関数は x の自然対数です。 自然対数、関数 ln x

a を底とする正の数 b の対数 (a>0、a は 1 に等しくない) は、a c = b となる数 c です。 log a b = c ⇔ a c = b (a > 0、a ≠ 1、b) > 0)       

正でない数の対数は定義されていないことに注意してください。 さらに、対数の底は 1 に等しくない正の数である必要があります。たとえば、-2 を 2 乗すると数値 4 が得られますが、これは 4 の底 -2 の対数が等しいという意味ではありません。 2へ。

基本対数恒等式

a log a b = b (a > 0、a ≠ 1) (2)

この式の右辺と左辺の定義範囲が異なることが重要です。 左辺は b>0、a>0、a ≠ 1 についてのみ定義されます。右辺は任意の b について定義され、a にはまったく依存しません。 したがって、方程式や不等式を解くときに基本的な対数「恒等式」を適用すると、OD が変化する可能性があります。

対数の定義の 2 つの明らかな結果

log a a = 1 (a > 0、a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0、a ≠ 1) (4)

実際、数値 a を 1 乗すると同じ数値が得られ、0 乗すると 1 が得られます。

積の対数と商の対数

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0、a ≠ 1、b > 0、c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0、a ≠ 1、b > 0、c > 0) (6)

学生の皆さんには、問題を解く際にこれらの公式を軽率に適用しないよう警告したいと思います。 対数方程式そして不平等。 これらを「左から右」に使用すると、ODZ は狭くなり、対数の和または差から積または商の対数に移動すると、ODZ は拡大します。

実際、式 log a (f (x) g (x)) は、両方の関数が厳密に正である場合、または f(x) と g(x) が両方とも 0 未満である場合の 2 つの場合で定義されます。

この式を合計 log a f (x) + log a g (x) に変換すると、f(x)>0 および g(x)>0 の場合にのみ制限する必要があります。 許容値の範囲が狭くなり、解が失われる可能性があるため、これは絶対に受け入れられません。 同様の問題が式 (6) にも存在します。

対数の符号から次数を取り出すことができます

log a b p = p log a b (a > 0、a ≠ 1、b > 0) (7)

そしてもう一度正確性を求めたいと思います。 次の例を考えてみましょう。

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

等式の左辺は、ゼロを除く f(x) のすべての値に対して明らかに定義されます。 右辺は f(x)>0 の場合のみです。 対数から次数を取り除くことによって、ODZ を再び狭めます。 逆の手順を実行すると、許容値の範囲が拡大します。 これらすべての注釈は、2 乗だけでなく、任意の偶数乗にも当てはまります。

新しい基盤に移行するための公式

log a b = log c b log c a (a > 0、a ≠ 1、b > 0、c > 0、c ≠ 1) (8)

変換中に ODZ が変更されないというまれなケース。 基数 c を賢明に選択した場合 (正で 1 に等しくない場合)、新しい基数に移動する式は完全に安全です。

新しい基数 c として数値 b を選択すると、重要な結果が得られます。 特別なケース式(8):

log a b = 1 log b a (a > 0、a ≠ 1、b > 0、b ≠ 1) (9)

対数を使った簡単な例

例 1. log2 + log50 を計算します。
解決。 log2 + log50 = log100 = 2。対数の和の公式 (5) と 10 進対数の定義を使用しました。

例 2. lg125/lg5 を計算します。
解決。 log125/log5 = log 5 125 = 3. 新しい拠点に移動するための公式 (8) を使用しました。

対数に関する公式の一覧表

a log a b = b (a > 0、a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0、a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0、a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0、a ≠ 1、b > 0、c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0、a ≠ 1、b > 0、c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0、a ≠ 1、b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0、a ≠ 1、b > 0、c > 0、c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0、a ≠ 1、b > 0、b ≠ 1)

1.1. 整数の指数の指数を決定する

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N 回

1.2. ゼロ度。

定義により、任意の数のゼロ乗は 1 であると一般に認められています。

1.3. マイナス度。

X -N = 1/X N

1.4. 分数乗、ルート。

X 1/N = X の N ルート。

例: X 1/2 = √X。

1.5。 べき乗を加算するための公式。

X (N+M) = X N *X M

1.6.べき乗を引く公式。

X (N-M) = X N /X M

1.7. 乗算の公式。

X N*M = (X N) M

1.8. 分数をべき乗する公式。

(X/Y) N = X N /Y N

2. 番号 e。

数値 e の値は、次の制限と等しくなります。

N → ∞として、E = lim(1+1/N)。

17 桁の精度では、数値 e は 2.71828182845904512 となります。

3. オイラーの等式。

この等式は、数学で特別な役割を果たす 5 つの数値 (0、1、e、pi、虚数単位) を結び付けます。

E (i*pi) + 1 = 0

4. 指数関数 exp(x)

exp(x) = e x

5. 指数関数の導関数

指数関数には注目すべき特性があります。関数の導関数は指数関数自体に等しいということです。

(exp(x))" = exp(x)

6. 対数。

6.1. 対数関数の定義

x = b y の場合、対数は次の関数になります。

Y = Log b(x)。

対数は、特定の数値 (X) を得るために数値を何乗する必要があるかを示します (対数の底 (b))。 対数関数は、ゼロより大きい X に対して定義されます。

例: Log 10 (100) = 2。

6.2. 10 進対数

これは底 10 の対数です。

Y = Log 10 (x) 。

Log(x) で示されます: Log(x) = Log 10 (x)。

10 進対数の使用例としては、デシベルがあります。

6.3. デシベル

項目は別のページでハイライト表示されます デシベル

6.4. 二進対数

これは底 2 の対数です。

Y = Log 2 (x)。

Lg(x) で示される: Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. 自然対数

これは e を底とする対数です。

Y = Log e (x) 。

Ln(x) で示される: Ln(x) = Log e (X)
自然対数 - 逆関数から指数関数 関数経験値（バツ）。

6.6. 特徴的な点

対数(1) = 0
ログ a (a) = 1

6.7. 積対数式

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. 商の対数の公式

Log a (x/y) = Log a (x) - Log a (y)

6.9. べき乗の対数の公式

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. 底が異なる対数に変換する式

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

例：

ログ 2 (8) = ログ 10 (8)/ログ 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. 生活に役立つ数式

多くの場合、体積を面積または長さに変換する問題と、その逆の問題、つまり面積を体積に変換する問題が発生します。 たとえば、ボードは立方体 (立方メートル) で販売されており、特定の体積に含まれるボードでどのくらいの壁面積をカバーできるかを計算する必要があります。ボードの計算、立方体に何枚のボードが入っているかを参照してください。 または、壁の寸法がわかっている場合は、レンガの数を計算する必要があります。レンガの計算を参照してください。

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主なプロパティが示されています 自然対数、グラフ、定義域、値のセット、基本公式、導関数、積分、べき級数展開、および複素数を使用した関数 ln x の表現。

意味

自然対数関数 y = lnx、指数の逆数、x = e y、数値 e の底の対数です。 ln x = log e x.

自然対数は、その導関数が最も単純な形式であるため、数学で広く使用されています。 (ln x)' = 1/ x.

ベース 定義、自然対数の底は次の数です。 e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

関数 y = のグラフ lnx.

自然対数のグラフ (関数 y = lnx) は指数グラフから得られます。 鏡像直線 y = x に対する相対値。

自然対数は次のように定義されます。 正の値変数x。 それはその定義領域内で単調増加します。

×時→ 0 自然対数の極限はマイナス無限大 (-∞) です。

x → + ∞ なので、自然対数の極限はプラス無限大 (+ ∞) になります。 x が大きい場合、対数は非常にゆっくりと増加します。 正の指数 a を持つべき関数 x a は、対数よりも速く増大します。

自然対数の性質

定義範囲、値のセット、極値、増加、減少

自然対数は単調増加関数であるため、極値はありません。 自然対数の主な特性を表に示します。

ln x 値

ln1 = 0

自然対数の基本公式

逆関数の定義から次の式が得られます。

対数の主な性質とその結果

塩基置換式

任意の対数は、塩基置換式を使用して自然対数で表現できます。

これらの公式の証明は「対数」のセクションに示されています。

逆関数

自然対数の逆数が指数です。

の場合、

もしそうなら。

導関数 ln x

自然対数の微分:
.
係数 x の自然対数の微分:
.
n次微分:
.
数式の導出 > > >

積分

積分は部分ごとの積分によって計算されます。
.
それで、

複素数を使った式

複素変数 z の関数を考えてみましょう。
.
複素変数を表現してみよう zモジュール経由 rそして議論 φ :
.
対数の特性を使用すると、次のようになります。
.
または
.
引数 φ は一意に定義されません。 置いたら
ここで、n は整数です。
n が異なっても同じ番号になります。

したがって、複素変数の関数としての自然対数は、単一値の関数ではありません。

べき級数展開

拡張が行われるとき:

参考文献:
で。 ブロンスタイン、K.A. Semendyaev、エンジニアと大学生のための数学ハンドブック、「Lan」、2009 年。

全然悪くないですよね？ 数学者は言葉を探して長くわかりにくい定義を与えますが、この単純で明確な定義を詳しく見てみましょう。

数字のeは成長を意味します

数字の e は継続的な成長を意味します。 前の例で見たように、e x を使用すると金利と時間をリンクできます。「複利」を想定すると、100% の成長で 3 年間は 300% での 1 年間と同じになります。

任意のパーセンテージと時間の値 (4 年間で 50%) を置き換えることができますが、便宜上、パーセンテージを 100% に設定することをお勧めします (2 年間で 100% になります)。 100% に移動すると、時間コンポーネントのみに焦点を当てることができます。

e x = e パーセント * 時間 = e 1.0 * 時間 = e 時間

明らかに e x は次のことを意味します。

• x 単位時間後に私の貢献はどのくらい増加するか (100% 継続的に増加すると仮定)。
• たとえば、3 つの時間間隔の後、e 3 = 20.08 倍多くの「物」を受け取ります。

e x は、x 時間以内にどのレベルまで成長するかを示すスケーリング係数です。

自然対数は時間を意味します

自然対数は e の逆数であり、反対を意味する派手な用語です。 奇抜なことと言えば、 ラテン語では対数自然対数と呼ばれるため、略語は ln となります。

そして、この逆転や反対は何を意味するのでしょうか？

• e x を使用すると、時間を置き換えて成長を得ることができます。
• ln(x) を使用すると、成長または収入を取得し、それを生み出すのにかかる時間を知ることができます。

例えば：

• e 3 は 20.08 に相当します。 3 つの期間が経過すると、当初の 20.08 倍になります。
• ln(08/20) は約 3 になります。20.08 倍の成長に関心がある場合は、3 つの期間が必要になります (ここでも、100% 継続的な成長を想定しています)。

まだ読んでいますか? 自然対数は、目的のレベルに到達するまでに必要な時間を示します。

この非標準の対数カウント

対数を経験したことがありますか?対数は奇妙な生き物です。 彼らはどのようにして掛け算を足し算に変えることができたのでしょうか? 割り算から引き算はどうでしょうか？ 見てみましょう。

ln(1) は何に等しいですか? 直感的に、問題は、自分が持っているものの 1 倍を得るまでどれくらい待つ必要があるかということです。

ゼロ。 ゼロ。 全くない。 すでに一度は持っているはずです。 レベル1からレベル1に上がるのにそれほど時間はかかりません。

• ln(1) = 0

さて、小数値はどうなるでしょうか？ 在庫数量の 1/2 が残るまでどのくらいかかりますか? 100% の継続的な成長では、ln(2) は 2 倍にかかる時間を意味することがわかります。 もし私達 時間を巻き戻しましょう(つまり、マイナスの時間待つ)、得られるものの半分が得られます。

• ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

論理的ですよね？ 0.693 秒に戻ると (タイムバックすると)、利用可能な量の半分がわかります。 一般に、分数をひっくり返して次のようにすることができます。 否定的な意味: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09。 これは、1.09 倍まで遡ると、現在の数値の 3 分の 1 しか見つからないことを意味します。

では、負の数の対数はどうでしょうか? 細菌のコロニーを 1 から -3 に「成長させる」にはどのくらい時間がかかりますか?

不可能だよ！ 細菌数がマイナスになることはありませんよね？ 最大 (いや...最小) ゼロを取得することはできますが、これらの小さな生き物から負の数を取得する方法はありません。 で 負の数細菌だけでは意味がありません。

• ln(負の数) = 未定義

「未定義」は、負の値を取得するまで待機する必要がある時間がないことを意味します。

対数乗算は本当に面白いです

4倍に成長するにはどれくらいかかりますか？ もちろん、ln(4) だけを使用することもできます。 しかし、これでは単純すぎるため、別の方法で進めます。

4 倍の増加は、2 倍になり (ln(2) 単位の時間が必要)、その後再び 2 倍になります (さらに ln(2) 単位の時間が必要) と考えることができます。

• 4 倍になるまでの時間 = ln(4) = 2 倍になり、さらに 2 倍になるまでの時間 = ln(2) + ln(2)

面白い。 あらゆる成長率、たとえば 20 は、10 倍増加の直後の 2 倍とみなすことができます。 または 4 倍、さらに 5 倍に成長します。 あるいは 3 倍になってから 6.666 倍になります。 パターンが見えますか?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

A に B を掛けた対数は、log(A) + log(B) です。 この関係は、成長という観点から見るとすぐに理解できます。

30 倍の成長に興味がある場合は、ln(30) を一度に待つことも、ln(3) が 3 倍になるまで待ってから、別の ln(10) で 10 倍になることもできます。 最終結果同じなので、もちろん時間は一定でなければなりません（そして残ります）。

分割についてはどうですか？ 具体的には、ln(5/3) は、5 倍に成長してからその 1/3 になるまでにどれくらいの時間がかかりますか?を意味します。

すごいですね、5 倍の成長は ln(5) です。 1/3 倍に増加するには、-ln(3) 単位の時間がかかります。 それで、

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

これは、5 倍に成長させてから、その量の 3 分の 1 だけが残っている時点まで「時間を戻す」ことを意味します。つまり、5/3 の成長が得られます。 一般的に判明したのは

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

対数の奇妙な算術が理解できるようになってきたら幸いです。成長率の乗算は成長時間単位の加算となり、除算は時間単位の減算となります。 ルールを暗記する必要はありません。理解するように努めてください。

自然対数を使用した任意の成長

「そうですね、もちろん」とあなたは言います。「成長が 100% であれば問題ありませんが、私が受け取った 5% はどうなるのでしょうか?」

問題ない。 ln() で計算する「時間」は、実際には金利と時間の組み合わせであり、e x 方程式からの同じ X です。 簡単にするためにパーセンテージを 100% に設定することにしましたが、任意の数値を使用できます。

30 倍の成長を達成したいとします。ln(30) を取得すると 3.4 になります。これは次のことを意味します。

• e x = 身長
• e 3.4 = 30

明らかに、この方程式は「3.4 年間で 100% の収益が得られれば 30 倍の成長が得られる」ことを意味します。 この方程式は次のように書くことができます。

• e x = e レート*時間
• e 100% * 3.4 年 = 30

ベット * 時間が 3.4 のままである限り、「ベット」と「時間」の値を変更できます。 たとえば、30 倍の成長に興味がある場合、金利 5% ではどれくらい待つ必要があるでしょうか?

• ln(30) = 3.4
• レート * 時間 = 3.4
• 0.05 * 時間 = 3.4
• 時間 = 3.4 / 0.05 = 68 年

私は次のように推論します。「ln(30) = 3.4 なので、100% の成長には 3.4 年かかります。成長率を 2 倍にすると、必要な時間は半分になります。」

• 3.4 年間 100% = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 1.7 年で 200% = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 50% (6.8 年間) = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 68 年間で 5% = 0.05 * 68 = 3.4。

すごいですよね？ 自然対数は積が一定であるため、任意の金利と時間で使用できます。 変数の値は好きなだけ移動できます。

クールな例: 72 の法則

72 の法則は、お金が 2 倍になるまでにどれくらいの時間がかかるかを見積もることができる数学的手法です。 これからそれを推測し（そうです！）、さらにその本質を理解しようとします。

年利100%の複利でお金を2倍にするのにどれくらいの時間がかかりますか?

おっと。 の場合には自然対数を使用しました。 継続的な成長、そして今、年次見越について話しているのですか？ このような場合にはこの式は不向きになるのではないでしょうか？ はい、そうなりますが、実質金利が 5%、6%、さらには 15% の場合、年間複利と継続的な成長の差は小さくなります。 したがって、大まかな推定は、まあ、大まかに機能するので、完全に継続的な発生があると仮定します。

さて、質問は簡単です。100% の成長でどのくらい早く 2 倍にできるでしょうか? ln(2) = 0.693。 100% の継続的な増加で量を 2 倍にするのに 0.693 単位の時間 (この場合は年) かかります。

では、金利が100％ではなく、5％や10％になったらどうなるでしょうか？

簡単に！ ベット * 時間 = 0.693 なので、金額を 2 倍にします。

• レート * 時間 = 0.693
• 時間 = 0.693 / ベット

成長率が 10% の場合、2 倍になるには 0.693 / 0.10 = 6.93 年かかることがわかります。

計算を簡単にするために、両辺に 100 を掛けます。そうすれば、「0.10」ではなく「10」と言えます。

• ダブルまでの時間 = 69.3 / ベット。ベットはパーセンテージで表されます。

今度は 5% の率で 2 倍になります (69.3 / 5 = 13.86 年)。 ただし、69.3 は最も便利な配当ではありません。 選びましょう 近い番号, 72、2、3、4、6、8 などの数字で割るのに便利です。

• ダブルになるまでの時間 = 72 / ベット

それが72の法則です。 すべてが網羅されています。

3 倍になる時間を見つける必要がある場合は、ln(3) ~ 109.8 を使用して次の値を取得します。

• 3倍になるまでの時間 = 110 / ベット

もう一つは何ですか 便利なルール。 身長には「72の法則」が適用される 関心度、人口増加、細菌培養、および指数関数的に増加するすべてのもの。

次は何ですか？

自然対数が理解できれば幸いです。自然対数は、数値が指数関数的に増加するのにかかる時間を示しています。 これが自然と呼ばれるのは、e が成長の普遍的な尺度であるため、ln は成長にかかる時間を決定する普遍的な方法と考えることができるからだと思います。

ln(x) を見るたびに、「X 倍に成長するのにかかる時間」を思い出してください。 次の記事では、数学の新鮮な香りが空気を満たすように、e と ln を組み合わせて説明します。

補遺: e の自然対数

簡単なクイズ: ln(e) とは何ですか?

• 数学ロボットは、「これらは相互の逆数として定義されているため、ln(e) = 1 であることは明らかです」と言うでしょう。
• わかる人： ln(e) は「e」倍（約 2.718）にかかる回数です。 ただし、数値 e 自体は 1 倍の成長の尺度であるため、ln(e) = 1 となります。

明確に考えてください。

2013 年 9 月 9 日

自然対数

自然対数関数のグラフ。 関数は増加するにつれて徐々に正の無限大に近づきます バツそして、次の場合にすぐに負の無限大に近づきます。 バツ 0 (他のものと比較して「遅い」および「速い」) になる傾向があります。 べき乗関数から バツ).

自然対数底の対数です 、 どこ e- 約 2.718281 828 に等しい無理定数。 自然対数は通常 ln( バツ)、ログ e (バツ) または単に log( バツ)、ベースの場合 e暗示的に。

数値の自然対数 バツ(次のように書かれています) ln(x)) は、数値を累乗する必要がある指数です e、入手するには バツ。 例えば、 ln(7,389...) 2 に等しいため、 e 2 =7,389... 。 数値自体の自然対数 e (ln(e)) は 1 に等しいため、 e 1 = e、自然対数は 1 ( ln(1)) は 0 に等しいため、 e 0 = 1.

自然対数は、任意の正の実数に対して定義できます。 ある曲線の下の領域として y = 1/バツ 1から ある。 この定義の単純さは、自然対数を使用する他の多くの式と一致しているため、「natural」という名前が付けられました。 以下で説明するように、この定義は複素数に拡張できます。

自然対数を実変数の実関数と考えると、それは指数関数の逆関数となり、次の恒等式が得られます。

すべての対数と同様に、自然対数は乗算を加算にマッピングします。

したがって、対数関数は、乗算に関する正の実数のグループと加算に関する実数のグループの同型写像であり、関数として表すことができます。

対数は、1 以外の任意の正の底に対して定義できます。 e、ただし、他の底の対数は定数因数だけ自然対数と異なり、通常は自然対数で定義されます。 対数は、指数として未知数を含む方程式を解くのに役立ちます。 たとえば、対数は既知の半減期の崩壊定数を求めたり、放射能の問題を解決する際の崩壊時間を求めたりするために使用されます。 これらは数学や応用科学の多くの分野で重要な役割を果たしており、金融では複利の計算など多くの問題を解決するために使用されます。

話

自然対数について最初に言及したのは、ニコラス メルカトルの著作の中でです。 対数技術、1668年に出版されましたが、数学教師のジョン・スピデルが自然対数の表を編纂したのは1619年に遡ります。 双曲線の下の面積に相当するため、以前は双曲線対数と呼ばれていました。 ネピア対数と呼ばれることもありますが、この用語の本来の意味は多少異なります。

指定規則

自然対数は通常「ln( バツ)"、底 10 の対数 - "lg( バツ)」などの理由は通常、「ログ」という記号で明示的に示されます。

離散数学、サイバネティクス、コンピューター サイエンスに関する多くの著作では、著者は「log( バツ)" は底 2 の対数を表しますが、この規則は一般に受け入れられておらず、使用される表記法のリストで説明するか、(そのようなリストがない場合は) 最初に使用するときに脚注またはコメントで明確にする必要があります。

対数の引数を囲む括弧は (式の誤った解釈につながらない場合に限り) 通常は省略され、対数をべき乗する場合、指数は対数の符号に直接割り当てられます: ln 2 ln 3 4 バツ 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

英米系

数学者、統計学者、一部のエンジニアは通常、自然対数または「log( バツ)" または "ln( バツ)"、および 10 を底とする対数を表す - "log 10 ( バツ)».

一部のエンジニア、生物学者、その他の専門家は常に「ln( バツ)" (または場合によっては "log e ( バツ)") 自然対数を意味する場合、表記は "log( バツ)" は log 10 を意味します ( バツ).

ログ eは自動的に発生し、数学で頻繁に現れるため、「自然」対数です。 たとえば、対数関数の導関数の問題を考えてみましょう。

ベースなら b等しい eの場合、導関数は単純に 1/ になります。 バツ、そしていつ バツ= 1 この微分値は 1 に等しい。基数が 1 であるもう 1 つの理由 e対数について最も自然なことは、単純な積分またはテイラー級数の観点から非常に簡単に定義できることですが、これは他の対数については言えません。

自然であることのさらなる正当化は、表記とは関係ありません。 たとえば、自然対数を含む単純な級数がいくつかあります。 ピエトロ・メンゴリとニコラス・メルカトルは彼らをこう呼んだ 自然対数ニュートンとライプニッツが微分積分を開発するまでの数十年。

意味

正式には ln( ある) は、グラフ 1/ の曲線下の面積として定義できます。 バツ 1から あるつまり、積分として：

これは対数の基本的な性質を満たすため、真に対数です。

これは、次のように仮定することで証明できます。

数値

数値の自然対数の数値を計算するには、次の形式でテイラー級数展開を使用できます。

より良い収束率を得るには、次の ID を使用できます。

という条件で y = (バツ−1)/(バツ+1) と バツ > 0.

ln( バツ）、 どこ バツ> 1、値が近づくほど バツ 1 にすると、収束速度が速くなります。 対数に関連付けられた恒等式を使用して、目標を達成できます。

これらの方法は、計算機が登場する前から使用されており、数値表が使用され、上記と同様の操作が実行されました。

高い正確性

精度の桁数が多い自然対数を計算する場合、テイラー級数は収束が遅いため効率的ではありません。 別の方法は、ニュートン法を使用して、級数がより早く収束する指数関数に逆変換することです。

非常に高い計算精度を得るには、次の式を使用します。

どこ Mは 1 と 4/s の算術幾何平均を示し、

メートルそのように選ばれた p精度のマークが達成されています。 (ほとんどの場合、m の値は 8 で十分です。)実際、この方法を使用すると、自然対数のニュートン逆数を適用して指数関数を効率的に計算できます。 (定数 ln 2 と pi は、既知の急速収束シリーズのいずれかを使用して、必要な精度まで事前に計算できます。)

計算の複雑さ

自然対数 (算術幾何平均を使用) の計算量は O( M(n)ln n）。 ここ n自然対数を評価する必要がある精度の桁数です。 M(n) は 2 を乗算する計算の複雑さです。 n-桁の数字。

連分数

対数を表す単純な連分数はありませんが、次のようないくつかの一般化された連分数を使用できます。

複素対数

指数関数は、次の形式の複素数を与える関数に拡張できます。 e バツ任意の 複素数 バツ、この場合は複素数の無限級数です。 バツ。 この指数関数を逆にすると、複素対数を形成できます。 ほとんどの場合常用対数の性質。 ただし、問題が 2 つあります。 バツ、そのために e バツ= 0 となり、次のことがわかります。 e 2πi = 1 = e 0 。 乗法特性は複素指数関数に対して有効であるため、次のようになります。 e z = e z+2にぃすべてのコンプレックスに対して zそして全体 n.

対数は複素平面全体にわたって定義することはできませんが、それでも多値です。複素対数は、2 の整数倍を加算することで「等価」対数に置き換えることができます。 πi。 複素対数は、複素平面のスライス上でのみ単一値をとることができます。 たとえば、ln 私 = 1/2 πiまたは5/2 πiまたは -3/2 πi、など、しかし 私 4 = 1.4 対数 私 2として定義できます πi、または10 πiまたは -6 πi、 等々。

こちらも参照

• ジョン・ネイピア - 対数の発明者

ノート

1. 物理化学のための数学。 - 3番目。 - Academic Press、2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5、9ページの抜粋
2. J・J・オコナーとE・F・ロバートソン数字e。 MacTutor の数学史アーカイブ (2001 年 9 月)。 アーカイブ済み
3. カジョリ・フロリアン数学の歴史、第 5 版 - AMS 書店、1991 年。 - P. 152。 - ISBN 0821821024
4. フラッシュマン、マーティン多項式を使用した積分の推定。 2012 年 2 月 12 日のオリジナルからアーカイブ。