérons un tel cas. Trois personnes sont endettées et chacune a une dette de 4 $. Quelle est la dette totale ? Pour le trouver, vous devez additionner les trois dettes : 4 dollars + 4 dollars + 4 dollars = 12 dollars. Nous avons décidé que l'addition de trois nombres 4 est notée 3x4. Puisque dans ce cas nous parlons de dette, il y a un signe « - » avant le 4. Nous savons que la dette totale est de 12 $, donc notre problème devient maintenant 3x(-4)=-12.

Nous obtiendrons le même résultat si, selon le problème, chacune des quatre personnes a une dette de 3 $. En d'autres termes, (+4)x(-3)=-12. Et comme l’ordre des facteurs n’a pas d’importance, on obtient (-4)x(+3)=-12 et (+4)x(-3)=-12.

Résumons les résultats. Lorsque vous multipliez un nombre positif et un nombre négatif, le résultat sera toujours un nombre négatif. La valeur numérique de la réponse sera la même que dans le cas de nombres positifs. Produit (+4)x(+3)=+12. La présence du signe « - » n'affecte que le signe, mais n'affecte pas la valeur numérique.

Comment multiplier deux nombres négatifs ?

Malheureusement, il est très difficile de trouver un exemple concret et approprié sur ce sujet. Il est facile d’imaginer une dette de 3 ou 4 dollars, mais il est absolument impossible d’imaginer -4 ou -3 personnes s’endetter.

Peut-être que nous emprunterons une voie différente. En multiplication, lorsque le signe d'un des facteurs change, le signe du produit change. Si nous changeons les signes des deux facteurs, nous devons changer deux fois marque de travail, d'abord du positif au négatif, puis vice versa, du négatif au positif, c'est-à-dire que le produit aura un signe initial.

Il est donc assez logique, quoique un peu étrange, que (-3) x (-4) = +12.

Position du signe une fois multiplié, cela change comme ceci :

• nombre positif x nombre positif = nombre positif ;
• nombre négatif x nombre positif = nombre négatif ;
• nombre positif x nombre négatif = nombre négatif ;
• nombre négatif x nombre négatif = nombre positif.

Autrement dit, en multipliant deux nombres de mêmes signes, on obtient un nombre positif. En multipliant deux nombres de signes différents, on obtient un nombre négatif.

La même règle est vraie pour l'action opposée à la multiplication - pour.

Vous pouvez facilement le vérifier en exécutant opérations de multiplication inverse. Dans chacun des exemples ci-dessus, si vous multipliez le quotient par le diviseur, vous obtiendrez le dividende et vous assurerez qu'il a le même signe, par exemple (-3)x(-4)=(+12).

Puisque l’hiver approche, il est temps de réfléchir à quoi changer les fers de votre cheval de fer pour ne pas glisser sur la glace et se sentir en confiance sur les routes hivernales. Vous pouvez par exemple acheter des pneus Yokohama sur le site : mvo.ru ou quelques autres, l'essentiel est qu'ils soient de haute qualité, vous pouvez trouver plus d'informations et de prix sur le site Mvo.ru.

Cet article donne examen détaillé diviser des nombres avec des signes différents. Tout d'abord, la règle pour diviser les nombres avec des signes différents est donnée. Vous trouverez ci-dessous des exemples de division de nombres positifs par des nombres négatifs et négatifs par des nombres positifs.

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Règle pour diviser les nombres avec des signes différents

Dans la division d'articles d'entiers, une règle pour diviser des entiers de signes différents a été obtenue. Il peut être étendu à la fois aux nombres rationnels et aux nombres réels en répétant tout le raisonnement de l’article ci-dessus.

Donc, règle pour diviser les nombres avec des signes différents a la formulation suivante : pour diviser un nombre positif par un nombre négatif ou un nombre négatif par un positif, il faut diviser le dividende par le module du diviseur, et mettre un signe moins devant le nombre obtenu.

Écrivons cette règle de division en utilisant des lettres. Si les nombres a et b ont des signes différents, alors la formule est valable une:b=−|une|:|b| .

D'après la règle énoncée, il ressort clairement que le résultat de la division de nombres avec des signes différents est un nombre négatif. En effet, puisque le module du dividende et le module du diviseur sont des nombres positifs, leur quotient est un nombre positif, et le signe moins rend ce nombre négatif.

A noter que la règle considérée réduit la division des nombres de signes différents à la division des nombres positifs.

Vous pouvez donner une autre formulation de la règle de division des nombres de signes différents : pour diviser le nombre a par le nombre b, il faut multiplier le nombre a par le nombre b −1, l'inverse du nombre b. C'est, une:b=une b −1 .

Cette règle peut être utilisée lorsqu'il est possible d'aller au-delà de l'ensemble des entiers (puisque tous les entiers n'ont pas d'inverse). En d’autres termes, cela s’applique aussi bien à l’ensemble des nombres rationnels qu’à l’ensemble des nombres réels.

Force est de constater que cette règle de division des nombres de signes différents permet de passer de la division à la multiplication.

La même règle est utilisée pour diviser des nombres négatifs.

Il reste à considérer comment cette règle de division des nombres avec des signes différents est appliquée lors de la résolution d'exemples.

Exemples de division de nombres avec des signes différents

Considérons des solutions à plusieurs caractéristiques exemples de division de nombres avec des signes différents comprendre le principe d’application des règles du paragraphe précédent.

Divisez le nombre négatif −35 par le nombre positif 7.

La règle de division des nombres avec des signes différents prescrit de trouver d'abord les modules du dividende et du diviseur. Le module de −35 est 35 et le module de 7 est 7. Nous devons maintenant diviser le module du dividende par le module du diviseur, c'est-à-dire que nous devons diviser 35 par 7. En nous rappelant comment s'effectue la division des nombres naturels, nous obtenons 35:7=5. La dernière étape restante dans la règle de division des nombres avec des signes différents est de mettre un moins devant le nombre obtenu, nous avons −5.

Voici la solution complète : .

Il était possible de partir d'une formulation différente de la règle de division des nombres par des signes différents. Dans ce cas, on trouve d'abord l'inverse du diviseur 7. Ce nombre est la fraction commune 1/7. Ainsi, . Il reste à multiplier des nombres de signes différents : . Évidemment, nous sommes arrivés au même résultat.

(−35):7=−5 .

Calculez le quotient 8:(−60) .

D'après la règle de division des nombres de signes différents, on a 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . L'expression résultante correspond à une fraction ordinaire négative (voir le signe de division sous forme de barre de fraction), vous pouvez réduire la fraction par 4, on obtient .

Écrivons brièvement toute la solution : .

.

Lors de la division de nombres rationnels fractionnaires avec des signes différents, leur dividende et leur diviseur sont généralement représentés sous forme de fractions ordinaires. Cela est dû au fait qu'il n'est pas toujours pratique d'effectuer une division avec des nombres dans une autre notation (par exemple en décimal).

Le module du dividende est égal et le module du diviseur est 0,(23) . Pour diviser le module du dividende par le module du diviseur, passons aux fractions ordinaires.