対数概念による解法。 対数の定義、基本対数恒等式

したがって、2 のべき乗があります。 一番下の行から数値を取得すると、この数値を得るために 2 を累乗する必要がある累乗を簡単に見つけることができます。 たとえば、16 を取得するには、2 の 4 乗する必要があります。 そして 64 を取得するには、2 の 6 乗する必要があります。 これは表からもわかります。

そして今、実際に対数の定義は次のとおりです。

x の底 a の対数は、x を得るために a を累乗する必要があります。

指定: log a x = b、ここで、a は底、x は引数、b は対数が実際に等しいものです。

たとえば、2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (2 3 = 8 であるため、8 の底 2 の対数は 3 です)。 同じ成功ログでは、2 6 = 64 なので、2 64 = 6 となります。

与えられた底に対する数値の対数を求める操作は、対数化と呼ばれます。 そこで、テーブルに新しい行を追加しましょう。

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
対数 2 2 = 1	対数 2 4 = 2	対数 2 8 = 3	対数 2 16 = 4	対数 2 32 = 5	対数 2 64 = 6

残念ながら、すべての対数がそれほど簡単に計算できるわけではありません。 たとえば、 log 2 5 を検索してみてください。 数値 5 は表にありませんが、論理的には対数がセグメント上のどこかにあることがわかります。 なぜなら 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

このような数は無理数と呼ばれます。小数点以降の数は無限に書き込むことができ、決して繰り返されません。 対数が無理数であることが判明した場合は、log 2 5、log 3 8、log 5 100 のようにそのままにしておく方がよいでしょう。

対数は 2 つの変数 (底と引数) を含む式であることを理解することが重要です。 最初は、どこが根拠でどこが議論なのか混同する人が多いです。 迷惑な誤解を避けるために、次の写真を見てください。

私たちの前にあるのは対数の定義にすぎません。 覚えて： 対数は累乗です、引数を取得するにはベースを構築する必要があります。 累乗されるのはベースです。写真では赤で強調表示されています。 ベースは常に最下位にあることが判明しました。 私は最初のレッスンでこの素晴らしいルールを生徒たちに伝えますが、混乱は起こりません。

定義はわかったので、あとは対数の数え方を学ぶだけです。 「ログ」記号を削除します。 まず、この定義から 2 つの重要な事実が得られることに注意してください。

1. 引数と基数は常にゼロより大きくなければなりません。 これは、有理指数による次数の定義に基づいて、対数の定義が縮小されます。
2. 1 は、程度を問わず 1 のままであるため、基底は 1 とは異なっていなければなりません。 このため、「2 を得るには 1 を何乗する必要があるか」という質問は無意味です。 そんな学位はないよ！

このような制限はと呼ばれます 許容値の範囲(ODZ)。 対数の ODZ は次のようになることがわかります: log a x = b ⇒ x > 0、a > 0、a ≠ 1。

なお、ｂ（対数値）の値には制限はない。 たとえば、対数が負になる可能性は十分にあります: log 2 0.5 = −1。 0.5 = 2 −1。

ただし、ここでは対数の VA を知る必要がない数値式のみを考えています。 すべての制限はタスクの作成者によってすでに考慮されています。 しかし、対数方程式や不等式が登場すると、DL 要件が必須になります。 結局のところ、根拠と議論には、必ずしも上記の制限に対応しない非常に強力な構造が含まれている可能性があります。

次に、対数を計算するための一般的なスキームを見てみましょう。 これは 3 つのステップで構成されます。

1. 基数 a と引数 x を、1 より大きい最小可能な基数のべき乗として表します。 途中で、小数点を削除した方がよいでしょう。
2. 変数 b の方程式を解きます。 x = a b ;
3. 得られた数字 b が答えになります。

それだけです！ 対数が無理数であることが判明した場合、これは最初のステップですでに表示されています。 底が 1 より大きいという要件は非常に重要です。これにより、エラーの可能性が減り、計算が大幅に簡素化されます。 小数の場合も同様で、すぐに通常の分数に変換すると、間違いは大幅に減ります。

具体的な例を使用して、このスキームがどのように機能するかを見てみましょう。

タスク。 対数を計算します: log 5 25

1. 基数と引数が 5 の累乗であると想像してみましょう: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

方程式を作成して解いてみましょう。
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. 答えは 2 でした。

タスク。 対数を計算します。

タスク。 対数を計算します: log 4 64

1. 基数と引数が 2 の累乗であると想像してみましょう: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. 方程式を作成して解いてみましょう。
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. 答えは3です。

タスク。 対数を計算します: log 16 1

1. 基数と引数が 2 の累乗であると想像してみましょう: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. 方程式を作成して解いてみましょう。
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. 答えは「0」でした。

タスク。 対数を計算します: log 7 14

1. 基数と引数が 7 の累乗であると想像してみましょう: 7 = 7 1 ; 7 1 であるため、14 は 7 のべき乗として表すことができません。< 14 < 7 2 ;
2. 前の段落から、対数はカウントされないことがわかります。
3. 答えは変わりません: log 7 14。

最後の例に関する小さなメモ。 ある数値が別の数値の正確なべき乗ではないことをどうやって確認できるでしょうか? とても簡単です。素因数分解するだけです。 展開に少なくとも 2 つの異なる係数がある場合、その数値は正確な累乗ではありません。

タスク。 数値が正確な累乗であるかどうかを調べます: 8; 48; 81; 35; １４．

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - 正確な次数です。 乗算器は 1 つだけです。
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - は、3 と 2 の 2 つの因数があるため、正確な累乗ではありません。
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - 正確な度数。
35 = 7 · 5 - これも正確な累乗ではありません。
14 = 7 · 2 - これも正確な度数ではありません。

素数自体は常にそれ自体の正確なべき乗であることにも注意してください。

10 進対数

一部の対数は非常に一般的であるため、特別な名前と記号が付いています。

x の 10 進対数は、10 を底とする対数、つまり 10 を底とする対数です。 数値 x を得るために数値 10 を累乗する必要があります。 指定: lg x。

たとえば、log 10 = 1; ログ 100 = 2; lg 1000 = 3 - など

今後、教科書に「lg 0.01 を検索」のような語句が出てきたら、これはタイプミスではないことを知っておいてください。 これは 10 進対数です。 ただし、この表記に慣れていない場合は、いつでも書き直すことができます。
対数 x = 対数 10 x

通常の対数に当てはまることはすべて、10 進対数にも当てはまります。

自然対数

独自の名称を持つ別の対数があります。 ある意味では、10 進数よりも重要です。 自然対数について話しています。

x の自然対数は e を底とする対数、つまり次のようになります。 数値 x を得るために数値 e を累乗する必要がある累乗。 指定: ln x 。

多くの人は「e という数字は何ですか?」と尋ねるでしょう。 これは無理数であるため、正確な値を見つけて書き留めることはできません。 最初の数字だけを示します。
e = 2.718281828459...

この数値が何なのか、またなぜそれが必要なのかについては詳しく説明しません。 e が自然対数の底であることを覚えておいてください。
ln x = log e x

したがって、 ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - など 一方、ln 2 は無理数です。 一般に、有理数の自然対数は無理数です。 もちろん、ln 1 = 0 の場合を除きます。

自然対数の場合、通常の対数に当てはまるすべての規則が有効です。

対数式、解決例。 この記事では、対数を解くことに関連する問題を見ていきます。 このタスクでは、式の意味を見つけるという質問が行われます。 対数の概念は多くのタスクで使用され、その意味を理解することが非常に重要であることに注意してください。 統一国家試験に関しては、方程式を解くとき、応用問題、関数の学習に関連するタスクでも対数が使用されます。

対数の意味そのものを理解するために例を示します。

基本的な対数恒等式:

常に覚えておく必要がある対数の性質:

*積の対数は、係数の対数の合計に等しい。

* * *

*商（分数）の対数は、因子の対数間の差に等しい。

* * *

*指数の対数は、指数とその底の対数の積に等しい。

* * *

※新財団へ移行

* * *

その他のプロパティ:

* * *

対数の計算は、指数のプロパティの使用と密接に関連しています。

それらのいくつかをリストしてみましょう:

この特性の本質は、分子が分母に、またはその逆に変換されると、指数の符号が逆に変化することです。 例えば：

この性質から得られる結果は次のとおりです。

* * *

べき乗を累乗すると、底は変わりませんが、指数は乗算されます。

* * *

ご覧のとおり、対数の概念自体は単純です。 重要なことは、一定のスキルを身につける適切な練習が必要であるということです。 もちろん公式の知識も必要です。 初等対数を変換するスキルが発達していない場合、単純なタスクを解くときに簡単に間違いを犯す可能性があります。

練習して、最初に数学コースの最も単純な例を解いてから、より複雑な例に進みます。 将来的には、統一国家試験には出題されない「恐ろしい」対数の解き方を必ずお見せします。興味深いものですので、お見逃しなく。

それだけです！ 頑張って！

よろしくお願いします、アレクサンダー・クルチツキーク

P.S: ソーシャルネットワーク上でこのサイトについて教えていただければ幸いです。

に関して

与えられた他の 2 つの数値から 3 つの数値のいずれかを見つけるタスクを設定できます。 a と N が与えられた場合、それらはべき乗によって求められます。 N の場合、a は次数 x の根を取る (または累乗する) ことによって与えられます。 ここで、a と N が与えられた場合に、x を見つける必要がある場合を考えてみましょう。

数値 N が正であるとします。数値 a は正であり、1 に等しくありません。

意味。 数値 N の底 a の対数は、数値 N を取得するために a を累乗する必要がある指数です。 対数は次のように表されます

したがって、式 (26.1) では、指数は底 a に対する N の対数として求められます。 投稿

同じ意味を持ちます。 等式 (26.1) は、対数理論の主要な正体と呼ばれることもあります。 実際には、対数の概念の定義を表します。 この定義によれば、対数 a の底は常に正であり、1 とは異なります。 対数 N は正です。 負の数とゼロには対数がありません。 特定の底をもつ数値には明確に定義された対数があることが証明できます。 したがって、平等には平等が伴います。 ここでは条件が必須であることに注意してください。そうでない場合は、x と y のどの値に対しても等価であるため、結論は正当化されません。

例 1. 検索

解決。 数値を取得するには、基数 2 を累乗する必要があります。

このような例を解くときに、次の形式でメモを作成できます。

例 2. を検索します。

解決。 我々は持っています

例 1 と 2 では、対数を有理指数を使った底のべき乗として表すことで、目的の対数を簡単に見つけることができました。 たとえば、などの一般的なケースでは、対数には無理な値があるため、これを行うことはできません。 この声明に関連する 1 つの問題に注目してみましょう。 パラグラフ 12 では、与えられた正の数の実累乗を決定する可能性の概念を示しました。 これは対数を導入するために必要でした。対数は一般的に無理数になる可能性があります。

対数のいくつかの性質を見てみましょう。

特性 1. 数値と底が等しい場合、対数は 1 に等しく、逆に、対数が 1 に等しい場合、数値と底は等しい。

証拠。 対数の定義によって、私たちが持っているものとその由来

逆に、定義により then とします。

特性 2. 1 を底とする対数はゼロに等しい。

証拠。 対数の定義による (正の底のゼロ乗は 1 に等しい、(10.1) を参照)。 ここから

Q.E.D.

逆のステートメントも真です: if 、then N = 1。実際、 があります。

対数の次の性質を定式化する前に、2 つの数 a と b が両方とも c より大きいか c より小さい場合、2 つの数 a と b は 3 番目の数 c の同じ側にあるということに同意しましょう。 これらの数値の一方が c より大きく、もう一方が c より小さい場合、それらは c の反対側にあると言えます。

特性 3. 数値と底が 1 の同じ側にある場合、対数は正になります。 数値と底が 1 の反対側にある場合、対数は負になります。

性質 3 の証明は、底が 1 より大きく指数が正の場合、または底が 1 より小さく指数が負の場合、a のべき乗が 1 より大きいという事実に基づいています。 底が 1 より大きく指数が負の場合、または底が 1 より小さく指数が正の場合、べき乗は 1 より小さくなります。

考慮すべきケースは 4 つあります。

ここでは最初の分析に限定しますが、残りは読者がご自身で検討してください。

したがって、指数は負になることもゼロに等しくなることもあり得ず、したがって、証明される必要があるように正であるとします。

例 3. 以下の対数のうち、どれが正でどれが負であるかを調べます。

解決策、a) 数字の 15 と基数 12 が同じ側にあるため。

b) 1000 と 2 がユニットの片側にあるため。 この場合、底が対数より大きいかどうかは重要ではありません。

c) 3.1 と 0.8 は 1 の反対側にあるため。

G) ; なぜ？

d）; なぜ？

次のプロパティ 4 ～ 6 は、対数規則と呼ばれることがよくあります。これらの規則により、いくつかの数値の対数がわかっていて、それらの積、商、および次数のそれぞれの対数を見つけることができます。

特性 4 (積対数規則)。 特定の底に対するいくつかの正の数の積の対数は、同じ底に対するこれらの数値の対数の合計に等しくなります。

証拠。 与えられた数値を正の値とします。

積の対数については、対数を定義する等式 (26.1) を書きます。

ここから私たちは見つけます

最初と最後の式の指数を比較すると、必要な等価性が得られます。

この条件は必須であることに注意してください。 2 つの負の数の積の対数は意味を持ちますが、この場合は次のようになります。

一般に、いくつかの因子の積が正の場合、その対数はこれらの因子の絶対値の対数の合計に等しくなります。

特性 5 (商の対数を取るための規則)。 正の数の商の対数は、同じ底をとった被除数と除数の対数の差に等しくなります。 証拠。 私たちは一貫して見つけます

Q.E.D.

特性 6 (べき乗対数則)。 正の数の累乗の対数は、その数値の対数に指数を乗じたものに等しくなります。

証拠。 数値の主なアイデンティティ (26.1) をもう一度書いてみましょう。

Q.E.D.

結果。 正の数の根の対数は、根号の対数を根の指数で割ったものに等しくなります。

この結果の妥当性は、プロパティ 6 をどのように使用するかを想像することで証明できます。

例 4. a を底とする対数を計算します。

a) (すべての値 b、c、d、e が正であると仮定します);

b) ( であると仮定します)。

解決策、a) この式では分数べき乗を行うと便利です。

等式 (26.5) ～ (26.7) に基づいて、次のように書くことができます。

数値そのものよりも、数値の対数に対して単純な演算が実行されることがわかります。数値を乗算する場合は対数を加算し、除算する場合は減算するなどです。

これが、計算の実践で対数が使用される理由です (段落 29 を参照)。

対数の逆作用は増強と呼ばれます。つまり、増強とは、数値の与えられた対数から数値そのものを求める作用です。 基本的に、増強は特別なアクションではありません。つまり、底をべき乗 (数値の対数に等しい) することになります。 「増強」という用語は、「べき乗」という用語と同義であると考えることができます。

増強するときは、対数の規則の逆の規則を使用する必要があります。つまり、対数の和を積の対数に置き換えたり、対数の差を商の対数に置き換えたりする必要があります。特に、前に因数がある場合は、対数の符号を表すと、増強中に対数の符号の下の指数次数に変換する必要があります。

例 5. 次のことがわかっている場合は N を求めます。

解決。 先ほど述べた増強の法則に関連して、この等式の右側にある対数の符号の前にある因数 2/3 と 1/3 を、これらの対数の符号の下にある指数に変換します。 我々が得る

ここで、対数の差を商の対数に置き換えます。

この一連の等式の最後の分数を取得するには、分母の無理から前の分数を解放します (第 25 節)。

特性 7. 底が 1 より大きい場合、大きい数の対数は大きくなり (小さいほど小さい)、底が 1 より小さい場合、大きい数の対数は小さくなります (小さいほど対数が小さくなります)。 1 つは大きいものを持っています）。

この特性は、両辺が正である不等式の対数を取るためのルールとしても定式化されます。

不等号を底を 1 より大きく対数計算する場合、不等号の符号は保持され、底を 1 未満に対数計算する場合、不等号の符号は反対に変わります (段落 80 も参照)。

証明はプロパティ 5 と 3 に基づいています。 If 、 then 、そして対数を取る場合を考えてみましょう。

(a と N/M は単位の同じ側にあります)。 ここから

ケース a が続きますが、読者は自分でそれを理解するでしょう。

ご存知のとおり、式にべき乗を掛ける場合、それらの指数は常に加算されます (a b *a c = a b+c)。 この数学法則はアルキメデスによって導出され、その後 8 世紀に数学者ヴィラセンが整数の指数の表を作成しました。 対数のさらなる発見に貢献したのは彼らでした。 この関数の使用例は、面倒な乗算を単純な加算によって簡素化する必要があるほとんどの場所で見られます。 この記事を 10 分間読んでいただければ、対数とは何か、そして対数をどのように扱うかについて説明します。 シンプルで親しみやすい言語で。

数学における定義

対数は、次の形式の式です。log a b=c、つまり、負でない数値 (つまり、正の数値) "b" の底 "a" に対する対数は、累乗 "c とみなされます。最終的に値「b」を得るには、底「a」を累乗する必要があります。 例を使用して対数を分析しましょう。log 2 という式があるとします。 8. 答えを見つけるにはどうすればよいですか? それは非常に簡単です。2 から必要な累乗が 8 になるような累乗を見つける必要があります。頭の中でいくつかの計算を行うと、数字 3 が得られます。 それは真実です。2 の 3 乗により、答えは 8 になるからです。

対数の種類

多くの生徒や学生にとって、このトピックは複雑で理解できないように見えますが、実際には対数はそれほど怖いものではありません、主なことはその一般的な意味を理解し、その特性といくつかの規則を覚えておくことです。 対数式には 3 つの異なるタイプがあります。

1. 自然対数 ln a、底はオイラー数 (e = 2.7)。
2. 10 進数の a。底は 10 です。
3. a>1 を底とする任意の数 b の対数。

それらのそれぞれは、対数定理を使用した単純化、縮小、およびその後の単一対数への縮小などの標準的な方法で解決されます。 対数の正しい値を取得するには、対数の特性と、対数を解くときのアクションの順序を覚えておく必要があります。

ルールといくつかの制限事項

数学では、公理として受け入れられるルール制約がいくつかあります。つまり、それらは議論の対象ではなく、真実です。 たとえば、数値をゼロで割ることは不可能であり、負の数の偶根を抽出することも不可能です。 対数にも独自のルールがあり、これに従うと、長くて量の多い対数式でも操作方法を簡単に学ぶことができます。

• 基底「a」は常にゼロより大きく、1 に等しくない必要があります。そうでない場合、「1」と「0」はどの程度であっても常にその値と等しいため、式は意味を失います。
• a > 0、a b >0 の場合、「c」もゼロより大きくなければならないことがわかります。

対数を解くにはどうすればいいですか?

たとえば、方程式 10 x = 100 の答えを見つけるというタスクが与えられます。これは非常に簡単です。100 になる数値 10 を累乗して累乗を選択する必要があります。もちろん、これは 10 2 = です。 100。

次に、この式を対数形式で表してみましょう。 log 10 100 = 2 が得られます。対数を解くとき、すべてのアクションは実質的に収束して、特定の数値を取得するために対数の底を入力する必要がある累乗を求めます。

未知の度数の値を正確に判断するには、度数テーブルの操作方法を学ぶ必要があります。 次のようになります。

ご覧のとおり、技術的な知識と九九の知識があれば、一部の指数は直感的に推測できます。 ただし、より大きな値の場合は、電力テーブルが必要になります。 複雑な数学的トピックについてまったく知らない人でも使用できます。 左の列には数値 (基数 a) が含まれており、数値の一番上の行は数値 a を累乗した c の値です。 交点のセルには、答えとなる数値 (a c =b) が含まれています。 たとえば、数字 10 の最初のセルを 2 乗すると、値 100 が得られます。これは 2 つのセルの交点に示されます。 すべてはとてもシンプルで簡単なので、最も真のヒューマニストでも理解できるでしょう。

方程式と不等式

特定の条件下では、指数は対数になることがわかります。 したがって、あらゆる数学的数値表現は対数等式として記述することができます。 たとえば、3 4 =81 は、4 に等しい 81 の 3 を底とする対数として書くことができます (log 3 81 = 4)。 負の累乗の場合もルールは同じです。2 -5 = 1/32 を対数として書くと、log 2 (1/32) = -5 が得られます。 数学の最も魅力的なセクションの 1 つは、「対数」のトピックです。 以下の方程式の性質を調べた直後に、その例と解を見ていきます。 ここで、不等式がどのようなものか、そして不等式と方程式を区別する方法を見てみましょう。

次の式が与えられます: log 2 (x-1) > 3 - 未知の値「x」は対数符号の下にあるため、これは対数不等式です。 また、この式では 2 つの量が比較されます。目的の数値の底 2 に対する対数は、数値 3 よりも大きいです。

対数方程式と不等式の最も重要な違いは、対数を含む方程式 (たとえば、対数 2 x = √9) は答えに 1 つ以上の特定の数値を暗示するのに対し、不等式を解く際には両方の許容範囲が暗示されることです。値とポイントはこの関数を破って決定されます。 結果として、答えは方程式の答えのような単純な個々の数値のセットではなく、連続する一連の数値または数値のセットになります。

対数に関する基本定理

対数の値を求めるという原始的なタスクを解決する場合、その特性がわからない場合があります。 ただし、対数方程式や不等式に関しては、まず対数の基本的な性質をすべて明確に理解し、実際に適用する必要があります。 後ほど方程式の例を見ていきますが、まず各プロパティを詳しく見てみましょう。

1. 主な恒等式は次のようになります: a logaB =B。 これは、a が 0 より大きく 1 ではなく、B が 0 より大きい場合にのみ適用されます。
2. 積の対数は、次の式で表すことができます: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2。この場合、必須の条件は次のとおりです: d、s 1、および s 2 > 0。 a≠1。 この対数公式を例と解法を使って証明することができます。 log a s 1 = f 1 および log a s 2 = f 2 とすると、a f1 = s 1、a f2 = s 2 となります。 s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (次のプロパティ) が得られます。度 )、そして定義により、 log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2、これが証明する必要があるものです。
3. 商の対数は次のようになります: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2。
4. 数式の定理は次の形式になります: log a q b n = n/q log a b。

この式を「対数の次数の性質」といいます。 これは通常の学位の特性に似ていますが、すべての数学は自然公準に基づいているため、これは驚くべきことではありません。 証明を見てみましょう。

log a b = t とすると、a t =b になります。 両方の部分を m 乗すると、次のようになります。 a tn = b n ;

しかし、 a tn = (a q) nt/q = b n なので、log a q b n = (n*t)/t となり、log a q b n = n/q log a b となります。 定理は証明されました。

問題と不平等の例

対数に関する最も一般的なタイプの問題は、方程式と不等式の例です。 ほぼすべての問題集に掲載されており、数学の試験でも必須となります。 大学に入学したり、数学の入学試験に合格したりするには、そのような問題を正しく解く方法を知る必要があります。

残念ながら、対数の未知の値を解いて決定するための単一の計画やスキームはありませんが、特定のルールを各数学的不等式または対数方程式に適用できます。 まず第一に、式を簡略化できるか、または一般的な形式に縮小できるかどうかを確認する必要があります。 プロパティを正しく使用すれば、長い対数式を簡略化できます。 早速彼らについて知りましょう。

対数方程式を解くときは、どのような種類の対数があるかを決定する必要があります。式の例には、自然対数または小数の対数が含まれている場合があります。

ln100、ln1026 の例を次に示します。 彼らの解決策は、要するに、底の 10 がそれぞれ 100 と 1026 に等しくなるべき乗を決定する必要があるという事実に帰着します。 自然対数を解くには、対数恒等式またはそのプロパティを適用する必要があります。 さまざまなタイプの対数問題を解く例を見てみましょう。

対数式の使用方法: 例と解決策付き

それでは、対数に関する基本定理の使用例を見てみましょう。

1. 積の対数の特性は、数値 b の大きな値をより単純な因数に分解する必要があるタスクで使用できます。 たとえば、log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512。答えは 9 です。
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - ご覧のとおり、対数累乗の 4 番目のプロパティを使用して、一見複雑で解けない式をなんとか解くことができました。 底を因数分解して、対数の符号から指数値を取り出すだけです。

統一州試験の課題

対数は入学試験でよく出題され、特に統一州試験（学校卒業生全員を対象とした州試験）では対数の問題が多く出題されます。 通常、これらのタスクはパート A (試験の最も簡単なテスト部分) だけでなく、パート C (最も複雑で量の多いタスク) にも存在します。 試験では、「自然対数」というトピックについての正確かつ完璧な知識が必要です。

問題の例と解決策は、統一州試験の公式バージョンから引用されています。 このようなタスクがどのように解決されるかを見てみましょう。

log 2 (2x-1) = 4 と仮定します。 解決策:
式を少し単純化して書き直してみましょう。 log 2 (2x-1) = 2 2、対数の定義により、2x-1 = 2 4 となるため、2x = 17 となります。 x = 8.5。

• 解決策が煩雑で混乱しないように、すべての対数を同じ底に換算することが最善です。
• 対数記号の下の式はすべて正として示されるため、対数記号の下にある式の底となる指数を乗数として取り出すとき、対数記号の下に残る式は正でなければなりません。

主な特性.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x:y)。

同一の根拠

Log6 4 + log6 9。

では、タスクを少し複雑にしてみましょう。

対数を解く例

対数の底または引数が累乗の場合はどうなるでしょうか? 次に、次の規則に従って、対数の符号からこの次数の指数を取り出すことができます。

もちろん、対数の ODZ が観察される場合、これらすべての規則は意味を持ちます: a > 0、a ≠ 1、x >

タスク。 式の意味を調べます。

新しい基盤への移行

対数 logax を与えます。 次に、c > 0 かつ c ≠ 1 であるような任意の数値 c について、等式は真です。

タスク。 式の意味を調べます。

以下も参照してください。

対数の基本的な性質

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

指数は 2.718281828… です。 指数を覚えるには、法則を勉強してください。指数は 2.7 に等しく、レフ ニコラエヴィチ トルストイの誕生年の 2 倍です。

対数の基本的な性質

このルールを知れば、指数の正確な値とレフ・トルストイの生年月日の両方がわかります。

対数の例

対数表現

例1.
A)。 x=10ac^2 (a>0、c>0)。

プロパティ 3.5 を使用して計算します

2.

3.

4. どこ .

例 2. 次の場合に x を求める

例 3. 対数値を与えてみましょう

次の場合に log(x) を計算します。

対数の基本的な性質

対数は、他の数値と同様、あらゆる方法で加算、減算、変換できます。 しかし、対数はまったく普通の数ではないため、ここには次のような規則があります。 主な特性.

これらのルールを必ず知っておく必要があります。ルールがなければ、深刻な対数問題は 1 つも解決できません。 さらに、それらの数は非常に少なく、1日ですべてを学ぶことができます。 それでは始めましょう。

対数の加算と減算

同じ底を持つ 2 つの対数、logax と logay を考えてみましょう。 その後、これらを加算および減算し、次の操作を行うことができます。

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x:y)。

したがって、対数の合計は積の対数に等しく、差は商の対数に等しくなります。 注意してください: ここで重要な点は次のとおりです 同一の根拠。 理由が異なる場合、これらのルールは機能しません。

これらの公式は、個々の部分が考慮されていない場合でも、対数式を計算するのに役立ちます (レッスン「対数とは」を参照)。 例を見て、次のことを確認してください。

対数の底は同じなので、合計の公式を使用します。
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2。

タスク。 式の値を見つけます: log2 48 − log2 3。

ベースは同じなので、差分の式を使用します。
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4。

タスク。 式の値を見つけます: log3 135 − log3 5。

ここでもベースは同じなので、次のようになります。
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3。

ご覧のとおり、元の式は「悪い」対数で構成されており、個別に計算されていません。 しかし、変換後は完全に正規の数値が得られます。 多くのテストはこの事実に基づいています。 はい、統一国家試験では、テストのような表現が真剣に (場合によってはほとんど変更なしで) 提供されます。

対数から指数を抽出する

最後のルールが最初の 2 つのルールに従っていることは簡単にわかります。 ただし、とにかく覚えておいたほうがよいでしょう。場合によっては、計算量が大幅に削減されます。

もちろん、対数の ODZ (a > 0、a ≠ 1、x > 0) が観察されていれば、これらすべてのルールは意味を持ちます。そしてもう 1 つ、すべての式を左から右へだけでなく、その逆にも適用することを学びましょう。 、つまり 対数記号の前の数値を対数そのものに入力できます。 これが最も頻繁に必要となるものです。

タスク。 式の値を見つけます: log7 496。

最初の式を使用して、引数内の次数を取り除きましょう。
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

タスク。 式の意味を調べます。

分母には​​対数が含まれており、その底と引数は正確なべき乗であることに注意してください: 16 = 24; 49 = 72。次のようになります。

最後の例については、もう少し説明が必要だと思います。 対数はどこへ行ったのでしょうか? 最後の瞬間まで、私たちは分母だけを扱います。

対数の公式。 対数は解決策の例です。

そこに立っている対数の底と引数をべき乗の形で提示し、指数を取り除きました。「3 階建て」の分数が得られました。

次に、主要部分を見てみましょう。 分子と分母には同じ数値が含まれます: log2 7。log2 7 ≠ 0 なので、分数を減らすことができます。分母には 2/4 が残ります。 算術の規則によれば、4 を分子に移すことができ、それが行われたのです。 結果は、答えは２でした。

新しい基盤への移行

対数の加算と減算のルールについて、これらは同じ底を使用した場合にのみ機能することを特に強調しました。 理由が違っていたらどうなるでしょうか？ それらが同じ数の正確なべき乗ではない場合はどうなるでしょうか?

新しい財団への移行のための公式が役に立ちます。 それらを定理の形で定式化してみましょう。

対数 logax を与えます。 次に、c > 0 かつ c ≠ 1 であるような任意の数値 c について、等式は真です。

特に、 c = x と設定すると、次のようになります。

2 番目の式から、対数の底と引数を交換できることがわかりますが、この場合、式全体が「ひっくり返る」ことになります。 対数が分母に表示されます。

これらの式は、通常の数値式ではほとんど見られません。 対数方程式や不等式を解く場合にのみ、その利便性を評価することができます。

しかし、新たな基盤に移行する以外には全く解決できない問題もある。 いくつか見てみましょう:

タスク。 式の値を見つけます: log5 16 log2 25。

両方の対数の引数には正確な累乗が含まれることに注意してください。 指標を取り出してみましょう: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

次に、2 番目の対数を「反転」してみましょう。

因数を並べ替えても積は変わらないので、落ち着いて4と2を掛けてから対数を扱いました。

タスク。 式の値を見つけます: log9 100 lg 3。

最初の対数の底と引数は正確な累乗です。 これを書き留めてインジケーターを取り除きましょう。

次に、新しい底に移動して 10 進対数を取り除きましょう。

基本対数恒等式

多くの場合、解法プロセスでは、数値を特定の底の対数として表す必要があります。 この場合、次の公式が役に立ちます。

最初のケースでは、数値 n が引数の指数になります。 数値 n は単なる対数値であるため、任意の値を指定できます。

2 番目の式は実際には定義を言い換えたものです。 それは次のように呼ばれています。

実際、数値 b を、数値 b の累乗が数値 a になるように累乗するとどうなるでしょうか? そうです。結果は同じ数値 a です。 この段落をもう一度注意深く読んでください。多くの人がここで行き詰まってしまいます。

新しい底に移動するための公式と同様に、基本的な対数恒等式が唯一可能な解決策である場合があります。

タスク。 式の意味を調べます。

log25 64 = log5 8 - 対数の底と引数から単純に二乗したことに注意してください。 同じ基数でべき乗を乗算するルールを考慮すると、次のようになります。

知らない人もいるかもしれませんが、これは統一国家試験の実際の課題でした :)

対数単位と対数ゼロ

結論として、プロパティとは言い難い 2 つの恒等式を示します。むしろ、それらは対数の定義の結果です。 それらは常に問題に登場し、驚くべきことに「上級」の生徒でも問題を作成します。

1. logaa = 1 です。 必ず覚えておいてください。底 a の底に対する対数自体は 1 に等しいということです。
2. loga 1 = 0 です。 基数 a は何でも構いませんが、引数に 1 が含まれる場合、対数は 0 に等しくなります。 a0 = 1 は定義の直接的な結果であるためです。

それがすべてのプロパティです。 ぜひ実践してみてください！ レッスンの初めにカンニングペーパーをダウンロードして印刷し、問題を解いてください。

以下も参照してください。

a を底とする b の対数は式を表します。 対数を計算するとは、等式が満たされるときのべき乗 x () を見つけることを意味します。

対数の基本的な性質

対数に関連するほとんどすべての問題と例はそれらに基づいて解決されるため、上記の特性を知っておく必要があります。 残りのエキゾチックな特性は、次の式を使用した数学的操作を通じて導き出すことができます。

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

対数の和と差の公式 (3.4) を計算するときに、よく出てきます。 残りはやや複雑ですが、多くのタスクでは、複雑な式を簡略化し、その値を計算するために不可欠です。

対数の一般的なケース

常用対数の中には、底が 10 の場合や、指数関数または 2 の場合があります。
10 を底とする対数は通常 10 進対数と呼ばれ、単に lg(x) と表されます。

基本的なことが録音に書かれていないのは録音を見れば明らかです。 例えば

自然対数は、底が指数である対数です (ln(x) で示されます)。

指数は 2.718281828… です。 指数を覚えるには、法則を研究することができます。指数は 2.7 に等しく、レオ・ニコラエヴィチ・トルストイの誕生年の 2 倍です。 このルールを知れば、指数の正確な値とレフ・トルストイの生年月日の両方がわかります。

そして、底 2 に対するもう 1 つの重要な対数は、次のように表されます。

関数の対数の導関数は、変数で割ったものに等しい

積分または逆微分対数は、次の関係によって決定されます。

与えられた資料は、対数と対数に関連する幅広いクラスの問題を解決するのに十分です。 内容を理解しやすくするために、学校のカリキュラムや大学の一般的な例をいくつか挙げます。

対数の例

対数表現

例1.
A)。 x=10ac^2 (a>0、c>0)。

プロパティ 3.5 を使用して計算します

2.
対数の差の性質により、次のようになります。

3.
プロパティ 3.5 を使用すると、次のことがわかります。

4. どこ .

一見複雑な式は、いくつかのルールを使用して簡略化されて形成されます

対数値を求める

例 2. 次の場合に x を求める

解決。 計算にあたっては、前期の5物件と13物件に適用します。

私たちはそれを記録に残して悼みます

基数が等しいので、式を同等とみなします。

対数。 最初のレベル。

対数の値を与えてみましょう

次の場合に log(x) を計算します。

解決策: 変数の対数をとり、その項の合計で対数を書きましょう

これは、対数とその特性についての知識の始まりにすぎません。 計算を練習し、実践的なスキルを強化します。対数方程式を解くために得た知識はすぐに必要になります。 このような方程式を解くための基本的な方法を学習したら、もう 1 つの同様に重要なトピックである対数不等式に知識を広げていきます。

対数の基本的な性質

対数は、他の数値と同様、あらゆる方法で加算、減算、変換できます。 しかし、対数はまったく普通の数ではないため、ここには次のような規則があります。 主な特性.

これらのルールを必ず知っておく必要があります。ルールがなければ、深刻な対数問題は 1 つも解決できません。 さらに、それらの数は非常に少なく、1日ですべてを学ぶことができます。 それでは始めましょう。

対数の加算と減算

同じ底を持つ 2 つの対数、logax と logay を考えてみましょう。 その後、これらを加算および減算し、次の操作を行うことができます。

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x:y)。

したがって、対数の合計は積の対数に等しく、差は商の対数に等しくなります。 注意してください: ここで重要な点は次のとおりです 同一の根拠。 理由が異なる場合、これらのルールは機能しません。

これらの公式は、個々の部分が考慮されていない場合でも、対数式を計算するのに役立ちます (レッスン「対数とは」を参照)。 例を見て、次のことを確認してください。

タスク。 式の値を見つけます: log6 4 + log6 9。

対数の底は同じなので、合計の公式を使用します。
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2。

タスク。 式の値を見つけます: log2 48 − log2 3。

ベースは同じなので、差分の式を使用します。
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4。

タスク。 式の値を見つけます: log3 135 − log3 5。

ここでもベースは同じなので、次のようになります。
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3。

ご覧のとおり、元の式は「悪い」対数で構成されており、個別に計算されていません。 しかし、変換後は完全に正規の数値が得られます。 多くのテストはこの事実に基づいています。 はい、統一国家試験では、テストのような表現が真剣に (場合によってはほとんど変更なしで) 提供されます。

対数から指数を抽出する

では、タスクを少し複雑にしてみましょう。 対数の底または引数が累乗の場合はどうなるでしょうか? 次に、次の規則に従って、対数の符号からこの次数の指数を取り出すことができます。

最後のルールが最初の 2 つのルールに従っていることは簡単にわかります。 ただし、とにかく覚えておいたほうがよいでしょう。場合によっては、計算量が大幅に削減されます。

もちろん、対数の ODZ (a > 0、a ≠ 1、x > 0) が観察されていれば、これらすべてのルールは意味を持ちます。そしてもう 1 つ、すべての式を左から右へだけでなく、その逆にも適用することを学びましょう。 、つまり 対数記号の前の数値を対数そのものに入力できます。

対数の解き方

これが最も頻繁に必要となるものです。

タスク。 式の値を見つけます: log7 496。

最初の式を使用して、引数内の次数を取り除きましょう。
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

タスク。 式の意味を調べます。

分母には​​対数が含まれており、その底と引数は正確なべき乗であることに注意してください: 16 = 24; 49 = 72。次のようになります。

最後の例については、もう少し説明が必要だと思います。 対数はどこへ行ったのでしょうか? 最後の瞬間まで、私たちは分母だけを扱います。 そこに立っている対数の底と引数をべき乗の形で提示し、指数を取り除きました。「3 階建て」の分数が得られました。

次に、主要部分を見てみましょう。 分子と分母には同じ数値が含まれます: log2 7。log2 7 ≠ 0 なので、分数を減らすことができます。分母には 2/4 が残ります。 算術の規則によれば、4 を分子に移すことができ、それが行われたのです。 結果は、答えは２でした。

新しい基盤への移行

対数の加算と減算のルールについて、これらは同じ底を使用した場合にのみ機能することを特に強調しました。 理由が違っていたらどうなるでしょうか？ それらが同じ数の正確なべき乗ではない場合はどうなるでしょうか?

新しい財団への移行のための公式が役に立ちます。 それらを定理の形で定式化してみましょう。

対数 logax を与えます。 次に、c > 0 かつ c ≠ 1 であるような任意の数値 c について、等式は真です。

特に、 c = x と設定すると、次のようになります。

2 番目の式から、対数の底と引数を交換できることがわかりますが、この場合、式全体が「ひっくり返る」ことになります。 対数が分母に表示されます。

これらの式は、通常の数値式ではほとんど見られません。 対数方程式や不等式を解く場合にのみ、その利便性を評価することができます。

しかし、新たな基盤に移行する以外には全く解決できない問題もある。 いくつか見てみましょう:

タスク。 式の値を見つけます: log5 16 log2 25。

両方の対数の引数には正確な累乗が含まれることに注意してください。 指標を取り出してみましょう: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

次に、2 番目の対数を「反転」してみましょう。

因数を並べ替えても積は変わらないので、落ち着いて4と2を掛けてから対数を扱いました。

タスク。 式の値を見つけます: log9 100 lg 3。

最初の対数の底と引数は正確な累乗です。 これを書き留めてインジケーターを取り除きましょう。

次に、新しい底に移動して 10 進対数を取り除きましょう。

基本対数恒等式

多くの場合、解法プロセスでは、数値を特定の底の対数として表す必要があります。 この場合、次の公式が役に立ちます。

最初のケースでは、数値 n が引数の指数になります。 数値 n は単なる対数値であるため、任意の値を指定できます。

2 番目の式は実際には定義を言い換えたものです。 それは次のように呼ばれています。

実際、数値 b を、数値 b の累乗が数値 a になるように累乗するとどうなるでしょうか? そうです。結果は同じ数値 a です。 この段落をもう一度注意深く読んでください。多くの人がここで行き詰まってしまいます。

新しい底に移動するための公式と同様に、基本的な対数恒等式が唯一可能な解決策である場合があります。

タスク。 式の意味を調べます。

log25 64 = log5 8 - 対数の底と引数から単純に二乗したことに注意してください。 同じ基数でべき乗を乗算するルールを考慮すると、次のようになります。

知らない人もいるかもしれませんが、これは統一国家試験の実際の課題でした :)

対数単位と対数ゼロ

結論として、プロパティとは言い難い 2 つの恒等式を示します。むしろ、それらは対数の定義の結果です。 それらは常に問題に登場し、驚くべきことに「上級」の生徒でも問題を作成します。

1. logaa = 1 です。 必ず覚えておいてください。底 a の底に対する対数自体は 1 に等しいということです。
2. loga 1 = 0 です。 基数 a は何でも構いませんが、引数に 1 が含まれる場合、対数は 0 に等しくなります。 a0 = 1 は定義の直接的な結果であるためです。

それがすべてのプロパティです。 ぜひ実践してみてください！ レッスンの初めにカンニングペーパーをダウンロードして印刷し、問題を解いてください。