数学的な振り子の振動周期の公式の導出。調和振動

30.09.2019

伸縮不可能な無重力の糸 (糸の質量は体の質量に比べて無視できる) にぶら下がっている特定の物質点 (物体) で構成される、特定の機械システムを想像してください。この機械システムは、振り子または振動子とも呼ばれます。ただし、他のタイプのそのようなデバイスも存在する可能性があります。数学的な振り子や発振器はなぜ私たちにとって興味深いのでしょうか? 実際のところ、その助けを借りて、物理学における多くの興味深い自然現象についての洞察を得ることができます。

数学的な振り子の振動

数学的な振り子の振動周期の公式は、17 世紀にオランダの科学者ホイヘンスによって初めて発見されました。アイザック・ニュートンと同時代人であるホイヘンスは、そのような振り子に非常に魅了され、振り子機構を備えた特別な時計を発明するほどでした。これらの時計は当時としては最も正確なものの 1 つでした。

ホイヘンスの振り子時計。

このような発明の出現は、物理学、特に時間の正確な測定が非常に重要な要素である物理実験の分野に多大な利益をもたらしました。

しかし、振り子の話に戻りましょう。つまり、振り子の仕事の基礎はその振動であり、これは式、より正確には次の微分方程式で表すことができます。

x + w2 sin x = 0

ここで、x (t) は未知の関数です (これは、ラジアンで表される、瞬間 t における下部平衡位置からの偏角です)。 w は正の定数で、振り子のパラメーター (w = √ g/L、g は自由落下の加速度、L は数学的な振り子 (サスペンション) の長さ) から決定されます。

振動自体に加えて、振り子は平衡位置にあることもあり、振り子に作用する重力は糸の張力によってバランスがとれます。非伸縮性の糸の上にある通常の平らな振り子は、2 つの自由度を持つシステムです。しかし、たとえば糸を棒に置き換えると、振り子の動きは 3 次元ではなく 2 次元になるため、振り子は 1 自由度のみのシステムになります。

しかし、振り子が弦の上に留まり、同時に上下に激しく振動する場合、機械システムは「逆さま」と呼ばれる安定した位置を獲得し、それはカピッツァ振り子とも呼ばれます。

振り子の性質

振り子には多くの興味深い特性があり、物理法則によって確認されています。したがって、振り子の振動周期は、振り子のサイズ、本体の形状、重心と吊り下げ点の間の距離などの要因によって異なります。したがって、振り子の周期を決定することは簡単な作業ではありません。ただし、数学的な振り子の周期は、以下の式を使用して正確に計算できます。

振り子の観察中に、次のパターンが導き出されました。

異なる重さの異なる荷重が振り子から吊り下げられているが、同時に振り子の長さが同じである場合、その振動の周期は荷重の質量に関係なく同じになります。
振動を開始するときに、振り子がそれほど大きくはなくても異なる角度で偏向すると、同じ周期で異なる振幅で振動し始めます。したがって、このような振り子の振動周期は振動の振幅に依存しません。この現象は等時性と呼ばれ、古代ギリシャ語で「クロノス」、「時間」、「イソ」、つまり「等しい」と訳されます。時間的には等しい。」

数学的な振り子の周期

振り子の周期は、振り子の実際の振動の周期、その持続時間を表す指標です。数学的な振り子の周期の公式は次のように書くことができます。

ここで、L は数学的な振り子の糸の長さ、g は重力加速度、π は数学的定数である数値 Pi です。

数学的な振り子の小さな振動の周期は、振り子の質量や振動の振幅にはまったく依存せず、この状況では、与えられた長さの数学的な振り子のように動きます。

数学的な振り子の実用化

ここで、最も興味深いこと、なぜ数学的な振り子が必要なのか、そしてそれが実際に生活の中でどのように応用されるのかを説明します。まず第一に、数学的な振り子の加速は地質調査に使用され、鉱物の検索に役立ちます。これはどうして起こるのでしょうか? 実際のところ、重力加速度は地理的緯度によって変化します。地球上のさまざまな場所の地殻の密度は同じではなく、より密度の高い岩石が存在する場所では加速度がわずかに大きくなるからです。これは、振り子の振動数を数えるだけで、地球の腸内で鉱石や石炭を見つけることができることを意味します。鉱石や石炭は他のばらばらの岩石よりも密度が高いためです。

また、数学的な振り子は、古代から始まり、特にアルキメデス、アリストテレス、プラトン、プルタルコスなど、過去の多くの優れた科学者によって使用されていました。そのため、アルキメデスはすべての計算に数学的な振り子さえ使用し、振り子が人々の運命に影響を与える可能性があると信じ、その助けを借りて未来を予測しようとする人さえいました。

数学的な振り子、ビデオ

最後に、記事のテーマに関する教育ビデオを紹介します。

発振周期とは何ですか? この量は何ですか?物理的な意味は何ですか?また、その計算方法は何ですか? この記事では、これらの問題を扱い、振動の周期を計算できるさまざまな公式を検討し、物体/システムの振動の周期と周波数などの物理量の間にどのような関係があるかを調べます。

定義と物理的意味

振動周期とは、物体またはシステムが 1 つの振動を実行する (必ず完了する) 時間のことです。同時に、発振が完了したとみなされるパラメーターに注目することができます。このような状態の役割は、体を元の状態（元の座標）に戻すことです。関数の周期との類似性は非常に優れています。ところで、それが普通の数学や高等数学でのみ起こると考えるのは間違いです。ご存知のとおり、これら 2 つの科学は密接に関連しています。そして、関数の周期は、三角方程式を解くときだけでなく、力学、光学などの物理学のさまざまな分野でも遭遇することがあります。振動周期を数学から物理学に置き換えるときは、経過時間に直接依存する単純な物理量 (関数ではなく) として理解する必要があります。

変動にはどのような種類がありますか?

振動は、調和振動と非調和振動、および周期振動と非周期振動に分けられます。調和振動の場合、何らかの調和関数に従って振動が発生すると考えるのが論理的です。サインまたはコサインのいずれかになります。この場合、圧縮/伸長係数と増加/減少係数も関係する可能性があります。振動も減衰させることができます。つまり、特定の力がシステムに作用すると、振動自体が徐々に「減速」します。この場合、周期は短くなりますが、発振周波数は必ず増加します。この物理的公理は、振り子を使用した簡単な実験によって非常によく実証されます。数学的なものだけでなく、スプリングタイプのものでも構いません。それは問題ではありません。ちなみに、このようなシステムの振動周期はさまざまな式によって決定されます。ただし、それについては少し後ほど説明します。では、例を挙げてみましょう。

振り子の体験

どの振り子を先に取っても違いはありません。物理法則は、どのような場合にも観察されるから物理法則である。しかし、どういうわけか私は数学的な振り子の方が好きです。誰かがそれが何であるかを知らない場合：それは、脚（またはシステムを平衡状態に保つための役割を果たす要素）に取り付けられた水平バーに取り付けられた、伸びない糸上のボールです。体験をより視覚的にするには、金属からボールを取得するのが最善です。

したがって、このようなシステムのバランスを崩し、ボールに力を加えると (つまり、押すと)、ボールは糸の上で特定の軌道をたどってスイングし始めます。時間が経つにつれて、ボールが通過する軌道が短くなることがわかります。同時に、ボールはますます速く前後に動き始めます。これは発振周波数が上昇していることを示しています。ただし、ボールが最初の位置に戻るまでの時間は短くなります。しかし、以前にわかったように、1 回の完全な振動の時間は周期と呼ばれます。一方の量が減少し、もう一方の量が増加する場合、彼らは反比例について話します。これで、最初のポイントに到達しました。これに基づいて、振動周期を決定するための式が構築されます。バネの振り子をテストに使用すると、法則は少し異なる形で観察されます。これを最も明確に示すために、システムを垂直面で動かしてみます。より明確にするために、まずバネ振り子とは何なのかを説明する必要があります。名前から、その設計にはバネが含まれている必要があることは明らかです。そして実際その通りです。繰り返しますが、サポート上に水平面があり、そこから一定の長さと硬さのバネが吊り下げられています。次に、重りがそこから吊り下げられます。円柱、立方体、その他の図形でも構いません。ある種のサードパーティオブジェクトである可能性もあります。いずれの場合でも、システムが平衡位置から離れると、減衰振動が始まります。周波数の増加は、垂直面で偏差なく最もはっきりと確認できます。ここで実験を終了します。

そこで、彼らの過程で、振動の周期と周波数が逆関係にある 2 つの物理量であることがわかりました。

数量と寸法の指定

通常、振動の周期はラテン文字の T で表されますが、別の方法で表されることもあります。周波数は文字μ（「ミュー」）で指定されます。最初に述べたように、周期とは、システム内で完全な振動が発生する時間に他なりません。その場合、周期次元は秒になります。また、周期と周波数は反比例するため、周波数の次元は 1 を 1 秒で割ったものになります。タスクレコードでは、すべてが次のようになります: T (s)、μ (1/s)。

数学的な振り子の公式。タスクNo.1

実験の場合と同様に、最初に数学的な振り子を扱うことにしました。このようなタスクは最初に設定されていないため、式の導出については詳しく説明しません。そして結論自体が面倒です。しかし、公式自体を理解し、そこに含まれる量を調べてみましょう。したがって、数学的な振り子の振動周期の公式は次の形式になります。

ここで、l は糸の長さ、n = 3.14、g は重力加速度 (9.8 m/s^2) です。この式で問題が生じることはありません。したがって、これ以上の質問はせずに、数学的な振り子の振動周期を決定する問題の解決に直接進みましょう。重さ 10 グラムの金属球が、長さ 20 センチメートルの非伸縮性の糸に吊り下げられています。システムの振動周期を数学的な振り子として計算します。解決策はとても簡単です。物理のすべての問題と同様に、不要な単語を削除してできるだけ単純化する必要があります。これらは意思決定者を混乱させるために文脈に含まれていますが、実際にはまったく重みがありません。ほとんどの場合、もちろんです。ここで、「拡張不可能なスレッド」の問題を除外できます。この表現は混乱を招くべきではありません。そして、振り子は数学的なものであるため、負荷の質量には興味を持たないはずです。つまり、10グラムという言葉も単に生徒を混乱させることを目的としているのです。しかし、式には質量がないことがわかっているので、明確な良心を持って解決策に進むことができます。したがって、システムの期間を決定する必要があるため、式を取得し、単純に値をそれに代入します。追加の条件が指定されていないため、慣例に従って値を小数点第 3 位で四捨五入します。値を乗算して除算すると、振動周期は 0.886 秒であることがわかります。問題は解決された。

ばね振り子の公式。タスクその2

振り子の公式には 2p という共通部分があります。この量は 2 つの式に同時に存在しますが、根号表現が異なります。ばね振り子の周期に関する問題で荷重の質量が示されている場合、数学的な振り子の場合のように、その使用による計算を避けることは不可能です。しかし、恐れる必要はありません。ばねの振り子の周期式は次のようになります。

ここで、m はバネから吊り下げられた荷重の質量、k はバネの剛性係数です。問題では、係数の値を指定できます。しかし、数学的な振り子の式で明確にすることがあまりない場合 (結局のところ、4 つの数量のうち 2 つは定数です)、ここに 3 番目のパラメーターが追加され、変更される可能性があります。そして出力には、振動の周期 (周波数)、バネ剛性係数、吊り下げられた荷重の質量という 3 つの変数があります。タスクは、これらのパラメータのいずれかを見つけることに集中できます。期間を再度求めるのは簡単すぎるので、少し条件を変えてみます。完全な振動時間が 4 秒で、ばね振り子の質量が 200 グラムの場合のばね剛性係数を求めます。

物理的な問題を解決するには、まず図を描いて数式を書くと良いでしょう。彼らはここにいます - 戦いは半分です。式を書いたら、剛性係数を表現する必要があります。これは根の下にあるので、方程式の両辺を二乗しましょう。端数を取り除くには、部分に k を掛けます。ここで、方程式の左側の係数だけを残しておきます。つまり、各部分を T^2 で割ります。原理的には、期間を数値で指定するのではなく、頻度を指定することで、問題をもう少し複雑にすることができます。いずれにせよ、計算して四捨五入すると（小数点第 3 位まで四捨五入することに同意しました）、k = 0.157 N/m であることがわかります。

自由振動の期間。自由振動の周期の計算式

自由振動の周期の公式は、以前に与えられた 2 つの問題で検討した公式を指します。彼らは自由振動の方程式も作成しますが、そこでは変位と座標について話しているので、この質問は別の記事に属します。

1) 問題に取り組む前に、その問題に関連する公式を書き留めてください。

2) 最も単純なタスクには図面は必要ありませんが、例外的な場合には図面を作成する必要があります。

3) 可能であれば根と分母を取り除くようにしてください。分母のない直線上に書かれた方程式は、はるかに便利で、解くのが簡単です。

物体が軸の周りを回転する具体例として、振り子の動きを考えてみましょう。

物理的な振り子は、水平の回転軸を持つ剛体であり、その重量の影響下でその周りで振動運動を実行します (図 119)。

振り子の位置は、平衡位置からの偏差の角度によって完全に決定されるため、振り子の運動の法則を決定するには、この角度の時間依存性を見つけるだけで十分です。

次の形式の方程式:

を振り子の運動方程式（法則）といいます。それは初期条件、つまり角度と角速度に依存します。

物理的な振り子の限定的なケースは数学的な振り子であり、これは（前述したように、第 2 章、§ 3 で）硬い無重力の棒によって回転する水平軸に接続された物質点を表します (図 120)。回転軸から質点までの距離を数学的な振り子の長さと呼びます。

物理的および数学的な振り子の運動方程式

図に示すように、xy 平面が物体 C の重心を通過し、振り子のスイング平面と一致するように座標軸系を選択しましょう (図 119)。描画面に垂直な軸を手前に向けてみましょう。次に、前の段落の結果に基づいて、物理的な振り子の運動方程式を次の形式で書きます。

ここで、 through は回転軸に対する振り子の慣性モーメントを示し、

したがって、次のように書くことができます。

振り子に作用する有効な力はその重量であり、重量軸に対するモーメントは次のようになります。

ここで、は振り子の回転軸から質量中心 C までの距離です。

その結果、次のような物理的な振り子の運動方程式に到達します。

数学的な振り子は物理的な振り子の特殊なケースであるため、上に書いた微分方程式は数学的な振り子にも当てはまります。数学的な振り子の長さがに等しい場合、その重量は、回転軸に対する慣性モーメントは次のようになります。

数学的な振り子の重心の軸からの距離は等しいため、数学的な振り子の最終的な微分運動方程式は次の形式で書くことができます。

物理的な振り子の長さの短縮

方程式 (16.8) と (16.9) を比較すると、物理的振り子のパラメーターと数学的振り子のパラメーターが次の関係によって関連付けられていると結論付けることができます。

その場合、物理的振り子の運動法則と数学的振り子の運動法則は同じです（同じ初期条件の下では）。

最後の関係は、数学的な振り子が対応する物理的な振り子と同じように動くために必要な長さを示します。この長さは、物理的な振り子の短縮長と呼ばれます。この概念の意味は、物理的な振り子の動きの研究を、単純な機械回路である数学的な振り子の動きの研究に置き換えることができるということです。

振り子の運動方程式の最初の積分

物理的振り子の運動方程式と数学的振り子の運動方程式は同じ形式であるため、それらの運動方程式は次のようになります。

この方程式で考慮される唯一の力はポテンシャル力場に属する重力であるため、機械的エネルギー保存の法則が適用されます。

後者は簡単な方法で取得できます。つまり、式 (16.10) に次の値を掛けます。

この方程式を積分すると、次のようになります。

初期条件から積分定数 Cu を決定すると、次のようになります。

最後の方程式を解くと、得られる相対値が得られます。

この関係は、微分方程式 (16.10) の最初の積分を表します。

物理的および数学的な振り子の支持反応の決定

運動方程式の最初の積分により、振り子の支持反応を決定することができます。前の段落で示したように、サポート反応は式 (16.5) から決定されます。物理的な振り子の場合、座標軸に沿った有効な力の成分とその軸に対するモーメントは次のようになります。

重心の座標は次の式で決定されます。

この場合、サポートの反応を決定する方程式は次の形式になります。

問題の条件に応じて、物体の遠心慣性モーメントとサポート間の距離を知る必要があります。角加速度 b と角速度 с は、式 (16.9) と (16.4) から次の形式で求められます。

したがって、方程式 (16.12) は物理的な振り子の支持反応の成分を完全に決定します。

数学的な振り子を考慮すると、方程式 (16.12) はさらに単純化されます。確かに、数学的な振り子の質点は平面内にあるため、さらに、1 つの点が固定されているため、結果として、方程式 (16.12) は次の形式の方程式になります。

式(16.9)を使用した式(16.13)から、支持反応は糸Iに沿って方向付けられることがわかります(図120)。後者は明らかな結果です。その結果、等式 (16.13) の成分をねじ山の方向に投影すると、フォームのサポートの反応を決定する方程式が見つかります (図 120)。

ここで値を置き換えて、次のように記述します。

最後の関係は、数学的な振り子の動的応答を決定します。その静的な反応は次のようになります。

振り子の動きの性質に関する定性的研究

振り子の運動方程式の最初の積分により、振り子の運動の性質の定性的研究を行うことができます。つまり、この積分 (16.11) を次の形式で書きます。

運動中、ラジカルな表現は、ある時点で肯定的になるか、消滅するかのどちらかでなければなりません。初期条件が次のようであると仮定します。

この場合、過激な表現はどこにも消えません。したがって、移動すると、振り子はすべての角度の値を通過し、振り子からの角速度は同じ符号を持ちます。これは、初期角速度の方向によって決定されるか、角度がすべての値を増加させるかのいずれかになります。時間または常に減少します。つまり、振り子は片側で回転します。

移動方向は、式 (16.11) のいずれかの符号に対応します。このような動きを実現するために必要な条件は、初期角速度が存在することです。これは、不等式 (16.14) から、どの初期偏向角でも振り子のような動きを得ることが不可能であることが明らかであるためです。

ここで、初期条件を次のようにします。

この場合、根号式がゼロになる角度の値は 2 つあります。等式で定義される角度に対応させます。

また、それは 0 からの範囲のどこかになります。さらに、次のような場合は明らかです。

根式 (16.11) は正となり、任意に少し超えると負になります。

したがって、振り子が動くと、その角度は次の範囲で変化します。

振り子の角速度がゼロになり、角度がの値まで減少し始めるとき。この場合、角速度の符号、または式(16.11)の根号の前の符号が変わります。振り子の角速度が再びゼロに達し、角度が再びその値まで増加し始めるとき

したがって、振り子は振動運動をします

振り子振動の振幅

振り子が振動するとき、鉛直からの偏差の最大値を振動の振幅といいます。等式から決定されるのと等しい

最後の式からわかるように、振動の振幅は振り子の主な特性の初期データまたはその短縮された長さに依存します。

特定のケースでは、振り子が平衡位置から偏向され、初速度なしで解放されると、振幅はに等しくなります。したがって、振幅は短縮された長さに依存しません。

最終形の振り子の運動方程式

振り子の初速度をゼロとすると、その運動方程式の最初の積分は次のようになります。

この方程式を積分すると、次のようになります。

振り子の位置から時間を数えます。

次の式を使用して被積分関数を変換しましょう。

すると、次のようになります。

結果として得られる積分は、第 1 種楕円積分と呼ばれます。有限個の初等関数を使って表現することはできません。

楕円積分 (16.15) の上限に関する反転は、振り子の運動方程式を表します。

これはよく研究されたヤコビ楕円関数になります。

振り子振動の周期

振り子の 1 回の完全な振動にかかる時間を振動周期と呼びます。それを T と表します。振り子の位置から位置への移動時間は、そこからの移動時間と同じであるため、T は次の式で求められます。

次のようにして変数を変更しましょう

0 からまで変化させると 0 からになります。さらに遠く、

したがって

最後の積分は、第 1 種完全楕円積分と呼ばれます (その値は特別な表に示されています)。

被積分関数が 1 になる傾向があるとき、と。

振り子の微小振動の近似式

振り子の振動の振幅が小さい場合 (実際には 20° を超えてはいけません)、次のようにすることができます。

この場合、振り子の微分運動方程式は次の形式になります。

テクノロジーや私たちの周りの世界では、私たちはしばしば対処しなければなりません 定期的な（または ほぼ定期的) 一定の間隔で繰り返されるプロセス。このようなプロセスはと呼ばれます 振動性の.

振動は、自然界やテクノロジーにおいて最も一般的なプロセスの 1 つです。飛んでいる昆虫や鳥の羽、風の影響を受ける高層ビルや高圧電線、走行中の巻き時計やバネにかかる車の振り子、一年を通じた川の水位や気温など。病気の人体、音は空気の密度と圧力の変動、電波は電場と磁場の強さの周期的変化、可視光線も電磁振動であり、波長と周波数がわずかに異なるだけ、地震は土壌の振動、パルスです。人間の心筋などの周期的な収縮です。

振動には、機械的、電磁的、化学的、熱力学的などさまざまなものがあります。このような多様性にもかかわらず、それらには多くの共通点があります。

さまざまな物理的性質の振動現象は、一般法則の影響を受けます。たとえば、電気回路内の電流の振動と数学的な振り子の振動は、同じ方程式で説明できます。振動パターンの共通性により、さまざまな性質の振動プロセスを単一の観点から検討することができます。振動運動の兆候は、 周期性.

機械的振動 –これ正確に、またはほぼ一定の間隔で繰り返される動き.

単純な振動システムの例としては、バネ上の負荷 (バネ振り子) や紐上のボール (数学振り子) があります。

機械的振動中、運動エネルギーと位置エネルギーは周期的に変化します。

で 最大偏差身体の平衡位置、速度、したがって 運動エネルギーがゼロになる。この位置で 位置エネルギー振動体 最大値に達する。ばねにかかる荷重の場合、位置エネルギーはばねの弾性変形のエネルギーです。数学的な振り子にとって、これは地球の重力場のエネルギーです。

物体がその動きの中で通過するとき 平衡位置、その速度は最大です。物体は慣性の法則に従って平衡位置をオーバーシュートします。現時点ではそれは 最大の運動エネルギーと最小の位置エネルギー。運動エネルギーの増加は、位置エネルギーの減少によって起こります。

さらに移動すると、運動エネルギーの減少などにより位置エネルギーが増加し始めます。

したがって、調和振動中、運動エネルギーから位置エネルギーへの周期的な変換、およびその逆の変換が発生します。

振動系に摩擦が存在しない場合、機械振動中の総機械エネルギーは変化しません。

バネ荷重用:

最大たわみの位置では、振り子の総エネルギーは変形したばねの位置エネルギーに等しくなります。

平衡位置を通過するとき、総エネルギーは負荷の運動エネルギーに等しくなります。

数学的な振り子の小さな振動の場合:

最大偏差の位置では、振り子の総エネルギーは、高さ h まで持ち上げられた物体の位置エネルギーに等しくなります。

平衡位置を通過するとき、総エネルギーは体の運動エネルギーに等しくなります。

ここ うーん– 地球の重力場における振り子の最大高さ、 ×メートルそしてυ メートル = ω 0 ×メートル– 平衡位置からの振り子の偏差とその速度の最大値。

調和振動とその特性。調和振動の方程式。

最も単純なタイプの振動プロセスは単純です。 調和振動, それは方程式で説明されます

バツ = ×メートル cos(ω t + φ 0).

ここバツ– 平衡位置からの体の変位、
×メートル– 振動の振幅、つまり平衡位置からの最大変位、
ω – 循環周波数または循環周波数ためらい、
t- 時間。

振動運動の特徴。

オフセット x –振動点の平衡位置からのずれ。測定単位は 1 メートルです。

振動振幅 A –平衡位置からの振動点の最大偏差。測定単位は 1 メートルです。

発振周期T– 1 つの完全な振動が発生する最小時間間隔を呼びます。測定単位は 1 秒です。

T=t/N

ここで、t は振動の時間、N はこの時間中に完了した振動の数です。

調和振動のグラフから、振動の周期と振幅を決定できます。

発振周波数 ν –単位時間当たりの振動数に等しい物理量。

ν=N/t

周波数は発振周期の逆数です。

頻度振動数 ν は 1 秒間に発生する振動数を示します。周波数の単位は次のとおりです。 ヘルツ(Hz)。

周期周波数 ω– 2π 秒間の振動数。

発振周波数νは次のように関係します。 サイクリック周波数 ωと発振周期 T比率:

段階調和過程 - 調和振動の方程式のサインまたはコサインの下にある量 φ = ω t + φ 0 。で t= 0 φ = φ 0 したがって、 φ 0 呼ばれた 初期段階.

調和グラフサイン波またはコサイン波を表します。

青い曲線の 3 つのケースすべて φ 0 = 0:

のみより大きな振幅(x" m > x m);

赤い曲線は青い曲線とは異なりますのみ意味期間(T" = T / 2);

赤い曲線は青い曲線とは異なりますのみ意味 初期段階（嬉しい）。

物体が直線（軸）に沿って振動するとき牛) 速度ベクトルは常にこの直線に沿った方向を向いています。体の動きの速さは表情で決まる

数学において、Δにおける比Δх/Δtの限界を求める手順 t→ 0 は関数の導関数を計算すると呼ばれますバツ(t) 時間によって tと表されます バツ"(t).速度は関数 x( t) 時間によって t.

調和運動法則の場合バツ = ×メートル cos(ω t+ φ 0) 導関数を計算すると、次の結果が得られます。

υ バツ =バツ"(t)= ω ×メートル罪(ω t + φ 0)

加速度も同様の方法で決定されます ×調和振動中の物体。 加速度あるは関数 υ( t) 時間によって t、または関数の二次導関数バツ(t). 計算すると次のようになります。

そしてx =υ ×「(t) =バツ""(t)= -ω 2 ×メートル cos(ω t+ φ 0)=-ω 2 バツ

この式のマイナス記号は加速度を意味します。ある(t) は常に変位の反対の符号を持ちますバツ(t)、したがって、ニュートンの第 2 法則によれば、物体に調和振動を引き起こす力は常に平衡位置に向けられます ( バツ = 0).

この図は、調和振動を行う物体の座標、速度、加速度のグラフを示しています。

調和振動を行う物体の座標 x(t)、速度 υ(t)、加速度 a(t) のグラフ。

スプリング振り子。

スプリング振り子剛性 k のバネに取り付けられた質量 m の荷重で、バネの第 2 端はしっかりと固定されています。.

固有振動数バネにかかる荷重の自由振動 ω 0 は次の式で求められます。

期間 T ばねにかかる荷重の調和振動は次の値に等しい

これは、ばね振り子の振動周期が負荷の質量とばねの剛性に依存することを意味します。

振動系の物理的性質 振動の固有振動数 ω 0 と周期のみを決定します。 T 。振幅などの発振過程のパラメータ ×メートルおよび初期位相 φ 0 は、システムが最初の瞬間に平衡状態から外される方法によって決定されます。

数学的な振り子。

数学的な振り子伸縮性のない細い糸で吊るされた小さな物体と呼ばれ、その質量は物体の質量に比べて無視できます。

平衡位置では、振り子が鉛直に下がっているとき、重力は糸 N の張力によって釣り合います。振り子が平衡位置からある角度 φ だけずれると、重力の接線方向の成分が現れます。 F τ = – mg罪φ。この式のマイナス記号は、接線成分が振り子のたわみと反対の方向に向いていることを意味します。

数学的振り子.φ – 平衡位置からの振り子の角度偏差、

バツ= lφ – 円弧に沿った振り子の変位

数学的な振り子の小さな振動の固有振動数は、次の式で表されます。

数学的な振り子の振動周期:

これは、数学的な振り子の振動周期が糸の長さと振り子が設置されている領域の自由落下の加速度に依存することを意味します。

自由振動と強制振動。

機械的振動は、他の物理的性質の振動プロセスと同様に、無料そして 強制的.

自由振動 –これらは、システムが安定した平衡位置から離れた後、内部力の影響下でシステム内で発生する振動です。

ばね上の重りの振動や振り子の振動は自由振動です。

調和の法則に従って自由振動が発生するには、物体を平衡位置に戻そうとする力が、平衡位置からの物体の変位に比例し、変位と反対の方向に向かう必要があります。

実際の条件では、あらゆる振動システムは摩擦力 (抵抗) の影響を受けます。この場合、機械エネルギーの一部が原子や分子の熱運動の内部エネルギーに変換され、振動が発生します。 色褪せ.

色褪せ 振幅が時間とともに減少する振動と呼ばれる.

振動の減衰を防ぐには、システムに追加のエネルギーを提供する必要があります。周期的な力で振動システムに影響を与えます (ブランコを揺らすなど)。

周期的に変化する外部力の影響下で発生する振動は、強制的.

外力は正の仕事をし、振動系にエネルギーの流れを与えます。摩擦力の作用にもかかわらず、振動が消えることはありません。

周期的な外力は、さまざまな法則に従って時間の経過とともに変化します。特に興味深いのは、周波数 ω の調和則に従って変化する外力が、特定の周波数 ω 0 で独自の振動を実行できる振動システムに作用する場合です。

自由振動がシステムのパラメーターによって決定される周波数 ω 0 で発生する場合、次のようになります。定常強制振動は常に次の条件で発生します。 周波数 ω 外力 .

固有振動の周波数が外部駆動力の周波数と一致したとき、強制振動の振幅が急激に増加する現象を「強制振動」といいます。共振.

振幅依存性 ×メートル駆動力の周波数 ω からの強制振動を呼びます。 共振特性または 共振曲線.

さまざまな減衰レベルでの共振曲線:

1 – 摩擦のない振動系。共振時、強制振動の振幅 x m は無限に増加します。

2、3、4 – 異なる摩擦を伴う振動システムの実際の共振曲線。

摩擦がない場合、共振中の強制振動の振幅は際限なく増加するはずです。実際の条件では、定常状態の強制振動の振幅は条件によって決まります。つまり、振動期間中の外力の仕事は、摩擦による同じ時間中の機械的エネルギーの損失に等しくなければなりません。摩擦が少ないほど、共振中の強制振動の振幅は大きくなります。

共振現象は、橋、建物、その他の構造物の振動の固有振動数が、たとえば不平衡なモーターの回転によって生じる周期的に作用する力の周波数と一致すると、破壊を引き起こす可能性があります。

数学の振り子

導入

発振周期

結論

文学

導入

ガリレオが大聖堂に立って祈りながら、青銅のシャンデリアが揺れるのをどのように注意深く観察したかという伝説を検証することは、今ではもう不可能となっている。私はシャンデリアが前後に移動する時間を観察して測定しました。この時間は後に振動周期と呼ばれるようになりました。ガリレオは時計を持っていなかったので、異なる長さの鎖に吊るされたシャンデリアの振動周期を比較するために、パルスの周波数を使用しました。

振り子には非常に特定の振動周期があるため、振り子は時計の速度を調整するために使用されます。振り子は地質探査にも重要な用途があります。世界中のさまざまな場所で価値観が異なることが知られています。 g異なっています。地球は完全に正球ではないため、それらは異なります。また、一部の金属鉱石など、緻密な岩石が存在する地域では、 g異常に高い。正確な測定 g数学的な振り子の助けを借りて、そのような堆積物を検出できる場合があります。

数学的な振り子の運動方程式

数学的な振り子は、垂直な円 (平面的な数学的な振り子) に沿って、または球 (球状の振り子) に沿って移動する重い物質点です。最初の近似として、数学的な振り子は、伸縮性のない柔軟な糸に吊り下げられた小さな負荷と考えることができます。

半径の円に沿った平らな数学的な振り子の動きを考えてみましょう私ある点を中心に について(図1)。ポイントの位置を決めていきます M(振り子) 偏角 j 半径 OM垂直から。接線の方向付け M t が正の角度 j に向かうと、自然な運動方程式を構成します。この方程式は運動方程式から作られます

mW=F+N, (1)
どこ Fは点に作用する有効な力であり、 N- コミュニケーション反応。

写真1

ニュートンの第 2 法則に従って方程式 (1) が得られました。これは力学の基本法則であり、物質点の運動量の時間導関数はそれに作用する力に等しいと述べています。

質量が一定であると仮定すると、前の式は次の形式で表すことができます。

どこ W点の加速度です。

したがって、式 (1) を t 軸に投影すると、特定の滑らかな固定曲線に沿った点の動きに関する自然方程式の 1 つが得られます。

私たちの場合、t 軸への投影で次のようになります。

,
どこ メートル振り子の質量があります。

またはなので、ここから次のようになります。

.
削減方法 メートルそして信じること

, (3)
最終的には次のようになります:

. (4)
まず小さな振動の場合を考えてみましょう。最初の瞬間に振り子が垂直からある角度だけ偏向したとします。 j初速なしで下げます。この場合、初期条件は次のようになります。

で t= 0, . (5)
エネルギー積分から:

, (6)
どこ V- 位置エネルギー、および hが積分定数である場合、これらの条件下では常に角度 jЈj 0 が得られます。定数値 h初期データから決定されます。角度 j 0 が小さい (j 0 Ј1) と仮定します。その場合、角度 j も小さくなり、近似的に sinj»j を設定できます。この場合、式 (4) は次の形式になります。

. (7)
式(7)は単調和振動の微分方程式です。この方程式の一般的な解は次のとおりです。

, (8)
どこあそして Bまたはあるおよび e は積分定数です。

ここからすぐにピリオドを見つけます( T) 数学的な振り子の小さな振動 (周期 - 点が同じ速度で前の位置に戻る期間)

そして

,
なぜなら sin の周期は 2p に等しいため、w T=2p ゆう

(9)

初期条件 (5) での運動法則を見つけるには、次のように計算します。

. (10)
値(5)を式(8)と(10)に代入すると、次のようになります。

j 0 = あ、0 = w B,

それらの。 B=0。したがって、条件 (5) での小さな振動の運動法則は次のようになります。

j = j 0 cos wt. （十一）

ここで、平らな数学的な振り子の問題の正確な解決策を見つけてみましょう。まず、運動方程式 (4) の最初の積分を決定しましょう。なぜなら

,
(4) は次のように表すことができます。

.
したがって、方程式の両辺に次の値を掛けます。 d j を積分すると、次のようになります。

. (12)
ここで、振り子の最大偏向角度を j 0 と表します。 j = j 0 の場合、次のようになります。 C= w 2 cosj 0 。その結果、積分 (12) は次のようになります。

, (13)
ここで、w は式 (3) によって決定されます。

この積分はエネルギー積分であり、次の方程式から直接求めることができます。

, (14)
引っ越し作業はどこですか M 0 Mアクティブな力 F、私たちの場合それを考慮すると v 0 =0、および (図を参照)。

式 (13) から、振り子が動くと、角度 j が値 +j 0 と -j 0 (|j|Јj 0 なので) の間で変化することは明らかです。振り子は振動運動を行います。時間をカウントダウンすることに同意しましょう t振り子が垂直を通過した瞬間から O.A.右に移動したとき (図を参照)。次に、初期条件が得られます。

で t=0、j=0。 (15)

また、地点から移動する場合には、あ意思 ; 等式 (13) の両辺から平方根を取ると、次が得られます。

.
ここで変数を分離すると、次のようになります。