Cel mai simplu poligon care este studiat la școală este un triunghi. Este mai ușor de înțeles pentru elevi și întâmpină mai puține dificultăți. În ciuda faptului că există diferite tipuri de triunghiuri, care au proprietăți speciale.

Ce formă se numește triunghi?

Format din trei puncte și segmente. Primele se numesc vârfuri, cele doua se numesc laturi. Mai mult, toate cele trei segmente trebuie conectate astfel încât să se formeze unghiuri între ele. De aici și numele figurii „triunghi”.

Diferențele de nume între colțuri

Deoarece pot fi acute, obtuze și drepte, tipurile de triunghiuri sunt determinate de aceste nume. În consecință, există trei grupuri de astfel de figuri.

• Primul. Dacă toate unghiurile unui triunghi sunt acute, atunci acesta va fi numit acut. Totul este logic.

• Doilea. Unul dintre unghiuri este obtuz, ceea ce înseamnă că triunghiul este obtuz. Mai simplu nu poate fi.

• Treilea. Există un unghi egal cu 90 de grade, care se numește unghi drept. Triunghiul devine dreptunghiular.

Diferențele de nume pe părțile laterale

În funcție de caracteristicile laturilor, se disting următoarele tipuri de triunghiuri:

cazul general este scalen, în care toate laturile sunt de lungime arbitrară;

isoscel, ale căror două laturi au aceleași valori numerice;

echilateral, lungimile tuturor laturilor sale sunt aceleași.

Dacă problema nu specifică un anumit tip de triunghi, atunci trebuie să desenați unul arbitrar. În care toate colțurile sunt ascuțite, iar părțile laterale au lungimi diferite.

Proprietăți comune tuturor triunghiurilor

1. Dacă adunăm toate unghiurile unui triunghi, obțineți un număr egal cu 180º. Și nu contează ce tip este. Această regulă se aplică întotdeauna.
2. Valoarea numerică a oricărei laturi a unui triunghi este mai mică decât a celorlalte două adunate. În plus, este mai mare decât diferența lor.
3. Fiecare unghi exterior are o valoare care se obține prin adăugarea a două unghiuri interne care nu sunt adiacente acestuia. Mai mult, este întotdeauna mai mare decât cea internă adiacentă acestuia.
4. Cel mai mic unghi este întotdeauna opus laturii mai mici a triunghiului. Și invers, dacă latura este mare, atunci unghiul va fi cel mai mare.

Aceste proprietăți sunt întotdeauna valabile, indiferent de tipurile de triunghiuri luate în considerare în probleme. Toate restul provin din caracteristici specifice.

Proprietățile unui triunghi isoscel

• Unghiurile care sunt adiacente bazei sunt egale.
• Înălțimea, care este trasă la bază, este, de asemenea, mediana și bisectoarea.
• Altitudinile, medianele și bisectoarele, care sunt construite pe laturile laterale ale triunghiului, sunt, respectiv, egale între ele.

Proprietățile unui triunghi echilateral

Dacă există o astfel de cifră, atunci toate proprietățile descrise puțin mai sus vor fi adevărate. Pentru că un echilateral va fi întotdeauna isoscel. Dar nu invers; un triunghi isoscel nu va fi neapărat echilateral.

• Toate unghiurile sale sunt egale între ele și au o valoare de 60º.
• Orice mediană a unui triunghi echilateral este altitudinea și bisectoarea acestuia. În plus, toți sunt egali unul cu celălalt. Pentru a determina valorile lor, există o formulă care constă din produsul laturii și rădăcina pătrată a lui 3 împărțit la 2.

Proprietățile unui triunghi dreptunghic

• Două unghiuri ascuțite se adună până la 90º.
• Lungimea ipotenuzei este întotdeauna mai mare decât cea a oricăruia dintre catete.
• Valoarea numerică a medianei trase la ipotenuză este egală cu jumătatea acesteia.
• Piciorul este egal cu aceeași valoare dacă se află opus unui unghi de 30º.
• Înălțimea, care este desenată din vârful cu o valoare de 90º, are o anumită dependență matematică de catete: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Aici: a, b - picioare, n - înălțime.

Probleme cu diferite tipuri de triunghiuri

nr. 1. Dat un triunghi isoscel. Perimetrul său este cunoscut și egal cu 90 cm Trebuie să-i aflăm laturile. Ca o condiție suplimentară: partea laterală este de 1,2 ori mai mică decât baza.

Valoarea perimetrului depinde direct de cantitățile care trebuie găsite. Suma tuturor celor trei laturi va da 90 cm Acum trebuie să vă amintiți semnul unui triunghi, conform căruia este isoscel. Adică cele două părți sunt egale. Puteți crea o ecuație cu două necunoscute: 2a + b = 90. Aici a este latura, b este baza.

Acum este timpul pentru o condiție suplimentară. În urma acesteia, se obține a doua ecuație: b = 1,2a. Puteți înlocui această expresie în prima. Rezultă: 2a + 1,2a = 90. După transformări: 3,2a = 90. Prin urmare a = 28,125 (cm). Acum este ușor să aflați baza. Acest lucru se face cel mai bine din a doua condiție: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Pentru a verifica, puteți adăuga trei valori: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Asta e corect.

Răspuns: Laturile triunghiului sunt 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

nr 2. Latura unui triunghi echilateral este de 12 cm. Trebuie să-i calculezi înălțimea.

Soluţie. Pentru a găsi răspunsul, este suficient să revenim la momentul în care au fost descrise proprietățile triunghiului. Aceasta este formula pentru a afla înălțimea, mediana și bisectoarea unui triunghi echilateral.

n = a * √3 / 2, unde n este înălțimea și a este latura.

Înlocuirea și calculul dau următorul rezultat: n = 6 √3 (cm).

Nu este nevoie să memorezi această formulă. Este suficient să ne amintim că înălțimea împarte triunghiul în două dreptunghiulare. Mai mult, se dovedește a fi un catet, iar ipotenuza din el este latura celui original, al doilea catet este jumătate din latura cunoscută. Acum trebuie să scrieți teorema lui Pitagora și să obțineți o formulă pentru înălțime.

Răspuns: înălțimea este de 6 √3 cm.

nr. 3. Având în vedere că MKR este un triunghi, în care unghiul K formează 90 de grade Laturile MR și KR sunt egale cu 30 și respectiv 15 cm. Trebuie să aflăm valoarea unghiului P.

Soluţie. Dacă faci un desen, devine clar că MR este ipotenuza. Mai mult, este de două ori mai mare decât partea laterală a KR. Din nou trebuie să apelați la proprietăți. Una dintre ele are legătură cu unghiurile. Din aceasta este clar că unghiul KMR este de 30º. Aceasta înseamnă că unghiul dorit P va fi egal cu 60º. Aceasta rezultă dintr-o altă proprietate, care spune că suma a două unghiuri ascuțite trebuie să fie egală cu 90º.

Răspuns: unghiul P este de 60º.

nr. 4. Trebuie să găsim toate unghiurile unui triunghi isoscel. Se știe despre acesta că unghiul exterior față de unghiul de la bază este de 110º.

Soluţie. Deoarece este dat doar unghiul exterior, acesta este ceea ce trebuie să utilizați. Formează un unghi desfășurat cu cel intern. Aceasta înseamnă că în total vor da 180º. Adică, unghiul de la baza triunghiului va fi egal cu 70º. Deoarece este isoscel, al doilea unghi are aceeași valoare. Rămâne de calculat al treilea unghi. Conform unei proprietăți comune tuturor triunghiurilor, suma unghiurilor este 180º. Aceasta înseamnă că al treilea va fi definit ca 180º - 70º - 70º = 40º.

Răspuns: unghiurile sunt 70º, 70º, 40º.

nr. 5. Se știe că într-un triunghi isoscel unghiul opus bazei este de 90º. Există un punct marcat pe bază. Segmentul care îl conectează la un unghi drept îl împarte în raport de 1 la 4. Trebuie să aflați toate unghiurile triunghiului mai mic.

Soluţie. Unul dintre unghiuri poate fi determinat imediat. Deoarece triunghiul este dreptunghic și isoscel, cei care se află la baza lui vor fi de 45º fiecare, adică 90º/2.

Al doilea dintre ele vă va ajuta să găsiți relația cunoscută în afecțiune. Deoarece este egal cu 1 la 4, atunci părțile în care este împărțit sunt doar 5. Aceasta înseamnă că pentru a afla unghiul mai mic al unui triunghi aveți nevoie de 90º/5 = 18º. Rămâne de aflat pe al treilea. Pentru a face acest lucru, trebuie să scădeți 45º și 18º din 180º (suma tuturor unghiurilor triunghiului). Calculele sunt simple și obțineți: 117º.

Împărțirea triunghiurilor în acute, dreptunghiulare și obtuze. Clasificarea după raportul de aspect împarte triunghiurile în scalen, echilateral și isoscel. Mai mult, fiecare triunghi aparține simultan la două. De exemplu, poate fi dreptunghiular și scalen în același timp.

Când determinați tipul după tipul de unghiuri, fiți foarte atenți. Un triunghi obtuz va fi numit triunghi în care unul dintre unghiuri este , adică mai mult de 90 de grade. Un triunghi dreptunghic poate fi calculat având un unghi drept (egal cu 90 de grade). Cu toate acestea, pentru a clasifica un triunghi drept acut, va trebui să vă asigurați că toate cele trei unghiuri ale sale sunt acute.

Definirea speciei triunghi conform raportului de aspect, mai întâi va trebui să aflați lungimile tuturor celor trei laturi. Totusi, daca dupa conditie nu ti se dau lungimile laturilor, unghiurile te pot ajuta. Un triunghi scalen este unul în care toate cele trei laturi au lungimi diferite. Dacă lungimile laturilor sunt necunoscute, atunci un triunghi poate fi clasificat ca scalen dacă toate cele trei unghiuri ale sale sunt diferite. Un triunghi scalen poate fi obtuz, drept sau acut.

Un triunghi isoscel este unul în care două dintre cele trei laturi ale sale sunt egale între ele. Dacă nu vă sunt date lungimile laturilor, folosiți ca ghid două unghiuri egale. Un triunghi isoscel, ca un triunghi scalen, poate fi obtuz, dreptunghiular sau acut.

Doar un triunghi poate fi echilateral dacă toate cele trei laturi au aceeași lungime. Toate unghiurile sale sunt, de asemenea, egale între ele și fiecare dintre ele este egal cu 60 de grade. Din aceasta este clar că triunghiurile echilaterale sunt întotdeauna acute.

Sfat 2: Cum să determinați un triunghi obtuz și acut

Cel mai simplu dintre poligoane este un triunghi. Se formează folosind trei puncte situate în același plan, dar nu pe aceeași linie dreaptă, legate în perechi prin segmente. Cu toate acestea, triunghiurile vin în diferite tipuri și, prin urmare, au proprietăți diferite.

Instrucţiuni

Se obișnuiește să se distingă trei tipuri: unghiul obtuz, unghiul acut și dreptunghiular. E ca la colțuri. Un triunghi obtuz este un triunghi în care unul dintre unghiuri este obtuz. Un unghi obtuz este un unghi care este mai mare de nouăzeci de grade, dar mai mic de o sută optzeci. De exemplu, în triunghiul ABC, unghiul ABC este de 65°, unghiul BCA este de 95° și unghiul CAB este de 20°. Unghiurile ABC și CAB sunt mai mici de 90°, dar unghiul BCA este mai mare, ceea ce înseamnă că triunghiul este obtuz.

Un triunghi ascuțit este un triunghi în care toate unghiurile sunt acute. Un unghi ascuțit este un unghi care este mai mic de nouăzeci de grade și mai mare de zero grade. De exemplu, în triunghiul ABC, unghiul ABC este de 60°, unghiul BCA este de 70° și unghiul CAB este de 50°. Toate cele trei unghiuri sunt mai mici de 90°, ceea ce înseamnă că este un triunghi. Dacă știi că un triunghi are toate laturile egale, asta înseamnă că toate unghiurile sale sunt, de asemenea, egale între ele și sunt egale cu șaizeci de grade. În consecință, toate unghiurile dintr-un astfel de triunghi sunt mai mici de nouăzeci de grade și, prin urmare, un astfel de triunghi este acut.

Dacă unul dintre unghiurile dintr-un triunghi este de nouăzeci de grade, aceasta înseamnă că nu este nici unghi larg, nici unghi ascuțit. Acesta este un triunghi dreptunghic.

Dacă tipul de triunghi este determinat de raportul laturilor, acestea vor fi echilaterale, scalene și isoscele. Într-un triunghi echilateral, toate laturile sunt egale, iar asta, după cum ați aflat, înseamnă că triunghiul este acut. Dacă un triunghi are doar două laturi egale sau laturile nu sunt egale, acesta poate fi obtuz, dreptunghiular sau acut. Aceasta înseamnă că în aceste cazuri este necesar să se calculeze sau să se măsoare unghiurile și să se tragă concluzii conform punctelor 1, 2 sau 3.

Video pe tema

Surse:

• triunghi obtuz

Egalitatea a două sau mai multe triunghiuri corespunde cazului în care toate laturile și unghiurile acestor triunghiuri sunt egale. Cu toate acestea, există o serie de criterii mai simple pentru a demonstra această egalitate.

vei avea nevoie

• Manual de geometrie, foaie de hârtie, creion, raportor, riglă.

Instrucţiuni

Deschideți manualul de geometrie de clasa a șaptea la secțiunea privind criteriile de congruență a triunghiurilor. Veți vedea că există o serie de semne de bază care dovedesc egalitatea a două triunghiuri. Dacă cele două triunghiuri a căror egalitate este verificată sunt arbitrare, atunci pentru ele există trei semne principale de egalitate. Dacă se cunosc câteva informații suplimentare despre triunghiuri, atunci principalele trei caracteristici sunt completate cu mai multe. Acest lucru se aplică, de exemplu, în cazul egalității triunghiurilor dreptunghiulare.

Citiți prima regulă despre congruența triunghiurilor. După cum știți, vă permite să considerați triunghiuri egale dacă se poate dovedi că orice unghi și două laturi adiacente ale două triunghiuri sunt egale. Pentru a înțelege această lege, desenați pe o bucată de hârtie cu ajutorul unui raportor două unghiuri specifice identice formate din două raze care emană dintr-un punct. Folosind o riglă, măsurați aceleași laturi din partea de sus a unghiului desenat în ambele cazuri. Cu ajutorul unui raportor, măsurați unghiurile rezultate ale celor două triunghiuri formate, asigurându-vă că sunt egale.

Pentru a nu apela la astfel de măsuri practice pentru a înțelege testul pentru egalitatea triunghiurilor, citiți demonstrația primului test pentru egalitate. Faptul este că fiecare regulă despre egalitatea triunghiurilor are o dovadă teoretică strictă, pur și simplu nu este convenabil să fie folosită în scopul memorării regulilor.

Citiți al doilea test pentru congruența triunghiurilor. Se afirmă că două triunghiuri vor fi egale dacă oricare dintre laturi și două unghiuri adiacente a două astfel de triunghiuri sunt egale. Pentru a vă aminti această regulă, imaginați-vă latura desenată a unui triunghi și două unghiuri adiacente. Imaginați-vă că lungimile laturilor colțurilor cresc treptat. În cele din urmă se vor intersecta, formând un al treilea colț. În această sarcină mentală, este important ca punctul de intersecție al laturilor care sunt crescute mental, precum și unghiul rezultat, să fie determinate în mod unic de a treia latură și de două unghiuri adiacente.

Dacă nu vi se oferă informații despre unghiurile triunghiurilor studiate, atunci utilizați al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor. Conform acestei reguli, două triunghiuri sunt considerate egale dacă toate cele trei laturi ale unuia dintre ele sunt egale cu cele trei laturi corespunzătoare ale celeilalte. Astfel, această regulă spune că lungimile laturilor unui triunghi determină în mod unic toate unghiurile triunghiului, ceea ce înseamnă că ele determină în mod unic triunghiul însuși.

Video pe tema

Nivel de intrare

Triunghi. Ghidul cuprinzător (2019)

S-ar putea probabil să scrie o carte întreagă pe tema „Triunghi”. Dar durează prea mult să citești toată cartea, nu? Prin urmare, aici vom lua în considerare numai faptele care se referă la orice triunghi în general și tot felul de subiecte speciale, cum ar fi, etc. sunt separate în subiecte separate - citiți cartea în bucăți. Ei bine, ca pentru orice triunghi.

1. Suma unghiurilor unui triunghi. Colț exterior.

Amintiți-vă cu fermitate și nu uitați. Nu vom demonstra acest lucru (vezi următoarele niveluri de teorie).

Singurul lucru care vă poate deruta în formularea noastră este cuvântul „intern”.

De ce este aici? Dar tocmai pentru a sublinia că vorbim despre unghiurile care se află în interiorul triunghiului. Chiar există alte colțuri afară? Imaginează-ți, se întâmplă. Triunghiul mai are colțurile exterioare. Și cea mai importantă consecință a faptului că suma colțurile interne triunghiul este egal cu, atinge doar triunghiul exterior. Deci, să aflăm care este acest unghi exterior al triunghiului.

Priviți imaginea: luați un triunghi și (să spunem) continuați pe o parte.

Desigur, am putea părăsi o parte și să continuăm partea. Ca aceasta:

Dar nu poți spune asta despre unghi în nicio circumstanță. este interzis!

Deci nu orice unghi din afara unui triunghi are dreptul de a fi numit unghi exterior, ci doar cel format o parte și o continuare a celeilalte părți.

Deci, ce ar trebui să știm despre unghiurile externe?

Uite, în imaginea noastră asta înseamnă asta.

Cum se leagă aceasta de suma unghiurilor unui triunghi?

Să ne dăm seama. Suma unghiurilor interioare este

dar – pentru că și – sunt adiacente.

Ei bine, aici vine: .

Vezi cât de simplu este?! Dar foarte important. Deci, amintiți-vă:

Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este egală, iar unghiul exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri interioare care nu sunt adiacente acestuia.

2. Inegalitatea triunghiului

Următorul fapt se referă nu la unghiuri, ci la laturile triunghiului.

Aceasta înseamnă că

Ai ghicit deja de ce acest fapt se numește inegalitatea triunghiulară?

Ei bine, unde poate fi utilă această inegalitate triunghiulară?

Imaginează-ți că ai trei prieteni: Kolya, Petya și Serghei. Și așa, Kolya spune: „De la casa mea până la Petya este în linie dreaptă”. Și Petya: „De la casa mea până la casa lui Serghei, metri în linie dreaptă”. Și Serghei: „Este bine pentru tine, dar de la casa mea până la Kolinoye este o linie dreaptă”. Ei bine, aici trebuie să spui: „Oprește-te, oprește-te! Unii dintre voi spuneți minciuni!”

De ce? Da, pentru că dacă de la Kolya la Petya există m și de la Petya la Sergei sunt m, atunci de la Kolya la Serghei trebuie să fie cu siguranță mai puțini () metri - altfel este încălcată aceeași inegalitate triunghiulară. Ei bine, bunul simț este cu siguranță, firesc, încălcat: la urma urmei, toată lumea știe din copilărie că drumul către o linie dreaptă () ar trebui să fie mai scurtă decât drumul către un punct. (). Deci inegalitatea triunghiului reflectă pur și simplu acest fapt binecunoscut. Ei bine, acum știi cum să răspunzi, să zicem, la o întrebare:

Un triunghi are laturi?

Trebuie să verificați dacă este adevărat că oricare două dintre aceste trei numere se adună mai mult decât al treilea. Să verificăm: asta înseamnă că nu există un triunghi cu laturi! Dar cu părțile laterale - se întâmplă, pentru că

3. Egalitatea triunghiurilor

Ei bine, ce se întâmplă dacă nu există unul, ci două sau mai multe triunghiuri. Cum poți verifica dacă sunt egale? De fapt, prin definiție:

Dar... aceasta este o definiție teribil de incomodă! Cum, vă rog să spuneți, se poate suprapune două triunghiuri chiar și într-un caiet?! Dar din fericire pentru noi există semne de egalitate a triunghiurilor, care vă permit să acționați cu mintea fără a vă pune în pericol caietele.

Și, în plus, aruncând glume frivole, îți spun un secret: pentru un matematician, cuvântul „suprapunerea triunghiurilor” nu înseamnă a le decupa și a le suprapune deloc, ci a spune multe, multe, multe cuvinte care vor dovedi că două triunghiuri vor coincide atunci când sunt suprapuse. Deci, în nici un caz nu trebuie să scrieți în lucrarea dvs. „Am verificat - triunghiurile coincid atunci când sunt aplicate” - nu o vor număra față de dvs. și vor avea dreptate, deoarece nimeni nu vă garantează că nu ați greșit la aplicare, să zicem, un sfert de milimetru.

Deci, unii matematicieni au spus o grămadă de cuvinte, nu vom repeta aceste cuvinte după ele (cu excepția, poate, la ultimul nivel al teoriei), dar vom folosi în mod activ trei semne de egalitate a triunghiurilor.

În utilizarea de zi cu zi (matematică), astfel de formulări scurtate sunt acceptate - sunt mai ușor de reținut și de aplicat.

1. Primul semn este pe două laturi și unghiul dintre ele;
2. Al doilea semn este pe două colțuri și pe partea adiacentă;
3. Al treilea semn este pe trei laturi.

TRIUNGHI. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Un triunghi este o figură geometrică formată din trei segmente care leagă trei puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă.

Concepte de bază.

Proprietăți principale:

1. Suma unghiurilor interioare ale oricărui triunghi este egală, adică.
2. Unghiul exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri interne care nu sunt adiacente acestuia, adică.
   sau
3. Suma lungimilor oricăror două laturi ale unui triunghi este mai mare decât lungimea celei de-a treia laturi a acestuia, adică
4. Într-un triunghi, latura mai mare se află opusă unghiului mai mare, iar unghiul mai mare se află opus laturii mai mari, adică.
   dacă, atunci și invers,
   dacă, atunci.

Semne de egalitate a triunghiurilor.

1. Primul semn- pe două laturi și unghiul dintre ele.

2. Al doilea semn- pe doua colturi si latura adiacenta.

3. Al treilea semn- pe trei laturi.

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a Examenului Unificat de Stat, pentru intrarea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiza detaliatași decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 rub.
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - 499 rub.

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

Si in concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

Știința geometriei ne spune ce sunt un triunghi, un pătrat și un cub. În lumea modernă, toată lumea, fără excepție, îl studiază în școli. De asemenea, știința care studiază direct ce este un triunghi și ce proprietăți are este trigonometria. Ea explorează în detaliu toate fenomenele legate de date. Vom vorbi despre ce este un triunghi astăzi în articolul nostru. Tipurile lor vor fi descrise mai jos, precum și unele teoreme asociate acestora.

Ce este un triunghi? Definiţie

Acesta este un poligon plat. Are trei colțuri, așa cum reiese din numele său. Are, de asemenea, trei laturi și trei vârfuri, primul dintre ele sunt segmente, al doilea sunt puncte. Știind cu ce sunt egale două unghiuri, îl puteți găsi pe al treilea scăzând suma primelor două din numărul 180.

Ce tipuri de triunghiuri există?

Ele pot fi clasificate după diverse criterii.

În primul rând, ele sunt împărțite în unghi acut, unghi obtuz și dreptunghiular. Primele au unghiuri ascuțite, adică cele care sunt egale cu mai puțin de 90 de grade. În unghiurile obtuze, unul dintre unghiuri este obtuz, adică unul egal cu mai mult de 90 de grade, celelalte două sunt acute. Triunghiurile acute includ și triunghiuri echilaterale. Astfel de triunghiuri au toate laturile și unghiurile egale. Toate sunt egale cu 60 de grade, acest lucru poate fi calculat cu ușurință împărțind suma tuturor unghiurilor (180) la trei.

Triunghi dreptunghic

Este imposibil să nu vorbim despre ce este un triunghi dreptunghic.

O astfel de figură are un unghi egal cu 90 de grade (dreaptă), adică două dintre laturile sale sunt perpendiculare. Cele două unghiuri rămase sunt acute. Ele pot fi egale, atunci va fi isoscel. Teorema lui Pitagora este legată de triunghiul dreptunghic. Folosind-o, puteți găsi a treia latură, cunoscând primele două. Conform acestei teoreme, dacă adăugați pătratul unui catete la pătratul celuilalt, puteți obține pătratul ipotenuzei. Pătratul catetei poate fi calculat scăzând pătratul catetei cunoscute din pătratul ipotenuzei. Vorbind despre ce este un triunghi, ne putem aminti și un triunghi isoscel. Acesta este unul în care două dintre laturi sunt egale și două unghiuri sunt, de asemenea, egale.

Ce sunt catetul și ipotenuza?

Un catete este una dintre laturile unui triunghi care formează un unghi de 90 de grade. Ipotenuza este latura rămasă care este opusă unghiului drept. Puteți coborî o perpendiculară de pe picior. Raportul dintre latura adiacentă și ipotenuză se numește cosinus, iar latura opusă se numește sinus.

- care sunt caracteristicile sale?

Este dreptunghiulară. Picioarele sale sunt trei și patru, iar ipotenuza este cinci. Dacă vezi că catetele unui triunghi dat sunt egale cu trei și patru, poți fi sigur că ipotenuza va fi egală cu cinci. De asemenea, folosind acest principiu, puteți determina cu ușurință că catetul va fi egal cu trei dacă al doilea este egal cu patru, iar ipotenuza este egală cu cinci. Pentru a demonstra această afirmație, puteți aplica teorema lui Pitagora. Dacă două catete sunt egale cu 3 și 4, atunci 9 + 16 = 25, rădăcina lui 25 este 5, adică ipotenuza este egală cu 5. Un triunghi egiptean este și un triunghi dreptunghic ale cărui laturi sunt egale cu 6, 8 și 10; 9, 12 și 15 și alte numere cu un raport de 3:4:5.

Ce altceva ar putea fi un triunghi?

Triunghiurile pot fi, de asemenea, înscrise sau circumscrise. Figura în jurul căreia este descris cercul se numește înscris, toate vârfurile sale sunt puncte situate pe cerc. Un triunghi circumscris este unul în care este înscris un cerc. Toate laturile sale intră în contact cu el în anumite puncte.

Cum este localizat?

Aria oricărei figuri este măsurată în unități pătrate (metri pătrați, milimetri pătrați, centimetri pătrați, decimetri pătrați etc.) Această valoare poate fi calculată într-o varietate de moduri, în funcție de tipul de triunghi. Aria oricărei figuri cu unghiuri poate fi găsită prin înmulțirea laturii sale cu perpendiculara căzută pe ea din colțul opus și împărțind această cifră la două. De asemenea, puteți găsi această valoare înmulțind cele două părți. Apoi înmulțiți acest număr cu sinusul unghiului situat între aceste laturi și împărțiți acest rezultat la doi. Cunoscând toate laturile unui triunghi, dar neștiind unghiurile acestuia, puteți găsi zona într-un alt mod. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți jumătate din perimetru. Apoi scădeți alternativ diferite laturi din acest număr și înmulțiți cele patru valori rezultate. Apoi, găsiți din numărul care a ieșit. Aria unui triunghi înscris poate fi găsită înmulțind toate laturile și împărțind numărul rezultat la cel circumscris în jurul lui, înmulțit cu patru.

Aria unui triunghi circumscris se găsește în acest fel: înmulțim jumătate din perimetru cu raza cercului care este înscris în el. Dacă atunci aria sa poate fi găsită după cum urmează: pătratează latura, înmulțiți cifra rezultată cu rădăcina a trei, apoi împărțiți acest număr la patru. Într-un mod similar, puteți calcula înălțimea unui triunghi în care toate laturile sunt egale, pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți una dintre ele cu rădăcina a trei, apoi împărțiți acest număr la doi.

Teoreme legate de triunghi

Principalele teoreme care sunt asociate cu această figură sunt teorema lui Pitagora descrisă mai sus și cosinusurile. Al doilea (din sinusuri) este că, dacă împărțiți orice latură la sinusul unghiului opus acesteia, puteți obține raza cercului care este descris în jurul ei, înmulțită cu două. Al treilea (cosinus) este că dacă din suma pătratelor celor două laturi scădem produsul lor, înmulțit cu doi și cosinusul unghiului situat între ele, atunci obținem pătratul celei de-a treia laturi.

Triunghiul Dali - ce este?

Mulți, când se confruntă cu acest concept, cred la început că acesta este un fel de definiție în geometrie, dar nu este deloc așa. Triunghiul Dali este numele comun pentru trei locuri care sunt strâns legate de viața celebrului artist. „Vârfurile” sale sunt casa în care a locuit Salvador Dali, castelul pe care l-a dăruit soției sale, precum și muzeul de picturi suprarealiste. În timpul unui tur al acestor locuri puteți afla multe fapte interesante despre acest artist creativ unic, cunoscut în întreaga lume.

Când studiază matematica, elevii încep să se familiarizeze cu diferite tipuri de forme geometrice. Astăzi vom vorbi despre diferite tipuri de triunghiuri.

Definiţie

Figurile geometrice care constau din trei puncte care nu sunt pe aceeași linie se numesc triunghiuri.

Segmentele care leagă punctele se numesc laturi, iar punctele se numesc vârfuri. Vârfurile sunt desemnate cu majuscule, de exemplu: A, B, C.

Laturile sunt desemnate prin numele celor două puncte din care constau - AB, BC, AC. Intersectându-se, laturile formează unghiuri. Partea de jos este considerată baza figurii.

Orez. 1. Triunghiul ABC.

Tipuri de triunghiuri

Triunghiurile sunt clasificate după unghiuri și laturi. Fiecare tip de triunghi are propriile sale proprietăți.

Există trei tipuri de triunghiuri la colțuri:

• unghi ascuțit;
• dreptunghiular;
• obtuz-unghiular.

Toate unghiurile unghiular acut triunghiurile sunt acute, adică măsura gradului fiecăruia nu este mai mare de 90 0.

Dreptunghiular un triunghi conține un unghi drept. Celelalte două unghiuri vor fi întotdeauna acute, deoarece, altfel, suma unghiurilor triunghiului va depăși 180 de grade, iar acest lucru este imposibil. Latura care este opusă unghiului drept se numește ipotenuză, iar celelalte două se numesc catete. Ipotenuza este întotdeauna mai mare decât catetul.

Obtuz triunghiul conține un unghi obtuz. Adică un unghi mai mare de 90 de grade. Celelalte două unghiuri dintr-un astfel de triunghi vor fi acute.

Orez. 2. Tipuri de triunghiuri la colțuri.

Un triunghi pitagoreic este un dreptunghi ale cărui laturi sunt 3, 4, 5.

Mai mult, latura mai mare este ipotenuza.

Astfel de triunghiuri sunt adesea folosite pentru a construi probleme simple de geometrie. Prin urmare, rețineți: dacă două laturi ale unui triunghi sunt egale cu 3, atunci a treia va fi cu siguranță 5. Acest lucru va simplifica calculele.

Tipuri de triunghiuri pe laturi:

• echilateral;
• isoscel;
• versatil.

Echilateral un triunghi este un triunghi în care toate laturile sunt egale. Toate unghiurile unui astfel de triunghi sunt egale cu 60 0, adică este întotdeauna acut.

Isoscel triunghi - un triunghi cu doar două laturi egale. Aceste laturi se numesc laterale, iar a treia se numeste baza. În plus, unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt egale și întotdeauna acute.

Versatil sau un triunghi arbitrar este un triunghi în care toate lungimile și toate unghiurile nu sunt egale între ele.

Dacă problema nu conține clarificări despre figură, atunci este general acceptat că vorbim despre un triunghi arbitrar.

Orez. 3. Tipuri de triunghiuri pe laturi.

Suma tuturor unghiurilor unui triunghi, indiferent de tipul acestuia, este 1800.

Opus unghiului mai mare este latura mai mare. Și, de asemenea, lungimea oricărei laturi este întotdeauna mai mică decât suma celorlalte două laturi ale sale. Aceste proprietăți sunt confirmate de teorema inegalității triunghiului.

Există un concept al triunghiului de aur. Acesta este un triunghi isoscel, în care două laturi sunt proporționale cu baza și egale cu un anumit număr. Într-o astfel de cifră, unghiurile sunt proporționale cu raportul 2:2:1.

Sarcină:

Există un triunghi ale cărui laturi sunt de 6 cm, 3 cm, 4 cm?

Soluţie:

Pentru a rezolva această sarcină trebuie să utilizați inegalitatea a

Ce am învățat?

Din acest material de la cursul de matematică clasa a V-a am învățat că triunghiurile se clasifică în funcție de laturile lor și de mărimea unghiurilor lor. Triunghiurile au anumite proprietăți care pot fi folosite pentru a rezolva probleme.