分数のかけ算のルール。分母の異なる分数の掛け算

23.09.2019

紀元前 5 世紀、古代ギリシャの哲学者エレアのゼノンは有名なアポリアを定式化しました。その中で最も有名なのは「アキレスと亀」のアポリアです。それは次のようになります:

アキレスが亀の10倍の速さで走り、亀より1000歩遅れているとします。アキレスがこの距離を走る間に、亀は同じ方向に百歩這うことになります。アキレスが 100 歩走ると、亀はさらに 10 歩這って進みます。このプロセスは無限に続き、アキレスは決して亀に追いつきません。

この推論は誰にとっても当然の衝撃でした後続の世代。アリストテレス、ディオゲネス、カント、ヘーゲル、ヒルベルト...彼らは皆、何らかの形でゼノンのアポリアを考察しました。あまりにも衝撃が強かったので」 ...議論は今日まで続いている;科学界はパラドックスの本質についてまだ共通の意見に達することができていない...数学的分析、集合論、新しい物理的および哲学的アプローチがこの問題の研究に関与した。 ; どれも、問題に対する一般に受け入れられる解決策にはなりませんでした...「[Wikipedia、「ゼノンのアポリア」。騙されているということは誰もが理解しているが、その欺瞞が何なのかは誰も理解していない。

数学的な観点から見ると、ゼノンはアポリアの中で量からへの移行を明確に実証しました。この移行は、永続的なものではなく適用を意味します。私の理解する限り、可変の測定単位を使用するための数学的装置はまだ開発されていない、あるいはゼノンのアポリアには適用されていない。通常の論理を適用すると、私たちは罠に陥ります。私たちは思考の慣性により、逆数の値に一定の時間単位を適用します。物理的な観点から見ると、これは時間がゆっくりになり、アキレスが亀に追いついた瞬間に完全に停止するように見えます。時間が止まったら、アキレスは亀を追い越せなくなります。

いつもの論理をひっくり返せば、すべてがうまくいきます。アキレスは一緒に走る一定速度。彼のパスの後続の各セグメントは、前のセグメントよりも 10 倍短くなります。したがって、それを克服するのに費やされる時間は、以前のものよりも10倍少なくなります。この状況に「無限」の概念を当てはめると、「アキレスは無限に早く亀に追いつく」というのが正しいでしょう。

この論理的な罠を回避するにはどうすればよいでしょうか? 滞在する定数単位時間の測定であり、逆数にはなりません。 Zeno の言語では次のようになります。

アキレスが千歩走る間に、亀は同じ方向に百歩這うことになります。次の時間間隔では、最初に等しい, アキレスはさらに千歩を走り、亀は百歩を這います。今、アキレスは亀より八百歩先を行っています。

このアプローチは、論理的な矛盾なしに現実を適切に説明します。でもそうではありません完全なソリューション問題。光の速さの抵抗不可能性についてのアインシュタインの発言は、ゼノンのアポリア「アキレスと亀」に非常に似ています。私たちはまだこの問題を研究し、再考し、解決する必要があります。そして、解決策は無限大の数ではなく、測定単位で求められなければなりません。

ゼノンのもう一つの興味深いアポリアは、飛んでいく矢について語っています。

飛んでいる矢は、あらゆる瞬間に静止しているので動かず、あらゆる瞬間に静止しているので、常に静止している。

このアポリアでは、論理的パラドックスは非常に簡単に克服されます。飛んでいる矢が各瞬間に空間の異なる点で静止しており、実際にはそれが運動であることを明確にするだけで十分です。ここでもう 1 つの点に注意する必要があります。道路上の車の 1 枚の写真からは、その移動の事実も、車までの距離も判断することは不可能です。車が動いているかどうかを判断するには、異なる時点で同じ場所から撮影した 2 枚の写真が必要ですが、それらの写真からの距離を判断することはできません。車までの距離を判断するには、ある時点で空間の異なる点から撮影した 2 枚の写真が必要ですが、それらからは移動の事実を判断することはできません (もちろん、計算には追加のデータが必要ですが、三角法が役に立ちます) ）。特に注意したいのは、時間上の 2 点と空間上の 2 点は異なるものであり、研究の機会が異なるため、混同すべきではないということです。

2018年7月4日水曜日

セットとマルチセットの違いについては、Wikipedia で詳しく説明されています。見てみましょう。

ご覧のとおり、「セット内に同じ要素が 2 つ存在することはできません」が、セット内に同じ要素が存在する場合、そのようなセットを「マルチセット」と呼びます。理性的な存在は、そのような不合理な論理を決して理解することはできません。これは、「完全に」という言葉からは知性を持たない、話すオウムや訓練されたサルのレベルです。数学者は普通のトレーナーの役割を果たし、彼らの不条理なアイデアを私たちに説教します。

昔々、橋を建設した技術者は橋の下でボートに乗って橋のテストをしていました。橋が崩壊したら、平凡な技術者は自分が作った瓦礫の下敷きになって死亡した。橋が荷重に耐えられるのであれば、才能ある技術者は他の橋を建設しました。

数学者たちが「家の中にいるから気にしてください」、あるいはむしろ「数学は抽象概念を研究する」という言葉の陰にどんなに隠れていても、数学者と現実を分かちがたく結びつけるへその緒が一本あります。このへその緒はお金なのです。該当する数学理論数学者自身に設定します。

私たちは数学をとてもよく勉強し、今ではレジに座って給料を渡しています。そこで数学者がお金を求めて私たちのところにやって来ます。私たちは彼に全額を数えて、それをテーブルの上に別々の山に置き、その中に同じ額面の紙幣を入れます。次に、それぞれの山から 1 枚の請求書を取り出し、数学者に「数学的な給与セット」を渡します。数学者に、同一の要素を含まない集合が同一の要素を含む集合と等しくないことを証明した場合にのみ残りの請求書を受け取ることを説明しましょう。ここからが楽しみの始まりです。

まず第一に、「これは他の人には当てはまるが、私には当てはまらない！」という議員の論理が機能します。そして、彼らは、同じ額面の紙幣には異なる紙幣番号があり、それは同じ要素とはみなされないことを意味すると私たちを安心させ始めます。さて、給料をコインで数えてみましょう - コインには数字がありません。ここで数学者は物理学を必死に思い出し始めます。コインごとに汚れの量が異なり、原子の結晶構造と配置はコインごとに異なります...

そして今、私が一番持っているのは興味深い質問: マルチセットの要素がセットの要素に変わる、またはその逆になる境界線はどこですか? そのような境界線は存在しません。すべてはシャーマンによって決定され、科学はここで嘘をついているには程遠いです。

ここを見てください。フィールド面積が同じサッカースタジアムを選択します。フィールドの面積は同じです。これは、マルチセットがあることを意味します。しかし、これら同じスタジアムの名前を見ると、名前が異なるため、たくさんのスタジアムが表示されます。ご覧のとおり、同じ要素のセットはセットでもあり、マルチセットでもあります。どちらが正しいでしょうか? そしてここで、数学者兼シャーマン兼シャープニストが袖からトランプのエースを取り出し、集合または多重集合について話し始めます。いずれにせよ、彼は私たちに自分が正しいと説得するでしょう。

現代のシャーマンが集合論を現実と結び付けてどのように運用しているかを理解するには、ある集合の要素が別の集合の要素とどのように異なるのかという 1 つの質問に答えるだけで十分です。「単一の全体として考えられない」とか「単一の全体として考えられない」ということは一切なくして、お見せします。

2018年3月18日日曜日

数字の桁の合計は、タンバリンを持ったシャーマンの踊りであり、数学とは何の関係もありません。確かに、数学の授業では、数字の桁の合計を求めてそれを使うように教えられますが、それが彼らがシャーマンである理由であり、子孫に自分の技術と知恵を教えるためであり、そうでなければシャーマンは単に絶滅してしまいます。

証拠が必要ですか? Wikipedia を開いて、「数値の桁の合計」というページを探してください。彼女は存在しません。数学には、任意の数値の桁の合計を求めるために使用できる公式はありません。結局のところ、数字は私たちが数字を書くための図形記号であり、数学の言語で表現すると、このタスクは次のように聞こえます。「任意の数を表す図形記号の合計を求めよ」。数学者はこの問題を解くことができませんが、シャーマンなら簡単に解くことができます。

与えられた数値の桁の合計を求めるために何をどのように行うかを考えてみましょう。それでは、12345 という数字を考えてみましょう。この数字の桁の合計を求めるには、何をする必要がありますか? すべてのステップを順番に検討してみましょう。

1. 番号を紙に書き留めます。私たちが何をしてしまったのでしょうか？数値をグラフィカルな数値記号に変換しました。これは数学的な演算ではありません。

2. 得られた 1 つの画像を、個別の番号を含む複数の画像に切り分けます。画像の切り取りは数学的な演算ではありません。

3. 個々のグラフィックシンボルを数値に変換します。これは数学的な演算ではありません。

4. 結果の数値を加算します。さて、これは数学です。

12345という数字の合計は15です。これらは数学者が使用するシャーマンからの「裁断と縫製のコース」です。しかし、それだけではありません。

数学的な観点からは、どの記数法で数値を書くかは問題ではありません。それで、異なるシステム微積分では、同じ数字の桁の合計が異なります。数学では、記数法は数字の右側に添え字として示されます。 12345 という大きな数字で頭をだまされたくないので、記事の 26 という数字を考えてみましょう。この数値を 2 進数、8 進数、10 進数、および 16 進数の表記法で書きましょう。すでにそれを行っているので、すべてのステップを顕微鏡で観察するつもりはありません。結果を見てみましょう。

ご覧のとおり、番号体系が異なると、同じ番号の桁の合計も異なります。同様の結果数学とは何の関係もありません。これは、長方形の面積をメートルとセンチメートルで求めた場合に、まったく異なる結果が得られるのと同じです。

ゼロはどの数体系でも同じように見え、桁の合計はありません。これは、その事実を支持するもう一つの議論です。数学者への質問: 数学では数値ではないものはどのように指定されるのでしょうか? 数学者にとって、数字以外には何も存在しないのですか? これはシャーマンには許せますが、科学者には許せません。現実は数字だけではありません。

得られた結果は、数値体系が数値の測定単位であることの証明として考慮される必要があります。結局のところ、異なる測定単位の数値を比較することはできません。同じ量を異なる測定単位で同じ行動をとった場合、異なる結果それらを比較した後、それは数学とは何の関係もないことを意味します。

本当の数学とは何ですか? これは、数学的演算の結果が、数値の大きさ、使用される測定単位、およびこの操作の実行者に依存しない場合です。

ドアにサイン彼はドアを開けてこう言いました。

おお！ここは女子トイレじゃないの？
- 若い女性です！ここは、昇天中の魂の無邪気な神聖さを研究するための実験室です。上部にハローがあり、上向きの矢印。他にどんなトイレがあるの？

メス…上のハローと下の矢印がオスです。

そんなデザインアートが一日に何度も目の前に現れたら、

そうすれば、突然車の中に奇妙なアイコンを見つけても不思議ではありません。

個人的には、うんこをしている人物（1枚の写真）にマイナス4度が見えるように努めています（複数の写真の合成：マイナス記号、数字の4、度指定）。そして、私はこの女の子が物理学を知らない愚か者だとは思いません。彼女はグラフィックイメージに対する強い固定観念を持っているだけです。そして数学者は常にこれを私たちに教えてくれます。ここに例を示します。

1A は「マイナス 4 度」や「1 度」ではありません。これは「うんこ男」、つまり数字の「26」です。 16進法計算中。この数値体系を常に使用している人々は、数字と文字を 1 つのグラフィックシンボルとして自動的に認識します。

乗算普通の分数いくつかの考えられるオプションを見てみましょう。

公用分数と分数の掛け算

これは、以下を使用する必要がある最も単純なケースです。 分数のかけ算のルール.

に 分数と分数を掛ける、必要：

最初の分数の分子と 2 番目の分数の分子を掛けて、その積を新しい分数の分子に書き込みます。
最初の分数の分母に 2 番目の分数の分母を掛け、その積を新しい分数の分母に書き込みます。

分子と分母を掛ける前に、分数が約分できるかどうかを確認してください。計算で分数を減らすと、計算がはるかに簡単になります。

分数と自然数の掛け算

分数を作るには 掛ける自然数 分数の分子にこの数値を掛け、分数の分母は変更しないでおく必要があります。

乗算の結果がそうでない場合適切な分数、帯分数に変換すること、つまり部分全体を強調表示することを忘れないでください。

帯分数の乗算

帯分数を掛けるには、まず仮分数に変換してから、普通の分数の掛け算のルールに従って掛け算を行う必要があります。

分数に自然数を掛ける別の方法

計算を行う場合、公分数に数値を掛ける別の方法を使用した方が便利な場合があります。

分数に自然数を掛けるには、分数の分母をこの数値で割り、分子を同じにする必要があります。

例からわかるように、このバージョンのルールは、分数の分母が余りのない自然数で割り切れる場合に使用すると便利です。

分数を使った演算

分母が似ている分数の足し算

分数の加算には 2 つのタイプがあります。

分母が似ている分数の加算
分数の加算分母が異なる

まず、分母が似ている分数の足し算を学びましょう。ここではすべてがシンプルです。同じ分母を持つ分数を加算するには、分母を変更せずに分子を加算する必要があります。たとえば、分数とを加算してみましょう。分子を追加し、分母は変更しないままにします。

この例は、ピザが 4 つの部分に分かれていることを思い出すと簡単に理解できます。ピザにピザを追加すると、ピザが得られます。

例2。分数とを加算します。

繰り返しますが、分子を合計し、分母は変更しないままにします。

答えは仮分数でした。仕事の終わりが来たら、仮分数を取り除くのが通例です。仮分数を削除するには、その部分全体を選択する必要があります。私たちの場合全体の部分目立ちやすい - 2 を 2 で割ると 1 に等しい:

この例は、2 つの部分に分かれたピザについて思い出すと簡単に理解できます。ピザにさらにピザを追加すると、丸ごと 1 枚のピザが得られます。

例 3。分数とを加算します。

この例は、ピザが 3 つの部分に分かれていることを思い出すと簡単に理解できます。ピザにさらにピザを追加すると、ピザが得られます。

例4.式の値を見つける

この例は、前の例とまったく同じ方法で解決されます。分子を追加し、分母は変更しないでください。

絵を使って解決策を描いてみましょう。ピザにピザを追加してさらにピザを追加すると、丸ごと 1 枚のピザとさらに多くのピザが得られます。

ご覧のとおり、同じ分母を持つ分数を加算することは何も複雑ではありません。次のルールを理解するだけで十分です。

同じ分母を持つ分数を加算するには、分母を同じにして分子を加算する必要があります。
答えが仮分数であることが判明した場合は、その部分全体を強調表示する必要があります。

分母の異なる分数の加算

次に、分母が異なる分数を加算する方法を学びましょう。分数を加算する場合、分数の分母は同じである必要があります。しかし、それらは常に同じであるわけではありません。

たとえば、分数は次の理由で加算できます。同じ分母.

ただし、分数は分母が異なるため、すぐに足し算を行うことはできません。このような場合、分数は同じ (共通の) 分母に減らす必要があります。

分数を同じ分母に減らす方法はいくつかあります。他の方法は初心者にとって複雑に見えるかもしれないので、今日はそのうちの 1 つだけを見ていきます。

この方法の本質は、最初に両方の分数の分母の最小公倍数 (LCM) を探すことです。次に、LCM を最初の分数の分母で割って、最初の追加係数を取得します。 2 番目の分数についても同じことを行います。最小公倍数が 2 番目の分数の分母で除算され、2 番目の追加係数が取得されます。

次に、分数の分子と分母に追加の係数が乗算されます。これらの動作の結果、分母が異なる分数は分母が同じ分数に変わります。そして、そのような分数を加算する方法はすでに知っています。

例1。分数を足してみましょう

これらの分数は分母が異なるため、同じ (共通の) 分母に減らす必要があります。

まず、両方の分数の分母の最小公倍数を見つけます。最初の分数の分母は数値 3 で、2 番目の分数の分母は数値 2 です。これらの数値の最小公倍数は 6 です。

LCM (2 および 3) = 6

さて、分数とに戻りましょう。まず、最小公倍数を最初の分数の分母で割って、最初の追加係数を取得します。 LCM は数値 6 で、最初の分数の分母は数値 3 です。6 を 3 で割ると、2 が得られます。

結果として得られる数値 2 は、最初の追加乗数です。それを最初の分数まで書きます。これを行うには、分数の上に小さな斜線を引き、その上にある追加の因数を書き留めます。

2 番目の部分についても同じことを行います。 LCM を 2 番目の分数の分母で割って、2 番目の追加係数を取得します。 LCM は数値 6 で、2 番目の分数の分母は数値 2 です。6 を 2 で割ると、3 が得られます。

結果として得られる数値 3 は、2 番目の追加乗数です。それを2番目の分数まで書きます。もう一度、2 番目の分数の上に小さな斜線を描き、その上にある追加の因子を書き留めます。

これで、追加する準備がすべて整いました。分数の分子と分母に追加の係数を乗算する作業が残ります。

私たちがたどり着いたものを注意深く見てください。分母が異なる分数は分母が同じ分数になるという結論に達しました。そして、そのような分数を加算する方法はすでに知っています。この例を最後まで見てみましょう。

これで例は完了です。を追加することがわかります。

絵を使って解決策を描いてみましょう。ピザにピザを追加すると、丸ごと 1 枚のピザと、さらに 6 分の 1 のピザが得られます。

分数を同じ（共通）分母に減らすことは、絵を使用して表すこともできます。分数を約分すると、共通点、分数とが得られました。これら 2 つの部分は、同じピザで表されます。唯一の違いは、今回は均等に分割される (同じ分母に減らされる) ということです。

最初の図は分数 (6 個のうち 4 個) を表し、2 番目の図は分数 (6 個のうち 3 個) を表します。これらの部分を追加すると、(6 個中 7 個の部分) が得られます。この分数は不適切であるため、その部分全体を強調表示しました。その結果、（丸ごとピザ 1 枚と 6 枚目のピザ）を入手しました。

記載しておりますのでご了承くださいこの例詳細すぎる。で教育機関こんなに詳しく書くのは習慣的ではありません。両方の分母とその追加因数の最小公倍数をすばやく見つけることができ、また、見つかった追加因数に分子と分母をすばやく乗算できる必要があります。学校にいる間は、この例を次のように書く必要があります。

しかし、コインには別の側面もあります。数学を勉強する最初の段階で詳細なメモを取っていないと、その種の質問が現れ始めます。 「その数字はどこから来るの？」「分数が突然全く違う分数になるのはなぜ？」 «.

分母が異なる分数の加算を簡単にするには、次の段階的な手順を使用します。

分数の分母の最小公倍数を求めます。
LCM を各分数の分母で割り、各分数の追加係数を取得します。
分数の分子と分母に追加の係数を掛けます。
同じ分母を持つ分数を加算します。
答えが仮分数であることが判明した場合は、その部分全体を選択します。

例2。式の値を見つける .

上で提供した図を使用してみましょう。

ステップ 1. 分数の分母の最小公倍数を求める

両方の分数の分母の最小公倍数を求めます。分数の分母は数値 2、3、および 4 です。これらの数値の最小公倍数を見つける必要があります。

ステップ 2. LCM を各分数の分母で割り、各分数の追加係数を取得します。

LCM を最初の分数の分母で割ります。 LCM は数値 12 で、最初の分数の分母は数値 2 です。12 を 2 で割ると 6 が得られます。最初の追加因数 6 が得られます。これを最初の分数の上に書きます。

次に、最小公倍数を 2 番目の分数の分母で割ります。 LCM は数値 12 で、2 番目の分数の分母は数値 3 です。12 を 3 で割ると 4 が得られます。2 番目の追加係数 4 が得られます。これを 2 番目の分数の上に書きます。

次に、最小公倍数を 3 番目の分数の分母で割ります。 LCM は数値 12 で、3 番目の分数の分母は数値 4 です。12 を 4 で割ると 3 が得られます。3 番目の追加因数 3 が得られます。これを 3 番目の分数の上に書きます。

ステップ 3. 分数の分子と分母に追加の係数を掛けます。

分子と分母に追加の係数を掛けます。

ステップ 4. 同じ分母を持つ分数を加算します

私たちは、分母が異なる分数が同じ（共通の）分母を持つ分数になるという結論に達しました。残っているのは、これらの分数を加算することだけです。合計してください:

追加が 1 行に収まらなかったため、残りの式を次の行に移動しました。数学ではこれが許されています。式が 1 行に収まらない場合は次の行に移動します。最初の行の末尾と新しい行の先頭には等号 (=) を入れる必要があります。 2 行目の等号は、これが 1 行目の式の続きであることを示します。

ステップ 5. 答えが仮分数であることが判明した場合は、その部分全体を強調表示します。

私たちの答えは仮分数であることが判明しました。その全体の部分を強調する必要があります。私たちは次のことを強調します:

回答を受け取りました

分母が似ている分数の引き算

分数の引き算には 2 つのタイプがあります。

分母が似ている分数の引き算
分母の異なる分数の引き算

まず、分母が似ている分数の引き算を学びましょう。ここではすべてがシンプルです。ある分数から別の分数を引くには、最初の分数の分子から 2 番目の分数の分子を引く必要がありますが、分母は同じままにしておきます。

たとえば、式の値を見つけてみましょう。この例を解決するには、最初の分数の分子から 2 番目の分数の分子を引き、分母は同じままにする必要があります。これをやってみましょう:

この例は、ピザが 4 つの部分に分かれていることを思い出すと簡単に理解できます。ピザからピザを切り出すと、次のようなピザが得られます。

例2。式の値を見つけます。

もう一度、最初の分数の分子から 2 番目の分数の分子を引き、分母は同じままにします。

この例は、ピザが 3 つの部分に分かれていることを思い出すと簡単に理解できます。ピザからピザを切り出すと、次のようなピザが得られます。

例 3.式の値を見つける

この例は、前の例とまったく同じ方法で解決されます。最初の分数の分子から残りの分数の分子を引く必要があります。

答えは仮分数でした。例が完成したら、仮分数を取り除くのが通例です。答えの中の仮分数を取り除きましょう。これを行うには、その部分全体を選択しましょう。

ご覧のとおり、分母が同じ分数の引き算は何も複雑ではありません。次のルールを理解するだけで十分です。

ある分数から別の分数を引くには、最初の分数の分子から 2 番目の分数の分子を引き、分母は同じままにする必要があります。

答えが仮分数であることが判明した場合は、その部分全体を強調表示する必要があります。

分母の異なる分数の引き算

たとえば、分数の分母は同じであるため、分数から分数を引くことができます。ただし、これらの分数は分母が異なるため、分数から分数を引くことはできません。このような場合、分数は同じ (共通の) 分母に減らす必要があります。

共通の分母は、分母が異なる分数を加算するときに使用したのと同じ原理を使用して求められます。まず、両方の分数の分母の最小公倍数を求めます。次に、最小公倍数が最初の分数の分母で除算され、最初の追加係数が取得されます。これは最初の分数の上に書き込まれます。同様に、最小公倍数は 2 番目の分数の分母で除算され、2 番目の追加係数が取得されます。これは 2 番目の分数の上に書き込まれます。

次に、分数に追加の係数が乗算されます。これらの演算の結果、分母が異なる分数は分母が同じ分数に変換されます。そして、私たちはそのような分数を引き算する方法をすでに知っています。

例1.式の意味を調べます。

まず、両方の分数の分母の最小公倍数を求めます。最初の分数の分母は数値 3 で、2 番目の分数の分母は数値 4 です。これらの数値の最小公倍数は 12 です。

LCM (3 および 4) = 12

さて、分数の話に戻って、

最初の分数に対する追加の因数を見つけてみましょう。これを行うには、最小公倍数を最初の分数の分母で割ります。 LCM は数値 12 で、最初の分数の分母は数値 3 です。12 を 3 で割ると 4 が得られます。最初の分数の上に 4 を書きます。

2 番目の部分についても同じことを行います。 LCM を 2 番目の分数の分母で割ります。 LCM は数値 12 で、2 番目の分数の分母は数値 4 です。12 を 4 で割ると 3 が得られます。2 番目の分数に 3 を書きます。

これで減算の準備が整いました。分数に追加の係数を乗算する作業が残ります。

分母が異なる分数は分母が同じ分数になるという結論に達しました。そして、私たちはそのような分数を引き算する方法をすでに知っています。この例を最後まで見てみましょう。

回答を受け取りました

絵を使って解決策を描いてみましょう。ピザからピザを切り出せば、ピザが得られる

これはソリューションの詳細バージョンです。もし私たちが学校にいたなら、この例題をもっと短く解く必要があるでしょう。このような解決策は次のようになります。

分数を共通の分母に減らすことは、絵を使用して表すこともできます。これらの分数を公分母に還元すると、分数とが得られます。これらの分数は同じピザのスライスで表されますが、今回は等しい割合に分割されます (同じ分母に減らされます)。

最初の写真は分数 (12 個のうち 8 個) を示し、2 番目の写真は分数 (12 個のうち 3 個) を示しています。 8 個から 3 個を切り出すと、12 個のうち 5 個が得られます。この分数はこれら 5 つの部分を表します。

例2。式の値を見つける

これらの分数は分母が異なるため、最初にそれらを同じ (共通の) 分母に減らす必要があります。

これらの分数の分母の最小公倍数を求めてみましょう。

分数の分母は数値 10、3、および 5 です。これらの数値の最小公倍数は 30 です。

LCM(10, 3, 5) = 30

次に、各分数の追加の因数を見つけます。これを行うには、最小公倍数を各分数の分母で割ります。

最初の分数に対する追加の因数を見つけてみましょう。 LCM は数値 30 で、最初の分数の分母は数値 10 です。30 を 10 で割ると、最初の追加因数 3 が得られます。これを最初の分数の上に書きます。

ここで、2 番目の部分に対する追加の因数を見つけます。 LCM を 2 番目の分数の分母で割ります。 LCM は数値 30 で、2 番目の分数の分母は数値 3 です。30 を 3 で割ると、2 番目の追加係数 10 が得られます。これを 2 番目の分数の上に書きます。

ここで、3 番目の分数に対する追加の因数を見つけます。 LCM を 3 番目の分数の分母で割ります。 LCM は数値 30 で、3 番目の分数の分母は数値 5 です。30 を 5 で割ると、3 番目の追加係数 6 が得られます。これを 3 番目の分数の上に書きます。

これで、すべての減算の準備が整いました。分数に追加の係数を乗算する作業が残ります。

私たちは、分母が異なる分数が同じ（共通の）分母を持つ分数になるという結論に達しました。そして、私たちはそのような分数を引き算する方法をすでに知っています。この例を終了しましょう。

例の続きは 1 行に収まらないため、続きを次の行に移動します。新しい行の等号 (=) を忘れないでください。

答えは正分数であることが判明し、すべてが適切であるように見えますが、あまりにも面倒で見苦しいです。よりシンプルで、より美しいものにする必要があるでしょう。何ができるでしょうか？この分数を短くすることができます。分数を減らすということは、分子と分母を最大値で割ることであることを思い出してください。公約数分子と分母。

分数を正しく約分するには、その分子と分母を数値 20 と 30 の最大公約数 (GCD) で割る必要があります。

GCD を NOC と混同しないでください。多くの初心者にありがちな間違い。 GCD は最大公約数です。分数が削減されることがわかります。

そして最小公倍数は最小公倍数です。分数を同じ（共通）分母にするためにこれを見つけます。

ここで、20 と 30 の最大公約数 (GCD) を求めます。

したがって、数値 20 と 30 の GCD を求めます。

GCD (20 および 30) = 10

ここで例に戻り、分数の分子と分母を 10 で割ります。

素晴らしい答えをいただきました

分数と数値の掛け算

分数に数値を掛けるには、分数の分子にその数値を掛け、分母はそのままにする必要があります。

例1。分数に数値 1 を掛けます。

分数の分子に数値 1 を掛けます。

録音には半分の 1 時間がかかると理解できます。たとえば、ピザを 1 回取ると、ピザが手に入ります

乗法の法則から、被乗数と因数を交換しても積は変わらないことがわかります。式がとして書かれている場合でも、積はと等しくなります。ここでも、整数と分数を乗算するルールが機能します。

この表記は 1 の半分を取ると理解できます。たとえば、ピザが 1 枚あり、その半分を取ると、ピザが出来上がります。

例 2。式の値を見つける

分数の分子に4を掛けます

この式は 2 四半期を 4 回行うと理解できます。たとえば、ピザを 4 枚取ると、丸ごと 2 枚のピザが得られます。

そして、被乗数と乗数を交換すると、次の式が得られます。また、2 に等しくなります。この式は、4 枚のピザ全体から 2 枚のピザを取り出したものとして理解できます。

分数の掛け算

分数を掛けるには、分数の分子と分母を掛ける必要があります。答えが仮分数であることが判明した場合は、その部分全体を強調表示する必要があります。

例1.式の値を見つけます。

回答をいただきました。減らすことが望ましい与えられた分数。この分数は 2 で減らすことができます。その場合、最終的な解は次の形式になります。

この表現は、半分のピザからピザを取り出すと理解できます。ピザが半分あるとしましょう:

この半分から3分の2をどうやって奪うのか？まず、この半分を 3 つの等しい部分に分割する必要があります。

そして、これら 3 つの部分から 2 つを取り出します。

ピザを作ります。ピザがどのようなものかを思い出してください。3 つの部分に分かれています。

このピザの 1 枚と、私たちが撮った 2 枚の寸法は同じになります。

言い換えると、私たちが話しているのはほぼ同じサイズのピザ。したがって、式の値は次のようになります。

例 2。式の値を見つける

最初の分数の分子と 2 番目の分数の分子を掛け、最初の分数の分母と 2 番目の分数の分母を掛けます。

答えは仮分数でした。その全部分を強調してみましょう。

例 3.式の値を見つける

答えは普通の分数になりましたが、短縮すればよかったです。この分数を減らすには、分子と分母の gcd で割る必要があります。それでは、数値 105 と 450 の gcd を求めてみましょう。

(105 および 150) の GCD は 15

次に、答えの分子と分母を gcd で割ります。

整数を分数で表す

任意の整数は分数として表すことができます。たとえば、数字の 5 はと表すことができます。これによって 5 の意味が変わることはありません。この式は「数字の 5 を 1 で割ったもの」を意味し、ご存知のとおり、これは 5 に等しいからです。

逆数

今、私たちは非常に知ります興味深い話題数学で。「逆数」といいます。

意味。番号を反転 ある を乗算すると、 ある 1つを与えます。

変数の代わりにこの定義に代入してみましょうある番号 5 を選択して、定義を読んでみてください。

番号を反転 5 を乗算すると、 5 1つを与えます。

5を掛けると1になる数を見つけることはできますか? それは可能であることが分かりました。 5 を分数として想像してみましょう。

次に、分子と分母を入れ替えるだけで、この分数自体を掛け算します。言い換えれば、分数を上下逆にだけ乗算します。

この結果、何が起こるでしょうか? この例を引き続き解くと、次の結果が得られます。

これは、5 に 5 を掛けると 1 が得られるため、数値 5 の逆数が数値であることを意味します。

数値の逆数は、他の整数に対しても求めることができます。

3の逆数は分数です
4の逆数は分数です

他の分数の逆数を求めることもできます。これを行うには、裏返すだけです。

分数の掛け算と割り算。

注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）

この演算は加算と減算よりもはるかに優れています。そのほうが簡単だからです。分数と分数を掛けるには、分子 (これが結果の分子になります) と分母 (これが分母になります) を掛ける必要があることに注意してください。つまり:

例えば：

すべてが非常にシンプルです。そして、共通点を探さないでください。ここには彼は必要ありません...

分数を分数で割るには、逆算する必要があります。 2番(これは重要です!) 分数と乗算を行います。つまり、次のようになります。

例えば：

整数や分数の掛け算や割り算が出てきても大丈夫です。足し算と同じように、分母に 1 を入れた整数から分数を作ります。それでは先に進みます。例えば：

高校では、3 階建て (または 4 階建て!) の分数を扱わなければならないことがよくあります。例えば：

この部分をまともに見せるにはどうすればよいでしょうか? はい、とてもシンプルです！ 2 点除算を使用します。

ただし、分割の順序を忘れないでください。掛け算とは異なり、ここでは非常に重要です。もちろん、4:2 と 2:4 を混同することはありません。しかし、3 階建ての部分では間違いを犯しやすいです。たとえば次のことに注意してください。

最初のケース (左側の式):

2 番目の式 (右側の式):

違いを感じますか？ 4と1/9！

分割の順序は何によって決まりますか? 括弧を使用するか、(ここのように) 水平線の長さを使用します。目を養いましょう。括弧やダッシュがない場合は、次のようになります。

次に、割り算と掛け算をします 左から右の順に!

そしてもう1つの非常にシンプルで重要なテクニック。度を伴うアクションでは、それは非常に役立ちます。 1 を任意の分数、たとえば 13/15 で割ってみましょう。

ショットがひっくり返った！そして、これは常に起こります。 1 を任意の分数で割ると、結果は同じ分数になりますが、上下が逆になるだけです。

分数を使った演算は以上です。事は非常に単純ですが、十分すぎるほどのエラーが発生します。ご注意ください実践的なアドバイス、そしてそれら（エラー）は少なくなります！

実践的なヒント:

1. 分数式を扱うときに最も重要なことは、正確さと注意力です。これはそうではありませんよく使われる言葉、良い願いではありません！これは切実な必需品です！統一国家試験のすべての計算は、集中的かつ明確な本格的なタスクとして実行してください。暗算でめちゃくちゃになるよりは、下書きに 2 行余分に書いたほうが良いでしょう。

2. の例ではさまざまな種類分数 - 通常の分数に進みます。

3. すべての分数を止まるまで減らします。

4. 2 点による除算を使用して、複数レベルの分数式を通常の分数式に還元します (割り算の順序に従います)。

5. 頭の中で単位を分数で割ります。分数をひっくり返すだけです。

必ず完了しなければならないタスクは次のとおりです。答えはすべてのタスクの後に与えられます。このトピックと実践的なヒントに関する資料を使用してください。正しく解くことができた例題の数を見積もってください。 まさに初めて！ 電卓なしでも！ そして正しい結論を導き出します...

覚えておいてください - 正しい答えは 2回目（特に3回目）以降に受け取ったものはカウントされません！それが過酷な人生なのです。

それで、 試験モードで解く ！ちなみに、これはすでに統一国家試験の準備です。例題を解いて確認し、次の問題を解きます。私たちはすべてを決定しました - 最初から最後まで再度確認しました。そしてただ それから答えを見てください。

計算します:

決めましたか？

あなたに合った回答を探しています。いわば、誘惑から遠ざけて、意図的に混乱した状態でそれらを書き留めました... ここに、セミコロンで書かれた答えがあります。

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

さて、結論を導き出します。すべてがうまくいったなら、私はあなたにとって幸せです！分数を使った基本的な計算は問題ありません。もっと本格的なこともできますよ。そうでない場合は...

したがって、2 つの問題のうちの 1 つが発生します。またはその両方を同時に。）知識の欠如と（または）不注意。でも…これ 解決可能な 問題。

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ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)

例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。即時検証によるテスト。興味を持って学びましょう！）

関数と導関数について知ることができます。

公用分数の掛け算

例を見てみましょう。

皿の上にリンゴの $\frac(1)(3)$ の部分があるとします。その中の $\frac(1)(2)$ 部分を見つける必要があります。必要な部分は、分数 $\frac(1)(3)$ と $\frac(1)(2)$ を乗算した結果です。 2 つの公分数を乗算した結果が公分数です。

2 つの普通の分数の掛け算

普通の分数の掛け算のルール:

分数と分数を乗算した結果は、分子が乗算される分数の分子の積に等しく、分母が分母の積に等しい分数になります。

例1

公用分数 $\frac(3)(7)$ と $\frac(5)(11)$ の乗算を実行します。

解決。

普通の分数を掛けるための規則を使用してみましょう。

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

答え：$\frac(15)(77)$

分数を乗算すると、約分できる分数または不適切な分数が得られる場合は、それを簡略化する必要があります。

例 2

分数 $\frac(3)(8)$ と $\frac(1)(9)$ を掛けます。

解決。

通常の分数の乗算には次の規則を使用します。

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

その結果、約分可能な分数が得られました ($3$ による除算に基づいています。分数の分子と分母を $3$ で割ると、次のようになります:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

簡単な解決策:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

答え：$\frac(1)(24).$

分数を掛けるときは、積が見つかるまで分子と分母を減らすことができます。この場合、分数の分子と分母を単純な因数に分解し、その後、繰り返しの因数をキャンセルして結果を求めます。

例 3

分数 $\frac(6)(75)$ と $\frac(15)(24)$ の積を計算します。

解決。

普通の分数を掛けるための公式を使用してみましょう。

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

明らかに、分子と分母には、ペアで $2$、$3$、$5$ という数値に短縮できる数値が含まれています。分子と分母を単純な因数に因数分解して、約分してみましょう。

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

答え：$\frac(1)(20).$

分数を乗算するときは、交換法則を適用できます。

公分数と自然数の掛け算

公分数と自然数の乗算規則は次のとおりです。

分数に自然数を乗算した結果は、分子が乗算された分数の分子と自然数の積に等しく、分母が乗算された分数の分母に等しい分数になります。

ここで、$\frac(a)(b)$ は普通の分数、$n$ は自然数です。

例 4

分数 $\frac(3)(17)$ に $4$ を掛けます。

解決。

普通の分数と自然数を掛けるための規則を使用してみましょう。

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

答え：$\frac(12)(17).$

分数の約分または仮分数による乗算の結果を確認することを忘れないでください。

例5

分数 $\frac(7)(15)$ に数値 $3$ を掛けます。

解決。

分数に自然数を掛ける公式を使ってみましょう。

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

数値 $3$) で割ることにより、結果の端数を減らすことができることがわかります。

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

その結果、仮分数が得られました。部分全体を選択してみましょう。

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

簡単な解決策:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

分数は、分子と分母の数値を素因数分解で置き換えることによっても減らすことができます。この場合、解決策は次のように記述できます。

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

答え：$1\frac(2)(5).$

分数に自然数を掛けるときは、交換法則を使用できます。

分数の割り算

除算演算は乗算の逆であり、その結果は分数になります。これを得るには、既知の分数を掛ける必要があります。有名な作品 2つの分数。

2 つの普通の分数の割り算

普通の分数の割り算のルール:明らかに、結果の分数の分子と分母は因数分解して約分できます。

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

その結果、不適切な分数が得られ、そこから部分全体を選択します。

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

答え：$1\frac(5)(9).$

前回は、分数の足し算と引き算を学習しました (レッスン「分数の足し算と引き算」を参照)。これらのアクションの最も困難な部分は、分数を共通の分母にすることでした。

今度は掛け算と割り算を扱います。幸いなことに、これらの演算は加算や減算よりもさらに単純です。まず、整数部分が分離されていない 2 つの正の分数がある、という最も単純なケースを考えてみましょう。

2 つの分数を乗算するには、それらの分子と分母を別々に乗算する必要があります。最初の数値が新しい分数の分子となり、2 番目の数値が分母になります。

2 つの分数を除算するには、最初の分数に「反転した」2 番目の分数を掛ける必要があります。

指定：

定義から、分数の除算は乗算に帰着することがわかります。分数を「反転」するには、分子と分母を入れ替えるだけです。したがって、このレッスンでは主に掛け算を考えていきます。

乗算の結果、約分数が発生する可能性があります (実際に発生することもよくあります)。もちろん、これは約分する必要があります。すべての縮小の結果、分数が正しくないことが判明した場合は、部分全体を強調表示する必要があります。しかし、乗算で絶対に起こらないのは、共通の分母への還元です。つまり、交差法はなく、最大因数と最小公倍数です。

定義により、次のようになります。

分数と整数部および負の分数の乗算

分数に整数部分が含まれている場合は、それらを不適切な分数に変換してから、上で概説したスキームに従って乗算する必要があります。

分数の分子、分母、またはその前にマイナスがある場合、次の規則に従って、そのマイナスを乗算から除外したり、完全に削除したりできます。

プラスとマイナスはマイナスになります。
2 つの否定が肯定になります。

これまで、これらのルールは加算と減算でのみ使用されてきました。負の分数部品全体を取り除く必要がある場合。作品の場合、いくつかの欠点を一度に「燃やす」ために一般化できます。

ネガが完全に消えるまで、ペアでネガを取り消します。で最後の手段として、1つのマイナスが生き残ることができます-仲間がいなかったもの。
マイナスが残っていない場合、操作は完了です。乗算を開始できます。最後のマイナスに取り消し線が引かれていない場合は、そのペアがなかったため、それを乗算の範囲から除外します。結果は負の分数になります。