最初のレベル
度数とその性質。 総合ガイド (2019)
なぜ学位が必要なのでしょうか? どこで必要になりますか? 時間をかけてそれらを研究する必要があるのはなぜでしょうか。
学位、学位の目的、知識をどのように活用するかについてすべてを学ぶには 日常生活この記事を読んでください。
そしてもちろん、学位の知識があれば、統一州試験や統一州試験に合格し、夢の大学への入学に近づくことができます。
行こう... (行こう!)
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最初のレベル
べき乗は、加算、減算、乗算、除算と同じ数学演算です。
ここで、非常に簡単な例を使用して、すべてを人間の言語で説明します。 気をつけて。 例は初歩的なものですが、重要なことを説明しています。
加算から始めましょう。
ここでは説明することは何もありません。 あなたはもうすべてを知っています。私たちは 8 人です。 各人はコーラを 2 本持っています。 コーラはどのくらいありますか？ そうです、16本です。
今度は掛け算です。
コーラを使用した同じ例を別の方法で記述することもできます。 数学者は狡猾で怠け者です。 彼らはまずいくつかのパターンに気づき、それをより速く「数える」方法を見つけます。 私たちの場合、8 人がそれぞれ同じ数のコーラのボトルを持っていることに気づき、掛け算と呼ばれる手法を思いつきました。 同意します、それはより簡単で速いと考えられています。
したがって、より速く、より簡単に、そして間違いなく数を数えるには、次のことを覚えておく必要があります。 九九。 もちろん、すべてをより遅く、より難しく、間違いを伴うこともできます。 しかし…
こちらが九九です。 繰り返す。
そしてもう一つ、より美しいものがあります。
怠惰な数学者は他にどのような賢い数え方のトリックを考え出したでしょうか? 右 - 数値のべき乗.
数値のべき乗
数値を 5 回掛ける必要がある場合、数学者はその数値を 5 乗する必要があると言います。 例えば、 。 数学者は、2 の 5 乗が…であることを覚えています。 そして、彼らはそのような問題を頭の中で、より速く、より簡単に、そして間違いなく解決します。
あなたがしなければならないのは、 数のべき乗の表で色で強調表示されている部分を覚えておいてください。 信じてください、これであなたの人生はずっと楽になります。
ところで、なぜ二級というのでしょうか？ 四角数字と 3 番目の - 立方体? それはどういう意味ですか？ とても良い質問です。 これで正方形と立方体の両方ができました。
実際の例 #1
数値の 2 乗または 2 乗から始めましょう。
1 メートル×1 メートルの正方形のプールを想像してください。 プールはあなたのダーチャにあります。 暑いので本当に泳ぎたいです。 しかし…プールには底がありません！ プールの底をタイルで覆う必要があります。 タイルは何枚必要ですか? これを判断するには、プールの底面積を知る必要があります。
指を指して、プールの底がメートルごとの立方体で構成されていることを簡単に計算できます。 1 メートル×1 メートルのタイルがある場合、ピースが必要になります。 それは簡単です...しかし、そのようなタイルをどこで見たことがありますか？ タイルはおそらく cm ごとにあり、「指で数える」という拷問を受けることになります。 次に、乗算する必要があります。 したがって、プールの底の片側にタイル (ピース) を取り付け、もう一方の側にもタイルを取り付けます。 を掛けるとタイルが得られます ()。
プールの底の面積を求めるために、同じ数値を単純に乗算することに気づきましたか? それはどういう意味ですか？ 同じ数値を掛けるので、「べき乗」テクニックを使用できます。 (もちろん、数値が 2 つしかない場合でも、それらを掛けるか累乗する必要があります。しかし、数値が多数ある場合は、累乗する方がずっと簡単で、計算エラーも少なくなります)統一国家試験の場合、これは非常に重要です）。
したがって、30 の 2 乗は () になります。 あるいは、30 の 2 乗になるとも言えます。 言い換えれば、数値の 2 乗は常に平方として表すことができます。 逆も同様で、正方形が表示される場合、それは常にある数値の 2 乗です。 正方形は数値の 2 乗のイメージです。
実際の例 #2
ここにあなたのためのタスクがあります: 数字の 2 乗を使用して、チェス盤上にマス目が何個あるか数えてください... マスの片側と反対側も同様です。 それらの数を計算するには、8 × 8 を掛ける必要があります。または...チェス盤が 1 辺のある正方形であることに気付いた場合は、8 を平方することができます。 細胞が得られます。 （） それで？
実際の例 #3
次に、数値の 3 乗または 3 乗です。 同じプールです。 しかし今度は、このプールにどれだけの水を注ぐ必要があるかを調べる必要があります。 体積を計算する必要があります。 （ところで、体積と液体は立方メートルで測定されます。予想外ですよね？） プールを描きます。底の大きさは 1 メートル、深さは 1 メートルです。そして、1 メートル×1 メートルの立方体が何個できるかを計算してみてください。あなたのプールにフィットします。
指を指して数えるだけ！ １、２、３、４…２２、２３…何個取れましたか？ 失われていませんか？ 指で数えるのは難しいですか？ となることによって！ 数学者の例を見てみましょう。 彼らは怠け者なので、プールの体積を計算するには、長さ、幅、高さをそれぞれ乗算する必要があることに気づきました。 私たちの場合、プールの体積は立方体と同じになります...簡単ですよね?
これも単純化したら、数学者がどれほど怠け者で狡猾になるか想像してみてください。 すべてを 1 つのアクションにまとめました。 彼らは、長さ、幅、高さが等しいことに気づき、同じ数がそれ自体で乗算されることに気づきました...これは何を意味しますか? つまり、学位を活用できるということです。 つまり、かつて指で数えたことが 1 回のアクションで行われます。つまり、3 の 3 乗は等しいということです。 次のように書かれています。
残っているのは 度表を覚えておいてください。 もちろん、あなたが数学者のように怠け者で狡猾である場合は別ですが。 一生懸命働きながら間違いを犯すのが好きなら、指で数え続けることができます。
さて、学位は、あなたに問題を引き起こすためではなく、人生の問題を解決するためにやめる者やずるい人々によって発明されたものであることを最終的に納得していただくために、人生の例をさらにいくつか紹介します。
実際の例 #4
あなたは100万ルーブルを持っています。 毎年の初めに、100 万稼ぐごとに、さらに 100 万を稼ぎます。 つまり、100 万ごとに、毎年の初めに 2 倍になります。 何年後にはどのくらいのお金を持っていますか？ もしあなたが今座って「指で数を数えている」としたら、あなたは非常に勤勉な人ですが、愚かな人です。 しかし、あなたは賢いので、おそらく数秒以内に答えられるでしょう。 それで、最初の年 - 2×2... 2年目 - 3年目でさらに2が起こった... やめて！ 数値がそれ自身の倍になっていることに気づきました。 つまり、2 の 5 乗は 100 万です。 ここで、競争があり、最も速く数えることができる人がこれらの数百万を獲得できると想像してください...数字の力を覚えておく価値はあると思いませんか?
実際の例 #5
あなたは100万持っています。 毎年の初めに、100 万稼ぐごとに、さらに 2 を稼ぎます。 すごいですね？ 100万ごとに3倍になります。 1年でどれくらいのお金が手に入りますか？ 数えてみましょう。 最初の年 - を掛けて、その結果をもう 1 つ掛けます... もうすべてを理解しているので、もう退屈です。 したがって、4 乗すると 100 万に相当します。 3 の 4 乗は or であることを覚えておく必要があります。
数値を累乗すると、生活がずっと楽になることがわかりました。 学位を使って何ができるのか、また学位について知っておくべきことは何かを詳しく見てみましょう。
用語と概念...混乱しないように
そこで、まず概念を定義しましょう。 どう思いますか、 指数とは何ですか? それは非常に単純です - それは数のべき乗の「頂点」にある数です。 科学的ではありませんが、明確で覚えやすいです...
さて、同時に、何ですか そのような程度の基礎? さらに単純なことですが、これはその下の基部にある数字です。
参考までに図を示します。
さて、一般的に、一般化してよりよく覚えておくために... 基底「 」と指数「 」を持つ学位は「程度」と読み、次のように書きます。
自然指数を使用した数値のべき乗
おそらくすでにお気づきかと思いますが、指数は自然数であるためです。 はい、でもそれは何ですか 自然数? 初級！ 自然数とは、物を列挙するときに数を数えるときに使用される数です。1、2、3... 物を数えるとき、「マイナス 5」、「マイナス 6」、「マイナス 7」とは言いません。 また、「3 分の 1」や「ゼロ・ポイント 5」とも言いません。 これらは自然数ではありません。 これらは何の数字だと思いますか?
「マイナス 5」、「マイナス 6」、「マイナス 7」などの数字は、 整数。一般に、整数には、すべての自然数、自然数の反対の数 (つまり、マイナス記号を付けた数)、および数値が含まれます。 ゼロというのはわかりやすいですね、何もない状態です。 負の (「マイナス」) 数値は何を意味しますか? しかし、これらは主に借金を示すために発明されました。携帯電話にルーブルの残高がある場合、これはオペレーターにルーブルの借金があることを意味します。
すべての分数は有理数です。 彼らはどのようにして生まれたと思いますか? とてもシンプルです。 数千年前、私たちの祖先は、長さ、重さ、面積などを測定するための自然数が欠けていることを発見しました。 そして彼らは思いついた 有理数…面白いですね。
無理数もあります。 これらの数字は何ですか? 簡単に言えば、無限小数です。 たとえば、円の円周を直径で割ると無理数が得られます。
まとめ：
指数が自然数 (つまり、整数で正) である次数の概念を定義しましょう。
- 任意の数値の 1 乗はそれ自体と等しくなります。
- 数値を 2 乗するということは、それ自体を乗算することを意味します。
- 数値を 3 乗するとは、その数値を 3 回掛けることを意味します。
意味。数値を自然乗するということは、数値をそれ自体で乗算することを意味します。
.
度数の性質
これらの特性はどこから来たのでしょうか? 今からお見せします。
見てみましょう：それは何ですか そして ?
A優先:
乗数は合計でいくつありますか?
それは非常に単純です。係数に乗数を追加すると、その結果が乗数になります。
しかし、定義上、これは指数を伴う数値のべき乗、つまり であり、これを証明する必要があります。
例：表現を簡略化します。
解決：
例：表現を簡略化します。
解決：私たちのルールでは次のことに注意することが重要です。 必然的に同じ理由があるはずです！
したがって、パワーとベースを組み合わせますが、それは別個の要素のままです。
力の積だけに！
いかなる状況であっても、そのようなことを書くことはできません。
2.それだけです 数値の乗
前のプロパティと同様に、次の度の定義に移りましょう。
式はそれ自体を 2 回乗算することがわかります。つまり、定義によれば、これは数値の 3 乗です。
本質的に、これは「指標を括弧から外す」と呼ぶことができます。 しかし、これを完全に実行することは決してできません。
省略された乗算の公式を思い出してみましょう。何度書きたかったでしょうか?
しかし、結局のところ、これは真実ではありません。
マイナスベースの電力
ここまでは、指数がどうあるべきかについてのみ説明してきました。
しかし、何を基礎とすべきでしょうか？
のべき乗で ナチュラルインジケーター根拠はあるかもしれない いずれかの番号。 実際、正、負、偶数を問わず、あらゆる数値を掛け合わせることができます。
どの記号 ("" または "") が正と負の数の累乗を持つのか考えてみましょう。
たとえば、その数値は正ですか、負ですか? あ？ ? 最初のものでは、すべてが明らかです。正の数をどれだけ掛け合わせても、結果は正になります。
しかし、否定的なものはもう少し興味深いものです。 「マイナスにはマイナスをプラスする」という6年生の簡単なルールを覚えています。 つまり、または。 しかし、乗算すると機能します。
次の式がどのような符号を持つかを自分で判断してください。
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
あなたは管理しましたか？
答えは次のとおりです。最初の 4 つの例で、すべてが明らかだと思いますか? 基数と指数を調べて、適切なルールを適用するだけです。
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
例 5) では、すべてが見た目ほど恐ろしいものではありません。結局のところ、基数が何に等しいかは問題ではありません。次数は偶数であり、結果は常にプラスになることを意味します。
ただし、ベースがゼロの場合は除きます。 ベースは平等じゃないですよね？ 明らかに違います、なぜなら（なぜなら）。
例 6) はもうそれほど単純ではありません。
実践すべき6つの例
ソリューションの分析 6 つの例
8 乗を無視すると、ここで何が見えますか? 7年生のプログラムを思い出してみましょう。 それで、覚えていますか？ これは乗算の略式、つまり二乗の差の公式です。 我々が得る：
分母をよく見てみましょう。 分子要素の 1 つによく似ていますが、何が問題なのでしょうか? 用語の順序が間違っています。 逆の場合、ルールが適用される可能性があります。
しかし、どうやってそれを行うのでしょうか？ それは非常に簡単であることがわかりました。分母の偶数次数がここで役に立ちます。
魔法のように、条件が入れ替わりました。 この「現象」はあらゆる式に均等に当てはまります。括弧内の符号は簡単に変更できます。
ただし、次のことを覚えておくことが重要です。 すべての兆候は同時に変化します!
例に戻りましょう:
そして再び式は次のようになります。
全体私たちは自然数、その反対語 (つまり " " 記号を付けたもの) を数値と呼びます。
正の整数、自然と変わらない場合は、すべてが前のセクションとまったく同じように見えます。
次に、新しいケースを見てみましょう。 に等しいインジケーターから始めましょう。
任意の数値のゼロ乗は 1 に等しい:
いつものように、なぜそうなるのかを自問してみましょう。
ある程度ベースで考えてみましょう。 たとえば、次のように乗算します。
そこで、その数値を乗算すると、同じ結果が得られました - 。 何も変化しないようにするにはどの数値を掛ければよいでしょうか? そうです、オン。 手段。
任意の数値でも同じことができます。
ルールを繰り返しましょう:
任意の数値のゼロ乗は 1 に等しくなります。
しかし、多くのルールには例外があります。 そしてここにもそれがあります - これは（ベースとしての）数字です。
一方で、それはどの程度であっても等しくなければなりません。ゼロにどれだけ掛けてもゼロになるのは明らかです。 しかし一方で、他の数値のゼロ乗と同様に、等しくなければなりません。 では、これはどこまで真実なのでしょうか？ 数学者たちは関与しないことを決定し、ゼロのゼロ乗を拒否しました。 つまり、ゼロで割るだけでなく、ゼロ乗することもできなくなります。
次へ移りましょう。 整数には自然数や数値のほかに負の数も含まれます。 負の累乗とは何かを理解するために、前回と同じように、通常の数値に同じ数値を乗算して負の累乗をしてみましょう。
ここから、探しているものを簡単に表現できます。
次に、結果のルールを任意の程度に拡張してみましょう。
そこで、ルールを策定しましょう。
負の累乗を持つ数値は、正の累乗を持つ同じ数値の逆数です。 しかし同時に ベースを null にすることはできません。(割ることができないため)。
要約しましょう:
I. 式がケース内で定義されていません。 もしそうなら。
II. 任意の数値のゼロ乗は 1 に等しくなります。
Ⅲ． ゼロに等しくない数値の負のべき乗は、同じ数値の正のべき乗の逆数です。
独立したソリューションのタスク:
さて、いつものように、独立したソリューションの例:
独立した解決策のための問題の分析:
数字が恐ろしいのはわかっていますが、統一州試験では何事にも備えなければなりません。 これらの例題を解くか、解けなかった場合は解答を分析すれば、試験で簡単に対処できるようになります。
指数として「適切」な数値の範囲をどんどん広げていきましょう。
では、考えてみましょう 有理数。どのような数が有理数と呼ばれますか?
答え: 分数で表現できるすべてのもの、および は整数です。
それが何なのかを理解するには 「小数次数」、分数を考えてみましょう。
方程式の両辺をべき乗してみましょう。
ここでルールを思い出してみましょう 「程度から程度」:
取得するには何乗する必要がありますか?
この公式は 2 次根の定義です。
思い出してください: 数値の 3 乗根 () は、べき乗すると等しい数値です。
つまり、乗根は次の乗の逆演算です。
ということが分かりました。 明らかに、この特殊なケースは次のように拡張できます。
ここで分子を追加します。これは何ですか? 答えは、力対力の法則を使用すると簡単に得られます。
しかし、基数はどんな数字でもいいのでしょうか? 結局のところ、すべての数値からルートを抽出することはできません。
なし！
規則を思い出してください。偶数乗した数値は正の数です。 つまり、負の数から根さえ抽出することは不可能です。
これは、そのような数値を偶数の分母で分数乗することができない、つまり、式が意味をなさないことを意味します。
表現についてはどうでしょうか？
しかし、ここで問題が発生します。
数値は、たとえば または など、他の約分可能な分数の形式で表すことができます。
そして、それは存在するようで存在しないことがわかりますが、これらは同じ番号の 2 つの異なるレコードにすぎません。
または別の例: 一度、それを書き留めることができます。 しかし、インジケーターを別の方法で記述すると、再び問題が発生します (つまり、まったく異なる結果が得られます!)。
このような矛盾を避けるために、次のように考えます。 小数指数を含む正の基底指数のみ.
したがって、次の場合:
- - 自然数;
- - 整数;
例:
有理指数は、ルートを使用して式を変換する場合に非常に役立ちます。次に例を示します。
実践するための 5 つの例
トレーニング用の 5 つの例の分析
さて、ここからが最も難しい部分です。 さあ、それを理解しましょう 無理指数を伴う次数.
ここでの次数のすべてのルールとプロパティは、例外を除いて、有理指数を使用した次数の場合とまったく同じです。
結局のところ、定義上、無理数は分数として表すことができない数であり、 と は整数です (つまり、無理数は有理数を除くすべての実数です)。
自然指数、整数指数、有理指数を使って学位を勉強するとき、そのたびに私たちは特定の「イメージ」、「類推」、またはより馴染みのある用語での説明を作成しました。
たとえば、自然指数を伴う次数は、それ自体を数回乗算した数値です。
...数値の0乗- これは、いわば、一度だけ掛け合わせた数字です。つまり、まだ掛け始めていません。つまり、数字自体がまだ現れてさえいないことを意味します。したがって、結果は特定の「空白の数字」にすぎません。 、つまり数値です。
...負の整数次数- あたかも「逆のプロセス」が起こったかのようです。つまり、数値がそれ自身で乗算されるのではなく、除算されるのです。
ちなみに、科学では複素数の指数を伴う学位がよく使用されます。つまり、指数は実数ではありません。
しかし、学校ではそのような難しいことは考えません。研究所ではこれらの新しい概念を理解する機会があります。
あなたが必ず行く場所へ！ (そのような例を解決できるようになったら:))
例えば：
自分で決めてください:
ソリューションの分析:
1. べき乗を累乗するための通常のルールから始めましょう。
次にインジケーターを見てください。 彼はあなたに何かを思い出させませんか？ 二乗差の短縮乗算の公式を思い出してみましょう。
この場合、
次のことがわかります。
答え： .
2. 指数内の分数を同じ形式、つまり両方の小数または両方の通常の小数に換算します。 たとえば、次のようになります。
答え: 16
3. 特別なことは何もありません。次の度の通常のプロパティを使用します。
上級レベル
学位の決定
度は次の形式の式です: 。ここで:
- — 学位ベース。
- - 指数。
自然指標による度数 (n = 1、2、3、...)
数値の自然乗 n は、その数値をそれ自体で乗算することを意味します。
整数の指数を伴う次数 (0、±1、±2、...)
指数が 正の整数番号：
工事 ゼロ度まで:
この式は不定です。なぜなら、一方では任意の次数はこれであり、他方では、次次までの任意の数はこれであるからです。
指数が 負の整数番号：
(割ることができないため)。
ゼロについてもう一度言います。この場合、式は定義されていません。 もしそうなら。
例:
有理指数によるべき乗
- - 自然数;
- - 整数;
例:
度数の性質
問題を解決しやすくするために、これらのプロパティがどこから来たのかを理解してみましょう。 それらを証明しましょう。
見てみましょう: とは何ですか?
A優先:
したがって、この式の右側では次の積が得られます。
しかし、定義上、これは指数を伴う数値の累乗です。つまり、次のようになります。
Q.E.D.
例 ：表現を簡略化します。
解決 : .
例 ：表現を簡略化します。
解決 : 私たちのルールでは次の点に注意することが重要です。 必然的に同じ理由があるはずです。 したがって、パワーとベースを組み合わせますが、それは別個の要素のままです。
もう 1 つの重要な注意点: このルール - べき乗の積のみ!
いかなる状況であっても、そのようなことを書くことはできません。
前のプロパティと同様に、次の度の定義に移りましょう。
この作業を次のように再グループ化してみましょう。
式はそれ自体を 2 回乗算することがわかります。つまり、定義によれば、これは数値の 3 乗です。
本質的に、これは「指標を括弧から外す」と呼ぶことができます。 しかし、これを完全に行うことは決してできません。
省略された乗算の公式を思い出してみましょう。何度書きたかったでしょうか? しかし、結局のところ、これは真実ではありません。
マイナスベースのパワー。
ここまでは、どうあるべきかを議論しただけです 索引度。 しかし、何を基礎とすべきでしょうか？ のべき乗で 自然 インジケータ 根拠はあるかもしれない いずれかの番号 .
実際、正、負、偶数を問わず、あらゆる数値を掛け合わせることができます。 どの記号 ("" または "") が正と負の数の累乗を持つのか考えてみましょう。
たとえば、その数値は正ですか、負ですか? あ？ ?
最初のものでは、すべてが明らかです。正の数をどれだけ掛け合わせても、結果は正になります。
しかし、否定的なものはもう少し興味深いものです。 「マイナスにはマイナスをプラスする」という6年生の簡単なルールを覚えています。 つまり、または。 しかし、() を掛けると - が得られます。
以下同様に無限に繰り返され、後続の乗算ごとに符号が変化します。 次のような簡単なルールを定式化できます。
- 平度、-数値 ポジティブ.
- 負の数を次のように切り上げます 奇数度、-数値 ネガティブ.
- 正の数は、どの程度であっても正の数です。
- ゼロの累乗はゼロに等しい。
次の式がどのような符号を持つかを自分で判断してください。
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
あなたは管理しましたか？ 答えは次のとおりです。
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
最初の 4 つの例で、すべてが明確になったと思いますか? 基数と指数を調べて、適切なルールを適用するだけです。
例 5) では、すべてが見た目ほど恐ろしいものではありません。結局のところ、基数が何に等しいかは問題ではありません。次数は偶数であり、結果は常にプラスになることを意味します。 ただし、ベースがゼロの場合は除きます。 底辺は平等じゃないですよね？ 明らかに違います、なぜなら（なぜなら）。
例 6) は、それほど単純ではなくなりました。 ここで、どちらが少ないかを調べる必要があります: それとも? それを思い出せば、それは底がゼロ未満であることを意味することが明らかになります。 つまり、ルール 2: 結果は負になります。
そして再び度数の定義を使用します。
すべてはいつもどおりです。度の定義を書き留めて、それらを互いに分割し、それらをペアに分割すると、次のようになります。
最後のルールを確認する前に、いくつかの例を解いてみましょう。
式を計算します。
ソリューション :
8 乗を無視すると、ここで何が見えますか? 7年生のプログラムを思い出してみましょう。 それで、覚えていますか？ これは乗算の略式、つまり二乗の差の公式です。
我々が得る：
分母をよく見てみましょう。 分子要素の 1 つによく似ていますが、何が問題なのでしょうか? 用語の順序が間違っています。 逆にすると、ルール 3 が適用される可能性があります。 それは非常に簡単であることがわかりました。分母の偶数次数がここで役に立ちます。
掛けても何も変わらないですよね？ しかし、今では次のようになります。
魔法のように、条件が入れ替わりました。 この「現象」はあらゆる式に均等に当てはまります。括弧内の符号は簡単に変更できます。 ただし、次のことを覚えておくことが重要です。 すべてのサインが同時に変化します！気に入らないデメリットを 1 つだけ変更することはできません。
例に戻りましょう:
そして再び式は次のようになります。
最後のルールは次のとおりです。
それをどうやって証明するのでしょうか？ もちろん、いつものように、程度の概念を拡張して単純化してみましょう。
さて、括弧を開けてみましょう。 文字は全部で何文字ありますか？ 乗数による倍 - これを見て何を思い出しますか? これは操作の定義にすぎません。 乗算：そこには乗算器しかありませんでした。 つまり、定義上、これは指数を伴う数値のべき乗です。
例：
無理指数を伴う次数
平均レベルの次数の情報に加えて、無理指数を使用して次数を分析します。 ここでの次数のすべての規則と特性は、例外を除いて、有理指数を使用した次数の場合とまったく同じです。結局のところ、定義上、無理数は分数として表すことができない数であり、ここで と は整数です (つまり、 、無理数は有理数を除くすべての実数です）。
自然指数、整数指数、有理指数を使って学位を勉強するとき、そのたびに私たちは特定の「イメージ」、「類推」、またはより馴染みのある用語での説明を作成しました。 たとえば、自然指数を伴う次数は、それ自体を数回乗算した数値です。 ゼロ乗の数は、いわば、それ自体を 1 回乗算した数です。つまり、まだ乗算を開始していません。つまり、数自体がまだ出現していないことを意味します。したがって、結果は一定のものにすぎません。 「空白の数字」、つまり数字。 整数の負の指数を伴う次数 - あたかも「逆のプロセス」が起こったかのようです。つまり、数値がそれ自身で乗算されるのではなく、除算されるのです。
無理指数を伴う次数を想像するのは非常に困難です (4 次元空間を想像するのが難しいのと同じように)。 これはむしろ、数学者が次数の概念を数値空間全体に拡張するために作成した純粋に数学的なオブジェクトです。
ちなみに、科学では複素数の指数を伴う学位がよく使用されます。つまり、指数は実数ではありません。 しかし、学校ではそのような難しいことは考えません。研究所ではこれらの新しい概念を理解する機会があります。
では、無理数指数が現れた場合はどうすればよいでしょうか? 私たちはそれを取り除くために全力を尽くしています:)
例えば：
自分で決めてください:
| 1) | 2) | 3) |
答え:
- 二乗の違いの公式を覚えておきましょう。 答え： 。
- 分数を同じ形式、つまり両方の小数または両方の普通の小数に変換します。 たとえば、次のようになります。
- 特別なことは何もせず、通常の度数のプロパティを使用します。
このセクションの概要と基本公式
程度形式の式と呼ばれます: 、ここで:
整数の指数を伴う次数
指数が自然数 (つまり、整数で正) である次数。
有理指数によるべき乗
度。その指数は負の小数です。
無理指数を伴う次数
指数が無限小数またはルートである度。
度数の性質
度数の特徴。
- 負の数を次のように切り上げます 平度、-数値 ポジティブ.
- 負の数を次のように切り上げます 奇数度、-数値 ネガティブ.
- 正の数は、どの程度であっても正の数です。
- ゼロはどんな累乗にも等しい。
- 任意の数値のゼロ乗は等しい。
今、あなたは言葉を持っています...
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次数プロパティを使用した経験について教えてください。
おそらく質問があるかもしれません。 または提案。
コメントに書いてください。
そして試験も頑張ってください！
度数式複雑な式を削減および単純化するプロセス、方程式や不等式を解く際に使用されます。
番号 cは n数値の - 乗 あるいつ：
度数を伴う操作。
1. 同じ基数で度数を乗算することにより、それらの指標が追加されます。
午前·a n = a m + n 。
2. 同じ基数で次数を除算する場合、それらの指数が減算されます。
3. 2 つ以上の因子の積の次数は、次の因子の次数の積に等しい。
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. 分数の次数は、被除数と除数の次数の比に等しくなります。
(a/b) n = a n /b n 。
5. べき乗を累乗すると、指数が乗算されます。
(a m) n = a m n 。
上記の各式は、左から右、またはその逆の方向に当てはまります。
例えば. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
ルートを使用した操作。
1. いくつかの因子の積の根は、次の因子の根の積と等しくなります。
2. 比率の根は、配当と根の約数の比率に等しいです。
3. ルートを累乗する場合は、根号をこの累乗するだけで十分です。
4. ルートの次数を増やすと、 n一度に同時に構築する n乗が根号の場合、根の値は変わりません。
5. 根元の次数を減らすと n根も同時に抜きます n根号の 乗の場合、根の値は変わりません。
マイナスの指数をもつ学位。非正 (整数) 指数を持つ特定の数値の累乗は、非正の指数の絶対値に等しい指数を持つ同じ数値の累乗で除算されたものとして定義されます。
式 午前:a n =a m - nだけでなく使用できます メートル> n、だけでなく、 メートル< n.
例えば. ある4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
式へ 午前:a n =a m - nいつ公平になった m=n、ゼロ度の存在が必要です。
インデックスがゼロの学位。指数がゼロのゼロに等しくない数値の累乗は 1 に等しくなります。
例えば. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
小数部の指数を伴う次数。実数を上げるには あ程度まで 月/日、ルートを抽出する必要があります nの第 学位 メートルこの数値の - 乗 あ.
累乗のある数値も他の数量と同様に加算できることは明らかです 、それらを記号とともに次々に追加することで、.
したがって、a 3 と b 2 の合計は a 3 + b 2 となります。
a 3 - b n と h 5 -d 4 の合計は、a 3 - b n + h 5 - d 4 となります。
オッズ 同一変数の等乗加算または減算できます。
したがって、2a 2 と 3a 2 の合計は 5a 2 に等しくなります。
また、2 つの正方形 a、3 つの正方形 a、または 5 つの正方形 a を取る場合も明らかです。
しかし、度 さまざまな変数そして さまざまな程度 同一の変数、それらを符号とともに追加して構成する必要があります。
したがって、2 と 3 の合計は、2 + 3 の合計になります。
a の 2 乗と a の 3 乗は、a の 2 乗の 2 倍ではなく、a の 3 乗の 2 倍に等しいことは明らかです。
a 3 b n と 3a 5 b 6 の合計は、a 3 b n + 3a 5 b 6 です。
引き算べき乗は、減数の符号をそれに応じて変更する必要があることを除いて、加算と同じ方法で実行されます。
または：
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
乗算
累乗のある数値は、他の数量と同様に、間に乗算記号を付けても付けなくても、順番に書くことによって乗算できます。
したがって、a 3 と b 2 を乗算した結果は、a 3 b 2 または aaabb になります。
または：
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
最後の例の結果は、同一の変数を追加することで順序付けできます。
式は a 5 b 5 y 3 の形式になります。
いくつかの数値 (変数) を累乗で比較すると、そのうちの 2 つを乗算すると、結果は次の累乗に等しい数値 (変数) になることがわかります。 額用語の程度。
したがって、 a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 となります。
ここで、5 は乗算結果の累乗であり、項の累乗の合計である 2 + 3 に等しくなります。
したがって、 a n .a m = a m+n となります。
n の場合、 a は n の累乗倍の係数として扱われます。
そして、 m は、次数 m が等しい回数だけ因数として扱われます。
それが理由です、 同じ基数を持つべき乗は、べき乗の指数を加算することで乗算できます。
したがって、 a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 となります。 そして、x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 となります。
または：
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) を掛けます。
答え: x 4 - y 4。
(x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) を掛けます。
この規則は、指数が次のような数値にも当てはまります。 ネガティブ.
1. したがって、 a -2 .a -3 = a -5 となります。 これは、(1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa と書くことができます。
2. y -n .y -m = y -n-m 。
3. a -n .a m = a m-n 。
a + b に a - b を掛けると、結果は a 2 - b 2 になります。
2 つの数値の和または差を乗算した結果は、それらの 2 乗の和または差に等しくなります。
2 つの数の和と差を乗算すると、次のようになります。 四角の場合、結果はこれらの数値の合計または差に等しくなります。 第4度。
したがって、(a - y).(a + y) = a 2 - y 2 となります。
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4。
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8。
学位の区分
累乗のある数値は、他の数値と同様に、被除数から引くか、分数形式に置くことで割り算できます。
したがって、a 3 b 2 を b 2 で割った値は a 3 と等しくなります。
または：
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
5 を 3 で割ったものを書くと、$\frac(a^5)(a^3)$ のようになります。 しかし、これは 2 に等しいです。 一連の数字の中で
a +4 、 a +3 、 a +2 、 a +1 、 a 0 、 a -1 、 a -2 、 a -3 、 a -4 。
任意の数値を別の数値で割ることができ、その指数は次のようになります。 違い割り切れる数を表す指標。
同じ基数で度数を割る場合、それらの指数が減算されます。.
したがって、y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 となります。 つまり、$\frac(yyy)(yy) = y$ となります。
そして、 a n+1:a = a n+1-1 = a n 。 つまり、$\frac(aa^n)(a) = a^n$ となります。
または：
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
この規則は次の数値にも当てはまります。 ネガティブ度の値。
-5 を -3 で割った結果は -2 になります。
また、 $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$。
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 または $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
乗算とべき乗の除算は代数学で非常に広く使用されるため、これらの演算を十分に習得する必要があります。
べき乗を含む数を含む分数の例を解く例
1. 指数を $\frac(5a^4)(3a^2)$ ずつ減らします。 答え: $\frac(5a^2)(3)$ です。
2. 指数を $\frac(6x^6)(3x^5)$ だけ減らします。 答え: $\frac(2x)(1)$ または 2x。
3. 指数 a 2 /a 3 と a -3 /a -4 を削減し、共通の分母にします。
a 2 .a -4 は、最初の分子の a -2 です。
a 3 .a -3 は a 0 = 1、2 番目の分子です。
a 3 .a -4 は、共通の分子である a -1 です。
簡略化後: a -2 /a -1 および 1/a -1 。
4. 指数 2a 4 /5a 3 と 2 /a 4 を約定して共通の分母にします。
答え: 2a 3 /5a 7 および 5a 5 /5a 7 または 2a 3 /5a 2 および 5/5a 2。
5. (a 3 + b)/b 4 に (a - b)/3 を掛けます。
6. (a 5 + 1)/x 2 に (b 2 - 1)/(x + a) を掛けます。
7. b 4 /a -2 に h -3 /x と a n /y -3 を掛けます。
8. a 4 /y 3 を a 3 /y 2 で割ります。 答え: はい。
9. (h 3 - 1)/d 4 を (d n + 1)/h で割ります。
べき乗の足し算と引き算
累乗のある数値も他の数量と同様に加算できることは明らかです 、それらを記号とともに次々に追加することで、.
したがって、a 3 と b 2 の合計は a 3 + b 2 となります。
a 3 - b n と h 5 -d 4 の合計は、a 3 - b n + h 5 - d 4 となります。
オッズ 同一変数の等乗加算または減算できます。
したがって、2a 2 と 3a 2 の合計は 5a 2 に等しくなります。
また、2 つの正方形 a、3 つの正方形 a、または 5 つの正方形 a を取る場合も明らかです。
しかし、度 さまざまな変数そして さまざまな程度 同一の変数、それらを符号とともに追加して構成する必要があります。
したがって、2 と 3 の合計は、2 + 3 の合計になります。
a の 2 乗と a の 3 乗は、a の 2 乗の 2 倍ではなく、a の 3 乗の 2 倍に等しいことは明らかです。
a 3 b n と 3a 5 b 6 の合計は、a 3 b n + 3a 5 b 6 です。
引き算べき乗は、減数の符号をそれに応じて変更する必要があることを除いて、加算と同じ方法で実行されます。
または：
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
乗算
累乗のある数値は、他の数量と同様に、間に乗算記号を付けても付けなくても、順番に書くことによって乗算できます。
したがって、a 3 と b 2 を乗算した結果は、a 3 b 2 または aaabb になります。
または：
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
最後の例の結果は、同一の変数を追加することで順序付けできます。
式は a 5 b 5 y 3 の形式になります。
いくつかの数値 (変数) を累乗で比較すると、そのうちの 2 つを乗算すると、結果は次の累乗に等しい数値 (変数) になることがわかります。 額用語の程度。
したがって、 a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 となります。
ここで、5 は乗算結果の累乗であり、項の累乗の合計である 2 + 3 に等しくなります。
したがって、 a n .a m = a m+n となります。
n の場合、 a は n の累乗倍の係数として扱われます。
そして、 m は、次数 m が等しい回数だけ因数として扱われます。
それが理由です、 同じ基数を持つべき乗は、べき乗の指数を加算することで乗算できます。
したがって、 a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 となります。 そして、x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 となります。
または：
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) を掛けます。
答え: x 4 - y 4。
(x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) を掛けます。
この規則は、指数が次のような数値にも当てはまります。 ネガティブ.
1. したがって、 a -2 .a -3 = a -5 となります。 これは、(1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa と書くことができます。
2. y -n .y -m = y -n-m 。
3. a -n .a m = a m-n 。
a + b に a - b を掛けると、結果は a 2 - b 2 になります。
2 つの数値の和または差を乗算した結果は、それらの 2 乗の和または差に等しくなります。
2 つの数の和と差を乗算すると、次のようになります。 四角の場合、結果はこれらの数値の合計または差に等しくなります。 第4度。
したがって、(a - y).(a + y) = a 2 - y 2 となります。
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4。
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8。
学位の区分
累乗のある数値は、他の数値と同様に、被除数から引くか、分数形式に置くことで割り算できます。
したがって、a 3 b 2 を b 2 で割った値は a 3 と等しくなります。
5 を 3 で割ると、$\frac のようになります。 $。 しかし、これは 2 に等しいです。 一連の数字の中で
a +4 、 a +3 、 a +2 、 a +1 、 a 0 、 a -1 、 a -2 、 a -3 、 a -4 。
任意の数値を別の数値で割ることができ、その指数は次のようになります。 違い割り切れる数を表す指標。
同じ基数で度数を割る場合、それらの指数が減算されます。.
したがって、y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 となります。 つまり、$\frac = y$ です。
そして、 a n+1:a = a n+1-1 = a n 。 つまり、$\frac = a^n$ です。
または：
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
この規則は次の数値にも当てはまります。 ネガティブ度の値。
-5 を -3 で割った結果は -2 になります。
また、$\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $。
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 または $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
乗算とべき乗の除算は代数学で非常に広く使用されるため、これらの演算を十分に習得する必要があります。
べき乗を含む数を含む分数の例を解く例
1. 指数を $\frac $ ずつ減らします。 答え: $\frac $。
2. 指数を $\frac$ ずつ減らします。 答え: $\frac$ または 2x。
3. 指数 a 2 /a 3 と a -3 /a -4 を削減し、共通の分母にします。
a 2 .a -4 は、最初の分子の a -2 です。
a 3 .a -3 は a 0 = 1、2 番目の分子です。
a 3 .a -4 は、共通の分子である a -1 です。
簡略化後: a -2 /a -1 および 1/a -1 。
4. 指数 2a 4 /5a 3 と 2 /a 4 を約定して共通の分母にします。
答え: 2a 3 /5a 7 および 5a 5 /5a 7 または 2a 3 /5a 2 および 5/5a 2。
5. (a 3 + b)/b 4 に (a - b)/3 を掛けます。
6. (a 5 + 1)/x 2 に (b 2 - 1)/(x + a) を掛けます。
7. b 4 /a -2 に h -3 /x と a n /y -3 を掛けます。
8. a 4 /y 3 を a 3 /y 2 で割ります。 答え: はい。
次数の性質
このレッスンで理解できることを思い出してください。 度の性質自然指標とゼロを使用します。 有理指数を持つべき乗とその性質については、中学 2 年生の授業で説明します。
自然指数を伴うべき乗には、べき乗の例での計算を簡略化できるいくつかの重要な特性があります。
物件No.1
べき乗の積
同じ底を持つべき乗を乗算する場合、底は変更されず、べき乗の指数が加算されます。
a m · a n = a m + n。ここで、「a」は任意の数、「m」、「n」は任意の自然数です。
このべき乗の性質は、3 つ以上のべき乗の積にも当てはまります。
- 表現を簡略化します。
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - それを学位として提示します。
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - それを学位として提示します。
(0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15 - 商をべき乗として書きます
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2 - 計算してください。
指定されたプロパティでは、同じ基数を持つ累乗の乗算についてのみ話していることに注意してください。。 それらの追加には適用されません。
和（3 3 + 3 2）を 3 5 に置き換えることはできません。 これは理解できます
(3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36、および 3 5 = 243 を計算します。
物件No.2
部分学位
同じ底数で累乗を除算する場合、底数は変更されず、除数の指数が被除数の指数から減算されます。
11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
例。 方程式を解きます。 商のべき乗の性質を利用します。
3 8: t = 3 4
答え: t = 3 4 = 81
プロパティ No.1 とプロパティ No.2 を使用すると、簡単に式を簡略化し、計算を行うことができます。
例。 表現を簡略化します。
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
例。 指数のプロパティを使用して式の値を見つけます。
2 11 − 5 = 2 6 = 64
プロパティ 2 では、同じ基底を持つ権力の分割についてのみ話していることに注意してください。
差 (4 3 −4 2) を 4 1 に置き換えることはできません。 これは、(4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48、および 4 1 = 4 を計算すると理解できます。
物件No.3
度数を累乗する
次数をべき乗する場合、次数の底は変更されず、指数が乗算されます。
(a n) m = a n · m ただし、「a」は任意の数、「m」、「n」は任意の自然数です。
商は分数で表すことができることに注意してください。 したがって、分数の累乗については、次のページで詳しく説明します。
力を何倍にするか
どうやって力を倍増させるのか？ どの力を倍増でき、どの力を倍増できないでしょうか? 数値に累乗を掛けるにはどうすればよいですか?
代数学では、次の 2 つの場合でべき乗の積を求めることができます。
1) 学位の基数が同じ場合。
2) 度数が同じ指標を持つ場合。
同じ底を持つ累乗を乗算する場合、底は同じままにし、指数を加算する必要があります。
同じインジケーターで度数を乗算する場合、全体のインジケーターを括弧から取り出すことができます。
具体的な例を使って累乗する方法を見てみましょう。
指数には単位が書かれていませんが、べき乗を乗算する際には次のことが考慮されます。
乗算するときは、任意の数の累乗が可能です。 文字の前に乗算記号を書く必要はないことに注意してください。
式では、べき乗が最初に行われます。
数値に累乗を掛ける必要がある場合は、まず累乗を実行し、その後にのみ乗算を実行する必要があります。
同じ底を持つべき乗の乗算
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このレッスンでは、同様の基数を使用した累乗の乗算を学習します。 まず、次数の定義を思い出し、等式の妥当性に関する定理を定式化しましょう。 。 次に、具体的な数値での適用例を示し、それを証明します。 また、この定理を応用してさまざまな問題を解決していきます。
トピック: 自然指数によるべき乗とその性質
レッスン: 同じ底を持つべき乗の計算 (公式)
1. 基本的な定義
基本的な定義:
n- 指数、
— n数値の乗。
2. 定理 1 の記述
定理1.任意の番号に対して あそしてどんな自然のものでも nそして k等式は真です:
言い換えれば: あ- いずれかの番号; nそして k自然数の場合、次のようになります。
したがって、ルール 1:
3. 説明タスク
結論：特殊な場合により、定理 1 の正しさが確認されました。 一般的な場合、つまりあらゆる場合にそれを証明してみましょう。 あそしてどんな自然のものでも nそして k.
4. 定理1の証明
数値を与える あ- どれでも; 数字 nそして k –自然。 証明する：
証明は度数の定義に基づいています。
5. 定理 1 を使用して例題を解く
例 1:程度として考えてください。
次の例を解くために、定理 1 を使用します。
そして） 
6. 定理 1 の一般化
ここで使用される一般化は次のとおりです。
7. 定理 1 の一般化を使用して例を解く
8. 定理 1 を使ってさまざまな問題を解く
例 2:計算します（基本累乗表を使用できます）。
A) 
(表によると)
b) 
例 3:基数 2 のべき乗として書きます。
A) 
例 4:数値の符号を決定します。
、A --13 の指数は奇数であるため、負になります。
例 5:(・) を基数のある数値のべき乗に置き換えます r:
そうです。
9. まとめ
1. ドロフェエフ G.V.、スヴォロヴァ S.B.、ブニモビッチ E.A. 代数 7。第 6 版。 M.: 啓蒙です。 2010年
1. 学校のアシスタント (出典)。
1. 力として存在する:
a B C D E) 
3. 基数 2 の累乗として書きます。
4. 数値の符号を決定します。
A) 
5. (・) を基数の累乗に置き換えます r:
a) r 4 · ( · ) = r 15; b) (・)・r 5 = r 6
同じ指数を持つ累乗の乗算と除算
このレッスンでは、指数が等しい累乗の乗算を学習します。 まず、同じ基底を持つ累乗の乗算と累乗の累乗の累乗に関する基本的な定義と定理を思い出してみましょう。 次に、同じ指数を持つ累乗の乗算と除算に関する定理を定式化して証明します。 そして、彼らの助けを借りて、いくつかの典型的な問題を解決していきます。
基本的な定義と定理の思い出し
ここ ある- 学位の基礎、
— n数値の乗。
定理1.任意の番号に対して あそしてどんな自然のものでも nそして k等式は真です:
同じ底を持つ累乗を乗算する場合、指数は加算されますが、底は変更されません。
定理2.任意の番号に対して あそしてどんな自然のものでも nそして ｋ、そのような n > k等式は真です:
同じ基数で度数を割る場合、指数は減算されますが、基数は変わりません。
定理3.任意の番号に対して あそしてどんな自然のものでも nそして k等式は真です:
リストされている定理はすべて、同じべき乗に関するものでした。 理由、このレッスンでは、同じ度数を見ていきます。 指標.
同じ指数を持つべき乗の例
次の例を考えてみましょう。
程度を判断する式を書いてみましょう。
結論：例からわかるのは、 
、しかしこれはまだ証明される必要があります。 定理を定式化して、一般的な場合、つまりあらゆる場合に証明してみましょう。 あそして bそしてどんな自然のものでも n.
定理4の定式化と証明
あらゆる数字に対して あそして bそしてどんな自然のものでも n等式は真です:
証拠定理4 .
程度の定義によると:
それで私たちはそれを証明しました .
同じ指数を持つ累乗を乗算するには、底を乗算し、指数を変更しないままにするだけで十分です。
定理5の定式化と証明
同じ指数でべき乗を分割するための定理を定式化してみましょう。
任意の番号に対して あそして b() そしてどんな自然のものでも n等式は真です:
証拠定理5 .
度の定義を書き留めてみましょう。
定理を言葉で表現する
したがって、私たちはそれを証明しました。
同じ指数を持つべき乗を互いに分割するには、一方の底をもう一方の底で割って、指数を変更しないで十分です。
定理 4 を使用して典型的な問題を解く
例 1:権力の産物として存在する。
次の例を解くために、定理 4 を使用します。
次の例を解くには、次の式を思い出してください。
定理 4 の一般化
定理 4 の一般化:
一般化定理 4 を使用した例の解決
典型的な問題を解決し続ける
例 2:それを商品の力として書きます。
例 3:それを指数 2 のべき乗として書きます。
計算例
例 4:最も合理的な方法で計算します。
2. Merzlyak A.G.、Polonsky V.B.、Yakir M.S. 代数 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M.、Tkacheva M.V.、Fedorova N.E. 代数 7.M.: 啓蒙。 2006年
2. 学校のアシスタント (出典)。
1. 権力の積として存在する:
A）; b）; V) ; G) ;
2. 製品の能力として次のように書きます。
3. 指数 2 の累乗として書きます。
4. 最も合理的な方法で計算します。
「累乗と累乗の割り算」をテーマにした数学の授業
セクション:数学
教育目標:
タスク:
教育の活動単位:自然指標による程度の決定。 度数コンポーネント。 プライベートの定義。 乗算の組み合わせ法則。
I. 生徒が既存の知識を習得していることを示すデモンストレーションを組織する。 （ステップ1）
a) 知識の更新:
2) 自然指数を使用して次数の定義を定式化します。
a n =a a a a … a (n 回)
b k =b b b b a… b (k 回) 答えを正当化します。
II. 学生の現在の経験における習熟度を自己評価する組織。 （ステップ2）
セルフテスト: (2 つのバージョンでの個別の作業。)
A1) 積 7 7 7 7 x x x を累乗として提示します。
A2) (-3) 3 × 2 乗を積で表します
A3) 計算します: -2 3 2 + 4 5 3
クラスのレベルの準備に応じて、テストのタスクの数を選択します。
セルフテスト用のテストの鍵をお渡しします。 基準: 合格 - 不合格。
Ⅲ． 教育的かつ実践的なタスク (ステップ 3) + ステップ 4 (生徒自身がプロパティを定式化します)
問題 1) と 2) を解きながら、生徒が解決策を提案し、教師である私が同じ底数で乗算するときの累乗を単純化する方法を見つけるようにクラスを編成します。
先生: 同じ基数で乗算するときの累乗を単純化する方法を考えてください。
クラスターにエントリが表示されます。
レッスンのテーマが決まります。 力の乗算。
先生：同じ拠点で力を分けるルールを考えてください。
推論: 除算をチェックするためにどのようなアクションが使用されますか? a 5: a 3 = ? a 2 a 3 = a 5 であること
図に戻り、クラスターを作成し、エントリに追加します。分割するときは、レッスンのトピックを減算して追加します。 ...そして学位の分割。
IV. 知識の限界（最小値と最大値）を生徒に伝える。
先生: 今日のレッスンの最小の課題は、累乗の乗算と除算の性質を同じ基数で適用することを学ぶことであり、最大の課題は、乗算と除算を一緒に適用することです。
私たちは黒板に書きます : a m a n = a m+n ; a m: a n = a m-n
V. 新しい教材を研究するための組織。 (ステップ5)
a) 教科書によると: No. 403 (a, c, e) 文言が異なる課題
No.404 (a、d、f) 独立した作業を行った後、相互チェックを組織し、鍵を渡します。
b) m のどの値に対して等式が成立しますか? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; ×8(*)＝×14
課題: 割り算の同様の例を考えてください。
c) No.417(a)、No.418(a) 学生向けの罠: x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 = a 2。
VI. 学んだことを要約し、診断作業を実施します (教師ではなく生徒にこのトピックを学習するよう促します) (ステップ 6)
診断作業。
テスト（キーを生地の裏側に置きます）。
タスク オプション: 商 x 15 を x 3 の累乗で表します。 乗として積 (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 を表します。 どの m に対して等式 a 16 a m = a 32 が有効ですか? h = 0.2 における式 h 0: h 2 の値を求めます。 式 (5 2 5 0) : 5 2 の値を計算します。
レッスンのまとめ。 反射。私はクラスを 2 つのグループに分けます。
グループ I の議論を見つけます。次数の特性を知ることを支持し、グループ II の議論は特性がなくてもできると主張します。 私たちはすべての答えに耳を傾け、結論を導き出します。 後続のレッスンでは、統計データを提供し、ルーブリックを「信じられないほどです!」と呼ぶことができます。
VII. 宿題。
歴史的な参考資料。 フェルマー数と呼ばれる数。
P.19. No.403、No.408、No.417
中古本:
次数の性質、定式化、証明、例。
数値の累乗が決定された後、次のことについて話すのが論理的です。 度数のプロパティ。 この記事では、考えられるすべての指数に触れながら、数値のべき乗の基本的な性質を示します。 ここでは、次数のすべてのプロパティの証明を提供し、例を解くときにこれらのプロパティがどのように使用されるかも示します。
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自然指数を伴う次数のプロパティ
自然指数による累乗の定義により、累乗 a n は n 個の因数の積であり、それぞれが a に等しい。 この定義に基づいて、また、 実数の乗算の性質、次のことを取得して正当化できます。 自然指数を伴う次数の特性:
- a>0 の場合、任意の自然数 n に対して n>0 になります。
- a=0 の場合、a n =0。
- a 2・m >0 の場合、a 2・m−1 n の場合。
- m と n が m>n のような自然数の場合、0m n の場合、a>0 の場合、不等式 a m >a n が真になります。
- a m ·a n =a m+n ;
- a m:a n =a m−n ;
- (a・b) n =a n ・b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n =a m・n ;
- n が正の整数、a と b が正の数、および a n n および a −n >b −n ;
- m と n が整数で、m>n の場合、0m n の場合、a>1 の場合、不等式 a m >a n が成り立ちます。
書かれたすべての等式は次のとおりであることにすぐに注意してください。 同一指定された条件に従って、左右の部分を入れ替えることができます。 たとえば、分数 a m ·a n =a m+n の主な性質は次のようになります。 式の簡略化 a m+n =a m ·a n の形式でよく使用されます。
それでは、それぞれを詳しく見てみましょう。
同じ底を持つ 2 つのべき乗の積の性質から始めましょう。 学位の主な性質: 任意の実数 a と任意の自然数 m および n に対して、等式 a m ·a n =a m+n が成り立ちます。
学位の主な性質を証明しましょう。 自然指数を伴うべき乗の定義により、 a m · a n の形式の同一の底を持つべき乗の積は次の積として書くことができます。 
。 乗算の特性により、結果の式は次のように書くことができます。 
、この積は、自然指数 m+n を持つ数値 a のべき乗、つまり a m+n です。 これで証明は完了です。
次数の主な性質を確認する例をあげてみましょう。 同じ基数 2 と自然累乗 2 および 3 を持つ度数を考えてみましょう。度数の基本的な性質を使用して、等式 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 を書くことができます。 式 2 2 ・ 2 3 と 2 5 の値を計算して、その妥当性を確認してみましょう。 べき乗を実行すると、 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 と 2 5 =2 2 2 2 2 = 32 が得られます。等しい値が得られるため、等価性 2 2 ·2 3 =2 5 は正しく、次数の主な特性が確認されます。
次数の基本特性は、乗算の特性に基づいて、同じ基数と自然指数を持つ 3 つ以上のべき乗の積に一般化できます。 したがって、自然数 n 1 、n 2 、…、n k の任意の数 k に対して、等価 a n 1 ·a n 2 ·… ·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k が真になります。
たとえば、 (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 。
自然指数を使用したべき乗の次の性質に進むことができます。 同じ底を持つ商のべき乗の性質: 条件 m>n を満たす任意の非ゼロ実数 a と任意の自然数 m および n に対して、等式 a m:a n =a m−n が成り立ちます。
この性質の証明を示す前に、定式化における追加条件の意味について議論しましょう。 0 n =0 であるため、ゼロ除算を避けるためには a≠0 という条件が必要です。そして、除算に慣れてきたとき、ゼロ除算はできないということに同意しました。 条件 m>n は、自然指数を超えないように導入されています。 確かに、m>n の場合、指数 a m−n は自然数です。それ以外の場合は、ゼロ (m−n の場合) または負の数 (m m−n ·a n =a (m−n) の場合）のいずれかになります。 +n =a m 結果の等価性、および乗算と除算の関係から、a m − n は a m と a n のべき乗の商であることがわかります。同じベースです。
例を挙げてみましょう。 同じ基底 π と自然指数 5 および 2 を持つ 2 つの次数を考えてみましょう。等式 π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 は、考慮された次数の特性に対応します。
では、考えてみましょう 製品の電力特性: 任意の 2 つの実数 a と b の積の自然累乗 n は、累乗 a n と b n の積に等しい、つまり (a・b) n =a n ・b n です。
実際、自然指数による次数の定義により、次のようになります。 
。 乗算の特性に基づいて、最後の積は次のように書き換えることができます。 
、これは a n · b n に等しい。
以下に例を示します。 
.
この特性は、3 つ以上の係数の積の累乗まで拡張されます。 つまり、k 因数の積の自然次数 n の性質は、 (a 1 ·a 2 ·… · a k) n =a 1 n ·a 2 n ·… · a k n と表されます。
わかりやすくするために、このプロパティを例で示します。 3 つの因数の 7 乗の積については、次のようになります。
次のプロパティは、 現物商の性質: 実数 a と b、b≠0 の自然乗 n の商は、a n と b n の乗の商に等しい、つまり (a:b) n =a n:b n です。
証明は前の性質を使用して実行できます。 したがって (a:b) n ·b n =((a:b) ·b) n =a n となり、等式 (a:b) n ·b n =a n から、(a:b) n は次の商になります。 bn に対する a n の除算。
例として特定の数値を使用してこのプロパティを記述してみましょう。 
.
さあ、声に出してみましょう べき乗をべき乗する性質: 任意の実数 a と任意の自然数 m および n について、a m の n 乗は、数値 a のべき乗 m・n に等しい、つまり (am) n =a m・n です。
たとえば、(5 2) 3 =5 2・3 =5 6 となります。
べき乗と次数の関係の証明は、次の等式の連鎖です。 
.
考慮されるプロパティは、次数、次数、次数などに拡張できます。 たとえば、任意の自然数 p、q、r、s について、次の等式は次のようになります。 
。 より明確にするために、具体的な数字を使った例を挙げてみましょう: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10。
次数を自然指数と比較する特性については、まだ詳しく説明する必要があります。
ゼロとべき乗を自然指数と比較する性質を証明することから始めましょう。
まず、任意の a>0 に対して a n >0 であることを証明しましょう。
乗算の定義からわかるように、2 つの正の数の積は正の数です。 この事実と乗算の性質は、任意の数の正の数を乗算した結果も正の数になることを示唆しています。 そして、自然指数 n を持つ数値 a の累乗は、定義により、それぞれが a に等しい n 個の因数の積です。 これらの議論により、任意の正の基数 a について、次数 a n が正の数であると述べることができます。 証明された特性により、3 5 >0、(0.00201) 2 >0、および 
.
a=0 の任意の自然数 n について、a n の次数が 0 であることは明らかです。 確かに、 0 n =0・0・…・0=0 です。 たとえば、0 3 =0 および 0 762 =0 です。
負の程度の基底に移りましょう。
指数が偶数の場合から始めましょう。これを 2・m と表します。m は自然数です。 それから 
。 負の数の乗算規則によれば、a・a の形式の各積は、数値 a と a の絶対値の積に等しく、これは正の数であることを意味します。 したがって、製品もプラスになります 
および度a 2·m。 例を挙げてみましょう: (−6) 4 >0 、 (−2,2) 12 >0 および 。
最後に、基数 a が負の数で、指数が奇数 2 m−1 の場合、次のようになります。 
。 すべての積 a・a は正の数であり、これらの正の数の積も正であり、その積に残りの負の数 a を乗算すると負の数になります。 この性質により (−5) 3 17 n n は、n 個の真の不等式 a の左辺と右辺の積です。 不等式の性質として、a n n の形式の証明可能な不等式も真です。 たとえば、この性質により、不等式 3 7 7 と 
.
列挙されたべき乗の最後の特性を自然指数で証明することはまだ残っています。 それを定式化しましょう。 自然指数と 1 未満の同一の正の基数を持つ 2 つのべき乗のうち、指数が小さい方が大きくなります。 また、自然指数と同じ基数が 1 より大きい 2 つのべき乗のうち、指数が大きい方の方が大きくなります。 この性質の証明に進みましょう。
m>n および 0m n について証明してみましょう。 これを行うには、差 a m − a n を書き留めて、それをゼロと比較します。 記録された差は、括弧内の n を取り除いた後、 a n ·(a m−n−1) の形式になります。 結果の積は、正の数 a n と負の数 a m−n −1 の積として負になります (a n は正の数の自然べき乗として正であり、m−n であるため、差 a m−n −1 は負になります) >0 は初期条件 m>n のため、0m−n が 1 より小さいということになります）。 したがって、 a m −a n m n 、これは証明される必要があるものです。 例として、正しい不等式を示します。
プロパティの 2 番目の部分を証明する必要があります。 m>n および a>1 の場合、 m >a n が真であることを証明しましょう。 n を括弧から外した後の差 a m −a n は、 a n ·(a m−n −1) の形式になります。 a>1 の場合、次数 a n は正の数であり、初期条件により m-n>0 であるため、差 a m-n −1 は正の数であるため、この積は正になります。また、a>1 の場合、次数は次のようになります。 a m−n は 1 より大きくなります。 結果として、 a m −a n >0 かつ a m >a n となり、これは証明される必要があることです。 この特性は、不等式 3 7 >3 2 で示されます。
整数のべき乗の性質
正の整数は自然数であるため、正の整数の指数を持つべき乗のすべての特性は、前の段落でリストされ証明された自然指数を持つべき乗の特性と正確に一致します。
等式で表される自然指数を持つ度数のすべてのプロパティが有効なままとなるように、整数の負の指数を持つ度数とゼロの指数を持つ度数を定義しました。 したがって、これらすべてのプロパティはゼロ指数と負の指数の両方に有効ですが、もちろん、べき乗の底はゼロとは異なります。
したがって、実数およびゼロ以外の数値 a および b、および整数 m および n については、次のことが当てはまります。 整数のべき乗の性質:
a=0 の場合、べき乗 a m と a n は、m と n が両方とも正の整数、つまり自然数である場合にのみ意味を持ちます。 したがって、ここで記述したプロパティは、a=0 で数値 m と n が正の整数の場合にも有効です。
これらの各プロパティを証明することは難しくなく、自然指数と整数指数を使用した次数の定義と、実数を使用した演算のプロパティを使用するだけで十分です。 例として、累乗対累乗の特性が正の整数と非正の整数の両方に当てはまることを証明してみましょう。 これを行うには、p がゼロまたは自然数で、q がゼロまたは自然数の場合、等式 (a p) q =a p・q, (a −p) q =a (−p) が成り立つことを示す必要があります。・q、(a p ) −q =a p・(−q) および (a −p) −q =a (−p)・(−q) 。 やりましょう。
正の p と q の場合、等式 (a p) q =a p・q が前の段落で証明されました。 p=0 の場合、(a 0) q =1 q =1 および a 0・q =a 0 =1 となり、(a 0) q =a 0・q となります。 同様に、q=0 の場合、(a p) 0 =1 および a p・0 =a 0 =1 となるため、(a p) 0 =a p・0 となります。 p=0 および q=0 の両方である場合、(a 0) 0 =1 0 =1 および a 0・0 =a 0 =1 となるため、(a 0) 0 =a 0・0 となります。
ここで、 (a −p) q =a (−p)・q であることを証明します。 負の整数指数を持つ累乗の定義により、次のようになります。 
。 べき乗に対する商の性質により、 
。 1 p =1·1·…·1=1 であり、 なので、 です。 最後の式は、定義上、a −(p・q) の形式のべき乗であり、乗算の規則により、a (−p)・q と書くことができます。
同じく 
.
そして 
.
同じ原理を使用して、等式の形式で記述された整数指数を使用して次数の他のすべてのプロパティを証明できます。
記録されたプロパティの最後から 2 番目では、不等式 a −n >b −n の証明に注目する価値があります。これは、条件 a が満たされる任意の負の整数 −n と任意の正の a および b に対して有効です。 。 この不等式の左辺と右辺の差を書き留めて変換してみましょう。 
。 条件aなので n n であるため、 b n −a n >0 となります。 積 a n · b n も、正の数 a n と b n の積として正になります。 結果として得られる分数は、正の数 b n −a n と a n ·b n の商として正になります。 したがって、どこから a -n >b -n となり、これが証明される必要があることになります。
整数の指数をもつべき乗の最後の特性は、自然指数をもつべき乗の同様の特性と同じ方法で証明されます。
有理指数をもつべき乗の性質
整数指数を使用して次数のプロパティを拡張することにより、分数指数を使用して次数を定義しました。 言い換えれば、分数の指数を持つべき乗は、整数の指数を持つべき乗と同じ特性を持ちます。 つまり:
- 同じ底を持つべき乗の積の性質
a>0 の場合、かつ、a≥0 の場合。 - 同じ底を持つ商のべき乗の性質
a>0の場合; - 製品の特性を分数乗する
a>0 および b>0 の場合、かつ、かつ、a≥0 および (または) b≥0 の場合。 - 分数べき乗に対する商の性質
a>0 および b>0 の場合、および の場合、a≥0 および b>0 の場合。 - 度数の性質
a>0 の場合、かつ、a≥0 の場合。 - 等しい有理指数を持つべき乗を比較する性質: 任意の正の数 a と b の場合、a 0 の場合、不等式 a p p は真であり、p p >b p の場合、
- べき乗を有理指数と等しい底と比較する性質: 有理数 p と q の場合、0p q の場合は p>q、a>0 の場合 – 不等式 a p >a q。
- a p ·a q =a p+q ;
- a p:a q =a p−q ;
- (a・b) p =a p ・b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q =a p・q ;
- 任意の正の数 a および b の場合、a 0 の場合、不等式 a p p は真であり、p p >b p の場合、
- 無理数 p と q の場合、0p q の場合は p>q、a>0 の場合 – 不等式 a p >a q。
分数指数をもつべき乗の特性の証明は、分数指数をもつべき乗の定義、n 次の算術根の特性、および整数指数をもつべき乗の特性に基づいています。 証拠を提示しましょう。
小数指数と を含む累乗の定義により、次のようになります。 
。 算術根の特性により、次の等式を書くことができます。 さらに、整数の指数をもつ次数の性質を使用して、 を取得します。そこから、分数指数をもつ次数の定義により、次のようになります。 
、得られた度合いの指標は次のように変換できます。 これで証明は完了です。
分数指数を伴うべき乗の 2 番目の特性は、まったく同様の方法で証明されます。 
残りの等式は同様の原理を使用して証明されます。 
次の性質の証明に進みましょう。 任意の正の a と b について、a であることを証明しましょう。 0 の場合、不等式 a p p は真であり、p p >b p の場合。 有理数 p を m/n と書きます。m は整数、n は自然数です。 この場合の条件ｐ ０ は、それぞれ条件ｍ ０ と同等となる。 m>0 および am m の場合。 この不等式から、根の性質により、次のようになります。 a と b は正の数であるため、分数指数を伴う次数の定義に基づいて、結果の不等式は a p p として書き直すことができます。
同様に、ｍ ｍ ＞ｂ ｍ の場合、つまり、ａ ｐ ＞ｂ ｐ である。
リストされた特性の最後のものを証明することはまだ残っています。 有理数 p と q について、0p q の場合は p>q、a>0 の場合は不等式 a p >a q であることを証明しましょう。 普通の分数 と が得られる場合でも、有理数 p と q は常に公分母に還元できます。ここで、m 1 と m 2 は整数、n は自然数です。 この場合、条件 p>q は条件 m 1 >m 2 に対応します。これは、同じ分母を持つ普通の分数を比較するための規則から導き出されます。 次に、同じ基数と自然指数を持つ次数を比較する性質により、0m 1 m 2 および a>1 の場合、不等式 a m 1 >a m 2 となります。 根の性質におけるこれらの不等式は、それに応じて次のように書き換えることができます。 
そして 
。 そして、有理指数を使用した学位の定義により、不等式に進むことができ、それに応じて次のことが可能になります。 ここから、最終的な結論を導き出します。p>q および 0p q の場合、および a>0 の場合、不等式 a p >a q です。
無理数指数をもつべきの性質
無理数指数をもつ度数の定義方法から、それは有理数指数をもつ度数のすべての特性を備えていると結論付けることができます。 したがって、a>0、b>0、および無理数 p と q については、次のことが当てはまります。 無理指数をもつべきの性質:
このことから、a>0 の実数指数 p と q のべき乗は同じ特性を持つと結論付けることができます。
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それぞれの算術演算は書くのが面倒になる場合があり、それを簡素化しようとします。 これはかつて加算演算の場合に当てはまりました。 たとえば、ペルシャ絨毯 100 枚の価格を計算するには、同じ種類のカーペットを繰り返し追加する必要があり、1 枚あたり金貨 3 枚のコストがかかります。 3+3+3+…+3 = 300。煩雑な性質のため、表記を 3 * 100 = 300 に短縮することにしました。実際、「3 × 100」という表記は、1 を取る必要があることを意味します。百三を足し合わせます。 乗算は人気を博し、一般的な人気を得ました。 しかし世界は静止しておらず、中世になると同じ種類の増殖を繰り返し実行する必要が生じました。 私は、賢者についての古いインドのなぞなぞを思い出します。彼は、仕事をしたご褒美として、次の量の小麦粒を要求しました。チェス盤の最初のマス目については 1 粒、2 つ目については 2 粒、3 つ目については 4 粒、 5 番目から 8 番目など。 粒子の数が細胞数の 2 乗に等しいため、これが最初のべき乗の出現方法です。 たとえば、最後のセルには 2*2*2*...*2 = 2^63 粒があり、これは 18 文字の長さの数字に等しく、実際、これが謎の意味です。
べき乗の演算はすぐに普及し、累乗の加算、減算、除算、乗算を実行する必要性もすぐに生じました。 後者については、さらに詳しく検討する価値があります。 べき乗を加算する公式はシンプルで覚えやすいです。 さらに、累乗演算を乗算に置き換えると、それらがどこから来たのかを非常に理解しやすくなります。 ただし、最初にいくつかの基本的な用語を理解する必要があります。 式 a^b (「a の b 乗」と読みます) は、数値 a を b 回乗算する必要があることを意味します。「a」はべき乗の底、「b」はべき指数と呼ばれます。 次数の基数が同じであれば、式は非常に簡単に導出されます。 具体的な例: 式 2^3 * 2^4 の値を見つけます。 何が起こるかを知るには、解決策を開始する前にコンピュータ上で答えを見つける必要があります。 この式をオンライン計算機や検索エンジンに入力し、「基数が異なる乗算と同じ」または数学パッケージに入力すると、出力は 128 になります。次に、この式を書き出してみましょう: 2^3 = 2*2*2、 2^4 = 2 *2*2*2。 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) であることがわかります。 同じ底を持つべき乗の積は、前の 2 つのべき乗の合計に等しい底をべき乗した値に等しいことがわかります。
これは偶然だと思うかもしれませんが、そうではありません。他の例では、この規則を確認することしかできません。 したがって、一般に、式は次のようになります: a^n * a^m = a^(n+m) 。 また、数値のゼロ乗は 1 に等しいという規則もあります。 ここで、負のべき乗の法則、a^(-n) = 1 / a^n を覚えておく必要があります。 つまり、2^3 = 8 の場合、2^(-3) = 1/8 となります。 このルールを使用すると、等式 a^0 = 1 の妥当性を証明できます。 a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) 、a^ (n) を減らすことができ、1 が残ります。 ここから、同じ基数を持つべき乗の商は、被除数と除数の商に等しい程度までこの基数に等しいという規則が導出されます: a^n: a^m = a^(n-m) 。 例: 式 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) を簡略化します。 乗算は可換演算であるため、最初に乗算の指数を加算する必要があります: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2。 次に、負の累乗による除算を処理する必要があります。 被除数の指数から除数の指数を引く必要があります: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. 負の次数で除算する操作は、同様の正の指数を乗算する操作と同じであることがわかります。 したがって、最終的な答えは 8 です。
非標準的な権力の乗算が行われる例があります。 底が異なる累乗を乗算することは、多くの場合はるかに困難であり、場合によっては不可能ですらあります。 考えられるさまざまな手法の例をいくつか示します。 例: 式 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729 を簡略化します。明らかに、異なる底を持つ累乗の乗算が存在します。 ただし、すべての基数は異なる 3 のべき乗であることに注意してください。 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6。 ルール (a^n) ^m = a^(n*m) を使用して、式をより便利な形式に書き直す必要があります: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) 。 答え: 3^11。 基数が異なる場合、規則 a^n * b^n = (a*b) ^n が等しい指標に対して機能します。 たとえば、3^3 * 7^3 = 21^3 です。 そうしないと、基数と指数が異なる場合、完全な乗算を行うことができません。 場合によっては、部分的に簡素化したり、コンピューター技術の助けを借りたりすることができます。
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