ベクトルのスカラー積を求めます。ベクトルの内積

28.04.2019

内積ベクトル（以下、ＳＰと呼ぶ）。親愛なる友人たち！数学の試験には、ベクトルを解く問題群が含まれています。私たちはすでにいくつかの問題を検討しました。これらは「ベクター」カテゴリで見ることができます。一般に、ベクトルの理論は複雑ではありません。主なことは、それを一貫して研究することです。学校の数学コースでのベクトルの計算と演算は単純であり、公式は複雑ではありません。見てください。この記事では、ベクトルの SP (統一国家試験に含まれる) の問題を分析します。ここで理論に「没入」します。

H ベクトルの座標を見つけるには、その終端の座標から減算する必要があります。原点の対応する座標

そしてもう一つ：

※ベクトルの長さ（係数）は次のように決定されます。

これらの公式は覚えておく必要があります!!!

ベクトル間の角度を示してみましょう。

0 から 180 0 まで変化する可能性があることは明らかです。(または 0 から Pi までのラジアン単位)。

スカラー積の符号について、いくつかの結論を導き出すことができます。ベクトルの長さは次のとおりです。正の値、これは明らかです。これは、スカラー積の符号がベクトル間の角度の余弦の値に依存することを意味します。

考えられるケース:

1. ベクトル間の角度が鋭角 (0 0 ～ 90 0) の場合、角度のコサインは正の値になります。

2. ベクトル間の角度が鈍角 (90 0 ～ 180 0) の場合、角度のコサインは負の値になります。

*0 度、つまりベクトルが同じ方向の場合、コサインは 1 に等しいため、結果は正になります。

180°、つまりベクトルの方向が逆の場合、コサインはマイナス 1 に等しくなります。したがって、結果はマイナスになります。

ここからが重要なポイントです！

90°、つまりベクトルが互いに直交するとき、コサインはゼロに等しいしたがって、SP はゼロに等しくなります。この事実 (結果、結論) は、ベクトルの相対位置について話している多くの問題を解く際に使用されます。オープンバンク数学の課題。

ステートメントを定式化してみましょう。スカラー積は、これらのベクトルが垂直線上にある場合にのみゼロに等しくなります。

したがって、SP ベクトルの式は次のようになります。

ベクトルの座標、またはその始点と終点の点の座標がわかっている場合は、常にベクトル間の角度を見つけることができます。

タスクを考えてみましょう。

27724 ベクトル a と b のスカラー積を求めます。

次の 2 つの公式のいずれかを使用して、ベクトルのスカラー積を求めることができます。

ベクトル間の角度は不明ですが、ベクトルの座標を簡単に見つけて最初の式を使用できます。両方のベクトルの原点が座標の原点と一致するため、これらのベクトルの座標は両端の座標と等しくなります。

ベクトルの座標を見つける方法については、で説明されています。

計算します:

答え: 40

ベクトルの座標を見つけて、次の式を使用してみましょう。

ベクトルの座標を見つけるには、ベクトルの終端の座標から、対応する始端の座標を減算する必要があります。つまり、

スカラー積を計算します。

答え: 40

ベクトル a と b の間の角度を求めます。度単位で答えてください。

ベクトルの座標を次の形式にします。

ベクトル間の角度を見つけるには、ベクトルのスカラー積の公式を使用します。

ベクトル間の角度の余弦:

したがって、次のようになります。

これらのベクトルの座標は等しいです。

それらを式に代入してみましょう。

ベクトル間の角度は 45 度です。

答え: 45

ベクトルの内積

私たちはベクトルを扱い続けます。最初のレッスンで ダミー用のベクトルベクトルの概念、ベクトルを使用したアクション、ベクトル座標、およびベクトルに関する最も単純な問題を見ていきました。検索エンジンから初めてこのページにアクセスした場合は、上記の紹介記事を読むことを強くお勧めします。この資料を習得するには、私が使用する用語や名称についてよく理解しておく必要があるからです。基礎知識ベクトルについて理解し、初歩的な問題が解けるようになる。このレッスン「」はこのトピックの論理的な継続であり、ベクトルのスカラー積を使用する典型的なタスクを詳細に分析します。 これは非常に重要な活動です。。サンプルには便利な特典が付いていますので、読み飛ばさないようにしてください。練習すると、これまでに取り上げた内容が定着し、解析幾何学における一般的な問題をより良く解決できるようになります。

ベクトルの加算、ベクトルと数値の乗算... 数学者が他に何かを考え出していないと考えるのは素朴だろう。すでに説明したアクションに加えて、ベクトルを使用した操作は他にも多数あります。 ベクトルの内積, ベクトルのベクトル積そして ベクトルの混合積。ベクトルのスカラー積は学校でよく知られており、他の 2 つの積は伝統的に高等数学のコースに属します。トピックはシンプルで、多くの問題を解決するためのアルゴリズムは単純で理解しやすいものです。唯一のこと。かなりの量の情報があるため、一度にすべてをマスターして解決しようとすることは望ましくありません。これはダミーにとって特に当てはまります。信じてください、著者は数学のチカチーロのように感じたくありません。もちろん、数学からではありません =) 準備が整った生徒は、教材を選択的に使用して、ある意味、欠けている知識を「得る」ことができます。あなたのために、私は無害なドラキュラ伯爵になります =)

いよいよドアを開けて、2 つのベクトルが出会ったときに何が起こるかを熱心に見守りましょう...

ベクトルのスカラー積の定義。
スカラー積のプロパティ。一般的なタスク

内積の概念

まずはについて ベクトル間の角度。ベクトル間の角度がどのようなものかは誰もが直感的に理解していると思いますが、念のためもう少し詳しく説明します。自由な非ゼロベクトルとを考えてみましょう。これらのベクトルを任意の点からプロットすると、多くの人がすでに頭の中で想像しているような図が得られます。

正直に認めますが、ここでは理解できるレベルでのみ状況を説明しました。ベクトル間の角度の厳密な定義が必要な場合は教科書を参照してください。実際の問題については、原則として必要ありません。また、こことここでは、実際の重要性が低いため、所々にあるゼロベクトルを無視します。私は、後続の記述の理論的不完全性について私を非難するかもしれない上級のサイト訪問者のために特別に予約しました。

0 ～ 180 度 (0 ～ラジアン) の値を取得できます。分析的にこの事実二重不等式として書かれます。

または

(ラジアン単位)。

文献では、角度記号は省略され、単純に書かれることがよくあります。

意味： 2 つのベクトルのスカラー積は、これらのベクトルの長さとそれらの間の角度の余弦の積に等しい NUMBER です。

さて、これはかなり厳密な定義です。

私たちは重要な情報に重点を置いています。

指定：スカラー積は単にまたはで表されます。

操作の結果は NUMBER です: ベクトルとベクトルを乗算し、結果は数値になります。実際、ベクトルの長さが数値、角度のコサインが数値の場合、その積はも数字になります。

ウォームアップの例をいくつか挙げます。

例1

解決：私たちは公式を使います。この場合：

答え：

コサイン値は次のとおりです。 三角関数表。これを印刷することをお勧めします。これはタワーのほぼすべてのセクションで必要になり、何度も必要になります。

純粋に数学的な観点から見ると、スカラー積は無次元です。つまり、この場合、結果は単なる数値であり、それだけです。物理問題の観点から見ると、スカラー積は常に一定の値を持ちます。物理的な意味つまり、結果の後にいずれかを示す必要があります物理単位。力の仕事を計算する標準的な例は、どの教科書にも記載されています (式はまさにスカラー積です)。力の仕事はジュールで測定されるため、答えはたとえばのように非常に具体的に書かれます。

例 2

どうかを見つける、ベクトル間の角度はに等しい。

これは例です独立した決定、答えはレッスンの最後にあります。

ベクトル間の角度と内積値

例 1 ではスカラー積が正であることがわかり、例 2 では負であることがわかりました。スカラー積の符号が何に依存するかを調べてみましょう。式を見てみましょう。。非ゼロベクトルの長さは常に正であるため、符号はコサインの値にのみ依存します。

注記： 以下の情報をよりよく理解するには、マニュアルのコサイングラフを検討することをお勧めします。 関数グラフとプロパティ。セグメント上でコサインがどのように動作するかを確認します。

すでに述べたように、ベクトル間の角度は範囲内で変化する可能性があります。 , 以下のようなケースが考えられます。

1) もし コーナーベクトル間辛い: (0 度から 90 度まで)、その後、そして 内積は正になります 共同監督の場合、それらの間の角度はゼロとみなされ、スカラー積も正になります。であるため、式は次のように簡略化されます。

2) もし コーナーベクトル間鈍い: (90 度から 180 度まで)、その後、そしてそれに応じて、 内積が負です: . 特殊な場合: ベクトルの場合 反対方向、その後、それらの間の角度が考慮されます 拡張された：（180度）。スカラー積も負です。

逆のステートメントも当てはまります。

1) の場合、これらのベクトル間の角度は鋭角です。あるいは、ベクトルは同方向です。

2) の場合、これらのベクトル間の角度は鈍角になります。あるいは、ベクトルは反対方向になります。

しかし、3 番目のケースは特に興味深いものです。

3) もし コーナーベクトル間直接：（90度）、その後 スカラー積はゼロです: 。逆もまた真です: if , then 。このステートメントは次のように簡潔に定式化できます。 2 つのベクトルのスカラー積は、ベクトルが直交している場合にのみゼロになります。。短い数学表記:

！注記 ：繰り返しましょう 数理論理学の基礎: 両面の論理結果アイコンは、通常、「場合とのみ」、「場合とのみ」と読み取られます。ご覧のとおり、矢印は両方向に向いています。「これからこれが続き、その逆も同様です。あれからこれが続きます」。ところで、一方的なフォローアイコンとの違いは何でしょうか？アイコンの状態 それだけ、「これからこれが続く」ということは事実であり、その逆が真実であるということは事実ではありません。例: ですが、すべての動物がヒョウであるわけではないため、この場合はアイコンを使用できません。同時にアイコンの代わりに できる片面アイコンを使用します。たとえば、問題を解決しているときに、ベクトルは直交しているという結論に達したことがわかりました。 - このようなエントリは正しく、さらに適切です。 .

3 番目のケースは実際的に非常に重要ですベクトルが直交しているかどうかを確認できるためです。この問題はレッスンの 2 番目のセクションで解決します。

内積の性質

2 つのベクトルが存在する状況に戻りましょう。 共同監督。この場合、それらの間の角度はゼロであり、スカラー積公式は次の形式になります。

ベクトルをそれ自体で乗算するとどうなるでしょうか? ベクトルがそれ自体と一致していることは明らかなので、上記の簡略化された式を使用します。

番号が呼ばれます スカラー二乗ベクトルであり、として表されます。

したがって、 ベクトルのスカラー二乗は、指定されたベクトルの長さの二乗に等しくなります。

この等式から、ベクトルの長さを計算する式を得ることができます。

これまでのところ、それは明確ではないように見えますが、レッスンの目的により、すべてが所定の位置に配置されます。問題を解決するには、次のことも必要です 内積の性質.

任意のベクトルおよび任意の数値については、次のプロパティが当てはまります。

1) – 可換または可換スカラー積の法則。

2) – 配布または 分配的なスカラー積の法則。単純にブラケットを開くことができます。

3) – 連想または 連想的なスカラー積の法則。定数はスカラー積から導出できます。

多くの場合、あらゆる種類の特性 (これも証明する必要があります!) は学生にとって不必要なゴミであると認識されており、それは暗記し、試験直後に安全に忘れるだけで済みます。ここで重要なことは、因子を並べ替えても積が変わらないことを、誰もが 1 年生からすでに知っていることだと思われるでしょう。高等数学では、このようなアプローチでは物事が台無しになりやすいことを警告しなければなりません。したがって、たとえば、可換性は次の場合には当てはまりません。 代数行列。それは当てはまりません ベクトルのベクトル積。したがって、何ができるのか、何ができないのかを理解するために、高等数学のコースで遭遇するプロパティを少なくとも詳しく調べたほうがよいでしょう。

例 3

解決：まず、ベクトルで状況を明確にしましょう。それにしてもこれは何でしょうか？ベクトルの合計は明確に定義されたベクトルであり、で示されます。ベクトルを使用したアクションの幾何学的解釈については、記事を参照してください。 ダミー用のベクトル。ベクトルを持つ同じパセリは、ベクトルとの合計です。

したがって、条件に応じてスカラー積を求める必要があります。理論的には、申請する必要があります作業公式 , しかし問題は、ベクトルの長さとベクトル間の角度がわからないことです。ただし、この条件ではベクトルに対して同様のパラメーターが与えられるため、別のルートを選択します。

(1) ベクトルの式を置き換えます。

(2) 多項式の乗算の規則に従って括弧を開きます。下品な早口言葉が記事にあります。 複素数または 分数有理関数の統合。繰り返しはしません =) ところで、スカラー積の分配特性により、括弧を開けることができます。私たちにはその権利があります。

(3) 最初と最後の項では、ベクトルのスカラー二乗をコンパクトに記述します。。第 2 項では、スカラー積の可換性を使用します。

(4) プレゼントします類似の用語: .

(5) 最初の項では、少し前に述べたスカラー二乗公式を使用します。したがって、最後の項でも同じことが機能します。標準公式に従って第 2 項を展開します .

(6) これらの条件を代入する、最終計算は慎重に行ってください。

答え：

負の値スカラー積は、ベクトル間の角度が鈍角であるという事実を示します。

この問題は典型的なもので、自分で解決する例を次に示します。

例 4

ベクトルのスカラー積を求め、それがわかっているかどうかを調べます。 .

ここで、ベクトルの長さの新しい式を作成するためのもう 1 つの一般的なタスクを説明します。ここでの表記は少し重複するので、わかりやすくするために別の文字で書き直します。

例5

次の場合にベクトルの長さを求めます。 .

解決は次のようになります。

(1) ベクターの式を提供します。

(2) 長さの公式: を使用しますが、式 ve 全体がベクトル「ve」として機能します。

(3) 和の二乗には学校の公式を使います。ここで、それがどのように不思議に機能するかに注目してください。 – これは実際には差の 2 乗であり、実際、そのとおりです。希望者はベクトルを再配置できます。 - 項の再配置までは同じことが起こります。

(4) 以下の内容は、前の 2 つの問題ですでによく知られています。

答え：

長さについて話しているので、寸法「単位」を示すことを忘れないでください。

例6

次の場合にベクトルの長さを求めます。 .

これは自分で解決できる例です。完全なソリューションそしてレッスンの最後に答えが。

私たちは内積から有用なものを絞り出し続けます。もう一度公式を見てみましょう。比例の法則を使用して、ベクトルの長さを左辺の分母にリセットします。

パーツを交換しましょう:

この式の意味は何でしょうか? 2 つのベクトルの長さとそのスカラー積がわかっている場合は、これらのベクトル間の角度の余弦を計算でき、結果として角度自体も計算できます。

内積は数値ですか? 番号。ベクトルの長さは数値ですか? 数字。これは、分数も数値であることを意味します。角度の余弦がわかっている場合: 次に、逆関数を使用すると、角度自体を簡単に見つけることができます。 .

例 7

ベクトル間の角度を求め、それがわかっているかどうかを調べます。

解決：次の式を使用します。

計算の最終段階では、分母の不合理性を排除するという技術的な手法が使用されました。不合理性をなくすために、分子と分母にを掛けました。

それで、もし、それ：

逆数値三角関数で見つけることができます 三角関数表。これはめったに起こりませんが。解析幾何学の問題では、のような不器用な問題が発生することが多く、角度の値は電卓を使用して近似的に求める必要があります。実際、私たちはそのような写真を何度も目にするでしょう。

答え：

繰り返しますが、ラジアンと度の寸法を指定することを忘れないでください。個人的には、明らかに「すべての質問を解決する」ためには、両方を示すことを好みます (もちろん、条件がラジアンのみまたは度のみで答えを提示する必要がある場合を除く)。

より多くのことに独立して対処できるようになりました難しい仕事:

例 7*

ベクトルの長さとそれらの間の角度が与えられます。ベクトル間の角度、を求めます。

タスクは複数のステップがあるため、それほど難しくはありません。
解決アルゴリズムを見てみましょう。

1) 条件に従って、ベクトルとの間の角度を見つける必要があるため、次の公式を使用する必要があります。 .

2) スカラー積を求めます (例 3、4 を参照)。

3) ベクトルの長さとベクトルの長さを求めます (例 5、6 を参照)。

4) 解の終わりは例 7 と一致します。数値がわかっているため、角度自体を見つけるのは簡単です。

レッスンの最後に短い解答と答えが表示されます。

レッスンの 2 番目のセクションでは、同じスカラー積を扱います。コーディネート。最初の部分よりもさらに簡単になります。

ベクトルの内積、
正規直交基底の座標によって与えられる

答え：

言うまでもなく、座標を扱うのがはるかに楽しくなります。

例 14

ベクトルのスカラー積を求めます。

これは自分で解決できる例です。ここでは、演算の結合性を使用できます。つまり、 count ではなく、すぐにスカラー積の外側のトリプルを取り出し、それをスカラー積の中で乗算します。最後の手段。解答と答えはレッスンの最後にあります。

このセクションの最後には、ベクトルの長さの計算に関する刺激的な例が示されています。

例 15

ベクトルの長さを求める、もし

解決：前のセクションの方法が再度示唆されていますが、別の方法もあります。

ベクトルを見つけてみましょう。

そしてその長さは自明な公式によれば :

ここではドット積はまったく関係ありません。

また、ベクトルの長さを計算する場合にも役に立ちません。
停止。ベクトルの長さの明らかな特性を利用すべきではないでしょうか? ベクトルの長さについて何が言えますか? このベクトルはベクトルの 5 倍の長さです。方向が逆ですが、長さの話なので問題ありません。明らかに、ベクトルの長さは積に等しいです。 モジュールベクトルの長さごとの数:
– 係数記号は、数値のマイナスを「吸収」します。

したがって：

答え：

座標で指定されたベクトル間の角度の余弦を求める式

今では、完全な情報, したがって、以前に導出されたベクトル間の角度の余弦の式は次のようになります。ベクトル座標を介して表現します。

平面ベクトル間の角度の余弦と、正規直交基底で指定され、 式で表される:
.

空間ベクトル間の角度の余弦、正規直交基底で指定され、 式で表される:

例 16

三角形の 3 つの頂点が与えられます。 (頂角)を見つけます。

解決：条件によれば、図面は必須ではありませんが、それでも次のとおりです。

必要な角度は緑色の円弧でマークされます。角度の学校指定をすぐに思い出してみましょう。 – 特別な注意平均文字 - これは必要な角度の頂点です。簡潔にするために、単にと書くこともできます。

この図から、三角形の角度がベクトル間の角度と一致していることは明らかです。つまり、次のようになります。 .

精神的に分析を実行する方法を学ぶことをお勧めします。

ベクトルを見つけてみましょう。

スカラー積を計算してみましょう。

ベクトルの長さは次のとおりです。

角度の余弦:

これはまさに私がダミーに推奨するタスクを完了する順序です。より上級の読者は、計算を「1 行で」書くことができます。

「悪い」コサイン値の例を次に示します。結果の値は最終的なものではないため、分母の非合理性を取り除くことにほとんど意味がありません。

角度自体を見つけてみましょう。

図面を見ると、その結果は非常に納得のいくものです。確認するには、分度器を使用して角度を測定することもできます。モニターのカバーを傷つけないように注意してください =)

答え：

その答えの中で私たちは次のことを忘れません。 三角形の角度について質問されました(ベクトル間の角度についてではありません)、正確な答えと角度のおおよその値を示すことを忘れないでください。 , 電卓を使って求めます。

このプロセスを楽しんだ人は、角度を計算し、正規の等価性の妥当性を検証できます。

例 17

三角形は、その頂点の座標によって空間内で定義されます。辺間の角度を見つけて、

これは自分で解決できる例です。レッスンの最後に完全な解決策と答えが表示されます

最後の短いセクションでは、スカラー積も含む投影について説明します。

ベクトルのベクトルへの投影。座標軸へのベクトルの投影。
ベクトルの方向余弦

ベクトルとを考えてみましょう。

これを行うには、ベクトルをベクトルに投影しましょう。ベクトルの先頭と末尾を省略します。垂線ベクトル (緑色の点線) に変換します。光線がベクトルに垂直に入射することを想像してください。すると、セグメント（赤い線）がベクトルの「影」になります。この場合、ベクトルへのベクトルの射影はセグメントの長さになります。つまり、投影は数字です。

この数値は次のように表されます。「大きいベクトル」はベクトルを示します。 どれのプロジェクトでは、「小さな添字ベクトル」はベクトルを示しますの上それが投影されます。

エントリ自体は次のようになります: 「ベクトル "a" のベクトル "be" への射影」。

ベクトル「be」が「短すぎる」場合はどうなるでしょうか? ベクトル「be」を含む直線を描きます。そしてベクトル「a」はすでに投影されています 「be」のベクトルの方向へ、単純に - ベクトル「be」を含む直線に。ベクトル「a」が 30 番目の王国で延期された場合にも同じことが起こります。ベクトル「be」を含む直線上に簡単に投影されます。

角度があればベクトル間辛い(写真のように)、その後

ベクトルの場合 直交、その後 (投影は、次元がゼロとみなされる点です)。

角度があればベクトル間鈍い(図では、ベクトル矢印を頭の中で再配置します)、次に (同じ長さですが、マイナス記号を付けます)。

これらのベクトルを 1 点からプロットしてみましょう。