軸対称と中心対称。長方形、ひし形、正方形

13.10.2019

古代以来、人間は美についての考えを発展させてきました。自然の創造物はすべて美しいです。人はそれぞれに美しく、動物や植物は素晴らしいです。宝石や塩の結晶を見ると目を楽しませますが、雪の結晶や蝶を賞賛せずにはいられません。しかし、なぜこのようなことが起こるのでしょうか? 私たちには、物体の外観は正しく完全であるように見え、その右半分と左半分はまるで鏡像のように同じに見えます。

美の本質について最初に考えたのは芸術家だったようです。紀元前 5 世紀に人体の構造を研究した古代の彫刻家。「対称性」という概念が使われ始めました。この言葉はギリシャ語に由来し、構成要素の配置における調和、比例、類似性を意味します。プラトンは、対称的で均整のとれたものだけが美しいと主張しました。

幾何学と数学では、軸対称 (直線に対して)、中心 (点に対して)、鏡面対称 (平面に対して) の 3 つのタイプの対称が考慮されます。

オブジェクトの各点がその中心に対して独自の正確なマッピングを内部に持つ場合、中心対称性が存在します。例としては、円柱、球、正角柱などの幾何学的な物体が挙げられます。

直線に対する点の軸対称は、この直線が点を結ぶ線分の中央と交差し、それに垂直であることを意味します。例としては、二等辺三角形の未展開角の二等分線、円の中心を通って引かれた線などが挙げられます。軸対称が特徴的な場合は、単に軸に沿って曲げて、等しい半分を「向かい合わせに」置くだけで、ミラーポイントの定義を視覚化できます。希望の点が互いに接触します。

鏡面対称では、オブジェクトの点は、その中心を通過する平面に対して均等に配置されます。

自然は賢明で合理的であるため、その創造物のほとんどすべては調和のとれた構造を持っています。これは生物にも無生物にも当てはまります。ほとんどの生命体の構造は、左右対称、放射状、球面の 3 種類の対称性のいずれかによって特徴付けられます。

ほとんどの場合、軸性は土壌表面に垂直に成長する植物で観察されます。この場合、対称性は、中心にある共通の軸を中心に同一の要素を回転させた結果です。それらの位置の角度と周波数は異なる場合があります。例としては、トウヒ、カエデなどの木があります。一部の動物では軸対称性も発生しますが、これはそれほど一般的ではありません。もちろん、自然が数学的精度によって特徴づけられることはほとんどありませんが、生物の要素の類似性は依然として驚くべきものです。

生物学者は軸対称ではなく、両側（両側）対称を考慮することがよくあります。この例としては、蝶やトンボの羽、植物の葉、花びらなどが挙げられます。いずれの場合も、生体の右部分と左部分は等しく、互いに鏡像になります。

球面対称は、多くの植物、一部の魚、軟体動物、ウイルスの果実の特徴です。放射状対称の例としては、ある種の線虫や棘皮動物が挙げられます。

人間の目では、非対称性はほとんどの場合、不規則性や劣等性と関連付けられます。したがって、人間の手で作られたほとんどの作品には、対称性と調和が見られます。

g を固定線とします (図 191)。任意の点Xをとり、その垂線AXを直線gに下ろします。点 A を越えた垂線の延長上に、線分 AX に等しい線分 AX" をプロットします。点 X" は、直線 g に対して点 X に対して対称であると呼ばれます。

点 X が直線 g 上にある場合、それに対称な点は点 X そのものです。点 X" に対称な点は点 X です。

図形 F を、その点 X が、与えられた直線 g に対して対称な点 X" に向かう図形 F" に変換することを、直線 g に関する対称変換といいます。この場合、図形 F と F'' は直線 g に対して対称であると呼ばれます (図 192)。

線 g に関する対称変換が図形 F をそれ自体に取り込む場合、この図形は線 g に関して対称と呼ばれ、線 g は図形の対称軸と呼ばれます。

たとえば、長方形の辺に平行な対角線の交点を通過する直線は、長方形の対称軸です (図 193)。ひし形の対角線上にある直線は、その対称軸です(図194)。

定理9.3。直線を中心とした対称性の変化が動きです。

証拠。この直線をデカルト座標系の y 軸とします (図 195)。図形 F の任意の点 A (x; y) が図形 F" の点 A" (x"; y") に行くとする。直線に関する対称性の定義から、点 A と A" は同じ縦座標を持ち、横座標は符号のみが異なることがわかります。

x"= -x。
2 つの任意の点 A(x 1; y 1) と B (x 2; y 2) を考えてみましょう。これらは点 A" (- x 1, y 1) と B" (-x 2; y 2) に進みます。

AB 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2.

このことから、AB = A "B" であることがわかります。そしてこれは、直線を中心とした対称性の変形が運動であることを意味します。定理が証明されました。

科学的かつ実践的なカンファレンス

市立学校法人「中等教育学校第23校」

ヴォログダ市

セクション: 自然科学

設計と研究の仕事

対称性の種類

作品は8年生が完成させました

クレネヴァ・マルガリータ

校長: 高等数学教師

2014年

プロジェクトの構造:

1. はじめに。

2. プロジェクトの目標と目的。

3. 対称性の種類:

3.1. 中心対称。

3.2. 軸対称。

3.3. ミラー対称性（平面を中心とした対称性）。

3.4. 回転対称。

3.5. ポータブルな対称性。

4. 結論。

対称性は、人間が何世紀にもわたって秩序、美しさ、完璧さを理解し、創造しようとしてきた考え方です。

G.ワイル

導入。

私の作品のテーマは、「8 年生の幾何学」コースの「軸と中心の対称性」セクションを学習した後に選択されました。私はこの話題にとても興味がありました。私が知りたかったのは、どのようなタイプの対称性が存在するのか、それらは互いにどのように異なるのか、各タイプで対称的な図形を構築するための原則は何なのかということです。

仕事の目的 : さまざまなタイプの対称性の紹介。

タスク:

この問題に関する文献を調べてください。

勉強した内容を要約して体系化します。

プレゼンテーションを準備します。

古代、「SYMMETRY」という言葉は「調和」「美しさ」を意味する言葉として使われていました。ギリシャ語から翻訳されたこの言葉は、「点、直線、または平面の反対側にあるものの部分の配置における比例性、比例性、同一性」を意味します。

対称性には 2 つのグループがあります。

最初のグループには、位置、形状、構造の対称性が含まれます。これは直接見ることができる対称性です。幾何学的対称性とも言えます。

2 番目のグループは、物理現象と自然法則の対称性を特徴付けます。この対称性は、世界の自然科学的構図のまさに基礎にあり、物理的対称性と呼ぶことができます。

勉強はやめます幾何学的対称性 .

また、幾何学的対称にもいくつかのタイプがあります。中央対称、軸対称、鏡面対称 (平面に対して対称)、放射状 (または回転)、ポータブルなどです。今日は5つのタイプの対称性を見ていきます。

中心対称性

2点AとA 1 点 O を通る直線上にあり、その両側に同じ距離で存在する場合、点 O に関して対称であると呼ばれます。点 O は対称中心と呼ばれます。

図形は点対称であると言われますについて 、図形の各点に対して、その点に対して対称な点がある場合について もこの図に属します。ドットについて 図形の対称中心と呼ばれ、その図形は中心対称性を持つと言われます。

中心対称の図形の例としては、円や平行四辺形があります。

スライドに示されている図形は、ある点に対して対称です。

2. 軸対称

2点× そして Y 直線に関して対称と呼ばれますt , この線がセグメント XY の中央を通過し、それに垂直である場合。各点は直線であるとも言えますt それ自体に対して対称であると考えられます。

真っ直ぐt – 対称軸。

図形は直線に対して対称であると言われますt, 図形の各点について、直線に対して対称な点がある場合t もこの図に属します。

真っ直ぐt図形の対称軸と呼ばれ、その図形は軸対称であると言われます。

未展開角、二等辺三角形、正三角形、長方形、ひし形は軸対称です。手紙（プレゼンテーションを参照）。

ミラー対称性（面対称）

2点P 1 そして P は、平面 a に垂直な直線上にあり、平面 a から同じ距離にある場合、平面 a に対して対称であると呼ばれます。

鏡面対称性 すべての人によく知られています。それはあらゆる物体とその平面鏡への反射を結びつけます。彼らは、ある図形は別の図形と鏡面対称であると言います。

平面上では、無数の対称軸を持つ図形が円でした。宇宙では、ボールには無数の対称面があります。

しかし、円が唯一無二のものであるなら、三次元の世界には、無限の数の対称面を持つ一連の物体が存在することになります。つまり、底面に円がある直立した円柱、円形の底面を持つ円錐、ボール。

鏡を使用すると、すべての対称平面図形をそれ自体と位置合わせできることを確立するのは簡単です。五芒星や正五角形などの複雑な図形も対称であることには驚きです。軸の数からわかるように、それらは高い対称性によって区別されます。そしてその逆も同様です。斜めの平行四辺形のような、一見規則的に見える図形がなぜ非対称なのかを理解するのはそれほど簡単ではありません。

4.P 回転対称（または放射対称）

回転対称 - これは対称性、つまり物体の形状の維持です。特定の軸の周りを 360° に等しい角度で回転するとき/n(またはこの値の倍数)、ここでn= 2, 3, 4, … 指示された軸を回転軸といいますn-番目の注文。

でn=2 図形のすべての点が 180 度回転されます。 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) 軸の周りで、図形の形状は維持されます。つまり、図形の各点は同じ図形の点に移動します (図形はそれ自体に変形します)。この軸を 2 次軸と呼びます。

図 2 は 3 次の軸、図 3 - 4 次、図 4 - 5 次の軸を示しています。

オブジェクトは複数の回転軸を持つことができます: 図 1 - 3 つの回転軸、図 2 - 4 軸、図 3 - 5 軸、図 3 - 5 軸。 4 – 1 軸のみ

よく知られている文字「I」と「F」は回転対称で、文字の平面に垂直でその中心を通る軸の周りで文字「I」を 180 度回転すると、文字はそれ自体と整列します。つまり、文字「I」は 180°回転に関して対称です、180°= 360°: 2、n=2、これは二次対称性があることを意味します。

文字「F」にも二次回転対称性があることに注意してください。

さらに、文字には対称中心があり、文字 F には対称軸があります。

人生の例に戻りましょう。グラス、アイスクリームを添えた円錐形のパウンドケーキ、針金、パイプなどです。

これらの物体を詳しく見てみると、それらすべてが何らかの形で円で構成されており、無数の対称軸を介して無数の対称面が存在していることがわかります。これらの物体のほとんど (回転体と呼ばれます) には、当然のことながら、少なくとも 1 つの回転対称軸が通過する対称中心 (円の中心) もあります。

たとえば、アイスクリームコーンの軸がはっきりと見えます。それは円の中央（アイスクリームから突き出ています！）からファンネルコーンの鋭い端まで伸びています。私たちは、身体の対称要素の全体を一種の対称性の尺度として認識します。このボールは、対称性という点において、比類のない完璧さ、理想を体現したものであることは疑いありません。古代ギリシャ人は、それを最も完璧な体として認識し、当然のことながら、円を最も完璧な平面図形として認識しました。

特定のオブジェクトの対称性を説明するには、すべての回転軸とその順序、およびすべての対称面を示す必要があります。

たとえば、2 つの同一の正四角錐から構成される幾何学的な物体を考えてみましょう。

4 次回転軸 1 本（AB 軸）、2 次回転軸 4 本（CE、軸）を備えています。DF, MP, NQ)、5 つの対称面 (面CDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . ポータブルな対称性

別のタイプの対称性は次のとおりです。ポータブル と対称。

このような対称性は、ある距離「a」またはこの値の倍数の距離まで直線に沿って図形を移動したときに、それ自体が一致する場合に語られます。移動が起こる直線は移動軸と呼ばれ、距離「a」は基本移動、周期、または対称ステップと呼ばれます。

あ

長いストリップ上で周期的に繰り返されるパターンはボーダーと呼ばれます。実際には、境界線はさまざまな形（壁画、鋳鉄、石膏の浅浮き彫り、または陶器）で見られます。ボーダーは、部屋を装飾するときに画家やアーティストによって使用されます。これらの装飾品を作るために、ステンシルが作られます。ステンシルを裏返したり裏返したりしながら動かし、輪郭をなぞり、パターンを繰り返すと、装飾が得られます（視覚的なデモンストレーション）。

境界線は、ステンシル (開始要素) を使用して簡単に構築でき、ステンシルを移動または裏返してパターンを繰り返します。この図は 5 種類のステンシルを示しています。あ）非対称。b、c ）水平または垂直の 1 つの対称軸を持ちます。G ) 中央で対称。d ) 垂直と水平の 2 つの対称軸を持ちます。

境界線を作成するには、次の変換が使用されます。

あ）パラレル転送。b ) 垂直軸に関して対称。V ）中心対称性。G ) 水平軸に関して対称。

同じ方法でソケットを構築できます。これを行うには、サークルを次のように分割します。n 等しいセクターで、そのうちの 1 つでサンプルパターンが作成され、後者が円の残りの部分で順番に繰り返され、毎回パターンが 360° 回転します。n .

軸対称とポータブル対称を使用した明確な例は、写真に示されているフェンスです。

結論: したがって、さまざまなタイプの対称性があり、これらのタイプの対称性のそれぞれにおける対称点は、特定の法則に従って構築されます。人生において、私たちはあらゆる場所で 1 つのタイプの対称性に遭遇します。また、多くの場合、私たちの周囲の物体では、複数のタイプの対称性が同時に観察されることがあります。これにより、私たちの周りの世界に秩序、美しさ、完璧さが生まれます。

文学：

小学校数学のハンドブック。 M.Ya. ヴィゴドスキー。 – 出版社「なうか」。 – モスクワ 1971 – 416ページ。

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ウルマンツェフ Yu.A. 性質の対称性と対称性の性質 - M.: Myslアークテクト / アーコンプ2. htm, 、ru.wikipedia.org/wiki/

人々の人生はシンメトリーに満ちています。便利で美しく、新しい標準を考案する必要はありません。しかし、それは実際には何でしょうか、そしてそれは一般に信じられているほど美しい自然なのでしょうか？

対称

古代以来、人々は自分たちの周りの世界を組織しようと努めてきました。したがって、美しいと思われるものもあれば、それほど美しいとは思われないものもあります。美的観点からは、黄金比と白銀比はもちろん、対称性も魅力的であると考えられています。この用語はギリシャ語に由来し、文字通り「比例」を意味します。もちろん、私たちはこれに基づいた偶然についてだけではなく、他のいくつかの偶然についても話しています。一般的な意味では、対称性は、特定の形成の結果、結果が元のデータと等しい場合のオブジェクトの特性です。それは、人間が作った物だけでなく、生きている自然と無生物の両方に見られます。

まず、「対称性」という用語は幾何学で使用されますが、多くの科学分野で応用されており、その意味は一般的に変わりません。この現象は非常に頻繁に発生し、その種類や要素のいくつかが異なるため、興味深いと考えられています。対称性の使用も興味深いものです。対称性は自然界だけでなく、布地のパターン、建物の境界線、その他多くの人工物にも見られるからです。この現象は非常に興味深いものであるため、より詳細に検討する価値があります。

他の科学分野でのこの用語の使用

以下では、対称性を幾何学の観点から考察しますが、この言葉はここでのみ使用されるわけではないことに注意してください。生物学、ウイルス学、化学、物理学、結晶学 - これらはすべて、この現象がさまざまな角度からさまざまな条件下で研究されている分野の不完全なリストです。たとえば、分類は、この用語がどのような科学を指すかによって異なります。したがって、タイプへの分割は大きく異なりますが、おそらくいくつかの基本的なものは全体を通して変化しません。

基本要素

この現象には特定の特徴があり、そのうちの 1 つは必ず存在します。いわゆる基本要素には、平面、中心、対称軸が含まれます。それらの有無と量によって種類が決まります。

対称中心とは、図形または結晶の内部で、互いに平行なすべての辺をペアで結ぶ線が収束する点です。もちろん、常に存在するわけではありません。平行なペアが存在しない辺がある場合、そのような点は存在しないため、見つけることができません。この定義によれば、対称の中心は、それを通して図形がそれ自体に反映されることができることは明らかです。例としては、円とその中央の点が挙げられます。この要素は通常 C として指定されます。

もちろん、対称面は想像上のものですが、まさにそれが図形を互いに等しい 2 つの部分に分割します。 1 つまたは複数の辺を通過したり、辺に平行になったり、辺を分割したりすることができます。同じ図形に対して、複数の平面が同時に存在する可能性があります。これらの要素は通常 P として指定されます。

しかし、おそらく最も一般的なのは「対称軸」と呼ばれるものです。これは、幾何学でも自然界でも見られる一般的な現象です。そして、それは個別に検討する価値があります。

車軸

多くの場合、図形が対称的であると言える要素は次のとおりです。

直線または線分が表示されます。いずれにせよ、私たちは点や面について話しているのではありません。次に数字を検討します。それらは多数存在する可能性があり、辺を分割したり平行に配置したり、角を交差させたり交差させなかったりするなど、任意の方法で配置できます。対称軸は通常 L として指定されます。

例としては、二等辺三角形と二等辺三角形が挙げられます。最初のケースでは、垂直の対称軸があり、その両側に等しい面があります。2 番目のケースでは、線は各角度と交差し、すべての二等分線、中央線、および高度と一致します。通常の三角形にはこれがありません。

ちなみに、結晶学や立体測定における上記の要素を総合したものを対称度といいます。このインジケーターは、軸、平面、中心の数によって異なります。

幾何学における例

従来、数学者の研究対象全体は、対称軸を持つ図形と対称軸を持たない図形に分けることができました。すべての円、楕円、およびいくつかの特殊なケースは自動的に最初のカテゴリに分類され、残りは 2 番目のグループに分類されます。

三角形の対称軸について説明した場合と同様、この要素は四角形にも常に存在するとは限りません。正方形、長方形、ひし形、または平行四辺形の場合はそうなりますが、不規則な図形の場合はそうではありません。円の場合、対称軸はその中心を通過する一連の直線です。

また、このような観点から立体を考察してみるのも面白いです。すべての正多角形とボールに加えて、一部の円錐、角錐、平行四辺形などには少なくとも 1 つの対称軸があります。それぞれのケースを個別に検討する必要があります。

自然界の例

人生においてそれは両側性と呼ばれ、最も多く発生します
頻繁。あらゆる人や多くの動物がこの例です。軸方向のものは放射状と呼ばれ、植物の世界では通常、それほど頻繁には見つかりません。それでも、それらは存在します。たとえば、星には対称軸が何本あるのか、また対称軸は本当にあるのかについて考える価値があります。もちろん、私たちは海洋生物について話しているのであり、天文学者による研究テーマについて話しているわけではありません。そして正しい答えは、星の光線の数に依存します。たとえば、星が五芒星の場合は 5 本になります。

さらに、放射状の対称性は、ヒナギク、ヤグルマギク、ヒマワリなど、多くの花で観察されます。膨大な数の例があり、文字通りどこにでもあります。

不整脈

この用語はまず医学と心臓病を思い出させますが、当初は少し異なる意味を持っています。この場合、同義語は「非対称性」、つまり、何らかの形で規則性が存在しない、または規則性に違反することになります。それは偶然として見つかることもあれば、衣服や建築など、素晴らしい技術になることもあります。結局のところ、対称的な建物はたくさんありますが、有名な建物は少し傾いており、唯一ではありませんが、最も有名な例です。これは偶然に起こったことが知られていますが、これには独自の魅力があります。

また、人や動物の顔や体も完全に対称ではないことは明らかです。「正しい」顔が生気がない、または単に魅力的ではないと判断された研究さえあります。それでも、対称性の認識とこの現象自体は驚くべきことであり、まだ十分に研究されていないため、非常に興味深いものです。

動きのコンセプト

まず、動きの概念を見てみましょう。

定義 1

このマッピング中に距離が維持される場合、平面のマッピングは平面の動きと呼ばれます。

この概念に関連する定理がいくつかあります。

定理2

三角形は移動すると等しい三角形になります。

定理3

あらゆる図形は、移動すると、それに等しい図形に変化します。

軸対称と中心対称は動きの例です。それらをさらに詳しく見てみましょう。

軸対称

定義 2

点 $A$ と $A_1$ は、線分 $(AA)_1$ に垂直で、その中心を通る線分 $a$ に対して対称であると呼ばれます (図 1)。

図1.

問題例を使用して軸対称について考えてみましょう。

例1

指定された三角形に対して、その辺のいずれかを基準にして対称な三角形を構築します。

解決。

三角形 $ABC$ を与えてみましょう。辺 $BC$ に関して対称性を構築します。軸対称の辺 $BC$ はそれ自体に変形します (定義に従います)。点 $A$ は、$(AA)_1\bot BC$, $(AH=HA)_1$ のように点 $A_1$ に移動します。三角形$ABC$は三角形$A_1BC$に変形します(図2)。

図2.

定義 3

この図形のすべての対称点が同じ図形内に含まれる場合、その図形は直線 $a$ に関して対称であると呼ばれます (図 3)。

図3.

図 $3$ は長方形を示しています。これは、その直径のそれぞれに関して、および特定の長方形の反対側の中心を通過する 2 本の直線に関して軸対称です。

中心対称性

定義 4

点 $O$ が線分 $(XX)_1$ の中心である場合、点 $X$ と $X_1$ は点 $O$ に対して対称であると呼ばれます (図 4)。

図4.

問題例を使用して中心対称性を考えてみましょう。

例 2

指定された三角形の頂点のいずれかで対称な三角形を構築します。

解決。

三角形 $ABC$ を与えてみましょう。頂点 $A$ を基準にしてその対称性を構築します。中心対称性を持つ頂点 $A$ は、それ自体に変換されます (定義に従います)。点 $B$ は $(BA=AB)_1$ のように点 $B_1$ に進み、点 $C$ は $(CA=AC)_1$ のように点 $C_1$ に進みます。三角形$ABC$は三角形$(AB)_1C_1$に変形します(図5)。

図5.

定義5

この図形のすべての対称点が同じ図形内に含まれる場合、その図形は点 $O$ に関して対称です (図 6)。

図6.

図 $6$ は平行四辺形を示しています。対角線の交点を中心に中心対称になります。

タスクの例。

例 3

セグメント $AB$ を与えてみましょう。指定された線分と交差しない線分 $l$ と、線分 $l$ 上にある点 $C$ に関して対称を構築します。

解決。

問題の状況を模式的に描いてみましょう。

図7。

まず直線 $l$ に関して軸対称を描いてみましょう。軸対称は動きなので、定理 $1$ により、線分 $AB$ はそれに等しい線分 $A"B"$ に写像されます。これを構築するには、次の手順を実行します: 点 $A\ と \B$ を通り、直線 $l$ に垂直な直線 $m\ と\n$ を描きます。 $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$ とします。次に、セグメント $A"X=AX$ と $B"Y=BY$ を描画します。

図8。

ここで、点 $C$ を中心とした中心対称性を描いてみましょう。中心対称性は運動であるため、定理 $1$ により、セグメント $AB$ はそれに等しいセグメント $A""B""$ にマッピングされます。これを構築するには、次の手順を実行します: $AC\ と \ BC$ の線を描きます。次に、セグメント $A^("")C=AC$ と $B^("")C=BC$ を描画します。