二次方程式。 判別式。 解決策、例。

注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）

二次方程式の種類

二次方程式とは何ですか? それはどのように見えますか？ の観点から 二次方程式キーワードは "四角"。これは、方程式において、 必然的に xの二乗があるはずです。 それに加えて、方程式には X (1 乗) と数値だけが含まれる場合もあります (含まれない場合もあります)。 （無料会員）。また、2 を超えるべき乗に X があってはなりません。

数学用語では、二次方程式は次の形式の方程式です。

ここ a、b、c- いくつかの数字。 bとc- まったく何でも構いませんが、 あ– ゼロ以外のもの。 例えば：

ここ あ =1; b = 3; c = -4

ここ あ =2; b = -0,5; c = 2,2

ここ あ =-3; b = 6; c = -18

まあ、わかります...

左の二次方程式には次のようになります。 フルセットメンバー。 X を係数で 2 乗したもの あ、 x の 1 乗と係数 bそして 無料会員S.

このような二次方程式は次のように呼ばれます。 満杯。

で、もし b= 0、何が得られるでしょうか? 我々は持っています X は最初の勢力に負けます。これは、ゼロを乗算すると発生します。) たとえば、次のようになります。

5x 2 -25 = 0、

2x 2 -6x=0、

-x 2 +4x=0

等々。 そして、両方の係数が bそして cがゼロに等しい場合は、さらに単純になります。

2x 2 =0、

-0.3x 2 =0

何かが欠けているこのような方程式はと呼ばれます 不完全な二次方程式。これは非常に論理的です。) x の 2 乗はすべての方程式に存在することに注意してください。

ちなみに、なぜ あゼロに等しくすることはできませんか? そして代わりにあなたが代わります あゼロ。) 私たちの X の 2 乗が消えてしまいます! 方程式は線形になります。 そして解決策は全く異なります...

主な種類はこれだけです 二次方程式。 完成と不完全。

二次方程式を解く。

完全な二次方程式を解く。

二次方程式は簡単に解けます。 公式と明確で単純なルールに従って。 最初の段階では、与えられた方程式を次のように変形する必要があります。 標準ビュー、つまり フォームに:

方程式がすでにこの形式で与えられている場合は、最初の段階を行う必要はありません。) 重要なことは、すべての係数を正しく決定することです。 あ, bそして c.

二次方程式の根を求める公式は次のようになります。

ルート記号の下の式は次のように呼ばれます。 判別式。 しかし、彼については以下で詳しく説明します。 ご覧のとおり、X を見つけるには、次を使用します。 a、b、cのみ. それらの。 二次方程式からの係数。 慎重に値を置き換えてください a、b、cこの式で計算していきます。 代用しましょう あなた自身のサインで！ たとえば、式では次のようになります。

あ =1; b = 3; c= -4。 ここにそれを書き留めておきます。

この例はほぼ解決されています。

これが答えです。

すべてはとてもシンプルです。 それで、間違いを犯すことは不可能だと思いますか？ そうですね、どうやって...

最も一般的な間違いは、符号値との混同です。 a、b、c。 というか、むしろ、その符号ではなく（どこで混乱するのでしょうか？）、ルートを計算する式に負の値を代入します。 ここで役立つのは、特定の数値を使用して式を詳細に記録することです。 計算に問題がある場合は、 それを行う!

次の例を解く必要があるとします。

ここ ある = -6; b = -5; c = -1

最初から答えが得られることはめったにないとわかっているとします。

まあ、怠惰にしないでください。 追加の行とエラーの数を書き込むのに約 30 秒かかります。 急激に減少します。 そこで、括弧と記号をすべて使って詳しく書きます。

ここまで丁寧に書き出すのは非常に難しいと思われます。 しかし、そう見えるだけです。 試してみる。 まあ、それか選択してください。 速いのと正しいのはどちらが良いでしょうか? さらに、私はあなたを幸せにします。 しばらくすると、すべてをそれほど注意深く書き留める必要がなくなります。 それはそれ自体で正しくなります。 特に、以下で説明する実践的なテクニックを使用する場合はそうです。 マイナスがたくさんあるこの邪悪な例は、エラーなしで簡単に解決できます。

しかし、多くの場合、二次方程式は少し違って見えます。 たとえば、次のようになります。

分かりましたか？）はい！ これ 不完全な二次方程式.

不完全な二次方程式を解く。

一般的な公式を使用して解くこともできます。 ここで必要なのは、それらが何に等しいかを正しく理解することだけです。 a、b、c.

理解できましたか？ 最初の例では a = 1; b = -4;あ c? 全然無いんです！ そうですね、そうです。 数学では、これは次のことを意味します c = 0 ！ それだけです。 代わりに数式にゼロを代入します c、そして私たちは成功します。 2番目の例も同様です。 ここにゼロがないだけです と、A b !

しかし、不完全な二次方程式はもっと簡単に解くことができます。 数式なしで。 最初の不完全方程式を考えてみましょう。 左側では何ができるでしょうか？ 括弧内の X を取り出すことができます。 取り出してみましょう。

そしてこれからどうなるでしょうか？ そして、因子のいずれかがゼロに等しい場合に限り、積がゼロに等しいという事実もわかります。 信じられない？ では、掛け合わせるとゼロになる 2 つの非ゼロの数値を考えてみましょう。
動作しません？ それでおしまい...
したがって、自信を持って次のように書くことができます。 × 1 = 0, × 2 = 4.

全て。 これらが方程式の根になります。 どちらも適しています。 これらのいずれかを元の方程式に代入すると、正しい単位 0 = 0 が得られます。ご覧のとおり、解決策は一般的な公式を使用するよりもはるかに簡単です。 ちなみに、どの X が最初でどれが 2 番目になるかはまったく関係ないことに注意してください。 順番に書いていくと便利なので、 ×1- 小さいものと ×2- より大きいもの。

2 番目の方程式も簡単に解くことができます。 9を右側に移動します。 我々が得る：

あとは9からルートを抽出するだけです。 次のことがわかります。

根も２つ . × 1 = -3, × 2 = 3.

これがすべての不完全二次方程式を解く方法です。 X を括弧の外に配置するか、単純に数値を右に移動してルートを抽出します。
これらのテクニックを混同することは非常に困難です。 単純に、最初のケースでは X のルートを抽出する必要がありますが、これはどういうわけか理解できず、2 番目のケースでは括弧内に何も取り出す必要がないからです。

判別式。 判別式。

魔法の言葉 判別式 ！ 高校生でこの言葉を聞いたことがない人はほとんどいないでしょう。 「判別式によって解決します」というフレーズは、自信と安心感を呼び起こします。 なぜなら、判別者にトリックを期待する必要がないからです！ シンプルで問題なく使用できます。) を解くための最も一般的な公式を思い出させます。 どれでも二次方程式:

ルート記号の下の式は判別式と呼ばれます。 通常、判別式は文字で表されます。 D。 判別式：

D = b 2 - 4ac

そして、この表現の何がそれほど注目に値するのでしょうか? なぜ特別な名前が付けられたのでしょうか？ 何 判別式の意味は？結局 -b、または 2aこの式では特に何も呼んでいません...文字と文字です。

つまりね。 この公式を使用して二次方程式を解くと、次のことが可能になります。 たったの3件。

1. 判別式は正です。つまり、そこから根を取り出すことができます。 根がうまく抽出されるか、不十分に抽出されるかは別の問題です。 重要なのは、原則として何が抽出されるかです。 この場合、二次方程式には根が 2 つあります。 2 つの異なるソリューション。

2. 判別式 ゼロに等しい. そうすれば、解決策は 1 つになります。 分子にゼロを加算または減算しても何も変わりません。 厳密には一つの根ではありませんが、 二つ同じ。 しかし、簡略化したバージョンでは、次のように話すのが通例です。 1つの解決策。

3. 判別式が負です。負の数の平方根は取れません。 まあいいよ。 これは、解決策がないことを意味します。

正直に言うと、いつ 簡単な解決策二次方程式では判別式の概念は特に必要ありません。 係数の値を式に代入してカウントします。 そこではすべてが自然に起こり、2つの根があり、1つであり、何もありません。 ただし、さらに解くと、 難しい仕事、知識なしで 判別式の意味と式足りない。 特にパラメータを伴う方程式では。 このような方程式は国家試験と統一国家試験の曲技飛行です!)

それで、 二次方程式の解き方あなたが覚えた判別式を通して。 あるいは、あなたは学んだのですが、それも悪いことではありません。）あなたは正しく判断する方法を知っています。 a、b、c。 どのようにするか知っていますか？ 注意深くそれらをルート公式に代入し、 注意深く結果を数えます。 理解できましたか キーワードここ - 注意深く？

ここで、エラーの数を劇的に減らす実践的なテクニックに注目してください。 不注意によるものと同じものです...後でそれが苦痛で不快なものになります...

最初の予定 。 二次方程式を解く前に怠けずに、標準形式に戻してください。 これはどういう意味ですか？
すべての変換の後、次の方程式が得られたとします。

急いでルート公式を書かないでください。 ほぼ確実に確率がまちまちになります a、b、c。例を正しく構築してください。 最初に X の 2 乗、次に 2 乗なし、次に自由項です。 このような：

繰り返しますが、急ぐ必要はありません。 X の 2 乗の前にマイナスがあると、本当に動揺する可能性があります。 忘れがちです…マイナスをなくしましょう。 どうやって？ はい、前のトピックで教えたとおりです。 方程式全体に -1 を掛ける必要があります。 我々が得る：

しかし、これで、根の公式を安全に書き留め、判別式を計算して、例を解くことができます。 自分で決めてください。 これで、ルート 2 と -1 が得られるはずです。

受付２回目。 根元をチェック！ ビエタの定理によると。 怖がらないでください、すべて説明します！ チェック中 最後のこと方程式。 それらの。 ルート公式を書き留めるために使用したもの。 (この例のように) 係数が a = 1、根の確認は簡単です。 それらを掛け合わせるだけで十分です。 結果は無料メンバーになるはずです。 私たちの場合は-2。 2 ではなく -2 であることに注意してください。 無料会員 あなたのサインと一緒に 。 それがうまくいかない場合は、すでにどこかで失敗していることを意味します。 エラーを探してください。

それが機能する場合は、ルートを追加する必要があります。 最後で最終チェック。 係数は次のようになります。 bと 反対 おなじみ。 この場合、-1+2 = +1 となります。 係数 b X の前にある は -1 に等しくなります。 したがって、すべてが正しいです！
これが非常に単純なのは、x の 2 乗が純粋で、係数がある場合のみであるのが残念です。 a = 1。ただし、少なくともそのような方程式を確認してください。 間違いもどんどん減っていきます。

受付3回目 。 方程式に分数係数がある場合は、分数を削除してください。 方程式に次の値を掛けます 共通点、レッスン「方程式の解き方?恒等変換」で説明したとおりです。 分数を扱うと、何らかの理由でエラーが発生し続けます...

ところで、私はこの邪悪な例をマイナスをたくさん付けて単純化することを約束しました。 お願いします！ ここに彼がいます。

マイナスに混乱しないように、方程式に -1 を掛けます。 我々が得る：

それだけです！ 解決するのは楽しいことです!

それでは、トピックをまとめてみましょう。

実践的なアドバイス:

1. 解く前に、二次方程式を標準形式にして構築します。 右.

2. X の 2 乗の前に負の係数がある場合は、方程式全体に -1 を乗じて係数を削除します。

3. 係数が分数の場合、方程式全体に対応する係数を乗算して分数を消去します。

4. x の 2 乗が純粋で、その係数が 1 に等しい場合、解はビエタの定理を使用して簡単に検証できます。 やれ！

今、私たちは決めることができます。）

方程式を解く：

8x 2 - 6x + 1 = 0

× 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

答え（混乱中）：

× 1 = 0
× 2 = 5

× 1.2 =2

× 1 = 2
× 2 = -0.5

x - 任意の数値

× 1 = -3
× 2 = 3

解決策がない

× 1 = 0.25
× 2 = 0.5

すべてが当てはまりますか? 素晴らしい！ 二次方程式は頭の痛い問題ではありません。 最初の 3 つは機能しましたが、残りは機能しませんでした? したがって、問題は二次方程式ではありません。 問題は方程式の等変換にあります。 リンクを見てください、それは役に立ちます。

なかなかうまくいきませんか？ それとも全くうまくいかないのでしょうか？ 次に、セクション 555 でこれらの例をすべて説明します。 示されている 主要ソリューション内のエラー。 もちろん、ソリューション内での同一の変換の使用についても説明します。 異なる方程式。 とても助かります！

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ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)

例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。 即時検証によるテスト。 興味を持って学びましょう!)

関数と導関数について知ることができます。

方程式の使用は私たちの生活の中で広く使われています。 それらは多くの計算、構造物の建設、さらにはスポーツにも使用されます。 人類は古代に方程式を使用しましたが、それ以来、その使用は増加するばかりです。 判別式を使用すると、次を使用して二次方程式を解くことができます。 一般式これは次のようになります。

判別式は多項式の次数に応じて異なります。 上の式は、次の形式の二次方程式を解くのに適しています。

判別式には、知っておく必要がある次の特性があります。

* 多項式に複数の根がある (根が等しい) 場合、「D」は 0 です。

* 「D」は多項式の根に関して対称な多項式であり、したがってその係数における多項式です。 さらに、この多項式の係数は、根がとられる拡張に関係なく整数です。

次の形式の二次方程式が与えられたとします。

1 方程式

式によれば、次のようになります。

\ なので、方程式には根が 2 つあります。 それらを定義しましょう:

オンライン判別ソルバーを使用して方程式を解くにはどこでできますか?

この方程式は、当社の Web サイト https://site で解くことができます。 無料のオンライン ソルバーを使用すると、方程式を解くことができます。 オンライン複雑さを数秒で実現します。 ソルバーにデータを入力するだけです。 また、ビデオの説明を見て、方程式の解き方を Web サイトで調べることもできます。質問がある場合は、VKontakte グループ http://vk.com/pocketTeacher で質問することができます。 私たちのグループに参加してください。いつでも喜んでお手伝いいたします。

二次方程式 - 簡単に解けます！ ※以下「KU」といいます。皆さん、数学において、このような方程式を解くことほど簡単なことはないと思われるでしょう。 しかし、多くの人が彼に関して問題を抱えていることを何かが教えてくれました。 Yandex が毎月どれだけのオンデマンド インプレッションを発生させるかを確認することにしました。 何が起こったのか、見てください。

それはどういう意味ですか？ これは、月に約 70,000 人がこの情報を探していることを意味します。この夏はそれとどのような関係があるのでしょうか、また、この夏の間で何が起こるのでしょうか。 学年— リクエストは 2 倍になります。 これは驚くべきことではありません。ずっと前に学校を卒業し、統一国家試験の準備をしている男女がこの情報を探しており、小学生も記憶を新たにしようと努めているからです。

この方程式の解き方を解説するサイトはたくさんありますが、私も寄稿して資料を公開することにしました。 まず、訪問者にはこのリクエストに基づいて私のサイトに来ていただきたいと思います。 次に、他の記事で「KU」の話題が出た際には、この記事へのリンクを貼ります。 第三に、彼の解決策について、通常他のサイトで述べられている内容よりももう少し詳しく説明します。 始めましょう！記事の内容:

二次方程式は次の形式の方程式です。

ここで、係数 a、bおよび c は任意の数で、a≠0 です。

学校のコースでは、教材は次のように提供されます。 次のフォーム– 方程式は 3 つのクラスに分類されます。

1. ルーツは 2 つあります。

2. *ルートは 1 つだけです。

3. 彼らには根がありません。 ここで特に注目に値するのは、それらには本当のルーツがないということです。

ルートはどのように計算されますか? ただ！

判別式を計算します。 この「ひどい」という言葉の根底には、非常に単純な公式があります。

根の公式は次のとおりです。

※これらの公式を暗記する必要があります。

すぐに書き留めて解決できます。

例：

1. D > 0 の場合、方程式には 2 つの根があります。

2. D = 0 の場合、方程式の根は 1 つです。

3.Dの場合< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

方程式を見てみましょう。

この点に関して、学校のコースでは、判別式がゼロに等しい場合、根は 1 つ得られると述べていますが、ここでは 9 に等しいとされています。 どれも正しいし、そうなんですが…。

この考えは多少間違っています。 実は根が２つあるんです。 はい、はい、驚かないでください。2 つの等しい根が得られます。数学的に正確に言うと、答えは 2 つの根を表すはずです。

× 1 = 3 × 2 = 3

しかし、これはそうです - ちょっとした余談です。 学校ではそれを書き留めて、根は1つであると言うことができます。

次の例は次のとおりです。

ご存知のとおり、負の数の根は取れないため、この場合は解決策がありません。

それが決定プロセス全体です。

二次関数。

これは、ソリューションが幾何学的にどのように見えるかを示しています。 これを理解することは非常に重要です (将来、記事の 1 つで 2 次不等式の解法を詳細に分析します)。

これは次の形式の関数です。

ここで、x と y は変数です

a、b、c – 指定された数値 (a ≠ 0)

グラフは放物線です。

つまり、「y」で二次方程式を解くと、 ゼロに等しい放物線と x 軸の交点を見つけます。 これらの点は 2 つ (判別式が正)、1 つ (判別式がゼロ)、なし (判別式が負) の場合があります。 についての詳細 二次関数 閲覧できますインナ・フェルドマンによる記事。

例を見てみましょう:

例 1: 解決する 2倍 2 +8 バツ–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

答え: x 1 = 8 x 2 = –12

※式の左辺と右辺を2で割る、つまり簡略化することはすぐにできました。 計算が簡単になります。

例 2: 決める ×2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

x 1 = 11 および x 2 = 11 であることがわかりました。

答えに x = 11 と書いても構いません。

答え: x = 11

例 3: 決める × 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

判別式が負であるため、実数では解がありません。

答え: 解決策はありません

判別式は負です。 解決策はあります！

ここでは負の判別式が得られた場合の式の解き方について説明します。 について何か知っていますか 複素数? それらがなぜ、どこで生まれたのか、また数学におけるそれらの特定の役割と必要性については、ここでは詳しく説明しません。これは大きな別の記事のトピックです。

複素数の概念。

ちょっとした理論。

複素数 z は次の形式の数です。

z = a + bi

ここで、a と b は実数、i はいわゆる虚数単位です。

あ+び – これは単一の数字であり、追加ではありません。

虚数単位はマイナス 1 の根に等しいです。

ここで次の方程式を考えてみましょう。

2 つの共役根が得られます。

不完全な二次方程式。

特殊なケースを考えてみましょう。これは、係数「b」または「c」がゼロに等しい（または両方がゼロに等しい）場合です。 それらは判別式なしで簡単に解くことができます。

ケース 1. 係数 b = 0。

方程式は次のようになります。

変換しましょう:

例：

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

ケース 2. 係数 c = 0。

方程式は次のようになります。

変換して因数分解してみましょう:

*因数の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、積はゼロに等しくなります。

例：

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 または x–5 =0

× 1 = 0 × 2 = 5

ケース 3. 係数 b = 0 および c = 0。

ここで、方程式の解が常に x = 0 になることは明らかです。

係数の便利なプロパティとパターン。

大きな係数を持つ方程式を解くことができるプロパティがあります。

あバツ 2 + bx+ c=0 平等が成り立つ

ある + b+ c = 0、それ

- 方程式の係数の場合 あバツ 2 + bx+ c=0 平等が成り立つ

ある+s =b, それ

これらのプロパティは、特定のタイプの方程式を解くのに役立ちます。

例 1: 5001 バツ 2 –4995 バツ – 6=0

オッズの合計は 5001+( – 4995)+(– 6) = 0、つまり

例 2: 2501 バツ 2 +2507 バツ+6=0

平等が成り立つ ある+s =b, 手段

係数の規則性。

1. 方程式 ax 2 + bx + c = 0 の係数「b」が (a 2 +1) に等しく、係数「c」が係数「a」と数値的に等しい場合、その根は等しい

ax 2 + (a 2 +1)・x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a。

例。 6x 2 + 37x + 6 = 0 という式を考えてみましょう。

x 1 = –6 x 2 = –1/6。

2. 方程式 ax 2 – bx + c = 0 の係数「b」が (a 2 +1) に等しく、係数「c」が係数「a」と数値的に等しい場合、その根は等しいです。

ax 2 – (a 2 +1)・x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a。

例。 15x 2 –226x +15 = 0 という式を考えてみましょう。

× 1 = 15 × 2 = 1/15。

3. 式の場合 ax 2 + bx – c = 0 係数「b」 は (a 2 に等しい) – 1) および係数「c」 数値的には係数「a」に等しい, その場合、その根は等しいです

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a。

例。 17x 2 +288x – 17 = 0 という式を考えてみましょう。

× 1 = – 17 × 2 = 1/17。

4. 方程式 ax 2 – bx – c = 0 の係数「b」が (a 2 – 1) に等しく、係数 c が係数「a」と数値的に等しい場合、その根は等しい。

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a。

例。 10x 2 – 99x –10 = 0 という式を考えてみましょう。

× 1 = 10 × 2 = – 1/10

ビエタの定理。

ビエタの定理は、フランスの有名な数学者フランソワ ビエタにちなんで命名されました。 ビエタの定理を使用すると、任意の KU の根の和と積を係数で表現できます。

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

合計すると、14 という数字から得られるのは 5 と 9 だけです。これらがルートです。 一定のスキルがあれば、提示された定理を使用して、多くの二次方程式を口頭ですぐに解くことができます。

さらにビエタの定理。 これは、二次方程式を通常の方法 (判別式を介して) で解いた後、結果の根をチェックできるという点で便利です。 これを常に行うことをお勧めします。

輸送方法

この方法では、係数「a」が自由項に「投げられた」かのように乗算されるため、このように呼ばれます。 「転送」方式。この方法は、ビエタの定理を使用して方程式の根を簡単に見つけることができる場合、そして最も重要なことに、判別式が正確な二乗である場合に使用されます。

もし あ± b+c≠ 0 の場合、転送テクニックが使用されます。例:

2バツ 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => バツ 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

式 (2) の Vieta の定理を使用すると、x 1 = 10 x 2 = 1 を簡単に決定できます。

方程式の結果の根は 2 で割る必要があります (2 つは x 2 から「投げられた」ため)、次のようになります。

× 1 = 5 × 2 = 0.5。

根拠は何ですか? 何が起こっているか見てください。

式 (1) と (2) の判別式は等しいです。

方程式の根を見ると、分母が異なるだけであり、結果は x 2 の係数に正確に依存します。

2 番目の (変更された) ものには 2 倍大きい根があります。

したがって、結果を 2 で割ります。

※3つリセマラした場合は結果を3で割る等となります。

答え: x 1 = 5 x 2 = 0.5

平方メートル ur-ieと統一国家試験。

その重要性について簡単に説明します。考えずに素早く判断できなければなりません。根と判別式の公式を暗記する必要があります。 統一国家試験のタスクに含まれる問題の多くは、二次方程式 (幾何学的な方程式も含む) を解くことになります。

注目すべき点があります!

1. 方程式を記述する形式は「暗黙的」にすることができます。 たとえば、次のような入力が可能です。

15+9x2 - 45x = 0 または 15x+42+9x 2 - 45x=0 または 15 -5x+10x 2 = 0。

（解くときに混乱しないように）標準的な形式にする必要があります。

2. x は未知の量であり、他の文字 (t、q、p、h など) で表すことができることに注意してください。

で 現代社会変数の 2 乗を含む方程式を使用して演算を実行できる機能は、多くの活動分野で役立ち、科学および技術の開発において実際に広く使用されています。 この証拠は、海や川の船舶、航空機、ミサイルの設計に見られます。 このような計算を使用すると、ほとんどの動きの軌跡が さまざまな体、宇宙オブジェクトを含む。 二次方程式の解を使った例は、経済予測、建物の設計、建設だけでなく、最も普通の日常の状況でも使用されます。 ハイキング旅行などで必要になるかもしれませんが、 スポーツ大会、買い物中の店舗やその他の非常に一般的な状況で。

式を構成要素に分解してみましょう

方程式の次数は、式に含まれる変数の次数の最大値によって決まります。 それが 2 に等しい場合、そのような方程式は二次方程式と呼ばれます。

私たちが数式の言語で話す場合、示された式は、それがどのように見えるかに関係なく、式の左辺が 3 つの項で構成されている場合に常に形にすることができます。 その中には、ax 2 (つまり、係数を 2 乗した変数)、bx (係数を 2 乗しない未知数)、および c (自由成分、つまり通常の数) があります。 右辺のすべては 0 に等しい。このような多項式が ax 2 を除いてその構成項の 1 つを欠いている場合、それは不完全二次方程式と呼ばれます。 このような問題の解決策の例、見つけやすい変数の値を最初に考慮する必要があります。

式の右側に 2 つの項、より正確には ax 2 と bx があるように見える場合、x を見つける最も簡単な方法は、変数を括弧の外に置くことです。 これで、方程式は x(ax+b) のようになります。 次に、x=0 であるか、問題は次の式から変数を見つけることになることが明らかになります: ax+b=0。 これは、乗算の特性の 1 つによって決定されます。 このルールでは、2 つの因子の積は、そのうちの 1 つがゼロの場合にのみ 0 になると規定されています。

例

x=0 または 8x - 3 = 0

その結果、方程式の 2 つの根、0 と 0.375 が得られます。

この種の方程式は、座標の原点としてとられる特定の点から動き始める、重力の影響下での物体の動きを記述することができます。 ここで、数学的表記は次の形式になります: y = v 0 t + gt 2 /2。 必要な値を代入し、右辺を 0 として、考えられる未知数を見つけることで、物体が上昇した瞬間から下降する瞬間までに経過する時間やその他の多くの量を知ることができます。 しかし、これについては後で話します。

式の因数分解

上記のルールにより、これらの問題をより多くの方法で解決できるようになります。 困難なケース。 このタイプの二次方程式を解く例を見てみましょう。

X 2 - 33x + 200 = 0

これ 二次三項式完了です。 まず、式を変形して因数分解してみましょう。 それらは 2 つあります: (x-8) と (x-25) = 0。その結果、2 つの根 8 と 25 が得られます。

9 年生で二次方程式を解く例では、この方法で 2 次だけでなく 3 次や 4 次の式の変数を見つけることができます。

例: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0。右辺を変数で因数分解する場合、(x+1)、(x-3)、(x+) の 3 つが存在します。 3)。

その結果、この方程式には 3 つの根があることが明らかになります。 -1; 3.

平方根

別のケース 不完全な方程式 2 次は、右辺が要素 ax 2 と c から構成されるように文字言語で表現された式です。 ここで、変数の値を求めるには、自由項を右辺に移した後、等式の両辺から抽出します。 平方根。 この場合、通常、方程式の根が 2 つ存在することに注意してください。 唯一の例外は、変数がゼロに等しい項をまったく含まない等式、および右辺が負の場合の式の変形です。 で 後者の場合上記の操作はrootでは実行できないため、解決策はまったくありません。 このタイプの二次方程式の解の例を考慮する必要があります。

この場合、方程式の根は数値 -4 と 4 になります。

土地面積の計算

この種の計算の必要性は、 古代なぜなら、それらの遠い時代におけるさまざまな方法での数学の発展は、土地区画の面積と周囲を最高の精度で決定する必要性によって決定されたからです。

この種の問題に基づいて二次方程式を解く例も考慮する必要があります。

したがって、長さが幅より 16 メートル大きい、長方形の土地があるとします。 敷地面積が 612 平方メートルであることがわかっている場合は、敷地の長さ、幅、周囲の長さを見つける必要があります。

まず、必要な方程式を作成しましょう。 領域の幅を x で表すと、その長さは (x+16) になります。 ここまでの記述から、面積は式 x(x+16) によって決定されることがわかり、問題の条件によれば、面積は 612 になります。これは、x(x+16) = 612 を意味します。

完全な 2 次方程式を解くことは、この式がまさにそれですが、同じ方法では実行できません。 なぜ？ 左側には依然として 2 つの因子が含まれていますが、それらの積はまったく 0 に等しくないため、ここでは別の方法が使用されます。

判別式

まず、必要な変換を行ってから、 外観この式の式は次のようになります: x 2 + 16x - 612 = 0。これは、以前に指定された標準 (a=1、b=16、c=-612) に対応する形式で式を受け取ったことを意味します。

これは、判別式を使用して二次方程式を解く例となります。 ここ 必要な計算 D = b 2 - 4ac というスキームに従って生成されます。 この補助量は、2 次方程式で必要な量を見つけることを可能にするだけでなく、量を決定します。 可能なオプション。 D>0 の場合、それらは 2 つあります。 D=0 の場合、根は 1 つあります。 Dの場合<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

根とその公式について

この場合、判別式は 256 - 4(-612) = 2704 となります。これは、問題には答えがあることを示しています。 k がわかっている場合は、次の式を使用して二次方程式の解を続ける必要があります。 根を計算することができます。

これは、提示されたケースでは、x 1 =18、x 2 =-34 であることを意味します。 このジレンマの 2 番目のオプションは解決策にはなりません。土地区画の寸法は負の量で測定できないためです。つまり、x (つ​​まり、区画の幅) は 18 m になります。ここから長さを計算すると、18 になります。 +16=34、周長2(34+18)=104(m2)となります。

例とタスク

私たちは二次方程式の研究を続けます。 それらのいくつかの例と詳細な解決策を以下に示します。

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

すべてを等式の左側に移動し、変換を行います。つまり、通常標準と呼ばれるタイプの方程式を取得し、それをゼロに等しくします。

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

同様のものを追加すると、判別式が決まります: D = 49 - 48 = 1。これは、方程式には 2 つの根があることを意味します。 上の式に従って計算してみましょう。つまり、最初の値は 4/3 に等しく、2 番目の値は 1 に等しくなります。

2) 今度は、別の種類の謎を解いてみましょう。

ここに根があるかどうかを調べてみましょう x 2 - 4x + 5 = 1? 包括的な答えを得るために、多項式を対応する通常の形式に還元し、判別式を計算しましょう。 上の例では、二次方程式を解く必要はありません。これは問題の本質ではありません。 この場合、D = 16 - 20 = -4 となり、実際には根が存在しないことを意味します。

ビエタの定理

上記の式と判別式を使用して二次方程式を解くと、判別式の値から平方根を求める場合に便利です。 しかし、これは常に起こるわけではありません。 ただし、この場合、変数の値を取得する方法は数多くあります。 例: ビエタの定理を使用して二次方程式を解く。 彼女は、16 世紀にフランスに住んでいて、数学的才能と宮廷でのコネのおかげで輝かしいキャリアを築いた人物にちなんで名付けられました。 彼の肖像画は記事で見ることができます。

有名なフランス人が気づいたパターンは次のとおりです。 彼は、方程式の根を数値的に合計すると -p=b/a となり、その積が q=c/a に対応することを証明しました。

次に、具体的なタスクを見てみましょう。

3x 2 + 21x - 54 = 0

簡単にするために、式を変換しましょう。

× 2 + 7x - 18 = 0

ビエタの定理を使用してみましょう。これにより、根の合計は -7 で、その積は -18 になります。 ここから、方程式の根が数値 -9 と 2 であることがわかります。チェック後、これらの変数値が本当に式に適合するかどうかを確認します。

放物線グラフと方程式

二次関数と二次方程式の概念は密接に関連しています。 この例はすでに前に示しました。 それでは、数学的ななぞなぞをもう少し詳しく見てみましょう。 記述されたタイプの方程式はどれも視覚的に表現できます。 このような関係をグラフで表したものを放物線と呼びます。 そのさまざまなタイプを次の図に示します。

どの放物線にも頂点、つまり枝が現れる点があります。 a>0 の場合、それらは無限大まで高くなり、<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

関数の視覚的表現は、二次方程式を含むあらゆる方程式を解くのに役立ちます。 この方法はグラフィカルと呼ばれます。 そして、変数 x の値は、グラフの線が 0x と交差する点の横座標です。 頂点の座標は、x 0 = -b/2a という式を使用して求めることができます。 そして、得られた値を関数の元の方程式に代入することで、y 0、つまり縦軸に属する放物線の頂点の 2 番目の座標を求めることができます。

放物線の枝と横軸の交点

二次方程式を解く例はたくさんありますが、一般的なパターンもあります。 それらを見てみましょう。 a>0 のグラフと 0x 軸の交差は、y 0 が次の場合にのみ可能であることは明らかです。 負の値。 そして、<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. それ以外の場合 D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

放物線のグラフから根を求めることもできます。 その逆もまた真です。 つまり、二次関数を視覚的に表現するのが難しい場合は、式の右辺を 0 とみなして、結果の方程式を解くことができます。 また、0x 軸との交点がわかれば、グラフの作成が容易になります。

歴史から

昔は、二乗変数を含む方程式を使用して、数学的な計算を行って幾何学的図形の面積を決定しただけではありませんでした。 古代人は、占星術の予測を行うだけでなく、物理学や天文学の分野で壮大な発見をするためにそのような計算を必要としていました。

現代の科学者が示唆しているように、バビロンの住民は二次方程式を最初に解いた人々の一人です。 これは私たちの時代の4世紀前に起こりました。 もちろん、彼らの計算は現在受け入れられているものとは根本的に異なり、より原始的なものであることが判明しました。 たとえば、メソポタミアの数学者は、その存在についてまったく知りませんでした。 負の数。 彼らはまた、現代の小学生なら誰でも知っている他の微妙な点にも慣れていませんでした。

おそらくバビロンの科学者よりもさらに早く、インドの賢者バウダヤマが二次方程式を解き始めました。 これはキリストの時代の約8世紀前の出来事です。 確かに、彼が与えた二次方程式、つまり解法は最も単純なものでした。 彼以外にも、昔は中国の数学者も同様の問題に興味を持っていました。 ヨーロッパでは、二次方程式が解き始められたのは 13 世紀初頭になってからでしたが、その後、ニュートン、デカルト、その他多くの偉大な科学者によって研究の中で使用されました。

書誌的説明: Gasanov A. R.、Kuramshin A. A.、Elkov A. A.、Shilnenkov N. V.、Ulanov D. D.、Shmeleva O. V. 二次方程式を解く方法 // 若い科学者。 2016.No.6.1。 P. 17-20..02.2019)。



私たちのプロジェクトは、二次方程式を解く方法に関するものです。 プロジェクトの目標: 学校のカリキュラムには含まれていない方法で二次方程式を解く方法を学びます。 課題: 二次方程式を解くための考えられるすべての方法を見つけて、それを自分で使用する方法を学び、クラスメートにこれらの方法を紹介します。

「二次方程式」とは何ですか?

二次方程式- 形式の方程式 斧2 + bx + c = 0、 どこ ある, b, c- いくつかの数字 ( a≠0), バツ- 未知。

数値a、b、cは二次方程式の係数と呼ばれます。

• a は最初の係数と呼ばれます。
• b は第 2 係数と呼ばれます。
• c - 無料会員。

二次方程式を最初に「発明」したのは誰ですか?

一次方程式および二次方程式を解くための代数技術のいくつかは、4000 年前の古代バビロンで知られていました。 紀元前 1800 年から 1600 年頃の古代バビロニアの粘土板の発見は、二次方程式の研究の最も古い証拠を提供します。 同じタブレットには、特定の種類の二次方程式を解く方法が含まれています。

古代においてさえ、一次方程式だけでなく二次方程式を解く必要があったのは、土地区画の面積の発見や軍事的な性質の掘削作業に関連した問題を解決する必要があったからです。天文学や数学そのものの発展と同様に。

バビロニアの文書に記載されているこれらの方程式を解くための規則は、基本的に現代のものと一致しますが、バビロニア人がどのようにしてこの規則に到達したのかは不明です。 これまでに発見されたほぼすべての楔形文字テキストは、レシピの形で提示された解決策を伴う問題のみを提供しており、それらがどのように発見されたのかについては示されていません。 バビロンにおける代数学の高度な発展にも関わらず、楔形文字テキストには負の数の概念や二次方程式を解くための一般的な方法が欠けています。

紀元前4世紀頃のバビロニアの数学者。 二乗の補数法を使用して、正の根を持つ方程式を解きました。 紀元前300年頃 Euclid は、より一般的な幾何学的解法を考案しました。 負の根を持つ方程式の解を代数公式の形で発見した最初の数学者はインドの科学者でした ブラフマグプタ(インド、西暦 7 世紀)。

Brahmagupta は、二次方程式を単一の標準形式にまとめて解くための一般規則を示しました。

ax2 + bx = c、a>0

この式の係数は負の値になることもあります。 ブラフマグプタの規則は本質的に私たちの規則と同じです。

インドでは、難しい問題を解決するための公開コンテストが一般的でした。 インドの古い本の 1 つは、そのような競争について次のように述べています。 学んだ人代数問題を提案し解決することで、公共の集会での彼の栄光を覆い隠すだろう。」 問題は詩的な形式で提示されることがよくありました。

代数論文では アル・フワリズミ一次方程式と二次方程式の分類が与えられます。 著者は6種類の方程式を数え、以下のように表現します。

1) 「平方根は根に等しい」つまり ax2 = bx。

2) 「平方は数値に等しい」、つまり ax2 = c。

3) 「根は数値に等しい」、つまり ax2 = c。

4) 「平方根と数字は根に等しい」つまり、ax2 + c = bx。

5) 「平方根と根は数値に等しい」つまり、ax2 + bx = c。

6) 「根と数は平方に等しい」、すなわち bx + c == ax2。

負の数の使用を避けたアル・フワリズミーにとって、これらの各式の項は加数であり、減算ではありません。 この場合、正の解をもたない方程式は明らかに考慮されません。 著者は、al-jabr と al-mukabal の手法を使用してこれらの方程式を解く方法を説明します。 もちろん、彼の決定は私たちの決定と完全に一致するわけではありません。 これが純粋に修辞的であることは言うまでもなく、たとえば、最初のタイプの不完全な二次方程式を解くとき、アル・ホレズミは、17 世紀までのすべての数学者と同様に、ゼロ解を考慮に入れていないことに注意する必要があります。おそらく、具体的な実務ではタスクでは重要ではないからでしょう。 完全な二次方程式を解くとき、アル・フワリズミは特定の数値例を使用してそれらを解くための規則を示し、次にその幾何学的証明を示します。

ヨーロッパのアル・フワリズミのモデルに従った二次方程式を解くための形式は、1202 年に書かれた「そろばんの書」に初めて記載されました。 イタリアの数学者 レナード・フィボナッチ。 著者は独自にいくつかの新しいものを開発しました 代数的な例問題を解決し、ヨーロッパで初めて負の数を導入しました。

この本は、イタリアだけでなく、ドイツ、フランス、その他のヨーロッパ諸国でも代数知識の普及に貢献しました。 この本の多くの問題は、14 世紀から 17 世紀のヨーロッパのほぼすべての教科書で使用されました。 原則符号と係数 b、c のすべての可能な組み合わせに対する単一の正準形式 x2 + bх = с に変換された二次方程式の解は、1544 年にヨーロッパで定式化されました。 M.シュティーフェル。

二次方程式を解く公式の導出 一般的な見解ベトはそれを持っていますが、ベトは正のルーツだけを認識しました。 イタリアの数学者 タルターリア、カルダーノ、ボンベリ 16世紀の最初のものも含まれます。 正の根に加えて、負の根も考慮されます。 17世紀に限っては。 努力のおかげで ジラール、デカルト、ニュートンや他の科学者によって、二次方程式を解く方法は現代的な形になりました。

二次方程式を解くいくつかの方法を見てみましょう。

二次方程式を解くための標準的な方法 学校のカリキュラム:

1. 方程式の左辺を因数分解します。
2. 完全な正方形を選択する方法。
3. 公式を使用して二次方程式を解きます。
4. 二次方程式のグラフィカルな解。
5. ビエタの定理を使用して方程式を解きます。

ビエタの定理を使用した、縮小および非縮小二次方程式の解法についてさらに詳しく見てみましょう。

上記の二次方程式を解くには、その積が自由項に等しく、その和が逆符号の 2 番目の係数に等しい 2 つの数値を見つけるだけで十分であることを思い出してください。

例。バツ 2 -5x+6=0

積が 6 で和が 5 である数字を見つける必要があります。これらの数字は 3 と 2 になります。

答え: × 1 =2、× 2 =3.

ただし、最初の係数が 1 に等しくない方程式にもこの方法を使用できます。

例。3倍 2 +2x-5=0

最初の係数を取得し、自由項で乗算します: x 2 +2x-15=0

この方程式の根は、その積が - 15 に等しく、その合計が - 2 に等しい数値になります。これらの数値は 5 と 3 です。元の方程式の根を見つけるには、結果の根を最初の係数で割ります。

答え: × 1 =-5/3、× 2 =1

6. 「スロー」法を使用して方程式を解く。

二次方程式 ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) を考えてみましょう。

両辺に a を掛けると、方程式 a 2 x 2 + abx + ac = 0 が得られます。

ax = y とすると、x = y/a となります。 次に、与えられたものと等価な方程式 y 2 + by + ac = 0 に到達します。 ビエタの定理を使用して 1 と 2 の根を求めます。

最終的に x 1 = y 1 /a および x 2 = y 2 /a が得られます。

この方法では、係数 a を自由項に「投げる」ように乗算するため、「投げる」方法と呼ばれます。 この方法は、ビエタの定理を使用して方程式の根を簡単に見つけることができる場合、そして最も重要なことに、判別式が正確な二乗である場合に使用されます。

例。2倍 2 - 11x + 15 = 0。

係数 2 を自由項に「スロー」して代入を行い、方程式 y 2 - 11y + 30 = 0 を取得しましょう。

ビエタの逆定理によると

y 1 = 5、x 1 = 5/2、x 1 = 2.5、y 2 = 6、x 2 = 6/2、x 2 = 3。

答え: × 1 =2.5; バツ 2 = 3.

7. 二次方程式の係数の性質。

二次方程式 ax 2 + bx + c = 0、a ≠ 0 が与えられるとします。

1. a+ b + c = 0 (つまり、方程式の係数の合計が 0) の場合、x 1 = 1 となります。

2. a - b + c = 0、または b = a + c の場合、x 1 = - 1。

例。345倍 2 - 137x - 208 = 0。

a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0) なので、x 1 = 1、x 2 = -208/345 となります。

答え: × 1 =1; バツ 2 = -208/345 .

例。132倍 2 + 247x + 115 = 0

なぜなら a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0)、x 1 = - 1、x 2 = - 115/132

答え: × 1 = - 1; バツ 2 =- 115/132

二次方程式の係数には他にも特性があります。 しかし、その使用法はより複雑です。

8. ノモグラムを使用して二次方程式を解く。

図 1. ノモグラム

これは、二次方程式を解くための古くて現在は忘れられている方法で、コレクションの 83 ページに掲載されています。 4桁の算数表。 - M.、教育、1990 年。

表22. 方程式を解くためのノモグラム z 2 + pz + q = 0。 このノモグラムを使用すると、二次方程式を解くことなく、係数から方程式の根を求めることができます。

ノモグラムの曲線スケールは、次の式に従って構築されます (図 1)。

信じる OS = p、ED = q、OE = a(すべて cm)、図 1 の三角形の類似点より さんそして CDF割合がわかります

置換と単純化の後、次の方程式が得られます。 z 2 + pz + q = 0、そして手紙 z曲線スケール上の任意の点のマークを意味します。

米。 2 ノモグラムを使用して二次方程式を解く

例。

1) 方程式について z 2 - 9z + 8 = 0ノモグラムでは根 z 1 = 8.0 および z 2 = 1.0 が得られます。

答え:8.0; 1.0。

2) ノモグラムを使用して方程式を解きます。

2z 2 - 9z + 2 = 0。

この方程式の係数を 2 で割ると、方程式 z 2 - 4.5z + 1 = 0 が得られます。

ノモグラムでは、根 z 1 = 4 および z 2 = 0.5 が得られます。

答え: 4; 0.5。

9. 二次方程式を解くための幾何学的な方法。

例。バツ 2 + 10x = 39。

オリジナルでは、この問題は次のように定式化されます。「2 乗と 10 の根は 39 に等しい」。

辺が x の正方形を考えます。長方形は、それぞれのもう一方の辺が 2.5 になるようにその辺に構築されます。したがって、それぞれの面積は 2.5x になります。 結果の図形を新しい正方形 ABCD に追加し、角に 4 つの等しい正方形を構築します。それぞれの辺は 2.5、面積は 6.25 です。

米。 3 方程式を解くためのグラフィカルな方法 x 2 + 10x = 39

正方形 ABCD の面積 S は、元の正方形 x 2、4 つの長方形 (4∙2.5x = 10x)、および追加の 4 つの正方形 (6.25∙4 = 25) の面積の合計として表すことができます。 S = x 2 + 10x = 25。 x 2 + 10x を数値 39 に置き換えると、S = 39 + 25 = 64 となります。これは、正方形の辺が ABCD であることを意味します。 線分 AB = 8。元の正方形の必要な辺 x を取得します。

10. ベズーの定理を使用して方程式を解く。

ベズーの定理。 多項式 P(x) を二項式 x - α で割った余りは、P(α) (つまり、x = α における P(x) の値) に等しくなります。

数値 α が多項式 P(x) の根である場合、この多項式は剰余なしで x -α で割り切れます。

例。x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3、α: ±1、±3、α =1、1-4+3=0。 P(x) を (x-1) で割ります: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3)、(x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1、または x-3=0、x=3; 答え: ×1 =2、×2 =3.

結論：二次方程式を迅速かつ合理的に解く能力は、より複雑な方程式を解くために必要です。たとえば、 分数有理方程式、方程式 より高い学位、四次方程式、および 高校三角関数、指数関数、 対数方程式。 二次方程式を解くために見つかったすべての方法を研究したので、クラスメートに、標準的な方法に加えて、より親しみやすい伝達法 (6) で解くことや、係数の性質を使用して方程式を解くこと (7) をアドバイスできます。理解するために。

文学：

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