パラレルの1つのプロパティ。 平面および空間上の平行線

2本の線の平行性は、1本の線に対して引いた2本の垂線は平行になるという定理に基づいて証明できます。 線が平行であることを示す特定の兆候があります。それらは 3 つあり、それらすべてをより具体的に検討します。

並列処理の最初の兆候

線が 3 番目の線と交差するときに、横方向に形成される内角が等しい場合、線は平行です。

直線ABと直線CDが直線EFと交差するとき、角度/1と/2が形成されたとします。 直線 EF は他の 2 つの直線に対して 1 つの傾きで走っているため、それらは等しいです。 線が交差する場所に点 Ki L を置きます - 割線セグメント EF が得られます。 その中央を見つけて点Oを置きます(図189)。

点Oから直線AB上に垂線を下ろします。これをOMと呼びます。 線分 CD と交差するまで垂線を描き続けます。 結果として、元の直線 AB は MN に対して厳密に垂直になり、これは CD_|_MN も垂直であることを意味しますが、このステートメントには証明が必要です。 垂線と交線を引いた結果、2つの三角形ができました。 そのうちの 1 つは MINE、2 つ目は NOK です。 それらをさらに詳しく見てみましょう。 平行線の兆候 グレード 7

定理の条件に従って /1 = /2 であり、三角形の構成に従って辺 OK = 辺 OL であるため、これらの三角形は等しいです。 これらは垂直角度であるため、角度 MOL =/NOK。 このことから、一方の三角形の辺およびそれに隣接する 2 つの角は、もう一方の三角形の辺およびそれに隣接する 2 つの角とそれぞれ等しいことがわかります。 したがって、三角形 MOL = 三角形 NOK、したがって角度 LMO = 角度 KNO ですが、/LMO は直線であることがわかっており、これは対応する角度 KNO も直角であることを意味します。 つまり、直線MNに対して、直線ABと直線CDが垂直であることが証明できました。 つまり、AB と CD は平行です。 これが私たちが証明する必要があったことです。 最初の記号とは証明方法が異なる、線の平行度の残りの記号 (グレード 7) を考えてみましょう。

並列性の 2 番目の兆候

線の平行度の 2 番目の基準によると、平行線 AB と線 EF の平行線 CD が交差する過程で得られる角度が等しいことを証明する必要があります。 したがって、2 つの線 (1 番目と 2 番目の線) の平行度の符号は、3 番目の線がそれらと交差するときに得られる角度の等しいことに基づいています。 /3 = /2、角度 1 = /3 と仮定します。角度はそれに垂直であるためです。 したがって、および/2 は角度 1 に等しくなりますが、角度 1 と角度 2 は両方とも内部の交差する角度であることを考慮する必要があります。 したがって、私たちがしなければならないことは、知識を適用することだけです。つまり、2 つの線分が 3 番目の直線と交差するときに形成される横方向の角度が等しい場合、2 つの線分は平行になるということです。 したがって、AB || であることがわかりました。 CD。

対応する定理に従って、1 つの直線に対する 2 つの垂線が平行であると仮定すると、平行線の符号が明らかであることを証明することができました。

並列処理の 3 番目の兆候

平行度の 3 番目の記号もあり、これは片側の内角の合計によって証明されます。 この線の平行度の符号の証明により、2 本の線が 3 番目の線と交差するときに、結果として得られる片側の内角の合計が 2d に等しい場合、2 本の線は平行であると結論付けることができます。 図 192 を参照してください。

>>幾何学: 線の平行度の兆候。 レッスンを完了する

レッスンのトピック: 平行線のサイン。

レッスンの目標:

• 教育 – 「平行線の記号」というテーマに関する知識の繰り返し、一般化、テスト。 基本的なスキルの開発。
• 発達 – 生徒の注意力、忍耐力、忍耐力、論理的思考、数学的スピーチを発達させます。
• 教育的 - レッスンを通じて、お互いに対する気配りの態度を養い、仲間の話を聞く能力、相互扶助、独立性を植え付けます。
• 認知活動の発達と知識獲得における自立。
• 主題への興味と自主性を育てます。

授業計画:

1. 平行線。
2. 表記法、さまざまな種類のエラーを排除するための文字変数の簡単な概要。
3. レッスンの主なトピックである高さ、中央値、二等分線の定義の開示。
4. ステップバイステップの構築、正しい構築のための指示。
5. セルフテストタスク。

「平行」という言葉は、名詞「平行」の形容詞であり、「別の線に沿って走る線」を意味するラテン語の「平行線」に由来します。

平行線。

2 本の線が同じ平面上にあり、どれだけ長く続いても交差しない場合、その線は平行であると呼ばれます。

この図では、同じ平面上にあり、交差していない 2 本の直線が見えます。

線の平行性を示すには、記号 || が使用されます。 I1 および I2 という表記は、線 I1 が線 I2 に平行であることを意味します。

この図では、正方形と定規を使用して、直線 a に平行な点 B を通る直線 b を引く方法がわかります。

平行線の主な特性は、指定された線上にない点を介して、指定された直線に平行な直線を 1 本しか平面上に描画できないことです。

平行線の特性が実際にどのように使用されるかを見てみましょう。

最も単純な例は鉄道のレールで、互いに厳密に平行に配置されています。

この特性のおかげで、レールを使用して、ワゴンを使用して長距離にわたって商品や乗客を移動できます。

平行線のプロパティを使用する別の例は、エスカレーターです。

これらのデバイスはすべて、日常生活に役立ちます。 しかし、平行線の性質はもっと広く使われています。 これが使用される例をさらにいくつか示します。

平行線の兆候。

次の定理は、2 つのラインの並列性の十分条件 (つまり、満たされると並列性が保証される条件) を与えます。 それ以外の場合、このような定理は線の平行性の兆候と呼ぶことができます。

ファイル:T.gif 定理。横方向の内角が等しい場合、線は平行になります。

証拠：

いわゆる矛盾による方法を使用して定理を証明してみましょう。定理の条件が満たされているとします。つまり、線 AB と CD は割線 AC と等しい内交差角を形成しますが、定理の記述に反して、線 ABは線 CD と平行ではないため、線 AC からの半平面の 1 つにある点 O で交差します。

COA に等しい三角形 AO 1 C を光線 AC から脇に置き、頂点 O 1 が点 O 以外の半平面に位置するようにします。 これらの三角形の等価性から、 File:07012011 9.gif 、 File:07012011 10.gif ということがわかります。 条件による: ファイル: 07012011 11.gif そして、点 O、C、O 1 は同じ直線上にあり、同様に、角度 OCA と BAC に隣接する角度の条件による等式から、点 O 1 が次のようになります。 、A、O も 1 つの直線上にあります。 したがって、2 つの異なる直線 AB および CD は、平面の 2 つの異なる点 O および O 1 を通過することになります。 結果として生じる矛盾は定理を証明します。

定理に基づいて、さらにいくつかの並列性の兆候を簡単に証明できます。

1. 対応する角度が等しい場合、線は平行です。
2. 片側の内角の合計が 180° の場合、線は平行になります。
3. この声明から次のことがわかります

結果

3 番目の線に垂直な 2 つの線は平行です。

線の平行度の兆候（例）。

興味深い事実:

テクノロジーの発展に伴い、人類は既存のものを近代化し、改善するために絶えず努力しています。 また、PC の出現により、人々はすべての複雑で日常的なタスクを PC に移そうとしました。 しかし、いつものように、人は最も単純な知識を自分に残すべきです。 この例としては、3D オブジェクトを処理して作成できる単純なプログラムではありませんが、最も単純な詳細 (セグメント、角度、円、方向のベクトル) が人によって手動で入力されます。

質問:

1. セカントとは何ですか?
2. 2 本の平行線が横断線と交差するときに形成される角度のペアに名前を付けます。
3. 平行線の兆候を列挙します。

使用したソースのリスト:

1. 非政府教育機関の責任者：エレナ・アレクサンドロヴナ・リャボワ、2008年生まれ。
2. P.I. アルティノフ。 数学。 学童や大学受験者向けの 2,600 件のテストと検証タスク。
   出版社「ドロファ」、1999年。
3. 「平行線」のレッスン
4. 新聞『数学』第27号、2000年。

第 3 章
パラレルダイレクト

§ 35. 平行な 2 本の線の標識。

1 つの直線に対する 2 つの垂線は平行であるという定理 (§ 33) は、2 つの直線が平行であるという兆候を与えます。 2 つの線の平行度のより一般的な兆候を導き出すことが可能です。

1. 平行性の最初の兆候。

2 つの直線が 3 番目の直線と交差するとき、横方向の内角が等しい場合、これらの直線は平行です。

直線 AB と CD を直線 EF と交差させ、 / 1 = / 2. 点 O、つまりセカント EF のセグメント KL の中央を取ります (図 189)。

垂線 OM を点 O から直線 AB 上に下ろし、直線 CD、AB_|_MN と交差するまで続けましょう。 CD_|_MN であることを証明しましょう。
これを行うには、MOE と NOK という 2 つの三角形を考慮します。 これらの三角形は互いに等しい。 実際には： / 1 = / 2 定理の条件による。 ОK = ОL - 構造による。
/ 商船三井 = / NOK、垂直角のような。 したがって、1 つの三角形の辺と 2 つの隣接する角は、別の三角形の辺と 2 つの隣接する角にそれぞれ等しいことになります。 したがって、 /\ 商船三井 = /\ NOK、したがって
/ LMO = / KNO、でも / LMOは直接的、つまり、 / KNOもストレートです。 したがって、線 AB と CD は同じ線 MN に垂直であるため、それらは平行です (§ 33)。これは証明する必要があったものです。

注記。 直線 MO と CD の交点は、点 O を中心に三角形 MOL を 180°回転することによって確立できます。

2. 平行性の 2 番目の兆候。

直線 AB と CD が 3 番目の直線 EF と交差するとき、対応する角度が等しい場合、直線 AB と CD が平行であるかどうかを見てみましょう。

たとえば、いくつかの対応する角度が等しいとします。 / 3 = / ２（図１９０）；
/ 3 = / 1、角度が垂直であるため。 手段、 / 2は等しくなります / 1. しかし、角 2 と角 1 は交差内角であり、2 つの直線が 3 番目の直線と交差するとき、交差する内角が等しい場合、これらの線は平行であることはすでにわかっています。 したがって、AB || CD。

2 つの線が 3 番目の線と交差するときに、対応する角度が等しい場合、これらの 2 つの線は平行です。

定規と描画用三角形を使用した平行線の構築は、この特性に基づいています。 これは次のように行われます。

図191に示すように、三角形を定規に取り付けてみましょう。三角形の一方の辺が定規に沿ってスライドするように三角形を移動し、三角形のもう一方の辺に沿って数本の直線を描きます。 これらの線は平行になります。

3. 平行性の 3 番目の兆候。

2 つの直線 AB と CD が 3 番目の直線と交差するとき、内角の合計は 2 に等しいことがわかります。 d(または180°)。 この場合、直線ABと直線CDは平行になりますか(図192)。

させて / 1と / 2 は片面の内角であり、合計は 2 になります。 d.
しかし / 3 + / 2 = 2d隣接する角度として。 したがって、 / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

ここから / 1 = / これらの内角は十字方向にあります。 したがって、AB || CD。

2 つの直線が 3 番目の直線と交差するとき、内角の合計が次の値に等しい場合、 2 d の場合、これら 2 つの線は平行です。

エクササイズ。

線が平行であることを証明します。
a) 横方向の外角が等しい場合 (図 193)。
b) 片側の外角の合計が 2 に等しい場合 d（図194）。

どれだけ続けても交わらない。 筆記時の直線の平行度は次のように表されます。 AB|| とE

このような線が存在する可能性は定理によって証明されます。

定理。

与えられた線の外側に取られた任意の点を介して、この線に平行な点を描くことができます.

させて ABこの直線と とその外側にある点が取られます。 それを証明する必要がある と直線を引くことができます 平行AB。 まで下げてみましょう AB地点から と 垂直とDそして私たちは実施します とE^ とD, それは可能です。 真っ直ぐ CE平行 AB.

これを証明するために、逆のことを仮定してみます。つまり、 CEと交差する ABある時点で M。 それではポイントから M直線に とD 2 つの異なる垂線が存在することになります MDそして MS、それは不可能です。 手段、 CEと交差することはできません AB、つまり とE平行 AB.

結果。

2 本の垂線 (CEそしてDB) を 1 本の直線 (CD）は平行です。

平行線の公理。

同じ点を通って、同じ線に平行な 2 本の異なる線を引くことは不可能です。

したがって、まっすぐであれば、 とD、点を通して描画されます と線に平行 AB、その後 1 行おき とE、同じ点を通って描画されます と、平行にすることはできません AB、つまり 彼女は継続中です 交差しますと AB.

この完全に明白ではない真実を証明することは不可能であることが判明しました。 それは証拠なしに、必要な仮定（仮定）として受け入れられます。

結果。

1. もし 真っ直ぐ(とE) は次のいずれかと交差します 平行(北東)、次に別の ( AB）、そうでない場合は同じ点を経由するため と平行に通る2つの異なる線があるでしょう AB、それは不可能です。

2. 2 つのそれぞれが 直接 (あそしてB) は同じ 3 番目の直線 ( と) 、そして彼らは 平行彼らの間で。

確かに、そう仮定すると、 あそして Bいつか交わる Mの場合、2 つの異なる直線がこの点を平行に通過します。 と、それは不可能です。

定理.

もし 線は垂直です平行線の一方に対して垂直になると、もう一方に対して垂直になります 平行.

させて AB || とDそして EF ^ AB.それを証明する必要があります。 EF ^ とD.

垂直EFと交差する AB、必ず交差し、 とD。 交点を H.

ここで次のように仮定してみましょう とDに垂直ではない E.H.。 次に、他の直線、たとえば 香港、に垂直になります E.H.したがって、同じ点を通じて H 2つあるでしょう まっすぐ平行 AB： 1つ とD、条件別、その他 香港以前に証明されたように。 それは不可能なので、次のように仮定することはできません。 北東に対して垂直ではなかった E.H..