対数方程式！対数とは何ですか?

13.10.2019

今日は次のことについて話します 対数式そして示唆的なものを与える ソリューションの例.

それら自体は、対数の基本特性に従って解のパターンを暗示します。対数公式を適用して解く前に、すべての特性を思い出してください。

さて、これらの式（性質）に基づいて、次のように示します。 対数を解く例.

数式に基づいて対数を解く例。

対数 a を底とする正の数 b (log a b で示される) は、b を得るために a を累乗する必要がある指数であり、b > 0、a > 0、および 1 です。

定義によれば、log a b = x は a x = b と同等であるため、log a a x = x となります。

対数、例:

log 2 8 = 3、なぜなら 2 3 = 8

log 7 49 = 2、なぜなら 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1、なぜなら 5 -1 = 1/5

10 進対数- これは、底が 10 の常対数です。lg として表されます。

log 10 100 = 2、なぜなら 10 2 = 100

自然対数- これも通常の対数、対数ですが底が e です (e = 2.71828... - 無理数)。 lnとして表されます。

対数の公式や性質は、後で対数、対数方程式、不等式を解くときに必要になるため、覚えておくことをお勧めします。例を挙げて各式をもう一度見てみましょう。

基本対数恒等式
a ログ a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
積の対数は対数の合計に等しい
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
商の対数は対数の差に等しい
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
対数のべき乗と対数の底の性質
対数の指数 log a b m = mlog a b

対数の底の指数 log a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b、

m = n の場合、log a n b n = log a b が得られます。

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
新しい基盤への移行
log a b = log c b/log c a、
c = b の場合、log b b = 1 が得られます。

log a b = 1/log b a

log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

ご覧のとおり、対数の公式は見た目ほど複雑ではありません。さて、対数を解く例を見てきましたので、次は対数方程式に移ります。対数方程式を解く例については、記事「」で詳しく見ていきます。お見逃しなく！

解決策についてまだ質問がある場合は、記事のコメントに書き込んでください。

注: 私たちは別のクラスの教育を受け、オプションとして海外留学することにしました。

1.1. 整数の指数の指数を決定する

X 1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N 回

1.2. ゼロ度。

定義により、任意の数のゼロ乗は 1 であると一般に認められています。

1.3. マイナス度。

X -N = 1/X N

1.4. 分数乗、ルート。

X 1/N = X の N ルート。

例: X 1/2 = √X。

1.5。べき乗を加算するための公式。

X (N+M) = X N *X M

1.6.べき乗を引く公式。

X (N-M) = X N /X M

1.7. 乗算の公式。

X N*M = (X N) M

1.8. 分数をべき乗する公式。

(X/Y) N = X N /Y N

2. 番号 e。

数値 e の値は、次の制限と等しくなります。

N → ∞ として、E = lim(1+1/N)。

17 桁の精度では、数値 e は 2.71828182845904512 となります。

3. オイラーの等式。

この等式は、数学で特別な役割を果たす 5 つの数値 (0、1、e、pi、虚数単位) を結び付けます。

E (i*pi) + 1 = 0

4. 指数関数 exp(x)

exp(x) = e x

5. 指数関数の導関数

指数関数には注目すべき特性があります。関数の導関数は指数関数自体に等しいということです。

(exp(x))" = exp(x)

6. 対数。

6.1. 対数関数の定義

x = b y の場合、対数は次の関数になります。

Y = Log b(x)。

対数は、特定の数値 (X) を得るために数値を何乗する必要があるかを示します (対数の底 (b))。対数関数は、ゼロより大きい X に対して定義されます。

例: Log 10 (100) = 2。

6.2. 10 進対数

これは底 10 の対数です。

Y = Log 10 (x) 。

Log(x) で示されます: Log(x) = Log 10 (x)。

10 進対数の使用例としては、デシベルがあります。

6.3. デシベル

項目は別のページでハイライト表示されますデシベル

6.4. 二進対数

これは底 2 の対数です。

Y = Log 2 (x)。

Lg(x) で示される: Lg(x) = Log 2 (X)

6.5. 自然対数

これは e を底とする対数です。

Y = Log e (x) 。

Ln(x) で示される: Ln(x) = Log e (X)
自然対数は、指数関数 exp(X) の逆関数です。

6.6. 特徴的な点

対数(1) = 0
ログ a (a) = 1

6.7. 積対数式

Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)

6.8. 商の対数の公式

Log a (x/y) = Log a (x) - Log a (y)

6.9. べき乗の対数の公式

Log a (x y) = y*Log a (x)

6.10. 底が異なる対数に変換する式

Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)

例：

ログ 2 (8) = ログ 10 (8)/ログ 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. 生活に役立つ数式

多くの場合、体積を面積または長さに変換する問題と、その逆の問題、つまり面積を体積に変換する問題が発生します。たとえば、ボードは立方体 (立方メートル) で販売されており、特定の体積に含まれるボードでどのくらいの壁面積をカバーできるかを計算する必要があります。ボードの計算、立方体に何枚のボードが入っているかを参照してください。または、壁の寸法がわかっている場合は、レンガの数を計算する必要があります。レンガの計算を参照してください。

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ご存知のとおり、式にべき乗を掛ける場合、それらの指数は常に加算されます (a b *a c = a b+c)。この数学法則はアルキメデスによって導出され、その後 8 世紀に数学者ヴィラセンが整数の指数の表を作成しました。対数のさらなる発見に貢献したのは彼らでした。この関数の使用例は、面倒な乗算を単純な加算によって簡素化する必要があるほとんどの場所で見られます。この記事を 10 分間読んでいただければ、対数とは何か、そして対数をどのように扱うかについて説明します。シンプルで親しみやすい言語で。

数学における定義

対数は、次の形式の式です。log a b=c、つまり、負でない数値 (つまり、正の数値) "b" の底 "a" に対する対数は、累乗 "c とみなされます。最終的に値「b」を得るには、底「a」を累乗する必要があります。例を使用して対数を分析しましょう。log 2 という式があるとします。 8. 答えを見つけるにはどうすればよいですか? それは非常に簡単です。2 から必要な累乗が 8 になるような累乗を見つける必要があります。頭の中でいくつかの計算を行うと、数字 3 が得られます。それは真実です。2 の 3 乗により、答えは 8 になるからです。

対数の種類

多くの生徒や学生にとって、このトピックは複雑で理解できないように見えますが、実際には対数はそれほど怖いものではありません、主なことはその一般的な意味を理解し、その特性といくつかの規則を覚えておくことです。対数式には 3 つの異なるタイプがあります。

自然対数 ln a、底はオイラー数 (e = 2.7)。
10 進数の a。底は 10 です。
a>1 を底とする任意の数 b の対数。

それらのそれぞれは、対数定理を使用した単純化、縮小、およびその後の単一対数への縮小などの標準的な方法で解決されます。対数の正しい値を取得するには、対数の特性と、対数を解くときのアクションの順序を覚えておく必要があります。

ルールといくつかの制限事項

数学では、公理として受け入れられるルール制約がいくつかあります。つまり、それらは議論の対象ではなく、真実です。たとえば、数値をゼロで割ることは不可能であり、負の数の偶根を抽出することも不可能です。対数にも独自のルールがあり、これに従うと、長くて量の多い対数式でも操作方法を簡単に学ぶことができます。

基底「a」は常にゼロより大きく、1 に等しくない必要があります。そうでない場合、「1」と「0」はどの程度であっても常にその値と等しいため、式は意味を失います。
a > 0、a b >0 の場合、「c」もゼロより大きくなければならないことがわかります。

対数を解くにはどうすればいいですか?

たとえば、方程式 10 x = 100 の答えを見つけるというタスクが与えられます。これは非常に簡単です。100 になる数値 10 を累乗して累乗を選択する必要があります。もちろん、これは 10 2 = です。 100。

次に、この式を対数形式で表してみましょう。 log 10 100 = 2 が得られます。対数を解くとき、すべてのアクションは実質的に収束して、特定の数値を取得するために対数の底を入力する必要がある累乗を求めます。

未知の度数の値を正確に判断するには、度数テーブルの操作方法を学ぶ必要があります。次のようになります。

ご覧のとおり、技術的な知識と九九の知識があれば、一部の指数は直感的に推測できます。ただし、より大きな値の場合は、電力テーブルが必要になります。複雑な数学的トピックについてまったく知らない人でも使用できます。左の列には数値 (基数 a) が含まれており、数値の一番上の行は数値 a を累乗した c の値です。交点のセルには、答えとなる数値 (a c =b) が含まれています。たとえば、数字 10 の最初のセルを 2 乗すると、値 100 が得られます。これは 2 つのセルの交点に示されます。すべてがとてもシンプルで簡単なので、最も真のヒューマニストでも理解できるでしょう。

方程式と不等式

特定の条件下では、指数は対数になることがわかります。したがって、あらゆる数学的数値表現は対数等式として記述することができます。たとえば、3 4 =81 は、4 に等しい 81 の底 3 の対数として書くことができます (log 3 81 = 4)。負の累乗の場合もルールは同じです。2 -5 = 1/32 を対数として書くと、log 2 (1/32) = -5 が得られます。数学の最も魅力的なセクションの 1 つは、「対数」のトピックです。以下の方程式の性質を調べた直後に、その例と解を見ていきます。ここで、不等式がどのようなものか、そして不等式と方程式を区別する方法を見てみましょう。

次の式が与えられます: log 2 (x-1) > 3 - 未知の値「x」は対数符号の下にあるため、これは対数不等式です。また、この式では 2 つの量が比較されます。目的の数値の底 2 に対する対数は、数値 3 よりも大きいです。

対数方程式と不等式の最も重要な違いは、対数を含む方程式 (たとえば、対数 2 x = √9) は答えに 1 つ以上の特定の数値を暗示するのに対し、不等式を解く際には両方の許容範囲が暗示されることです。値とポイントはこの関数を破って決定されます。結果として、答えは方程式の答えのような単純な個々の数値のセットではなく、連続する一連の数値または数値のセットになります。

対数に関する基本定理

対数の値を求めるという原始的なタスクを解決する場合、その特性がわからない場合があります。ただし、対数方程式や不等式に関しては、まず対数の基本的な性質をすべて明確に理解し、実際に適用する必要があります。後ほど方程式の例を見ていきますが、まず各プロパティを詳しく見てみましょう。

主な恒等式は次のようになります: a logaB =B。これは、a が 0 より大きく 1 ではなく、B が 0 より大きい場合にのみ適用されます。
積の対数は、次の式で表すことができます: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2。この場合、必須の条件は次のとおりです: d、s 1、および s 2 > 0。 a≠1。この対数公式を例と解法を使って証明することができます。 log a s 1 = f 1 および log a s 2 = f 2 とすると、a f1 = s 1、a f2 = s 2 となります。 s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (次のプロパティ) が得られます。度 )、そして定義により、 log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2、これが証明する必要があるものです。
商の対数は次のようになります: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2。
数式の定理は次の形式になります: log a q b n = n/q log a b。

この式を「対数の次数の性質」といいます。これは通常の学位の特性に似ていますが、すべての数学は自然公準に基づいているため、これは驚くべきことではありません。証明を見てみましょう。

log a b = t とすると、a t =b になります。両方の部分を m 乗すると、次のようになります。 a tn = b n ;

しかし、 a tn = (a q) nt/q = b n なので、log a q b n = (n*t)/t となり、log a q b n = n/q log a b となります。定理は証明されました。

問題と不平等の例

対数に関する最も一般的なタイプの問題は、方程式と不等式の例です。ほぼすべての問題集に掲載されており、数学の試験でも必須となります。大学に入学したり、数学の入学試験に合格したりするには、そのような問題を正しく解く方法を知る必要があります。

残念ながら、対数の未知の値を解いて決定するための単一の計画やスキームはありませんが、特定のルールを各数学的不等式または対数方程式に適用できます。まず第一に、式を簡略化できるか、または一般的な形式に縮小できるかどうかを確認する必要があります。プロパティを正しく使用すれば、長い対数式を簡略化できます。早速彼らについて知りましょう。

対数方程式を解くときは、どのような種類の対数があるかを決定する必要があります。式の例には、自然対数または小数の対数が含まれている場合があります。

ln100、ln1026 の例を次に示します。彼らの解決策は、要するに、底の 10 がそれぞれ 100 と 1026 に等しくなるべき乗を決定する必要があるという事実に帰着します。自然対数を解くには、対数恒等式またはそのプロパティを適用する必要があります。さまざまなタイプの対数問題を解く例を見てみましょう。

対数公式の使い方: 例と解決策付き

それでは、対数に関する基本定理の使用例を見てみましょう。

積の対数の特性は、数値 b の大きな値をより単純な因数に分解する必要があるタスクで使用できます。たとえば、log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512。答えは 9 です。
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - ご覧のとおり、対数累乗の 4 番目のプロパティを使用して、一見複雑で解けない式をなんとか解くことができました。底を因数分解して、対数の符号から指数値を取り出すだけです。

統一州試験の課題

対数は入学試験でよく出題され、特に統一州試験（学校卒業生全員を対象とした州試験）では対数の問題が多く出題されます。通常、これらのタスクはパート A (試験の最も簡単なテスト部分) だけでなく、パート C (最も複雑で量の多いタスク) にも存在します。試験では、「自然対数」というトピックについての正確かつ完璧な知識が必要です。

問題の例と解決策は、統一州試験の公式バージョンから引用されています。このようなタスクがどのように解決されるかを見てみましょう。

log 2 (2x-1) = 4 と仮定します。解決策:
式を少し単純化して書き直してみましょう。 log 2 (2x-1) = 2 2、対数の定義により、2x-1 = 2 4 となるため、2x = 17 となります。 x = 8.5。

解決策が煩雑で混乱しないように、すべての対数を同じ底に換算することが最善です。
対数記号の下の式はすべて正として示されるため、対数記号の下にある式の底となる指数を乗数として取り出すとき、対数記号の下に残る式は正でなければなりません。

a を底とする正の数 b の対数 (a>0、a は 1 に等しくない) は、a c = b となる数 c です。 log a b = c ⇔ a c = b (a > 0、a ≠ 1、b) > 0)

正でない数の対数は定義されていないことに注意してください。さらに、対数の底は 1 に等しくない正の数である必要があります。たとえば、-2 を 2 乗すると数値 4 が得られますが、これは 4 の底 -2 の対数が等しいという意味ではありません。 2へ。

基本対数恒等式

a log a b = b (a > 0、a ≠ 1) (2)

この式の右辺と左辺の定義範囲が異なることが重要です。左辺は b>0、a>0、a ≠ 1 についてのみ定義されます。右辺は任意の b について定義され、a にはまったく依存しません。したがって、方程式や不等式を解くときに基本的な対数「恒等式」を適用すると、OD が変化する可能性があります。

対数の定義の 2 つの明らかな結果

log a a = 1 (a > 0、a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0、a ≠ 1) (4)

確かに、数値 a を 1 乗すると同じ数値が得られ、0 乗すると 1 が得られます。

積の対数と商の対数

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0、a ≠ 1、b > 0、c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0、a ≠ 1、b > 0、c > 0) (6)

対数方程式や不等式を解く際に、これらの公式を軽率に使用しないように小学生に警告したいと思います。これらを「左から右」に使用すると、ODZ は狭くなり、対数の和または差から積または商の対数に移動すると、ODZ は拡大します。

実際、式 log a (f (x) g (x)) は、両方の関数が厳密に正である場合、または f(x) と g(x) が両方とも 0 未満である場合の 2 つの場合で定義されます。

この式を合計 log a f (x) + log a g (x) に変換すると、f(x)>0 および g(x)>0 の場合にのみ制限する必要があります。許容値の範囲が狭くなり、解が失われる可能性があるため、これは絶対に受け入れられません。同様の問題が式 (6) にも存在します。

対数の符号から次数を取り出すことができます

log a b p = p log a b (a > 0、a ≠ 1、b > 0) (7)

そしてもう一度正確性を求めたいと思います。次の例を考えてみましょう。

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

等式の左辺は、ゼロを除く f(x) のすべての値に対して明らかに定義されます。右辺は f(x)>0 の場合のみです。対数から次数を取り除くことによって、ODZ を再び狭めます。逆の手順を実行すると、許容値の範囲が拡大します。これらすべての注釈は、2 乗だけでなく、任意の偶数乗にも当てはまります。

新しい基盤に移行するための公式

log a b = log c b log c a (a > 0、a ≠ 1、b > 0、c > 0、c ≠ 1) (8)

変換中に ODZ が変更されないというまれなケース。基数 c を賢明に選択した場合 (正であり、1 に等しくありません)、新しい基数に移動する式は完全に安全です。

新しい基数 c として数値 b を選択すると、式 (8) の重要な特殊ケースが得られます。

log a b = 1 log b a (a > 0、a ≠ 1、b > 0、b ≠ 1) (9)

対数を使った簡単な例

例 1. log2 + log50 を計算します。
解決。 log2 + log50 = log100 = 2。対数の和の公式 (5) と 10 進対数の定義を使用しました。

例 2. lg125/lg5 を計算します。
解決。 log125/log5 = log 5 125 = 3. 新しい拠点に移動するための公式 (8) を使用しました。

対数に関する公式の一覧表

a log a b = b (a > 0、a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0、a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0、a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0、a ≠ 1、b > 0、c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0、a ≠ 1、b > 0、c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0、a ≠ 1、b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0、a ≠ 1、b > 0、c > 0、c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0、a ≠ 1、b > 0、b ≠ 1)

引き続き対数の勉強をしていきます。この記事では、 対数の計算、このプロセスはと呼ばれます対数。まず、対数の計算の定義を理解します。次に、対数のプロパティを使用して対数の値を求める方法を見てみましょう。この後、最初に指定した他の対数の値を使用して対数を計算することに焦点を当てます。最後に、対数表の使い方を学びましょう。理論全体が、詳細な解決策を含む例とともに提供されます。

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定義による対数の計算

最も単純なケースでは、非常に迅速かつ簡単に実行できます。 定義により対数を求める。このプロセスがどのように起こるかを詳しく見てみましょう。

その本質は、数値 b を a c の形式で表すことであり、対数の定義により、数値 c は対数の値になります。つまり、定義により、次の一連の等式は対数を求めることに対応します: log a b=log a a c =c。

したがって、定義による対数の計算は、a c = b となる数値 c を見つけることになり、数値 c 自体が対数の目的の値になります。

前の段落の情報を考慮すると、対数記号の下の数値が対数の底の特定の累乗で与えられる場合、その対数が何に等しいか、つまり指数に等しいかをすぐに示すことができます。例に対する解決策を示しましょう。

例。

log 2 2 −3 を求め、数値 e 5,3 の自然対数も計算します。

解決。

対数の定義により、すぐに log 2 2 −3 =−3 と言えるようになります。実際、対数記号の下の数値は、底 2 の -3 乗に等しくなります。

同様に、2 番目の対数 lne 5.3 =5.3 を求めます。

答え：

log 2 2 −3 =−3 および lne 5,3 =5,3。

対数記号の下の数値 b が対数の底のべき乗として指定されていない場合は、数値 b を a c の形式で表現できるかどうかを注意深く調べる必要があります。多くの場合、この表現は非常に明白であり、特に対数記号の下の数値が底の 1 乗、2 乗、または 3 乗などに等しい場合には顕著です。

例。

対数 log 5 25 、およびを計算します。

解決。

25=5 2 であることが簡単にわかります。これにより、最初の対数、log 5 25=log 5 5 2 =2 を計算できます。

2番目の対数の計算に進みましょう。この数値は 7 の累乗で表すことができます。 (必要に応じて参照してください)。したがって、 .

第三対数を次の形に書き換えてみましょう。今ならそれがわかります、そこから次のように結論付けられます。。したがって、対数の定義により、 .

簡単に言うと、ソリューションは次のように記述できます。

答え：

ログ 5 25=2 、そして .

対数符号の下に十分に大きな自然数がある場合、それを素因数に因数分解しても問題はありません。多くの場合、このような数値を対数の底の累乗として表すと、定義に従ってこの対数を計算するのに役立ちます。

例。

対数値を求めます。

解決。

対数の一部のプロパティを使用すると、対数の値をすぐに指定できます。これらの特性には、1 の対数の特性と底に等しい数値の対数の特性が含まれます: log 1 1=log a a 0 =0 および log a a=log a a 1 =1。つまり、対数の符号の下に数値 1 または対数の底に等しい数値 a がある場合、これらの場合、対数はそれぞれ 0 と 1 に等しくなります。

例。

対数と log10 は何に等しいですか?

解決。

以来、対数の定義から次のようになります。 .

2 番目の例では、対数記号の下の数値 10 はその底と一致するため、10 の 10 進対数は 1 に等しくなります。つまり、lg10=lg10 1 =1 となります。

答え：

そして lg10=1 。

定義による対数の計算 (前の段落で説明した) は、対数の特性の 1 つである等価 log a a p =p の使用を意味することに注意してください。

実際に、対数符号の下の数値と対数の底を特定の数の累乗として簡単に表す場合、次の公式を使用すると非常に便利です。、これは対数の特性の 1 つに対応します。この式の使用法を示す対数を求める例を見てみましょう。

例。

対数を計算します。

解決。

答え：

上記以外の対数の性質も計算に使用されますが、これについては次の段落で説明します。

他の既知の対数から対数を求める

この段落の情報は、対数を計算する際の対数のプロパティの使用に関するトピックの続きです。ただし、ここでの主な違いは、対数の特性を使用して、元の対数を別の対数で表現し、その値が既知であることです。説明のために例を挙げてみましょう。 log 2 3≈1.584963 であることがわかっているとします。次に、対数のプロパティを使用して少し変換を行うことで、たとえば log 2 6 を見つけることができます。 log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

上の例では、積の対数の特性を使用するだけで十分でした。ただし、与えられた対数を使用して元の対数を計算するには、より広範な対数特性を使用する必要があることがよくあります。

例。

log 60 2=a および log 60 5=b であることがわかっている場合は、27 を底とする 60 の対数を計算します。

解決。

したがって、ログ 60 27 を見つける必要があります。 27 = 3 3 であることが簡単に分かります。また、べき乗の対数の性質により、元の対数は 3・log 60 3 として書き換えることができます。

ここで、log 60 3 を既知の対数で表現する方法を見てみましょう。底に等しい数値の対数の性質により、等価対数 60 60=1 を書くことができます。一方、log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2・log 60 2+log 60 3+log 60 5 。したがって、 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1。したがって、 log 60 3=1−2・log 60 2−log 60 5=1−2・a−b.

最後に、元の対数を計算します: log 60 27=3 log 60 3= 3・(1−2・a−b)=3−6・a−3・b.

答え：

log 60 27=3・(1−2・a−b)=3−6・a−3・b.

これとは別に、次の形式の対数の新しい底への移行式の意味について言及する価値があります。。これにより、任意の底をもつ対数から、値が既知であるか、値を見つけることが可能な特定の底をもつ対数に移動することができます。通常、元の対数から、遷移公式を使用して、底 2、e、または 10 のいずれかの対数に移動します。これらの底には、値をある程度の精度で計算できる対数の表があるためです。正確さ。次の段落では、これがどのように行われるかを示します。

対数表とその用途

対数値の近似計算に使用できます 対数表。最も一般的に使用される底 2 の対数表、自然対数表、および 10 進対数表。 10 進数システムで作業する場合、10 を底とする対数の表を使用すると便利です。その助けを借りて、対数の値を見つける方法を学びます。

表示された表を使用すると、1,000 から 9,999 (小数点以下 3 桁) までの数値の小数対数値を 10,000 分の 1 の精度で見つけることができます。特定の例を使用して、10 進対数の表を使用して対数の値を見つける原理を分析します。この方がより明確です。 log1.256を探してみましょう。

10 進対数の表の左の列には、数値 1.256 の最初の 2 桁、つまり 1.2 が見つかります (わかりやすくするために、この数値は青で囲まれています)。数値 1.256 の 3 桁目 (桁 5) は、二重線の左側の最初または最後の行にあります (この数値は赤で囲まれています)。元の数値 1.256 の 4 桁目 (桁 6) は、二重線の右側の最初または最後の行にあります (この数値は緑色の線で囲まれています)。ここで、対数表のマークされた行とマークされた列の交点にあるセル内の数値を見つけます (これらの数値はオレンジ色で強調表示されています)。マークされた数値の合計により、小数点第 4 位まで正確な 10 進対数の目的の値が得られます。 log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

上の表を使用して、小数点以下 3 桁を超える数値や、1 から 9.999 の範囲を超える数値の 10 進対数の値を見つけることはできますか? はい、できます。これがどのように行われるかを例で示してみましょう。

lg102.76332を計算してみましょう。まず書き留める必要があります 標準形式の数値：102.76332=1.0276332・10 ２．この後、仮数は小数点第 3 位に四捨五入する必要があります。 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, 一方、元の 10 進対数は、結果の数値の対数にほぼ等しくなります。つまり、log102.76332≈lg1.028·10 2 となります。次に、対数のプロパティを適用します。 lg1.028・10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2。最後に、10 進対数 lg1.028 ≈0.0086+0.0034=0.012 の表から対数 lg1.028 の値を求めます。その結果、対数を計算するプロセス全体は次のようになります。 log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

結論として、10 進対数の表を使用すると、任意の対数の近似値を計算できることは注目に値します。これを行うには、遷移公式を使用して 10 進対数に移動し、表でその値を見つけて、残りの計算を実行するだけで十分です。

たとえば、log 2 3 を計算してみましょう。対数の新しい底への移行公式によれば、次のようになります。 10 進対数の表から、log3 ≈ 0.4771 および log2 ≈ 0.3010 がわかります。したがって、 .

参考文献。

コルモゴロフ A.N.、アブラモフ A.M.、ドゥドニーツィン Yu.P. 代数と解析の初歩: 一般教育機関の 10 年生から 11 年生向けの教科書。
グセフ V.A.、モルドコビッチ A.G. 数学（専門学校入学者向けマニュアル）。

対数方程式！ 対数とは何ですか?