対数の底が異なる場合。 対数の計算、例、解法

• コルモゴロフ A.N.、アブラモフ A.M.、ドゥドニーツィン Yu.P. 代数と解析の初歩: 一般教育機関の 10 年生から 11 年生向けの教科書。
• グセフ V.A.、モルドコビッチ A.G. 数学（専門学校入学者向けマニュアル）。

主な特性.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x:y)。

同一の根拠

Log6 4 + log6 9。

では、タスクを少し複雑にしてみましょう。

対数を解く例

対数の底または引数が累乗の場合はどうなるでしょうか? 次に、次の規則に従って、対数の符号からこの次数の指数を取り出すことができます。

もちろん、対数の ODZ が観察される場合、これらすべての規則は意味を持ちます: a > 0、a ≠ 1、x >

タスク。 式の意味を調べます。

新しい基盤への移行

対数 logax を与えます。 次に、c > 0 および c ≠ 1 であるような任意の数値 c について、等式が真になります。

タスク。 式の意味を調べます。

以下も参照してください。

対数の基本的な性質

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指数は 2.718281828… です。 指数を覚えるために、法則を研究することができます。指数は 2.7 に等しく、レオ・ニコラエヴィチ・トルストイの誕生年の 2 倍です。

対数の基本的な性質

このルールを知れば、指数の正確な値とレフ・トルストイの生年月日の両方がわかります。

対数の例

対数表現

例1.
A)。 x=10ac^2 (a>0、c>0)。

プロパティ 3.5 を使用して計算します

2.

3.

4. どこ .

例 2. 次の場合に x を求める

例 3. 対数値を与えてみましょう

次の場合に log(x) を計算します。

対数の基本的な性質

対数は、他の数値と同様、あらゆる方法で加算、減算、変換できます。 しかし、対数はまったく普通の数ではないため、ここには次のような規則があります。 主な特性.

これらのルールを必ず知っておく必要があります。ルールがなければ、深刻な対数問題は 1 つも解決できません。 さらに、それらの数は非常に少なく、1日ですべてを学ぶことができます。 それでは始めましょう。

対数の加算と減算

同じ底を持つ 2 つの対数、logax と logay を考えてみましょう。 その後、これらを加算および減算し、次の操作を行うことができます。

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x:y)。

したがって、対数の合計は積の対数に等しく、差は商の対数に等しくなります。 注意してください: ここで重要な点は次のとおりです 同一の根拠。 理由が異なる場合、これらのルールは機能しません。

これらの公式は、個々の部分が考慮されていない場合でも、対数式を計算するのに役立ちます (レッスン「対数とは」を参照)。 例を見て、次のことを確認してください。

対数の底は同じなので、合計の公式を使用します。
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2。

タスク。 式の値を見つけます: log2 48 − log2 3。

ベースは同じなので、差分の式を使用します。
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4。

タスク。 式の値を見つけます: log3 135 − log3 5。

ここでもベースは同じなので、次のようになります。
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3。

ご覧のとおり、元の式は「悪い」対数で構成されており、個別に計算されていません。 しかし、変換後は完全に正規の数値が得られます。 多くのテストはこの事実に基づいています。 はい、統一国家試験では、テストのような表現が真剣に (場合によってはほとんど変更なしで) 提供されます。

対数から指数を抽出する

最後のルールが最初の 2 つのルールに従っていることは簡単にわかります。 ただし、とにかく覚えておいたほうがよいでしょう。場合によっては、計算量が大幅に削減されます。

もちろん、対数の ODZ (a > 0、a ≠ 1、x > 0) が観察されていれば、これらすべてのルールは意味を持ちます。そしてもう 1 つ、すべての式を左から右へだけでなく、その逆にも適用することを学びましょう。 、つまり 対数記号の前の数値を対数そのものに入力できます。 これが最も頻繁に必要となるものです。

タスク。 式の値を見つけます: log7 496。

最初の式を使用して、引数内の次数を取り除きましょう。
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

タスク。 式の意味を調べます。

分母には​​対数が含まれており、その底と引数は正確な累乗であることに注意してください: 16 = 24。 49 = 72。次のようになります。

最後の例については、もう少し説明が必要だと思います。 対数はどこへ行ったのでしょうか? 最後の瞬間まで、私たちは分母だけを扱います。

対数の公式。 対数の例の解決策。

そこに立っている対数の底と引数をべき乗の形で提示し、指数を取り除きました。「3 階建て」の分数が得られました。

次に、主要部分を見てみましょう。 分子と分母には同じ数値が含まれます: log2 7。log2 7 ≠ 0 なので、分数を減らすことができます。分母には 2/4 が残ります。 算術の規則によれば、4 を分子に移すことができ、それが行われたのです。 結果は、答えは２でした。

新しい基盤への移行

対数の加算と減算のルールについて、これらは同じ底を使用した場合にのみ機能することを特に強調しました。 理由が違っていたらどうなるでしょうか？ それらが同じ数の正確なべき乗ではない場合はどうなるでしょうか?

新しい財団への移行のための公式が役に立ちます。 それらを定理の形で定式化してみましょう。

対数 logax を与えます。 次に、c > 0 および c ≠ 1 であるような任意の数値 c について、等式が真になります。

特に、 c = x と設定すると、次のようになります。

2 番目の式から、対数の底と引数を交換できることがわかりますが、この場合、式全体が「ひっくり返る」ことになります。 対数が分母に表示されます。

これらの式は、通常の数値式ではほとんど見られません。 対数方程式や不等式を解く場合にのみ、その利便性を評価できます。

しかし、新たな基盤に移行する以外には全く解決できない問題もある。 いくつか見てみましょう:

タスク。 式の値を見つけます: log5 16 log2 25。

両方の対数の引数には正確な累乗が含まれることに注意してください。 指標を取り出してみましょう: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

次に、2 番目の対数を「反転」してみましょう。

因数を並べ替えても積は変わらないので、落ち着いて4と2を掛けてから対数を扱いました。

タスク。 式の値を見つけます: log9 100 lg 3。

最初の対数の底と引数は正確な累乗です。 これを書き留めてインジケーターを取り除きましょう。

次に、新しい底に移動して 10 進対数を取り除きましょう。

基本対数恒等式

多くの場合、解法プロセスでは、数値を特定の底の対数として表す必要があります。 この場合、次の公式が役に立ちます。

最初のケースでは、数値 n が引数の指数になります。 n は単なる対数値であるため、数値 n は何でも構いません。

2 番目の式は実際には定義を言い換えたものです。 それは次のように呼ばれています。

実際、数値 b を、数値 b の累乗が数値 a になるように累乗するとどうなるでしょうか? そうです。結果は同じ数値 a です。 この段落をもう一度注意深く読んでください。多くの人がここで行き詰まってしまいます。

新しい底に移動するための公式と同様に、基本的な対数恒等式が唯一可能な解決策である場合があります。

タスク。 式の意味を調べます。

log25 64 = log5 8 - 単に対数の底と引数から 2 乗を取っただけであることに注意してください。 同じ基数でべき乗を乗算するルールを考慮すると、次のようになります。

知らない人もいるかもしれませんが、これは統一国家試験の実際の課題でした :)

対数単位と対数ゼロ

結論として、プロパティとは言い難い 2 つの恒等式を示します。むしろ、それらは対数の定義の結果です。 それらは常に問題に登場し、驚くべきことに「上級」の生徒でも問題を引き起こします。

1. logaa = 1 です。 必ず覚えておいてください。底 a の底に対する対数自体は 1 に等しいということです。
2. loga 1 = 0 です。 基数 a は何でも構いませんが、引数に 1 が含まれている場合、対数は 0 に等しくなります。 a0 = 1 は定義の直接的な結果であるためです。

それがすべてのプロパティです。 ぜひ実践してみてください！ レッスンの初めにカンニングペーパーをダウンロードして印刷し、問題を解いてください。

以下も参照してください。

a を底とする b の対数は式を表します。 対数を計算するとは、等式が満たされるときのべき乗 x () を見つけることを意味します。

対数の基本的な性質

対数に関連するほとんどすべての問題と例はそれらに基づいて解決されるため、上記の特性を知っておく必要があります。 残りのエキゾチックな特性は、次の式を使用した数学的操作を通じて導き出すことができます。

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対数の和と差の公式 (3.4) を計算するときに、よく出てきます。 残りはやや複雑ですが、多くのタスクでは、複雑な式を簡略化し、その値を計算するために不可欠です。

対数の一般的なケース

常用対数の中には、底が 10 の場合や、指数関数または 2 の場合があります。
10 を底とする対数は通常 10 進対数と呼ばれ、単に lg(x) と表されます。

基本的なことが録音に書かれていないのは録音を見れば明らかです。 例えば

自然対数は、底が指数である対数です (ln(x) で示されます)。

指数は 2.718281828… です。 指数を覚えるために、法則を研究することができます。指数は 2.7 に等しく、レオ・ニコラエヴィチ・トルストイの誕生年の 2 倍です。 このルールを知れば、指数の正確な値とレフ・トルストイの生年月日の両方がわかります。

そして、底 2 に対するもう 1 つの重要な対数は、次のように表されます。

関数の対数の導関数は、変数で割ったものに等しい

積分または逆微分対数は、次の関係によって決定されます。

与えられた資料は、対数と対数に関連する幅広いクラスの問題を解決するのに十分です。 内容を理解しやすくするために、学校のカリキュラムや大学の一般的な例をいくつか挙げます。

対数の例

対数表現

例1.
A)。 x=10ac^2 (a>0、c>0)。

プロパティ 3.5 を使用して計算します

2.
対数の差の性質により、次のようになります。

3.
プロパティ 3.5 を使用すると、次のことがわかります。

4. どこ .

一見複雑な式は、いくつかのルールを使用して簡略化されて形成されます

対数値を求める

例 2. 次の場合に x を求める

解決。 計算にあたっては、前期の5物件と13物件に適用します。

私たちはそれを記録に残して悼みます

基数が等しいので、式を同等とみなします。

対数。 最初のレベル。

対数の値を与えてみましょう

次の場合に log(x) を計算します。

解決策: 変数の対数をとり、その項の合計で対数を書きましょう

これは、対数とその特性についての知識の始まりにすぎません。 計算を練習し、実践的なスキルを強化します。対数方程式を解くために得た知識はすぐに必要になります。 このような方程式を解くための基本的な方法を学習したら、もう 1 つの同様に重要なトピックである対数不等式に知識を広げていきます。

対数の基本的な性質

対数は、他の数値と同様、あらゆる方法で加算、減算、変換できます。 しかし、対数はまったく普通の数ではないため、ここには次のような規則があります。 主な特性.

これらのルールを必ず知っておく必要があります。ルールがなければ、深刻な対数問題は 1 つも解決できません。 さらに、それらの数は非常に少なく、1日ですべてを学ぶことができます。 それでは始めましょう。

対数の加算と減算

同じ底を持つ 2 つの対数、logax と logay を考えてみましょう。 その後、これらを加算および減算し、次の操作を行うことができます。

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x:y)。

したがって、対数の合計は積の対数に等しく、差は商の対数に等しくなります。 注意してください: ここで重要な点は次のとおりです 同一の根拠。 理由が異なる場合、これらのルールは機能しません。

これらの公式は、個々の部分が考慮されていない場合でも、対数式を計算するのに役立ちます (レッスン「対数とは」を参照)。 例を見て、次のことを確認してください。

タスク。 式の値を見つけます: log6 4 + log6 9。

対数の底は同じなので、合計の公式を使用します。
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2。

タスク。 式の値を見つけます: log2 48 − log2 3。

ベースは同じなので、差分の式を使用します。
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4。

タスク。 式の値を見つけます: log3 135 − log3 5。

ここでもベースは同じなので、次のようになります。
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3。

ご覧のとおり、元の式は「悪い」対数で構成されており、個別に計算されていません。 しかし、変換後は完全に正規の数値が得られます。 多くのテストはこの事実に基づいています。 はい、統一国家試験では、テストのような表現が真剣に (場合によってはほとんど変更なしで) 提供されます。

対数から指数を抽出する

では、タスクを少し複雑にしてみましょう。 対数の底または引数が累乗の場合はどうなるでしょうか? 次に、次の規則に従って、対数の符号からこの次数の指数を取り出すことができます。

最後のルールが最初の 2 つのルールに従っていることは簡単にわかります。 ただし、とにかく覚えておいたほうがよいでしょう。場合によっては、計算量が大幅に削減されます。

もちろん、対数の ODZ (a > 0、a ≠ 1、x > 0) が観察されていれば、これらすべてのルールは意味を持ちます。そしてもう 1 つ、すべての式を左から右へだけでなく、その逆にも適用することを学びましょう。 、つまり 対数記号の前の数値を対数そのものに入力できます。

対数の解き方

これが最も頻繁に必要となるものです。

タスク。 式の値を見つけます: log7 496。

最初の式を使用して、引数内の次数を取り除きましょう。
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

タスク。 式の意味を調べます。

分母には​​対数が含まれており、その底と引数は正確な累乗であることに注意してください: 16 = 24。 49 = 72。次のようになります。

最後の例については、もう少し説明が必要だと思います。 対数はどこへ行ったのでしょうか? 最後の瞬間まで、私たちは分母だけを扱います。 そこに立っている対数の底と引数をべき乗の形で提示し、指数を取り除きました。「3 階建て」の分数が得られました。

次に、主要部分を見てみましょう。 分子と分母には同じ数値が含まれます: log2 7。log2 7 ≠ 0 なので、分数を減らすことができます。分母には 2/4 が残ります。 算術の規則によれば、4 を分子に移すことができ、それが行われたのです。 結果は、答えは２でした。

新しい基盤への移行

対数の加算と減算のルールについて、これらは同じ底を使用した場合にのみ機能することを特に強調しました。 理由が違っていたらどうなるでしょうか？ それらが同じ数の正確なべき乗ではない場合はどうなるでしょうか?

新しい財団への移行のための公式が役に立ちます。 それらを定理の形で定式化してみましょう。

対数 logax を与えます。 次に、c > 0 および c ≠ 1 であるような任意の数値 c について、等式が真になります。

特に、 c = x と設定すると、次のようになります。

2 番目の式から、対数の底と引数を交換できることがわかりますが、この場合、式全体が「ひっくり返る」ことになります。 対数が分母に表示されます。

これらの式は、通常の数値式ではほとんど見られません。 対数方程式や不等式を解く場合にのみ、その利便性を評価できます。

しかし、新たな基盤に移行する以外には全く解決できない問題もある。 いくつか見てみましょう:

タスク。 式の値を見つけます: log5 16 log2 25。

両方の対数の引数には正確な累乗が含まれることに注意してください。 指標を取り出してみましょう: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

次に、2 番目の対数を「反転」してみましょう。

因数を並べ替えても積は変わらないので、落ち着いて4と2を掛けてから対数を扱いました。

タスク。 式の値を見つけます: log9 100 lg 3。

最初の対数の底と引数は正確な累乗です。 これを書き留めてインジケーターを取り除きましょう。

次に、新しい底に移動して 10 進対数を取り除きましょう。

基本対数恒等式

多くの場合、解法プロセスでは、数値を特定の底の対数として表す必要があります。 この場合、次の公式が役に立ちます。

最初のケースでは、数値 n が引数の指数になります。 n は単なる対数値であるため、数値 n は何でも構いません。

2 番目の式は実際には定義を言い換えたものです。 それは次のように呼ばれています。

実際、数値 b を、数値 b の累乗が数値 a になるように累乗するとどうなるでしょうか? そうです。結果は同じ数値 a です。 この段落をもう一度注意深く読んでください。多くの人がここで行き詰まってしまいます。

新しい底に移動するための公式と同様に、基本的な対数恒等式が唯一可能な解決策である場合があります。

タスク。 式の意味を調べます。

log25 64 = log5 8 - 単に対数の底と引数から 2 乗を取っただけであることに注意してください。 同じ基数でべき乗を乗算するルールを考慮すると、次のようになります。

知らない人もいるかもしれませんが、これは統一国家試験の実際の課題でした :)

対数単位と対数ゼロ

結論として、プロパティとは言い難い 2 つの恒等式を示します。むしろ、それらは対数の定義の結果です。 それらは常に問題に登場し、驚くべきことに「上級」の生徒でも問題を引き起こします。

1. logaa = 1 です。 必ず覚えておいてください。底 a の底に対する対数自体は 1 に等しいということです。
2. loga 1 = 0 です。 基数 a は何でも構いませんが、引数に 1 が含まれている場合、対数は 0 に等しくなります。 a0 = 1 は定義の直接的な結果であるためです。

それがすべてのプロパティです。 ぜひ実践してみてください！ レッスンの初めにカンニングペーパーをダウンロードして印刷し、問題を解いてください。

(ギリシャ語の λόγος - 「言葉」、「関係」、および ἀριθμός - 「数」から) bに基づく ある(対数α b) をそのような数字と呼びます c、 そして b= 交流つまりログαを記録します。 b=cそして b=acは同等です。 a > 0、a ≠ 1、b > 0 の場合、対数は意味を持ちます。

言い換えると 対数数字 bに基づく あ数値を累乗する必要がある指数として定式化される ある番号を取得する b(対数は正の数に対してのみ存在します)。

この公式から、計算 x= log α が得られます。 b、方程式 a x =b を解くのと同じです。

例えば：

8 = 2 3 なので、log 2 8 = 3。

示された対数の定式化により、すぐに決定できることを強調しておきます。 対数値、対数記号の下の数値が底の特定のべき乗として機能する場合。 実際、対数を定式化すると、次のことが正当化されます。 b=a c、次に数値の対数 bに基づく ある等しい と。 対数の話題がこの話題と密接に関係していることも明らかです。 数のべき乗.

対数を計算することを呼びます 対数。 対数は対数をとる数学的演算です。 対数を計算する場合、因数の積は項の和に変換されます。

増強は対数の逆数学演算です。 増強中、所定の塩基は、増強が実行される発現の程度まで上昇します。 この場合、項の合計は因子の積に変換されます。

多くの場合、実対数は底 2 (2 進数)、オイラー数 e ≈ 2.718 (自然対数)、および 10 (10 進数) で使用されます。

この段階で検討することをお勧めします 対数サンプルログ 7 2 , ln √ 5, lg0.0001。

また、エントリ lg(-3)、log -3 3.2、log -1 -4.3 は意味がありません。最初のエントリでは対数の符号の下に負の数が配置され、2 番目のエントリでは負の数が配置されます。底が 1 で、3 番目の対数記号の下に負の数があり、底の単位が表示されます。

対数を決定するための条件。

a > 0、a ≠ 1、b > 0 という条件を個別に考慮する価値があります。 対数の定義。なぜこのような制限が設けられたのか考えてみましょう。 x = log α という形式の等式がこれに役立ちます。 b、基本対数恒等式と呼ばれるもので、上記の対数の定義から直接得られます。

条件を取りましょう a≠1。 1 の任意のべき乗は 1 に等しいため、等式 x=log α bの場合にのみ存在できます b=1, ただし、log 1 1 は任意の実数になります。 この曖昧さを排除するために、次のようにします。 a≠1.

条件の必要性を証明しましょう a>0。 で a=0対数の公式によれば、次の場合にのみ存在できます。 b=0。 そしてそれに応じて ログ 0 0ゼロ対ゼロ以外の累乗はゼロであるため、ゼロ以外の実数を指定できます。 この曖昧さは次の条件によって解消できます。 a≠0。 そしていつ ある<0 有理数と無理数の指数を持つ次数は非負の基数に対してのみ定義されるため、対数の有理数と無理数の分析を拒否する必要があります。 条件が定められているのはこのためです a>0.

そして最後の条件は b>0不平等から導かれる a>0, x=log α なので b、および正の基数を持つ次数の値 ある常にポジティブ。

対数の特徴。

対数独特の特徴を持つ 特徴、骨の折れる計算を大幅に容易にするために広く使用されるようになりました。 「対数の世界」に移行すると、乗算はより簡単な加算に変換され、除算は減算に変換され、べき乗と根の抽出はそれぞれ、指数による乗算と除算に変換されます。

対数の公式とその値の表 (三角関数用) は、1614 年にスコットランドの数学者ジョン ネイピアによって初めて出版されました。 他の科学者によって拡大および詳細化された対数表は、科学および工学の計算で広く使用され、電子計算機やコンピューターが使用されるまで関連性があり続けました。