数式の算術平均数列。代数進行

21.10.2019

等差数列と等比数列

理論情報

理論情報

	等差数列	幾何級数
意味	等差数列あ、ん 2 番目から始まる各メンバーが、同じ番号に前のメンバーを加算したものと等しいシーケンスです。 d (d- 進行度の差)	幾何級数 bnゼロ以外の数値のシーケンスであり、2 番目から始まる各項は、前の項に同じ数値を乗算したものと等しくなります。 q (q- 進行の分母)
漸化式	あらゆるナチュラルに n a n + 1 = a n + d	あらゆるナチュラルに n b n + 1 = b n ∙ q、b n ≠ 0
式n項	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1、b n ≠ 0
特徴的な性質
最初の n 項の合計

コメント付きタスクの例

タスク 1

等差数列では ( あ、ん) 1 = -6, 2

n番目の項の式によれば、次のようになります。

22 = 1+ d (22 - 1) = 1+ 21日

条件によると：

1= -6 の場合 22= -6 + 21 d 。

進行の違いを見つける必要があります。

d = 2 – 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

答え： 22 = -48.

タスク 2

等比数列の 5 番目の項を見つけます: -3; 6;....

第1の方法（n項公式を使用）

等比数列の n 項の公式によると、次のようになります。

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

なぜなら b1 = -3,

2番目の方法（漸化式を使用）

数列の分母は -2 (q = -2) なので、次のようになります。

b3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b5 = 24 ∙ (-2) = -48.

答え： b5 = -48.

タスク 3

等差数列では ( a n ) a 74 = 34; 76= 156. この数列の 75 番目の項を見つけます。

等差数列の場合、特性プロパティは次の形式になります。 .

このことから、次のようになります。

データを式に代入してみましょう。

答え：95。

タスク 4

等差数列では ( a n ) a n= 3n - 4. 最初の 17 項の合計を求めます。

等差数列の最初の n 項の合計を求めるには、2 つの公式が使用されます。

この場合、どちらを使用するのがより便利ですか?

条件によって、元の数列の n 番目の項の公式がわかります ( あ、ん) あ、ん= 3n - 4. すぐに見つけることができ、 1、そして 16 dが見つからずに。したがって、最初の式を使用します。

答え：368。

タスク5

等差数列では( あ、ん) 1 = -6; 2= -8。進行の第 22 項を見つけます。

n番目の項の式によれば、次のようになります。

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = 1+21日。

条件によっては、 1= -6 の場合 22= -6 + 21d 。進行の違いを見つける必要があります。

d = 2 – 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

答え： 22 = -48.

タスク6

等比数列のいくつかの連続した項が書かれます。

x というラベルが付いた数列の項を見つけます。

解くときはn次項の公式を使います。 b n = b 1 ∙ q n - 1等比数列の場合。進行の第一期。数列 q の分母を見つけるには、数列の指定された項のいずれかを取得し、前の項で割る必要があります。この例では、を取得して除算できます。 q = 3 が得られます。与えられた等比数列の 3 番目の項を見つける必要があるため、式では n の代わりに 3 を代入します。

見つかった値を式に代入すると、次のようになります。

答え：。

タスク 7

第n項の式で与えられる等差数列のうち、条件を満たすものを選択する 27 > 9:

与えられた条件は数列の 27 番目の項で満たされる必要があるため、4 つの数列のそれぞれで n の代わりに 27 を代入します。 4 番目の進行では次のようになります。

答え: 4.

タスク8

等差数列で 1= 3、d = -1.5。不等式が成り立つ n の最大値を指定しますあ、ん > -6.

等差数列の合計。

等差数列の和は単純なものです。意味的にも式的にも。しかし、このトピックに関してはあらゆる種類のタスクがあります。ベーシックなものからかなりしっかりしたものまで。

まずは金額の意味と計算式を理解しましょう。そしてそれから私たちが決めます。あなた自身の楽しみのために。）金額の意味は、mooと同じくらい単純です。等差数列の和を求めるには、そのすべての項を注意深く追加するだけです。これらの項が少ない場合は、数式を使用せずに加算できます。しかし、たくさんある場合、またはたくさんある場合...足し算は面倒です。) この場合、公式が役に立ちます。

金額の計算式は簡単です。

数式にはどんな文字が含まれているのか見てみましょう。これでかなりすっきりします。

Sn - 等差数列の合計。加算結果 みんなメンバーと、初めによる 最後。これは重要です。それらは正確に合計されます全て飛ばしたり飛ばしたりすることなく、メンバーを一列に並べます。そして、正確には、から始めて、 初め。 3 番目と 8 番目の項の合計、または 5 番目から 20 番目の項の合計を求めるような問題では、公式を直接適用すると期待外れになります)。

1 - 初めプログレッションのメンバー。ここではすべてが明確です、簡単です初め行番号。

あ、ん- 最後プログレッションのメンバー。シリーズの最終号。あまり聞きなれない名前ですが、金額に当てはめるととてもぴったりです。そうすればあなた自身の目でわかります。

n - 最後のメンバーの番号。この数式では、この数値が は追加された項の数と一致します。

コンセプトを定義しましょう最後メンバー あ、ん。難しい質問: メンバーは誰になるのか 最後のもの与えられれば 無限の等差数列?)

自信を持って答えるには、等差数列の基本的な意味を理解し、タスクを注意深く読む必要があります。)

等差数列の和を求めるタスクでは、最後の項が常に (直接的または間接的に) 現れます。 それは制限されるべきです。それ以外の場合は、最終的な具体的な金額 単に存在しないだけです。解の場合、進行が有限か無限かは関係ありません。一連の数値や n 番目の項の式など、その与え方は関係ありません。

最も重要なことは、この式が数列の最初の項から数字の項まで機能することを理解することです。 n.実際、式の完全な名前は次のようになります。 等差数列の最初の n 項の合計。これらの最初のメンバーの数、つまり n、タスクによってのみ決定されます。タスクでは、この貴重な情報はすべて暗号化されることがよくあります...しかし、気にしないでください。以下の例では、これらの秘密が明らかになります。)

等差数列の和に関するタスクの例。

まず最初に、役立つ情報:

等差数列の和を伴うタスクの主な困難は、式の要素を正しく決定することにあります。

タスクの作成者は、まさにこれらの要素を無限の想像力で暗号化します。）ここで重要なことは、恐れないことです。要素の本質を理解するには、それらを解読するだけで十分です。いくつかの例を詳しく見てみましょう。実際の GIA に基づいたタスクから始めましょう。

1. 等差数列は、次の条件によって与えられます: a n = 2n-3.5。最初の 10 項の合計を求めます。

よくやった。簡単です。) 公式を使用して金額を決定するには、何を知る必要がありますか? 最初のメンバー 1、前期 あ、ん、はい、最後のメンバーの番号です n.

最後の会員番号はどこで入手できますか? n? はい、その通りです、条件付きで！それは言う：合計を見つけてください 最初の10人のメンバー。さて、何番になるでしょうか？ 最後、 10人目のメンバー？）信じられないでしょう、彼の番号は10人目です！）したがって、代わりに あ、ん式に代入していきます 10、そして代わりに n- 10。繰り返しますが、最後のメンバーの番号はメンバーの数と一致します。

決定はまだ残っています 1そして 10。これは、問題文に示されている n 項の公式を使用して簡単に計算できます。やり方がわかりませんか? 前回のレッスンに参加してください。これなしではどうしようもありません。

1= 2 1 - 3.5 = -1.5

10=2・10 - 3.5 =16.5

Sn = S10.

等差数列の和を求める公式のすべての要素の意味がわかりました。残っているのは、それらを代入して数えることだけです。

それでおしまい。答え：75。

GIA に基づく別のタスク。もう少し複雑です:

2. 等差数列 (a n) が与えられると、その差は 3.7 になります。ａ１＝２．３。最初の 15 項の合計を求めます。

すぐに合計の式を書きます。

この式を使用すると、任意の項の値をその番号によって見つけることができます。単純な置換を探します。

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

残っているのは、すべての要素を等差数列の和の式に代入して答えを計算することだけです。

答え：423。

ちなみに、の代わりに合計式の場合 あ、ん n 番目の項を式に置き換えるだけで、次の結果が得られます。

同様のものを提示して、等差数列の項の和の新しい公式を取得してみましょう。

ご覧のとおり、ここでは n 番目の項は必要ありません あ、ん。問題によっては、この公式が非常に役立つことがあります。この公式を覚えておいてください。または、ここのように適切なタイミングで表示することもできます。結局のところ、和の公式とn番目の項の公式は常に覚えておく必要があります。)

タスクは短い暗号化の形式になります):

3. 3 の倍数であるすべての正の 2 桁の数値の合計を求めます。

おお！最初のメンバーでも、最後のメンバーでも、全然進まない…どうやって生きていくのか！

頭で考えて、条件から等差数列の和の要素をすべて取り出す必要があります。私たちは 2 桁の数字が何であるかを知っています。 2 つの数字で構成されています。) 2 桁の数字は何になりますか? 初め? おそらく 10 です。) 最後二桁の数字？もちろん99です！三桁の奴らは彼を追うだろう…

3 の倍数... うーん... これは 3 で割り切れる数です。 10は3で割り切れません、11は割り切れません…12は…割り切れます！それで、何かが浮かび上がってきます。問題の条件に応じて系列を書き留めることができます。

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

この数列は等差数列になりますか? 確かに！各用語は前の用語と厳密に 3 つの点が異なります。たとえば、項に 2 または 4 を追加すると、結果は次のようになります。新しい数値は 3 で割り切れなくなります。等差数列の違いをすぐに判断できます。 d = 3。重宝しますよ！）

したがって、いくつかの進行パラメータを安全に書き留めることができます。

番号は何になりますか? n最後のメンバー？ 99 が致命的な間違いだと思っている人はいません... 数字は常に連続していますが、私たちのメンバーは 3 つを飛び越えます。一致しません。

ここには 2 つの解決策があります。 1 つは、超勤勉な人のための方法です。進行状況や一連の数字全体を書き留めたり、指でメンバーの数を数えたりすることができます。) 2 番目の方法は、思慮深い人向けです。 n項の公式を覚えておく必要があります。この公式を問題に適用すると、99 が数列の 30 番目の項であることがわかります。それらの。 n = 30。

等差数列の和の公式を見てみましょう。

私たちは見て喜びます。) 金額を計算するために必要なすべてを問題文から取り出しました。

1= 12.

30= 99.

Sn = 小30.

残るは初歩的な算数だけだ。数値を式に代入して計算します。

答え: 1665

別の種類の人気のあるパズル:

4. 等差数列を考えると:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

20 番目から 34 番目までの項の合計を求めます。

私たちは金額の計算式を見て...動揺します。) 念のため言っておきますが、この計算式は金額を計算するものです 最初からメンバー。そして問題では合計を計算する必要があります 二十代から…公式は成り立ちません。

もちろん、すべての進行をシリーズで書き出して、20 から 34 までの用語を追加することもできます。しかし、それはなんだか愚かで時間がかかりますよね?)

もっとエレガントな解決策があります。シリーズを 2 つのパートに分けてみましょう。最初の部分は次のようになります 第一期から第十九期まで。第二部 - 二十時から三十四時まで。最初の部分の項の合計を計算すると、次のことが明らかです。 S1-19、後半の項の合計と足してみます。 小20-34、最初の項から 34 番目の項までの進行の合計を取得します。 S1-34。このような：

S1-19 + 小20-34 = S1-34

これから、合計を求めることがわかります 小20-34単純な引き算で実行できます

小20-34 = S1-34 - S1-19

右側の両方の金額が考慮されます 最初からメンバー、つまり標準的な合計公式はそれらに非常に当てはまります。始めましょう?

問題文から進行パラメータを抽出します。

d = 1.5。

1= -21,5.

最初の 19 項と最初の 34 項の合計を計算するには、19 番目と 34 番目の項が必要になります。問題 2 と同様に、n 番目の項の式を使用してそれらを計算します。

19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

何も残っていない。 34 項の合計から 19 項の合計を引きます。

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

答え: 262.5

重要な注意事項が 1 つあります。この問題を解決するには非常に便利なトリックがあります。直接計算する代わりに 必要なもの (S 20-34)、私たちは数えました 必要ないと思われるもの - S 1-19。そして彼らは決意した 小20-34、完全な結果から不要なものを破棄します。この種の「耳を使ったフェイント」により、厄介な問題を回避できることがよくあります。)

今回は等差数列の和の意味が理解できれば十分な問題を取り上げました。そうですね、いくつかの公式を知っておく必要があります。)

実践的なアドバイス:

等差数列の和に関する問題を解くときは、このトピックの 2 つの主要な公式をすぐに書き出すことをお勧めします。

n番目の項の式:

これらの公式は、問題を解決するために何を調べ、どの方向に考えるべきかをすぐに示します。役立ちます。

そして今度は独立した解決策のタスクです。

5. 3 で割り切れないすべての 2 桁の数値の合計を求めます。

クール?) ヒントは問題 4 のメモに隠されています。まあ、問題 3 が役立つでしょう。

6. 等差数列は、次の条件によって与えられます。 a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5。最初の 24 項の合計を求めます。

珍しい?) これは反復式です。これについては、前のレッスンで読むことができます。リンクを無視しないでください。このような問題は州科学アカデミーでよく見つかります。

7. ヴァシャは休暇のためにお金を貯めました。なんと4550ルーブル！そして大好きな人（自分）に数日間の幸せを与えることにした）。自分を否定せずに美しく生きましょう。初日に 500 ルーブルを費やし、その後の毎日は前の日よりも 50 ルーブル多く費やします。お金がなくなるまで。ヴァシャは何日間幸せを感じましたか？

難しいですか?) 問題 2 の追加公式が役に立ちます。

答え（混乱中）：7、3240、6。

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ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)

例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。即時検証によるテスト。興味を持って学びましょう！）

関数と導関数について知ることができます。

注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）

等差数列とは、各数値が前の数値よりも同じ量だけ大きい (または小さい) 一連の数値です。

このトピックは複雑で理解できないように思えることがよくあります。文字のインデックス、数列の n 番目の項、数列の差 - これはすべてどういうわけか混乱しています、そうです...等差数列の意味を理解しましょう。そうすればすべてがすぐに良くなります。)

等差数列の概念。

等差数列は非常に単純かつ明確な概念です。何か疑問はありますか？無駄です。) 自分の目で確かめてください。

未完成の一連の数字を書きます。

1, 2, 3, 4, 5, ...

このシリーズを拡張してもらえますか？ 5 の次に来る数字は何ですか? 皆さん…えーっと、つまり、次は６、７、８、９…という数字が来るということは皆さんわかります。

タスクを複雑にしてみましょう。未完成の一連の数字をあげます。

2, 5, 8, 11, 14, ...

パターンを把握し、シリーズを拡張し、名前を付けることができるようになります 7番目行番号?

この数字が 20 であることがわかった方は、おめでとうございます。感じただけでなく、 等差数列の重要なポイントビジネスでもうまく活用できました！よく分からない場合は、読み続けてください。

では、感覚から得た重要なポイントを数学に変換してみましょう。）

最初のキーポイント。

等差数列は一連の数値を扱います。これは最初は混乱します。私たちは方程式を解いたり、グラフを描いたりすることに慣れています...しかしここでは級数を拡張し、級数の数を求めます...

大丈夫です。ただ、数列は数学の新しい分野に初めて出会うものです。このセクションは「シリーズ」と呼ばれ、特に一連の数値と式を処理します。慣れてください。）

2 番目の重要なポイント。

等差数列では、どの数値も前の数値とは異なります 同額で。

最初の例では、この違いは 1 です。どの数字を選んでも、前の数字より 1 つ増えます。 2番目から3番目。どの数字も前の数字より 3 つ大きくなります。実際、この瞬間こそがパターンを把握し、その後の数字を計算する機会を与えてくれます。

3つ目のキーポイント。

この瞬間は、驚くべきものではありません、そうです...しかし、それは非常に非常に重要です。ここにあります： 各進行番号はその場所にあります。最初の番号、7 番目の番号、45 番目の番号などがあります。ランダムに混ぜると模様が消えてしまいます。等差数列も消えてしまいます。残っているのは単なる数字の羅列です。

それが要点です。

もちろん、新しいトピックには新しい用語や名称が登場します。それらを知る必要があります。そうしないと、そのタスクを理解できなくなります。たとえば、次のようなことを決定する必要があります。

a 2 = 5、d = -2.5 の場合、等差数列 (a n) の最初の 6 項を書き留めます。

インスピレーションを与えてくれますか?) 手紙、いくつかのインデックス...ちなみに、その作業はこれ以上に簡単なものではありません。用語と名称の意味を理解する必要があるだけです。さて、この問題をマスターして、タスクに戻ります。

用語と名称。

等差数列それぞれの数字が前の数字とは異なる一連の数字です 同額で。

この量はと呼ばれます。この概念をさらに詳しく見てみましょう。

等差数列の違い。

等差数列の違い任意の累進数の量です。 もっと前のやつ。

重要な点が 1 つあります。という言葉に注目してください "もっと"。数学的には、これは各数列数が次のとおりであることを意味します。 追加することで前の数値との等差数列の差。

計算するには、次のようにします。 2番シリーズの番号を指定する必要があります。初め番号追加まさにこの等差数列の違いです。計算用 5番目- 違いは必要です追加に 4番目、まあ、など

等差数列の違い多分 ポジティブ、そうすれば、シリーズ内の各数字は実数であることがわかります 前作よりも。この進行はと呼ばれます 増加しています。例えば：

8; 13; 18; 23; 28; .....

ここで各数値が得られます 追加することで正の数、前の数値に +5。

違いは次のとおりです。 ネガティブ、この場合、系列内の各数値は次のようになります。 前回よりも少ないです。この進行は (信じられないでしょう!) と呼ばれます。 減少しています。

例えば：

8; 3; -2; -7; -12; .....

ここでも各数値を取得します 追加することで前の値に戻りますが、すでに負の数 -5 になっています。

ちなみに、進行状況を扱う場合、その性質、つまり増加しているのか減少しているのかを即座に判断するのは非常に便利です。これは、決断を下し、手遅れになる前に間違いを見つけて修正するのに非常に役立ちます。

等差数列の違い通常は文字で表されます d.

見つけ方 d? とてもシンプルです。系列内の任意の数値から減算する必要があります前の番号。引き算します。ちなみに引き算した結果を「差分」といいます。）

たとえば、次のように定義しましょう。 d等差数列を増やす場合:

2, 5, 8, 11, 14, ...

たとえば 11 など、系列内の任意の数値を取得します。そこから減算します。 前の番号それらの。 8:

これが正解です。この等差数列では、その差は 3 です。

受け取ってもいいよ 任意の進行番号、なぜなら特定の進行のために d-いつも同じです。少なくとも行の先頭のどこか、少なくとも真ん中、少なくともどこか。一番最初の番号だけを取得することはできません。単純に最初の数字だから 以前のものはありません。)

ちなみに、それを知ると、 d=3, この数列の 7 番目の数字を見つけるのは非常に簡単です。 5 番目の数字に 3 を足してみましょう - 6 番目の数字が得られ、それは 17 になります。 6 番目の数字に 3 を足すと、7 番目の数字 - 20 が得られます。

定義しましょう d降順等差数列の場合:

8; 3; -2; -7; -12; .....

兆候に関係なく、決定する必要があることを思い出してください。 d何からでも必要です 前のを取り除きます。任意のプログレッション番号 (-7 など) を選択します。彼の以前の番号は -2 です。それから：

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

等差数列の差は、整数、分数、無理数など、任意の数にすることができます。

その他の用語および指定。

系列の各番号は次のように呼ばれます。 等差数列のメンバー。

進行の各メンバー 独自の番号を持っています。数字は厳密に順序どおりに並べられており、トリックはありません。 1 番目、2 番目、3 番目、4 番目など。たとえば、数列 2、5、8、11、14、... では、2 が最初の項、5 が 2 番目、11 が 4 番目の項です、まあ、わかります...) はっきりと理解してください - 数字そのもの全体、分数、負など何でも構いませんが、 数字の番号付け- 厳密に順序通りに！

一般的な形式で進行を書くにはどうすればよいですか? 質問はありません！一連の数字はそれぞれ文字として書かれます。等差数列を表すには、通常、文字が使用されます。ある。会員番号は右下のインデックスで表示されます。次のように用語をカンマ (またはセミコロン) で区切って記述します。

1、2、3、4、5、....

1- これは最初の数字です、 3- 3番目など何も派手なことはありません。このシリーズは次のように簡単に書くことができます。 (a n).

進歩が起こる 有限と無限。

究極のプログレッションにはメンバーの数が限られています。 5人でも38人でも何でもいい。しかし、それは有限な数です。

無限 progression - ご想像のとおり、メンバーの数は無限です。)

次のような一連のすべての用語と最後にドットを使用して、最終的な進行を書くことができます。

1、2、3、4、5。

または、メンバーが多い場合は次のようになります。

1、2、... 14、15。

短いエントリでは、メンバーの数を追加で指定する必要があります。たとえば (20 人のメンバーの場合)、次のようになります。

(a n)、n = 20

このレッスンの例のように、無限進行は行の最後にある省略記号によって認識できます。

これでタスクを解決できるようになりました。タスクは単純で、純粋に等差数列の意味を理解するためのものです。

等差数列に関するタスクの例。

上記のタスクを詳しく見てみましょう。

1. a 2 = 5、d = -2.5 の場合、等差数列 (a n) の最初の 6 項を書き出します。

私たちはタスクをわかりやすい言語に翻訳します。無限等差数列が与えられます。この数列の 2 番目の数は既知です。 a 2 = 5。進行の違いは次のとおりです。 d = -2.5。この数列の第 1 項、第 3 項、第 4 項、第 5 項、および第 6 項を見つける必要があります。

わかりやすくするために、問題の条件に応じてシリーズを書き留めます。最初の 6 つの項 (2 番目の項は 5 つ):

1、5、3、4、5、6、...

3 = 2 + d

式に代入 a 2 = 5そして d = -2.5。マイナスも忘れずに！

3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

第 3 項は第 2 項よりも小さいことが判明しました。すべてが論理的です。数値が前の数値より大きい場合 ネガティブこれは、数値自体が前の数値よりも小さくなるということを意味します。進行度は減少しています。さて、それを考慮に入れてみましょう。) シリーズの 4 番目の項を数えます。

4 = 3 + d

4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = 4 + d

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + d

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

そこで、第 3 項から第 6 項までを計算しました。結果は次のシリーズになります。

1、5、2.5、0、-2.5、-5、...

最初の項を見つけることが残っています 1有名な第二の話によると。これは反対方向、つまり左へのステップです。) つまり、等差数列の違いは次のとおりです。 dに追加すべきではありません 2、A 取り除く：

1 = 2 - d

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

それでおしまい。課題の答え:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

ついでに、このタスクを解決したことを記しておきます。 再発する方法。この恐ろしい言葉は、進行中のメンバーを探すことだけを意味します 前の（隣接する）番号に応じて。以下では、進行を処理する他の方法を見ていきます。

この単純なタスクから 1 つの重要な結論を導き出すことができます。

覚えて：

少なくとも 1 つの項と等差数列の違いがわかっていれば、この数列の任意の項を見つけることができます。

覚えていますか？この単純な結論により、このトピックに関する学校のコースの問題のほとんどを解決できます。すべてのタスクは、次の 3 つの主要なパラメータを中心に展開します。 等差数列のメンバー、数列の差、数列のメンバーの数。全て。

もちろん、それまでの代数がすべてキャンセルされるわけではありません。）不等式、方程式、その他のものは数列に付加されます。しかし 進行そのものに従って- すべては 3 つのパラメータを中心に展開します。

例として、このトピックに関する人気のあるタスクをいくつか見てみましょう。

2. n=5、d = 0.4、および a 1 = 3.6 の場合、有限等差数列を級数として書きます。

ここではすべてがシンプルです。すべてはすでに与えられています。等差数列のメンバーがどのように数えられるかを覚えて、数えて、書き留める必要があります。タスク条件の「最終」と「」という単語を見逃さないことをお勧めします。 n=5"。顔が完全に青くなるまで数えないようにしてください。) この進行にはメンバーが 5 人しかいません:

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

4 = 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

5 = 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

答えを書き留める必要があります。

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

別のタスク:

3. 数値 7 が等差数列 (a n) のメンバーになるかどうかを判断します。 a 1 = 4.1; d = 1.2。

うーん...誰にも分かりません。何かをどうやって判断するのでしょうか？

どうやって... 進行状況をシリーズ形式で書き留めて、そこに 7 があるかどうかを確認してください。数えます：

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

4 = 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

今、私たちがまだ7歳であることがはっきりとわかります すり抜けた 6.5と7.7の間です！ 7 は一連の数字に当てはまらないため、7 は指定された数列のメンバーにはなりません。

答え: いいえ。

そして、これは GIA の実際のバージョンに基づいた問題です。

4. 等差数列のいくつかの連続した項が書き出されます。

...; 15; ×; 9; 6; ...

これは終わりも始まりもなく書かれたシリーズです。会員番号なしでも違いはありません d。大丈夫です。この問題を解くには、等差数列の意味を理解するだけで十分です。何が可能なのか見てみましょう 知ることこのシリーズから？ 3 つの主なパラメータは何ですか?

会員番号？ここには単一の数字はありません。

ただし、数字が 3 つあり、注意してください。 - 言葉 "一貫性のある"状態で。これは、数値が厳密に順序通りであり、隙間がないことを意味します。この列には2つありますか？隣の既知の数字？はい、あります！これらは 9 と 6 です。したがって、等差数列の差を計算できます。 6から引く前の番号、つまり九：

ほんの些細なことが残っています。 X の前の番号は何になりますか? 15。これは、X が単純な足し算で簡単に見つかることを意味します。等差数列の差を 15 に加算します。

それでおしまい。答え： x=12

以下の問題を私たち自身で解決します。注: これらの問題は公式に基づいていません。純粋に等差数列の意味を理解するためです。) 一連の数字と文字を書き留めて、それを見て理解するだけです。

5. a 5 = -3 の場合、等差数列の最初の正の項を見つけます。 d = 1.1。

6. 数字 5.5 は等差数列 (a n) のメンバーであることが知られています。ここで、a 1 = 1.6。 d = 1.3。このメンバーの番号 n を決定します。

7. 等差数列では、a 2 = 4 であることが知られています。 a 5 = 15.1。 3 を見つけます。

8. 等差数列のいくつかの連続した項が書き出されます。

...; 15.6; ×; 3.4; ...

文字 x で示される数列の項を見つけます。

9. 列車は駅から動き始め、毎分 30 メートルずつ速度を均一に上げました。 5分後の電車の速度はいくらになりますか? 答えをkm/時単位で答えてください。

10. 等差数列では、a 2 = 5 であることが知られています。 a 6 = -5。 1 を見つける.

回答 (混乱中): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

すべてうまくいきましたか？すばらしい！次のレッスンでは、より高いレベルで等差数列をマスターできます。

すべてがうまくいきませんでしたか？問題ない。特別セクション 555 では、これらすべての問題が少しずつ整理されています。) そしてもちろん、そのようなタスクの解決策を一目で明確に、明確に強調表示する簡単な実践的なテクニックが説明されています。

ところで、電車パズルにはつまずきやすい問題が2つあります。 1 つは純粋に進行に関するもので、2 つ目は数学や物理の問題全般に適用されます。これは、ある次元から別の次元への変換です。これらの問題をどのように解決すべきかを示します。

このレッスンでは、等差数列とその主なパラメータの基本的な意味を見ていきました。これで、このトピックに関するほとんどすべての問題を解決できます。追加 d数字に合わせて、シリーズを書けば、すべてが解決します。

このレッスンの例のように、フィンガーソリューションは行の非常に短い部分に適しています。シリーズが長くなると、計算はより複雑になります。たとえば、質問の問題 9 で次のように置き換えると、 「5分」の上 「35分」問題は大幅に悪化するでしょう。)

また、本質的には単純ですが、計算という点では不合理なタスクもあります。たとえば、次のとおりです。

等差数列 (a n) が与えられます。 a 1 =3 および d=1/6 の場合、121 を求めます。

それで、何回も 1/6 を追加するのですか?! 自殺してもいいの!?

できます。) このようなタスクを 1 分で解決できる簡単な公式を知らない場合。この式は次のレッスンで説明します。そしてこの問題はそこで解決されます。すぐに。）

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数学では、何らかの方法で編成された、互いに続く数値の集合を数列と呼びます。既存のすべての数列の中で、代数級数と等比数列という 2 つの興味深いケースが区別されます。

等差数列とは何ですか?

代数進行は、その性質が数学の分野である算術によって研究されるため、しばしば算術と呼ばれることをすぐに言わなければなりません。

この数列は、後続の各メンバーが前のメンバーと特定の定数だけ異なる一連の数字です。これを代数級数の差といいます。明確にするために、それをラテン文字 d で表します。

このようなシーケンスの例としては、3、5、7、9、11 ... があります。ここでは、数値 5 が数値 3 より 2 倍大きく、7 が 5 より 2 倍大きいことがわかります。すぐ。したがって、ここで示した例では、d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2 となります。

等差数列にはどのような種類がありますか?

これらの順序付けられた数列の性質は、主に数 d の符号によって決まります。次のタイプの代数列が区別されます。

d が正の場合 (d>0)、増加します。
d = 0 の場合は定数。
d が負の場合は減少します (d<0).

前の段落で示した例は、増加する進行を示しています。減少シーケンスの例は、次の一連の数字です: 10、5、0、-5、-10、-15 ... 定数進行は、その定義から分かるように、同一の数字の集合です。

進行のn期

考慮中の数列の後続の各数値は、前の数値と定数 d だけ異なるという事実により、その n 番目の項は簡単に決定できます。これを行うには、d だけでなく、数列の最初の項である 1 も知る必要があります。再帰的アプローチを使用すると、n 番目の項を見つけるための代数級数式を取得できます。 a n = a 1 + (n-1)*d のようになります。この式は非常にシンプルで直感的に理解できます。

使い方も難しくありません。たとえば、上記の数列 (d=2、a 1 =3) では、その 35 番目の項を定義します。式によれば、a 35 = 3 + (35-1)*2 = 71 となります。

金額の計算式

等差数列が与えられた場合、その最初の n 項の和は、n 番目の項の値の決定とともに頻繁に遭遇する問題です。代数級数の和の公式は、次の形式で記述されます: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2。ここで、記号 ∑ n 1 は、第 1 項から第 n 項までが合計されることを示します。

上記の式は、同じ再帰の特性に頼ることによって取得できますが、その妥当性を証明するより簡単な方法があります。この合計の最初の 2 項と最後の 2 項を数値 a 1、a n および d で表して書き留めてみましょう。a 1、a 1 +d、...、a n -d、a n が得られます。ここで、最初の項を最後の項に追加すると、2 番目と最後から 2 番目の項の合計、つまり a 1 +a n と正確に等しくなることに注意してください。同様に、3 番目の項と最後から 2 番目の項などを加算しても同じ合計が得られることがわかります。シーケンス内の数値のペアの場合、n/2 の和が得られ、それぞれは a 1 +a n に等しくなります。つまり、和の代数級数として上記の式 ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2 が得られます。

対になっていない項の数 n についても、説明した推論に従うと、同様の式が得られます。進行の中心にある残りの用語を忘れずに追加してください。

上で紹介した単純な数列 (3、5、7、9、11 ...) の例を使用して、上記の公式の使用方法を示しましょう。たとえば、最初の 15 項の合計を決定する必要があります。まず、15 を定義しましょう。 n 番目の項の式 (前の段落を参照) を使用すると、a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31 が得られます。これで、次の式を適用できます。代数級数の合計: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255。

興味深い歴史的事実を引用するのは興味深いことです。等差数列の和の公式は、カールガウス (18 世紀のドイツの有名な数学者) によって初めて得られました。彼がまだ 10 歳だったとき、先生は 1 から 100 までの数字の合計を求める問題を出しました。小さなガウスは、数字の最初と最後の数字を合計すればよいことに気づき、この問題を数秒で解決したと言われています。シーケンスをペアにすると、常に 101 が得られます。そのような合計は 50 個あるため、彼はすぐに答えを出しました: 50*101 = 5050。

問題解決の例

代数数列のトピックを完了するために、別の興味深い問題を解決する例を示し、それによって検討中のトピックの理解を強化します。差 d = -3 とその 35 項 a 35 = -114 が既知である特定の数列が与えられるとします。数列 a 7 の第 7 項を見つける必要があります。

問題の条件からわかるように、1 の値は不明なので、n 項の式をそのまま使用することはできません。再帰法も不便で、手動で実装するのは難しく、間違いを犯す可能性が高くなります。次のように進めましょう。a 7 と a 35 の式を書き出します。a 7 = a 1 + 6*d および a 35 = a 1 + 34*d となります。最初の式から 2 番目の式を減算すると、a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d が得られます。 a 7 = a 35 - 28*d となります。問題ステートメントの既知のデータを置き換えて、答えを書き留める必要があります: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30。

幾何級数

記事の主題をより完全に明らかにするために、別のタイプの進行である幾何学的進行について簡単に説明します。数学では、この名前は、後続の各項が前の項と特定の要素によって異なる一連の数値として理解されます。この係数を文字 r で表しましょう。これは、検討中の進行タイプの分母と呼ばれます。この数値シーケンスの例は次のとおりです: 1、5、25、125、...

上記の定義からわかるように、代数級数と等比数列は考え方が似ています。それらの違いは、最初の方が 2 番目よりもゆっくりと変化することです。

幾何級数は増加、一定、または減少することもあります。そのタイプは分母 r の値によって異なります。r>1 の場合は増加し、r の場合は増加します。<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

等比数列の公式

代数の場合と同様に、等比数列の公式は、その n 番目の項と n 項の和を決定することに帰着します。以下にこれらの表現を示します。

a n = a 1 *r (n-1) - この式は等比数列の定義に従います。
∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1)。 r = 1 の場合、上記の式は不確実性を与えるため、使用できないことに注意することが重要です。この場合、n 項の合計は単純な積 a 1 *n に等しくなります。

たとえば、シーケンス 1、5、25、125、... の 10 個の項のみの合計を求めてみましょう。 a 1 = 1 および r = 5 であることがわかっているため、次の結果が得られます: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406。結果の値は、等比数列がいかに速く増加するかを示す明らかな例です。

おそらく、歴史上この進歩について最初に言及されるのは、あるスルタンの友人が彼にチェスを教え、彼の奉仕のために穀物を求めたときのチェス盤の伝説でしょう。さらに、穀物の量は次のようになっているはずです。チェス盤の最初のマス目に 1 粒、2 番目のマス目には 1 番目のマス目の 2 倍、3 番目のマス目には 2 番目のマス目の 2 倍、というように置かれなければなりません。。スルタンはこの要求に応じることに喜んで同意したが、約束を守るためには自国のゴミ箱をすべて空にしなければならないとは知らなかった。

等差数列の問題は古代から存在していました。彼らは現実的な必要があるために現れて解決策を要求しました。

したがって、数学的な内容を含む古代エジプトのパピルスの 1 つであるリンドパピルス (紀元前 19 世紀) には、次の課題が含まれています。パン 10 メジャーを 10 人に分配します。ただし、各自の差が 8 分の 1 であることを条件とします。測定。"

そして、古代ギリシャ人の数学的著作には、等差数列に関連したエレガントな定理があります。したがって、アレクサンドリアのヒュプシクルズ (2 世紀、多くの興味深い問題を編集し、ユークリッド原論に 14 冊目の本を追加した) は、次のような考えを定式化しました。メンバー数の 2 乗の 1 番目の項の合計より大きいです。」

シーケンスは an で示されます。シーケンスの番号はそのメンバーと呼ばれ、通常はこのメンバーのシリアル番号を示すインデックス付きの文字で指定されます (a1、a2、a3 ... 読み:「a 1st」、「a 2nd」、「a 3rd」)等々）。

シーケンスは無限または有限にすることができます。

等差数列とは何ですか? これは、前の項 (n) に同じ数 d を加えたものを意味し、数列の差になります。

もしd<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 の場合、この進行は増加していると見なされます。

最初の数項のみが考慮される場合、等差数列は有限と呼ばれます。メンバーの数が非常に多いため、これはすでに終わりのない進歩です。

等差数列は次の式で定義されます。

an =kn+b、b と k は数値です。

逆のステートメントはまったく真です。シーケンスが同様の式で与えられる場合、それはまさに次の特性を持つ等差数列になります。

数列の各項は、前の項と後の項の算術平均です。
逆に、2 番目から始めて、各項が前の項と後続の項の算術平均である場合、つまり、条件が満たされる場合、このシーケンスは等差数列になります。この平等性は進行の兆候でもあり、それが通常、進行の特徴的な性質と呼ばれる理由です。
同様に、この性質を反映する定理は真です。数列は、2 番目から始まる数列のいずれかの項についてこの等式が真である場合にのみ等差数列となります。

等差数列の任意の 4 つの数の特性は、n + m = k + l (m、n、k は数列数) の場合、an + am = ak + al という式で表すことができます。

等差数列では、次の式を使用して必要な (N 番目の) 項を見つけることができます。

たとえば、等差数列の最初の項 (a1) が与えられ、3 に等しく、差 (d) が 4 に等しいとします。この数列の 45 番目の項を見つける必要があります。 a45 = 1+4(45-1)=177

式 an = ak + d(n - k) を使用すると、既知の場合、k 番目の項のいずれかを介して等差数列の n 番目の項を決定できます。

等差数列の項の合計 (有限数列の最初の n 項を意味します) は次のように計算されます。

Sn = (a1+an) n/2。

第 1 項も既知の場合は、計算に別の式が便利です。

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n。

n 個の項を含む等差数列の合計は次のように計算されます。

計算式の選択は、問題の条件と初期データによって異なります。

1、2、3、...、n、... などの数値の自然数列は、等差数列の最も単純な例です。

等差数列に加えて、等比数列もあり、独自の特性と特徴があります。