Chaque personne dans le monde moderne, envisageant de contracter un emprunt ou de s'approvisionner en légumes pour l'hiver, est périodiquement confrontée au concept de « moyenne ». Découvrons : de quoi s'agit-il, quels types et classes existent et pourquoi il est utilisé dans les statistiques et dans d'autres disciplines.
Valeur moyenne - qu'est-ce que c'est ?
Un nom similaire (SV) est une caractéristique généralisée d'un ensemble de phénomènes homogènes, déterminé par n'importe quelle caractéristique variable quantitative.
Cependant, les personnes qui sont loin de définitions aussi abstruses comprennent ce concept comme une quantité moyenne de quelque chose. Par exemple, avant de contracter un prêt, un employé de banque demandera certainement à un client potentiel de fournir des données sur le revenu moyen de l'année, c'est-à-dire le montant total d'argent qu'une personne gagne. Il est calculé en additionnant les gains de l'année entière et en divisant par le nombre de mois. Ainsi, la banque pourra déterminer si son client sera en mesure de rembourser sa dette à temps.
Pourquoi est-il utilisé ?
En règle générale, les valeurs moyennes sont largement utilisées pour donner une description sommaire de certains phénomènes sociaux à caractère de masse. Ils peuvent également être utilisés pour des calculs à plus petite échelle, comme dans le cas d’un prêt dans l’exemple ci-dessus.
Cependant, le plus souvent, les valeurs moyennes sont encore utilisées à des fins globales. Un exemple d'entre eux est le calcul de la quantité d'électricité consommée par les citoyens au cours d'un mois civil. Sur la base des données obtenues, des normes maximales sont ensuite établies pour les catégories de population bénéficiant des prestations de l'État.
En outre, à l'aide de valeurs moyennes, on développe la durée de vie garantie de certains appareils électroménagers, voitures, bâtiments, etc.. Sur la base des données ainsi collectées, des normes modernes de travail et de repos ont été élaborées.
En fait, tout phénomène de la vie moderne de nature massive est d'une manière ou d'une autre nécessairement lié au concept considéré.
Zones d'application
Ce phénomène est largement utilisé dans presque toutes les sciences exactes, notamment celles à caractère expérimental.
Trouver la moyenne est d'une grande importance en médecine, en ingénierie, en cuisine, en économie, en politique, etc.
Sur la base des données obtenues à partir de telles généralisations, ils développent des médicaments thérapeutiques, des programmes éducatifs, fixent des salaires et salaires minimaux, établissent des programmes éducatifs, produisent des meubles, des vêtements et des chaussures, des articles d'hygiène et bien plus encore.
En mathématiques, ce terme est appelé « valeur moyenne » et est utilisé pour résoudre divers exemples et problèmes. Les plus simples sont l'addition et la soustraction avec des fractions ordinaires. Après tout, comme vous le savez, pour résoudre de tels exemples, il est nécessaire de ramener les deux fractions à un dénominateur commun.
Également dans la reine des sciences exactes, le terme « valeur moyenne d'une variable aléatoire », dont le sens est similaire, est souvent utilisé. Elle est plus connue sous le nom d’« espérance mathématique », plus souvent considérée dans la théorie des probabilités. Il convient de noter qu’un phénomène similaire s’applique également lors de la réalisation de calculs statistiques.
Valeur moyenne dans les statistiques
Cependant, le concept étudié est le plus souvent utilisé en statistique. Comme on le sait, cette science elle-même est spécialisée dans le calcul et l'analyse des caractéristiques quantitatives des phénomènes sociaux de masse. Par conséquent, la valeur moyenne des statistiques est utilisée comme méthode spécialisée pour atteindre ses objectifs principaux : la collecte et l'analyse d'informations.
L'essence de cette méthode statistique est de remplacer les valeurs individuelles uniques de la caractéristique considérée par une certaine valeur moyenne équilibrée.
Un exemple est la célèbre blague culinaire. Ainsi, dans une certaine usine, le mardi, au déjeuner, les patrons mangent généralement de la viande en cocotte et les ouvriers ordinaires mangent du chou cuit. Sur la base de ces données, nous pouvons conclure qu'en moyenne, le personnel de l'usine dîne de rouleaux de chou le mardi.
Bien que cet exemple soit légèrement exagéré, il illustre le principal inconvénient de la méthode de recherche d'une valeur moyenne : l'égalisation des caractéristiques individuelles des objets ou des personnalités.
En valeurs moyennes, ils sont utilisés non seulement pour analyser les informations collectées, mais également pour planifier et prédire d'autres actions.
Il sert également à évaluer les résultats obtenus (par exemple, la mise en œuvre du plan de culture et de récolte du blé pour la saison printemps-été).
Comment calculer correctement
Bien qu'en fonction du type de SV, il existe différentes formules pour le calculer, dans la théorie générale des statistiques, en règle générale, une seule méthode de calcul de la valeur moyenne d'une caractéristique est utilisée. Pour ce faire, vous devez d'abord additionner les valeurs de tous les phénomènes, puis diviser la somme obtenue par leur nombre.
Lors de tels calculs, il convient de rappeler que la valeur moyenne a toujours la même dimension (ou unités) que l’unité individuelle de la population.
Conditions pour un calcul correct
La formule discutée ci-dessus est très simple et universelle, il est donc presque impossible de se tromper. Cependant, il convient toujours de considérer deux aspects, sinon les données obtenues ne refléteront pas la situation réelle.
Cours SV
Après avoir trouvé des réponses aux questions fondamentales : « Quelle est la valeur moyenne ? », « Où est-elle utilisée ? et « Comment pouvez-vous le calculer ? », il vaut la peine de découvrir quelles classes et types de SV existent.
Tout d’abord, ce phénomène se divise en 2 classes. Ce sont des moyennes structurelles et de puissance.
Types de SV électriques
Chacune des classes ci-dessus est à son tour divisée en types. La classe calme en compte quatre.
- La moyenne arithmétique est le type de SV le plus courant. Il s'agit du terme moyen permettant de déterminer lequel le volume total de la caractéristique considérée dans un ensemble de données est également réparti entre toutes les unités de cet ensemble.
Ce type est divisé en sous-types : SV arithmétique simple et pondéré.
- La moyenne harmonique est un indicateur qui est l'inverse de la moyenne arithmétique simple, calculée à partir des valeurs réciproques de la caractéristique considérée.
Il est utilisé dans les cas où les valeurs individuelles de l'attribut et du produit sont connues, mais pas les données de fréquence.
- La moyenne géométrique est le plus souvent utilisée pour analyser les taux de croissance des phénomènes économiques. Il permet de conserver inchangé le produit des valeurs individuelles d'une quantité donnée, et non la somme.
Cela peut aussi être simple et équilibré.
- La valeur quadratique moyenne est utilisée lors du calcul d'indicateurs individuels, tels que le coefficient de variation, caractérisant le rythme de production du produit, etc.
Il est également utilisé pour calculer les diamètres moyens des tuyaux, des roues, les côtés moyens d'un carré et des chiffres similaires.
Comme tous les autres types de moyennes, la moyenne quadratique peut être simple et pondérée.
Types de grandeurs structurelles
En plus des SV moyennes, les types structurels sont souvent utilisés dans les statistiques. Ils sont mieux adaptés au calcul des caractéristiques relatives des valeurs d'une caractéristique variable et de la structure interne des séries de distribution.
Il existe deux de ces types.
En mathématiques et statistiques moyenne arithmétique (ou facile moyenne) d'un ensemble de nombres est la somme de tous les nombres de cet ensemble divisée par leur nombre. La moyenne arithmétique est une représentation particulièrement universelle et la plus courante d'une moyenne.
Tu auras besoin de
- Connaissance des mathématiques.
Instructions
1. Soit un ensemble de quatre nombres. A découvrir moyenne signification cette trousse. Pour ce faire, on trouve d’abord la somme de tous ces nombres. Les nombres possibles sont 1, 3, 8, 7. Leur somme est S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. L'ensemble de nombres doit être constitué de nombres du même signe, sinon le sens du calcul de la valeur moyenne est perdu.
2. Moyenne signification l'ensemble des nombres est égal à la somme des nombres S divisée par le nombre de ces nombres. Autrement dit, il s'avère que moyenne signification est égal à : 19/4 = 4,75.
3. Pour un ensemble de nombres, il est également possible de détecter non seulement moyenne l'arithmétique, mais aussi moyenne géométrique. La moyenne géométrique de plusieurs nombres réels réguliers est un nombre qui peut remplacer n'importe lequel de ces nombres afin que leur produit ne change pas. La moyenne géométrique G est recherchée à l'aide de la formule : la Nième racine du produit d'un ensemble de nombres, où N est le nombre de l'ensemble. Regardons le même ensemble de nombres : 1, 3, 8, 7. Trouvons-les moyenne géométrique. Pour ce faire, calculons le produit : 1*3*8*7 = 168. Maintenant, à partir du nombre 168, vous devez extraire la 4ème racine : G = (168)^1/4 = 3,61. Ainsi moyenne l'ensemble géométrique des nombres est 3,61.
Moyenne La moyenne géométrique est généralement moins utilisée que la moyenne arithmétique, cependant, elle peut être utile pour calculer la valeur moyenne d'indicateurs évoluant dans le temps (le salaire d'un employé individuel, la dynamique des indicateurs de performance académique, etc.).
Tu auras besoin de
- Calculatrice d'ingénierie
Instructions
1. Afin de trouver la moyenne géométrique d’une série de nombres, il faut d’abord multiplier tous ces nombres. Disons que l'on vous donne un ensemble de cinq indicateurs : 12, 3, 6, 9 et 4. Multiplions tous ces nombres : 12x3x6x9x4=7776.
2. Maintenant, à partir du nombre obtenu, vous devez extraire la racine d'une puissance égale au nombre d'éléments de la série. Dans notre cas, à partir du nombre 7776 il faudra extraire la racine cinquième à l'aide d'une calculatrice d'ingénierie. Le nombre obtenu après cette opération – en l’occurrence le chiffre 6 – sera la moyenne géométrique du groupe initial de nombres.
3. Si vous n'avez pas de calculatrice technique à portée de main, vous pouvez calculer la moyenne géométrique d'une série de nombres à l'aide de la fonction SRGEOM dans Excel ou à l'aide de l'une des calculatrices en ligne spécialement conçues pour calculer les valeurs de moyenne géométrique.
Note!
Si vous avez besoin de trouver la moyenne géométrique de chacun pour 2 nombres, vous n'avez pas besoin d'une calculatrice technique : vous pouvez extraire la racine seconde (racine carrée) de n'importe quel nombre à l'aide de la calculatrice la plus ordinaire.
Conseil utile
Contrairement à la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique n'est pas si puissamment affectée par d'énormes écarts et fluctuations entre les valeurs individuelles de l'ensemble d'indicateurs étudiés.
Moyenne la valeur est l'un des classements d'un ensemble de nombres. Représente un nombre qui ne peut pas sortir de la plage définie par les valeurs les plus grandes et les plus petites de cet ensemble de nombres. Moyenne la valeur arithmétique est un type de moyenne particulièrement couramment utilisé.
Instructions
1. Additionnez tous les nombres de l’ensemble et divisez-les par le nombre de termes pour obtenir la moyenne arithmétique. Selon certaines conditions de calcul, il est parfois plus simple de diviser chacun des nombres par le nombre de valeurs de l'ensemble et d'additionner le total.
2. Utilisez, par exemple, la calculatrice incluse avec le système d'exploitation Windows si le calcul de la moyenne arithmétique dans votre tête n'est pas possible. Vous pouvez l'ouvrir avec l'aide de la boîte de dialogue de lancement du programme. Pour ce faire, appuyez sur les « touches de raccourci » WIN + R ou cliquez sur le bouton « Démarrer » et sélectionnez la commande « Exécuter » dans le menu principal. Après cela, tapez calc dans le champ de saisie et appuyez sur Entrée sur votre clavier ou cliquez sur le bouton « OK ». La même chose peut être faite via le menu principal - ouvrez-le, accédez à la section « Tous les programmes » et aux segments « Typique » et sélectionnez la ligne « Calculatrice ».
3. Entrez tous les nombres de l'ensemble étape par étape en appuyant sur la touche Plus du clavier après chacun d'eux (sauf le dernier) ou en cliquant sur le bouton correspondant dans l'interface de la calculatrice. Vous pouvez également saisir des chiffres soit à partir du clavier, soit en cliquant sur les boutons de l'interface correspondants.
4. Appuyez sur la touche barre oblique ou cliquez sur cette icône dans l'interface de la calculatrice après avoir entré la dernière valeur de l'ensemble et tapez le nombre de nombres dans la séquence. Après cela, appuyez sur le signe égal et la calculatrice calculera et affichera la moyenne arithmétique.
5. Vous pouvez utiliser l'éditeur de feuille de calcul Microsoft Excel dans le même but. Dans ce cas, lancez l'éditeur et saisissez toutes les valeurs de la séquence de nombres dans les cellules adjacentes. Si, après avoir saisi le numéro entier, vous appuyez sur Entrée ou sur la touche fléchée vers le bas ou vers la droite, l'éditeur lui-même déplacera le focus de saisie vers la cellule adjacente.
6. Sélectionnez toutes les valeurs saisies et dans le coin inférieur gauche de la fenêtre de l'éditeur (dans la barre d'état), vous verrez la valeur moyenne arithmétique des cellules sélectionnées.
7. Cliquez sur la cellule à côté du dernier nombre saisi si vous souhaitez simplement voir la moyenne. Développez la liste déroulante avec l'image de la lettre grecque sigma (Σ) dans le groupe de commandes Édition de l'onglet Principal. Sélectionnez la ligne " Moyenne" et l'éditeur insérera la formule nécessaire au calcul de la moyenne arithmétique dans la cellule sélectionnée. Appuyez sur la touche Entrée et la valeur sera calculée.
La moyenne arithmétique est l'une des mesures de propension centrale, largement utilisée en mathématiques et en calculs statistiques. Il est très facile de trouver la moyenne arithmétique de plusieurs valeurs, mais chaque problème a ses propres nuances, qu'il faut connaître pour effectuer des calculs corrects.
Qu'est-ce qu'une moyenne arithmétique
La moyenne arithmétique définit la valeur moyenne de chaque tableau initial de nombres. En d'autres termes, à partir d'un certain ensemble de nombres, une valeur universelle pour tous les éléments est sélectionnée, dont la comparaison mathématique avec tous les éléments est approximativement égale. La moyenne arithmétique est utilisée de préférence dans l'élaboration de rapports financiers et statistiques ou pour calculer les résultats quantitatifs de compétences similaires.
Comment trouver la moyenne arithmétique
Trouver la moyenne arithmétique d'un tableau de nombres doit commencer par déterminer la somme algébrique de ces valeurs. Par exemple, si le tableau contient les nombres 23, 43, 10, 74 et 34, alors leur somme algébrique sera égale à 184. Lors de l'écriture, la moyenne arithmétique est désignée par la lettre ? (mu) ou x (x avec une ligne). Ensuite, la somme algébrique doit être divisée par le nombre de nombres dans le tableau. Dans l'exemple considéré, il y avait cinq nombres, donc la moyenne arithmétique sera égale à 184/5 et sera de 36,8.
Caractéristiques du travail avec des nombres négatifs
Si le tableau contient des nombres négatifs, la moyenne arithmétique est trouvée à l'aide d'un algorithme similaire. La différence n'existe que lors du calcul dans l'environnement de programmation ou si le problème contient des données supplémentaires. Dans ces cas, trouver la moyenne arithmétique de nombres de signes différents se résume à trois étapes : 1. Trouver la moyenne arithmétique universelle à l'aide de la méthode standard ;2. Trouver la moyenne arithmétique des nombres négatifs.3. Calcul de la moyenne arithmétique des nombres positifs. Les résultats de chaque action sont écrits séparés par des virgules.
Fractions naturelles et décimales
Si un tableau de nombres est représenté par des fractions décimales, la solution est effectuée en utilisant la méthode de calcul de la moyenne arithmétique des nombres entiers, mais la réduction du total est effectuée en fonction des exigences du problème pour l'exactitude du résultat. en travaillant avec des fractions naturelles, elles doivent être réduites à un dénominateur commun, celui qui est multiplié par le nombre de nombres dans le tableau. Le numérateur du résultat sera la somme des numérateurs donnés des éléments fractionnaires initiaux.
La moyenne géométrique des nombres dépend non seulement de la valeur absolue des nombres eux-mêmes, mais aussi de leur nombre. Il est impossible de confondre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique des nombres, car elles sont trouvées selon des méthodologies différentes. Dans ce cas, la moyenne géométrique est invariablement inférieure ou égale à la moyenne arithmétique.
Tu auras besoin de
- Calculatrice d'ingénierie.
Instructions
1. Considérons que dans le cas général la moyenne géométrique des nombres se trouve en multipliant ces nombres et en en retirant la racine de la puissance qui correspond au nombre de nombres. Par exemple, si vous avez besoin de trouver la moyenne géométrique de cinq nombres, vous devrez alors extraire la cinquième racine du produit.
2. Pour trouver la moyenne géométrique de 2 nombres, utilisez la règle de base. Trouvez leur produit, puis prenez la racine carrée du nombre deux, qui correspond au degré de la racine. Disons que pour trouver la moyenne géométrique des nombres 16 et 4, trouvons leur produit 16 4 = 64. À partir du nombre obtenu, prenez la racine carrée ?64=8. Ce sera la valeur souhaitée. Attention, la moyenne arithmétique de ces 2 nombres est supérieure et égale à 10. Si la racine n'est pas extraite dans son intégralité, arrondissez le total à l'ordre souhaité.
3. Pour trouver la moyenne géométrique de plus de 2 nombres, utilisez également la règle de base. Pour ce faire, trouvez le produit de tous les nombres dont vous devez trouver la moyenne géométrique. Du produit obtenu, extrayez la racine de la puissance égale au nombre de nombres. Par exemple, pour trouver la moyenne géométrique des nombres 2, 4 et 64, trouvez leur produit. 2 4 64=512. Parce qu'il faut trouver le résultat de la moyenne géométrique de 3 nombres, extraire la troisième racine du produit. Il est difficile de le faire verbalement, alors utilisez une calculatrice technique. Il dispose pour cela d'un bouton « x^y ». Composez le numéro 512, appuyez sur le bouton « x^y », puis composez le numéro 3 et appuyez sur le bouton « 1/x » pour trouver la valeur 1/3, appuyez sur le bouton « = ». On obtient le résultat en élevant 512 à la puissance 1/3, ce qui correspond à la troisième racine. Obtenez 512 ^ 1/3 = 8. C'est la moyenne géométrique des nombres 2,4 et 64.
4. Avec l’aide d’une calculatrice technique, vous pouvez trouver la moyenne géométrique en utilisant une autre méthode. Trouvez le bouton de journalisation sur votre clavier. Après cela, prenez le logarithme de tous les nombres, trouvez leur somme et divisez-la par le nombre de nombres. Prenez l'antilogarithme du nombre obtenu. Ce sera la moyenne géométrique des nombres. Disons que, afin de trouver la moyenne géométrique des mêmes nombres 2, 4 et 64, effectuons un ensemble d'opérations sur la calculatrice. Composez le numéro 2, puis appuyez sur le bouton log, appuyez sur le bouton « + », composez le numéro 4 et appuyez à nouveau sur log et « + », composez le 64, appuyez sur log et « = ». Le résultat sera un nombre égal à la somme des logarithmes décimaux des nombres 2, 4 et 64. Divisez le nombre obtenu par 3, puisque c'est le nombre de nombres par lequel la moyenne géométrique est recherchée. Du total, prenez l'antilogarithme en basculant le bouton d'enregistrement et utilisez la même clé de journal. Le résultat sera le chiffre 8, c'est la moyenne géométrique souhaitée.
Note!
La valeur moyenne ne peut pas être supérieure au plus grand nombre de l'ensemble ni inférieure au plus petit.
Conseil utile
En statistique mathématique, la valeur moyenne d’une quantité est appelée espérance mathématique.
Surtout dans l'éq. En pratique, nous devons utiliser la moyenne arithmétique, qui peut être calculée comme la moyenne arithmétique simple et pondérée.
Moyenne arithmétique (SA)-n Le type de moyenne le plus courant. Il est utilisé dans les cas où le volume d'une caractéristique variable pour l'ensemble de la population est la somme des valeurs des caractéristiques de ses unités individuelles. Les phénomènes sociaux sont caractérisés par l'additivité (la totalité) des volumes d'une caractéristique variable ; cela détermine le champ d'application de l'AS et explique sa prévalence comme indicateur général, par exemple : le fonds général des salaires est la somme des salaires de tous les salariés.
Pour calculer SA, vous devez diviser la somme de toutes les valeurs de caractéristiques par leur nombre. SA est utilisé sous 2 formes.
Considérons d'abord une simple moyenne arithmétique.
1-AC simple (forme initiale déterminante) est égale à la simple somme des valeurs individuelles de la caractéristique faisant l'objet de la moyenne, divisée par le nombre total de ces valeurs (utilisée lorsqu'il existe des valeurs d'indice non regroupées de la caractéristique) :
Les calculs effectués peuvent être généralisés dans la formule suivante :
(1)
Où 
- la valeur moyenne de la caractéristique variable, c'est-à-dire la moyenne arithmétique simple ;
signifie sommation, c'est-à-dire l'addition de caractéristiques individuelles ;
X- des valeurs individuelles d'une caractéristique variable, appelées variantes ;
n - nombre d'unités de la population
Exemple 1, il est nécessaire de trouver la production moyenne d'un travailleur (mécanicien), si l'on sait combien de pièces chacun des 15 travailleurs a produit, c'est-à-dire compte tenu d'une série d'ind. valeurs d'attribut, pcs. : 21 ; 20 ; 20 ; 19 ; 21 ; 19 ; 18 ; 22 ; 19 ; 20 ; 21 ; 20 ; 18 ; 19 ; 20.
La SA simple est calculée à l'aide de la formule (1), pcs. :
Exemple2. Calculons SA sur la base de données conditionnelles pour 20 magasins inclus dans la société commerciale (tableau 1). Tableau 1
Répartition des magasins de la société commerciale "Vesna" par surface de vente, m². M
|
Numéro de magasin |
Numéro de magasin | ||
Pour calculer la superficie moyenne du magasin ( 
) il faut additionner les superficies de tous les magasins et diviser le résultat obtenu par le nombre de magasins :
Ainsi, la surface moyenne des magasins de ce groupe d'entreprises de vente au détail est de 71 m².
Par conséquent, pour déterminer une SA simple, vous devez diviser la somme de toutes les valeurs d'un attribut donné par le nombre d'unités possédant cet attribut.
2
Où F 1
,
F 2
,
… ,F n
–
poids (fréquence de répétition de signes identiques) ; – la somme des produits de l'ampleur des caractéristiques et de leurs fréquences ; – le nombre total d'unités de population.
(2)
Où X- options ;
F- fréquence (poids).
La SA pondérée est le quotient de la division de la somme des produits des options et de leurs fréquences correspondantes par la somme de toutes les fréquences. Fréquences ( F) apparaissant dans la formule SA sont généralement appelés Balance, de sorte que la SA calculée en tenant compte des poids est dite pondérée.
Nous illustrerons la technique de calcul du SA pondéré à l'aide de l'exemple 1 évoqué ci-dessus. Pour ce faire, nous regrouperons les données initiales et les placerons dans le tableau.
La moyenne des données regroupées est déterminée comme suit : d'abord, les options sont multipliées par les fréquences, puis les produits sont additionnés et la somme résultante est divisée par la somme des fréquences.
Selon la formule (2), le SA pondéré est égal, pcs. : 
P.
Répartition des magasins Vesna par surface de vente, m² m
Le résultat était donc le même. Toutefois, il s’agira déjà d’une valeur moyenne arithmétique pondérée.
Dans l'exemple précédent, nous avons calculé la moyenne arithmétique à condition que les fréquences absolues (nombre de magasins) soient connues. Cependant, dans un certain nombre de cas, les fréquences absolues sont absentes, mais les fréquences relatives sont connues ou, comme on les appelle communément, fréquences qui montrent la proportion ou la proportion de fréquences dans l'ensemble entier.
Lors du calcul de l'utilisation pondérée SA fréquences vous permet de simplifier les calculs lorsque la fréquence est exprimée en grands nombres à plusieurs chiffres. Le calcul est effectué de la même manière, cependant, puisque la valeur moyenne s'avère multipliée par 100, le résultat doit être divisé par 100.
Ensuite, la formule de la moyenne arithmétique pondérée ressemblera à :
Où d- fréquence, c'est à dire. la part de chaque fréquence dans la somme totale de toutes les fréquences.
(3)Dans notre exemple 2, nous déterminons d'abord la part des magasins par groupe dans le nombre total de magasins de la société Vesna. Ainsi, pour le premier groupe la densité correspond à 10% 
. Nous obtenons les données suivantes Tableau 3
Thème 5. Valeurs moyennes comme indicateurs statistiques
Le concept de valeur moyenne. Portée des moyennes dans la recherche statistique
Les valeurs moyennes sont utilisées au stade du traitement et de la synthèse des données statistiques primaires obtenues. La nécessité de déterminer des valeurs moyennes est due au fait qu'en règle générale, les valeurs individuelles de même caractéristique pour différentes unités des populations étudiées ne sont pas les mêmes.
Taille moyenne appelé indicateur qui caractérise la valeur généralisée d'une caractéristique ou d'un groupe de caractéristiques dans la population étudiée.
Si une population présentant des caractéristiques qualitativement homogènes est étudiée, alors la valeur moyenne agit ici comme moyenne typique. Par exemple, pour des groupes de travailleurs d'un certain secteur avec un niveau de revenu fixe, les dépenses moyennes typiques en produits de première nécessité sont déterminées, c'est-à-dire la moyenne typique généralise les valeurs qualitativement homogènes de l'attribut dans une population donnée, qui est la part des dépenses entre les travailleurs de ce groupe pour les biens essentiels.
Lorsqu'on étudie une population aux caractéristiques qualitativement hétérogènes, l'atypique des indicateurs moyens peut apparaître. Il s'agit par exemple des indicateurs moyens du revenu national produit par habitant (différents groupes d'âge), des indicateurs moyens des rendements céréaliers dans toute la Russie (régions de différentes zones climatiques et différentes cultures céréalières), des indicateurs moyens du taux de natalité de la population pour toutes les régions du pays, les températures moyennes sur une certaine période, etc. Ici, les valeurs moyennes généralisent des valeurs qualitativement hétérogènes de caractéristiques ou d'agrégats spatiaux systémiques (communauté internationale, continent, état, région, région, etc.) ou d'agrégats dynamiques étendus dans le temps (siècle, décennie, année, saison, etc. ) . De telles valeurs moyennes sont appelées moyennes du système.
Ainsi, l'importance des valeurs moyennes réside dans leur fonction généralisatrice. La valeur moyenne remplace un grand nombre de valeurs individuelles de l'attribut, révélant des propriétés communes inhérentes à toutes les unités de la population. Ceci, à son tour, nous permet d’éviter les causes aléatoires et d’identifier des modèles généraux dus à des causes communes.
Types de valeurs moyennes et méthodes de leur calcul
Au stade du traitement statistique, divers problèmes de recherche peuvent être posés, pour la solution desquels il est nécessaire de sélectionner la moyenne appropriée. Dans ce cas, il faut se laisser guider par la règle suivante : les quantités qui représentent le numérateur et le dénominateur de la moyenne doivent être logiquement liées les unes aux autres.
moyennes de puissance;
moyennes structurelles.
Introduisons les conventions suivantes :
Les quantités pour lesquelles la moyenne est calculée ;
Moyenne, où la barre ci-dessus indique qu'une moyenne des valeurs individuelles a lieu ;
Fréquence (répétabilité des valeurs caractéristiques individuelles).
Diverses moyennes sont dérivées de la formule générale de moyenne de puissance :
(5.1)
quand k = 1 - moyenne arithmétique ; k = -1 - moyenne harmonique ; k = 0 - moyenne géométrique ; k = -2 - racine carrée moyenne.
Les valeurs moyennes peuvent être simples ou pondérées. Moyennes pondérées Ce sont des valeurs qui tiennent compte du fait que certaines variantes de valeurs d'attribut peuvent avoir des nombres différents, et donc chaque option doit être multipliée par ce nombre. En d’autres termes, les « échelles » sont les nombres d’unités agrégées dans différents groupes, c’est-à-dire Chaque option est « pondérée » par sa fréquence. La fréquence f est appelée poids statistique ou poids moyen.
Moyenne arithmétique- le type de moyenne le plus courant. Il est utilisé lorsque le calcul est effectué sur des données statistiques non regroupées, où il faut obtenir la durée moyenne. La moyenne arithmétique est la valeur moyenne d'une caractéristique, à la suite de laquelle le volume total de la caractéristique dans l'ensemble reste inchangé.
La formule de la moyenne arithmétique (simple) a la forme
où n est la taille de la population.
Par exemple, le salaire moyen des salariés d’une entreprise est calculé comme la moyenne arithmétique :
Les indicateurs déterminants sont ici le salaire de chaque salarié et le nombre d'employés de l'entreprise. Lors du calcul de la moyenne, le montant total des salaires est resté le même, mais réparti également entre tous les salariés. Par exemple, vous devez calculer le salaire moyen des ouvriers d'une petite entreprise employant 8 personnes :
Lors du calcul des valeurs moyennes, les valeurs individuelles de la caractéristique moyennée peuvent être répétées, de sorte que la valeur moyenne est calculée à l'aide de données groupées. Dans ce cas, nous parlons d'utiliser moyenne arithmétique pondérée, qui a la forme
(5.3)
Nous devons donc calculer le prix moyen des actions d’une société par actions en bourse. On sait que les transactions ont été réalisées dans un délai de 5 jours (5 transactions), le nombre d'actions vendues au cours de vente s'est réparti comme suit :
1 à 800 kilos. - 1010 roubles.
2 - 650 kilos. - 990 roubles.
3 à 700 kilos. - 1015 roubles.
4 - 550 kilos. - 900 roubles.
5 - 850 kilos. - 1150 roubles.
Le ratio initial pour déterminer le prix moyen des actions est le rapport entre le montant total des transactions (TVA) et le nombre d'actions vendues (KPA) :
OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3 634 500 ;
KPA = 800+650+700+550+850=3550.
Dans ce cas, le cours moyen de l’action était égal à
Il est nécessaire de connaître les propriétés de la moyenne arithmétique, ce qui est très important tant pour son utilisation que pour son calcul. On peut distinguer trois propriétés principales qui ont le plus déterminé l'utilisation généralisée de la moyenne arithmétique dans les calculs statistiques et économiques.
Propriété un (zéro) : la somme des écarts positifs des valeurs individuelles d'une caractéristique par rapport à sa valeur moyenne est égale à la somme des écarts négatifs. Il s'agit d'une propriété très importante, car elle montre que tous les écarts (à la fois + et -) causés par des raisons aléatoires s'annuleront mutuellement.
Preuve:
Propriété deux (minimum) : la somme des écarts carrés des valeurs individuelles d'une caractéristique par rapport à la moyenne arithmétique est inférieure à celle de tout autre nombre (a), c'est-à-dire il y a un nombre minimum.
Preuve.
Compilons la somme des écarts au carré par rapport à la variable a :
(5.4)
Pour trouver l'extremum de cette fonction, il faut assimiler sa dérivée par rapport à a à zéro :
De là, nous obtenons :
(5.5)
Par conséquent, l’extremum de la somme des carrés des écarts est atteint à . Cet extremum est un minimum, puisqu'une fonction ne peut pas avoir de maximum.
Troisième propriété : la moyenne arithmétique d'une valeur constante est égale à cette constante : pour a = const.
En plus de ces trois propriétés les plus importantes de la moyenne arithmétique, il existe ce qu'on appelle propriétés de conception, qui perdent progressivement de leur importance en raison de l'utilisation de la technologie informatique électronique :
si la valeur individuelle de l'attribut de chaque unité est multipliée ou divisée par un nombre constant, alors la moyenne arithmétique augmentera ou diminuera du même montant ;
la moyenne arithmétique ne changera pas si le poids (fréquence) de chaque valeur d'attribut est divisé par un nombre constant ;
si les valeurs individuelles de l'attribut de chaque unité sont réduites ou augmentées du même montant, alors la moyenne arithmétique diminuera ou augmentera du même montant.
Moyenne harmonique. Cette moyenne est appelée moyenne arithmétique inverse car cette valeur est utilisée lorsque k = -1.
Moyenne harmonique simple est utilisé lorsque les poids des valeurs d'attribut sont les mêmes. Sa formule peut être dérivée de la formule de base en substituant k = -1 :
Par exemple, il faut calculer la vitesse moyenne de deux voitures qui ont parcouru le même trajet, mais à des vitesses différentes : la première à une vitesse de 100 km/h, la seconde à 90 km/h. En utilisant la méthode de la moyenne harmonique, nous calculons la vitesse moyenne :
Dans la pratique statistique, on utilise plus souvent la pondération harmonique, dont la formule a la forme
Cette formule est utilisée dans les cas où les poids (ou volumes de phénomènes) pour chaque attribut ne sont pas égaux. Dans le rapport initial de calcul de la moyenne, le numérateur est connu, mais le dénominateur est inconnu.
En mathématiques, la moyenne arithmétique des nombres (ou simplement la moyenne) est la somme de tous les nombres d'un ensemble donné divisée par le nombre de nombres. Il s'agit de la notion de valeur moyenne la plus généralisée et la plus répandue. Comme vous l'avez déjà compris, pour trouver, vous devez additionner tous les nombres qui vous sont donnés et diviser le résultat obtenu par le nombre de termes.
Quelle est la moyenne arithmétique ?
Regardons un exemple.
Exemple 1. Nombres donnés : 6, 7, 11. Vous devez trouver leur valeur moyenne.
Solution.
Tout d’abord, trouvons la somme de tous ces nombres.
Divisez maintenant la somme obtenue par le nombre de termes. Puisque nous avons trois termes, nous diviserons donc par trois.
La moyenne des nombres 6, 7 et 11 est donc 8. Pourquoi 8 ? Oui, car la somme de 6, 7 et 11 équivaudra à trois huit. Cela se voit clairement sur l’illustration.
La moyenne, c’est un peu comme « égaliser » une série de chiffres. Comme vous pouvez le constater, les piles de crayons sont devenues au même niveau.
Regardons un autre exemple pour consolider les connaissances acquises.
Exemple 2. Nombres donnés : 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Vous devez trouver leur moyenne arithmétique.
Solution.
Trouvez le montant.
3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330
Divisez par le nombre de termes (dans ce cas - 15).
La valeur moyenne de cette série de nombres est donc 22.
Examinons maintenant les nombres négatifs. Rappelons comment les résumer. Par exemple, vous avez deux nombres 1 et -4. Trouvons leur somme.
1 + (-4) = 1 - 4 = -3
Sachant cela, regardons un autre exemple.
Exemple 3. Trouvez la valeur moyenne d'une série de nombres : 3, -7, 5, 13, -2.
Solution.
Trouvez la somme des nombres.
3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12
Puisqu’il y a 5 termes, divisez la somme obtenue par 5.
Par conséquent, la moyenne arithmétique des nombres 3, -7, 5, 13, -2 est 2,4.
À notre époque de progrès technologique, il est beaucoup plus pratique d’utiliser des programmes informatiques pour trouver la valeur moyenne. Microsoft Office Excel en fait partie. Trouver la moyenne dans Excel est simple et rapide. De plus, ce programme est inclus dans le progiciel Microsoft Office. Regardons une brève instruction, la valeur de l'utilisation de ce programme.
Afin de calculer la valeur moyenne d'une série de nombres, vous devez utiliser la fonction MOYENNE. La syntaxe de cette fonction est la suivante :
= Moyenne(argument1, argument2, ... argument255)
où argument1, argument2, ... argument255 sont soit des nombres, soit des références de cellules (les cellules font référence à des plages et des tableaux).
Pour que ce soit plus clair, testons les connaissances que nous avons acquises.
- Entrez les nombres 11, 12, 13, 14, 15, 16 dans les cellules C1 à C6.
- Sélectionnez la cellule C7 en cliquant dessus. Dans cette cellule, nous afficherons la valeur moyenne.
- Cliquez sur l'onglet Formules.
- Sélectionnez Plus de fonctions > Statistiques pour ouvrir
- Sélectionnez MOYENNE. Après cela, une boîte de dialogue devrait s'ouvrir.
- Sélectionnez et faites glisser les cellules C1 à C6 pour définir la plage dans la boîte de dialogue.
- Confirmez vos actions avec le bouton "OK".
- Si vous avez tout fait correctement, vous devriez avoir la réponse dans la cellule C7 - 13.7. Lorsque vous cliquez sur la cellule C7, la fonction (=Moyenne(C1:C6)) apparaîtra dans la barre de formule.
Cette fonctionnalité est très utile pour la comptabilité, les factures ou lorsque vous avez simplement besoin de trouver la moyenne d'une très longue série de chiffres. C’est pourquoi il est souvent utilisé dans les bureaux et les grandes entreprises. Cela vous permet de maintenir l'ordre dans vos dossiers et de calculer rapidement quelque chose (par exemple, le revenu mensuel moyen). Vous pouvez également utiliser Excel pour trouver la valeur moyenne d'une fonction.
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