Modélisation mathématique. Concept d'un modèle mathématique

CONFÉRENCE 4

Définition et objectif de la modélisation mathématique

Sous modèle(du module latin - mesure, échantillon, norme), nous comprendrons un tel objet représenté matériellement ou mentalement, qui dans le processus de cognition (étude) remplace l'objet original, en préservant certaines de ses caractéristiques typiques qui sont importantes pour cette étude. Le processus de construction et d’utilisation d’un modèle est appelé modélisation.

L'essence modélisation mathématique (MM) consiste à remplacer l'objet (processus) étudié par un modèle mathématique adéquat et à étudier ultérieurement les propriétés de ce modèle en utilisant soit des méthodes analytiques, soit des expériences informatiques.

Parfois, il est plus utile, plutôt que de donner des définitions strictes, de décrire un concept particulier à l'aide d'un exemple précis. Par conséquent, nous illustrons les définitions ci-dessus de MM en utilisant l'exemple du problème du calcul d'une impulsion spécifique. Au début des années 60, les scientifiques ont été confrontés à la tâche de développer du carburant pour fusée ayant l'impulsion spécifique la plus élevée. Le principe de la propulsion d'une fusée est le suivant : le carburant liquide et le comburant des réservoirs de la fusée sont acheminés vers le moteur, où ils sont brûlés, et les produits de combustion sont rejetés dans l'atmosphère. De la loi de conservation de la quantité de mouvement, il s'ensuit que dans ce cas, la fusée se déplacera avec vitesse.

L'impulsion spécifique d'un carburant est l'impulsion reçue divisée par la masse du carburant. Mener des expériences était très coûteux et entraînait des dommages systématiques aux équipements. Il s'est avéré qu'il était plus facile et moins coûteux de calculer les fonctions thermodynamiques des gaz parfaits, en les utilisant pour calculer la composition des gaz qui s'échappent et la température du plasma, puis l'impulsion spécifique. C'est-à-dire effectuer le MM du processus de combustion du carburant.

Le concept de modélisation mathématique (MM) est aujourd’hui l’un des plus courants dans la littérature scientifique. La grande majorité des travaux de diplôme et de thèse modernes sont liés au développement et à l'utilisation de modèles mathématiques appropriés. L'ordinateur MM fait aujourd'hui partie intégrante de nombreux domaines de l'activité humaine (science, technologie, économie, sociologie, etc.). C'est l'une des raisons de la pénurie actuelle de spécialistes dans le domaine des technologies de l'information.

La croissance rapide de la modélisation mathématique est due à l’amélioration rapide de la technologie informatique. S'il y a 20 ans seulement un petit nombre de programmeurs étaient impliqués dans les calculs numériques, aujourd'hui la capacité de mémoire et la vitesse des ordinateurs modernes permettent de résoudre des problèmes de modélisation mathématique accessibles à tous les spécialistes, y compris les étudiants universitaires.

Dans toute discipline, une description qualitative des phénomènes est d'abord donnée. Et puis - quantitatif, formulé sous forme de lois établissant des liens entre différentes grandeurs (intensité de champ, intensité de diffusion, charge électronique, ...) sous forme d'équations mathématiques. Par conséquent, nous pouvons dire que dans chaque discipline, il y a autant de sciences que de mathématiques, et ce fait permet de résoudre avec succès de nombreux problèmes en utilisant des méthodes de modélisation mathématique.

Ce cours est conçu pour les étudiants se spécialisant en mathématiques appliquées qui terminent leurs études supérieures sous la supervision d'éminents scientifiques travaillant dans divers domaines. Par conséquent, ce cours est nécessaire non seulement comme matériel pédagogique, mais aussi comme préparation à la thèse. Pour étudier ce cours, nous aurons besoin des sections de mathématiques suivantes :

1. Équations de physique mathématique (mécanique des dévers, gaz et hydrodynamique)

2. Algèbre linéaire (théorie de l'élasticité)

3. Champs scalaires et vectoriels (théorie des champs)

4. Théorie des probabilités (mécanique quantique, physique statistique, cinétique physique)

5. Fonctions spéciales.

6. Analyse tensorielle (théorie de l'élasticité)

7. Analyse mathématique

MM en sciences naturelles, technologie et économie

Considérons d’abord diverses sections des sciences naturelles, de la technologie et de l’économie dans lesquelles des modèles mathématiques sont utilisés.

Sciences naturelles

La physique, qui établit les lois fondamentales des sciences naturelles, a longtemps été divisée en théorie et expérimentale. La physique théorique traite de la dérivation d'équations qui décrivent des phénomènes physiques. Ainsi, la physique théorique peut également être considérée comme l'un des domaines de la modélisation mathématique. (Rappelez-vous que le titre du premier livre de physique - «Principes mathématiques de la philosophie naturelle» de I. Newton peut être traduit en langage moderne par «Modèles mathématiques des sciences naturelles».) Sur la base des lois obtenues, des calculs d'ingénierie sont effectués , qui sont réalisés dans divers instituts, entreprises, bureaux d'études. Ces organisations développent des technologies pour la fabrication de produits modernes à forte intensité de connaissances. Ainsi, le concept de technologies à forte intensité scientifique inclut des calculs utilisant des modèles mathématiques appropriés.

L'une des branches les plus étendues de la physique est mécanique classique(parfois cette section est appelée mécanique théorique ou analytique). Cette section de physique théorique étudie le mouvement et l'interaction des corps. Des calculs utilisant des formules de mécanique théorique sont nécessaires pour étudier la rotation des corps (calcul des moments d'inertie, gyrostats - dispositifs qui maintiennent l'axe de rotation immobile), analyser le mouvement d'un corps dans un espace sans air, etc. la mécanique théorique est appelée théorie de la stabilité et est à la base de nombreux modèles mathématiques décrivant le mouvement des avions, des navires et des missiles. Les sections de mécanique pratique - cours « Théorie des machines et mécanismes », « Pièces de machines », sont étudiées par les étudiants de presque toutes les universités techniques (y compris l'Université d'État de Moscou).

Théorie de l'élasticité– une partie d'une section mécanique des milieux continus, qui suppose que le matériau d'un corps élastique est homogène et distribué de manière continue dans tout le volume du corps, de sorte que le plus petit élément découpé dans le corps a les mêmes propriétés physiques que le corps entier. Application de la théorie de l'élasticité - le cours « Résistance des matériaux » est étudié par les étudiants de toutes les universités techniques (y compris l'Université d'État de Moscou). Cette section est requise pour tous les calculs de résistance. Cela inclut le calcul de la résistance des coques de navires, d'avions, de fusées, le calcul de la résistance des structures en acier et en béton armé des bâtiments et bien plus encore.

Gaz et hydrodynamique, comme la théorie de l'élasticité, fait partie de la section mécanique des milieux continus, examine les lois du mouvement des liquides et des gaz. Les équations des gaz et de l'hydrodynamique sont nécessaires pour analyser le mouvement des corps dans un environnement liquide et gazeux (satellites, sous-marins, missiles, projectiles, voitures), pour calculer l'écoulement de gaz des tuyères des moteurs de fusées et d'avions. Application pratique de l'hydrodynamique - hydraulique (frein, volant,...)

Les sections précédentes de mécanique considéraient le mouvement des corps dans le macrocosme, et les lois physiques du macrocosme ne sont pas applicables dans le microcosme, dans lequel se déplacent les particules de matière - protons, neutrons, électrons. Des principes complètement différents s'appliquent ici, et pour décrire le micromonde, il faut mécanique quantique. L'équation de base décrivant le comportement des microparticules est l'équation de Schrödinger : . Voici l'opérateur hamiltonien (Hamiltonien). Pour une équation unidimensionnelle du mouvement des particules https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-énergie potentielle. La solution à ce problème L'équation est un ensemble de valeurs propres et de fonctions propres d'énergie..gif" width="55" height="24 src=">– densité de probabilité. Les calculs de mécanique quantique sont nécessaires au développement de nouveaux matériaux (microcircuits), à la création de lasers, au développement de méthodes d'analyse spectrale, etc.

Résoudre un grand nombre de problèmes cinétique, décrivant le mouvement et l'interaction des particules. Nous avons ici la diffusion, le transfert de chaleur et la théorie du plasma, le quatrième état de la matière.

Physique statistique considère les ensembles de particules, nous permet de parler des paramètres de l'ensemble en fonction des propriétés des particules individuelles. Si l'ensemble est constitué de molécules de gaz, alors les propriétés de l'ensemble dérivées par les méthodes de physique statistique sont les équations d'état du gaz, bien connues du lycée : https://pandia.ru/text/78/009/images/ image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17"> est le poids moléculaire du gaz. K – Constante de Rydberg. Les propriétés des solutions, des cristaux et des électrons dans les métaux sont également calculées à l'aide de méthodes statistiques. Le MM de physique statistique constitue la base théorique de la thermodynamique, qui sous-tend le calcul des moteurs, des réseaux de chaleur et des stations.

Théorie des champs décrit à l'aide des méthodes MM l'une des principales formes de la matière : le champ. Dans ce cas, le principal intérêt réside dans les champs électromagnétiques. Les équations du champ électromagnétique (électrodynamique) ont été dérivées par Maxwell : , , . Ici et https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - densité de charge, - densité de courant. Les équations de l'électrodynamique sous-tendent les calculs de propagation des ondes électromagnétiques nécessaires pour décrire la propagation des ondes radio (radio, télévision, communications cellulaires), et expliquer le fonctionnement des stations radar.

La chimie peut être présentée sous deux aspects, mettant en avant la chimie descriptive - la découverte des facteurs chimiques et leur description - et la chimie théorique - le développement de théories permettant de généraliser des facteurs établis et de les présenter sous la forme d'un système spécifique (L. Pauling ). La chimie théorique est également appelée chimie physique et constitue essentiellement une branche de la physique qui étudie les substances et leurs interactions. Par conséquent, tout ce qui a été dit concernant la physique s’applique pleinement à la chimie. Les branches de la chimie physique seront la thermochimie, qui étudie les effets thermiques des réactions, la cinétique chimique (vitesses de réaction), la chimie quantique (la structure des molécules). Dans le même temps, les problèmes de chimie peuvent être extrêmement complexes. Par exemple, pour résoudre les problèmes de chimie quantique – la science de la structure des atomes et des molécules – on utilise des programmes dont la portée est comparable à celle des programmes de défense aérienne du pays. Par exemple, pour décrire la molécule UCl4, composée de 5 noyaux atomiques et de +17 * 4) électrons, vous devez écrire l'équation du mouvement - équations aux dérivées partielles.

La biologie

Les mathématiques ne sont réellement apparues en biologie que dans la seconde moitié du XXe siècle. Les premières tentatives de décrire mathématiquement les processus biologiques liés aux modèles de dynamique des populations. Une population est une communauté d'individus d'une même espèce occupant une certaine zone de l'espace sur Terre. Ce domaine de la biologie mathématique, qui étudie l'évolution de la taille d'une population dans diverses conditions (présence d'espèces concurrentes, prédateurs, maladies, etc.) a ensuite servi de terrain d'expérimentation mathématique sur lequel ont été « testés » des modèles mathématiques dans différents domaines de la biologie. » Y compris des modèles d'évolution, de microbiologie, d'immunologie et d'autres domaines liés aux populations cellulaires.
Le tout premier modèle connu formulé dans une formulation biologique est la célèbre série de Fibonacci (chaque nombre suivant est la somme des deux précédents), citée par Léonard de Pise dans son ouvrage au XIIIe siècle. Il s'agit d'une série de chiffres qui décrit le nombre de couples de lapins qui naissent chaque mois si les lapins commencent à se reproduire à partir du deuxième mois et produisent un couple de lapins chaque mois. La ligne représente une séquence de nombres : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

1,

2 ,

3,

5,

8, 13, …

Un autre exemple est l’étude des processus de transport transmembranaire d’ions sur une membrane bicouche artificielle. Ici, afin d'étudier les lois de formation du pore à travers lequel l'ion passe à travers la membrane jusqu'à la cellule, il est nécessaire de créer un système modèle qui puisse être étudié expérimentalement, et pour lequel une description physique bien développée par la science peut être utilisé.

Un exemple classique de MM est également la population de drosophile. Un modèle encore plus pratique est celui des virus, qui peuvent se propager in vitro. Les méthodes de modélisation en biologie sont des méthodes de théorie des systèmes dynamiques, et les moyens sont des équations différentielles et différentielles, des méthodes de théorie qualitative des équations différentielles et des modèles de simulation.
Objectifs de la modélisation en biologie :
3. Clarification des mécanismes d'interaction entre les éléments du système
4. Identification et vérification des paramètres du modèle à l'aide de données expérimentales.
5. Évaluation de la stabilité du système (modèle).

6. Prévoir le comportement du système sous diverses influences externes, diverses méthodes de contrôle, etc.
7. Contrôle optimal du système conformément au critère d'optimalité sélectionné.

Technique

Un grand nombre de spécialistes participent à l'amélioration de la technologie et s'appuient dans leur travail sur les résultats de la recherche scientifique. Par conséquent, le MM en technologie est le même que le MM en sciences naturelles, dont il a été question ci-dessus.

Économie et processus sociaux

Il est généralement admis que la modélisation mathématique comme méthode d'analyse des processus macroéconomiques a été utilisée pour la première fois par le médecin du roi Louis XV, le Dr. François Quesnay, qui publia en 1758 l'ouvrage « Table économique ». Ce travail constitue la première tentative de description quantitative de l'économie nationale. Et en 1838 dans le livre O. Cournot Les méthodes quantitatives « Une étude des principes mathématiques de la théorie de la richesse » ont été utilisées pour la première fois pour analyser la concurrence sur le marché des produits dans diverses situations de marché.

La théorie de la population de Malthus est également largement connue, dans laquelle il a proposé l'idée : la croissance démographique n'est pas toujours souhaitable, et cette croissance va plus vite que la capacité croissante de fournir de la nourriture à la population. Le modèle mathématique d'un tel processus est assez simple : supposons que la croissance démographique au cours du temps https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> soit égal à . et - coefficients tenant compte de la fécondité et de la mortalité (personnes/an).

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Méthodes instrumentales et mathématiques " href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel ="bookmark">méthodes mathématiques d'analyse (par exemple, au cours des dernières décennies, des théories mathématiques du développement culturel sont apparues dans les sciences humaines, des modèles mathématiques de mobilisation, de développement cyclique des processus socioculturels, un modèle d'interaction entre le peuple et le gouvernement, un modèle de course aux armements, etc. ont été construits et étudiés).

En termes les plus généraux, le processus de MM des processus socio-économiques peut être divisé en quatre étapes :

formulation d'un système d'hypothèses et développement d'un modèle conceptuel ; développement d'un modèle mathématique; analyse des résultats des calculs du modèle, qui comprend leur comparaison avec la pratique ; formulation de nouvelles hypothèses et affinement du modèle en cas d'écart entre les résultats des calculs et les données pratiques.

Notez qu'en règle générale, le processus de modélisation mathématique est de nature cyclique, car même lors de l'étude de processus relativement simples, il est rarement possible de construire un modèle mathématique adéquat et de sélectionner ses paramètres exacts dès la première étape.

Actuellement, l'économie est considérée comme un système complexe en développement, pour la description quantitative duquel des modèles mathématiques dynamiques de divers degrés de complexité sont utilisés. L'un des domaines de recherche en dynamique macroéconomique est associé à la construction et à l'analyse de modèles de simulation non linéaires relativement simples qui reflètent l'interaction de divers sous-systèmes - le marché du travail, le marché des biens, le système financier, l'environnement naturel, etc.

La théorie des catastrophes se développe avec succès. Cette théorie considère la question des conditions dans lesquelles un changement dans les paramètres d'un système non linéaire fait passer un point dans l'espace des phases, caractérisant l'état du système, de la région d'attraction à la position d'équilibre initiale vers la région d'attraction. vers une autre position d’équilibre. Cette dernière est très importante non seulement pour l’analyse des systèmes techniques, mais aussi pour comprendre la durabilité des processus socio-économiques. À cet égard, les résultats sont intéressants sur l'importance de l'étude des modèles non linéaires pour la gestion. Dans son livre « La Théorie des catastrophes », publié en 1990, il écrit notamment : « … la perestroïka actuelle s'explique en grande partie par le fait qu'au moins certains mécanismes de rétroaction ont commencé à fonctionner (peur de destruction personnelle). »

(paramètres du modèle)

Lorsqu’on construit des modèles d’objets et de phénomènes réels, on est souvent confronté à un manque d’informations. Pour l'objet étudié, la distribution des propriétés, les paramètres d'impact et l'état initial sont connus avec plus ou moins d'incertitude. Lors de la construction d'un modèle, les options suivantes pour décrire des paramètres incertains sont possibles :

Classification des modèles mathématiques

(méthodes de mise en œuvre)

Les méthodes de mise en œuvre du MM peuvent être classées selon le tableau ci-dessous.

Méthodes de mise en œuvre du MM Très souvent, la solution analytique d'un modèle est présentée sous forme de fonctions. Pour obtenir les valeurs de ces fonctions pour des valeurs spécifiques des paramètres d'entrée, leur expansion en séries (par exemple, Taylor) est utilisée et la valeur de la fonction pour chaque valeur de l'argument est déterminée approximativement. Les modèles qui utilisent cette technique sont appelés fermer. À approche numérique l'ensemble des relations mathématiques du modèle est remplacé par un analogue de dimension finie. Ceci est le plus souvent réalisé en discrétisant les relations originales, c'est-à-dire en passant des fonctions d'un argument continu aux fonctions d'un argument discret (méthodes de grille). La solution trouvée après les calculs informatiques est considérée comme une solution approximative au problème initial. La plupart des systèmes existants sont très complexes et il est impossible pour eux de créer un modèle réel décrit analytiquement. De tels systèmes devraient être étudiés à l'aide modélisation par simulation. L'une des principales méthodes de modélisation par simulation est associée à l'utilisation d'un capteur de nombres aléatoires. Étant donné qu'un grand nombre de problèmes sont résolus à l'aide des méthodes MM, les méthodes de mise en œuvre du MM sont étudiées dans plus d'un cours. Cela comprend les équations aux dérivées partielles, les méthodes numériques pour résoudre ces équations, les mathématiques computationnelles, la modélisation informatique, etc. Pauling, Linus Carl (Pauling, Linus Carl), chimiste et physicien américain, a reçu le prix Nobel de chimie en 1954 pour ses études sur la nature des liaisons chimiques et la détermination de la structure des protéines. Né le 28 février 1901 à Portland (Oregon). Il a développé une méthode de mécanique quantique pour étudier la structure des molécules (avec le physicien américain J. Slayer) - la méthode des liaisons de valence, ainsi que la théorie de la résonance, qui permet d'expliquer la structure des composés contenant du carbone. , principalement des composés aromatiques. Pendant la période du culte de la personnalité de l’URSS, les scientifiques impliqués dans la chimie quantique ont été persécutés et accusés de « paulinisme ». MALTHUS, THOMAS ROBERT (Malthus, Thomas Robert) (), économiste anglais. Né à Rookery près de Dorking dans le Surrey le 15 ou 17 février 1766. En 1798, il publia son œuvre de manière anonyme. Expérience sur la loi de la population. En 1819, Malthus fut élu membre de la Royal Society.

Selon le manuel de Sovetov et Yakovlev : « un modèle (lat. module - mesure) est un objet de substitution à l'objet original, qui assure l'étude de certaines propriétés de l'original ». (p. 6) « Remplacer un objet par un autre afin d'obtenir des informations sur les propriétés les plus importantes de l'objet d'origine à l'aide d'un objet modèle est appelé modélisation. » (p. 6) « Par modélisation mathématique, nous entendons le processus d'établissement d'une correspondance entre un objet réel donné et un certain objet mathématique, appelé modèle mathématique, et l'étude de ce modèle, qui nous permet d'obtenir les caractéristiques du réel. objet considéré. Le type de modèle mathématique dépend à la fois de la nature de l'objet réel et des tâches d'étude de l'objet ainsi que de la fiabilité et de la précision requises pour résoudre ce problème.

Enfin, la définition la plus concise d'un modèle mathématique : "Une équation exprimant une idée."

Classement des modèles

Classification formelle des modèles

La classification formelle des modèles repose sur la classification des outils mathématiques utilisés. Souvent construit sous forme de dichotomies. Par exemple, l’un des ensembles de dichotomies les plus populaires :

et ainsi de suite. Chaque modèle construit est linéaire ou non linéaire, déterministe ou stochastique, ... Bien entendu, des types mixtes sont également possibles : concentré dans un sens (en termes de paramètres), distribué dans un autre, etc.

Classement selon la manière dont l'objet est représenté

Outre la classification formelle, les modèles diffèrent par la manière dont ils représentent un objet :

• Modèles structurels ou fonctionnels

Les modèles structurels représentent un objet en tant que système avec sa propre structure et son propre mécanisme de fonctionnement. Les modèles fonctionnels n'utilisent pas de telles représentations et reflètent uniquement le comportement (fonctionnement) perçu de l'extérieur d'un objet. Dans leur expression extrême, ils sont également appelés modèles « boîte noire ». Des types de modèles combinés sont également possibles, parfois appelés modèles « boîte grise ».

Contenu et modèles formels

Presque tous les auteurs décrivant le processus de modélisation mathématique indiquent qu'une structure idéale spéciale est d'abord construite, modèle de contenu. Il n'y a pas de terminologie établie ici, et d'autres auteurs appellent cet objet idéal modèle conceptuel , modèle spéculatif ou prémodèle. Dans ce cas, la construction mathématique finale est appelée modèle formel ou simplement un modèle mathématique obtenu à la suite de la formalisation d'un modèle significatif donné (pré-modèle). La construction d'un modèle significatif peut être réalisée à l'aide d'un ensemble d'idéalisations toutes faites, comme en mécanique, où les ressorts idéaux, les corps rigides, les pendules idéaux, les milieux élastiques, etc. fournissent des éléments structurels prêts à l'emploi pour une modélisation significative. Cependant, dans les domaines de la connaissance où il n’existe pas de théories formalisées entièrement achevées (à la pointe de la physique, de la biologie, de l’économie, de la sociologie, de la psychologie et de la plupart des autres domaines), la création de modèles significatifs devient considérablement plus difficile.

Classification du contenu des modèles

Aucune hypothèse scientifique ne peut être prouvée une fois pour toutes. Richard Feynman l’a formulé très clairement :

« Nous avons toujours la possibilité de réfuter une théorie, mais notons que nous ne pouvons jamais prouver qu’elle est correcte. Supposons que vous ayez avancé une hypothèse réussie, calculé où elle mène et constaté que toutes ses conséquences sont confirmées expérimentalement. Cela signifie-t-il que votre théorie est correcte ? Non, cela signifie simplement que vous n’avez pas réussi à le réfuter.

Si un modèle du premier type est construit, cela signifie qu’il est temporairement reconnu comme vrai et que l’on peut se concentrer sur d’autres problèmes. Cependant, cela ne peut pas être un point de recherche, mais seulement une pause temporaire : le statut d'un modèle du premier type ne peut être que temporaire.

Type 2: Modèle phénoménologique (nous nous comportons comme si…)

Un modèle phénoménologique contient un mécanisme pour décrire un phénomène. Cependant, ce mécanisme n’est pas assez convaincant, ne peut pas être suffisamment confirmé par les données disponibles ou ne correspond pas bien aux théories existantes et aux connaissances accumulées sur l’objet. Les modèles phénoménologiques ont donc le statut de solutions temporaires. On estime que la réponse est encore inconnue et que la recherche des « véritables mécanismes » doit se poursuivre. Peierls inclut, par exemple, le modèle calorique et le modèle des quarks des particules élémentaires comme deuxième type.

Le rôle du modèle dans la recherche peut évoluer avec le temps, et il peut arriver que de nouvelles données et théories confirment les modèles phénoménologiques et soient promus au statut d'hypothèse. De même, les nouvelles connaissances peuvent progressivement entrer en conflit avec les modèles-hypothèses du premier type, et elles peuvent se traduire dans le second. Ainsi, le modèle des quarks entre progressivement dans la catégorie des hypothèses ; L'atomisme en physique est apparu comme une solution temporaire, mais au cours de l'histoire, il est devenu le premier type. Mais les modèles éther sont passés du type 1 au type 2 et sont désormais hors de la science.

L'idée de simplification est très populaire lors de la construction de modèles. Mais la simplification se présente sous différentes formes. Peierls identifie trois types de simplifications dans la modélisation.

Tapez 3 : Approximation (nous considérons quelque chose de très grand ou de très petit)

S'il est possible de construire des équations décrivant le système étudié, cela ne signifie pas qu'elles peuvent être résolues même à l'aide d'un ordinateur. Une technique courante dans ce cas est l’utilisation d’approximations (modèles de type 3). Parmi eux modèles de réponse linéaire. Les équations sont remplacées par des équations linéaires. Un exemple standard est la loi d'Ohm.

Voici le type 8, très répandu dans les modèles mathématiques des systèmes biologiques.

Tapez 8 : Démonstration des fonctionnalités (l'essentiel est de montrer la cohérence interne de la possibilité)

Ce sont aussi des expériences de pensée avec des entités imaginaires, démontrant que phénomène supposé cohérent avec les principes de base et cohérent en interne. C’est la principale différence avec les modèles de type 7, qui révèlent des contradictions cachées.

L’une des plus célèbres de ces expériences est la géométrie de Lobatchevski (Lobatchevski l’appelait « géométrie imaginaire »). Un autre exemple est la production en masse de modèles formellement cinétiques de vibrations chimiques et biologiques, d'ondes automatiques, etc. Le paradoxe d'Einstein-Podolsky-Rosen a été conçu comme un modèle de type 7 pour démontrer l'incohérence de la mécanique quantique. D'une manière totalement imprévue, il s'est finalement transformé en un modèle de type 8 - une démonstration de la possibilité de téléportation quantique de l'information.

Exemple

Considérons un système mécanique constitué d'un ressort fixé à une extrémité et d'une masse de masse m fixé à l'extrémité libre du ressort. Nous supposerons que la charge ne peut se déplacer que dans la direction de l'axe du ressort (par exemple, le mouvement se produit le long de la tige). Construisons un modèle mathématique de ce système. Nous décrirons l'état du système par la distance X du centre de la charge à sa position d'équilibre. Décrivons l'interaction du ressort et de la charge en utilisant la loi de Hooke (F = − kX ) puis utilisez la deuxième loi de Newton pour l'exprimer sous la forme d'une équation différentielle :

où signifie la dérivée seconde de X par heure: .

L'équation résultante décrit le modèle mathématique du système physique considéré. Ce modèle est appelé « oscillateur harmonique ».

Selon la classification formelle, ce modèle est linéaire, déterministe, dynamique, concentré, continu. Au cours de sa construction, nous avons fait de nombreuses hypothèses (sur l'absence de forces extérieures, l'absence de frottement, la petitesse des écarts, etc.), qui en réalité pourraient ne pas se réaliser.

Par rapport à la réalité, il s'agit le plus souvent d'un modèle de type 4 simplification(« nous omettrons certains détails pour plus de clarté »), puisque certaines caractéristiques universelles essentielles (par exemple la dissipation) sont omises. Avec une certaine approximation (par exemple, alors que l'écart de la charge par rapport à l'équilibre est faible, avec un faible frottement, pendant pas trop de temps et sous réserve de certaines autres conditions), un tel modèle décrit assez bien un système mécanique réel, puisque les facteurs écartés ont un effet négligeable sur son comportement. Toutefois, le modèle peut être affiné en prenant en compte certains de ces facteurs. Cela conduira à un nouveau modèle, avec un champ d’applicabilité plus large (bien que là encore limité).

Cependant, lors du raffinement du modèle, la complexité de sa recherche mathématique peut augmenter considérablement et rendre le modèle pratiquement inutile. Souvent, un modèle plus simple permet une exploration meilleure et plus approfondie d’un système réel qu’un modèle plus complexe (et, formellement, « plus correct »).

Si nous appliquons le modèle de l’oscillateur harmonique à des objets éloignés de la physique, son statut substantiel peut être différent. Par exemple, lors de l'application de ce modèle aux populations biologiques, il devrait très probablement être classé dans le type 6. analogie(« ne prenons en compte que quelques fonctionnalités »).

Modèles durs et mous

L'oscillateur harmonique est un exemple du modèle dit « dur ». Il est obtenu grâce à une forte idéalisation d’un système physique réel. Pour résoudre la question de son applicabilité, il est nécessaire de comprendre l'importance des facteurs que nous avons négligés. En d’autres termes, il est nécessaire d’étudier le modèle « doux », qui est obtenu par une petite perturbation du modèle « dur ». Elle peut être donnée par exemple par l'équation suivante :

Voici une fonction qui peut prendre en compte la force de frottement ou la dépendance du coefficient de rigidité du ressort sur le degré de son étirement - un petit paramètre. Forme de fonction explicite F Nous ne sommes pas intéressés pour le moment. Si nous prouvons que le comportement du modèle souple n’est pas fondamentalement différent de celui du modèle dur (quel que soit le type explicite de facteurs perturbateurs, s’ils sont suffisamment petits), le problème se réduira à l’étude du modèle dur. Dans le cas contraire, l'application des résultats obtenus lors de l'étude du modèle rigide nécessitera des recherches supplémentaires. Par exemple, la solution de l'équation d'un oscillateur harmonique est constituée de fonctions de la forme , c'est-à-dire des oscillations d'amplitude constante. S'ensuit-il qu'un oscillateur réel oscillera indéfiniment avec une amplitude constante ? Non, car en considérant un système avec un frottement arbitrairement faible (toujours présent dans un système réel), on obtient des oscillations amorties. Le comportement du système a changé qualitativement.

Si un système conserve son comportement qualitatif malgré de petites perturbations, on dit qu’il est structurellement stable. Un oscillateur harmonique est un exemple de système structurellement instable (non rugueux). Cependant, ce modèle peut être utilisé pour étudier des processus sur des périodes de temps limitées.

Polyvalence des modèles

Les modèles mathématiques les plus importants ont généralement la propriété importante Polyvalence: Des phénomènes réels fondamentalement différents peuvent être décrits par le même modèle mathématique. Par exemple, un oscillateur harmonique décrit non seulement le comportement d'une charge sur un ressort, mais également d'autres processus oscillatoires, souvent de nature complètement différente : petites oscillations d'un pendule, fluctuations du niveau d'un liquide dans U en forme de récipient ou un changement dans l'intensité du courant dans un circuit oscillant. Ainsi, en étudiant un modèle mathématique, on étudie immédiatement toute une classe de phénomènes qu'il décrit. C'est cet isomorphisme des lois exprimées par les modèles mathématiques dans divers segments de la connaissance scientifique qui a inspiré Ludwig von Bertalanffy pour créer la « Théorie générale des systèmes ».

Problèmes directs et inverses de modélisation mathématique

De nombreux problèmes sont associés à la modélisation mathématique. Il faut d'abord dresser un schéma de base de l'objet modélisé, le reproduire dans le cadre des idéalisations de cette science. Ainsi, un wagon se transforme en un système de plaques et de corps plus complexes constitués de différents matériaux, chaque matériau est spécifié comme son idéalisation mécanique standard (densité, modules élastiques, caractéristiques de résistance standard), après quoi des équations sont établies, et en cours de route certains détails sont écartés car sans importance, des calculs sont effectués, comparés aux mesures, le modèle est affiné, etc. Cependant, pour développer des technologies de modélisation mathématique, il est utile de démonter ce processus en ses principales composantes.

Traditionnellement, il existe deux grandes classes de problèmes associés aux modèles mathématiques : directs et inverses.

Tâche directe: la structure du modèle et tous ses paramètres sont considérés comme connus, la tâche principale est de mener une étude du modèle pour en extraire des connaissances utiles sur l'objet. Quelle charge statique le pont résistera-t-il ? Comment il réagira à une charge dynamique (par exemple, à la marche d'une compagnie de soldats ou au passage d'un train à différentes vitesses), comment l'avion franchira le mur du son, s'il s'effondrera à cause du flottement - ce sont des exemples typiques d’un problème direct. Définir le bon problème direct (poser la bonne question) nécessite des compétences particulières. Si les bonnes questions ne sont pas posées, un pont peut s’effondrer, même si un bon modèle de comportement a été construit. Ainsi, en 1879, un pont métallique sur la rivière Tay s'est effondré en Angleterre, dont les concepteurs ont construit un modèle du pont, l'ont calculé pour avoir un facteur de sécurité de 20 fois pour l'action de la charge utile, mais ont constamment oublié les vents. souffle dans ces endroits. Et au bout d’un an et demi, il s’est effondré.

Dans le cas le plus simple (une équation d’oscillateur par exemple), le problème direct est très simple et se réduit à une solution explicite de cette équation.

Problème inverse: de nombreux modèles possibles sont connus, un modèle spécifique doit être sélectionné en fonction de données supplémentaires sur l'objet. Le plus souvent, la structure du modèle est connue et certains paramètres inconnus doivent être déterminés. Les informations supplémentaires peuvent consister en des données empiriques supplémentaires ou en des exigences pour l'objet ( problème de conception). Des données supplémentaires peuvent arriver quel que soit le processus de résolution du problème inverse ( observation passive) ou être le résultat d'une expérimentation spécialement planifiée lors de la solution ( surveillance active).

L'un des premiers exemples d'une solution magistrale à un problème inverse avec l'utilisation la plus complète des données disponibles a été la méthode construite par I. Newton pour reconstruire les forces de frottement à partir des oscillations amorties observées.

Exemples supplémentaires

Où X s- la taille de la population « d'équilibre », à laquelle le taux de natalité est exactement compensé par le taux de mortalité. La taille de la population dans un tel modèle tend vers une valeur d'équilibre X s, et ce comportement est structurellement stable.

Ce système a un état d’équilibre lorsque le nombre de lapins et de renards est constant. Un écart par rapport à cet état entraîne des fluctuations du nombre de lapins et de renards, similaires aux fluctuations d'un oscillateur harmonique. Comme pour l'oscillateur harmonique, ce comportement n'est pas structurellement stable : un petit changement dans le modèle (par exemple, prise en compte des ressources limitées nécessaires aux lapins) peut conduire à un changement qualitatif du comportement. Par exemple, l’état d’équilibre peut devenir stable et les fluctuations des nombres s’atténueront. La situation inverse est également possible, lorsque tout petit écart par rapport à la position d'équilibre entraînera des conséquences catastrophiques, pouvant aller jusqu'à l'extinction complète de l'une des espèces. Le modèle Volterra-Lotka ne répond pas à la question de savoir lequel de ces scénarios est réalisé : des recherches supplémentaires sont ici nécessaires.

Remarques

1. « Une représentation mathématique de la réalité » (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., Sur les questions philosophiques de la modélisation cybernétique. M., Connaissance, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modélisation des systèmes : Proc. pour les universités - 3e éd., révisée. et supplémentaire - M. : Plus haut. école, 2001. - 343 p. ISBN5-06-003860-2
4. Samarsky A.A., Mikhailov A.P. Modélisation mathématique. Des idées. Méthodes. Exemples. . - 2e éd., révisée. - M. : Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Éléments de théorie des modèles mathématiques. - 3e éd., rév. - M. : KomKniga, 2007. - 192 avec ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wiktionnaire : modèle mathématique
7. FalaisesNotes
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, série Complexity, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN3-540-35885-4
9. « Une théorie est considérée comme linéaire ou non linéaire selon le type d'appareil mathématique – linéaire ou non linéaire – et le type de modèles mathématiques linéaires ou non linéaires qu'il utilise. ...sans nier ce dernier. Un physicien moderne, s’il devait recréer la définition d’une entité aussi importante que la non-linéarité, agirait très probablement différemment et, donnant la préférence à la non-linéarité comme la plus importante et la plus répandue des deux opposés, définirait la linéarité comme « non non-linéarité. » Danilov Yu. A., Cours sur la dynamique non linéaire. Introduction élémentaire. Série « Synergies : du passé au futur ». Édition 2. - M. : URSS, 2006. - 208 p. ISBN5-484-00183-8
10. « Les systèmes dynamiques modélisés par un nombre fini d'équations différentielles ordinaires sont appelés systèmes concentrés ou ponctuels. Ils sont décrits à l'aide d'un espace de phase de dimension finie et sont caractérisés par un nombre fini de degrés de liberté. Le même système dans des conditions différentes peut être considéré comme concentré ou distribué. Les modèles mathématiques de systèmes distribués sont des équations aux dérivées partielles, des équations intégrales ou des équations à retard ordinaires. Le nombre de degrés de liberté d’un système distribué est infini et un nombre infini de données sont nécessaires pour déterminer son état. Anishchenko V. S., Systèmes dynamiques, revue pédagogique Soros, 1997, n° 11, p. 77-84.
11. « Selon la nature des processus étudiés dans le système S, tous les types de modélisation peuvent être divisés en déterministe et stochastique, statique et dynamique, discrète, continue et discrète-continue. La modélisation déterministe reflète des processus déterministes, c'est-à-dire des processus dans lesquels l'absence de toute influence aléatoire est supposée ; la modélisation stochastique décrit des processus et des événements probabilistes. ... La modélisation statique sert à décrire le comportement d'un objet à tout moment, et la modélisation dynamique reflète le comportement d'un objet au fil du temps. La modélisation discrète est utilisée pour décrire des processus supposés discrets, respectivement, la modélisation continue nous permet de refléter les processus continus dans les systèmes, et la modélisation discrète-continue est utilisée dans les cas où l'on souhaite mettre en évidence la présence de processus discrets et continus. » Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modélisation des systèmes : Proc. pour les universités - 3e éd., révisée. et supplémentaire - M. : Plus haut. école, 2001. - 343 p. ISBN5-06-003860-2
12. Typiquement, un modèle mathématique reflète la structure (dispositif) de l'objet modélisé, les propriétés et les relations des composants de cet objet qui sont essentielles aux fins de la recherche ; un tel modèle est appelé structurel. Si le modèle reflète uniquement le fonctionnement de l'objet - par exemple, comment il réagit aux influences extérieures - alors il est appelé fonctionnel ou, au sens figuré, une boîte noire. Des modèles combinés sont également possibles. Myshkis A.D., Éléments de théorie des modèles mathématiques. - 3e éd., rév. - M. : KomKniga, 2007. - 192 avec ISBN 978-5-484-00953-4
13. « L'étape initiale évidente, mais la plus importante de la construction ou de la sélection d'un modèle mathématique consiste à obtenir une image aussi claire que possible de l'objet modélisé et à affiner son modèle significatif, sur la base de discussions informelles. Vous ne devriez pas perdre de temps ni d'efforts à ce stade, le succès de l'ensemble de l'étude en dépend en grande partie. Il est arrivé plus d’une fois qu’un travail important consacré à la résolution d’un problème mathématique se révèle inefficace, voire inutile, en raison d’une attention insuffisante portée à cet aspect du problème. Myshkis A.D., Éléments de théorie des modèles mathématiques. - 3e éd., rév. - M. : KomKniga, 2007. - 192 avec ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
14. « Description du modèle conceptuel du système.À cette sous-étape de construction d'un modèle de système : a) le modèle conceptuel M est décrit en termes et concepts abstraits ; b) une description du modèle est donnée à l'aide de schémas mathématiques standard ; c) les hypothèses et hypothèses sont finalement acceptées ; d) le choix de la procédure d'approximation des processus réels lors de la construction d'un modèle est justifié. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modélisation des systèmes : Proc. pour les universités - 3e éd., révisée. et supplémentaire - M. : Plus haut. école, 2001. - 343 p. ISBN5-06-003860-2, p. 93.

L'ordinateur est fermement entré dans nos vies et il n'y a pratiquement aucun domaine de l'activité humaine où un ordinateur n'est pas utilisé. Les ordinateurs sont désormais largement utilisés dans le processus de création et de recherche de nouvelles machines, de nouveaux processus technologiques et dans la recherche de leurs options optimales ; lors de la résolution de problèmes économiques, lors de la résolution de problèmes de planification et de gestion de la production à différents niveaux. La création de grands objets dans la technologie des fusées, la construction aéronautique, la construction navale, ainsi que la conception de barrages, de ponts, etc. sont généralement impossibles sans l'utilisation d'ordinateurs.

Pour utiliser un ordinateur pour résoudre des problèmes appliqués, tout d'abord, le problème appliqué doit être « traduit » dans un langage mathématique formel, c'est-à-dire pour un objet, un processus ou un système réel, son modèle mathématique doit être construit.

Le mot « Modèle » vient du latin modus (copie, image, contour). La modélisation est le remplacement d'un objet A par un autre objet B. L'objet remplacé A est appelé objet d'origine ou objet de modélisation, et le remplacement B est appelé modèle. En d’autres termes, un modèle est un objet de substitution à l’objet original, qui permet d’étudier certaines propriétés de l’original.

Le but de la modélisation est d'obtenir, de traiter, de présenter et d'utiliser des informations sur les objets qui interagissent entre eux et avec l'environnement extérieur ; et le modèle agit ici comme un moyen de comprendre les propriétés et les modèles de comportement d'un objet.

La modélisation mathématique est un moyen d'étudier un objet, un processus ou un système réel en les remplaçant par un modèle mathématique plus pratique pour la recherche expérimentale utilisant un ordinateur.

La modélisation mathématique est le processus de construction et d'étude de modèles mathématiques de processus et de phénomènes réels. Toutes les sciences naturelles et sociales qui utilisent des appareils mathématiques sont essentiellement engagées dans la modélisation mathématique : elles remplacent un objet réel par son modèle puis étudient ce dernier. Comme pour toute modélisation, un modèle mathématique ne décrit pas complètement le phénomène étudié, et les questions sur l'applicabilité des résultats ainsi obtenus sont très significatives. Un modèle mathématique est une description simplifiée de la réalité utilisant des concepts mathématiques.

Un modèle mathématique exprime les caractéristiques essentielles d'un objet ou d'un processus dans le langage des équations et d'autres outils mathématiques. En fait, les mathématiques elles-mêmes doivent leur existence à ce qu’elles tentent de refléter, c’est-à-dire modélisez, dans votre propre langage spécifique, les modèles du monde environnant.

À modélisation mathématique l'étude d'un objet s'effectue à travers un modèle formulé dans le langage mathématique à l'aide de certaines méthodes mathématiques.

Le chemin de la modélisation mathématique à notre époque est bien plus complet que la modélisation à grande échelle. L'avènement des ordinateurs a donné une impulsion considérable au développement de la modélisation mathématique, bien que la méthode elle-même soit née en même temps que les mathématiques il y a des milliers d'années.

La modélisation mathématique en tant que telle ne nécessite pas toujours un support informatique. Chaque spécialiste professionnellement impliqué dans la modélisation mathématique met tout en œuvre pour étudier analytiquement le modèle. Les solutions analytiques (c'est-à-dire présentées par des formules exprimant les résultats de l'étude à travers les données originales) sont généralement plus pratiques et plus informatives que les solutions numériques. Les capacités des méthodes analytiques pour résoudre des problèmes mathématiques complexes sont cependant très limitées et, en règle générale, ces méthodes sont beaucoup plus complexes que les méthodes numériques.

Un modèle mathématique est une représentation approximative d'objets, de processus ou de systèmes réels, exprimés en termes mathématiques et préservant les caractéristiques essentielles de l'original. Les modèles mathématiques sous forme quantitative, utilisant des constructions logiques et mathématiques, décrivent les propriétés de base d'un objet, d'un processus ou d'un système, ses paramètres, ses connexions internes et externes.

Tous les modèles peuvent être divisés en deux classes :

1. réel,
2. parfait.

À leur tour, les modèles réels peuvent être divisés en :

1. grandeur nature,
2. physique,
3. mathématique.

Les modèles idéaux peuvent être divisés en :

1. visuel,
2. iconique,
3. mathématique.

Les vrais modèles grandeur nature sont des objets, des processus et des systèmes réels sur lesquels sont réalisées des expériences scientifiques, techniques et industrielles.

Les modèles physiques réels sont des modèles, des mannequins qui reproduisent les propriétés physiques des originaux (modèles cinématiques, dynamiques, hydrauliques, thermiques, électriques, lumineux).

Les vrais modèles mathématiques sont les modèles analogiques, structurels, géométriques, graphiques, numériques et cybernétiques.

Les modèles visuels idéaux sont les diagrammes, les cartes, les dessins, les graphiques, les graphiques, les analogues, les modèles structurels et géométriques.

Les modèles de signes idéaux sont les symboles, l'alphabet, les langages de programmation, la notation ordonnée, la notation topologique et la représentation en réseau.

Les modèles mathématiques idéaux sont les modèles analytiques, fonctionnels, de simulation et combinés.

Dans la classification ci-dessus, certains modèles ont une double interprétation (par exemple analogique). Tous les modèles, à l'exception de ceux à grande échelle, peuvent être combinés en une seule classe de modèles mentaux, car ils sont le produit de la pensée abstraite humaine.

Éléments de théorie des jeux

Dans le cas général, résoudre un jeu est un problème assez difficile, et la complexité du problème et la quantité de calculs nécessaires pour le résoudre augmentent fortement avec l'augmentation de . Cependant, ces difficultés ne sont pas fondamentales et ne sont liées qu'à un très grand volume de calculs, qui dans certains cas peuvent s'avérer pratiquement impossibles. L'aspect principal de la méthode de recherche d'une solution demeure pour tout le même.

Illustrons cela avec l'exemple d'un jeu. Donnons-lui une interprétation géométrique, déjà spatiale. Nos trois stratégies seront représentées par trois points sur le plan ; le premier se situe à l’origine (Fig. 1). le deuxième et le troisième - sur les axes Oh Et UOà des distances 1 depuis le début.

Les axes I-I, II-II et III-III passent par les points, perpendiculaires au plan . Sur l’axe I-I se trouvent les gains de la stratégie ; sur les axes II-II et III-III se trouvent les gains des stratégies. Chaque stratégie ennemie sera représenté par un plan coupant sur les axes I-I, II-II et III-III, des segments égaux aux gains

avec une stratégie et une stratégie appropriées . Ayant ainsi construit toutes les stratégies ennemies, on obtient une famille d’avions sur le triangle (Fig. 2).

Pour cette famille, vous pouvez également construire une borne inférieure pour le gain, comme nous l'avons fait dans le cas présent, et trouver sur cette frontière le point N ayant la hauteur maximale sur le plan . Cette hauteur sera le prix du jeu.

Les fréquences des stratégies dans la stratégie optimale seront déterminées par les coordonnées (x, y) les points N, à savoir :

Cependant, une telle construction géométrique, même pour un cas, n'est pas facile à mettre en œuvre et demande beaucoup de temps et d'efforts d'imagination. Dans le cas général du jeu, il est transféré dans l'espace à dimensions et perd toute clarté, bien que l'utilisation de la terminologie géométrique dans un certain nombre de cas puisse être utile. Lors de la résolution de jeux dans la pratique, il est plus pratique d'utiliser non pas des analogies géométriques, mais des méthodes analytiques calculées, d'autant plus que ces méthodes sont les seules adaptées à la résolution du problème sur ordinateur.

Toutes ces méthodes se résument essentiellement à résoudre un problème par des essais successifs, mais ordonner la séquence d'essais vous permet de construire un algorithme qui mène à une solution de la manière la plus économique.

Ici, nous examinerons brièvement une méthode de calcul pour résoudre des jeux - en utilisant la méthode dite de programmation linéaire.

Pour ce faire, nous donnons d’abord une formulation générale du problème de trouver une solution au jeu. Qu'un jeu soit donné avec T stratégies des joueurs UN Et n stratégies des joueurs DANS et la matrice de paiement est donnée

Il faut trouver une solution au jeu, c'est-à-dire deux stratégies mixtes optimales des joueurs A et B

où (certains nombres et peuvent être égaux à zéro).

Notre stratégie optimale S*A devrait nous fournir un gain d'au moins , pour tout comportement de l'ennemi, et un gain égal à , pour son comportement optimal (stratégie S*B).Stratégie similaire S*B devrait fournir à l'ennemi une perte ne dépassant pas , pour chacun de nos comportements et égale pour notre comportement optimal (stratégie S*A).

La valeur du jeu dans ce cas nous est inconnue ; nous supposerons qu'il est égal à un nombre positif. En croyant ainsi, nous ne violons pas la généralité du raisonnement ; Pour qu'il soit > 0, il suffit évidemment que tous les éléments de la matrice soient non négatifs. Ceci peut toujours être réalisé en ajoutant une valeur positive L suffisamment grande aux éléments ; dans ce cas, le prix du jeu augmentera de L, mais la solution ne changera pas.

Choisissons notre stratégie optimale S*A. Alors notre gain moyen selon la stratégie de l’adversaire sera égal à :

Notre stratégie optimale S*A a la propriété que, pour tout comportement de l'ennemi, il procure au moins un gain ; par conséquent, aucun des nombres ne peut être inférieur à . Nous obtenons un certain nombre de conditions :

(1)

Divisons les inégalités (1) par une valeur positive et notons :

Alors la condition (1) s’écrira

(2)

où sont des nombres non négatifs. Parce que les quantités satisfont à la condition

Nous voulons que nos gains garantis soient aussi élevés que possible ; Évidemment, dans ce cas, le côté droit de l'égalité (3) prend une valeur minimale.

Ainsi, le problème de trouver une solution au jeu se résume au problème mathématique suivant : déterminer des quantités non négatives , satisfaisant les conditions (2), de sorte que leur somme

était minime.

Habituellement, lors de la résolution de problèmes liés à la recherche de valeurs extrêmes (maximas et minima), la fonction est différenciée et les dérivées sont fixées à zéro. Mais une telle technique est inutile dans ce cas, puisque la fonction Ф, qui besoin de minimiser, est linéaire et ses dérivées par rapport à tous les arguments sont égales à un, c'est-à-dire qu'elles ne disparaissent nulle part. Par conséquent, le maximum de la fonction est atteint quelque part à la limite de la plage de changements dans les arguments, qui est déterminée par l'exigence de non-négativité des arguments et des conditions (2). La technique de recherche de valeurs extrêmes par différenciation est également inadaptée dans les cas où le maximum de la limite inférieure (ou le minimum de la limite supérieure) des gains est déterminé pour résoudre le jeu, comme nous l'avons fait. par exemple, ils l'ont fait lors de la résolution de jeux. En effet, la borne inférieure est constituée de sections de droites, et le maximum n'est pas atteint au point où la dérivée est égale à zéro (un tel point n'existe pas du tout), mais à la limite de l'intervalle ou au point d'intersection de sections droites.

Pour résoudre de tels problèmes, assez souvent rencontrés dans la pratique, un appareil spécial a été développé en mathématiques programmation linéaire.

Le problème de programmation linéaire est formulé comme suit.

Étant donné un système d'équations linéaires :

(4)

Il est nécessaire de trouver des valeurs non négatives de quantités qui satisfont aux conditions (4) et en même temps de minimiser la fonction linéaire homogène donnée des quantités (forme linéaire) :

Il est facile de voir que le problème de théorie des jeux posé ci-dessus est un cas particulier de problème de programmation linéaire avec

À première vue, il peut sembler que les conditions (2) ne sont pas équivalentes aux conditions (4), puisqu'au lieu de signes égaux, elles contiennent des signes d'inégalité. Cependant, il est facile de se débarrasser des signes d'inégalité en introduisant de nouvelles variables factices non négatives et en écrivant les conditions (2) sous la forme :

(5)

La forme Φ qui doit être minimisée est égale à

L'appareil de programmation linéaire permet de sélectionner des valeurs à l'aide d'un nombre relativement faible d'échantillons successifs , satisfaisant aux exigences énoncées. Pour plus de clarté, nous démontrerons ici l'utilisation de cet appareil directement sur le matériel de résolution de jeux spécifiques.

PRÉFACE

L'objectif du cours de modélisation des systèmes de levage et de transport est d'enseigner les bases de la modélisation des machines de levage et de transport (HTM), qui comprennent la compilation de modèles mathématiques de HTM, la mise en œuvre logicielle des modèles sur un ordinateur, ainsi que l'obtention, le traitement et analyse des résultats de la modélisation.

Pour une familiarisation indépendante avec les questions énumérées, la littérature suivante est recommandée : Braude V.I., Ter-Mkhitarov M.S. « Méthodes système de calcul des machines de levage », Ignatiev N.B., Ilyevsky B.Z., Klaus L.P. « Systèmes de machines à modéliser », Rachkov E.V., Silikov Yu. V. « Machines et mécanismes de levage et de transport », ainsi que des ouvrages de référence et des tutoriels sur les méthodes numériques des mathématiques computationnelles et l'utilisation de l'éditeur mathématique MathCad.

§1. PRINCIPAUX OBJECTIFS, DÉFINITIONS ET PRINCIPES DE LA MODÉLISATION MATHÉMATIQUE, TYPES DE MODÈLES

1.1 Définitions de base

La modélisation est une méthode théorique et expérimentale de l'activité cognitive, c'est une méthode d'étude et d'explication des phénomènes, processus et systèmes (objets originaux) basée sur la création de nouveaux objets - modèles.

La modélisation est le remplacement de l'objet étudié (original) par son image conventionnelle ou un autre objet (modèle) et l'étude des propriétés de l'original en étudiant les propriétés du modèle.

Selon la méthode de mise en œuvre, tous les modèles peuvent être divisés en 4 groupes : physiques, mathématiques, matières-mathématiques et combinés [, ].

Un modèle physique est une véritable incarnation des propriétés de l'original qui intéressent le chercheur. Les modèles physiques sont également appelés mises en page, la modélisation physique est donc appelée prototypage.

Un modèle mathématique est une description formalisée d'un système (ou d'un processus) utilisant un langage abstrait (mathématiquement), par exemple sous forme de graphiques, d'équations, d'algorithmes, de correspondances mathématiques, etc.

Les modèles mathématiques-sujets sont analogiques, c'est-à-dire dans ce cas, pour la modélisation, le principe de la même description mathématique des processus, réels et se produisant dans le modèle, est utilisé.

Les modèles combinés sont une combinaison d'un modèle mathématique ou sujet-mathématique et physique. Ils sont utilisés lorsque la description mathématique d'un des éléments du système étudié est inconnue ou difficile, et aussi, selon les conditions de modélisation, il est nécessaire d'introduire un modèle physique (par exemple un simulateur) comme élément.

La modélisation mathématique est le remplacement de l'original par un modèle mathématique et l'étude des propriétés de l'original à l'aide de ce modèle.

Un système est une combinaison de plusieurs objets (éléments) interconnectés, formant une certaine intégrité.

Un élément est une partie relativement indépendante du système, considérée à ce niveau d'analyse comme un tout, destinée à mettre en œuvre une certaine fonction.

Le système a ce qui suit, appelé "propriétés du système:

structure, c'est-à-dire un ordre strictement défini de combinaison d'éléments en groupes ;

la finalité ou la fonctionnalité, c'est-à-dire la présence d'un objectif pour lequel le système a été créé ;

l'efficacité, la capacité d'atteindre les objectifs avec le moins de dépenses possible ;

stabilité, la capacité de maintenir les caractéristiques de ses propriétés inchangées dans certaines limites lorsque les conditions extérieures changent.

Actuellement, en technologie, le concept de « système homme-machine » (HMS) est utilisé pour étudier le fonctionnement des complexes de machines et des machines, c'est-à-dire système mixte dont fait partie intégrante, avec les objets techniques, l'opérateur humain [, ]. De plus, HMS interagit avec l’environnement. Ainsi, pour modéliser le PTS, il faut considérer le système Homme-Machine-Environnement, qui peut être visualisé par le graphique suivant (Fig. 1).

R.
est. 1 Graphique du système Homme-Machine-Environnement.

Les flèches sur le graphique représentent les flux d'énergie, de matière et d'informations échangés entre les éléments du système.

Les processus se produisant dans les systèmes techniques sont constitués d'un ensemble d'opérations simples. Les opérations sont des transformations de grandeurs physiques d'entrée en grandeurs de sortie dans un élément de bas niveau du système (Fig. 2).

Dans chaque élément du système (E i), la transformation des influences d'entrée (X i) en influences de sortie (Y i) se produit, et les influences de sortie d'un élément peuvent être l'entrée du suivant. La connexion des éléments dans un schéma structurel selon la nature du transfert d'influences s'effectue de manière séquentielle ou en parallèle.

Riz. 2 Schéma fonctionnel du système.

Les systèmes de levage et de transport (HTS), étudiés dans ce cours, seront appelés systèmes incluant une personne, l'environnement et des machines de levage et de transport (HTM).

Les PTM sont des machines conçues pour déplacer des marchandises sur des distances relativement courtes sans les traiter. Les PTM sont utilisés pour faciliter, accélérer et augmenter l’efficacité des opérations de rechargement.

1.2 Principes et types de modélisation mathématique

Les modèles mathématiques doivent avoir les propriétés suivantes :

adéquation, propriété de correspondance entre le modèle et l'objet de recherche ;

fiabilité, garantissant la probabilité spécifiée que les résultats de la modélisation tombent dans l'intervalle de confiance,

précision, écart insignifiant (dans l'erreur tolérée) entre les résultats de la simulation et les indicateurs d'objets réels (processus) ;

stabilité, propriété de correspondance de petits changements dans les paramètres de sortie avec de petits changements dans les paramètres d'entrée ;

l'efficacité, la capacité d'atteindre un objectif avec une faible dépense de ressources ;

l'adaptabilité, la capacité de s'adapter facilement pour résoudre divers problèmes.

Pour obtenir ces propriétés, il existe quelques principes (règles) de modélisation mathématique, dont un certain nombre sont indiqués ci-dessous.

Le principe de détermination est que le modèle doit garantir la réalisation d'objectifs strictement définis et, tout d'abord, refléter les propriétés de l'original qui sont nécessaires pour atteindre l'objectif.

Le principe de suffisance de l’information consiste à limiter la quantité d'informations sur un objet lors de la création de son modèle et à rechercher l'optimum entre les informations d'entrée et les résultats de la modélisation. Cela peut être illustré par le schéma suivant.

Tous les cas de simulation possibles se trouvent dans la colonne 2.

Principe de faisabilité est que le modèle doit assurer l’atteinte de l’objectif fixé avec une probabilité proche de 1 et dans un temps fini. Ce principe peut s'exprimer en deux termes

Et
, (1)

Où
- probabilité d'atteindre l'objectif, - temps pour atteindre l'objectif,
et - des valeurs acceptables de la probabilité et du temps d'atteindre l'objectif.

Principe d'agrégation est que le modèle doit être constitué de sous-systèmes de 1er niveau, qui, à leur tour, sont constitués de sous-systèmes de 2e niveau, etc. Les sous-systèmes doivent être conçus comme des blocs indépendants distincts. Une telle construction de modèle permet l'utilisation de procédures de calcul standard et facilite également l'adaptation du modèle pour résoudre divers problèmes.

Principe de paramétrage consiste à remplacer, lors de la modélisation, certains paramètres des sous-systèmes décrits par des fonctions correspondant à des caractéristiques numériques.

Le processus de modélisation utilisant ces règles comprend les 5 étapes (étapes) suivantes.

Définir les objectifs de modélisation.

Développement d'un modèle conceptuel (schéma de calcul).

Formalisation.

Mise en œuvre du modèle.

Analyse et interprétation des résultats de simulation.

Des différences significatives dans la mise en œuvre des étapes 3 à 5 suggèrent deux approches pour construire un modèle.

Modélisation analytique est l'utilisation d'un modèle mathématique sous forme d'équations complété par un système de contraintes qui relient les variables d'entrée aux paramètres de sortie. La modélisation analytique est utilisée s'il existe une formulation complète du problème de recherche et qu'il est nécessaire d'obtenir un résultat final correspondant à celui-ci.

Modélisation par simulation est l'utilisation d'un modèle mathématique pour décrire le fonctionnement d'un système au fil du temps sous diverses combinaisons de paramètres du système et diverses influences externes. La modélisation par simulation est utilisée s'il n'y a pas de formulation finale du problème et qu'il est nécessaire d'étudier les processus se produisant dans le système. La modélisation par simulation suppose le respect d’une échelle de temps. Ceux. les événements sur le modèle se produisent à des intervalles de temps proportionnels aux événements sur l'original avec un coefficient de proportionnalité constant.

Sur la base de l'utilisation d'outils pour mettre en œuvre le modèle, un autre type de modélisation peut être distingué, la modélisation informatique. La modélisation informatique est une modélisation mathématique utilisant la technologie informatique.

1.3 Classification des modèles mathématiques

Tous les modèles mathématiques peuvent être divisés en plusieurs groupes selon les critères de classification suivants.

Selon le type de système modélisé, les modèles peuvent être statiques ou dynamiques. Les modèles statiques sont utilisés pour étudier les systèmes statiques, les modèles dynamiques sont utilisés pour étudier les systèmes dynamiques. Les systèmes dynamiques se caractérisent par plusieurs états qui changent au fil du temps.

Selon les objectifs de la modélisation, les modèles sont divisés en charge, gestion et fonctionnalité. Les modèles de charge sont utilisés pour déterminer les charges agissant sur les éléments du système, les modèles de gestion sont utilisés pour déterminer les paramètres cinématiques du système étudié, qui incluent les vitesses et les mouvements des éléments du système, les modèles fonctionnels sont utilisés pour déterminer les coordonnées du modèle dans l’espace des états fonctionnels possibles du système.

En fonction du degré de discrétisation, les modèles sont divisés en discrets, mixtes et continus. Les modèles discrets contiennent des éléments interconnectés dont les caractéristiques sont concentrées en points. Il peut s'agir de masses, de volumes, de forces et d'autres influences concentrées en des points. Les modèles de continuum contiennent des éléments dont les paramètres sont répartis sur la longueur, la surface ou le volume de l'élément entier. Les modèles mixtes contiennent des éléments des deux types.

Le modèle (du latin module - mesure) et la modélisation sont des concepts scientifiques généraux. La modélisation d'un point de vue scientifique général agit comme un moyen de cognition à travers la construction d'objets spéciaux, de systèmes - modèles des objets, phénomènes ou processus étudiés. Dans ce cas, l'un ou l'autre objet est appelé modèle lorsqu'il est utilisé pour obtenir des informations concernant un autre objet - un prototype du modèle.

La méthode de modélisation est utilisée dans pratiquement toutes les sciences sans exception et à toutes les étapes de la recherche scientifique. La puissance heuristique de cette méthode est déterminée par le fait qu'à l'aide de la méthode de modélisation il est possible de réduire l'étude du complexe au simple, à l'invisible et intangible, au visible et tangible, etc.

Lors de l'étude d'un objet (processus ou phénomène) à l'aide de la méthode de modélisation, nous pouvons sélectionner comme modèle les propriétés qui nous intéressent actuellement. L'étude scientifique de tout objet est toujours relative. Dans une étude spécifique, il est impossible de considérer un objet dans toute sa diversité. Par conséquent, un même objet peut avoir de nombreux modèles différents, et aucun d’entre eux ne peut être considéré comme le seul véritable modèle de cet objet.

Il est d’usage de distinguer quatre principaux propriétés des modèles:

· simplification par rapport à l'objet étudié ;

· capacité à refléter ou reproduire l'objet d'étude;

· la capacité de remplacer l'objet de recherche à certaines étapes de sa cognition ;

· la possibilité d'obtenir de nouvelles informations sur l'objet étudié.

L'étude de divers phénomènes ou processus par des méthodes mathématiques est réalisée à l'aide d'un modèle mathématique. Modèle mathématique est une description formalisée dans le langage mathématique de l’objet étudié. Une telle description formalisée peut être un système d'équations linéaires, non linéaires ou différentielles, un système d'inégalités, une intégrale définie, un polynôme à coefficients inconnus, etc. Le modèle mathématique doit couvrir les caractéristiques les plus importantes de l'objet étudié et refléter les liens entre eux.

Avant de créer un modèle mathématique d'un objet (processus ou phénomène), celui-ci est longuement étudié par diverses méthodes : observation, expériences spécialement organisées, analyse théorique, etc., c'est-à-dire que l'aspect qualitatif du phénomène est assez bien étudié , les relations dans lesquelles se situent les éléments de l'objet sont révélées. Ensuite, l'objet est simplifié et les plus essentielles sont distinguées par la variété de ses propriétés inhérentes. Si nécessaire, des hypothèses sont formulées sur les liens existants avec le monde extérieur.

Comme indiqué précédemment, tout modèle n’est pas identique au phénomène lui-même ; il ne fournit qu’une certaine approximation de la réalité. Mais le modèle énumère toutes les hypothèses qui le sous-tendent. Ces hypothèses peuvent être grossières et pourtant fournir une approximation tout à fait satisfaisante de la réalité. Plusieurs modèles, notamment mathématiques, peuvent être construits pour un même phénomène. Par exemple, vous pouvez décrire le mouvement des planètes du système solaire en utilisant :

8 Le modèle de Kepler, qui se compose de trois lois, dont des formules mathématiques (équation d'ellipse) ;

8 du modèle de Newton, qui consiste en une formule, mais néanmoins plus général et plus précis.

En optique, plusieurs modèles de lumière ont été considérés : corpusculaire, ondulatoire et électromagnétique. De nombreux modèles quantitatifs ont été dérivés pour eux. Chacun de ces modèles nécessitait sa propre approche mathématique et des outils mathématiques appropriés. L'optique corpusculaire utilisait les moyens de la géométrie euclidienne et arrivait à la conclusion des lois de réflexion et de réfraction de la lumière. Le modèle ondulatoire de la théorie de la lumière a nécessité de nouvelles idées mathématiques et, de manière purement informatique, de nouveaux faits liés aux phénomènes de diffraction et d'interférence de la lumière qui n'avaient pas été observés auparavant ont été découverts. L’optique géométrique, associée au modèle corpusculaire, s’est révélée ici impuissante.

Le modèle construit doit être tel qu'il puisse remplacer un objet (processus ou phénomène) dans la recherche et doit présenter des caractéristiques similaires avec celui-ci. La similarité est obtenue soit par une similarité de structure (isomorphisme), soit par une analogie de comportement ou de fonctionnement (isofonctionnalité). Sur la base de la similitude de la structure ou de la fonction du modèle et de la technologie originale et moderne, il teste, calcule et conçoit des systèmes, des machines et des structures complexes.

Comme mentionné ci-dessus, de nombreux modèles différents peuvent être construits pour le même objet, processus ou phénomène. Certains d’entre eux (pas nécessairement tous) peuvent être isomorphes. Par exemple, en géométrie analytique, une courbe dans un plan est utilisée comme modèle pour l'équation correspondante à deux variables. Dans ce cas, le modèle (courbe) et le prototype (équation) sont isomorphes aux systèmes (points situés sur la courbe et paires de nombres correspondantes satisfaisant l'équation),

Dans le livre « Mathematics Conducts an Experiment », l'académicien N.N. Moiseev écrit que tout modèle mathématique peut apparaître de trois manières :

· À la suite de l'étude et de la compréhension directe d'un objet (processus ou phénomène) (phénoménologique) (exemple - équations décrivant la dynamique de l'atmosphère, de l'océan),

· À la suite d'un processus de déduction, lorsqu'un nouveau modèle est obtenu comme cas particulier d'un modèle plus général (asymptomatique) (exemple - équations de l'hydrothermodynamique de l'atmosphère),

· À la suite d'un processus d'induction, lorsque le nouveau modèle est une généralisation naturelle de modèles « élémentaires » (modèle d'ensemble ou modèle généralisé).

Le processus de développement de modèles mathématiques comprend les éléments suivants étapes:

· formulation du problème ;

· détermination du but de la modélisation ;

· organiser et mener des recherches dans le domaine (recherche des propriétés d'un objet de modélisation) ;

· développement d'un modèle;

· vérifier son exactitude et sa conformité à la réalité ;

· utilisation pratique, c'est-à-dire transfert des connaissances obtenues à l'aide du modèle vers l'objet ou le processus étudié.

La modélisation comme moyen de comprendre les lois et les phénomènes de la nature acquiert une importance particulière dans l'étude d'objets qui ne sont pas entièrement accessibles à l'observation ou à l'expérimentation directe. Il s’agit également des systèmes sociaux, dont la seule manière possible d’étudier est souvent la modélisation.

Il n’existe pas de méthodes générales pour construire des modèles mathématiques. Dans chaque cas spécifique, il faut partir des données disponibles, de l'orientation cible, prendre en compte les objectifs de l'étude, et également équilibrer la précision et le détail du modèle. Il doit refléter les caractéristiques les plus importantes du phénomène, facteurs essentiels dont dépend principalement le succès de la modélisation.

Lors de l'élaboration de modèles, il est nécessaire de respecter les principes méthodologiques de base suivants pour modéliser les phénomènes sociaux :

· le principe de problématique, qui implique un passage non pas de modèles mathématiques « universels » prêts à l'emploi vers des problèmes, mais de problèmes réels et actuels - vers la recherche et le développement de modèles spéciaux ;

· le principe de systématicité, qui considère toutes les relations du phénomène modélisé en fonction des éléments du système et de son environnement ;

· le principe de variabilité dans la formalisation des processus de gestion associé à des différences spécifiques dans les lois de développement de la nature et de la société. Pour l'expliquer, il est nécessaire de révéler la différence fondamentale entre les modèles de processus sociaux et les modèles décrivant les phénomènes naturels.