Projet "types de symétrie". Rectangle, losange et carré

bâtiment de façade architecturale de symétrie

La symétrie est un concept qui reflète l'ordre existant dans la nature, la proportionnalité et la proportionnalité entre les éléments de tout système ou objet de la nature, l'ordre, l'équilibre du système, la stabilité, c'est-à-dire un élément d'harmonie.

Des millénaires se sont écoulés avant que l'humanité, au cours de ses activités sociales et productives, ne réalise la nécessité d'exprimer dans certains concepts les deux tendances qu'elle avait établies principalement dans la nature : la présence d'un ordre strict, la proportionnalité, l'équilibre et leur violation. Les gens ont longtemps prêté attention à la forme correcte des cristaux, à la rigueur géométrique de la structure des nids d'abeilles, à la séquence et à la répétabilité de la disposition des branches et des feuilles sur les arbres, les pétales, les fleurs et les graines des plantes, et ont reflété cet ordre dans leur pratique. activités, réflexion et art.

Les objets et phénomènes de la nature vivante ont une symétrie. Non seulement cela plaît à l'œil et inspire les poètes de tous les temps et de tous les peuples, mais il permet aux organismes vivants de mieux s'adapter à leur environnement et tout simplement de survivre.

Dans la nature vivante, la grande majorité des organismes vivants présentent divers types de symétries (forme, similarité, localisation relative). De plus, des organismes de structures anatomiques différentes peuvent avoir le même type de symétrie externe.

Le principe de symétrie stipule que si l'espace est homogène, le transfert d'un système dans son ensemble dans l'espace ne modifie pas les propriétés du système. Si toutes les directions dans l’espace sont équivalentes, alors le principe de symétrie permet la rotation du système dans son ensemble dans l’espace. Le principe de symétrie est respecté si l'origine du temps est modifiée. Conformément au principe, il est possible d'effectuer une transition vers un autre système de référence se déplaçant par rapport à ce système à vitesse constante. Le monde inanimé est très symétrique. Souvent, la rupture de symétrie en physique quantique des particules est la manifestation d’une symétrie encore plus profonde. L'asymétrie est un principe de vie structurant et créatif. Dans les cellules vivantes, les biomolécules fonctionnellement significatives sont asymétriques : les protéines sont constituées d'acides aminés lévogyres (forme L) et les acides nucléiques contiennent, en plus des bases hétérocycliques, des glucides dextrogyres - sucres (forme D), de plus, l'ADN lui-même est le La base de l'hérédité est une double hélice droite.

Les principes de symétrie sous-tendent la théorie de la relativité, la mécanique quantique, la physique du solide, la physique atomique et nucléaire et la physique des particules. Ces principes s'expriment le plus clairement dans les propriétés d'invariance des lois de la nature. Nous parlons non seulement de lois physiques, mais aussi d'autres, par exemple biologiques. Un exemple de loi biologique de conservation est la loi de l’héritage. Elle repose sur l'invariance des propriétés biologiques vis-à-vis du passage d'une génération à l'autre. Il est évident que sans les lois de conservation (physiques, biologiques et autres), notre monde ne pourrait tout simplement pas exister.

Ainsi, la symétrie exprime la préservation de quelque chose malgré certains changements ou la préservation de quelque chose malgré un changement. La symétrie présuppose l'invariabilité non seulement de l'objet lui-même, mais aussi de l'une de ses propriétés par rapport aux transformations effectuées sur l'objet. L'immuabilité de certains objets peut être observée en relation avec diverses opérations - rotations, traductions, remplacement mutuel de pièces, réflexions, etc.

Considérons les types de symétrie en mathématiques :

• * central (par rapport au point)
• * axial (relativement droit)
• * miroir (par rapport à l'avion)
• 1. Symétrie centrale (Annexe 1)

Une figure est dite symétrique par rapport au point O si, pour chaque point de la figure, un point symétrique par rapport au point O appartient également à cette figure. Le point O est appelé centre de symétrie de la figure.

Le concept de centre de symétrie a été rencontré pour la première fois au XVIe siècle. Dans un des théorèmes de Clavius, qui dit : « si un parallélépipède est coupé par un plan passant par le centre, alors il est divisé en deux et, inversement, si un parallélépipède est coupé en deux, alors le plan passe par le centre ». Legendre, qui fut le premier à introduire des éléments de la doctrine de la symétrie dans la géométrie élémentaire, montre qu'un parallélépipède rectangle a 3 plans de symétrie perpendiculaires aux arêtes, et qu'un cube a 9 plans de symétrie, dont 3 perpendiculaires aux arêtes, et que le 6 autres passent par les diagonales des faces.

Des exemples de figures présentant une symétrie centrale sont le cercle et le parallélogramme.

En algèbre, lors de l'étude des fonctions paires et impaires, leurs graphiques sont pris en compte. Une fois construit, le graphique d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et le graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine, c'est-à-dire point O. Cela signifie que la fonction impaire a une symétrie centrale et la fonction paire a une symétrie axiale.

2. Symétrie axiale (Annexe 2)

Une figure est dite symétrique par rapport à la droite a si, pour chaque point de la figure, un point symétrique par rapport à la droite a appartient également à cette figure. La droite a est appelée axe de symétrie de la figure. On dit également que la figure a une symétrie axiale.

Dans un sens plus étroit, l'axe de symétrie est appelé axe de symétrie du second ordre et parle de « symétrie axiale », qui peut être définie comme suit : une figure (ou un corps) a une symétrie axiale autour d'un certain axe si chacun des éléments suivants : ses points E correspondent à un point F appartenant à la même figure, que le segment EF est perpendiculaire à l'axe, le coupe et est divisé en deux au point d'intersection.

Je vais donner des exemples de figures qui ont une symétrie axiale. Un angle non développé a un axe de symétrie - la ligne droite sur laquelle se trouve la bissectrice de l'angle. Un triangle isocèle (mais pas équilatéral) a également un axe de symétrie, et un triangle équilatéral a trois axes de symétrie. Un rectangle et un losange, qui ne sont pas des carrés, ont chacun deux axes de symétrie, et un carré a quatre axes de symétrie. Un cercle en possède un nombre infini : toute ligne droite passant par son centre est un axe de symétrie.

Il existe des figures qui n'ont pas un seul axe de symétrie. Ces figures comprennent un parallélogramme, différent d'un rectangle, et un triangle scalène.

3. Symétrie miroir (Annexe 3)

La symétrie miroir (symétrie par rapport à un plan) est une cartographie de l'espace sur lui-même dans laquelle tout point M entre dans un point M1 qui lui est symétrique par rapport à ce plan.

La symétrie du miroir est bien connue de tous grâce à l'observation quotidienne. Comme son nom l’indique, la symétrie miroir relie tout objet et son reflet dans un miroir plan. Une figure (ou un corps) est dite symétrique en miroir par rapport à une autre si ensemble, elles forment une figure (ou un corps) symétrique en miroir.

Les joueurs de billard connaissent depuis longtemps l’action de la réflexion. Leurs « miroirs » sont les côtés du terrain de jeu, et le rôle d'un rayon de lumière est joué par les trajectoires des balles. Après avoir touché le côté proche du coin, la balle roule vers le côté situé à angle droit et, après y avoir été réfléchie, recule parallèlement à la direction du premier impact.

Il est à noter que deux figures symétriques ou deux parties symétriques d'une même figure, malgré toutes leurs similitudes, l'égalité des volumes et des surfaces, dans le cas général, sont inégales, c'est-à-dire ils ne peuvent pas être combinés entre eux. Ce sont des chiffres différents, ils ne peuvent pas être remplacés les uns par les autres, par exemple le bon gant, la bonne botte, etc. ne convient pas au bras ou à la jambe gauche. Les éléments peuvent en avoir un, deux, trois, etc. plans de symétrie. Par exemple, une pyramide droite dont la base est un triangle isocèle est symétrique par rapport à un plan P. Un prisme de même base a deux plans de symétrie. Un prisme hexagonal régulier en possède sept. Corps de rotation : bille, tore, cylindre, cône, etc. avoir un nombre infini de plans de symétrie.

Les Grecs de l’Antiquité croyaient que l’univers était symétrique simplement parce que la symétrie est belle. Sur la base de considérations de symétrie, ils ont fait un certain nombre de suppositions. Ainsi, Pythagore (Ve siècle avant JC), considérant la sphère comme la forme la plus symétrique et la plus parfaite, a conclu que la Terre est sphérique et concerne son mouvement le long de la sphère. En même temps, il croyait que la Terre se déplaçait le long de la sphère d'un certain « feu central ». Selon Pythagore, les six planètes connues à cette époque, ainsi que la Lune, le Soleil et les étoiles, étaient censées tourner autour du même « feu ».

je . Symétrie en mathématiques :

Concepts et définitions de base.

Symétrie axiale (définitions, plan de construction, exemples)

Symétrie centrale (définitions, plan de construction, quandmesures)

Tableau récapitulatif (toutes les propriétés, fonctionnalités)

II . Applications de la symétrie :

1) en mathématiques

2) en chimie

3) en biologie, botanique et zoologie

4) en art, littérature et architecture

/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. Concepts de base de la symétrie et de ses types.

Le concept de symétrie R. retrace toute l’histoire de l’humanité. On la retrouve déjà aux origines de la connaissance humaine. Elle est née dans le cadre de l'étude d'un organisme vivant, à savoir l'homme. Et il a été utilisé par les sculpteurs dès le 5ème siècle avant JC. e. Le mot « symétrie » est grec et signifie « proportionnalité, proportionnalité, uniformité dans la disposition des parties ». Il est largement utilisé dans tous les domaines de la science moderne sans exception. De nombreuses personnes formidables ont réfléchi à ce modèle. Par exemple, L.N. Tolstoï a déclaré : « Debout devant un tableau noir et dessinant différentes figures dessus avec de la craie, j'ai été soudainement frappé par la pensée : pourquoi la symétrie est-elle claire à l'œil ? Qu'est-ce que la symétrie ? C'est un sentiment inné, me suis-je répondu. Sur quoi est-il basé ? La symétrie est vraiment agréable à l’œil. Qui n’a pas admiré la symétrie des créations de la nature : feuilles, fleurs, oiseaux, animaux ; ou les créations humaines : les bâtiments, la technologie, tout ce qui nous entoure depuis l'enfance, tout ce qui aspire à la beauté et à l'harmonie. Hermann Weyl a déclaré : « La symétrie est l’idée par laquelle l’homme à travers les âges a essayé de comprendre et de créer l’ordre, la beauté et la perfection. » Hermann Weyl est un mathématicien allemand. Son activité s'étend sur la première moitié du XXe siècle. C'est lui qui a formulé la définition de la symétrie, établissant selon quels critères on peut déterminer la présence ou, au contraire, l'absence de symétrie dans un cas donné. Ainsi, un concept mathématiquement rigoureux s'est formé relativement récemment - au début du XXe siècle. C'est assez compliqué. Tournons-nous et rappelons-nous encore une fois les définitions qui nous ont été données dans le manuel.

2. Symétrie axiale.

2.1 Définitions de base

Définition. Deux points A et A 1 sont dits symétriques par rapport à la droite a si cette droite passe par le milieu du segment AA 1 et lui est perpendiculaire. Chaque point d'une droite a est considéré comme symétrique par rapport à lui-même.

Définition. On dit que la figure est symétrique par rapport à une droite. UN, si pour chaque point de la figure il existe un point qui lui est symétrique par rapport à la droite UN appartient également à ce chiffre. Droit UN appelé axe de symétrie de la figure. On dit également que la figure a une symétrie axiale.

2.2 Plan de construction

Et ainsi, pour construire une figure symétrique par rapport à une droite, à partir de chaque point on trace une perpendiculaire à cette droite et on la prolonge à la même distance, on marque le point résultant. Nous faisons cela avec chaque point et obtenons les sommets symétriques d'une nouvelle figure. Ensuite, nous les connectons en série et obtenons une figure symétrique d'un axe relatif donné.

2.3 Exemples de figures à symétrie axiale.

3. Symétrie centrale

3.1 Définitions de base

Définition. Deux points A et A 1 sont dits symétriques par rapport au point O si O est le milieu du segment AA 1. Le point O est considéré comme symétrique par rapport à lui-même.

Définition. Une figure est dite symétrique par rapport au point O si, pour chaque point de la figure, un point symétrique par rapport au point O appartient également à cette figure.

3.2 Plan de construction

Construction d'un triangle symétrique à celui donné par rapport au centre O.

Construire un point symétrique à un point UN par rapport au point À PROPOS, il suffit de tracer une ligne droite OA(Fig. 46 ) et de l'autre côté du sujet À PROPOS mettre de côté un segment égal au segment OA. Autrement dit , les points A et ; Dans et ; C et symétrique par rapport à un certain point O. Sur la Fig. 46 On construit un triangle symétrique à un triangle abc par rapport au point À PROPOS DE. Ces triangles sont égaux.

Construction de points symétriques par rapport au centre.

Sur la figure, les points M et M 1, N et N 1 sont symétriques par rapport au point O, mais les points P et Q ne sont pas symétriques par rapport à ce point.

En général, les figures symétriques par rapport à un certain point sont égales .

3.3 Exemples

Donnons des exemples de figures qui ont une symétrie centrale. Les figures les plus simples à symétrie centrale sont le cercle et le parallélogramme.

Le point O est appelé centre de symétrie de la figure. Dans de tels cas, la figure présente une symétrie centrale. Le centre de symétrie d'un cercle est le centre du cercle et le centre de symétrie d'un parallélogramme est le point d'intersection de ses diagonales.

Une droite a aussi une symétrie centrale, mais contrairement à un cercle et un parallélogramme, qui n'ont qu'un seul centre de symétrie (le point O sur la figure), une droite en a un nombre infini - tout point de la droite est son centre de symétrie.

Les images montrent un angle symétrique par rapport au sommet, un segment symétrique à un autre segment par rapport au centre UN et un quadrilatère symétrique par rapport à son sommet M.

Un exemple de figure qui n’a pas de centre de symétrie est un triangle.

4. Résumé de la leçon

Résumons les connaissances acquises. Aujourd’hui, en classe, nous avons découvert deux principaux types de symétrie : centrale et axiale. Regardons l'écran et systématisons les connaissances acquises.

Sommaire

	Symétrie axiale	Symétrie centrale
Particularité	Tous les points de la figure doivent être symétriques par rapport à une ligne droite.	Tous les points de la figure doivent être symétriques par rapport au point choisi comme centre de symétrie.
Propriétés	1. Les points symétriques se trouvent perpendiculairement à une ligne. 3. Les lignes droites se transforment en lignes droites, les angles en angles égaux. 4. Les tailles et formes des personnages sont préservées.	1. Les points symétriques se trouvent sur une ligne passant par le centre et un point donné de la figure. 2. La distance d'un point à une droite est égale à la distance d'une droite à un point symétrique. 3. Les tailles et formes des personnages sont préservées.

II. Application de la symétrie

Mathématiques	Dans les cours d'algèbre, nous avons étudié les graphiques des fonctions y=x et y=x Les images montrent diverses images représentées à l'aide de branches de paraboles. (a) Octaèdre, (b) dodécaèdre rhombique, (c) octaèdre hexagonal.
langue russe	Les lettres imprimées de l’alphabet russe présentent également différents types de symétries. Il existe des mots « symétriques » dans la langue russe - palindromes, qui peut être lu également dans les deux sens.	A D L M P T F W- axe vertical V E Z K S E Y - axe horizontal F N O X- à la fois vertical et horizontal B G I Y R U C CH SCHY- pas d'axe Cabane radar Alla Anna
Littérature	Les phrases peuvent également être palindromiques. Bryusov a écrit un poème « La voix de la lune », dans lequel chaque vers est un palindrome. Regardez les quadruples de A.S. Pouchkine « Le Cavalier de bronze ». Si nous traçons une ligne après la deuxième ligne, nous pouvons remarquer des éléments de symétrie axiale	Et la rose tomba sur la patte d'Azor. Je viens avec l'épée du juge. (Derjavine) "Rechercher un taxi" "L'Argentine fait signe au nègre" "L'Argentin apprécie l'homme noir" "Lesha a trouvé un bug sur l'étagère." La Neva est habillée de granit ; Des ponts surplombaient les eaux ; Jardins vert foncé Les îles le couvraient...

La biologie

Le corps humain est construit sur le principe de symétrie bilatérale. La plupart d’entre nous considèrent le cerveau comme une structure unique ; en réalité, il est divisé en deux moitiés. Ces deux parties - deux hémisphères - s'emboîtent étroitement. Conformément à la symétrie générale du corps humain, chaque hémisphère est l’image miroir presque exacte de l’autre. Le contrôle des mouvements de base du corps humain et de ses fonctions sensorielles est réparti uniformément entre les deux hémisphères du cerveau. L'hémisphère gauche contrôle le côté droit du cerveau et l'hémisphère droit contrôle le côté gauche.

Botanique

Une fleur est considérée comme symétrique lorsque chaque périanthe est constitué d’un nombre égal de parties. Les fleurs ayant des parties appariées sont considérées comme des fleurs à double symétrie, etc. La triple symétrie est courante pour les plantes monocotylédones, quintuple - pour les plantes dicotylédones. Un trait caractéristique de la structure des plantes et de leur développement est la spirale. Faites attention à la disposition des feuilles des pousses - c'est aussi un type particulier de spirale - une spirale. Même Goethe, qui était non seulement un grand poète, mais aussi un naturaliste, considérait la spirale comme l'un des traits caractéristiques de tous les organismes, une manifestation de l'essence la plus intime de la vie. Les vrilles des plantes se tordent en spirale, la croissance des tissus dans les troncs d'arbres se produit en spirale, les graines d'un tournesol sont disposées en spirale et des mouvements en spirale sont observés lors de la croissance des racines et des pousses.

Un trait caractéristique de la structure des plantes et de leur développement est la spirale. Regardez la pomme de pin. Les écailles à sa surface sont disposées de manière strictement régulière - le long de deux spirales qui se coupent approximativement à angle droit. Le nombre de ces spirales dans les pommes de pin est de 8 et 13 ou 13 et 21.

Zoologie

La symétrie chez les animaux signifie la correspondance de taille, de forme et de contour, ainsi que la disposition relative des parties du corps situées de part et d'autre de la ligne de démarcation. Avec une symétrie radiale ou radiale, le corps a la forme d'un cylindre ou d'un récipient court ou long avec un axe central, à partir duquel des parties du corps s'étendent radialement. Ce sont les coelentérés, les échinodermes et les étoiles de mer. Avec la symétrie bilatérale, il existe trois axes de symétrie, mais une seule paire de côtés symétriques. Parce que les deux autres côtés – abdominal et dorsal – ne sont pas semblables. Ce type de symétrie est caractéristique de la plupart des animaux, notamment les insectes, les poissons, les amphibiens, les reptiles, les oiseaux et les mammifères.

Symétrie axiale

	Différents types de symétrie des phénomènes physiques : symétrie des champs électriques et magnétiques (Fig. 1) Dans des plans perpendiculaires entre eux, la propagation des ondes électromagnétiques est symétrique (Fig. 2)	Figure 1 Figure 2
Art	La symétrie miroir peut souvent être observée dans les œuvres d’art. La symétrie "miroir" est largement présente dans les œuvres d'art des civilisations primitives et dans les peintures anciennes. Les peintures religieuses médiévales se caractérisent également par ce type de symétrie. L’une des meilleures œuvres de Raphaël, « Les Fiançailles de Marie », a été créée en 1504. Sous un ciel bleu ensoleillé s'étend une vallée surmontée d'un temple de pierre blanche. Au premier plan se trouve la cérémonie des fiançailles. Le Grand Prêtre rapproche les mains de Marie et de Joseph. Derrière Marie se trouve un groupe de filles, derrière Joseph se trouve un groupe de jeunes hommes. Les deux parties de la composition symétrique sont maintenues ensemble par le contre-mouvement des personnages. Pour les goûts modernes, la composition d’un tel tableau est ennuyeuse, car la symétrie est trop évidente.

Chimie	Une molécule d'eau a un plan de symétrie (ligne verticale droite). Les molécules d'ADN (acide désoxyribonucléique) jouent un rôle extrêmement important dans le monde de la nature vivante. Il s'agit d'un polymère de haut poids moléculaire à double chaîne dont le monomère est constitué de nucléotides. Les molécules d'ADN ont une structure en double hélice construite sur le principe de complémentarité.
Architéculture	L’homme utilise depuis longtemps la symétrie en architecture. Les architectes anciens utilisaient particulièrement brillamment la symétrie dans les structures architecturales. De plus, les anciens architectes grecs étaient convaincus que dans leurs travaux, ils étaient guidés par les lois qui régissent la nature. En choisissant des formes symétriques, l'artiste exprime ainsi sa compréhension de l'harmonie naturelle comme stabilité et équilibre. La ville d'Oslo, la capitale de la Norvège, possède un ensemble expressif de nature et d'art. Il s'agit du parc Frogner, un complexe de sculptures paysagères créé au cours de 40 ans.	Maison Pachkov Louvre (Paris)

© Soukhacheva Elena Vladimirovna, 2008-2009.

Dans cette leçon, nous examinerons une autre caractéristique de certaines figures : la symétrie axiale et centrale. Nous rencontrons chaque jour une symétrie axiale lorsque nous nous regardons dans le miroir. La symétrie centrale est très courante dans la nature vivante. Dans le même temps, les figures symétriques ont un certain nombre de propriétés. De plus, nous apprenons par la suite que les symétries axiales et centrales sont des types de mouvements à l'aide desquels toute une classe de problèmes est résolue.

Cette leçon est consacrée à la symétrie axiale et centrale.

Définition

Les deux points sont appelés symétrique relativement droit si :

En figue. 1 montre des exemples de points symétriques par rapport à une droite et , et .

Riz. 1

Notons également le fait que tout point d'une droite est symétrique à lui-même par rapport à cette droite.

Les figures peuvent également être symétriques par rapport à une ligne droite.

Formulons une définition stricte.

Définition

Le chiffre s'appelle symétrique par rapport à droite, si pour chaque point de la figure le point qui lui est symétrique par rapport à cette droite appartient également à la figure. Dans ce cas, la ligne s'appelle axe de symétrie. Le chiffre a symétrie axiale.

Examinons quelques exemples de figures présentant une symétrie axiale et leurs axes de symétrie.

Exemple 1

L'angle a une symétrie axiale. L'axe de symétrie de l'angle est la bissectrice. En effet : abaissons une perpendiculaire à la bissectrice depuis n’importe quel point de l’angle et prolongeons-la jusqu’à ce qu’elle coupe l’autre côté de l’angle (voir Fig. 2).

Riz. 2

(depuis - le côté commun, (propriété d'une bissectrice), et les triangles sont rectangles). Moyens, . Les points sont donc symétriques par rapport à la bissectrice de l’angle.

Il s'ensuit qu'un triangle isocèle présente également une symétrie axiale par rapport à la bissectrice (altitude, médiane) tirée vers la base.

Exemple 2

Un triangle équilatéral possède trois axes de symétrie (bissectrices/médianes/altitudes de chacun des trois angles (voir Fig. 3).

Riz. 3

Exemple 3

Un rectangle possède deux axes de symétrie, dont chacun passe par les milieux de ses deux côtés opposés (voir Fig. 4).

Riz. 4

Exemple 4

Un losange possède également deux axes de symétrie : des lignes droites qui contiennent ses diagonales (voir Fig. 5).

Riz. 5

Exemple 5

Un carré, qui est à la fois un losange et un rectangle, possède 4 axes de symétrie (voir Fig. 6).

Riz. 6

Exemple 6

Pour un cercle, l'axe de symétrie est toute ligne droite passant par son centre (c'est-à-dire contenant le diamètre du cercle). Par conséquent, un cercle a une infinité d’axes de symétrie (voir Fig. 7).

Riz. 7

Considérons maintenant le concept symétrie centrale.

Définition

Les points sont appelés symétrique par rapport au point si : - le milieu du segment.

Regardons quelques exemples : sur la Fig. La figure 8 montre les points et , ainsi que et , qui sont symétriques par rapport au point , et les points et ne sont pas symétriques par rapport à ce point.

Riz. 8

Certaines figures sont symétriques par rapport à un certain point. Formulons une définition stricte.

Définition

Le chiffre s'appelle symétrique par rapport au point, si pour n'importe quel point de la figure le point qui lui est symétrique appartient également à cette figure. Le point s'appelle centre de symétrie, et le chiffre a symétrie centrale.

Regardons des exemples de figures à symétrie centrale.

Exemple 7

Pour un cercle, le centre de symétrie est le centre du cercle (cela est facile à prouver en rappelant les propriétés du diamètre et du rayon d'un cercle) (voir Fig. 9).

Riz. 9

Exemple 8

Pour un parallélogramme, le centre de symétrie est le point d'intersection des diagonales (voir Fig. 10).

Riz. dix

Résolvons plusieurs problèmes sur la symétrie axiale et centrale.

Tache 1.

Combien d’axes de symétrie le segment possède-t-il ?

Un segment a deux axes de symétrie. Le premier d'entre eux est une ligne contenant un segment (puisque tout point d'une ligne est symétrique à lui-même par rapport à cette ligne). La seconde est la médiatrice du segment, c'est-à-dire une droite perpendiculaire au segment et passant par son milieu.

Réponse : 2 axes de symétrie.

Tâche 2.

Combien d’axes de symétrie possède une droite ?

Une ligne droite possède une infinité d’axes de symétrie. L'un d'eux est la ligne elle-même (puisque tout point de la ligne est symétrique à lui-même par rapport à cette ligne). Et aussi les axes de symétrie sont toutes les lignes perpendiculaires à une ligne donnée.

Réponse : il existe une infinité d’axes de symétrie.

Tâche 3.

Combien d’axes de symétrie la poutre possède-t-elle ?

Le rayon a un axe de symétrie, qui coïncide avec la ligne contenant le rayon (puisque tout point de la ligne est symétrique à lui-même par rapport à cette ligne).

Réponse : un axe de symétrie.

Tâche 4.

Montrer que les droites contenant les diagonales d’un losange sont ses axes de symétrie.

Preuve:

Considérons un losange. Montrons par exemple que la droite est son axe de symétrie. Il est évident que les points sont symétriques par rapport à eux-mêmes puisqu’ils se situent sur cette droite. De plus, les points et sont symétriques par rapport à cette droite, puisque . Choisissons maintenant un point arbitraire et prouvons que le point symétrique par rapport à lui appartient également au losange (voir Fig. 11).

Riz. onze

Tracez une perpendiculaire à la ligne passant par le point et prolongez-la jusqu'à ce qu'elle croise . Considérons les triangles et . Ces triangles sont rectangles (par construction), de plus, ils ont : - une branche commune, et (puisque les diagonales d'un losange sont ses bissectrices). Donc ces triangles sont égaux : . Cela signifie que tous leurs éléments correspondants sont égaux, donc : . De l'égalité de ces segments il résulte que les points et sont symétriques par rapport à la droite. Cela signifie que c'est l'axe de symétrie du losange. Ce fait peut être prouvé de la même manière pour la deuxième diagonale.

Éprouvé.

Tâche 5.

Montrer que le point d'intersection des diagonales d'un parallélogramme est son centre de symétrie.

Preuve:

Considérons un parallélogramme. Montrons que le point est son centre de symétrie. Il est évident que les points et , et sont deux à deux symétriques par rapport au point , puisque les diagonales d'un parallélogramme sont divisées en deux par le point d'intersection. Choisissons maintenant un point arbitraire et prouvons que le point symétrique par rapport à lui appartient également au parallélogramme (voir Fig. 12).

Définition. La symétrie (signifie « proportionnalité ») est la propriété des objets géométriques de se combiner avec eux-mêmes sous certaines transformations. Sous symétrie comprendre chaque exactitude de la structure interne du corps ou de la silhouette.

Symétrie autour d'un point- c'est la symétrie centrale (Fig. 23 ci-dessous), et symétrie par rapport à une ligne droite- c'est la symétrie axiale (Fig. 24 ci-dessous).

Symétrie autour d'un point suppose qu'il y a quelque chose des deux côtés d'un point à égale distance, par exemple d'autres points ou le lieu des points (lignes droites, lignes courbes, figures géométriques).

Si vous connectez des points symétriques (points d'une figure géométrique) avec une ligne droite passant par un point de symétrie, alors les points symétriques se trouveront aux extrémités de la ligne droite et le point de symétrie sera son milieu. Si vous fixez le point de symétrie et faites pivoter la ligne droite, alors les points symétriques décriront des courbes dont chaque point sera également symétrique par rapport au point de l'autre ligne courbe.

Symétrie autour d'une ligne droite(axe de symétrie) suppose que le long d'une perpendiculaire passant par chaque point de l'axe de symétrie, deux points symétriques sont situés à la même distance de celui-ci. Les mêmes figures géométriques peuvent être localisées par rapport à l'axe de symétrie (ligne droite) comme par rapport au point de symétrie.

Un exemple serait une feuille de cahier pliée en deux si une ligne droite est tracée le long de la ligne de pliage (axe de symétrie). Chaque point sur une moitié de la feuille aura un point symétrique sur la seconde moitié de la feuille s'ils sont situés à la même distance de la ligne de pliage et perpendiculairement à l'axe.

L'axe de symétrie axiale, comme sur la figure 24, est vertical et les bords horizontaux de la tôle lui sont perpendiculaires. Autrement dit, l’axe de symétrie sert de perpendiculaire aux milieux des lignes droites horizontales délimitant la feuille. Les points symétriques (R et F, C et D) sont situés à la même distance de la ligne axiale - perpendiculaire aux lignes reliant ces points. Par conséquent, tous les points de la perpendiculaire (axe de symétrie) passant par le milieu du segment sont équidistants de ses extrémités ; ou tout point perpendiculaire (axe de symétrie) au milieu d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment.

6.7.3. Symétrie axiale

Points UN Et Un 1 sont symétriques par rapport à la ligne m, puisque la ligne m est perpendiculaire au segment AA1 et passe par son milieu.

m- axe de symétrie.

Rectangle A B C D a deux axes de symétrie : droit m Et je.

Si le dessin est plié en ligne droite m ou en ligne droite je, alors les deux parties du dessin coïncideront.

Carré A B C D a quatre axes de symétrie : droit m, je, k Et s.

Si le carré est courbé le long d’une des lignes droites : m, je, k ou s, alors les deux côtés du carré coïncideront.

Un cercle de centre au point O et de rayon OA possède une infinité d’axes de symétrie. Ce sont des lignes droites : m, m1, m2, m3 .

Exercice. Construire le point A 1 symétrique au point A(-4; 2) par rapport à l'axe Ox.

Construire le point A 2 symétrique au point A(-4; 2) par rapport à l'axe Oy.

Le point A 1 (-4 ; -2) est symétrique du point A (-4 ; 2) par rapport à l'axe Ox, puisque l'axe Ox est perpendiculaire au segment AA 1 et passe par son milieu.

Pour les points symétriques par rapport à l'axe Ox, les abscisses coïncident et les ordonnées sont des nombres opposés.

Le point A 2 (4 ; -2) est symétrique du point A (-4 ; 2) par rapport à l'axe Oy, puisque l'axe Oy est perpendiculaire au segment AA 2 et passe par son milieu.

Pour les points symétriques par rapport à l'axe Oy, les ordonnées coïncident et les abscisses sont des nombres opposés.

www.mathematics-repetition.com

wiki.eduVdom.com

Outils utilisateur

Outils du site

Panneau latéral

Géométrie:

Contacts

Symétries centrales et axiales

Symétrie centrale

Deux points A et A 1 sont dits symétriques par rapport au point O si O est le milieu du segment AA 1 (Fig. 1). Le point O est considéré comme symétrique par rapport à lui-même.

Exemple de symétrie centrale

Une figure est dite symétrique par rapport au point O si, pour chaque point de la figure, un point symétrique par rapport au point O appartient également à cette figure. Le point O est appelé centre de symétrie de la figure. On dit également que la figure a une symétrie centrale.

Des exemples de figures à symétrie centrale sont un cercle et un parallélogramme (Fig. 2).

Le centre de symétrie d'un cercle est le centre du cercle et le centre de symétrie d'un parallélogramme est le point d'intersection de ses diagonales. Une ligne droite a également une symétrie centrale, mais contrairement à un cercle et un parallélogramme, qui n'ont qu'un seul centre de symétrie (point O sur la figure 2), une ligne droite en a un nombre infini - tout point de la ligne droite est son centre de symétrie.

Symétrie axiale

Deux points A et A 1 sont dits symétriques par rapport à la ligne a si cette ligne passe par le milieu du segment AA 1 et lui est perpendiculaire (Fig. 3). Chaque point d'une droite a est considéré comme symétrique par rapport à lui-même.

Une figure est dite symétrique par rapport à la droite a si pour chaque point de la figure un point symétrique par rapport à la droite a appartient également à cette figure. La droite a est appelée axe de symétrie de la figure.

Des exemples de telles figures et leurs axes de symétrie sont présentés à la figure 4.

Notez que pour un cercle, toute droite passant par son centre est un axe de symétrie.

Comparaison des symétries

Symétries centrales et axiales

Combien d'axes de symétrie la figure représentée sur la figure possède-t-elle ?

wiki.eduvdom.com

Leçon «Symétrie axiale et centrale»

Brève description du document :

La symétrie est un sujet plutôt intéressant en géométrie, puisque ce concept se retrouve très souvent non seulement dans le processus de la vie humaine mais aussi dans la nature.

La première partie de la présentation vidéo « Symétrie axiale et centrale » donne la définition de la symétrie de deux points par rapport à une droite sur un plan. La condition de leur symétrie est la possibilité de tracer un segment à travers eux, au milieu duquel passera une ligne droite donnée. Une condition préalable à une telle symétrie est la perpendiculaire du segment et de la droite.

La partie suivante de la leçon vidéo donne un exemple clair de définition, qui se présente sous la forme d'un dessin, où plusieurs paires de points sont symétriques par rapport à une ligne, et tout point de cette ligne est symétrique par rapport à lui-même.

Après avoir reçu les concepts initiaux de symétrie, les élèves reçoivent une définition plus complexe d'une figure symétrique par rapport à une ligne droite. La définition est proposée sous forme de règle textuelle, et est également accompagnée d'une voix off de l'orateur. Cette partie se termine par des exemples de figures symétriques et asymétriques, par rapport à une ligne droite. Fait intéressant, il existe des figures géométriques qui ont plusieurs axes de symétrie - elles sont toutes clairement présentées sous forme de dessins, où les axes sont mis en évidence dans une couleur distincte. Vous pouvez ainsi rendre le matériau proposé plus facile à comprendre : un objet ou une figure est symétrique s'il coïncide exactement lorsque les deux moitiés sont pliées autour de son axe.

En plus de la symétrie axiale, il existe une symétrie autour d'un point. La partie suivante de la présentation vidéo est dédiée à ce concept. Tout d'abord, une définition est donnée de la symétrie de deux points par rapport à un troisième, puis un exemple est fourni sous la forme d'une figure, qui montre une paire de points symétriques et asymétriques. Cette partie de la leçon se termine par des exemples de figures géométriques qui ont ou non un centre de symétrie.

A la fin du cours, les élèves sont invités à se familiariser avec les exemples de symétrie les plus frappants que l'on puisse trouver dans le monde qui les entoure. La compréhension et la capacité de construire des figures symétriques sont tout simplement nécessaires dans la vie des personnes exerçant diverses professions. À la base, la symétrie est la base de toute civilisation humaine, puisque 9 objets sur 10 entourant une personne ont un type de symétrie ou un autre. Sans symétrie, la construction de nombreuses grandes structures architecturales n’aurait pas été possible, il n’aurait pas été possible d’atteindre des capacités industrielles impressionnantes, etc. Dans la nature, la symétrie est également un phénomène très courant, et s'il est presque impossible de la trouver dans des objets inanimés, le monde vivant en regorge littéralement - presque toute la flore et la faune, à de rares exceptions près, ont une symétrie axiale ou centrale.

Le programme scolaire régulier est conçu de telle manière qu'il peut être compris par tout élève admis au cours. Une présentation vidéo rend ce processus plusieurs fois plus facile, car elle affecte simultanément plusieurs centres de développement de l'information, fournit du matériel en plusieurs couleurs, obligeant ainsi les élèves à concentrer leur attention sur la chose la plus importante pendant la leçon. Contrairement à la manière habituelle d'enseigner dans les écoles, où tous les enseignants n'ont pas la possibilité ou le désir de répondre aux questions de clarification des élèves, une leçon vidéo peut facilement être rembobinée à l'endroit souhaité afin d'écouter à nouveau l'orateur et de relire les informations nécessaires. , jusqu'à ce qu'il soit pleinement compris. Compte tenu de la facilité de présentation du matériel, les présentations vidéo peuvent être utilisées non seulement pendant les heures de classe, mais également à la maison, comme méthode d'apprentissage indépendante.

urokimatematiki.ru

Présentation « Mouvements. Symétrie axiale"

Documents dans les archives :

Nom du document 8.

Description de la présentation par diapositives individuelles :

La symétrie centrale est un exemple de mouvement

Définition : La symétrie axiale avec l'axe a est une cartographie de l'espace sur lui-même, dans laquelle tout point K entre dans un point K1 qui lui est symétrique par rapport à l'axe a.

1) Oxyz - système de coordonnées rectangulaires Oz - axe de symétrie 2) M(x; y; z) et M1(x1; y1; z1), symétriques par rapport à l'axe Oz Les formules seront également vraies si le point M ⊂ Oz Axial la symétrie est le mouvement Z X Y М(x; y; z) M1(x1; y1; z1) O

Démontrer : Problème 1, avec symétrie axiale, une droite formant un angle φ avec l'axe de symétrie est mappée sur une droite, formant également un angle φ avec l'axe de symétrie. Solution : avec symétrie axiale, une droite formant un L'angle φ avec l'axe de symétrie est représenté sur une droite, formant également un angle avec l'axe de symétrie. axe de symétrie angle φ A F E N m l a φ φ

Soit : 2) △ABD - rectangulaire, selon le théorème de Pythagore : 1) DD1 ⏊ (A1C1D1), 3) △BDD2 - rectangulaire, selon le théorème de Pythagore : Problème 2 Trouver : BD2 Solution :

Brève description du document :

Présentation « Mouvements. "Symétrie axiale" fournit du matériel visuel pour expliquer les principales dispositions de ce sujet dans un cours de mathématiques à l'école. Dans cette présentation, la symétrie axiale est considérée comme un autre type de mouvement. Au cours de la présentation, on rappelle aux étudiants le concept étudié de symétrie centrale, une définition de la symétrie axiale est donnée, la proposition selon laquelle la symétrie axiale est un mouvement est prouvée et la solution à deux problèmes dans lesquels il faut opérer avec le concept de la symétrie axiale est décrite.

La symétrie de rotation est un mouvement, il est donc difficile de la représenter sur un tableau. Des constructions plus claires et compréhensibles peuvent être réalisées à l’aide de moyens électroniques. Grâce à cela, les structures sont clairement visibles depuis n’importe quel bureau de la classe. Dans les dessins, il est possible de mettre en évidence les détails de construction en couleur et de concentrer l'attention sur les caractéristiques de l'opération. Les effets d'animation sont utilisés dans le même but. Avec l'aide d'outils de présentation, il est plus facile pour l'enseignant d'atteindre ses objectifs d'apprentissage, la présentation est donc utilisée pour augmenter l'efficacité de la leçon.

La démonstration commence par rappeler aux élèves le type de mouvement qu’ils ont appris : la symétrie centrale. Un exemple d'application de l'opération est l'affichage symétrique d'une poire dessinée. Un point est marqué sur le plan par rapport auquel chaque point de l'image devient symétrique. L'image affichée est ainsi inversée. Dans ce cas, toutes les distances entre les points de l'objet sont conservées avec symétrie centrale.

La deuxième diapositive introduit le concept de symétrie axiale. La figure montre un triangle, chacun de ses sommets se transforme en sommet symétrique du triangle par rapport à un certain axe. La définition de la symétrie axiale est mise en évidence dans l’encadré. On constate qu'avec lui, chaque point de l'objet devient symétrique.

Ensuite, dans un système de coordonnées rectangulaires, la symétrie axiale est considérée, les propriétés des coordonnées d'un objet affichées par symétrie axiale, et il est également prouvé qu'avec cette cartographie, les distances sont préservées, ce qui est un signe de mouvement. Sur le côté droit de la diapositive se trouve un système de coordonnées rectangulaires Oxyz. L'axe Oz est pris comme axe de symétrie. Un point M est marqué dans l'espace qui, avec une cartographie appropriée, se transforme en M 1. La figure montre qu'avec une symétrie axiale, la pointe conserve son applicabilité.

On note que la moyenne arithmétique des abscisses et des ordonnées de cette cartographie à symétrie axiale est égale à zéro, soit (x+ x 1)/2 = 0 ; (y+ y1)/2=0. Sinon, cela indique que x=-x 1 ; y=-y 1 ; z=z 1 . La règle s'applique également si le point M est marqué sur l'axe Oz lui-même.

Pour déterminer si les distances entre points sont conservées avec symétrie axiale, une opération est décrite sur les points A et B. Affichés par rapport à l'axe Oz, les points décrits vont en A1 et B1. Pour déterminer la distance entre les points, nous utilisons une formule dans laquelle la distance est calculée par coordonnées. On note que AB=√(x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2), et pour les points affichés A 1 B 1 =√(-x 2 +x 1) 2 +(-y 2 +y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2). Compte tenu des propriétés de quadrature, on peut noter que AB = A 1 B 1. Cela suggère que les distances sont maintenues entre les points - le principal signe de mouvement. Cela signifie que la symétrie axiale est un mouvement.

La diapositive 5 traite de la solution au problème 1. Dans celle-ci, il est nécessaire de prouver l'affirmation selon laquelle une droite passant sous un angle φ par rapport à l'axe de symétrie forme avec lui le même angle φ. Pour le problème, on donne une image sur laquelle est dessiné l'axe de symétrie, ainsi qu'une droite m, formant un angle φ avec l'axe de symétrie, et par rapport à son axe son affichage est une droite l. La preuve de l'énoncé commence par la construction de points supplémentaires. On note que la droite m coupe l'axe de symétrie en A. Si on marque le point F≠A sur cette droite et qu'on en laisse tomber une perpendiculaire à l'axe de symétrie, on obtient l'intersection de la perpendiculaire avec l'axe de symétrie au point E. Avec symétrie axiale, le segment FE entre dans le segment NE. À la suite de cette construction, les triangles rectangles ΔAEF et ΔAEN ont été obtenus. Ces triangles sont égaux, puisque AE est leur côté commun, et FE = NE sont de construction égale. En conséquence, l'angle ∠EAN=∠EAF. Il en résulte que la droite affichée forme également un angle φ avec l'axe de symétrie. Le problème est résolu.

La dernière diapositive présente la solution du problème 2, dans laquelle on vous donne un cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 de côté a. On sait qu'après symétrie autour de l'axe contenant l'arête B 1 D 1, le point D entre dans D 1. Le problème nécessite de trouver BD 2. Une construction est faite pour le problème. La figure montre un cube à partir duquel on peut voir que l'axe de symétrie est la diagonale de la face du cube B 1 D 1. Le segment formé par le mouvement du point D est perpendiculaire au plan du visage auquel appartient l'axe de symétrie. Puisque les distances entre les points sont maintenues pendant le mouvement, alors DD 1 = D 1 D 2 =a, c'est-à-dire la distance DD 2 =2a. Du triangle rectangle ΔABD, selon le théorème de Pythagore, il s'ensuit que BD=√(AB 2 +AD 2)=a√2. Du triangle rectangle ΔВDD 2 il découle du théorème de Pythagore BD 2 =√(DD 2 2 +ВD 2) = а√6. Le problème est résolu.

Présentation « Mouvements. La symétrie axiale" est utilisée pour augmenter l'efficacité d'un cours de mathématiques à l'école. Cette méthode de visualisation aidera également l'enseignant à mener un enseignement à distance. Le matériel peut être proposé pour examen indépendant par des étudiants qui ne maîtrisent pas suffisamment le sujet de la leçon.

Pourquoi la femme est partie et ne demande pas le divorce Forum pratique sur le véritable amour La femme demande le divorce. Ma femme demande le divorce. Au secours ! Message de MIRON4IK » 23 octobre 2009, 16:22 Message de raz » 23 octobre 2009, 19:17 Message de MIRON4IK » 23 octobre 2009, 22:21 Message de edon » […]

Le procès du fascisme - les procès de Nuremberg Le 8 août 1945, trois mois après la victoire sur l'Allemagne nazie, les pays vainqueurs : l'URSS, les États-Unis, la Grande-Bretagne et la France, lors de la conférence de Londres, ont approuvé l'accord sur le [… ]

Durovitch A.P. Manuel de marketing dans le tourisme. - Minsk : Nouveaux savoirs, 2003. - 496 p. L'essence, les principes du marketing, ses fonctions et la technologie des activités de marketing dans le tourisme sont révélés. Conceptuellement, la structure du manuel […]

Cahier d'exercices sur les tables de multiplication, Lakeshore La tablette de division autovérifiée rend les mathématiques si faciles que les enfants peuvent apprendre eux-mêmes ! Les enfants appuient simplement sur les boutons égaux. et les réponses et les conseils apparaissent immédiatement ! 81 […]

Notion de mouvement

Examinons d'abord la notion de mouvement.

Définition 1

Une cartographie d'un plan est appelée un mouvement du plan si la cartographie préserve les distances.

Il existe plusieurs théorèmes liés à ce concept.

Théorème 2

Le triangle, en se déplaçant, se transforme en un triangle égal.

Théorème 3

Toute figure, en se déplaçant, se transforme en une figure égale à elle.

La symétrie axiale et centrale sont des exemples de mouvement. Examinons-les plus en détail.

Symétrie axiale

Définition 2

Les points $A$ et $A_1$ sont dits symétriques par rapport à la droite $a$ si cette droite est perpendiculaire au segment $(AA)_1$ et passe par son centre (Fig. 1).

Image 1.

Considérons la symétrie axiale à l'aide d'un exemple de problème.

Exemple 1

Construisez un triangle symétrique pour un triangle donné par rapport à l'un de ses côtés.

Solution.

Donnons-nous un triangle $ABC$. Nous allons construire sa symétrie par rapport au côté $BC$. Le côté $BC$ à symétrie axiale se transformera en lui-même (découle de la définition). Le point $A$ ira au point $A_1$ comme suit : $(AA)_1\bot BC$, $(AH=HA)_1$. Le triangle $ABC$ se transformera en triangle $A_1BC$ (Fig. 2).

Figure 2.

Définition 3

Une figure est dite symétrique par rapport à la droite $a$ si chaque point symétrique de cette figure est contenu dans la même figure (Fig. 3).

Figure 3.

La figure $3$ montre un rectangle. Il présente une symétrie axiale par rapport à chacun de ses diamètres, ainsi que par rapport à deux droites passant par les centres des côtés opposés d'un rectangle donné.

Symétrie centrale

Définition 4

Les points $X$ et $X_1$ sont dits symétriques par rapport au point $O$ si le point $O$ est le centre du segment $(XX)_1$ (Fig. 4).

Graphique 4.

Considérons la symétrie centrale à l'aide d'un exemple de problème.

Exemple 2

Construisez un triangle symétrique pour un triangle donné à l’un de ses sommets.

Solution.

Donnons-nous un triangle $ABC$. Nous allons construire sa symétrie par rapport au sommet $A$. Le sommet $A$ à symétrie centrale se transformera en lui-même (découle de la définition). Le point $B$ ira au point $B_1$ comme suit : $(BA=AB)_1$, et le point $C$ ira au point $C_1$ comme suit : $(CA=AC)_1$. Le triangle $ABC$ se transformera en triangle $(AB)_1C_1$ (Fig. 5).

Graphique 5.

Définition 5

Une figure est symétrique par rapport au point $O$ si chaque point symétrique de cette figure est contenu dans la même figure (Fig. 6).

Graphique 6.

La figure $6$ montre un parallélogramme. Il présente une symétrie centrale autour du point d’intersection de ses diagonales.

Exemple de tâche.

Exemple 3

Donnons-nous un segment $AB$. Construire sa symétrie par rapport à la droite $l$, qui ne coupe pas le segment donné, et par rapport au point $C$ situé sur la droite $l$.

Solution.

Décrivons schématiquement l'état du problème.

Graphique 7.

Décrivons d'abord la symétrie axiale par rapport à la droite $l$. Puisque la symétrie axiale est un mouvement, alors par le théorème $1$, le segment $AB$ sera mappé sur le segment $A"B"$ qui lui est égal. Pour le construire, nous allons procéder comme suit : tracer des droites $m\ et\n$ passant par les points $A\ et\B$, perpendiculaires à la droite $l$. Soit $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$. Ensuite, nous dessinons les segments $A"X=AX$ et $B"Y=BY$.

Figure 8.

Décrivons maintenant la symétrie centrale par rapport au point $C$. Puisque la symétrie centrale est un mouvement, alors par le théorème $1$, le segment $AB$ sera mappé sur le segment $A""B""$ qui lui est égal. Pour le construire, nous allons faire ce qui suit : tracer les droites $AC\ et\ BC$. Ensuite, nous dessinons les segments $A^("")C=AC$ et $B^("")C=BC$.

Graphique 9.