Mit kell tudni a Penrose -háromszögről? Lehetetlen háromszög Egyéb Penrose -figurák.

Üdvözlöm a blog oldal kedves olvasóit. Rustam Zakirov kapcsolatba lép, és van egy másik cikkem az Ön számára, amelynek témája a Penrose -háromszög rajzolása. Ma szeretném megmutatni, milyen egyszerű és egyszerű egy lehetetlen háromszöget rajzolni. Ebből a háromszögből két rajzot rajzolunk, az egyik közönséges lesz, a második egy igazi 3D -s rajz. És mindez meglepően egyszerű lesz. Ebből a háromszögből valódi 3D rajzot készíthet. Kétlem, hogy ezt bárhol máshol is megmutatják, ezért olvassa el a cikket a végéig és nagyon óvatosan.

Rajzainkhoz, mint mindig, szükségünk van: egy darab papírra, egyszerű ceruzákra (lehetőleg egy "közepes", "másik puha") és több színes ceruzára vagy filctollra.

Milyen egyszerű bármilyen 3D rajzot rajzolni.

Ezt a lehetetlen háromszöget húztam ki ebből a közönséges képből, amelyet most találtam az interneten. Ott van.

Aztán pár perc alatt a segítségével lefordította 3D -re . Így szinte bármilyen képet lefordíthat 3D -re. Aki ugyanezt szeretné megtanulni, kattintson ide.

És továbblépünk a rajzunkhoz.

Rajzolunk egy szabályos háromszög rajzot.

1. LÉPÉS. Fordítunk a monitor képernyőjéről.

Annak érdekében, hogy rajzoljon egy háromszöget, a következőket kell tennie. Fogja a papírlapját, és a monitor képernyőjén lévő háromszögnek támasztja, és csak lefordítja.

És mivel a mi háromszögünk egyáltalán nem bonyolult, elegendő csak a fő pontokat feltenni minden sarkába.

És akkor megnézzük az eredetit, és összekötjük ezeket a pontokat egy vonalzóval. Így kaptam.

Minden háromszögünk készen áll. Hagyhatja így is, de díszítsük még egy kicsit. Ezt színes ceruzákkal csináltam. Miután teljesen kiszíneztük a háromszögünket, ismét körvonalazzuk le egy egyszerű puha ceruzával.

Ezen a ponton a szokásos Penrose -háromszögünk teljesen készen áll, és továbblépünk ugyanarra a háromszögre.

Rajzolunk egy háromszög 3D -s rajzát.

1. LÉPÉS. Fordítunk.

Ugyanúgy járunk el, mint egy szabályos mintával. Adok egy kész háromszöget, már lefordítva 3D formátumra. Itt van.

És lefordítod. Mindent ugyanúgy csinálunk, mint egy rendes rajznál. Fogja a papírlapját, nekitámasztja a monitor képernyőjét, a lap átragyog, és egyszerűen lefordítja a kész 3D rajzot a lapjára.

Íme, mi történt velem.

A háromszög mérete növelhető vagy csökkenthető. Ehhez csak meg kell változtatnia a monitor skáláját. Tartsa lenyomva a Ctrl billentyűt, és görgessen az egérgörgővel.

Nyugodtan mondhatjuk, hogy a 3D rajzunk már kész. Nekem kb 3 percembe telt. Ezen elvileg nyugodtan befejezheti, de színezzük újra a háromszögünket.

A lehetetlen háromszög az egyik csodálatos matematikai paradoxon. Első pillantásra egy pillanatig sem kételkedhet valódi létezésében. Ez azonban csak illúzió, megtévesztés. És egy ilyen illúzió lehetőségét a matematika elmagyarázza nekünk!

A Penrose felfedezése

A British Journal of Psychology 1958 -ban publikálta L. Penrose és R. Penrose cikkét, amelyben új típusú optikai csalódást vezettek be, amelyet "lehetetlen háromszögnek" neveztek.

A vizuálisan lehetetlen háromszöget háromdimenziós térben ténylegesen létező szerkezetnek fogjuk fel, amely téglalap alakú rudakból áll. De ez csak optikai csalódás. Lehetetlen felépíteni a lehetetlen háromszög valódi modelljét.

A Penrose cikk több lehetőséget is tartalmazott egy lehetetlen háromszög ábrázolására. - "klasszikus" bemutatója.

Melyek a lehetetlen háromszög elemei?

Pontosabban, milyen elemekből tűnik számunkra épülőnek? A kialakítás egy téglalap alakú sarokra épül, amelyet két azonos téglalap alakú rúd derékszögben történő összekapcsolásával kapunk. Három darab ilyen sarok szükséges, és a rudak tehát hat darab. Ezeket a sarkokat bizonyos módon vizuálisan kell „összekapcsolni” egymással, hogy zárt áramkört képezzenek. Ami történik, az a lehetetlen háromszög.

Helyezze az első sarkot a vízszintes síkba. A második sarkot hozzáerősítjük, egyik szélét felfelé irányítva. Végül adja hozzá a harmadik sarkot ehhez a második sarokhoz úgy, hogy éle párhuzamos legyen az eredeti vízszintes síkkal. Ebben az esetben az első és a harmadik sarok két széle párhuzamos lesz, és különböző irányba irányul.

Ha a rudat egységnyi hosszúságú szegmensnek tekintjük, akkor az első sarok rudainak végei koordinátákkal rendelkeznek, és a második sarok -, és a harmadik -, és. Kaptunk egy "csavart" szerkezetet, amely valójában létezik a háromdimenziós térben.

Most próbáljuk meg mentálisan nézni a tér különböző pontjairól. Képzeld el, hogyan néz ki az egyik pontból, a másikból, a harmadikból. Amikor megváltoztatja a megfigyelési pontot, úgy tűnik, hogy sarkaink két "vég" széle mozog egymáshoz képest. Nem nehéz olyan pozíciót találni, amelyben összekapcsolódnak.

De ha az élek közötti távolság sokkal kisebb, mint a sarkoktól a pontig terjedő távolság, ahonnan a szerkezetünket vizsgáljuk, akkor mindkét él vastag lesz számunkra, és felmerül az ötlet, hogy ez a két él valójában egymás kiterjesztése. Ezt a helyzetet a 4.

Egyébként, ha egyszerre nézzük a szerkezet tükröződését a tükörben, akkor nem látunk ott zárt áramkört.

A választott megfigyelési pontból pedig saját szemünkkel látunk egy megtörtént csodát: van egy zárt kör három sarokból. Csak ne változtassa meg nézőpontját, hogy ez az illúzió ne pusztuljon el. Most rajzolhat egy látható tárgyat, vagy elhelyezheti a fényképezőgép lencséjét a megtalált ponton, és fényképet kaphat egy lehetetlen tárgyról.

A Penrose volt az első, aki érdeklődni kezdett a jelenség iránt. Kihasználták a háromdimenziós tér és a háromdimenziós objektumok kétdimenziós síkon történő feltérképezésekor felmerülő lehetőségeket, és felhívták a figyelmet bizonyos tervezési bizonytalanságokra-a nyitott szerkezet három sarokból zárt áramkörként fogható fel.

A Penrose -háromszög lehetetlenségének bizonyítása

A síkban lévő háromdimenziós objektumok kétdimenziós képének jellemzőit elemezve megértettük, hogy ennek a kijelzőnek a jellemzői hogyan vezetnek egy lehetetlen háromszöghez. Talán valakit egy tisztán matematikai bizonyítás is érdekel.

Rendkívül könnyű bizonyítani, hogy egy lehetetlen háromszög nem létezik, mert mindegyik szöge helyes, és ezek összege 270 fok az "előírt" 180 fok helyett.

Sőt, még akkor is, ha 90 foknál kisebb sarkokból ragasztott lehetetlen háromszöget tekintünk, akkor ebben az esetben bizonyítani tudjuk, hogy lehetetlen háromszög nem létezik.

Három lapos arcot látunk. Párokban metszik egymást egyenes vonal mentén. Az ezeket az arcokat tartalmazó síkok párban merőlegesek, ezért egy pontban metszik egymást.

Ezenkívül a síkok kölcsönös metszésvonalának ezen a ponton kell áthaladnia. Ezért az 1, 2, 3 egyeneseknek egy pontban metszeniük kell egymást.

De ez nem így van. Ezért a bemutatott terv lehetetlen.

"Lehetetlen" művészet

Ennek vagy annak az elképzelésnek a sorsa - tudományos, technikai, politikai - sok körülménytől függ. És nem utolsósorban, hogy milyen formában kerül bemutatásra ez az elképzelés, milyen képben jelenik meg a nagyközönség előtt. A megtestesülés száraz lesz és nehezen érzékelhető, vagy éppen ellenkezőleg, az ötlet megjelenése fényes lesz, és akaratunk ellenére is leköti a figyelmünket.

A lehetetlen háromszögnek boldog sorsa van. 1961 -ben Moritz Escher holland művész elkészítette a litográfiát, amelyet "vízesésnek" nevezett el. A művész hosszú, de gyors utat tett meg a lehetetlen háromszög ötletétől a lenyűgöző művészi megtestesüléséig. Emlékezzünk vissza, hogy a Penrose -cikk 1958 -ban jelent meg.

A "Vízesés" középpontjában a két lehetetlen háromszög látható. Az egyik háromszög nagy, benne egy másik háromszög. Úgy tűnhet, hogy három egyforma lehetetlen háromszöget ábrázolnak. De nem ez a lényeg, a bemutatott kialakítás meglehetősen bonyolult.

Ha röviden pillantunk rá, annak abszurditása nem lesz azonnal nyilvánvaló mindenki számára, és nem azonnal, mivel minden bemutatott kapcsolat lehetséges. ahogy mondani szokták, helyileg, vagyis a rajz egy kis területén megvalósítható egy ilyen kialakítás ... De általában lehetetlen! Egyedi darabjai nem illenek össze, nem egyeznek meg egymással.

És ennek megértéséhez bizonyos szellemi és vizuális erőfeszítéseket kell tennünk.

Kiránduljunk egyet a szerkezet szélein. Ez az út figyelemre méltó abból a szempontból, hogy mentén, úgy tűnik számunkra, a vízszintes síkhoz viszonyított szint változatlan marad. Ezen az úton haladva sem fel, sem le nem megyünk.

És minden rendben lenne, mint általában, ha az út végén - nevezetesen a ponton - nem találnánk, hogy a kezdeti, kezdeti ponthoz képest valahogy titokzatosan elképzelhetetlen módon másztunk fel a függőlegesre!

Ahhoz, hogy ezt a paradox eredményt elérjük, ezt az utat kell választanunk, és még a vízszintes síkhoz viszonyított szintet is szemmel kell tartanunk ... Nem könnyű feladat. Döntésében Escher jött segítségre ... víz. Emlékezzünk vissza a mozgásról szóló dalra Franz Schubert csodálatos énekciklusából "The Beautiful Miller":

És először a képzeletben, majd egy csodálatos mester kezében a meztelen és száraz szerkezetek vízvezetékké alakulnak, amelyek mentén tiszta és gyors vízfolyások futnak. Mozgásuk elragadja a szemünket, és most akaratunk ellenére rohanunk lefelé az út minden kanyarulatát és kanyarulatát követve, a patakkal együtt, amelyet lebontunk, a vízimalom pengéire esünk, majd ismét rohanunk lefelé. .

Egyszer, kétszer, háromszor megkerüljük ezt az utat ... és csak akkor vesszük észre: be- és kilépve valahogy fantasztikusan emelkedünk a csúcsra! A kezdeti meglepetés egyfajta szellemi kényelmetlenséggé alakul. Úgy tűnik, hogy valamilyen gyakorlati vicc áldozatává váltunk, valamilyen vicc tárgyává, amit még nem értettünk.

És ismét megismételjük ezt az utat egy furcsa vízvezeték mentén, most lassan, óvatosan, mintha rettegéstől tartanánk a paradox képen, és kritikusan érzékelnénk mindent, ami ezen a titokzatos úton történik.

Megpróbáljuk feltárni a minket rejtő rejtélyt, és nem tudunk elmenekülni fogságából, amíg meg nem találjuk a rejtett rugót, amely a tövében fekszik, és megállíthatatlan mozgásba vezeti az elképzelhetetlen forgószelet.

A művész kifejezetten hangsúlyozza, ráerőlteti ránk festményeinek valódi háromdimenziós tárgyak képeinek felfogását. A térfogatot hangsúlyozza, hogy a tornyokon egészen valódi poliéder kép látható, téglafal, minden tégla legpontosabb ábrázolásával a vízvezeték falain, emelkedő teraszok kertekkel a háttérben. Minden célja, hogy meggyőzze a nézőt a valóságról a történtekről. És a művészetnek és a kiváló technológiának köszönhetően ezt a célt elérték.

Amikor kiszabadulunk a fogságból, amelybe tudatunk esik, elkezdjük összehasonlítani, szembeállítani, elemezni, és azt tapasztaljuk, hogy ennek a képnek az alapja, forrása a tervezési jellemzőkben rejlik.

És kaptunk még egyet - "fizikai" bizonyítékot a "lehetetlen háromszög" lehetetlenségére: ha létezne ilyen háromszög, akkor ott lenne Escher "Vízesése", ami lényegében örökmozgó. De az örökmozgató lehetetlen, ezért a "lehetetlen háromszög" is lehetetlen. És talán ez a "bizonyíték" a legmeggyőzőbb.

Mitől lett Moritz Escher olyan jelenség, egyedülálló, amelynek nem voltak nyilvánvaló elődei a művészetben, és amelyet nem lehet utánozni? Ez a síkok és a kötetek kombinációja, nagy figyelem a mikrokozmosz bizarr formáira - élő és élettelen, a hétköznapi dolgok szokatlan nézőpontjaira. Kompozícióinak fő hatása az ismerős tárgyak közötti lehetetlen kapcsolatok megjelenésének hatása. Ezek a helyzetek első pillantásra megijeszthetnek és mosolyt csalhatnak. Örömmel tekinthet a művész által kínált szórakozásra, vagy komolyan elmerülhet a dialektika mélyén.

Moritz Escher megmutatta, hogy a világ teljesen más lehet, mint amit látunk és megszoktunk észlelni - csak más, új szemszögből kell ránéznünk!

Moritz Escher

Moritz Escher tudósként szerencsésebb volt, mint művész. Nyomtatványait és litográfiáit a józan ésszel sértő tétel-bizonyító vagy eredeti ellenpéldák nyomának tekintették. A legrosszabb esetben kiváló illusztrációnak tekintették őket a kristálytudomány, a csoportelmélet, a kognitív pszichológia vagy a számítógépes grafika tudományos értekezései számára. Moritz Escher a tér, az idő és azonosságuk közötti kapcsolatok területén dolgozott, a mozaikok alapvető mintáit használta, átalakításokat alkalmazott rájuk. Ez az optikai csalás nagy mestere. Escher metszetei nem a képletek világát, hanem a világ szépségét ábrázolják. Szellemi felépítésük alapvetően ellentéte a szürrealisták logikátlan alkotásainak.

Moritz Cornelius Escher holland művész 1898. június 17 -én született Hollandiában. A ház, ahol Escher született, ma múzeumnak ad otthont.

Moritz 1907 óta ácsot és zongorát tanul, középiskolában tanul. Moritz osztályzata minden tantárgyból gyenge volt, kivéve a rajzot. A rajztanár észrevette a fiú tehetségét, és megtanította fametszetek készítésére.

1916 -ban Escher befejezte első grafikai munkáját, a lila linóleumra vésett metszetet - apja, GA Escher portréját. Meglátogatja Gert Stiegemann művész stúdióját, akinek nyomdája volt. Erre a gépre nyomtatták ki Escher első metszeteit.

1918-1919 között Escher a hollandiai Delft város Műszaki Főiskoláján járt. A katonai szolgálattól felfüggesztették, hogy folytassa tanulmányait, de rossz egészségi állapota miatt Moritz nem birkózott meg a tananyaggal, ezért kizárták. Ennek eredményeként soha nem végzett. Haarlem városának Építészeti és Dísziskolájában tanul, ahol rajzleckéket vesz Samuel Jeseren de Mesquite -tól, aki formáló hatással volt Escher életére és munkásságára.

1921 -ben az Escher család meglátogatta a Riviérát és Olaszországot. A mediterrán éghajlat növényzetétől és virágaitól elbűvölve Moritz részletes rajzokat készített kaktuszokról és olajfákról. Sok vázlatot rajzolt a hegyi tájakról, amelyek később munkájának alapját képezték. Később folyamatosan visszatér Olaszországba, amely inspirációs forrásként szolgál majd számára.

Escher új irányba kezd kísérletezni önmagának, munkáiban ekkor is tükörképek, kristályfigurák és gömbök vannak.

A húszas évek vége igen termékeny időszaknak bizonyult Moritz számára. Munkáit számos holland kiállításon mutatták be, és népszerűsége 1929 -re elérte azt a szintet, hogy öt egyéni kiállítást rendeztek Hollandiában és Svájcban egy év alatt. Ebben az időszakban nevezték először Escher festményeit mechanikusnak és "logikusnak".

Escher sokat utazik. Olaszországban és Svájcban, Belgiumban él. Mór mozaikokat tanulmányoz, litográfiákat, metszeteket készít. Utazási vázlatok alapján elkészíti első festményét egy lehetetlen valóságról Csendélet utcával.

A harmincas évek végén Escher tovább kísérletezett a mozaikokkal és az átalakításokkal. Mozaikot készít két egymás felé repülő madár formájában, amely a "Nap és éjszaka" festmény alapját képezte.

1940 májusában a nácik elfoglalták Hollandiát és Belgiumot, május 17 -én pedig Brüsszel, ahol Escher és családja lakott, a megszállás övezetébe került. Találnak egy házat Várnában, és 1941 februárjában költöznek oda. Napjainak végéig Escher ebben a városban fog élni.

1946 -ban Escher érdeklődni kezdett az mélynyomtatási technológia iránt. És bár ez a technológia sokkal bonyolultabb volt, mint amit Escher korábban használt, és több időt vett igénybe a kép létrehozásához, az eredmények lenyűgözőek voltak - vékony vonalak és pontos árnyékvisszaadás. A mélynyomó technika egyik leghíresebb műve, a "Harmatcsepp" 1948 -ban készült el.

1950 -ben Moritz Escher népszerűségre tett szert oktatóként. Ugyanakkor 1950 -ben megtartották első egyéni kiállítását az Egyesült Államokban, és elkezdték megvásárolni munkáit. 1955. április 27 -én Moritz Escher lovaggá ütött, és nemessé válik.

Az 50-es évek közepén Escher a mozaikokat a végtelenségig terjedő figurákkal ötvözi.

A hatvanas évek elején megjelent az első könyv Escher műveivel, a Grafiek en Tekeningen, amelyben maga a szerző 76 műhöz fűzött megjegyzést. A könyv segített megértést szerezni a matematikusok és a kristálytudósok körében, többek között Oroszországból és Kanadából.

1960 augusztusában Escher előadást tartott a kristálytudományról Cambridge -ben. Escher munkájának matematikai és kristálytani vonatkozásai egyre népszerűbbek.

1970 -ben, egy új műveletsor után Escher új házba költözött Larenbe, ahol volt egy műterem, de a rossz egészségi állapot miatt nem tudott sokat dolgozni.

1971 -ben Moritz Escher 73 éves korában elhunyt. Escher elég sokáig élt ahhoz, hogy az "MC Escher's World" könyvet angolra fordítsa, és nagyon elégedett volt vele.

Különféle lehetetlen képek találhatók a matematikusok és programozók honlapjain. A legteljesebb verzió, amelyet áttekintettünk, véleményünk szerint Vlad Alekseev webhelye

Ez az oldal nemcsak jól ismert festményeket mutat be, köztük M. Escher-t, hanem animált képeket, lehetetlen állatok vicces rajzait, érméket, bélyegeket stb. Ez az oldal él, rendszeresen frissítik és csodálatos rajzokkal töltik fel.

Számos lehetetlen figurát találtak ki - egy létrát, egy háromszöget és egy x -hegyet. Ezek a számok valójában teljesen valósak a térfogati képen. De amikor a művész papírra vetíti a kötetet, a tárgyak lehetetlennek tűnnek. A háromszög, amelyet "törzsnek" is neveznek, csodálatos példája lett annak, hogy a lehetetlen lehetségessé válik, ha erőfeszítéseket tesz.

Mindezek az ábrák gyönyörű illúziók. Az emberi zsenialitás eredményeit olyan művészek használják, akik imp-art stílusban festenek.

Semmi sem lehetetlen. Ez elmondható a Penrose -háromszögről. Ez egy geometriailag lehetetlen alak, amelynek elemei nem kapcsolhatók össze. Végül is lehetségessé vált a lehetetlen háromszög. Oskar Reutersvärd svéd festő 1934 -ben egy lehetetlen kockákból álló háromszöget ajándékozott a világnak. A. Reutersvärdet tartják e vizuális illúzió felfedezőjének. Ennek az eseménynek tiszteletére ezt a rajzot később egy svéd postabélyegre nyomtatták.

1958 -ban pedig Roger Penrose matematikus publikációt tett közzé egy angol folyóiratban lehetetlen alakokról. Ő alkotta meg az illúzió tudományos modelljét. Roger Penrose hihetetlen tudós volt. Kutatásokat végzett a relativitás, valamint a lenyűgöző kvantumelmélet területén. S. Hawkinggal együtt Farkas -díjat kapott.

Ismeretes, hogy a művész, Maurits Escher, aki lenyűgözte ezt a cikket, lefestette csodálatos munkáját - a "Waterfall" litográfiát. De lehetséges -e Penrose -háromszög létrehozása? Hogyan lehet megtenni, ha lehetséges?

Törzs és valóság

Bár az ábrát lehetetlennek tartják, a Penrose -háromszög elkészítése saját kezével egyszerűbb, mint valaha. Papírból készülhet. Az origami szerelmesei egyszerűen nem hagyhatták figyelmen kívül a törzset, és mégis megtaláltak egy módot arra, hogy létrehozzanak és a kezükben tartsanak valamit, ami korábban a tudós felháborító fantáziájának tűnt.

A saját szemünk azonban becsap minket, ha három merőleges egyenes háromdimenziós objektumának vetületét nézzük. A szemlélőnek úgy tűnik, hogy lát egy háromszöget, bár a valóságban nem az.

A hajó geometriája

A törzsi háromszög, mint mondtuk, valójában nem háromszög. A Penrose -háromszög illúzió. Csak egy bizonyos szögben néz ki az objektum egyenlő oldalú háromszögnek. Azonban egy tárgy természetes formájában egy kocka 3 arca. Egy ilyen izometrikus vetületen 2 szög esik egybe a síkon: a nézőtől közeli és a távoli.

Az optikai csalódás természetesen gyorsan kiderül, amint felveszi ezt a tárgyat. Az árnyék pedig az illúziót is elárulja, hiszen a törzs árnyéka jól mutatja, hogy a szögek a valóságban nem esnek egybe.

Papírból készült törzs. Sémák

Hogyan készítsünk saját kezű Penrose-háromszöget papírból? Van valami vázlata ennek a modellnek? A mai napig 2 tájékozódási pontot találtak ki egy ilyen lehetetlen háromszög hajtogatására. A geometria alapjai pontosan megmondják, hogyan kell összehajtani egy objektumot.

A Penrose háromszög saját kezűleg történő hajtogatásához csak 10-20 percet kell szánnia. Fel kell készítenie a ragasztót, az ollót több vágáshoz és a papírt, amelyre a diagram nyomtatva van.

Egy ilyen nyersdarabból a legnépszerűbb lehetetlen háromszöget kapjuk. Az origami mesterséget nem túl nehéz elkészíteni. Ezért minden bizonnyal működni fog először, és még egy olyan diák esetében is, aki most kezdte el a geometria tanulmányozását.

Amint látja, nagyon szép mesterségnek bizonyul. A második darab másképp néz ki és másképp hajtogatható, de maga a Penrose -háromszög ugyanúgy néz ki a végén.

A Penrose -háromszög papírból való létrehozásának szakaszai.

Válassza ki az Önnek megfelelő 2 sablon egyikét, másolja a fájlt és nyomtassa ki. Íme egy példa egy második elrendezési modellre, amelyet egy kicsit könnyebb végrehajtani.

Maga az origami "Tribar" sablonja már tartalmazza az összes szükséges tippet. Valójában sematikus utasításra nincs szükség. Elég csak letölteni egy vastag papírhordozóra, különben kényelmetlen lesz a munka, és az ábra nem fog működni. Ha nem tud azonnal kartonra nyomtatni, akkor vázlatot kell csatolnia az új anyaghoz, és a kontúr mentén le kell vágnia a rajzot. A kényelem érdekében tűzhető.

Mi legyen a következő? Hogyan hajtsuk össze a Penrose háromszöget saját kezünkkel szakaszosan? Ezt a cselekvési tervet kell követnie:

1. Az olló hátuljával irányítjuk azokat a vonalakat, ahol hajlítani kell, az utasítások szerint. Hajlítsa meg az összes vonalat
2. Szükség esetén vágásokat végzünk.
3. PVA segítségével ragasztjuk azokat a darabokat, amelyeket az alkatrész egyetlen egésszé való rögzítésére szánunk.

A kész modell bármilyen színben átfesthető, vagy előre vihet színes kartont a munkához. De még akkor is, ha a tárgy fehér papírból készült, mindenkit, aki először lép be a nappaliba, minden bizonnyal elbátortalanítja egy ilyen mesterség.

Háromszög rajza

Hogyan rajzoljunk Penrose -háromszöget? Nem mindenki szeret origamit csinálni, de sokan rajzolnak.

Először egy tetszőleges méretű közönséges négyzetet ábrázolunk. Ezután egy háromszöget rajzolunk belsejébe, amelynek alapja a négyzet alsó oldala. Egy kis téglalap illeszkedik minden sarokba, amelynek minden oldala törlődik; csak a háromszöggel szomszédos oldalak maradnak. Erre azért van szükség, hogy a vonalak egyenesek maradjanak. Kiderül, hogy egy háromszög csonka sarkokkal.

A következő lépés a második dimenzió megjelenítése. A felső alsó sarok bal oldaláról szigorúan egyenes vonal húzódik. Ugyanez a vonal húzódik, a bal alsó sarokból kiindulva, és kissé nem kerül a 2. dimenzió első sorába. Egy másik vonal húzódik a jobb sarokból, párhuzamosan a fő alakzat alsó oldalával.

Az utolsó szakasz - a második dimenzió belsejében, a harmadik még három kis vonal segítségével rajzolódik meg. A kis vonalak a második dimenzió soraiból indulnak, és befejezik a háromdimenziós kötet képét.

Egyéb Penrose figurák

Ugyanezzel az analógiával más alakokat is rajzolhat - négyzetet vagy hatszöget. Az illúziót tiszteletben tartják. De ezek a számok már nem olyan csodálatosak. Ezek a sokszögek csak erősen csavartnak tűnnek. A modern grafika lehetővé teszi a híres háromszög érdekesebb verzióinak elkészítését.

A háromszög mellett a Penrose lépcső is világhírű. Az ötlet a szemek megtévesztése, amikor úgy tűnik, hogy az ember az óramutató járásával megegyező irányban haladva folyamatosan emelkedik felfelé, és ha az óramutató járásával ellentétes irányban mozog, akkor lefelé.

A folyamatos lépcső leginkább arról ismert, hogy M. Escher "Emelkedés és ereszkedés" című festményével társul. Érdekes, hogy amikor valaki elhalad ezen az illuzórikus lépcső mind a 4 járatán, akkor mindig oda jut, ahonnan elindult.

Más tárgyakról ismert, hogy félrevezetik az emberi elmét, például a lehetetlen sáv. Vagy egy doboz, amely ugyanazon illúziós törvények szerint készült, metsző élekkel. De mindezeket a tárgyakat már feltalálták egy figyelemre méltó tudós - Roger Penrose - cikke alapján.

Lehetetlen háromszög Perthben

A matematikusról elnevezett figurát megtisztelik. Emlékművet állítottak neki. 1999 -ben Ausztrália egyik városában (Perth) egy nagy alumínium Penrose háromszöget szereltek fel, amely 13 méter magas. A turisták örömmel fényképeznek az alumínium óriás mellett. De ha más látószöget választ a fényképhez, akkor a megtévesztés nyilvánvalóvá válik.

A lehetetlen alak az optikai csalódások egyik fajtája, olyan alak, amely első pillantásra egy közönséges háromdimenziós objektum vetületének tűnik,

alapos vizsgálat után láthatóvá válnak az ábra elemeinek egymásnak ellentmondó összefüggései. Létrejön az illúzió, hogy egy ilyen figura háromdimenziós térben nem létezik.

♦♦♦
Lehetetlen számadatok

A leghíresebb lehetetlen alakok a lehetetlen háromszög, a végtelen lépcső és a lehetetlen hármas.

Lehetetlen Perrose háromszög

A Reutersvard illúziója (Reutersvard, 1934)

Figyeljük meg azt is, hogy az alak-alapú szervezet változása lehetővé tette a központilag elhelyezkedő „csillag” észlelését.
_________

Escher lehetetlen kockája

Valójában minden lehetetlen alak létezhet a való világban. Tehát minden papírra rajzolt objektum háromdimenziós objektum vetülete, ezért létrehozhat egy olyan háromdimenziós objektumot, amely síkra vetítve lehetetlennek tűnik. Ha egy ilyen tárgyat egy bizonyos pontról nézünk, az is lehetetlennek tűnik, de ha bármely más pontról nézzük, akkor a lehetetlenség hatása elvész.

A lehetetlen háromszög 13 méteres alumíniumszobrát 1999-ben állították fel Perth városában (Ausztrália). Itt a lehetetlen háromszöget a legáltalánosabb formájában ábrázolták - három, egymással derékszögben összekapcsolt gerenda formájában.

Az istenverte villa
Az összes lehetetlen alak közül a lehetetlen hármas ("ördögvilla") különleges helyet foglal el.

Ha a kezünkkel bezárjuk a háromszög jobb oldalát, akkor egy nagyon valós képet látunk - három kerek fogat. Ha bezárjuk a háromszög alsó részét, akkor valódi képet is látni fogunk - két téglalap alakú fogat. De ha az egész figurát összességében vesszük figyelembe, kiderül, hogy három kerek fog fokozatosan két téglalap alakúra változik.

Így látható, hogy ennek a rajznak az előtere és a háttere ütköznek. Vagyis az, ami eredetileg az előtérben volt, visszamegy, és a háttér (középső fog) előmászik. Ennek az ábrának az előtér és a háttér megváltoztatása mellett van egy másik hatása is - a háromszög jobb oldalának lapos szélei balra kerekek lesznek.

A lehetetlenség hatása annak köszönhető, hogy agyunk elemzi az alak kontúrját, és megpróbálja megszámolni a fogak számát. Az agy összehasonlítja a rajz bal és jobb oldalán lévő ábrán látható fogak számát, ami lehetetlenné teszi az alakot. Ha az ábrán a fogak száma lényegesen nagyobb lenne (például 7 vagy 8), akkor ez a paradoxon kevésbé lenne hangsúlyos.

Egyes könyvek azt állítják, hogy a lehetetlen háromszög a lehetetlen alakok osztályába tartozik, amelyeket a való világban nem lehet újra létrehozni. Valójában ez nem így van. MINDEN lehetetlen alak látható a való világban, de csak egyetlen szempontból lehetetlennek tűnnek.

______________

Lehetetlen elefánt


Hány lába van egy elefántnak?

Roger Shepard Stanford pszichológus a trident ötletét használta a lehetetlen elefántról készült festményén.

______________

Penrose létra(végtelen lépcső, lehetetlen lépcső)

A végtelen létra "az egyik leghíresebb klasszikus lehetetlenség.

Ez egy olyan lépcsőszerkezet, amelyben az egyik irányba történő elmozdulás esetén (a cikk ábráján az óramutató járásával ellentétes irányban) az ember végtelenül mászni fog, és ha az ellenkező irányba halad, akkor folyamatosan leereszkedik .

Más szavakkal, lépcső jelenik meg előttünk, amely felfelé vagy lefelé vezet, ugyanakkor a rajta sétáló ember nem emelkedik fel és nem esik le. Miután elvégezte vizuális útvonalát, az út elején lesz. Ha tényleg fel kellene menni ezeken a lépcsőkön, céltalanul felmászna és lemenne végtelen számú alkalommal. Nevezheted végtelen sziszifuszi munkának!

Amióta a Penrose közzétette ezt az ábrát, gyakrabban jelent meg nyomtatásban, mint bármely más lehetetlen tárgy. A Végtelen létra megtalálható a játékokról, rejtvényekről, illúziókról, pszichológia tankönyvekről és más témákról szóló könyvekben.

"Emelés és süllyedés"

A "végtelen létrát" Maurits K. Escher művész sikeresen használta fel, ezúttal az "Ascent and Descent" varázslatos litográfiájában, amelyet 1960 -ban készítettek.
Ezen a rajzon, amely a Penrose -figura minden lehetőségét tükrözi, a teljesen felismerhető Végtelen lépcső szépen be van írva a kolostor tetőjébe. A csuklyás szerzetesek folyamatosan haladnak felfelé a lépcsőn az óramutató járásával megegyező és az óramutató járásával ellentétes irányban. Egy lehetetlen úton haladnak egymás felé. Sosem sikerül felfelé vagy lefelé menniük.

Ennek megfelelően a "Végtelen létra" gyakrabban társult Escherhez, aki újrarajzolta, mint a Penrose -hoz, aki feltalálta.

Hány polc van?

Hol van nyitva az ajtó?

Kifelé vagy befelé?

Lehetetlen alakok jelentek meg időnként a múlt mestereinek vásznán, például az akasztófa Pieter Bruegel (az idősebb) festményén
"Szarka az akasztófán" (1568)

__________

Lehetetlen ív

Jos de Mey flamand művész, aki a Genti Királyi Képzőművészeti Akadémián (Belgium) tanult, majd 39 évig belsőépítészetet és színeket tanított a diákoknak. 1968 óta a rajz a figyelem középpontjába került. A legismertebb a lehetetlen struktúrák aprólékos és reális ábrázolása.

A leghíresebbek a lehetetlen figurák Maurice Escher művész munkáiban. Az ilyen rajzok vizsgálatakor minden egyes részlet eléggé hihetőnek tűnik, de a vonal nyomon követésekor kiderül, hogy ez a vonal például nem a fal külső sarka, hanem a belső.

"Relativitás"

A holland Escher litográfiáját először 1953 -ban nyomtatták ki.

A litográfia egy paradox világot ábrázol, amelyben a valóság törvényeit nem alkalmazzák. Három valóság egyesül egy világban, három gravitációs erő merőlegesen irányul egymásra.

Építészeti szerkezet jött létre, a valóságot lépcsők egyesítik. Az emberek, akik ebben a világban, de a valóság különböző síkjaiban élnek, ugyanazt a lépcsőt felfelé vagy lefelé irányítják.

"Vízesés"

A holland Escher litográfiáját először 1961 októberében nyomtatták ki.

Ebben Escher munkájában egy paradoxont ​​ábrázolnak - a vízesés lehulló vize kereket hajt, amely a vizet a vízesés tetejére irányítja. A vízesés szerkezete a "lehetetlen" Penrose -háromszög: a litográfia a British Journal of Psychology cikke alapján készült.

A szerkezet három keresztrúdból áll, egymásra merőlegesen helyezve. A litográfia vízesése úgy működik, mint egy örökmozgó. Az is látszik, hogy mindkét torony egyforma; valójában a jobb oldali egy emelettel a bal torony alatt van.

Nos, és modernebb alkotások: o)
Végtelen fotózás

Csodálatos konstrukció

Sakktábla

♦♦♦
Fordított képek

Mit látsz: hatalmas varjú zsákmányt vagy halászt csónakban, halat és szigetet fákkal?

Raszputyin és Sztálin

Fiatalság és öregség

_________________

Nemes és királynő

A lehetetlen még lehetséges. És ennek élénk megerősítése a lehetetlen Penrose -háromszög. A múlt században fedezték fel, még mindig gyakran megtalálható a tudományos irodalomban. És bármennyire is elképesztően hangzik, akár saját maga is elkészítheti. És ezt nem nehéz megtenni. Sok rajongó vagy origami gyűjtés szerelmese már régóta képes erre.

A Penrose -háromszög jelentése

Ennek az ábrának több neve is van. Egyesek lehetetlen háromszögnek nevezik, mások csak háromsávot. De leggyakrabban megtalálható a "Penrose -háromszög" definíciója.

Ezen definíciók alatt az egyik lehetetlen alapvető szám érthető. A névből ítélve lehetetlen ilyen figurát kapni a valóságban. De a gyakorlatban bebizonyosodott, hogy ezt még meg lehet tenni. De csak akkor fog formát ölteni, ha egy bizonyos pontról nézzük a megfelelő szögben. Minden más oldalról nézve az ábra teljesen valós. Egy kocka három szélét ábrázolja. És könnyű ilyen szerkezetet készíteni.

Felfedezés története

A Penrose -háromszöget még 1934 -ben fedezte fel Oskar Reutersvard svéd művész. Az ábrát összeszerelt kockák formájában mutatták be. A jövőben a művészt "lehetetlen alakok atyjának" nevezték.

Talán a Reutersvard rajza kevéssé ismert volna. De 1954 -ben Roger Penrose svéd matematikus írt egy cikket a lehetetlen alakokról. Ez volt a háromszög második születése. Igaz, a tudós ismertebb formában mutatta be. Gerendákat használt, nem kockákat. A három gerenda 90 fokos szögben kapcsolódott egymáshoz. A különbség az is volt, hogy a Reutersvärd párhuzamos perspektívát használt festés közben. Penrose pedig lineáris perspektívát alkalmazott, ami még lehetetlenné tette a rajzot. Ez a háromszög 1958 -ban jelent meg egy brit pszichológiai folyóiratban.

1961 -ben a művész, Maurits Escher (Hollandia) megalkotta egyik legnépszerűbb litográfiáját, a "Waterfall" -t. Azt a benyomást keltették, amelyet egy lehetetlen alakokról szóló cikk okozott.

A múlt század nyolcvanas éveiben a törzst és más lehetetlen alakokat Svédország állami bélyegzőin ábrázolták. Ez több évig folytatódott.

A múlt század végén (pontosabban 1999 -ben) Ausztráliában létrehoztak egy alumíniumszobrot, amely a lehetetlen Penrose -háromszöget ábrázolja. Elérte a 13 méteres magasságot. Hasonló, csak kisebb méretű szobrok találhatók más országokban.

A valóságban lehetetlen

Ahogy sejtette, a Penrose -háromszög valójában nem a szokásos értelemben vett háromszög. Egy kocka három oldalát ábrázolja. De ha egy bizonyos szögből nézzük, akkor egy háromszög illúzióját kapjuk, mivel 2 szög teljesen egybeesik a síkon. A közeli és a távoli szög vizuálisan kombinálódik.

Ha óvatos, sejtheti, hogy a törzs nem más, mint egy illúzió. Az ábra tényleges megjelenése árnyékot vethet ki belőle. Ez azt mutatja, hogy a sarkok valójában nincsenek összekapcsolva. És persze minden világossá válik, ha felveszi a figurát.

Alak készítése saját kezűleg

Ön összeállíthatja a Penrose háromszöget. Például papírból vagy kartonból. És a sémák segítenek ebben. Csak nyomtatni és ragasztani kell őket. Az interneten két séma található. Az egyik kicsit könnyebb, a másik bonyolultabb, de népszerűbb. Mindkettő látható az ábrákon.

A Penrose háromszög érdekes termék lesz, amely biztosan tetszeni fog a vendégeknek. Ő biztosan nem marad észrevétlen. Ennek létrehozásához az első lépés az áramkör előkészítése. Nyomtatóval papírra (kartonra) kerül. És akkor minden még könnyebb. Csak meg kell vágni a kerület körül. A diagram már tartalmazza az összes szükséges sort. Kényelmesebb lesz vastagabb papírral dolgozni. Ha a diagramot vékony papírra nyomtatja, és valami sűrűbbet szeretne, akkor a munkadarabot egyszerűen felviszi a kiválasztott anyagra, és a kontúr mentén vágja. Annak elkerülése érdekében, hogy a diagram elmozduljon, gemkapcsokkal rögzíthető.

Ezután meg kell határoznia azokat a vonalakat, amelyek mentén a munkadarab hajlítani fog. Általános szabály, hogy a diagramon azt az alkatrész hajlítása jelenti. Ezután meghatározzuk a ragasztandó helyeket. PVA ragasztóval vannak bevonva. Az alkatrész egyetlen alakra van összekötve.

Az alkatrész színezhető. Vagy kezdetben használhat színes kartont.

Rajzolj egy lehetetlen figurát

Rajzolhat egy Penrose -háromszöget is. Kezdetben egy egyszerű négyzetet rajzolunk a lapra. A mérete nem számít. A négyzet alsó oldalán található alappal háromszöget rajzolunk. Kis téglalapokat rajzolnak a sarkaiba. Oldalaikat törölni kell, csak azokat, amelyek közösek a háromszöggel. Az eredménynek egy háromszögnek kell lennie, csonka sarkokkal.

A felső alsó sarok bal oldaláról egyenes vonal húzódik. Ugyanez a vonal, de valamivel rövidebb a bal alsó sarokból. A háromszög alapjával párhuzamosan a jobb sarokból egy vonal húzódik. Kiderül a második dimenzió.

A második elve szerint a harmadik dimenziót rajzoljuk. Csak ebben az esetben minden egyenes az ábra szögein alapul, nem az első, hanem a második dimenzión.