Espérance mathématique de la somme de variables aléatoires. Valeur attendue

Valeur attendue

Dispersion La variable aléatoire continue X, dont les valeurs possibles appartiennent à tout l'axe Ox, est déterminée par l'égalité :

Objet de la prestation. Le calculateur en ligne est conçu pour résoudre des problèmes dans lesquels : densité de distribution f(x) ou fonction de distribution F(x) (voir exemple). Habituellement, dans de telles tâches, vous devez trouver espérance mathématique, écart type, fonctions de tracé f(x) et F(x).

Instructions. Sélectionnez le type de données source : densité de distribution f(x) ou fonction de distribution F(x).

Densité de distribution f(x) donnée Fonction de distribution F(x) donnée

La densité de distribution f(x) est donnée :

La fonction de distribution F(x) est donnée :

Une variable aléatoire continue est spécifiée par une densité de probabilité
(Loi de distribution de Rayleigh - utilisée en ingénierie radio). Trouvez M(x) , D(x) .

La variable aléatoire X est appelée continu , si sa fonction de distribution F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
La fonction de distribution d'une variable aléatoire continue est utilisée pour calculer la probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans un intervalle donné :
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
De plus, pour une variable aléatoire continue, peu importe que ses limites soient incluses ou non dans cet intervalle :
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Densité de distribution une variable aléatoire continue s'appelle une fonction
f(x)=F’(x) , dérivée de la fonction de distribution.

Propriétés de la densité de distribution

1. La densité de distribution de la variable aléatoire est non négative (f(x) ≥ 0) pour toutes les valeurs de x.
2. Condition de normalisation :

La signification géométrique de la condition de normalisation : l'aire sous la courbe de densité de distribution est égale à l'unité.
3. La probabilité qu'une variable aléatoire X tombe dans l'intervalle de α à β peut être calculée à l'aide de la formule

Géométriquement, la probabilité qu'une variable aléatoire continue X tombe dans l'intervalle (α, β) est égale à l'aire du trapèze curviligne sous la courbe de densité de distribution basée sur cet intervalle.
4. La fonction de distribution est exprimée en termes de densité comme suit :

La valeur de la densité de distribution au point x n'est pas égale à la probabilité d'accepter cette valeur ; pour une variable aléatoire continue on ne peut parler que de la probabilité de tomber dans un intervalle donné. Laisser )