Quel est le logarithme népérien de zéro ? Logarithme

Le logarithme d'un nombre positif b en base a (a>0, a n'est pas égal à 1) est un nombre c tel que a c = b : log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Notez que le logarithme d'un nombre non positif n'est pas défini. De plus, la base du logarithme doit être un nombre positif qui n'est pas égal à 1. Par exemple, si on met -2 au carré, on obtient le nombre 4, mais cela ne veut pas dire que le logarithme en base -2 de 4 est égal à 2.

Identité logarithmique de base

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Il est important que la portée de la définition des côtés droit et gauche de cette formule soit différente. Le côté gauche est défini uniquement pour b>0, a>0 et a ≠ 1. Le côté droit est défini pour tout b et ne dépend pas du tout de a. Ainsi, l’application de « l’identité » logarithmique de base lors de la résolution d’équations et d’inégalités peut conduire à une modification de la DO.

Deux conséquences évidentes de la définition du logarithme

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

En effet, en élevant le nombre a à la puissance premier, on obtient le même nombre, et en l'élevant à la puissance zéro, on obtient un.

Logarithme du produit et logarithme du quotient

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Je voudrais mettre en garde les écoliers contre l'utilisation inconsidérée de ces formules lors de la résolution d'équations logarithmiques et d'inégalités. Lorsqu'on les utilise « de gauche à droite », l'ODZ se rétrécit, et lorsqu'on passe de la somme ou de la différence des logarithmes au logarithme du produit ou du quotient, l'ODZ s'agrandit.

En effet, l'expression log a (f (x) g (x)) est définie dans deux cas : lorsque les deux fonctions sont strictement positives ou lorsque f(x) et g(x) sont tous deux inférieurs à zéro.

En transformant cette expression en somme log a f (x) + log a g (x), on est obligé de se limiter uniquement au cas où f(x)>0 et g(x)>0. Il y a un rétrécissement de la plage des valeurs acceptables, ce qui est catégoriquement inacceptable, car cela peut conduire à une perte de solutions. Un problème similaire existe pour la formule (6).

Le degré peut être retiré du signe du logarithme

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Et encore une fois, je voudrais appeler à l'exactitude. Prenons l'exemple suivant :

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Le côté gauche de l’égalité est évidemment défini pour toutes les valeurs de f(x) sauf zéro. Le côté droit est uniquement pour f(x)>0 ! En retirant le degré du logarithme, nous réduisons à nouveau l'ODZ. La procédure inverse conduit à un élargissement de la plage des valeurs acceptables. Toutes ces remarques s’appliquent non seulement à la puissance 2, mais aussi à toute puissance paire.

Formule pour passer à une nouvelle fondation

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Ce cas rare où l'ODZ ne change pas pendant la transformation. Si vous avez judicieusement choisi la base c (positive et non égale à 1), la formule pour passer à une nouvelle base est totalement sûre.

Si l'on choisit le nombre b comme nouvelle base c, on obtient un cas particulier important de formule (8) :

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Quelques exemples simples avec des logarithmes

Exemple 1. Calculez : log2 + log50.
Solution. log2 + log50 = log100 = 2. Nous avons utilisé la formule de la somme des logarithmes (5) et la définition du logarithme décimal.

Exemple 2. Calculez : lg125/lg5.
Solution. log125/log5 = log 5 125 = 3. Nous avons utilisé la formule de déplacement vers une nouvelle base (8).

Tableau des formules liées aux logarithmes

un journal a b = b (une > 0, une ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log une 1 = 0 (une > 0, une ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

prend souvent un numéro e = 2,718281828 . Les logarithmes basés sur cette base sont appelés naturel. Lors de calculs avec des logarithmes naturels, il est courant d'opérer avec le signe jen, mais non enregistrer; tandis que le numéro 2,718281828 , définissant la base, ne sont pas indiqués.

En d’autres termes, la formulation ressemblera à : un algorithme naturel Nombres X- c'est un exposant auquel un nombre doit être élevé e, Obtenir X.

Donc, ln(7 389...)= 2, puisque e 2 =7,389... . Logarithme naturel du nombre lui-même e= 1 parce que e 1 =e, et le logarithme népérien de l'unité est nul, puisque e 0 = 1.

Le numéro lui-même e définit la limite d'une séquence délimitée monotone

on calcule que e = 2,7182818284... .

Très souvent, afin de fixer un numéro en mémoire, les chiffres du numéro requis sont associés à une date exceptionnelle. Vitesse de mémorisation des neuf premiers chiffres d'un nombre e après la virgule, la virgule augmentera si vous remarquez que 1828 est l'année de naissance de Léon Tolstoï !

Il existe aujourd'hui des tableaux assez complets de logarithmes naturels.

Graphique du logarithme népérien(les fonctions y=dans x) est une conséquence du fait que le graphique des exposants est une image miroir de la droite y = x et a la forme :

Le logarithme népérien peut être trouvé pour chaque nombre réel positif un comme l'aire sous la courbe oui = 1/X depuis 1 avant un.

Le caractère élémentaire de cette formulation, qui est cohérent avec de nombreuses autres formules dans lesquelles le logarithme népérien est impliqué, a été à l'origine de la formation du nom « naturel ».

Si vous analysez un algorithme naturel, en fonction réelle d'une variable réelle, alors il s'agit fonction inverseà une fonction exponentielle, qui se réduit aux identités :

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

Par analogie avec tous les logarithmes, le logarithme népérien convertit la multiplication en addition, la division en soustraction :

dans(xy) = dans(X) + dans(oui)

dans(x/y)= lnx - lny

Le logarithme peut être trouvé pour chaque base positive qui n'est pas égale à un, pas seulement pour e, mais les logarithmes pour d'autres bases ne diffèrent du logarithme naturel que par un facteur constant et sont généralement définis en termes de logarithme naturel.

Après avoir analysé graphique du logarithme naturel, on constate qu'il existe pour les valeurs positives de la variable X. Il augmente de façon monotone dans son domaine de définition.

À X → 0 la limite du logarithme népérien est moins l'infini ( -∞ ).À x → +∞ la limite du logarithme népérien est plus l'infini ( + ∞ ). En liberté X Le logarithme augmente assez lentement. Toute fonction de puissance xa avec un exposant positif un augmente plus vite que le logarithme. Le logarithme népérien est une fonction croissante de façon monotone, il n’a donc pas d’extrema.

Usage logarithmes naturels très rationnel lors de la réussite des mathématiques supérieures. Ainsi, l’utilisation du logarithme est pratique pour trouver la réponse à des équations dans lesquelles des inconnues apparaissent comme exposants. L'utilisation de logarithmes naturels dans les calculs permet de simplifier grandement un grand nombre de formules mathématiques. Logarithmes à la base e sont présents dans la résolution d'un nombre important de problèmes physiques et sont naturellement inclus dans la description mathématique de processus chimiques, biologiques et autres individuels. Ainsi, les logarithmes sont utilisés pour calculer la constante de désintégration pour une demi-vie connue, ou pour calculer le temps de désintégration lors de la résolution de problèmes de radioactivité. Ils jouent un rôle de premier plan dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences pratiques ; ils sont utilisés dans le domaine de la finance pour résoudre un grand nombre de problèmes, dont le calcul des intérêts composés.

Logarithme d'un nombre donné est appelé l'exposant auquel un autre nombre doit être élevé, appelé base logarithme pour obtenir ce nombre. Par exemple, le logarithme en base 10 de 100 est 2. En d’autres termes, 10 doit être au carré pour obtenir 100 (10 2 = 100). Si n– un numéro donné, b– le socle et je– logarithme, alors b l = n. Nombre négalement appelé antilogarithme de base b Nombres je. Par exemple, l'antilogarithme de 2 en base 10 est égal à 100. Cela peut s'écrire sous la forme du journal des relations bn = je et antilog b l = n.

Propriétés de base des logarithmes :

Tout nombre positif autre que un peut servir de base aux logarithmes, mais malheureusement il s'avère que si b Et n sont des nombres rationnels, alors dans de rares cas, il existe un tel nombre rationnel je, Quoi b l = n. Cependant, il est possible de définir un nombre irrationnel je, par exemple, tel que 10 je= 2 ; c'est un nombre irrationnel je peut être approximé avec toute précision requise par des nombres rationnels. Il s'avère que dans l'exemple ci-dessus je est approximativement égal à 0,3010, et cette approximation du logarithme en base 10 de 2 peut être trouvée dans des tableaux à quatre chiffres de logarithmes décimaux. Les logarithmes en base 10 (ou logarithmes en base 10) sont si couramment utilisés dans les calculs qu'ils sont appelés ordinaire logarithmes et écrit sous la forme log2 = 0,3010 ou log2 = 0,3010, en omettant l'indication explicite de la base du logarithme. Logarithmes à la base e, nombre transcendantal approximativement égal à 2,71828, sont appelés naturel logarithmes. On les retrouve principalement dans les travaux sur l'analyse mathématique et ses applications à diverses sciences. Les logarithmes naturels s'écrivent également sans indiquer explicitement la base, mais en utilisant la notation spéciale ln : par exemple, ln2 = 0,6931, car e 0,6931 = 2.

Utiliser des tableaux de logarithmes ordinaires.

Le logarithme régulier d'un nombre est un exposant auquel il faut élever 10 pour obtenir un nombre donné. Puisque 10 0 = 1, 10 1 = 10 et 10 2 = 100, on obtient immédiatement que log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, etc. pour des puissances entières croissantes 10. De même, 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 et donc log0,1 = –1, log0,01 = –2, etc. pour toutes les puissances entières négatives 10. Les logarithmes habituels des nombres restants sont placés entre les logarithmes des puissances entières de 10 les plus proches ; log2 doit être compris entre 0 et 1, log20 doit être compris entre 1 et 2 et log0.2 doit être compris entre -1 et 0. Ainsi, le logarithme se compose de deux parties, un entier et une décimale, comprises entre 0 et 1. Le partie entière appelée caractéristique logarithme et est déterminé par le nombre lui-même, la partie fractionnaire est appelée mantisse et peuvent être trouvés dans les tableaux. De plus, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Le logarithme de 2 est 0,3010, donc log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. De même, log0,2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Après soustraction, nous obtenons log0,2 = – 0,6990. Cependant, il est plus pratique de représenter log0,2 par 0,3010 – 1 ou par 9,3010 – 10 ; Une règle générale peut également être formulée : tous les nombres obtenus à partir d'un nombre donné par multiplication par une puissance de 10 ont des mantisses identiques égales à la mantisse du nombre donné. La plupart des tableaux montrent les mantisses des nombres compris entre 1 et 10, puisque les mantisses de tous les autres nombres peuvent être obtenues à partir de celles données dans le tableau.

La plupart des tableaux donnent des logarithmes avec quatre ou cinq décimales, bien qu'il existe des tableaux à sept chiffres et des tableaux avec encore plus de décimales. Le moyen le plus simple d’apprendre à utiliser de tels tableaux consiste à utiliser des exemples. Pour trouver log3,59, on remarque tout d'abord que le nombre 3,59 est compris entre 10 0 et 10 1, donc sa caractéristique est 0. On retrouve le nombre 35 (à gauche) dans le tableau et on se déplace le long de la ligne jusqu'à colonne qui porte le chiffre 9 en haut ; l'intersection de cette colonne et de la ligne 35 est 5551, donc log3,59 = 0,5551. Pour trouver la mantisse d’un nombre à quatre chiffres significatifs, vous devez utiliser l’interpolation. Dans certains tableaux, l'interpolation est facilitée par les proportions données dans les neuf dernières colonnes du côté droit de chaque page des tableaux. Trouvons maintenant log736.4 ; le nombre 736,4 est compris entre 10 2 et 10 3, donc la caractéristique de son logarithme est 2. Dans le tableau on trouve une ligne à gauche de laquelle se trouve 73 et la colonne 6. A l'intersection de cette ligne et de cette colonne il y a le nombre 8669. Parmi les parties linéaires on trouve la colonne 4 . A l'intersection de la ligne 73 et de la colonne 4 se trouve le nombre 2. En ajoutant 2 à 8669, on obtient la mantisse - elle est égale à 8671. Ainsi, log736.4 = 2,8671.

Logarithmes naturels.

Les tableaux et propriétés des logarithmes naturels sont similaires aux tableaux et propriétés des logarithmes ordinaires. La principale différence entre les deux est que la partie entière du logarithme népérien n'est pas significative pour déterminer la position de la virgule décimale et que, par conséquent, la différence entre la mantisse et la caractéristique ne joue pas de rôle particulier. Logarithmes naturels des nombres 5,432 ; 54,32 et 543,2 sont respectivement égaux à 1,6923 ; 3,9949 et 6,2975. La relation entre ces logarithmes deviendra évidente si l'on considère les différences entre eux : log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026 ; le dernier nombre n'est rien d'autre que le logarithme népérien du nombre 10 (écrit ainsi : ln10) ; log543,2 – log5,432 = 4,6052 ; le dernier nombre est 2ln10. Mais 543,2 = 10ґ54,32 = 10 2ґ5,432. Ainsi, par le logarithme naturel d'un nombre donné un vous pouvez trouver les logarithmes népériens de nombres égaux aux produits du nombre un pour n'importe quel diplôme n nombres 10 si à ln un ajouter ln10 multiplié par n, c'est à dire. ln( unґ10n) = journal un + n ln10 = ln un + 2,3026n. Par exemple, ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Par conséquent, les tableaux de logarithmes naturels, comme les tableaux de logarithmes ordinaires, ne contiennent généralement que des logarithmes de nombres de 1 à 10. Dans le système des logarithmes naturels, on peut parler d'antilogarithmes, mais le plus souvent ils parlent d'une fonction exponentielle ou d'un exposant. Si X= journal oui, Que oui = ex, Et oui appelé l'exposant de X(pour des raisons de commodité typographique, ils écrivent souvent oui= exp X). L'exposant joue le rôle de l'antilogarithme du nombre X.

À l'aide de tableaux de logarithmes décimaux et naturels, vous pouvez créer des tableaux de logarithmes dans n'importe quelle base autre que 10 et e. Si journal b un = X, Que bx = un, et donc journaliser c b x=journal Californie ou X enregistrer cb=journal Californie, ou X=journal Californie/enregistrer cb=journal b un. Par conséquent, en utilisant cette formule d'inversion de la table du logarithme de base c vous pouvez construire des tableaux de logarithmes dans n'importe quelle autre base b. Multiplicateur 1/log cb appelé module de transition de la base cà la base b. Rien n'empêche, par exemple, d'utiliser la formule d'inversion ou de passage d'un système de logarithmes à un autre, de retrouver des logarithmes naturels à partir du tableau des logarithmes ordinaires ou d'effectuer la transition inverse. Par exemple, log105.432 = journal e 5,432/journal e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Le nombre 0,4343, par lequel le logarithme népérien d'un nombre donné doit être multiplié pour obtenir un logarithme ordinaire, est le module de transition vers le système des logarithmes ordinaires.

Tableaux spéciaux.

Les logarithmes ont été inventés à l'origine pour qu'en utilisant leurs propriétés, ils enregistrent un B=journal un+ journal b et connectez-vous un/b=journal un- enregistrer b, transformez les produits en sommes et les quotients en différences. En d'autres termes, si le journal un et connectez-vous b sont connus, alors en utilisant l'addition et la soustraction, nous pouvons facilement trouver le logarithme du produit et le quotient. En astronomie, cependant, on donne souvent des valeurs de log un et connectez-vous b nous devons trouver le journal ( un + b) ou journal( un – b). Bien sûr, on pourrait d'abord trouver à partir de tables de logarithmes un Et b, puis effectuez l'addition ou la soustraction indiquée et, en vous tournant à nouveau vers les tableaux, trouvez les logarithmes requis, mais une telle procédure nécessiterait de se référer aux tableaux trois fois. Z. Leonelli a publié des tableaux de ce qu'on appelle en 1802. Logarithmes gaussiens– des logarithmes pour additionner des sommes et des différences – qui permettaient de se limiter à un seul accès aux tableaux.

En 1624, I. Kepler proposa des tableaux de logarithmes proportionnels, c'est-à-dire logarithmes de nombres un/X, Où un– une valeur constante positive. Ces tables sont principalement utilisées par les astronomes et les navigateurs.

Logarithmes proportionnels à un= 1 sont appelés par logarithmes et sont utilisés dans les calculs lorsqu'il faut traiter des produits et des quotients. Cologarithme d'un nombre négal au logarithme du nombre réciproque ; ceux. Cologne n= journal1/ n= – journal n. Si log2 = 0,3010, alors colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. L'avantage d'utiliser des cologarithmes est que lors du calcul de la valeur du logarithme d'expressions comme pq/r triple somme de décimales positives log p+ journal q+colog r est plus facile à trouver que le journal de la somme et de la différence mélangées p+ journal q- enregistrer r.

Histoire.

Le principe qui sous-tend tout système de logarithmes est connu depuis très longtemps et remonte aux anciennes mathématiques babyloniennes (environ 2000 avant JC). À cette époque, l'interpolation entre les valeurs de table de puissances entières positives d'entiers était utilisée pour calculer les intérêts composés. Beaucoup plus tard, Archimède (287-212 avant JC) utilisa les puissances de 108 pour trouver une limite supérieure au nombre de grains de sable requis pour remplir complètement l'Univers alors connu. Archimède a attiré l'attention sur la propriété des exposants qui est à la base de l'efficacité des logarithmes : le produit des puissances correspond à la somme des exposants. À la fin du Moyen Âge et au début de l’ère moderne, les mathématiciens se sont de plus en plus intéressés à la relation entre les progressions géométriques et arithmétiques. M. Stiefel dans son essai Arithmétique entière(1544) a donné un tableau des puissances positives et négatives du nombre 2 :

Stiefel a remarqué que la somme des deux nombres de la première rangée (la rangée des exposants) est égale à l'exposant de deux correspondant au produit des deux nombres correspondants de la rangée du bas (la rangée des exposants). A propos de ce tableau, Stiefel a formulé quatre règles équivalentes aux quatre règles modernes pour les opérations sur les exposants ou aux quatre règles pour les opérations sur les logarithmes : la somme de la ligne du haut correspond au produit de la ligne du bas ; la soustraction sur la ligne du haut correspond à la division sur la ligne du bas ; la multiplication sur la ligne du haut correspond à l'exponentiation sur la ligne du bas ; la division sur la ligne du haut correspond à l'enracinement sur la ligne du bas.

Apparemment, des règles similaires à celles de Stiefel ont conduit J. Naper à introduire formellement le premier système de logarithmes dans son travail. Description de l'étonnante table des logarithmes, publié en 1614. Mais les pensées de Napier étaient occupées par le problème de la conversion des produits en sommes depuis que, plus de dix ans avant la publication de son ouvrage, Napier reçut du Danemark des nouvelles selon lesquelles, à l'Observatoire Tycho Brahe, ses assistants disposaient d'une méthode qui permettait de il est possible de convertir des produits en sommes. La méthode discutée dans le message reçu par Napier était basée sur l'utilisation de formules trigonométriques comme

les tableaux de Naper étaient donc principalement constitués de logarithmes de fonctions trigonométriques. Bien que la notion de base n'ait pas été explicitement incluse dans la définition proposée par Napier, le rôle équivalent à la base du système de logarithmes dans son système était joué par le nombre (1 – 10 –7)ґ10 7, approximativement égal à 1/ e.

Indépendamment de Naper et presque simultanément avec lui, un système de logarithmes, de type assez similaire, fut inventé et publié par J. Bürgi à Prague, publié en 1620. Tableaux de progression arithmétique et géométrique. Il s'agissait de tableaux d'antilogarithmes à la base (1 + 10 –4) ґ10 4, une assez bonne approximation du nombre e.

Dans le système Naper, le logarithme du nombre 10 7 était considéré comme nul et, à mesure que les nombres diminuaient, les logarithmes augmentaient. Lorsque G. Briggs (1561-1631) visita Napier, tous deux s'accordèrent sur le fait qu'il serait plus pratique d'utiliser le nombre 10 comme base et de considérer le logarithme de un comme étant nul. Puis, à mesure que les nombres augmentaient, leurs logarithmes augmentaient. Nous avons ainsi obtenu le système moderne des logarithmes décimaux, dont Briggs a publié le tableau dans son ouvrage Arithmétique logarithmique(1620). Logarithmes à la base e, bien que pas exactement ceux introduits par Naper, sont souvent appelés Naper. Les termes « caractéristique » et « mantisse » ont été proposés par Briggs.

Les premiers logarithmes, pour des raisons historiques, utilisaient des approximations des nombres 1/ e Et e. Un peu plus tard, l'idée des logarithmes naturels a commencé à être associée à l'étude des aires sous une hyperbole xy= 1 (Fig.1). Au 17ème siècle il a été montré que l'aire délimitée par cette courbe, l'axe X et les ordonnées X= 1 et X = un(sur la figure 1, cette zone est couverte de points plus gras et plus clairsemés) augmente la progression arithmétique lorsque un augmente de façon exponentielle. C'est précisément cette dépendance qui apparaît dans les règles d'opérations avec exposants et logarithmes. Cela a donné lieu à l’appellation de logarithmes napériens de « logarithmes hyperboliques ».

Fonction logarithmique.

Il fut un temps où les logarithmes étaient considérés uniquement comme un moyen de calcul, mais au XVIIIe siècle, principalement grâce aux travaux d'Euler, le concept de fonction logarithmique s'est formé. Graphique d'une telle fonction oui= journal X, dont les ordonnées augmentent selon une progression arithmétique, tandis que les abscisses augmentent selon une progression géométrique, est présentée sur la Fig. 2, UN. Graphique d'une fonction inverse ou exponentielle y = ex, dont les ordonnées augmentent en progression géométrique, et dont les abscisses augmentent en progression arithmétique, sont présentées respectivement sur la Fig. 2, b. (Courbes oui=journal X Et oui = 10X forme similaire aux courbes oui= journal X Et oui = ex.) Des définitions alternatives de la fonction logarithmique ont également été proposées, par ex.

kpi ; et, de même, les logarithmes naturels du nombre -1 sont des nombres complexes de la forme (2 k + 1)pi, Où k- un nombre entier. Des déclarations similaires sont vraies pour les logarithmes généraux ou d’autres systèmes de logarithmes. De plus, la définition des logarithmes peut être généralisée en utilisant les identités d'Euler pour inclure les logarithmes complexes de nombres complexes.

Une définition alternative d'une fonction logarithmique est fournie par l'analyse fonctionnelle. Si F(X) – fonction continue d'un nombre réel X, ayant les trois propriétés suivantes : F (1) = 0, F (b) = 1, F (UV) = F (toi) + F (v), Que F(X) est défini comme le logarithme du nombre X basé sur b. Cette définition présente de nombreux avantages par rapport à la définition donnée au début de cet article.

Applications.

Les logarithmes étaient à l'origine utilisés uniquement pour simplifier les calculs, et cette application est toujours l'une des plus importantes. Le calcul des produits, des quotients, des puissances et des racines est facilité non seulement par la large disponibilité de tableaux de logarithmes publiés, mais également par l'utilisation de ce qu'on appelle. règle à calcul - un outil de calcul dont le principe de fonctionnement est basé sur les propriétés des logarithmes. La règle est équipée d'échelles logarithmiques, c'est-à-dire distance du numéro 1 à n'importe quel numéro X choisi pour être égal à log X; En décalant une échelle par rapport à une autre, il est possible de tracer les sommes ou différences de logarithmes, ce qui permet de lire directement sur l'échelle les produits ou quotients des nombres correspondants. Vous pouvez également profiter des avantages de la représentation des nombres sous forme logarithmique. papier logarithmique pour tracer des graphiques (papier sur lequel sont imprimées des échelles logarithmiques sur les deux axes de coordonnées). Si une fonction satisfait une loi de puissance de la forme y = kxn, alors son graphique logarithmique ressemble à une ligne droite, car enregistrer oui=journal k + n enregistrer X– équation linéaire par rapport au log oui et connectez-vous X. Au contraire, si le graphique logarithmique d’une dépendance fonctionnelle ressemble à une ligne droite, alors cette dépendance est une dépendance en puissance. Le papier semi-logarithmique (où l'axe y a une échelle logarithmique et l'axe x a une échelle uniforme) est utile lorsque vous devez identifier des fonctions exponentielles. Équations de la forme y = kb rx se produit chaque fois qu'une quantité, telle qu'une population, une quantité de matières radioactives ou un solde bancaire, diminue ou augmente à un taux proportionnel à la quantité de population, de matières radioactives ou d'argent actuellement disponible. Si une telle dépendance est tracée sur du papier semi-logarithmique, le graphique ressemblera à une ligne droite.

La fonction logarithmique apparaît en relation avec une grande variété de formes naturelles. Les fleurs des inflorescences de tournesol sont disposées en spirales logarithmiques, les coquilles de mollusques sont tordues Nautile, cornes de moutons de montagne et becs de perroquets. Toutes ces formes naturelles peuvent servir d'exemples d'une courbe connue sous le nom de spirale logarithmique car, dans un système de coordonnées polaires, son équation est r = aebq, ou ln r= journal un + bq. Une telle courbe est décrite par un point mobile dont la distance au pôle augmente en progression géométrique, et l'angle décrit par son rayon vecteur augmente en progression arithmétique. L'omniprésence d'une telle courbe, et donc de la fonction logarithmique, est bien illustrée par le fait qu'elle se produit dans des zones aussi éloignées et complètement différentes que le contour d'une came excentrique et la trajectoire de certains insectes volant vers la lumière.

Il peut s'agir, par exemple, d'une calculatrice issue de l'ensemble de programmes de base du système d'exploitation Windows. Le lien pour le lancer est caché dans le menu principal de l'OS - ouvrez-le en cliquant sur le bouton "Démarrer", puis ouvrez sa section "Programmes", allez dans la sous-section "Standard", puis dans la section "Utilitaires". et, enfin, cliquez sur l'élément « Calculatrice » " Au lieu d'utiliser la souris et de naviguer dans les menus, vous pouvez utiliser le clavier et la boîte de dialogue de lancement du programme - appuyez sur la combinaison de touches WIN + R, tapez calc (c'est le nom du fichier exécutable de la calculatrice) et appuyez sur Entrée.

Basculez l'interface de la calculatrice en mode avancé, ce qui vous permet de faire... Par défaut, il s'ouvre en vue « normale », mais vous avez besoin de « ingénierie » ou « » (selon la version du système d'exploitation que vous utilisez). Développez la section « Affichage » dans le menu et sélectionnez la ligne appropriée.

Entrez l'argument dont vous souhaitez évaluer l'entier naturel. Cela peut être fait soit à partir du clavier, soit en cliquant sur les boutons correspondants dans l'interface de la calculatrice à l'écran.

Cliquez sur le bouton intitulé ln - le programme calculera le logarithme en base e et affichera le résultat.

Utilisez l'une des calculatrices comme alternative au calcul de la valeur du logarithme népérien. Par exemple, celui situé à http://calc.org.ua. Son interface est extrêmement simple : il y a un seul champ de saisie dans lequel vous devez saisir la valeur du nombre dont vous devez calculer le logarithme. Parmi les boutons, recherchez et cliquez sur celui qui dit ln. Le script de cette calculatrice ne nécessite pas d'envoi de données au serveur ni de réponse, vous recevrez donc le résultat du calcul presque instantanément. La seule caractéristique à prendre en compte est que le séparateur entre les parties fractionnaire et entière du nombre saisi doit être un point, et non .

Le terme " logarithme" vient de deux mots grecs, l'un signifiant « nombre » et l'autre signifiant « rapport ». Il désigne l'opération mathématique de calcul d'une quantité variable (exposant) à laquelle il faut élever une valeur constante (base) pour obtenir le nombre indiqué sous le signe logarithme UN. Si la base est égale à une constante mathématique appelée nombre « e », alors logarithme dit « naturel ».

Tu auras besoin de

• Accès Internet, Microsoft Office Excel ou calculatrice.

Instructions

Utilisez les nombreuses calculatrices disponibles sur Internet - c'est peut-être un moyen simple de calculer l'a naturel. Vous n'avez pas besoin de rechercher le service approprié, car de nombreux moteurs de recherche eux-mêmes disposent de calculatrices intégrées qui sont tout à fait adaptées pour travailler avec logarithme suis-je. Par exemple, accédez à la page principale du plus grand moteur de recherche en ligne - Google. Aucun bouton n'est requis ici pour saisir des valeurs ou sélectionner des fonctions ; entrez simplement l'action mathématique souhaitée dans le champ de saisie de la requête. Disons, pour calculer logarithme et le nombre 457 en base « e », saisissez ln 457 - cela suffira à Google pour afficher avec une précision de huit décimales (6,12468339) même sans appuyer sur le bouton pour envoyer une requête au serveur.

Utilisez la fonction intégrée appropriée si vous devez calculer la valeur d'un naturel logarithme et se produit lorsque vous travaillez avec des données dans l'éditeur de feuilles de calcul populaire Microsoft Office Excel. Cette fonction est appelée ici en utilisant la notation commune logarithme et en majuscules - LN. Sélectionnez la cellule dans laquelle le résultat du calcul doit être affiché et entrez le signe égal - c'est ainsi que dans cet éditeur de feuille de calcul les enregistrements doivent commencer dans les cellules contenues dans la sous-section « Standard » de la section « Tous les programmes » du menu principal. Basculez la calculatrice vers un mode plus fonctionnel en appuyant sur Alt + 2. Saisissez ensuite la valeur, naturelle logarithme que vous souhaitez calculer, et cliquez dans l'interface du programme sur le bouton indiqué par les symboles ln. L'application effectuera le calcul et affichera le résultat.

Vidéo sur le sujet

Graphique de la fonction logarithme népérien. La fonction s'approche lentement de l'infini positif à mesure qu'elle augmente X et s'approche rapidement de l'infini négatif lorsque X tend vers 0 (« lent » et « rapide » par rapport à n’importe quelle fonction de puissance de X).

Un algorithme naturel est le logarithme de la base , Où e (style d'affichage e)- une constante irrationnelle égale à environ 2,72. Il est noté comme ln ⁡ X (\ displaystyle \ ln x), journal e ⁡ X (\displaystyle \log _(e)x) ou parfois juste journal ⁡ x (\displaystyle \log x), si la base e (style d'affichage e) implicite. En d’autres termes, le logarithme népérien d’un nombre X- c'est un exposant auquel un nombre doit être élevé e, Obtenir X. Cette définition peut être étendue aux nombres complexes.

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1), parce que e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), parce que e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

Le logarithme népérien peut également être défini géométriquement pour tout nombre réel positif un comme l'aire sous la courbe y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) entre [ 1 ; une ] (\style d'affichage). La simplicité de cette définition, qui est cohérente avec de nombreuses autres formules utilisant ce logarithme, explique l'origine du nom « naturel ».

Si l'on considère le logarithme népérien comme une fonction réelle d'une variable réelle, alors c'est la fonction inverse de la fonction exponentielle, qui conduit aux identités :

e ln ⁡ une = une (une > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln ⁡ e une = une (une > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

Comme tous les logarithmes, le logarithme naturel mappe la multiplication à l'addition :

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)