確率変数 x の 2 番目の初期モーメント。 確率変数の数値的特徴

R(|X -M(×)|< e )+R(|X -M(×)| e)= 1.

したがって、私たちが興味がある確率は

R(|X -M(×)|< e )= 1-R(|X -M(×)| e). (*)

したがって、問題は確率の計算になります。 R(| HM(×)| e).

確率変数の分散の式を書いてみましょう ×:

D(×)= [× 1 -M(×)] 2 p 1 + [× 2 -M(×)] 2 p 2 +…+ [×n-M(×)]2pn.

明らかに、この合計のすべての項は負ではありません。

| のような用語は破棄しましょう。 x i-M(×)|<e(残りの期間について | x j-M(×)| e), 結果として金額は減るしかありません。 明確にするために、次のように仮定することに同意しましょう。 k最初の項 (一般性を失うことなく、分布表では可能な値がまさにこの順序で番号付けされていると仮定できます)。 したがって、

D(×) [x k + 1 -M(×)] 2 pk+ 1 + [x k + 2 -M(×)] 2 p k + z + ... +[×n-M(×)] 2 pn.

不等式の両辺 | に注意してください。 x j - M(×)| e (j = k+1, k+ 2, ..., n) は正であるため、それらを 2 乗すると、同等の不等式が得られます | x j - M(×)| 2 e2このコメントを使用して、残りの合計 | の各要素を置き換えてみましょう。 x j - M(×)| 数は2 e2(この場合、不平等は増大するだけです)、次のようになります。

D(×) e2 (rk+ 1 + p k + 2 + … + р n). (**)

加法定理によれば、確率の合計は rk+ 1 + p k + 2 + … + р nその可能性があります ×どちらであっても 1 つの値を受け取ります x k + 1 , x k+ 2 ,....×p、そしてそれらのいずれについても、偏差は不等式 | を満たします。 x j - M(×)| eということは金額は rk+ 1 + p k + 2 + … + р n確率を表す

P(|× - M(×)| e)。

この考慮により、不等式 (**) を次のように書き換えることができます。

D(×) e2P(|× - M(×)| e),

P(|× - M(×)| e)D(×) /e 2 (***)

(***) を (*) に代入すると、最終的に次のようになります。

P(|× - M(×)| <e) 1-D(×) /e 2 ,

Q.E.D.

コメント。 チェビシェフの不等式は、多くの場合、大まかな、場合によっては些細な (興味のない) 推定値を与えるため、実用的な意味は限られています。 たとえば、次の場合 D(×)>え 2 したがって D(×)/e 2 > 1、次に 1 -D(×)/e 2 < 0; したがって、この場合、チェビシェフの不等式は、偏差の確率が負ではないことを示すだけであり、あらゆる確率は非負の数で表現されるため、これはすでに明らかです。

チェビシェフの不等式の理論的重要性は非常に大きいです。 以下では、この不等式を使用してチェビシェフの定理を導き出します。

チェビシェフの定理

チェビシェフの定理。 Xの場合 1 、X 2 、…、Xn、…-ペアごとに独立した確率変数、およびその分散は一様に制限されます(定数 C を超えないこと)とすると、正の数 e がどれほど小さくても、不等式の確率は

つまり、定理の条件下では、

したがって、チェビシェフの定理は、分散が限られた十分に多数の独立確率変数が考慮される場合、確率変数の算術平均からの確率変数の算術平均の偏差が次のとおりであるという事実から、イベントはほぼ信頼できると考えることができると述べています。数学的期待値は絶対値が任意に大きくなる 小さい

証拠。 新しい確率変数、つまり確率変数の算術平均を考慮に入れてみましょう。

=(× 1 +X 2 +…+X n)/n.

数学的な期待値を求めてみましょう . 数学的期待値の特性 (定数因数は数学的期待値の符号から取り出すことができ、合計の数学的期待値は項の数学的期待値の合計に等しい) を使用して、次のようになります。

M = . (*)

チェビシェフの不等式を量に適用すると、

右辺 (***) を不等式 (**) に代入すると (後者のみ強化できるのはこのためです)、次のようになります。

ここから、 の極限まで通過すると、次のようになります。

最後に、確率が 1 を超えることはできないことを考慮すると、最終的に次のように書くことができます。

定理は証明されました。

上記では、チェビシェフの定理を定式化するときに、確率変数には異なる数学的期待があると仮定しました。 実際には、確率変数が同じ数学的期待値を持つことがよくあります。 明らかに、これらの量の分散が有限であると再び仮定すると、チェビシェフの定理がそれらに適用されます。

各確率変数の数学的期待値を次のように表します。 A;検討中のケースでは、容易にわかるように、数学的期待値の算術平均も次と等しくなります。 A.検討中の特定のケースに対してチェビシェフの定理を定式化できます。

Xの場合 1 、X 2 , ..., うーん...-同じ数学的期待値 a を持つペアごとの独立した確率変数。これらの変数の分散が一様に制限されている場合、数値 e がどれほど小さくても、>ああ、 不平等の確率

確率変数の数が十分に大きい場合、希望どおりに 1 に近づきます。

言い換えれば、定理の条件下では平等が成り立ちます。

チェビシェフの定理の本質

証明された定理の本質は次のとおりです。個々の独立した確率変数は数学的期待からかけ離れた値を取る可能性がありますが、十分に多数の確率変数の算術平均は高い確率で一定の定数に近い値を取ることになります。数字、つまり数字( M(× 1)+ M(× 2)+...+M(Xp))/p(または番号に あ特殊な場合）。 言い換えれば、個々の確率変数には大きな広がりがある可能性があり、その算術平均は散在的に小さくなります。

したがって、各確率変数がどのような値を取るかを自信を持って予測することはできませんが、算術平均がどのような値を取るかを予測することはできます。

それで、 十分に大きな数の独立確率変数の算術平均(その分散は一様に制限されます) 確率変数の性質を失います。これは、数学的期待からの各値の偏差が正にも負にもなり得、算術平均ではそれらが互いに打ち消し合うという事実によって説明されます。

チェビシェフの定理は、離散確率変数だけでなく連続確率変数にも有効です。 彼女は 輝かしい例、偶然と必然の関係についての弁証法的唯物論の教義の正当性を確認しました。

始まりの瞬間 k 番目 注文 確率変数×× k :

特に、

中心瞬間 k 番目 注文 確率変数×は量の数学的期待値と呼ばれます k :

. (5.11)

特に、

数学的な期待値と分散の定義と特性を使用すると、次のことが得られます。

,

,

高次モーメントはほとんど使用されません。

確率変数の分布が数学的期待に関して対称的であると仮定しましょう。 その場合、奇数次の中心はすべて 0 に等しくなります。 これは、偏差 X–M[X] の正の値ごとに、(分布の対称性により) 絶対値でそれに等しい値が存在するという事実によって説明できます。 負の値、それらの確率は同じになります。 中心モーメントが奇数次の場合はそうではありません ゼロに等しいの場合、これは分布の非対称性を示しており、モーメントが大きいほど非対称性も大きくなります。 したがって、分布の非対称性の特性として、何らかの奇妙な中心モーメントを取ることが最も合理的です。 1 次の中心モーメントは常にゼロに等しいため、この目的には 3 次の中心モーメントを使用することをお勧めします。 ただし、その値は確率変数が測定される単位に依存するため、非対称性を評価するためにこの点を受け入れるのは不便です。 この欠点を解消するには、 3 を  3 で割って特性を求めます。

非対称係数 あ 量と呼ばれます

. (5.12)

米。 5.1

知られているように、分散 (第 2 中心モーメント) は、数学的期待値の周りの確率変数の値の分散を特徴付けるのに役立ちます。 分散が大きいほど、対応する分布曲線は平坦になります。 ただし、2 次の正規化モーメント  2 / 2 は、「上が平らな」分布または「上が鋭い」分布の特性として機能することはできません。 ×]/ 2 =1。 この場合、4次中心モーメントが使用されます。

過剰 E 量と呼ばれます

. (5.13)

H

米。 5.2

例5.6。 DSV X は、次の分布法則によって与えられます。

歪度係数と尖度を求めます。

米。 5.4

次に、中心モーメントを計算してみましょう。

確率変数の分布を特徴付ける場合に特に重要なのは、初期モーメントと中心モーメントと呼ばれる数値特性です。

始まりの瞬間 k-番目の注文 αk(×) 確率変数 × kこの量の - 乗、つまり

αk(×) = M(X k) (6.8)

式 (6.8) は、さまざまな確率変数に対する数学的期待値の定義により、独自の形式を持ちます。つまり、有限の値セットを持つ離散確率変数に対してです。

連続確率変数の場合

, (6.10)

どこ f(×) - 確率変数の分布密度 ×.

不適切な積分式 (6.10) は次のようになります。 定積分有限区間にわたって、連続確率変数の値がこの区間内にのみ存在する場合。

以前に紹介した数値特性の 1 つである数学的期待値は、一次の初期モーメント、またはよく言われるように、最初の初期モーメントにすぎません。

M(×) = α 1 (×).

前の段落では、中心にある確率変数の概念を紹介しました。 HM(×）。 この量が主要な量とみなされる場合、その量の初期モーメントも見つけることができます。 大きさそのものについては ×これらの瞬間を中心と呼びます。

中心瞬間 k-番目の注文 μk(×) 確率変数 ×数学的期待値と呼ばれる k中心にある確率変数の 乗、つまり

μk(×) = M[(HM(×))k] (6.11)

つまり中心点 k-次は数学的な期待値です k偏差の度合い。

中心瞬間 k有限の値セットを持つ離散確率変数の次数は、次の式で求められます。

, (6.12)

連続確率変数の場合、次の式を使用します。

(6.13)

将来、どのような確率変数が使用されるかが明らかになったとき、 私たちが話しているのは、その場合、初期モーメントと中心モーメントの表記にはそれを書きません。 の代わりに αk(×） そして μk(×）単純に書きます αkそして μk .

一次の中心モーメントがゼロに等しいことは明らかです。これは、偏差の数学的期待に他ならないからです。以前に証明されたことによれば、偏差はゼロに等しいからです。 。

確率変数の 2 次中心モーメントを理解するのは難しくありません。 ×同じ確率変数の分散と一致します。つまり、

さらに、初期モーメントと中心モーメントを結び付ける次の式があります。

したがって、1 次と 2 次のモーメント (数学的期待値と分散) が最も特徴的です。 重要な機能分布: 値の位置と分散度。 さらに詳しく 詳しい説明分布は高次の瞬間です。 それを見せてみましょう。

確率変数の分布が数学的期待に対して対称的であると仮定しましょう。 その場合、すべての奇数次の中心モーメントは、存在する場合、ゼロに等しくなります。 これは、それぞれの分布の対称性により、 正の値量 × − M(×）それに等しい大きさの負の値があり、これらの値の確率は等しい。 したがって、式 (6.12) の合計は、大きさは等しいが符号が異なるいくつかの項のペアで構成され、合計すると互いに打ち消し合います。 したがって、全額、つまり 奇数次の離散確率変数の中心モーメントはゼロです。 同様に、連続確率変数の奇数次の中心モーメントは、奇数関数の対称範囲の積分と同様に、ゼロに等しくなります。

奇数次数の中心モーメントがゼロではない場合、分布自体は数学的期待に対して対称的ではないと仮定するのは自然です。 さらに、中心モーメントがゼロから離れるほど、分布の非対称性が大きくなります。 非対称性の特徴として、最小の奇数次数の中心モーメントを考えてみましょう。 1 次の中心モーメントはどのような分布を持つ確率変数でも 0 であるため、この目的には 3 次の中心モーメントを使用する方が適切です。 ただし、この瞬間は確率変数の立方体の次元を持ちます。 この欠点を取り除き、無次元の確率変数に移行するには、中心モーメントの値を標準偏差の 3 乗で割ります。

非対称係数 として あるいはただ 非対称は、標準偏差の 3 乗に対する 3 次中心モーメントの比と呼ばれます。

非対称性は「歪度」と呼ばれ、指定されることもあります。 S k何が来るのか 英単語スキュー - 「斜め」。

非対称係数が負の場合、その値は負の項 (偏差) によって強く影響され、分布は次のようになります。 左非対称、分布グラフ (曲線) は数学的予想よりも左側で平坦になっています。 係数が正の場合、 非対称右、そして曲線は数学的予想の右側で平坦になります (図 6.1)。

これまでに示したように、数学的期待を中心とした確率変数の値の広がりを特徴付けるために、第 2 中心モーメントが使用されます。 分散。 このモーメントの数値が大きい場合、この確率変数の値の広がりは大きくなり、対応する分布曲線は、2 番目の中心モーメントの値が小さい曲線よりも平坦な形状になります。 したがって、第 2 中心モーメントは、「上が平らな」または「上が鋭い」分布曲線をある程度特徴づけます。 しかし、この特性はあまり便利ではありません。 2 次中心モーメントの次元は、確率変数の次元の 2 乗に等しい。 モーメント値を標準偏差の 2 乗で除算して無次元量を取得しようとすると、任意の確率変数について次の結果が得られます。 。 したがって、この係数は確率変数の分布の特性であることはできません。 すべてのディストリビューションで同じです。 この場合、４次の中心モーメントを使用することができる。

過剰 エク は次の式で求められる量です

(6.15)

尖度は主に連続確率変数に使用され、分布曲線のいわゆる「急峻さ」を特徴付けるのに役立ちます。あるいは、すでに述べたように、「上が平らな」または「上が鋭い」分布曲線を特徴付けるのに役立ちます。 標準分布曲線は正規分布曲線であると考えられます (次の章で詳しく説明します)。 正規法則に従って分布する確率変数の場合、等式が成り立ちます。 したがって、余分な 式で与えられる(6.15) は、この分布を尖度が 0 に等しい正規の分布と比較するのに役立ちます。

何らかの確率変数に対して正の尖度が得られた場合、この値の分布曲線は正規分布曲線よりもピークになります。 尖度が負の場合、曲線は正規分布曲線と比較してより平らになります (図 6.2)。

次に、離散および連続確率変数の特定の種類の分布則に移りましょう。

分布法則によって与えられる離散確率変数を考えてみましょう。

期待 等しい:

それはそれ以上であることがわかります。 これは、値が次のとおりであるという事実によって説明できます。 ×= -150、他の値とは大きく異なり、二乗すると急激に増加します。 この値の確率は低いです (0.02)。 したがって、からの移行は、 M(X)に M(×2)絶対値は大きいが発生確率が低い確率変数の値の数学的期待への影響をより適切に考慮できるようになりました。 もちろん、数量に大きくてありそうもない値がいくつかある場合は、数量への移行が行われます。 ×2、量に関してはさらにそうです。 , などにより、これらの大きな、しかし可能性は低い可能性のある値の「役割をさらに強化」できるようになります。 このため、離散的だけでなく連続的な確率変数の整数の正のべき乗の数学的期待を考慮することが賢明であることがわかります。

定義6.10.確率変数の次数の初期モーメントは、数量の数学的期待値です。

特に：

これらの点を使用すると、分散を計算するための式を別の方法で書くことができます。

確率変数のモーメントに加えて、偏差のモーメントを考慮することをお勧めします。

定義6.11.確率変数の次数の中心モーメントは、数量の数学的期待値です。

(6.23)

特に、

初期モーメントと中心モーメントを接続する関係は簡単に導出されます。 したがって、(6.22) と (6.24) を比較すると、次のようになります。

次の関係を証明することは難しくありません。

同じく：

高次モーメントはほとんど使用されません。 中心モーメントを決定する際には、確率変数の数学的期待値 (中心) からの偏差が使用されます。 だからこそ瞬間が呼ばれるのです 中央.

初期モーメントを決定する際には、確率変数の偏差も使用されますが、数学的期待からではなく、横座標がゼロに等しい点 (座標の原点) から使用されます。 だからこそ瞬間が呼ばれるのです イニシャル.

連続確率変数の場合、1 次の初期モーメントは次の式で計算されます。

(6.27)

連続確率変数の次数の中心モーメントは、次の式で計算されます。

(6.28)

確率変数の分布が数学的期待に関して対称的であると仮定しましょう。 この場合、奇数次のすべての中心モーメントはゼロに等しくなります。 これは、量の正の値ごとに次の事実によって説明できます。 X-M(X)があります（分布の対称性のため） M(X)) 絶対値がこの数量の負の値に等しく、それらの確率は同じになります。

奇数次の中心モーメントがゼロに等しくない場合、これは分布の非対称性を示し、モーメントが大きいほど非対称性も大きくなります。 したがって、分布の非対称性の特性として、何らかの奇妙な中心モーメントを取ることが最も合理的です。 1 次中心モーメントは常にゼロであるため、この目的には 3 次中心モーメントを使用することをお勧めします。

定義6.12.非対称係数は次の量です。

非対称係数が負の場合、これは次のことを示します。 大きな影響力負の偏差の量によって異なります。 この場合、分布曲線 (図 6.1) あ) の左側はより平坦です。 係数が正の場合、つまり正の偏差の影響が優勢である場合、分布曲線は右側により平坦になります。

知られているように、第 2 中心モーメント (分散) は、数学的期待値を中心とした確率変数の値の分散を特徴付けるのに役立ちます。 ある確率変数のこの瞬間が十分に大きい場合、つまり 分散が大きい場合、対応する分布曲線は、2 次モーメントが小さい確率変数の分布曲線よりも平坦になります。 ただし、どのディストリビューションでも、Moment はこの目的を果たすことができません。 .

この場合、4次の中心モーメントが使用されます。

定義6.13。尖度は次の量です。

自然界で最も一般的なものについては、 通常の法律配布関係もございます。 したがって、式 (6.28) で与えられる尖度は、この分布を通常の分布と比較するのに役立ちます (図 6.1) b).