Vecteurs linéairement dépendants et indépendants. Dépendance linéaire d'un système de vecteurs

Vecteurs, leurs propriétés et actions avec eux

Vecteurs, actions avec vecteurs, espace vectoriel linéaire.

Les vecteurs sont une collection ordonnée d’un nombre fini de nombres réels.

Actions: 1.Multiplier un vecteur par un nombre : lambda*vecteur x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)

2. Addition de vecteurs (appartenant au même espace vectoriel) vecteur x + vecteur y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vecteur 0 = (0,0…0) --- n E n – vecteur à n dimensions (espace linéaire) x + vecteur 0 = vecteur x

Théorème. Pour qu'un système de n vecteurs, un espace linéaire à n dimensions, soit linéairement dépendant, il est nécessaire et suffisant que l'un des vecteurs soit une combinaison linéaire des autres.

Théorème. Tout ensemble de n+ 1ers vecteurs d’un espace linéaire de phénomènes à n dimensions. linéairement dépendant.

Ajout de vecteurs, multiplication de vecteurs par des nombres. Soustraction de vecteurs.

La somme de deux vecteurs est un vecteur dirigé du début du vecteur vers la fin du vecteur, à condition que le début coïncide avec la fin du vecteur. Si les vecteurs sont donnés par leurs développements en vecteurs unitaires de base, alors lors de l'ajout de vecteurs, leurs coordonnées correspondantes sont ajoutées.

Considérons cela en utilisant l'exemple d'un système de coordonnées cartésiennes. Laisser

Montrons que

De la figure 3, il ressort clairement que

La somme d'un nombre fini de vecteurs peut être trouvée à l'aide de la règle des polygones (Fig. 4) : pour construire la somme d'un nombre fini de vecteurs, il suffit de combiner le début de chaque vecteur suivant avec la fin du précédent et construisons un vecteur reliant le début du premier vecteur à la fin du dernier.

Propriétés de l'opération d'addition vectorielle :

Dans ces expressions m, n sont des nombres.

La différence entre les vecteurs s'appelle un vecteur. Le deuxième terme est un vecteur opposé au vecteur en direction, mais qui lui est égal en longueur.

Ainsi, l'opération de soustraction de vecteurs est remplacée par une opération d'addition

Un vecteur dont le début est à l'origine et se termine au point A (x1, y1, z1) est appelé rayon vecteur du point A et est noté simplement. Puisque ses coordonnées coïncident avec les coordonnées du point A, son développement en vecteurs unitaires a la forme

Un vecteur qui commence au point A(x1, y1, z1) et se termine au point B(x2, y2, z2) peut s'écrire

où r 2 est le rayon vecteur du point B ; r 1 - rayon vecteur du point A.

Par conséquent, le développement du vecteur en vecteurs unitaires a la forme

Sa longueur est égale à la distance entre les points A et B

MULTIPLICATION

Ainsi dans le cas d'un problème plan, le produit d'un vecteur par a = (ax; ay) par le nombre b se trouve par la formule

une b = (hache b; ay b)

Exemple 1. Trouver le produit du vecteur a = (1; 2) par 3.

3 une = (3 1 ; 3 2) = (3 ; 6)

Ainsi, dans le cas d'un problème spatial, le produit du vecteur a = (ax ; ay ; az) par le nombre b se trouve par la formule

une b = (hache b; ay b; az b)

Exemple 1. Trouver le produit du vecteur a = (1; 2; -5) par 2.

2 une = (2 1 ; 2 2 ; 2 (-5)) = (2 ; 4 ; -10)

Produit scalaire des vecteurs et où est l'angle entre les vecteurs et ; si l'un ou l'autre, alors

De la définition du produit scalaire, il résulte que

où, par exemple, est la grandeur de la projection du vecteur sur la direction du vecteur.

Vecteur scalaire au carré :

Propriétés du produit scalaire :

Produit scalaire en coordonnées

Si Que

Angle entre les vecteurs

Angle entre vecteurs - l'angle entre les directions de ces vecteurs (le plus petit angle).

Produit croisé (Produit croisé de deux vecteurs.) - il s'agit d'un pseudovecteur perpendiculaire à un plan construit à partir de deux facteurs, qui est le résultat de l'opération binaire « multiplication vectorielle » sur des vecteurs dans l'espace euclidien tridimensionnel. Le produit n'est ni commutatif ni associatif (il est anticommutatif) et est différent du produit scalaire des vecteurs. Dans de nombreux problèmes d'ingénierie et de physique, vous devez être capable de construire un vecteur perpendiculaire à deux vecteurs existants - le produit vectoriel offre cette opportunité. Le produit vectoriel est utile pour "mesurer" la circularité des vecteurs - la longueur du produit vectoriel de deux vecteurs est égale au produit de leurs longueurs s'ils sont perpendiculaires, et diminue jusqu'à zéro si les vecteurs sont parallèles ou antiparallèles.

Le produit vectoriel est défini uniquement dans des espaces à trois et sept dimensions. Le résultat d'un produit vectoriel, comme d'un produit scalaire, dépend de la métrique de l'espace euclidien.

Contrairement à la formule de calcul des produits vectoriels scalaires à partir de coordonnées dans un système de coordonnées rectangulaires tridimensionnelles, la formule du produit vectoriel dépend de l'orientation du système de coordonnées rectangulaires ou, en d'autres termes, de sa « chiralité ».

Colinéarité des vecteurs.

Deux vecteurs non nuls (différents de 0) sont dits colinéaires s'ils se trouvent sur des droites parallèles ou sur la même droite. Un synonyme acceptable, mais non recommandé, est celui des vecteurs « parallèles ». Les vecteurs colinéaires peuvent être de direction identique (« codirectionnelle ») ou de direction opposée (dans ce dernier cas, ils sont parfois appelés « anticollinéaires » ou « antiparallèles »).

Produit mixte de vecteurs ( une, b, c)- produit scalaire du vecteur a et produit vectoriel des vecteurs b et c :

(une,b,c)=une ⋅(b ×c)

on l'appelle parfois le produit triple scalaire des vecteurs, apparemment parce que le résultat est un scalaire (plus précisément un pseudoscalaire).

Signification géométrique : Le module du produit mixte est numériquement égal au volume du parallélépipède formé par les vecteurs (abc) .

Propriétés

Un produit mixte est asymétrique par rapport à tous ses arguments : c'est-à-dire E. La réorganisation de deux facteurs quelconques modifie le signe du produit. Il s'ensuit que le Produit mixte dans le repère cartésien droit (dans une base orthonormée) est égal au déterminant d'une matrice composée de vecteurs et :

Le produit mixte dans le repère cartésien gauche (dans une base orthonormée) est égal au déterminant de la matrice composée de vecteurs et, pris avec un signe moins :

En particulier,

Si deux vecteurs sont parallèles, alors avec n'importe quel troisième vecteur, ils forment un produit mixte égal à zéro.

Si trois vecteurs sont linéairement dépendants (c'est-à-dire coplanaires, situés dans le même plan), alors leur produit mixte est égal à zéro.

Signification géométrique - Le produit mixte est égal en valeur absolue au volume du parallélépipède (voir figure) formé par les vecteurs et ; le signe dépend si ce triplet de vecteurs est droitier ou gaucher.

Coplanarité des vecteurs.

Trois vecteurs (ou plus) sont dits coplanaires s'ils, étant réduits à une origine commune, se trouvent dans le même plan

Propriétés de coplanarité

Si au moins un des trois vecteurs est nul, alors les trois vecteurs sont également considérés comme coplanaires.

Un triplet de vecteurs contenant une paire de vecteurs colinéaires est coplanaire.

Produit mixte de vecteurs coplanaires. C'est un critère de coplanarité de trois vecteurs.

Les vecteurs coplanaires sont linéairement dépendants. C'est aussi un critère de coplanarité.

Dans un espace tridimensionnel, 3 vecteurs non coplanaires forment une base

Vecteurs linéairement dépendants et linéairement indépendants.

Systèmes vectoriels linéairement dépendants et indépendants.Définition. Le système vectoriel s'appelle linéairement dépendant, s'il existe au moins une combinaison linéaire non triviale de ces vecteurs égale au vecteur zéro. Sinon, c'est à dire si seulement une combinaison linéaire triviale de vecteurs donnés est égale au vecteur nul, les vecteurs sont appelés linéairement indépendant.

Théorème (critère de dépendance linéaire). Pour qu’un système de vecteurs dans un espace linéaire soit linéairement dépendant, il faut et il suffit qu’au moins un de ces vecteurs soit une combinaison linéaire des autres.

1) Si parmi les vecteurs il y a au moins un vecteur nul, alors l'ensemble du système de vecteurs est linéairement dépendant.

En fait, si, par exemple, , alors, en supposant , nous avons une combinaison linéaire non triviale .▲

2) Si parmi les vecteurs certains forment un système linéairement dépendant, alors le système entier est linéairement dépendant.

En effet, supposons que les vecteurs , , soient linéairement dépendants. Cela signifie qu’il existe une combinaison linéaire non triviale égale au vecteur zéro. Mais alors, en supposant , nous obtenons également une combinaison linéaire non triviale égale au vecteur zéro.

2. Base et dimension. Définition. Système de vecteurs linéairement indépendants l'espace vectoriel est appelé base de cet espace si un vecteur de peut être représenté comme une combinaison linéaire de vecteurs de ce système, c'est-à-dire pour chaque vecteur il y a des nombres réels telle que l'égalité soit vraie. Cette égalité est appelée décomposition vectorielle selon la base, et les chiffres sont appelés coordonnées du vecteur par rapport à la base(ou dans la base) .

Théorème (sur l'unicité du développement par rapport à la base). Chaque vecteur dans l'espace peut être développé en une base de la seule manière, c'est-à-dire coordonnées de chaque vecteur dans la base sont déterminés sans ambiguïté.

Définition. Combinaison linéaire de vecteurs une 1 , ..., une n avec des coefficients x 1 , ..., x n est appelé un vecteur

x 1 une 1 + ... + x n une n .

banal, si tous les coefficients x 1 , ..., x n sont égaux à zéro.

Définition. La combinaison linéaire x 1 a 1 + ... + x n a n est appelée non trivial, si au moins un des coefficients x 1, ..., x n n'est pas égal à zéro.

linéairement indépendant, s'il n'existe pas de combinaison non triviale de ces vecteurs égale au vecteur zéro.

C'est-à-dire que les vecteurs a 1, ..., an sont linéairement indépendants si x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 si et seulement si x 1 = 0, ..., x n = 0.

Définition. Les vecteurs a 1, ..., an sont appelés linéairement dépendant, s'il existe une combinaison non triviale de ces vecteurs égale au vecteur zéro.

Propriétés des vecteurs linéairement dépendants :

Pour les vecteurs à 2 et 3 dimensions.

Deux vecteurs linéairement dépendants sont colinéaires. (Les vecteurs colinéaires sont linéairement dépendants.)

Pour les vecteurs tridimensionnels.

Trois vecteurs linéairement dépendants sont coplanaires. (Trois vecteurs coplanaires sont linéairement dépendants.)

• Pour les vecteurs à n dimensions.

  n + 1 vecteurs sont toujours linéairement dépendants.

Exemples de problèmes sur la dépendance linéaire et l'indépendance linéaire des vecteurs :

Exemple 1. Vérifiez si les vecteurs a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) sont linéairement indépendants .

Solution:

Les vecteurs seront linéairement dépendants, puisque la dimension des vecteurs est inférieure au nombre de vecteurs.

Exemple 2. Vérifiez si les vecteurs a = (1 ; 1 ; 1), b = (1 ; 2 ; 0), c = (0 ; -1 ; 1) sont linéairement indépendants.

Solution:

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + x3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

soustrayez la deuxième de la première ligne ; ajoutez une deuxième ligne à la troisième ligne :

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Cette solution montre que le système a de nombreuses solutions, c'est-à-dire qu'il existe une combinaison non nulle de valeurs des nombres x 1, x 2, x 3 telle que la combinaison linéaire des vecteurs a, b, c est égale à le vecteur zéro, par exemple :

A + b + c = 0

ce qui signifie que les vecteurs a, b, c sont linéairement dépendants.

Répondre: les vecteurs a, b, c sont linéairement dépendants.

Exemple 3. Vérifiez si les vecteurs a = (1 ; 1 ; 1), b = (1 ; 2 ; 0), c = (0 ; -1 ; 2) sont linéairement indépendants.

Solution: Trouvons les valeurs des coefficients pour lesquels la combinaison linéaire de ces vecteurs sera égale au vecteur zéro.

x 1 une + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Cette équation vectorielle peut s'écrire sous la forme d'un système d'équations linéaires

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + 2x3 = 0

Résolvons ce système en utilisant la méthode de Gauss

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

soustrayez la première de la deuxième ligne ; soustrayez la première de la troisième ligne :

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

soustrayez la deuxième de la première ligne ; ajoutez une seconde à la troisième ligne.

Présenté par nos soins opérations linéaires sur les vecteurs permettent de créer diverses expressions pour quantités vectorielles et transformez-les en utilisant les propriétés définies pour ces opérations.

Sur la base d'un ensemble donné de vecteurs a 1, ..., an, vous pouvez créer une expression de la forme

où a 1, ... et n sont des nombres réels arbitraires. Cette expression s'appelle combinaison linéaire de vecteurs un 1, ..., un n. Les nombres α i, i = 1, n, représentent coefficients de combinaison linéaire. Un ensemble de vecteurs est également appelé système de vecteurs.

En relation avec le concept introduit de combinaison linéaire de vecteurs, le problème se pose de décrire un ensemble de vecteurs qui peut être écrit comme une combinaison linéaire d'un système de vecteurs donné a 1, ..., an. De plus, des questions naturelles se posent sur les conditions dans lesquelles il existe une représentation d'un vecteur sous la forme d'une combinaison linéaire, et sur le caractère unique d'une telle représentation.

Définition 2.1. Les vecteurs a 1, ... et n sont appelés linéairement dépendant, s'il existe un ensemble de coefficients α 1 , ... , α n tel que

α 1 une 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

et au moins un de ces coefficients est non nul. Si l'ensemble spécifié de coefficients n'existe pas, alors les vecteurs sont appelés linéairement indépendant.

Si α 1 = ... = α n = 0, alors, évidemment, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Dans cet esprit, on peut dire ceci : vecteurs a 1, ..., et n sont linéairement indépendants s'il résulte de l'égalité (2.2) que tous les coefficients α 1 , ... , α n sont égaux à zéro.

Le théorème suivant explique pourquoi le nouveau concept est appelé « dépendance » (ou « indépendance ») et fournit un critère simple pour la dépendance linéaire.

Théorème 2.1. Pour que les vecteurs a 1, ... et n, n > 1 soient linéairement dépendants, il faut et il suffit que l'un d'eux soit une combinaison linéaire des autres.

◄ Nécessité. Supposons que les vecteurs a 1, ... et n soient linéairement dépendants. D'après la définition 2.1 de la dépendance linéaire, dans l'égalité (2.2) à gauche il y a au moins un coefficient non nul, par exemple α 1. En laissant le premier terme du côté gauche de l'égalité, nous déplaçons le reste vers la droite, en changeant leurs signes, comme d'habitude. En divisant l'égalité résultante par α 1, on obtient

une 1 =-α 2 /α 1 ⋅ une 2 - ... - α n /α 1 ⋅ une n

ceux. représentation du vecteur a 1 comme une combinaison linéaire des vecteurs restants a 2, ..., a n.

Adéquation. Supposons, par exemple, que le premier vecteur a 1 puisse être représenté comme une combinaison linéaire des vecteurs restants : a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. En transférant tous les termes du côté droit vers la gauche, nous obtenons a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, c'est-à-dire une combinaison linéaire de vecteurs a 1, ..., an avec des coefficients α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, égal à vecteur nul. Dans cette combinaison linéaire, tous les coefficients ne sont pas nuls. Selon la définition 2.1, les vecteurs a 1, ... et n sont linéairement dépendants.

La définition et le critère de dépendance linéaire sont formulés pour impliquer la présence de deux vecteurs ou plus. Cependant, on peut aussi parler d'une dépendance linéaire d'un vecteur. Pour réaliser cette possibilité, au lieu de « les vecteurs sont linéairement dépendants », vous devez dire « le système de vecteurs est linéairement dépendant ». Il est facile de voir que l'expression « un système d'un vecteur est linéairement dépendant » signifie que ce seul vecteur est nul (dans une combinaison linéaire, il n'y a qu'un seul coefficient, et il ne doit pas être égal à zéro).

Le concept de dépendance linéaire a une interprétation géométrique simple. Les trois affirmations suivantes clarifient cette interprétation.

Théorème 2.2. Deux vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s'ils colinéaire.

◄ Si les vecteurs a et b sont linéairement dépendants, alors l'un d'eux, par exemple a, s'exprime à travers l'autre, c'est-à-dire a = λb pour un nombre réel λ. Selon la définition 1.7 travaux vecteurs par nombre, les vecteurs a et b sont colinéaires.

Soit maintenant les vecteurs a et b colinéaires. S’ils sont tous deux nuls, alors il est évident qu’ils sont linéairement dépendants, puisque toute combinaison linéaire d’entre eux est égale au vecteur zéro. Soit l'un de ces vecteurs non égal à 0, par exemple le vecteur b. Notons λ le rapport des longueurs des vecteurs : λ = |a|/|b|. Les vecteurs colinéaires peuvent être unidirectionnel ou dirigé à l'opposé. Dans ce dernier cas, on change le signe de λ. Ensuite, en vérifiant la définition 1.7, nous sommes convaincus que a = λb. D’après le théorème 2.1, les vecteurs a et b sont linéairement dépendants.

Remarque 2.1. Dans le cas de deux vecteurs, compte tenu du critère de dépendance linéaire, le théorème prouvé peut être reformulé ainsi : deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l'un d'eux est représenté comme le produit de l'autre par un nombre. C'est un critère pratique pour la colinéarité de deux vecteurs.

Théorème 2.3. Trois vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s'ils coplanaire.

◄ Si trois vecteurs a, b, c sont linéairement dépendants, alors, d'après le théorème 2.1, l'un d'eux, par exemple a, est une combinaison linéaire des autres : a = βb + γс. Combinons les origines des vecteurs b et c au point A. Alors les vecteurs βb, γс auront une origine commune au point A et le long de selon la règle du parallélogramme, leur somme est ceux. le vecteur a sera un vecteur d'origine A et la fin, qui est le sommet d'un parallélogramme construit sur des vecteurs composants. Ainsi, tous les vecteurs se trouvent dans le même plan, c’est-à-dire coplanaire.

Soit les vecteurs a, b, c coplanaires. Si l’un de ces vecteurs est nul, alors ce sera évidemment une combinaison linéaire des autres. Il suffit de prendre tous les coefficients d'une combinaison linéaire égaux à zéro. On peut donc supposer que les trois vecteurs ne sont pas nuls. Compatible commencé de ces vecteurs en un point commun O. Soit leurs extrémités respectivement les points A, B, C (Fig. 2.1). Par le point C on trace des droites parallèles aux droites passant par des paires de points O, A et O, B. En désignant les points d'intersection comme A" et B", on obtient un parallélogramme OA"CB", donc OC" = OA" + OB". Le vecteur OA" et le vecteur non nul a = OA sont colinéaires, et donc le premier d'entre eux peut être obtenu en multipliant le second par un nombre réel α:OA" = αOA. De même, OB" = βOB, β ∈ R. En conséquence, nous obtenons que OC" = α OA + βOB, c'est-à-dire que le vecteur c est une combinaison linéaire de vecteurs a et b. D'après le théorème 2.1, les vecteurs a, b, c sont linéairement dépendants.

Théorème 2.4. Quatre vecteurs quelconques sont linéairement dépendants.

◄ Nous effectuons la preuve selon le même schéma que dans le théorème 2.3. Considérons quatre vecteurs arbitraires a, b, c et d. Si l'un des quatre vecteurs est nul, ou parmi eux il y a deux vecteurs colinéaires, ou si trois des quatre vecteurs sont coplanaires, alors ces quatre vecteurs sont linéairement dépendants. Par exemple, si les vecteurs a et b sont colinéaires, alors nous pouvons faire leur combinaison linéaire αa + βb = 0 avec des coefficients non nuls, puis ajouter les deux vecteurs restants à cette combinaison, en prenant des zéros comme coefficients. On obtient une combinaison linéaire de quatre vecteurs égaux à 0, dans laquelle se trouvent des coefficients non nuls.

Ainsi, nous pouvons supposer que parmi les quatre vecteurs sélectionnés, aucun vecteur n’est nul, aucun n’est colinéaire et aucun n’est trois coplanaire. Choisissons comme début commun le point O. Alors les extrémités des vecteurs a, b, c, d seront des points A, B, C, D (Fig. 2.2). Par le point D on trace trois plans parallèles aux plans OBC, OCA, OAB, et soit A", B", C" les points d'intersection de ces plans avec les droites OA, OB, OS respectivement. On obtient un parallélépipède OA" C "B" C" B"DA", et les vecteurs a, b, c se trouvent sur ses arêtes émergeant du sommet O. Puisque le quadrilatère OC"DC" est un parallélogramme, alors OD = OC" + OC". À son tour, le segment OC" est un parallélogramme diagonal OA"C"B", donc OC" = OA" + OB" et OD = OA" + OB" + OC" .

Il reste à noter que les couples de vecteurs OA ≠ 0 et OA" , OB ≠ 0 et OB" , OC ≠ 0 et OC" sont colinéaires, et il est donc possible de sélectionner les coefficients α, β, γ tels que OA" = αOA , OB" = βOB et OC" = γOC. On obtient finalement OD = αOA + βOB + γOC. Par conséquent, le vecteur OD est exprimé à travers les trois autres vecteurs, et les quatre vecteurs, selon le théorème 2.1, sont linéairement dépendants.

Tache 1. Découvrez si le système de vecteurs est linéairement indépendant. Le système de vecteurs sera précisé par la matrice du système dont les colonnes sont constituées des coordonnées des vecteurs.

.

Solution. Soit la combinaison linéaire égal à zéro. Après avoir écrit cette égalité en coordonnées, on obtient le système d'équations suivant :

.

Un tel système d'équations est appelé triangulaire. Elle n'a qu'une solution . Donc les vecteurs linéairement indépendant.

Tâche 2. Découvrez si le système de vecteurs est linéairement indépendant.

.

Solution. Vecteurs sont linéairement indépendants (voir problème 1). Montrons que le vecteur est une combinaison linéaire de vecteurs . Coefficients de dilatation vectorielle sont déterminés à partir du système d’équations

.

Ce système, comme un système triangulaire, a une solution unique.

Donc le système de vecteurs linéairement dépendant.

Commentaire. Les matrices du même type que dans le problème 1 sont appelées triangulaire , et dans le problème 2 – triangulaire à gradins . La question de la dépendance linéaire d'un système de vecteurs est facilement résolue si la matrice composée des coordonnées de ces vecteurs est triangulaire à échelons. Si la matrice n'a pas de forme spéciale, alors en utilisant conversions de chaînes élémentaires , en préservant les relations linéaires entre les colonnes, il peut être réduit à une forme triangulaire en escalier.

Conversions de chaînes élémentaires matrices (EPS) les opérations suivantes sur une matrice sont appelées :

1) réarrangement des lignes ;

2) multiplier une chaîne par un nombre non nul ;

3) ajouter une autre chaîne à une chaîne, multipliée par un nombre arbitraire.

Tâche 3. Trouver le sous-système linéairement indépendant maximum et calculer le rang du système de vecteurs

.

Solution. Réduisons la matrice du système utilisant EPS à une forme triangulaire par étapes. Pour expliquer la procédure, on note la ligne avec le numéro de la matrice à transformer par le symbole . La colonne après la flèche indique les actions sur les lignes de la matrice en cours de conversion qui doivent être effectuées pour obtenir les lignes de la nouvelle matrice.

.

Évidemment, les deux premières colonnes de la matrice résultante sont linéairement indépendantes, la troisième colonne est leur combinaison linéaire et la quatrième ne dépend pas des deux premières. Vecteurs sont appelés basiques. Ils forment un sous-système maximal linéairement indépendant du système , et le rang du système est trois.

Base, coordonnées

Tâche 4. Trouver la base et les coordonnées des vecteurs de cette base sur l'ensemble des vecteurs géométriques dont les coordonnées satisfont à la condition .

Solution. L'ensemble est un plan passant par l'origine. Une base arbitraire sur un plan est constituée de deux vecteurs non colinéaires. Les coordonnées des vecteurs dans la base sélectionnée sont déterminées en résolvant le système d'équations linéaires correspondant.

Il existe une autre façon de résoudre ce problème, lorsque vous pouvez trouver la base à l'aide des coordonnées.

Coordonnées les espaces ne sont pas des coordonnées sur le plan, puisqu'ils sont liés par la relation , c'est-à-dire qu'ils ne sont pas indépendants. Les variables indépendantes et (appelées libres) définissent de manière unique un vecteur sur le plan et, par conséquent, elles peuvent être choisies comme coordonnées dans . Puis la base se compose de vecteurs appartenant et correspondant à des ensembles de variables libres Et , c'est .

Tâche 5. Trouvez la base et les coordonnées des vecteurs de cette base sur l'ensemble de tous les vecteurs de l'espace dont les coordonnées impaires sont égales entre elles.

Solution. Choisissons, comme dans le problème précédent, des coordonnées dans l'espace.

Parce que , puis variables libres déterminent de manière unique le vecteur à partir duquel et sont donc des coordonnées. La base correspondante est constituée de vecteurs.

Tâche 6. Trouver la base et les coordonnées des vecteurs de cette base sur l'ensemble de toutes les matrices de la forme , Où – des nombres arbitraires.

Solution. Chaque matrice de est représentable de manière unique sous la forme :

Cette relation est le développement du vecteur par rapport à la base
avec coordonnées .

Tâche 7. Trouver la dimension et la base de la coque linéaire d'un système de vecteurs

.

Solution.À l'aide de l'EPS, nous transformons la matrice des coordonnées des vecteurs du système en une forme triangulaire par étapes.

.

Colonnes les dernières matrices sont linéairement indépendantes, et les colonnes exprimé linéairement à travers eux. Donc les vecteurs former une base , Et .

Commentaire. Base en est choisi de manière ambiguë. Par exemple, les vecteurs constituent également une base .

Laisser L est un espace linéaire arbitraire, un je Î L,- ses éléments (vecteurs).

Définition 3.3.1. Expression , Où , - des nombres réels arbitraires, appelés combinaison linéaire vecteurs une 1 , une 2 ,…, une n.

Si le vecteur R. = , alors ils disent que R. décomposé en vecteurs une 1 , une 2 ,…, une n.

Définition 3.3.2. Une combinaison linéaire de vecteurs est appelée non trivial, si parmi les nombres il y en a au moins un non nul. Sinon, la combinaison linéaire s'appelle banal.

Définition 3.3.3 . Vecteurs une 1 , une 2 ,…, une n sont appelés linéairement dépendants s’il existe une combinaison linéaire non triviale d’entre eux telle que

= 0 .

Définition 3.3.4. Vecteurs une 1 ,une 2 ,…, une n sont dits linéairement indépendants si l'égalité = 0 n'est possible que dans le cas où tous les nombres je 1, je 2,…, l n sont simultanément égaux à zéro.

Notez que tout élément non nul a 1 peut être considéré comme un système linéairement indépendant, puisque l'égalité je un 1 = 0 possible seulement si je= 0.

Théorème 3.3.1. Une condition nécessaire et suffisante pour la dépendance linéaire une 1 , une 2 ,…, une n est la possibilité de décomposer au moins un de ces éléments en le reste.

Preuve. Nécessité. Soit les éléments une 1 , une 2 ,…, une n linéairement dépendant. Cela signifie que = 0 , et au moins un des nombres je 1, je 2,…, l n différent de zéro. Laissez pour certitude je 1 ¹ 0. Alors

c'est-à-dire que l'élément a 1 est décomposé en éléments a 2 , a 3 , …, a n.

Adéquation. Soit l'élément a 1 décomposé en éléments a 2 , a 3 , …, a n, c'est-à-dire un 1 = . Alors = 0 , il existe donc une combinaison linéaire non triviale de vecteurs a 1 , a 2 ,…, a n, égal 0 , ils sont donc linéairement dépendants .

Théorème 3.3.2. Si au moins un des éléments a 1 , a 2 ,…, a n zéro, alors ces vecteurs sont linéairement dépendants.

Preuve . Laisser un n= 0 , alors = 0 , ce qui signifie la dépendance linéaire de ces éléments.

Théorème 3.3.3. Si parmi n vecteurs un p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Preuve. Soit, pour être précis, les éléments a 1 , a 2 ,…, a p linéairement dépendant. Cela signifie qu’il existe une combinaison linéaire non triviale telle que = 0 . L'égalité spécifiée sera préservée si nous ajoutons l'élément à ses deux parties. Alors + = 0 , et au moins un des nombres je 1, je 2,…, lp différent de zéro. Par conséquent, les vecteurs une 1 , une 2 ,…, une n sont linéairement dépendants.

Corollaire 3.3.1. Si n éléments sont linéairement indépendants, alors k chacun d’entre eux est linéairement indépendant (k< n).

Théorème 3.3.4. Si les vecteurs une 1 , une 2 ,…, une n- 1 sont linéairement indépendants, et les éléments une 1 , une 2 ,…, une n- 1, un n sont linéairement dépendants, alors le vecteur un n peut être développé en vecteurs une 1 , une 2 ,…, une n- 1 .

Preuve. Puisque par condition a 1 , a 2 ,…,un n- 1, un n sont linéairement dépendants, alors il existe une combinaison linéaire non triviale d'entre eux = 0 , et (sinon, les vecteurs une 1 , une 2 ,…, une s'avéreront linéairement dépendants n- 1). Mais alors le vecteur

,

Q.E.D.