平面への傾斜投影の長さ。数学

13.10.2019

与えられた点から与えられた平面に降ろされた垂線は、与えられた点と平面上の点を結び、その平面に垂直な直線上にある線分です。平面内にあるこのセグメントの端は、垂線の底辺と呼ばれます。点から平面までの距離は、この点から平面に引いた垂線の長さです。

特定の点から特定の平面に引かれた勾配は、特定の点を平面上の点に接続する任意の線分であり、この平面に垂直ではありません。平面内にあるセグメントの端は傾斜ベースと呼ばれます。同じ点から引いた垂線と斜線の底辺を結んだ線分を斜投影といいます。

図 136 では、点 A から、平面に垂直な AB と傾斜した AC が引かれます。点 B は垂線の底辺、点 C は傾斜した垂線の底辺、BC は傾斜した AC の平面 a への投影です。

線の点からそれに平行な面までの距離は同じであるため、線からそれに平行な面までの距離は、線の任意の点からこの面までの距離となります。

傾斜面の底面を通り、その投影に垂直な平面上に引かれた直線は、傾斜面自体にも垂直です。逆も同様です。平面内の直線が傾斜した直線に垂直であれば、その直線は傾斜した直線の投影にも垂直になります (3 直交の定理)。

図 137 では、平面 a に垂直な AB と傾斜した AC が描かれています。平面 a にある直線 o は、傾斜した AC の平面 a への投影である BC に対して垂直です。 T. 2.12 によれば、直線 a は傾斜した AC に垂直です。直線 a が傾斜 AC に垂直であることがわかっている場合、T. 2.12 によれば、直線 a はその投影法 - BC に垂直になります。

例。直角三角形 ABC の脚は 16 に等しく、直角 C の頂点からこの三角形の平面に垂直 CD = 35 m が引かれます (図 138)。点Dから斜辺ABまでの距離を求めます。

解決。やりましょう。条件によれば、DC は平面に対して垂直、つまり DE は傾斜しており、CE はその投影であるため、3 つの垂線に関する定理により、次の条件が得られます。

私たちが見つけることから高さCEを見つけるために私たちは見つけます

一方、どこで

ピタゴラスの定理より

46. 平面の直角度。

2 つの交差する平面は、これらの平面の交線に垂直な平面が垂線に沿って交差する場合、垂直と呼ばれます。

図 139 は、直線 a に沿って交差する 2 つの平面を示しています。平面 y は線 a に垂直であり、交差します。この場合、平面 y は直線 c に沿って平面 a と交差し、平面は直線 d に沿って交差します。つまり、定義によります。

T.2.13。ある平面が別の平面に垂直な線を通過する場合、これらの平面は垂直です (平面の垂直性の兆候)。

図 140 では、平面は直線を通過します。つまり、平面は垂直です。

三角形。

§ 31. 直線に対して垂直かつ傾斜している。

1. セグメントを直線上に投影します。

線の外側のある点を通って、それに垂直な線を引く場合、簡潔にするために、この点から線までのセグメントを一言で呼びます。垂直.

線分 CO は線分 AB に対して垂直です。点Oと呼ばれます 垂線の底辺 CO (図 168)。

指定された点を通って引かれた線が別の線と交差するが、その線に対して垂直ではない場合、指定された点から別の線との交点までの線分をと呼びます。 傾いたこの行まで。

セグメント BC - 直線 AO に対して傾斜しています。点Cと呼ばれます基礎傾いています (図 169)。

ある線分の端から任意の直線上に垂線を下ろした場合、垂線の底辺の間に囲まれた線分をと呼びます。 セグメントの投影この直線まで。

セグメント A "B" は、セグメント AB の EC への投影です。「セグメント OM」は、セグメント OM の EC への投影とも呼ばれます。

EU に垂直な線分 KR の投影は点 K" になります (図 170)。

2. 垂直と斜の性質。

定理1. 点から直線に引かれた垂線は、同じ点からこの直線に引かれた斜線よりも小さくなります。

線分 AC (図 171) は直線 OB に垂直で、AM は点 A から直線 OB に引かれた傾斜線の 1 つです。 AM > AC であることを証明する必要があります。

で /\ MAC セグメント AM は斜辺であり、斜辺はこの三角形の各脚よりも大きくなります (§ 30)。したがって、AM > AC となります。傾斜した AM を任意に取得したため、同じ点から直線に引かれた場合、直線に対する傾斜線はこの線の垂線よりも大きい (垂線は傾斜線よりも短い) と言えます。

逆のステートメントも真です。つまり、線分 AC (図 171) が点 AC と直線 OB 上の任意の点を結ぶ他の線分より小さい場合、線分は OB に垂直です。実際、線分 AC を OB に対して傾けることはできません。その場合、線分 AC は、点 A と直線 OB の点を結ぶ線分のうち最短ではなくなるからです。これは、OB に対して垂直のみであることを意味します。

ある点から直線に下ろした垂線の長さが、ある点からこの直線までの距離となります。

定理2. 同じ点から線に引かれた 2 つの斜線が等しい場合、それらの投影は等しいことになります。

BA と BC を点 B から直線 AC に引いた傾斜線とし (図 172)、AB = BC とします。それらの投影も等しいことを証明する必要があります。

これを証明するために、点 B から AC までの垂直 BO を下げてみましょう。この場合、AO と OS は、傾いた AB と BC を直線 AC に投影したものになります。三角形ABCは定理によれば二等辺です。 VO はこの三角形の高さです。しかし、底辺に描かれた二等辺三角形の高度は、同時にこの三角形の中央値でもあります (§ 18)。

したがって、AO = OS となります。

定理3（逆行する）。 同じ点から直線に引かれた 2 つの斜線が等しい投影を持っている場合、それらは互いに等しいです。

AC と CB が直線 AB に対して傾いているとします (図 173)。 CO_|_ AB および AO = OB。

AC = BC であることを証明する必要があります。

直角三角形 AOC と BOC では、脚 AO と OB は等しいです。 CO はこれらの三角形の共通の脚です。したがって、 /\ AOC = /\ VOS。三角形の等しいことから、AC = BC となります。

定理4. 同じ点から直線に向かって 2 本の傾斜線を引いた場合、この直線上への投影が大きい方の方が大きくなります。

AB と BC を直線 AO に対して傾けるとします。 VO_|_AO および AO>SO。 AB > BC であることを証明する必要があります。

1) 傾斜したものは垂線の片側にあります。

角度 ACE は直角三角形 COB に対して外側にあり (図 174)、したがって / ダイヤ > / OWL、つまり彼は愚かです。したがって、AB > CB となります。

2) 傾斜したものは垂線の両側にあります。これを証明するために、点 O から AO 上の線分 OK = OS をプロットし、点 K を点 B と接続しましょう (図 175)。次に、定理 3 により、VC = BC ですが、AB > VC であるため、AB > BC となります。つまり、定理はこの場合にも有効です。

定理5（逆行する）。 2 本の傾斜線が同じ点から直線に引かれる場合、大きい方の傾斜線はこの直線上への投影も大きくなります。

KS と BC が直線 KB (図 176) に対して傾いており、SO_|_KB および KS > BC とします。 KO > OB であることを証明する必要があります。

セグメント KO と OB の間には、次の 3 つの関係のうち 1 つだけが存在します。

1) コウ< ОВ,
2) KO = OV、
3) KO > OV。

KO を OB より小さくすることはできません。定理 4 によれば、傾斜した KS は傾斜した BC より小さくなり、これは定理の条件と矛盾します。

同様に、KO が OB と等しくなることはありません。この場合、定理 3 によれば、KS = BC となり、これも定理の条件に矛盾します。

したがって、最後の関係だけが真のままになります。
KO > OV.

幾何学模様

セクション II。ステレオメトリー

§8. 垂直と斜め。平面上の斜め投影。

2. 垂直と斜の性質。

垂直と斜めの性質を考えてみましょう。

1) 特定の点から平面に引かれた垂線は、同じ点から平面に引かれた垂線よりも小さくなります。

図 411: AN AK。

2) 特定の点から平面に描かれた 2 つの傾斜が等しい場合、それらの投影は等しいです。

K1 そして垂直 AN と AK = AK 1。次に、特性により、NK = NK 1となります。

3) 所定の点から所定の平面に引かれた 2 つの傾斜面の投影が等しい場合、それらは互いに等しい。

図 412 では、2 つの傾斜面 AK および A が点 A から面 a まで描かれています。 K1 AN に垂直、KH = K 1 N. 次に、プロパティによって次のようになります: AK = AK 1 .

4) 2 つの傾斜面が特定の点から 1 つの平面に描かれる場合、大きい傾斜面の投影は大きくなります。

L そしてANに垂直に、 AK > AL 。次にプロパティごとに次のようにします。 H K > HL。

5) 2 つの傾斜した斜面が特定の点から平面に描かれている場合、それらの大きい方の方が特定の平面上により大きな投影を持ちます。

図 413 では、2 つの傾斜面 AK および A が点 A から面 a まで描かれています。 L AN、NKに直角> N L 。次にプロパティ別: AK> A L 。

例 1. 点から平面までの長さ 41 cm と 50 cm の 2 つの傾斜した斜面を描きます。傾斜した斜面の比率が 3:10 である場合の投影と、その点からの距離を求めます。飛行機へ。

解決策。 1) アル = 41cm; AK = 50 cm (図413)。性質的にはHがあります LNK。 H L = 3 x cm、NK = 10 x cm、AN = h と表します。 AN - 点 A から平面までの距離を参照α .

4) 等価すると、41 2 - 9x 2 = 50 2 - となります。 100 ×2; × 2 = 9; x = 3 (x を考慮する)>0)。したがって、N L = 3 ∙ 3 = 9 (cm)、NK = 10 ∙ 3 = 30 (cm) となります。

例 2. ここから 2 つの傾斜面が描画され、それぞれ傾斜した突起間の角度は 60°、突起間の角度は直線です。点から平面までの距離を求めます。

ジオメトリ

ステレオメトリー

垂直と斜め

垂直与えられた点から与えられた平面上にドロップされた線分は、与えられた点と平面上の点を結び、平面に垂直な線上にあります。平面内にあるこのセグメントの端はと呼ばれます。 垂線の底辺. 点から面までの距離この点から平面に下ろした垂線の長さです。
写真の中で AB- 垂直; A.C.- 傾いている; 紀元前- 投影。

直線からの距離それに平行な平面までの距離は、この直線の任意の点から平面までの距離です。
平行面間の距離は、ある平面上の任意の点から別の平面までの距離です。
傾斜した与えられた点から与えられた平面に描かれた線分は、与えられた点と平面上の点を接続する任意の線分であり、平面に垂直ではありません。平面内にあるセグメントの端はと呼ばれます。 傾斜したベース.
同じ点から引いた垂線と斜線の底辺を結んだ線分を線分といいます。 斜投影.

1 つの点から 1 つの平面に引かれた傾斜線の性質

1. 1 つの点から平面に描かれた傾斜 (下の図の左) は、投影が等しい場合にのみ等しくなります。
2. 2 つの傾斜した斜面を点から平面に描いた場合、投影が大きい方の方が大きくなり、逆も同様で、傾斜が大きい方の投影も大きくなります。
これらの特性は、異なる点から平面に描かれた、同じ垂直の長さを持つ傾斜線でも保持されることに注意してください (右の図)。

10年生の幾何学の授業

前のレッスンの 1 つで、特定の線に平行な特定の平面上への点の投影の概念を学びました。

このレッスンでは、引き続き線と平面を学習します。直線と平面の間の角度を学びます。平面への正投影の概念を理解し、その特性を検討します。このレッスンでは、点から平面までの距離、点から直線までの距離、直線と平面の間の角度の定義を説明します。有名な 3 つの垂線の定理が証明されます。

正投影

点と図形の正射影。

部品の正投影。

点Aの正射影与えられた平面上への点の平行な平面への投影と呼ばれます。

この平面に垂直な直線。正投影

与えられた平面 p への図形の投影は、この図形のすべての点の平面 p への正射影で構成されます。正投影は、特に技術図面において、空間物体を平面上に描写するためによく使用されます。特に丸い体の場合、任意の平行投影よりも現実的な画像が得られます。

垂直と斜め

平面 p に属さない点 A を通り、この平面に垂直で点 B で交差する直線を引きます。

セグメントABと呼ばれます

垂直、要点から省略

そして、この平面に対して、そして点 B 自体がこの垂線の底辺になります。任意のセグメント AC (C は

B とは異なる平面 p の任意の点を傾斜と呼びます。

この飛行機。

この定義の点 B は直交していることに注意してください

点 A と線分 AC の投影 - 垂直と斜め。斜めABの正射影。

直交投影には、通常の平行投影のすべてのプロパティが備わっていますが、多数の新しいプロパティもあります。

ある点から平面に垂直線と数本の傾斜線を引いてみます。その場合、次のステートメントは真になります。

1. 傾斜面は、この面への傾斜面の垂直投影および直交投影の両方よりも長くなります。

2. 等しい斜投影は等しい直交投影を持ち、逆も同様で、等しい投影を有する斜斜も等しい。

3. 最初の斜斜線の正射影が 2 番目の斜斜線の正射影より長い場合に限り、一方の斜斜線が他方の斜斜線より長くなります。

正投影の性質

証拠。

点 A から平面 p に垂直な AB と 2 つの斜めの AC および AD を引くとします。この場合、セグメント BC および BD は、これらのセグメントを平面 p に直交投影したものになります。

最初のステートメントを証明してみましょう。どの傾斜面も、この面への傾斜面の垂直投影と直交投影の両方よりも長いです。たとえば、斜線 AC と、垂線 AB、この斜線 AC、およびその正射影 BC によって形成される三角形 ABC を考えてみましょう。この三角形は、頂点 B と斜辺 AC で直角になっており、面積測定からわかるように、各脚、つまり脚よりも長いです。垂線AB、投影BC。

点 A から平面 pi に向かって、垂線 AB と 2 つの傾斜した 2 つの垂線 AC および AD を描きます。

正投影の性質

三角形

ABCとABD

脚と斜辺が等しい。

ここで 2 番目のステートメントを証明します。つまり、等しい斜投影は等しい直交投影を持ち、その逆も同様で、等しい投影を持つ斜も等しいです。

直角三角形ABCとABDを考えてみましょう。彼らは

共通の脚ABを持っています。斜角 AC と AD が等しい場合、直角三角形 ABC と ABD は脚と斜辺が等しく、BC = BD となります。逆に、投影 BC と BD が等しい場合、これらの同じ三角形は 2 本の脚に沿って等しく、その斜辺 AC と AD は等しくなります。太陽< BD, как мы только что доказали,АС < AD, что опять противоречит условию.

3 番目の可能性が残ります: BC > BD。定理が証明されました。

BC が BD より大きい場合、

その場合、ACは辺よりも大きくなります

AE は AD に等しい。