ベクトル系が線形独立であることを証明する方法。ベクトル系の線形依存性

30.09.2019

この記事では以下について説明します。

共線ベクトルとは何ですか。
ベクトルの共線性の条件は何ですか。
共線ベクトルにはどのような性質が存在するのか。
共線ベクトルの線形依存性とは何ですか。

Yandex.RTB R-A-339285-1 定義 1

共線ベクトルは、1 本の直線に平行なベクトル、または 1 本の直線上にあるベクトルです。

例1

ベクトルの共線性の条件

次の条件のいずれかが当てはまる場合、2 つのベクトルは同一線上にあります。

条件1 。 a = λ b となるような数 λ がある場合、ベクトル a と b は同一線上にあります。
条件2 。ベクトル a と b は同一直線上にあり、同じ座標比を持ちます。

a = (a 1 ; a 2) 、 b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

条件3 。外積とゼロベクトルが等しい場合、ベクトル a と b は同一直線上にあります。

a ∥ b ⇔ a , b = 0

注1

条件2 ベクトル座標の 1 つが 0 の場合は適用されません。

注2

条件3 空間内で指定されたベクトルにのみ適用されます。

ベクトルの共線性を調べる問題の例

例1

ベクトル a = (1; 3) および b = (2; 1) の共線性を調べます。

解決方法は？

この場合、第 2 共線性条件を使用する必要があります。指定されたベクトルの場合、次のようになります。

等価性は偽です。このことから、ベクトル a と b は共線的ではないと結論付けることができます。

答え :a | | b

例 2

ベクトル a = (1; 2) および b = (- 1; m) が同一直線上にあるためには、ベクトルの値 m はどれくらい必要ですか?

解決方法は？

2 番目の共線性条件を使用すると、ベクトルの座標が比例する場合、ベクトルは共線性になります。

これは、m = - 2 であることを示しています。

答え： m = -2 。

ベクトル系の線形依存性と線形独立性の基準

定理

ベクトル空間内のベクトル系は、その系のベクトルの 1 つがこの系の残りのベクトルに関して表現できる場合にのみ線形依存します。

証拠

システムを e 1 、e 2 、...とします。。。 , e n は線形依存します。ゼロベクトルに等しいこの系の線形結合を書いてみましょう。

a 1 e 1 + a 2 e 2 + 。。。 + a n e n = 0

結合係数の少なくとも 1 つがそうでない場合ゼロに等しい.

a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , ... とします。。。、n。

等式の両辺をゼロ以外の係数で割ります。

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + 。。。 + (a k - 1 a n) e n = 0

次のように示しましょう:

A k-1 a m 、ここで m ∈ 1 , 2 , ... 。。、k - 1、k + 1、n

この場合：

β 1 e 1 + 。。。 + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + 。。。 + β n e n = 0

または e k = (- β 1) e 1 + 。。。 + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + 。。。 + (- β n) e n

したがって、システムのベクターの 1 つがシステムの他のすべてのベクターを通じて発現されることになります。それは証明する必要があることです（など）。

適切性

ベクトルの 1 つがシステムの他のすべてのベクトルを通じて線形に表現されるとします。

e k = γ 1 e 1 + 。。。 + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + 。。。 + γ ネン

ベクトル e k をこの等式の右側に移動します。

0 = γ 1 e 1 + 。。。 + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + 。。。 + γ ネン

ベクトル e k の係数は - 1 ≠ 0 に等しいため、ベクトル e 1、e 2、...、e の系によってゼロの非自明な表現が得られます。。。 , e n 、そしてこれは次のことを意味します。このシステムベクトルは線形依存します。それは証明する必要があることです（など）。

結果：

ベクトル系は、その系のどのベクトルも系の他のすべてのベクトルに関して表現できない場合、線形独立です。
ゼロベクトルまたは 2 つの等しいベクトルを含むベクトル系は線形従属です。

線形依存ベクトルの性質

2 次元および 3 次元ベクトルの場合、次の条件が満たされます。2 つの線形従属ベクトルが同一線上にあります。 2 つの共線ベクトルは線形依存しています。
3 次元ベクトルの場合、次の条件が満たされます。3 つの線形依存ベクトルが同一平面上にあります。 (3 つの共面ベクトルは線形依存します)。
n 次元ベクトルの場合、次の条件が満たされます。n + 1 ベクトルは常に線形従属です。

ベクトルの線形依存性または線形独立性を伴う問題の解決例

例 3

ベクトル a = 3, 4, 5、b = - 3, 0, 5、c = 4, 4, 4、d = 3, 4, 0 が線形独立であるかどうかを確認してみましょう。

解決。 ベクトルの次元はベクトルの数よりも小さいため、ベクトルは線形依存します。

例 4

ベクトル a = 1, 1, 1、b = 1, 2, 0、c = 0, - 1, 1 が線形独立であるかどうかを確認してみましょう。

解決。 線形結合がゼロベクトルと等しくなる係数の値を求めます。

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

ベクトル方程式を線形形式で書きます。

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

ガウス法を使用してこの系を解きます。

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

2 行目から 1 番目を減算し、3 行目から 1 番目を減算します。

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

1 行目から 2 行目を減算し、3 行目に 2 行目を加算します。

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

解決策から、システムには多くの解決策があることがわかります。これは、a、b、c の線形結合がゼロベクトルに等しい、数値 x 1、x 2、x 3 の値の非ゼロの組み合わせが存在することを意味します。したがって、ベクトル a、b、c は次のようになります。 直線的に依存します。

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ベクトルの線形依存性と線形独立性。
ベクトルの基礎。アフィン座標系

講堂にはチョコレートが入ったカートがあり、今日の来場者全員にチョコレートがプレゼントされます。甘いカップル– 線形代数を使用した解析幾何学。この記事では、高等数学の 2 つのセクションを一度に取り上げ、それらが 1 つのラッパー内でどのように共存するかを見ていきます。休憩して、Twix を食べましょう! ...くそー、なんてナンセンスなのだろう。まあ、点は取れませんが、結局は勉強に対して前向きな姿勢が大切です。

ベクトルの線形依存性, 線形ベクトルの独立性, ベクトルベース他の用語には幾何学的な解釈だけでなく、何よりも代数的な意味があります。線形代数の観点から見た「ベクトル」という概念自体が、平面や空間上に表現できる「通常の」ベクトルであるとは限りません。証拠を探す必要はありません。5 次元空間のベクトルを描いてみてください。。または、天気ベクトル。これについては Gismeteo に行きました。 – 気温と大気圧それぞれ。もちろん、この例はベクトル空間の特性の観点からは正しくありませんが、それでも、これらのパラメーターをベクトルとして形式化することを禁止する人はいません。秋の息吹…

いいえ、理論や線形ベクトル空間に退屈させるつもりはありません。課題は次のとおりです。 理解する定義と定理。新しい用語 (線形依存性、独立性、線形結合、基底など) は代数的な観点からすべてのベクトルに適用されますが、幾何学的例が示されます。したがって、すべてがシンプルでアクセスしやすく、明確です。解析幾何学の問題に加えて、いくつかの典型的な代数問題も検討します。教材をマスターするには、レッスンに慣れることをお勧めします ダミー用のベクトルそして 行列式を計算するにはどうすればよいですか?

平面ベクトルの線形依存性と独立性。
平面基底とアフィン座標系

コンピューターデスクの平面を考えてみましょう (テーブル、ベッドサイドテーブル、床、天井など、好きなものなら何でも)。タスクは次のアクションで構成されます。

1) 平面基準を選択してください。大まかに言えば、テーブルトップには長さと幅があるため、基礎を構築するには 2 つのベクトルが必要であることは直感的にわかります。 1 つのベクトルでは明らかに不十分で、3 つのベクトルでは多すぎます。

2) 選択した基準に基づいて 座標系を設定する(座標グリッド) テーブル上のすべてのオブジェクトに座標を割り当てます。

驚かないでください。最初は指で説明されます。さらに、あなたのものに。置いてください 左手の人差し指テーブルトップの端に座ってモニターを見ます。これはベクトルになります。今場所 小指右手 同様にテーブルの端に置き、モニター画面に向けます。これはベクトルになります。笑顔、素敵ですね！ベクトルについて何が言えるでしょうか? データベクトル 同一直線上にある、つまりリニアお互いを通して表現し合う：
、まあ、またはその逆: 、ここで、はゼロとは異なる数値です。

このアクションの写真を授業で見ることができます。 ダミー用のベクトルでは、ベクトルと数値を乗算する規則を説明しました。

あなたの指はコンピューターデスクの平面に基礎を置きますか? 明らかに違います。同一線上のベクトルが前後に移動します 一人で方向があり、平面には長さと幅があります。

このようなベクトルは次のように呼ばれます。 線形依存性.

参照： 「線形」、「線形」という言葉は、数学の方程式や式には、平方、立方体、その他の累乗、対数、正弦などが存在しないという事実を示します。線形 (1 次) 式と依存関係のみがあります。

2 つの平面ベクトル線形依存性それらが同一線上にある場合に限り、.

テーブルの上で指を交差させ、指の間に 0 度または 180 度以外の角度ができるようにします。 2 つの平面ベクトルリニアない同一線上にない場合にのみ依存します。ということで、基礎が得られました。異なる長さの非垂直ベクトルによって基底が「歪んでいる」ことが判明したとしても、恥ずかしがる必要はありません。すぐに、90 度の角度だけがその構築に適しているわけではなく、同じ長さの単位ベクトルだけが適しているわけでもないことがわかるでしょう。

どれでも平面ベクトル 唯一の方法 は次の基準に従って展開されます。
, ここで、は実数です。数字は呼ばれます ベクトル座標この根拠で。

とも言われています ベクターとして提示される線形結合基底ベクトル。つまり、式は次のように呼ばれます。 ベクトル分解根拠によってまたは 線形結合基底ベクトル。

たとえば、ベクトルは平面の正規直交基底に沿って分解されると言うことができ、またはベクトルの線形結合として表されると言うことができます。

定式化しましょう 基礎の定義正式には: 飛行機の基礎は線形に独立した (非共線的) ベクトルのペアと呼ばれます。、その間 どれでも平面ベクトルは基底ベクトルの線形結合です。

定義の重要な点は、ベクトルが取られるという事実です。特定の順序で。拠点 – これらはまったく異なる 2 つのベースです。よく言われるように、左手の小指を右手の小指に置き換えることはできません。

基礎は理解できましたが、座標グリッドを設定し、コンピューターデスク上の各アイテムに座標を割り当てるだけでは十分ではありません。なぜ十分ではないのでしょうか? ベクトルは自由で、平面全体をさまよっています。では、忙しい週末の残り物であるテーブル上の小さな汚れた場所にどのように座標を割り当てるのでしょうか? 出発点が必要です。そして、そのようなランドマークは誰もが知っている点、つまり座標の原点です。座標系を理解しましょう。

まずは「学校」システムから見ていきましょう。すでに入門レッスン中 ダミー用のベクトル直交座標系と正規直交基底の間のいくつかの違いを強調しました。標準的な画像は次のとおりです。

彼らが話しているとき 直交座標系、その後、ほとんどの場合、原点、座標軸、および軸に沿ったスケールを意味します。検索エンジンに「直交座標系」と入力してみると、5 年生から 6 年生でおなじみの座標軸や、平面上に点をプロットする方法について多くの情報源が表示されます。

一方、直交座標系は正規直交基底で完全に定義できるようです。そしてそれはほぼ真実です。文言は次のとおりです。

起源、そして 正規直交基礎は決まっている デカルト直交平面座標系 。つまり、直交座標系は 絶対には、単一の点と 2 つの単位直交ベクトルによって定義されます。上で示した図が見られるのはこのためです。幾何学的問題では、ベクトルと座標軸の両方が (常にではありませんが) 頻繁に描画されます。

点（原点）と正規直交基底を使用することは誰もが理解していると思います 平面上の任意の点と平面上の任意のベクトル座標を割り当てることができます。比喩的に言えば、「飛行機上のすべてのものに番号を付けることができる」ということです。

座標ベクトルは単位である必要がありますか? いいえ、ゼロ以外の任意の長さを持つことができます。 1 つの点と、ゼロ以外の長さの 2 つの直交ベクトルを考えます。

このような基礎をこう呼ぶ直交。ベクトルの座標の原点は座標グリッドによって定義され、平面上の任意の点、任意のベクトルは指定された基底での座標を持ちます。たとえば、または。明らかな不便さは、座標ベクトルが V 一般的な場合 単位以外の長さは異なります。長さが 1 に等しい場合、通常の正規直交基底が得られます。

！注記 : 直交基底、および以下の平面および空間のアフィン基底では、軸に沿った単位が考慮されます。 条件付き。たとえば、x 軸に沿った 1 単位には 4 cm が含まれ、縦軸に沿った 1 単位には 2 cm が含まれます。この情報は、必要に応じて「非標準」座標を「通常のセンチメートル」に変換するのに十分です。

2 番目の質問は、実際にはすでに答えられていますが、基底ベクトル間の角度は 90 度に等しくなければならないかどうかです。いいえ！定義にあるように、基底ベクトルは次のようにする必要があります。非共線性のみ。したがって、角度は 0 度と 180 度以外の任意の角度にすることができます。

と呼ばれる平面上の点起源、そして 非共線的ベクトル、、セット アフィン平面座標系 :

このような座標系は時々呼ばれます斜めシステム。例として、図面には点とベクトルが示されています。

ご存知のとおり、アフィン座標系はさらに便利ではありません。レッスンの 2 番目の部分で説明したベクトルとセグメントの長さの公式は機能しません。 ダミー用のベクトル、関連するおいしい公式がたくさんあります。 ベクトルのスカラー積。しかし、ベクトルの加算とベクトルの数値の乗算の規則、この点でセグメントを分割する公式、およびすぐに検討する他の種類の問題は有効です。

そして結論は、アフィン座標系の最も便利な特殊なケースはデカルト直方体系であるということです。だからこそ、あなたは最も頻繁に彼女に会わなければなりません、私の愛する人。 ...しかし、この人生のすべては相対的です - 斜めの角度 (または他の角度、たとえば、極地) 座標系。そしてヒューマノイドはそのようなシステムを好むかもしれません =)

実践的な部分に移りましょう。すべてのタスクこのレッスン直交座標系と一般的なアフィンの場合の両方に有効です。ここでは複雑なことは何もありません。すべての教材は小学生でもアクセスできます。

平面ベクトルの共線性を判断するにはどうすればよいですか?

典型的なこと。 2 つの平面ベクトルの場合同一線上にある場合、それらの対応する座標が比例していることが必要かつ十分です基本的に、これは明らかな関係を座標ごとに詳細に示したものです。

例1

a) ベクトルが同一線上にあるかどうかを確認します。 .
b) ベクトルは基礎を形成していますか? ?

解決：
a) ベクトルがあるかどうか調べてみましょう次の等式が満たされるような比例係数。

「おしゃれ」なアプリをしっかりお伝えしますこのルールの、実際には非常にうまく機能します。アイデアは、すぐに比率を計算し、それが正しいかどうかを確認することです。

ベクトルの対応する座標の比率から比例を計算してみます。

短くしましょう:
、したがって、対応する座標は比例するため、

関係を逆にすることもできます。これは同等のオプションです。

自己テストには、共線ベクトルが相互に線形に表現されるという事実を利用できます。この場合、等式が成り立ちます。それらの有効性は、ベクトルを使用した基本的な操作を通じて簡単に検証できます。

b) 2 つの平面ベクトルが同一直線上にない (線形独立している) 場合、基底を形成します。ベクトルの共線性を調べます。システムを作成しましょう:

最初の方程式からは次のことがわかり、2 番目の方程式からはということがわかります。つまり、 システムに一貫性がない（解決策はありません）。したがって、ベクトルの対応する座標は比例しません。

結論: ベクトルは線形独立であり、基底を形成します。

ソリューションの簡略版は次のようになります。

ベクトルの対応する座標から比例を計算しましょう :
、これは、これらのベクトルが線形独立であり、基底を形成することを意味します。

通常、このオプションはレビュー担当者によって拒否されることはありませんが、一部の座標がゼロに等しい場合に問題が発生します。このような：。または次のようにします。。または次のようにします。。ここで比例関係をどのように処理すればよいでしょうか? (実際、ゼロで割ることはできません)。この単純化されたソリューションを「おしゃれ」と呼んだのはこのためです。

答え： a) 、b) の形式。

小さいクリエイティブな例のために独立した決定:

例 2

ベクトルはパラメータのどの値にあるのかそれらは同一直線上にあるでしょうか？

サンプル溶液では、パラメータは比率によって求められます。

ベクトルの共線性をチェックするエレガントな代数的方法があります。知識を体系化して 5 番目のポイントとして追加しましょう。

2 つの平面ベクトルの場合、次のステートメントは同等です。:

2) ベクトルが基礎を形成します。
3) ベクトルは同一線上にありません。

+ 5) これらのベクトルの座標で構成される行列式は非ゼロです.

それぞれ、 次の反対のステートメントは同等です:
1) ベクトルは線形依存します。
2) ベクトルは基礎を形成しません。
3) ベクトルは同一線上にあります。
4) ベクトルは相互に線形に表現できます。
+ 5) これらのベクトルの座標で構成される行列式はゼロに等しい.

本当に本当にそう願っています現時点であなたは、出てくるすべての用語や記述をすでに理解しています。

新しい 5 番目のポイントを詳しく見てみましょう。 2つの平面ベクトル指定されたベクトルの座標で構成される行列式がゼロに等しい場合に限り、共線的になります。:。もちろん、この機能を適用するには、次のことができる必要があります。 決定要因を見つける.

決めましょう 2 番目の方法の例 1:

a) ベクトルの座標から構成される行列式を計算してみましょう :
これは、これらのベクトルが同一線上にあることを意味します。

b) 2 つの平面ベクトルが同一直線上にない (線形独立している) 場合、基底を形成します。ベクトル座標からなる行列式を計算してみましょう :
これは、ベクトルが線形独立であり、基底を形成することを意味します。

答え： a) 、b) の形式。

プロポーションのあるソリューションよりもはるかにコンパクトで美しく見えます。

検討した材料の助けを借りて、ベクトルの共線性を確立するだけでなく、セグメントと直線の平行性を証明することもできます。特定の幾何学的形状に関するいくつかの問題を考えてみましょう。

例 3

四角形の頂点が与えられます。四角形が平行四辺形であることを証明してください。

証拠: 解決策は純粋に分析的なものになるため、問題に図面を作成する必要はありません。平行四辺形の定義を思い出してみましょう。
平行四辺形 対辺が平行な四角形を 2 つ組といいます。

したがって、次のことを証明する必要があります。
1) 反対側の平行度、および;
２）対辺の平行度と。

私たちは次のことを証明します:

1) ベクトルを求めます。

2) ベクトルを見つけます。

結果は同じベクトルになります (「学校によると」 – 等しいベクトル)。共線性は非常に明白ですが、取り決めを設けて決定を明確に形式化することをお勧めします。ベクトル座標で構成される行列式を計算してみましょう。
、これは、これらのベクトルが同一線上にあることを意味します。

結論: 四角形の反対側の辺はペアで平行です。これは、定義上、平行四辺形であることを意味します。 Q.E.D.

さらに優れた異なる数値:

例 4

四角形の頂点が与えられます。四角形が台形であることを証明してください。

証明をより厳密に定式化するには、もちろん台形の定義を取得する方が良いですが、それがどのようなものかを単に覚えておくだけで十分です。

これはあなた自身で解決していただく課題です。完全なソリューションレッスンの終わりに。

そして今度は飛行機からゆっくりと宇宙へ移動します。

空間ベクトルの共線性を判断するにはどうすればよいですか?

ルールは非常に似ています。 2 つの空間ベクトルが同一線上にあるためには、それらの対応する座標が比例していることが必要かつ十分です。.

例5

次の空間ベクトルが同一線上にあるかどうかを調べます。

A) ;
b)
V)

解決：
a) ベクトルの対応する座標に比例係数があるかどうかを確認してみましょう。

システムには解がありません。これは、ベクトルが同一線上にないことを意味します。

「簡略化」は割合を確認することで形式化されます。この場合：
– 対応する座標は比例していません。これは、ベクトルが同一線上にないことを意味します。

答え：ベクトルは同一線上にありません。

b-c) これらは独立した決定のためのポイントです。 2 つの方法で試してみてください。

3 次行列式を通じて空間ベクトルの共線性をチェックする方法があります。この方法記事で取り上げられている ベクトルのベクトル積.

平面の場合と同様に、考慮されているツールを使用して、空間セグメントと直線の平行性を調べることができます。

2 番目のセクションへようこそ:

3 次元空間におけるベクトルの線形依存性と独立性。
空間基底とアフィン座標系

飛行機で調べたパターンの多くは宇宙でも有効です。理論上のメモを最小限に抑えようとしました。ライオンの分け前情報はすでに噛み砕かれています。ただし、新しい用語や概念が登場するため、導入部分を注意深く読むことをお勧めします。

ここでは、コンピューターデスクの平面の代わりに、3 次元空間を探索します。まずはその基礎を作りましょう。誰かが屋内にいて、誰かが屋外にいますが、いずれにせよ、私たちは幅、長さ、高さの 3 次元から逃れることはできません。したがって、基底を構築するには 3 つの空間ベクトルが必要になります。 1 つまたは 2 つのベクトルでは十分ではなく、4 つ目のベクトルは余分です。

そして再び指でウォームアップします。手を上げて広げてください異なる側面 親指、人差し指、中指。これらはベクトルであり、異なる方向を向き、異なる長さを持ち、それらの間の角度も異なります。おめでとうございます。3 次元空間の基礎が完成しました。ちなみに、指をどれだけ強くひねっても、これを教師に示す必要はありませんが、定義から逃れることはできません =)

次に聞いてみましょう重要な問題, 任意の 3 つのベクトルが基底を形成しますか三次元空間 ? パソコンデスクの上面を3本の指でしっかりと押してください。どうしたの？ 3 つのベクトルが同じ平面上にあり、大まかに言えば、次元の 1 つである高さが失われています。そのようなベクトルは、 同一平面上にあるそして、三次元空間の基礎が作られていないことは明らかです。

同一平面上にあるベクトルは、同じ平面内に存在する必要はないことに注意してください。平行面(指でこれを行わないでください。この方法で成功したのはサルバドールダリだけです =))。

意味: ベクトルが呼び出されます 同一平面上にあるそれらが平行な平面がある場合。このような平面が存在しない場合、ベクトルは同一平面上にないことをここで付け加えることは論理的です。

3 つの同一平面上にあるベクトルは常に線形に依存します、つまり、それらは相互に線形に表現されます。簡単にするために、それらが同じ平面上にあると再び想像してみましょう。まず、ベクトルは同一平面上にあるだけでなく、同一直線上にあることもあり、任意のベクトルを任意のベクトルを介して表現できます。 2 番目のケースでは、たとえばベクトルが同一線上にない場合、3 番目のベクトルはそれらを介して独自の方法で表現されます。 (その理由は、前のセクションの資料から簡単に推測できます)。

逆もまた真です: 3 つの非共面ベクトルは常に線形独立ですつまり、それらは決して相互を通じて表現されるものではありません。そして明らかに、そのようなベクトルのみが 3 次元空間の基礎を形成できます。

意味: 三次元空間の基礎は、線形に独立した (非同一平面上にある) ベクトルのトリプルと呼ばれます。特定の順序で撮影される、および空間の任意のベクトル唯一の方法は指定された基底で分解されます。この基底におけるベクトルの座標は次のとおりです。

ベクトルは次の形式で表されるとも言えることを思い出してください。 線形結合基底ベクトル。

座標系の概念は、平面の場合とまったく同じ方法で導入されます。独立したベクトル:

起源、そして 非共面上ベクトル、特定の順序で撮影される、セット 3次元空間のアフィン座標系 :

もちろん、座標グリッドは「斜め」で不便ですが、それでも、構築された座標系により、 絶対に任意のベクトルの座標と空間内の任意の点の座標を決定します。平面と同様に、すでに述べたいくつかの公式は空間のアフィン座標系では機能しません。

誰もが推測しているように、アフィン座標系の最も馴染みがあり便利な特殊ケースは次のとおりです。 直方空間座標系:

と呼ばれる空間上の点起源、そして 正規直交基礎は決まっている デカルト直方空間座標系 。おなじみの写真:

実際のタスクに進む前に、情報をもう一度体系化してみましょう。

3 つの空間ベクトルの場合、次のステートメントは同等です。:
1) ベクトルは線形独立です。
2) ベクトルが基礎を形成します。
3) ベクトルは同一平面上にありません。
4) ベクトルは相互に線形に表現できません。
5) これらのベクトルの座標で構成される行列式はゼロではありません。

反対の意見も理解できると思います。

空間ベクトルの線形依存性/独立性は伝統的に行列式を使用してチェックされます (ポイント 5)。残り実践的なタスク顕著な代数的性格を持つことになる。幾何学棒を手放し、線形代数のバットを振る時が来ました。

空間の 3 つのベクトル与えられたベクトルの座標で構成される行列式が 0 に等しい場合に限り、同一平面上にあります。 .

小さなことに注意を向けます技術的なニュアンス: ベクトルの座標は列だけでなく行にも書くことができます (行列式の値はこれから変わりません - 行列式のプロパティを参照してください)。ただし、いくつかの実際的な問題を解決するのにより有益であるため、コラムの方がはるかに優れています。

行列式の計算方法を少し忘れてしまった、またはまったく理解していない読者には、私の最も古いレッスンの 1 つをお勧めします。 行列式を計算するにはどうすればよいですか?

例6

次のベクトルが 3 次元空間の基礎を形成しているかどうかを確認します。

解決: 実際、解決策全体は行列式の計算に帰着します。

a) ベクトル座標で構成される行列式を計算してみましょう (行列式は最初の行に表示されます)。

これは、ベクトルが線形に独立しており (同一平面上ではなく)、3 次元空間の基礎を形成していることを意味します。

答え: これらのベクトルが基礎を形成します

b) これは独立した決定事項です。レッスンの最後に完全な解答と答えが表示されます。

会って、クリエイティブなタスク:

例 7

パラメーターのどの値でベクトルは同一平面上になりますか?

解決: ベクトルは、これらのベクトルの座標で構成される行列式が 0 に等しい場合に限り、同一平面上にあります。

基本的に、行列式を使用して方程式を解く必要があります。トビネズミの凧のようにゼロを急降下させます。2 行目の行列式を開いてすぐにマイナスを取り除くのが最善です。

さらに簡略化を実行し、問題を最も単純なものにまとめます一次方程式:

答え：で

ここで確認するのは簡単です。これを行うには、結果の値を元の行列式に代入して、次のことを確認する必要があります。、再度開きます。

結論として、別の典型的な問題を見てみましょう。これは本質的に代数的であり、伝統的に線形代数コースに含まれています。これは非常に一般的であるため、独自のトピックを作成する価値があります。

3 つのベクトルが 3 次元空間の基礎を形成することを証明する
この基底で 4 番目のベクトルの座標を見つけます

例8

ベクトルが与えられます。ベクトルが 3 次元空間で基底を形成することを示し、この基底でのベクトルの座標を見つけます。

解決: まず、条件を処理しましょう。条件ごとに 4 つのベクトルが与えられ、ご覧のとおり、それらはすでに何らかの基底で座標を持っています。この根拠が何であるかは、私たちには興味がありません。そして次のことは興味深いことです: 3 つのベクトルが新しい基礎を形成する可能性があります。最初の段階は例 6 の解決策と完全に一致しており、ベクトルが本当に線形独立であるかどうかを確認する必要があります。

ベクトル座標で構成される行列式を計算してみましょう。

これは、ベクトルが線形に独立しており、3 次元空間の基礎を形成していることを意味します。

！重要 : ベクトル座標必然的に書き留める列に入れる文字列ではなく決定要因です。そうしないと、その後の解法アルゴリズムで混乱が生じる可能性があります。

させて Lは任意の線形空間、私 Î L、- その要素 (ベクトル)。

定義 3.3.1.表現、どこ、 - 線形結合と呼ばれる任意の実数 ベクトル a 1 、 a 2 、…、 a n.

ベクトルの場合 r = 、すると彼らはこう言います。 r ベクトルに分解される a 1 、 a 2 、…、 a n.

定義3.3.2。ベクトルの線形結合は次のように呼ばれます。 重要な、数値の中にゼロ以外の値が少なくとも 1 つある場合。それ以外の場合は、線形結合が呼び出されます。 つまらない.

定義 3.3.3 。ベクトル a 1 、 a 2 、…、 a n次のような自明ではない線形結合が存在する場合、それらは線形依存と呼ばれます。

= 0 .

定義 3.3.4. ベクトル a 1 、a 2 、…、a n等しい場合、線形独立と呼ばれます。 = 0 すべての数値が一致する場合にのみ可能です私 1, 私 2,…, ln同時にゼロに等しくなります。

非ゼロ要素 a 1 は次の関係から線形独立システムと見なすことができることに注意してください。私 a1 = 0 場合のみ可能私= 0.

定理3.3.1。線形依存性 a 1 , a 2 ,…, a の必要十分条件 nこれらの要素の少なくとも 1 つを残りの要素に分解できる可能性があります。

証拠。必要性。要素を a 1 、 a 2 、…、 a とします。 n直線的に依存します。これはつまり、 = 0 、および少なくとも 1 つの数字私 1, 私 2,…, lnゼロとは違う。確実に言っておきます私 1 ¹ 0.それでは

つまり、要素 a 1 は要素 a 2 、a 3 、…、a に分解されます。 n.

適切性。要素 a 1 を要素 a 2 、a 3 、…、a に分解します。 n、つまり a 1 = 。それから = 0 したがって、ベクトル a 1 、 a 2 、…、 a の自明ではない線形結合が存在します。 n、等しい 0 、したがって、それらは線形に依存します .

定理 3.3.2。要素 a 1 、 a 2 、…、a の少なくとも 1 つが存在する場合、 nゼロの場合、これらのベクトルは線形依存します。

証拠 . させてある n= 0 、その後 = 0 これは、これらの要素の線形依存性を意味します。

定理 3.3.3。 n 個のベクトルのうち任意の p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

証拠。明確にするために、要素を a 1 、 a 2 、…、 a とします。 p直線的に依存します。これは、次のような自明ではない線形結合が存在することを意味します。 = 0 。要素を両方の部分に追加すると、指定された同等性が維持されます。それから + = 0 、および少なくとも 1 つの数字私 1, 私 2,…, LPゼロとは違う。したがって、ベクトル a 1 、 a 2 、…、 a nは線形依存しています。

帰結 3.3.1。 n 個の要素が線形独立である場合、そのうちの任意の k 個も線形独立です (k< n).

定理 3.3.4. ベクトルの場合 a 1 、 a 2 、…、 a n- 1 は線形独立であり、要素は a 1 、 a 2 、…、 a n- 1、a n が線形依存している場合、ベクトルはある n はベクトルに展開できます a 1 、 a 2 、…、 a n- 1 .

証拠。条件 a 1 により、a 2 、…、あ n- 1、a n が線形依存している場合、それらの自明ではない線形結合が存在します。 = 0 , そして (それ以外の場合、ベクトル a 1 、 a 2 、…、 a は線形従属であることがわかります) n- 1)。しかし、そのベクトルは

Q.E.D.

タスク1。ベクトル系が線形独立であるかどうかを調べます。ベクトル系はシステムの行列によって指定され、その列はベクトルの座標で構成されます。

解決。線形結合しましょうゼロに等しい。この等式を座標で書くと、次の方程式系が得られます。

このような方程式系は三角形と呼ばれます。彼女の解決策は一つだけ。したがって、ベクトルは線形的に独立しています。

タスク2。ベクトル系が線形独立であるかどうかを調べます。

解決。ベクトルは線形独立です (問題 1 を参照)。ベクトルがベクトルの線形結合であることを証明しましょう。ベクトル展開係数連立方程式から決定されます

このシステムは、三角形のシステムと同様に、独自のソリューションを備えています。

したがって、ベクトル系は、直線的に依存します。

コメント。問題 1 と同じタイプの行列が呼び出されます。三角、そして問題 2 では – 階段状三角形 。ベクトル系の線形依存性の問題は、これらのベクトルの座標で構成される行列が階段状三角形であれば簡単に解決されます。行列が特別な形式を持たない場合は、次を使用します。 基本文字列変換 、列間の線形関係を維持しながら、階段状三角形の形に縮小できます。

基本的な文字列の変換行列 (EPS) 行列に対する次の操作が呼び出されます。

1) 行の再配置。

2) 文字列にゼロ以外の数値を乗算します。

3) 文字列に別の文字列を追加し、任意の数を掛けます。

タスク3。最大の線形独立サブシステムを見つけて、ベクトル系のランクを計算します。

解決。 EPS を使用してシステムの行列を階段状三角形の形に縮小してみましょう。手順を説明するために、変換する行列の番号が記された行をという記号で表します。矢印の後の列は、新しい行列の行を取得するために実行する必要がある、変換される行列の行に対するアクションを示します。

明らかに、結果として得られる行列の最初の 2 列は線形独立しており、3 列目はそれらの線形結合であり、4 列目は最初の 2 列に依存しません。ベクトルベーシックと呼ばれます。それらはシステムの最大の線形独立サブシステムを形成します、システムのランクは 3 です。

基準、座標

タスク4。セット上のこの基底内のベクトルの基底と座標を見つけます幾何学的なベクトル、その座標が条件を満たす .

解決。集合は原点を通過する平面です。平面上の任意の基底は、2 つの非共線ベクトルで構成されます。選択された基底のベクトルの座標は、対応する一次方程式系を解くことによって決定されます。

この問題を解決する別の方法は、座標を使用して根拠を見つけることができる場合です。

座標空間は次の関係によって関連付けられているため、平面上の座標ではありません。つまり、独立していません。独立変数と (これらは自由と呼ばれます) は平面上のベクトルを一意に定義するため、の座標として選択できます。それから基礎自由変数のセット内に存在し、自由変数のセットに対応するベクトルで構成されますそして、つまり。

タスク5。奇数の座標が互いに等しい空間内のすべてのベクトルのセットに基づいて、この基底内のベクトルの基底と座標を求めます。

解決。前の問題と同様に、空間内の座標を選択しましょう。

なぜなら、次に自由変数からベクトルを一意に決定し、したがって座標になります。対応する基底はベクトルで構成されます。

タスク6。次の形式のすべての行列のセット上で、この基底内のベクトルの基底と座標を見つけます。、どこ – 任意の数値。

解決。の各行列は、次の形式で一意に表現できます。

この関係は、基底に対するからのベクトルの展開です。
座標付き .

タスク7。ベクトル系の線形包の次元と基底を求める

解決。 EPS を使用して、行列をシステムベクトルの座標から階段状三角形の形式に変換します。

コラム最後の行列は線形独立であり、列はそれらを通じて直線的に表現されます。したがって、ベクトルは基礎を形成する、そして .

コメント。に基づいて曖昧に選ばれます。たとえば、ベクトル基礎も形成する .

ベクトルシステムは次のように呼ばれます。 線形依存性、少なくとも 1 つがゼロと異なる数値がある場合、等価性 https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >。

この等式が all の場合にのみ満たされる場合、ベクトル系が呼び出されます。 線形独立.

定理。ベクターシステムは、 線形依存性そのベクトルの少なくとも 1 つが他のベクトルの線形結合である場合に限ります。

例1.多項式は多項式の線形結合です https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">。多項式は線形独立システムを構成します。多項式 https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">。

例2。行列システム、 https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> は、線形結合が次と等しいため、線形独立です。 https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text の場合のみゼロ行列/78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> 線形依存。

解決。

これらのベクトルの線形結合を作成しましょう https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360"高さ = 22">。

等しいベクトルの同じ座標を等価すると、https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69"> が得られます。

ようやく得られる

そして

このシステムには固有の自明な解があるため、これらのベクトルの線形結合は、すべての係数がゼロに等しい場合にのみゼロに等しくなります。したがって、このベクトル系は線形独立です。

例4.ベクトルは線形独立です。ベクターシステムはどうなるでしょうか?

a）。;

b）。?

解決。

a）。線形結合を作成してゼロにしましょう

線形空間におけるベクトル演算の性質を利用して、最後の等式を次の形式に書き換えます。

ベクトルは線形独立であるため、係数はゼロに等しくなければなりません。つまり、gif" width="12" height="23 src=">

結果として得られる連立方程式には、固有の自明な解が得られます。 .

平等だから (*) https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> の場合にのみ実行 – 線形独立。

b）。平等にしましょう https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

同様の推論を適用すると、次のようになります。

ガウス法で連立方程式を解くと、次のようになります。

または

後者のシステムには無限の数の解があります https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">。等式が成立する係数のゼロセット (**) 。したがって、ベクトル系は、 – 線形依存。

例5ベクトル系は線形独立であり、ベクトル系は線形依存です。.gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

平等に (***) 。実際、では、システムは線形依存します。

関係から (***) 私たちは得ますまたはと表しましょう .