Exemple 1 : Trouver la fonction de distribution

variable aléatoire discrète x de l'exemple 1§ 13.

À l'aide de la fonction de distribution, calculez

probabilité d'événements : x< 3, 1 £ x < 4, 1 £ x £ 3.

obtenu au § 13, et de formule (5), on obtient

fonction de répartition :

D'après la formule (1) Р(x< 3) = F(3) = 0,1808; по формуле (2)

p(1 £ x< 4) = F (4) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888;

p (1 £ x 3 £) = p (1 £ x<3) + p(x = 3) = F(3) – F(1) + F(3+0) – F(3) =

F(3+0) – F(1) = 0,5904 – 0,0016 = 0,5888.

Exemple 2. Étant donné une fonction

La fonction F(x) est-elle la fonction de distribution d'une variable aléatoire ? Si la réponse est oui, trouvez . Tracez un graphique de la fonction F(x).

Solution. Pour qu'une fonction prédéterminée F(x) soit une fonction de distribution d'une variable aléatoire x, il est nécessaire et suffisant de satisfaire les conditions suivantes (propriétés caractéristiques de la fonction de distribution) :

1. F(x) est une fonction non décroissante.

3. Pour tout x О R F( X– 0) = F( X).

Pour une fonction F(x) donnée, exécution

ces conditions sont évidentes. Moyens,

F(x) – fonction de distribution.

Probabilité calculer par

formule (2):

Graphique de la fonction F( X) est présenté à la figure 13.

Exemple 3. Soit F 1 ( X) et F 2 ( X) – fonctions de distribution de variables aléatoires X 1 et X 2 respectivement, UN 1 et UN 2 sont des nombres non négatifs dont la somme est 1.

Montrer que F( X) = un 1 F 1 ( X) + un 2F2 ( X) est la fonction de distribution d'une variable aléatoire X.

Solution. 1) Depuis F 1 ( X) et F 2 ( X) sont des fonctions non décroissantes et UN 1³0, UN 2 ³ 0, alors un 1 F 1 ( X) Et un 2F2 ( X) sont non décroissantes, donc leur somme F( X) est également non décroissante.

3) Pour tout x О R F( X - 0) = un 1 F 1 ( X - 0) + un 2F2 ( X - 0)= un 1 F 1 ( X) + un 2F2 ( X) = F( X).

Exemple 4. Étant donné une fonction

F(x) est-il la fonction de distribution d'une variable aléatoire ?

Solution. Il est facile de voir que F(1) = 0,2 > 0,11 = F(1,1). Donc F( X) n'est pas non décroissant et n'est donc pas une fonction de distribution d'une variable aléatoire. Notez que les deux propriétés restantes sont valides pour cette fonction.

Tâche de test n°11

1. Variable aléatoire discrète X

X) et, en l'utilisant, trouvez les probabilités des événements : a) –2 £ X < 1; б) ½X½£ 2. Tracez un graphique de la fonction de distribution.

3. Variable aléatoire discrète X donné par la table de répartition :

Trouver la fonction de distribution F( X) et trouvez les probabilités des événements suivants : a) X < 2; б) 1 £ X < 4; в) 1 £ X 4 £ ; d)1< X 4 £ ; d) X = 2,5.

4. Trouver la fonction de distribution d'une variable aléatoire discrète X, égal au nombre de points obtenu lors d'un lancer de dé. À l’aide de la fonction de distribution, trouvez la probabilité d’obtenir au moins 5 points.

5. Des tests consécutifs de fiabilité sont effectués sur 5 appareils. Chaque appareil suivant n'est testé que si le précédent s'est avéré fiable. Créez une table de distribution et trouvez la fonction de distribution du nombre aléatoire de tests d'appareils si la probabilité de réussir les tests pour chaque appareil est de 0,9.

6. La fonction de distribution d'une variable aléatoire discrète est donnée X:

a) Trouver la probabilité de l'événement 1 £ X 3 £.

b) Trouver la table de distribution de la variable aléatoire X.

7. La fonction de distribution d'une variable aléatoire discrète est donnée X:

Faites un tableau de la distribution de cette variable aléatoire.

8. Tirage au sort n une fois. Créez un tableau de répartition et trouvez la fonction de répartition du nombre d'apparitions des armoiries. Tracez la fonction de distribution à n = 5.

9. La pièce est lancée jusqu'à ce que les armoiries apparaissent. Créez une table de distribution et recherchez la fonction de distribution du nombre d'occurrences d'un chiffre.

10. Le tireur d'élite tire sur la cible jusqu'au premier coup. La probabilité de rater un seul coup est égale à R.. Trouvez la fonction de distribution du nombre d'échecs.

Définition d'une fonction de variables aléatoires. Fonction de l'argument aléatoire discret et ses caractéristiques numériques. Fonction d'argument aléatoire continu et ses caractéristiques numériques. Fonctions de deux arguments aléatoires. Détermination de la fonction de distribution de probabilité et de la densité pour une fonction de deux arguments aléatoires.

Loi de distribution de probabilité d'une fonction d'une variable aléatoire

Lors de la résolution de problèmes liés à l'évaluation de la précision de fonctionnement de divers systèmes automatiques, de la précision de production d'éléments individuels de systèmes, etc., il est souvent nécessaire de prendre en compte les fonctions d'une ou plusieurs variables aléatoires. De telles fonctions sont également des variables aléatoires. Par conséquent, lors de la résolution de problèmes, il est nécessaire de connaître les lois de distribution des variables aléatoires apparaissant dans le problème. Dans ce cas, la loi de distribution du système d'arguments aléatoires et la dépendance fonctionnelle sont généralement connues.

Se pose alors un problème que l’on peut formuler comme suit.

Étant donné un système de variables aléatoires (X_1,X_2,\ldots,X_n), dont la loi de distribution est connue. Une variable aléatoire Y est considérée en fonction de ces variables aléatoires :

Y=\varphi(X_1,X_2,\ldots,X_n).

Il faut déterminer la loi de distribution de la variable aléatoire Y, connaissant la forme des fonctions (6.1) et la loi de distribution conjointe de ses arguments.

Considérons le problème de la loi de distribution d'une fonction d'un argument aléatoire

Y=\varphi(X).

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(array)

Alors Y=\varphi(X) est également une variable aléatoire discrète avec des valeurs possibles. Si toutes les valeurs y_1,y_2,\ldots,y_n sont différents, alors pour chaque k=1,2,\ldots,n les événements \(X=x_k\) et \(Y=y_k=\varphi(x_k)\) sont identiques. Ainsi,

P\(Y=y_k\)=P\(X=x_k\)=p_k

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(Y)&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\\hline (P)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(tableau)

Si parmi les chiffres y_1=\varphi(x_1),y_2=\varphi(x_2),\ldots,y_n=\varphi(x_n) il y en a des identiques, alors chaque groupe de valeurs identiques y_k=\varphi(x_k) doit se voir attribuer une colonne dans le tableau et les probabilités correspondantes additionnées.

Pour les variables aléatoires continues, le problème se pose comme suit : connaissant la densité de distribution f(x) de la variable aléatoire X, trouver la densité de distribution g(y) de la variable aléatoire Y=\varphi(X). Pour résoudre le problème, nous considérons deux cas.

Supposons d'abord que la fonction y=\varphi(x) est monotone croissante, continue et dérivable sur l'intervalle (a;b) sur lequel se situent toutes les valeurs possibles de X. Alors la fonction inverse x=\psi(y) existe, tout en étant également croissante de façon monotone, continue et différentiable. Dans ce cas on obtient

G(y)=f\bigl(\psi(y)\bigr)\cdot |\psi"(y)|.

Exemple 1. Variable aléatoire X distribuée avec densité

F(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))e^(-x^2/2)

Trouver la loi de distribution de la variable aléatoire Y associée à la valeur X par la dépendance Y=X^3.

Solution. Puisque la fonction y=x^3 est monotone sur l'intervalle (-\infty;+\infty), on peut appliquer la formule (6.2). La fonction inverse par rapport à la fonction \varphi(x)=x^3 est \psi(y)=\sqrt(y) , sa dérivée \psi"(y)=\frac(1)(3\sqrt(y^2)). Ainsi,

G(y)=\frac(1)(3\sqrt(2\pi))e^(-\sqrt(y^2)/2)\frac(1)(\sqrt(y^2))

Considérons le cas d'une fonction non monotone. Soit la fonction y=\varphi(x) telle que la fonction inverse x=\psi(y) soit ambiguë, c'est-à-dire qu'une valeur de y correspond à plusieurs valeurs de l'argument x, que l'on note x_1=\psi_1(y),x_2=\psi_2(y),\ldots,x_n=\psi_n(y), où n est le nombre de sections dans lesquelles la fonction y=\varphi(x) change de manière monotone. Alors

G(y)=\sum\limits_(k=1)^(n)f\bigl(\psi_k(y)\bigr)\cdot |\psi"_k(y)|.

Exemple 2. Dans les conditions de l'exemple 1, trouvez la distribution de la variable aléatoire Y=X^2.

Solution. La fonction inverse x=\psi(y) est ambiguë. Une valeur de l'argument y correspond à deux valeurs de la fonction x

\begin(rassemblé)g(y)=f(\psi_1(y))|\psi"_1(y)|+f(\psi_2(y))|\psi"_2(y)|=\\\\ =\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(-\sqrt(y^2)\right)^2/2)\!\left|-\frac(1 )(2\sqrt(y))\right|+\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(\sqrt(y^2)\right)^2/2 )\!\left|\frac(1)(2\sqrt(y))\right|=\frac(1)(\sqrt(2\pi(y)))\,e^(-y/2) .\end(rassemblé)

Loi de distribution d'une fonction de deux variables aléatoires

Soit la variable aléatoire Y fonction de deux variables aléatoires formant le système (X_1;X_2), c'est-à-dire Y=\varphi(X_1;X_2). La tâche consiste à trouver la distribution de la variable aléatoire Y en utilisant la distribution connue du système (X_1;X_2).

Soit f(x_1;x_2) la densité de distribution du système de variables aléatoires (X_1;X_2) . Introduisons en considération une nouvelle quantité Y_1 égale à X_1 et considérons le système d'équations

Nous supposerons que ce système est résoluble de manière unique par rapport à x_1,x_2

Densité de distribution de la variable aléatoire Y

G_1(y)=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x_1;\psi(y;x_1))\!\left|\frac(\partial\psi(y;x_1)) (\partial(y))\right|dx_1.

Notez que le raisonnement ne change pas si la nouvelle valeur introduite Y_1 est égale à X_2.

Espérance mathématique d'une fonction de variables aléatoires

En pratique, il existe souvent des cas où il n'est pas particulièrement nécessaire de déterminer complètement la loi de distribution d'une fonction de variables aléatoires, mais il suffit simplement d'indiquer ses caractéristiques numériques. Ainsi se pose le problème de déterminer les caractéristiques numériques des fonctions de variables aléatoires en plus des lois de distribution de ces fonctions.

Soit la variable aléatoire Y fonction de l'argument aléatoire X avec une loi de distribution donnée

Y=\varphi(X).

Il faut, sans trouver la loi de distribution de la quantité Y, déterminer son espérance mathématique

M(Y)=M[\varphi(X)].

Soit X une variable aléatoire discrète ayant une série de distribution

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(x_i)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(array)

Faisons un tableau des valeurs de la valeur Y et des probabilités de ces valeurs :

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(y_i=\varphi(x_i))&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi( x_n)\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(array)

Ce tableau n'est pas une série de distribution de la variable aléatoire Y, puisque dans le cas général certaines valeurs peuvent coïncider les unes avec les autres et les valeurs de la rangée supérieure ne sont pas nécessairement par ordre croissant. Cependant, l'espérance mathématique de la variable aléatoire Y peut être déterminée par la formule

M[\varphi(X)]=\sum\limits_(i=1)^(n)\varphi(x_i)p_i,

La formule (6.4) ne contient pas explicitement la loi de distribution de la fonction \varphi(X) elle-même, mais contient uniquement la loi de distribution de l'argument X. Ainsi, pour déterminer l’espérance mathématique de la fonction Y=\varphi(X), il n’est pas du tout nécessaire de connaître la loi de répartition de la fonction \varphi(X), mais plutôt de connaître la loi de répartition de l’argument X.

Pour une variable aléatoire continue, l'espérance mathématique est calculée à l'aide de la formule

M[\varphi(X)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi(x)f(x)\,dx,

Considérons des cas où, pour trouver l'espérance mathématique d'une fonction d'arguments aléatoires, la connaissance même des lois de distribution des arguments n'est pas requise, mais il suffit de connaître seulement certaines de leurs caractéristiques numériques. Formulons ces cas sous forme de théorèmes.

Théorème 6.1. L'espérance mathématique de la somme de deux variables aléatoires dépendantes et indépendantes est égale à la somme des espérances mathématiques de ces variables :

M(X+Oui)=M(X)+M(Oui).

Théorème 6.2. L'espérance mathématique du produit de deux variables aléatoires est égale au produit de leurs espérances mathématiques plus le moment de corrélation :

M(XY)=M(X)M(Y)+\mu_(xy).

Corollaire 6.1. L'espérance mathématique du produit de deux variables aléatoires non corrélées est égale au produit de leurs espérances mathématiques.

Corollaire 6.2. L'espérance mathématique du produit de deux variables aléatoires indépendantes est égale au produit de leurs espérances mathématiques.

Variance d'une fonction de variables aléatoires

Par définition de la dispersion, nous avons D[Y]=M[(Y-M(Y))^2].. Ainsi,

D[\varphi(x)]=M[(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2], Où .

Nous présentons les formules de calcul uniquement pour le cas d'arguments aléatoires continus. Pour une fonction d'un argument aléatoire Y=\varphi(X), la variance est exprimée par la formule

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2f(x)\,dx,

Où M(\varphi(x))=M[\varphi(X)]- espérance mathématique de la fonction \varphi(X) ; f(x) - densité de distribution de la valeur X.

La formule (6.5) peut être remplacée par la suivante :

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi^2(x)f(x)\,dx-M^2(X)

Considérons théorèmes de dispersion, qui jouent un rôle important dans la théorie des probabilités et ses applications.

Théorème 6.3. La variance de la somme des variables aléatoires est égale à la somme des variances de ces grandeurs plus la somme doublée des moments de corrélation de chacune des sommes avec toutes les suivantes :

D\!\left[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\sum\limits_(i=1)^(n)D+2\sum\limits_(i

Corollaire 6.3. La variance de la somme des variables aléatoires non corrélées est égale à la somme des variances des termes :

D\!\left[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\sum\limits_(i=1)^(n)D\mu_(y_1y_2)= M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2).

\mu_(y_1y_2)=M(\varphi_1(X)\varphi_2(X))-M(\varphi_1(X))M(\varphi_2(X)).

Regardons l'essentiel propriétés du moment de corrélation et du coefficient de corrélation.

Propriété 1. L'ajout de constantes aux variables aléatoires ne modifie pas le moment de corrélation et le coefficient de corrélation.

Propriété 2. Pour toutes variables aléatoires X et Y, la valeur absolue du moment de corrélation ne dépasse pas la moyenne géométrique des variances de ces valeurs :

|\mu_(xy)|\leqslant\sqrt(D[X]\cdot D[Y])=\sigma_x\cdot \sigma_y,

Pour trouver les fonctions de distribution des variables aléatoires et de leurs variables, il est nécessaire d'étudier toutes les caractéristiques de ce domaine de connaissances. Il existe plusieurs méthodes différentes pour trouver les valeurs en question, notamment la modification de la variable et la génération du couple. La distribution est un concept basé sur des éléments tels que la dispersion et les variations. Cependant, ils ne caractérisent que l’étendue de la plage de diffusion.

Les fonctions les plus importantes des variables aléatoires sont celles qui sont liées, indépendantes et distribuées de manière identique. Par exemple, si X1 est le poids d'un individu sélectionné au hasard dans la population masculine, X2 est le poids d'un autre, ... et Xn est le poids d'un autre individu de la population masculine, alors nous devons savoir comment le poids aléatoire la fonction X est distribuée. Dans ce cas, un théorème classique appelé théorème central limite s’applique. Cela nous permet de montrer que pour n grand, la fonction suit des distributions standards.

Fonctions d'une variable aléatoire

Le théorème central limite est destiné à approximer des valeurs discrètes d'intérêt, telles que le binôme et Poisson. Les fonctions de distribution de variables aléatoires sont considérées tout d'abord sur des valeurs simples d'une variable. Par exemple, si X est une variable aléatoire continue qui possède sa propre distribution de probabilité. Ce cas explore comment trouver la fonction de densité Y en utilisant deux approches différentes, à savoir la méthode de la fonction de distribution et la méthode du changement de variable. Premièrement, seules les valeurs un à un sont prises en compte. La technique de changement de variable doit alors être modifiée pour trouver sa probabilité. Enfin, vous devez apprendre comment la distribution cumulative peut aider à modéliser des nombres aléatoires qui suivent certains modèles séquentiels.

Méthode de répartition des valeurs considérées

La méthode de distribution de probabilité d'une variable aléatoire est utilisée pour trouver sa densité. Cette méthode calcule la valeur cumulée. Ensuite, en la différenciant, on peut obtenir la densité de probabilité. Maintenant que nous avons la méthode de la fonction de distribution, nous pouvons examiner quelques exemples supplémentaires. Soit X une variable aléatoire continue avec une certaine densité de probabilité.

Quelle est la fonction de densité de probabilité de x2 ? Si vous regardez ou représentez graphiquement la fonction (en haut et à droite) y = x2, vous pouvez remarquer qu'elle augmente X et 0

Dans le dernier exemple, un grand soin a été pris pour indexer les fonctions cumulatives et les densités de probabilité avec X ou Y pour indiquer à quelle variable aléatoire elles appartenaient. Par exemple, en trouvant la fonction de distribution cumulative de Y, nous obtenons X. Si vous avez besoin de trouver la variable aléatoire X et sa densité, il vous suffit de la différencier.

Technique pour changer les variables

Soit X une variable aléatoire continue spécifiée par une fonction de distribution avec un dénominateur commun f (x). Dans ce cas, si vous mettez la valeur de y dans X = v(Y), vous obtiendrez la valeur de x, par exemple v(y). Maintenant, nous devons obtenir la fonction de distribution d'une variable aléatoire continue Y. Où la première et la deuxième égalité découlent de la définition du cumul Y. La troisième égalité est satisfaite car la partie de la fonction pour laquelle u (X) ≤ y est également vrai que X ≤ v (Y ). Et cette dernière est effectuée pour déterminer la probabilité dans une variable aléatoire continue X. Nous devons maintenant prendre la dérivée de FY(y), la fonction de distribution cumulative de Y, pour obtenir la densité de probabilité de Y.

Généralisation pour la fonction de réduction

Soit X une variable aléatoire continue de commun f(x) défini sur c1

Pour résoudre ce problème, des données quantitatives peuvent être collectées et une fonction de distribution cumulative empirique peut être utilisée. Disposer de ces informations et y faire appel nécessite une combinaison de moyennes d'échantillons, d'écarts types, de données médiatiques, etc.

De même, même un modèle probabiliste assez simple peut produire un grand nombre de résultats. Par exemple, si vous lancez une pièce 332 fois. Ensuite, le nombre de résultats obtenus à partir des révolutions est supérieur à celui de Google (10 100) - un nombre, mais pas moins de 100 quintillions de fois supérieur à celui des particules élémentaires de l'univers connu. Je ne suis pas intéressé par une analyse qui donne une réponse à tous les résultats possibles. Il faudra un concept plus simple comme le nombre de têtes ou la course la plus longue des queues. Pour se concentrer sur des questions d'intérêt, un résultat spécifique est accepté. La définition dans ce cas est la suivante : une variable aléatoire est une fonction réelle avec un espace de probabilité.

La plage S d’une variable aléatoire est parfois appelée espace d’état. Ainsi, si X est la valeur en question, alors N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc et ainsi de suite. La dernière d’entre elles, arrondir X au nombre entier le plus proche, est appelée fonction plancher.

Fonctions de répartition

Une fois la fonction de distribution d'intérêt pour la variable aléatoire x déterminée, la question devient généralement : « Quelles sont les chances que X tombe dans un sous-ensemble des valeurs de B ? Par exemple, B = (nombres impairs), B = (supérieur à 1) ou B = (entre 2 et 7) pour indiquer les résultats qui ont X, la valeur de la variable aléatoire, dans le sous-ensemble A. Donc, dans ce qui précède Par exemple, vous pouvez décrire les événements comme suit.

(X est un nombre impair), (X est supérieur à 1) = (X > 1), (X est compris entre 2 et 7) = (2

Variables aléatoires et fonctions de distribution

Ainsi, on peut calculer la probabilité que la fonction de distribution d'une variable aléatoire x prenne des valeurs dans l'intervalle par soustraction. Vous devez penser à inclure ou exclure des points de terminaison.

Nous appellerons discrète une variable aléatoire si elle possède un espace d’états fini ou dénombrable. Ainsi, X est le nombre de faces sur trois lancers indépendants d’une pièce biaisée qui augmente avec la probabilité p. Nous devons trouver la fonction de distribution cumulative d'une variable aléatoire discrète FX pour X. Soit X le nombre de pics dans une collection de trois cartes. Alors Y = X3 via FX. FX commence à 0, se termine à 1 et ne diminue pas à mesure que les valeurs x augmentent. La fonction de distribution FX cumulative d'une variable aléatoire discrète X est constante sauf pour les sauts. Lors du saut, le FX est continu. Vous pouvez prouver l'affirmation sur la continuité correcte de la fonction de distribution à partir de la propriété de probabilité en utilisant la définition. Cela se passe comme ceci : une variable aléatoire constante a un FX cumulatif, qui est différentiable.

Pour montrer comment cela peut se produire, un exemple peut être donné : une cible avec un rayon unitaire. Probablement. la fléchette est uniformément répartie sur la zone spécifiée. Pour certains λ> 0. Ainsi, les fonctions de distribution des variables aléatoires continues augmentent progressivement. FX a les propriétés d'une fonction de distribution.

Un homme attend à un arrêt de bus jusqu'à son arrivée. Ayant décidé lui-même qu'il refuserait lorsque l'attente atteindrait 20 minutes. Ici, vous devez trouver la fonction de distribution cumulée pour T. L'heure à laquelle la personne sera encore à la gare routière ou ne partira pas. Même si la fonction de distribution cumulative est définie pour chaque variable aléatoire. Néanmoins, d'autres caractéristiques seront assez souvent utilisées : la masse pour une variable discrète et la fonction de densité de distribution d'une variable aléatoire. Habituellement, la valeur est affichée en utilisant l'une de ces deux valeurs.

Fonctions de masse

Ces valeurs sont prises en compte par les propriétés suivantes, qui sont de nature générale (de masse). La première repose sur le fait que les probabilités ne sont pas négatives. La seconde découle de l'observation que l'ensemble pour tout x=2S, l'espace d'états de X, forme une partition de la liberté probabiliste de X. Exemple : tirages à pile ou face biaisés dont les résultats sont indépendants. Vous pouvez continuer à effectuer certaines actions jusqu'à ce que vous obteniez une chance de marquer des buts. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de queues avant la première tête. Et p désigne la probabilité d’une action donnée.

Ainsi, la fonction de probabilité de masse présente les caractéristiques suivantes. Puisque les termes forment une séquence numérique, X est appelé une variable aléatoire géométrique. Schéma géométrique c, cr, cr2,. , crn a une somme. Et donc sn a une limite quand n 1. Dans ce cas, la somme infinie est la limite.

La fonction de masse ci-dessus forme une séquence géométrique avec le rapport. Il existe donc des nombres naturels a et b. La différence de valeurs dans la fonction de distribution est égale à la valeur de la fonction de masse.

Les valeurs de densité considérées ont la définition suivante : X est une variable aléatoire dont la distribution FX a une dérivée. FX satisfaisant Z xFX (x) = fX (t) dt-1 est appelé fonction de densité de probabilité. Et X est appelé une variable aléatoire continue. Dans le théorème fondamental du calcul, la fonction de densité est la dérivée de la distribution. Vous pouvez calculer des probabilités en calculant des intégrales définies.

Étant donné que les données sont collectées à partir de plusieurs observations, plusieurs variables aléatoires doivent être prises en compte à la fois pour modéliser les procédures expérimentales. Par conséquent, l'ensemble de ces valeurs et leur distribution conjointe pour deux variables X1 et X2 impliquent la visualisation des événements. Pour les variables aléatoires discrètes, des fonctions de masse probabilistes conjointes sont déterminées. Pour les continus, fX1, X2 sont pris en compte, où la densité de probabilité conjointe est satisfaite.

Variables aléatoires indépendantes

Deux variables aléatoires X1 et X2 sont indépendantes si deux événements qui leur sont associés sont identiques. En d'autres termes, la probabilité que deux événements (X1 2 B1) et (X2 2 B2) se produisent simultanément, y, est égale au produit des variables ci-dessus pour que chacun d'eux se produise individuellement. Pour les variables aléatoires discrètes indépendantes, il existe une fonction de masse probabiliste conjointe, qui est le produit du volume ionique limite. Pour les variables aléatoires continues indépendantes, la fonction de densité de probabilité conjointe est le produit des valeurs de densité marginale. Enfin, n observations indépendantes x1, x2 sont considérées. , xn résultant d'une densité ou d'une fonction de masse f inconnue. Par exemple, un paramètre inconnu dans les fonctions d'une variable aléatoire exponentielle décrivant le temps d'attente d'un bus.

Simulation de variables aléatoires

L'objectif principal de ce domaine théorique est de fournir les outils nécessaires pour développer des procédures d'inférence basées sur des principes solides de la science statistique. Ainsi, une application très importante du logiciel est la capacité de générer des pseudo-données pour simuler des informations réelles. Cela permet de tester et d’améliorer les méthodes d’analyse avant de les utiliser dans des bases de données réelles. Ceci est nécessaire pour explorer les propriétés des données grâce à la modélisation. Pour de nombreuses familles de variables aléatoires couramment utilisées, R fournit des commandes pour les créer. Dans d’autres circonstances, des méthodes de modélisation d’une séquence de variables aléatoires indépendantes ayant une distribution commune seront nécessaires.

Variables aléatoires discrètes et modèle de commande. La commande sample est utilisée pour créer des échantillons aléatoires simples et stratifiés. En conséquence, étant donné une séquence x, sample(x, 40) sélectionne 40 entrées parmi x de telle sorte que toutes les options de taille 40 aient une probabilité égale. Cela utilise la commande R par défaut pour sélectionner sans remplacement. Peut également être utilisé pour modéliser des variables aléatoires discrètes. Pour ce faire, vous devez fournir un espace d'état dans le vecteur x et la fonction de masse f. L’appel de replace = TRUE indique que l’échantillonnage se produit avec le remplacement. Ensuite, pour donner un échantillon de n variables aléatoires indépendantes qui ont une fonction de masse f commune, l'échantillon (x, n, replace = TRUE, prob = f) est utilisé.

On détermine que 1 est la plus petite valeur représentée et 4 est la plus grande de toutes. Si la commande prob = f est omise, alors l'échantillon sera échantillonné uniformément à partir des valeurs du vecteur x. Vous pouvez vérifier la simulation par rapport à la fonction de masse qui a généré les données en notant le double signe égal, ==. Et en comptant les observations qui prennent toutes les valeurs possibles pour x. Vous pouvez faire un tableau. Répétez cette opération pour 1 000 et comparez la simulation avec la fonction de masse correspondante.

Illustrer la transformation de probabilité

Tout d’abord, simulez les fonctions de distribution homogènes des variables aléatoires u1, u2,. , un sur l'intervalle . Environ 10 % des nombres devraient être compris entre . Cela correspond à 10 % des simulations par intervalle pour la variable aléatoire avec la fonction de distribution FX affichée. De même, environ 10 % des nombres aléatoires devraient être compris dans la plage . Cela correspond à 10% des simulations sur l'intervalle variable aléatoire avec la fonction de distribution FX. Ces valeurs sur l'axe des x peuvent être obtenues en prenant l'inverse de FX. Si X est une variable aléatoire continue de densité fX positive partout dans son domaine, alors la fonction de distribution est strictement croissante. Dans ce cas, FX a la fonction inverse de FX-1, connue sous le nom de fonction quantile. FX (x) u seulement si x FX-1 (u). La transformation de probabilité découle de l'analyse de la variable aléatoire U = FX (X).

FX a une plage de 0 à 1. Il ne peut pas prendre de valeurs inférieures à 0 ou supérieures à 1. Pour des valeurs de u comprises entre 0 et 1. Si U peut être modélisé, alors il faut simuler une variable aléatoire avec la distribution des FX via une fonction quantile. Prenez la dérivée pour voir que la densité u varie dans la limite de 1. Puisque la variable aléatoire U a une densité constante sur l'intervalle de ses valeurs possibles, elle est dite uniforme sur l'intervalle. Il est modélisé en R à l'aide de la commande runif. L'identité est appelée une transformation probabiliste. Vous pouvez voir comment cela fonctionne dans l’exemple avec le jeu de fléchettes. X entre 0 et 1, la fonction de distribution est u = FX (x) = x2, et donc la fonction quantile est x = FX-1 (u). Il est possible de simuler des observations indépendantes de la distance depuis le centre du panneau de fléchettes, tout en générant des variables aléatoires uniformes U1, U2,. ,ONU. La fonction de distribution et la fonction empirique sont basées sur 100 simulations de la distribution du jeu de fléchettes. Pour une variable aléatoire exponentielle, vraisemblablement u = FX(x) = 1 - exp(- x), et donc x = - 1 ln(1 - u). Parfois, la logique consiste en des déclarations équivalentes. Dans ce cas, vous devez combiner les deux parties de l’argumentation. L'identité avec intersection est similaire pour tous les 2 (S i i) S, au lieu d'une certaine valeur. L’union Ci est égale à l’espace d’états S et chaque paire s’exclut mutuellement. Parce que Bi est divisé en trois axiomes. Chaque test est basé sur la probabilité P correspondante. Pour tout sous-ensemble. Utiliser l'identité pour garantir que la réponse ne dépend pas de l'inclusion ou non des points finaux de l'intervalle.

Fonction exponentielle et ses variables

Pour chaque résultat de tous les événements, la deuxième propriété de continuité des probabilités est finalement utilisée, qui est considérée comme axiomatique. La loi de distribution d'une fonction d'une variable aléatoire montre ici que chacune a sa propre solution et sa propre réponse.