Proprietăți ale formulelor logaritmilor cu exemple. Cum să utilizați formulele logaritmice: cu exemple și soluții

Astăzi vom vorbi despre formule logaritmice iar noi vom da orientativ exemple de solutie.

Ele însele implică modele de soluție conform proprietăților de bază ale logaritmilor. Înainte de a aplica formule logaritmice pentru a rezolva, permiteți-ne să vă reamintim toate proprietățile:

Acum, pe baza acestor formule (proprietăți), vom arăta exemple de rezolvare a logaritmilor.

Exemple de rezolvare a logaritmilor pe bază de formule.

Logaritm un număr pozitiv b la baza a (notat cu log a b) este un exponent la care trebuie ridicat a pentru a obține b, cu b > 0, a > 0 și 1.

Conform definiției, log a b = x, care este echivalent cu a x = b, prin urmare log a a x = x.

Logaritmi, exemple:

log 2 8 = 3, deoarece 2 3 = 8

log 7 49 = 2, deoarece 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, deoarece 5 -1 = 1/5

Logaritm zecimal- acesta este un logaritm obișnuit, a cărui bază este 10. Se notează ca lg.

log 10 100 = 2, deoarece 10 2 = 100

Logaritmul natural- tot un logaritm obișnuit, un logaritm, dar cu baza e (e = 2,71828... - un număr irațional). Notat ca ln.

Este indicat să memorăm formulele sau proprietățile logaritmilor, deoarece vom avea nevoie de ele mai târziu atunci când rezolvăm logaritmi, ecuații logaritmice și inegalități. Să lucrăm din nou prin fiecare formulă cu exemple.

• Identitatea logaritmică de bază
  un log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritmul produsului este egal cu suma logaritmilor
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritmul coeficientului este egal cu diferența logaritmilor
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Proprietățile puterii unui număr logaritmic și ale bazei logaritmului

  Exponent al numărului logaritmic log a b m = mlog a b

  Exponent al bazei logaritmului log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  dacă m = n, obținem log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Tranziția la o nouă fundație
  log a b = log c b/log c a,

  dacă c = b, obținem log b b = 1

  atunci log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

După cum puteți vedea, formulele pentru logaritmi nu sunt atât de complicate pe cât par. Acum, după ce ne-am uitat la exemple de rezolvare a logaritmilor, putem trece la ecuații logaritmice. Vom analiza mai detaliat exemple de rezolvare a ecuațiilor logaritmice în articolul: „”. Nu ratați!

Dacă mai aveți întrebări despre soluție, scrieți-le în comentariile articolului.

Notă: am decis să obținem o altă clasă de educație și să studiem în străinătate ca opțiune.

Pe măsură ce societatea s-a dezvoltat și producția a devenit mai complexă, s-a dezvoltat și matematica. Mișcare de la simplu la complex. Din contabilitatea obișnuită folosind metoda adunării și scăderii, cu repetarea lor repetată, s-a ajuns la conceptul de înmulțire și împărțire. Reducerea operației repetate de înmulțire a devenit conceptul de exponențiere. Primele tabele ale dependenței numerelor de bază și ale numărului de exponențiere au fost întocmite încă din secolul al VIII-lea de către matematicianul indian Varasena. Din ele puteți număra timpul de apariție a logaritmilor.

Schiță istorică

Reînvierea Europei în secolul al XVI-lea a stimulat și dezvoltarea mecanicii. T a necesitat o cantitate mare de calcul legate de înmulțirea și împărțirea numerelor cu mai multe cifre. Mesele antice erau de mare serviciu. Au făcut posibilă înlocuirea operațiilor complexe cu altele mai simple - adunarea și scăderea. Un mare pas înainte a fost lucrarea matematicianului Michael Stiefel, publicată în 1544, în care a realizat ideea multor matematicieni. Acest lucru a făcut posibilă utilizarea tabelelor nu numai pentru puteri sub formă de numere prime, ci și pentru cele raționale arbitrare.

În 1614, scoțianul John Napier, dezvoltând aceste idei, a introdus pentru prima dată noul termen „logaritm al unui număr”. Au fost compilate noi tabele complexe pentru calcularea logaritmilor sinusurilor și cosinusurilor, precum și a tangentelor. Acest lucru a redus foarte mult munca astronomilor.

Au început să apară tabele noi, care au fost folosite cu succes de oamenii de știință timp de trei secole. A trecut mult timp înainte ca noua operație în algebră să-și dobândească forma finală. S-a dat definiția logaritmului și s-au studiat proprietățile acestuia.

Abia în secolul al XX-lea, odată cu apariția calculatorului și a calculatorului, omenirea a abandonat vechile mese care funcționaseră cu succes de-a lungul secolelor al XIII-lea.

Astăzi numim logaritmul lui b pentru a baza numărul x care este puterea lui a de a face b. Aceasta se scrie sub formă de formulă: x = log a(b).

De exemplu, log 3(9) ar fi egal cu 2. Acest lucru este evident dacă urmați definiția. Dacă ridicăm 3 la puterea lui 2, obținem 9.

Astfel, definiția formulată stabilește o singură restricție: numerele a și b trebuie să fie reale.

Tipuri de logaritmi

Definiția clasică se numește logaritm real și este de fapt soluția ecuației a x = b. Opțiunea a = 1 este limită și nu prezintă interes. Atenție: 1 la orice putere este egal cu 1.

Valoarea reală a logaritmului definit numai atunci când baza și argumentul sunt mai mari decât 0, iar baza nu trebuie să fie egală cu 1.

Loc deosebit în domeniul matematicii jucați logaritmi, care vor fi denumiti în funcție de dimensiunea bazei lor:

Reguli și restricții

Proprietatea fundamentală a logaritmilor este regula: logaritmul unui produs este egal cu suma logaritmică. log abp = log a(b) + log a(p).

Ca varianta a acestei afirmatii va fi: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), functia cat este egala cu diferenta functiilor.

Din cele două reguli anterioare este ușor de observat că: log a(b p) = p * log a(b).

Alte proprietăți includ:

Cometariu. Nu este nevoie să faceți o greșeală comună - logaritmul unei sume nu este egal cu suma logaritmilor.

Timp de multe secole, operația de găsire a unui logaritm a fost o sarcină destul de consumatoare de timp. Matematicienii au folosit formula binecunoscută a teoriei logaritmice a expansiunii polinomiale:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), unde n este un număr natural mai mare decât 1, care determină acuratețea calculului.

Logaritmii cu alte baze au fost calculati folosind teorema despre trecerea de la o baza la alta si proprietatea logaritmului produsului.

Deoarece această metodă necesită foarte multă muncă și la rezolvarea problemelor practice dificil de implementat, am folosit tabele de logaritmi pre-compilate, care au accelerat semnificativ toată munca.

În unele cazuri, au fost utilizate grafice de logaritmi special compilate, care au oferit mai puțină acuratețe, dar au accelerat semnificativ căutarea valorii dorite. Curba funcției y = log a(x), construită pe mai multe puncte, vă permite să utilizați o riglă obișnuită pentru a găsi valoarea funcției în orice alt punct. Ingineri perioadă lungă de timpÎn aceste scopuri, s-a folosit așa-numita hârtie milimetrată.

În secolul al XVII-lea, au apărut primele condiții auxiliare de calcul analogic, care până în secolul al XIX-lea au dobândit o formă completă. Cel mai de succes dispozitiv a fost numit regulă de calcul. În ciuda simplității dispozitivului, aspectul său a accelerat semnificativ procesul tuturor calculelor de inginerie, iar acest lucru este dificil de supraestimat. În prezent, puțini oameni sunt familiarizați cu acest dispozitiv.

Apariția calculatoarelor și calculatoarelor a făcut ca utilizarea oricăror alte dispozitive să fie inutilă.

Ecuații și inegalități

Pentru a rezolva diverse ecuații și inegalități folosind logaritmi, se folosesc următoarele formule:

• Trecerea de la o bază la alta: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Ca o consecință a opțiunii anterioare: log a(b) = 1 / log b(a).

Pentru a rezolva inegalitățile este util să știm:

• Valoarea logaritmului va fi pozitivă numai dacă baza și argumentul sunt ambele mai mari sau mai mici decât unu; dacă cel puțin o condiție este încălcată, valoarea logaritmului va fi negativă.
• Dacă funcția logaritm este aplicată în partea dreaptă și stângă a unei inegalități, iar baza logaritmului este mai mare decât unu, atunci semnul inegalității este păstrat; altfel se schimba.

Exemple de probleme

Să luăm în considerare mai multe opțiuni pentru utilizarea logaritmilor și proprietățile acestora. Exemple cu rezolvarea ecuațiilor:

Luați în considerare opțiunea de a plasa logaritmul într-o putere:

• Problema 3. Calculați 25^log 5(3). Soluție: în condițiile problemei, intrarea este similară cu următoarea (5^2)^log5(3) sau 5^(2 * log 5(3)). Să-l scriem diferit: 5^log 5(3*2), sau pătratul unui număr ca argument funcție poate fi scris ca pătrat al funcției în sine (5^log 5(3))^2. Folosind proprietățile logaritmilor, această expresie este egală cu 3^2. Răspuns: ca rezultat al calculului obținem 9.

Uz practic

Fiind un instrument pur matematic, pare departe de viața reală faptul că logaritmul a căpătat brusc o importanță deosebită pentru descrierea obiectelor din lumea reală. Este greu să găsești o știință în care să nu fie folosită. Acest lucru se aplică pe deplin nu numai domeniilor de cunoaștere naturale, ci și umanitare.

Dependențe logaritmice

Iată câteva exemple de dependențe numerice:

Mecanica si fizica

Din punct de vedere istoric, mecanica și fizica s-au dezvoltat întotdeauna folosind metode de cercetare matematică și, în același timp, au servit drept stimulent pentru dezvoltarea matematicii, inclusiv a logaritmilor. Teoria majorității legilor fizicii este scrisă în limbajul matematicii. Să dăm doar două exemple de descriere a legilor fizice folosind logaritmul.

Problema calculării unei cantități atât de complexe precum viteza unei rachete poate fi rezolvată folosind formula Tsiolkovsky, care a pus bazele teoriei explorării spațiului:

V = I * ln (M1/M2), unde

• V este viteza finală a aeronavei.
• I – impuls specific motorului.
• M 1 – masa inițială a rachetei.
• M 2 – masa finală.

Un alt exemplu important- aceasta este folosită în formula unui alt mare om de știință Max Planck, care servește la evaluarea stării de echilibru în termodinamică.

S = k * ln (Ω), unde

• S – proprietate termodinamică.
• k – constanta Boltzmann.
• Ω este ponderea statistică a diferitelor stări.

Chimie

Mai puțin evidentă este utilizarea formulelor în chimie care conțin raportul logaritmilor. Să dăm doar două exemple:

• Ecuația Nernst, starea potențialului redox al mediului în raport cu activitatea substanțelor și constanta de echilibru.
• De asemenea, calculul unor constante precum indicele de autoliză și aciditatea soluției nu se poate face fără funcția noastră.

Psihologie și biologie

Și nu este deloc clar ce legătură are psihologia cu asta. Se pare că puterea senzației este bine descrisă de această funcție ca raportul invers dintre valoarea intensității stimulului și valoarea intensității inferioare.

După exemplele de mai sus, nu mai este de mirare că subiectul logaritmilor este utilizat pe scară largă în biologie. S-ar putea scrie volume întregi despre formele biologice corespunzătoare spiralelor logaritmice.

Alte domenii

Se pare că existența lumii este imposibilă fără legătură cu această funcție și guvernează toate legile. Mai ales când legile naturii sunt asociate cu progresia geometrică. Merită să apelați la site-ul MatProfi și există multe astfel de exemple în următoarele domenii de activitate:

Lista poate fi nesfârșită. După ce stăpânești principiile de bază ale acestei funcții, te poți cufunda în lumea înțelepciunii infinite.

\(a^(b)=c\) \(\Săgeată la stânga\) \(\log_(a)(c)=b\)

Să explicăm mai simplu. De exemplu, \(\log_(2)(8)\) este egal cu puterea la care trebuie ridicat \(2\) pentru a obține \(8\). Din aceasta rezultă clar că \(\log_(2)(8)=3\).

Exemple:		\(\log_(5)(25)=2\)		deoarece \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		deoarece \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		deoarece \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumentul și baza logaritmului

Orice logaritm are următoarea „anatomie”:

Argumentul unui logaritm este de obicei scris la nivelul său, iar baza este scrisă în indice mai aproape de semnul logaritmului. Și această intrare se citește astfel: „logaritm de douăzeci și cinci la baza cinci”.

Cum se calculează logaritmul?

Pentru a calcula logaritmul, trebuie să răspundeți la întrebarea: la ce putere ar trebui ridicată baza pentru a obține argumentul?

De exemplu, calculați logaritmul: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) La ce putere trebuie ridicat \(4\) pentru a obține \(16\)? Evident, al doilea. De aceea:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) La ce putere trebuie ridicată \(\sqrt(5)\) pentru a obține \(1\)? Ce putere face pe orice număr unu? Zero, desigur!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) La ce putere trebuie ridicată \(\sqrt(7)\) pentru a obține \(\sqrt(7)\)? În primul rând, orice număr la prima putere este egal cu el însuși.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) La ce putere trebuie ridicată \(3\) pentru a obține \(\sqrt(3)\)? Din știm că este o putere fracțională, ceea ce înseamnă că rădăcina pătrată este puterea lui \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Exemplu : Calculați logaritmul \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Soluţie :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Trebuie să găsim valoarea logaritmului, să o notăm cu x. Acum să folosim definiția unui logaritm: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Ce leagă \(4\sqrt(2)\) și \(8\)? Doi, deoarece ambele numere pot fi reprezentate prin doi: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		În stânga folosim proprietățile gradului: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) și \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Bazele sunt egale, trecem la egalitatea indicatorilor
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu \(\frac(2)(5)\)
		Rădăcina rezultată este valoarea logaritmului

Răspuns : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

De ce a fost inventat logaritmul?

Pentru a înțelege acest lucru, să rezolvăm ecuația: \(3^(x)=9\). Doar potriviți \(x\) pentru ca egalitatea să funcționeze. Desigur, \(x=2\).

Acum rezolvați ecuația: \(3^(x)=8\). Cu ce ​​este x egal? Acesta este ideea.

Cei mai deștepți vor spune: „X este puțin mai puțin de doi”. Cum să scriu mai exact acest număr? Pentru a răspunde la această întrebare, a fost inventat logaritmul. Datorită lui, răspunsul de aici poate fi scris ca \(x=\log_(3)(8)\).

Vreau să subliniez că \(\log_(3)(8)\), ca orice logaritm este doar un număr. Da, pare neobișnuit, dar este scurt. Pentru că dacă am vrea să-l scriem ca zecimală, ar arăta astfel: \(1.892789260714.....\)

Exemplu : Rezolvați ecuația \(4^(5x-4)=10\)

Soluţie :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) și \(10\) nu pot fi aduse la aceeași bază. Aceasta înseamnă că nu te poți descurca fără un logaritm. Să folosim definiția logaritmului: \(a^(b)=c\) \(\Săgeată la stânga\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Să răsturnăm ecuația astfel încât X să fie în stânga
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Înaintea noastră. Să ne deplasăm \(4\) la dreapta. Și nu vă fie teamă de logaritm, tratați-l ca pe un număr obișnuit.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Împărțiți ecuația la 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Aceasta este rădăcina noastră. Da, pare neobișnuit, dar ei nu aleg răspunsul.

Răspuns : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmi zecimali și naturali

După cum se precizează în definiția unui logaritm, baza acestuia poate fi orice număr pozitiv, cu excepția unuia \((a>0, a\neq1)\). Și dintre toate bazele posibile, există două care apar atât de des încât a fost inventată o notație scurtă specială pentru logaritmi cu ele:

Logaritm natural: un logaritm a cărui bază este numărul lui Euler \(e\) (egal cu aproximativ \(2,7182818…\)), iar logaritmul se scrie ca \(\ln(a)\).

Acesta este, \(\ln(a)\) este același cu \(\log_(e)(a)\)

Logaritm zecimal: Un logaritm a cărui bază este 10 se scrie \(\lg(a)\).

Acesta este, \(\lg(a)\) este același cu \(\log_(10)(a)\), unde \(a\) este un număr.

Identitatea logaritmică de bază

Logaritmii au multe proprietăți. Una dintre ele se numește „Identitatea logaritmică de bază” și arată astfel:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Această proprietate decurge direct din definiție. Să vedem exact cum a apărut această formulă.

Să ne amintim o scurtă notație a definiției logaritmului:

dacă \(a^(b)=c\), atunci \(\log_(a)(c)=b\)

Adică, \(b\) este același cu \(\log_(a)(c)\). Apoi putem scrie \(\log_(a)(c)\) în loc de \(b\) în formula \(a^(b)=c\). S-a dovedit \(a^(\log_(a)(c))=c\) - principala identitate logaritmică.

Puteți găsi alte proprietăți ale logaritmilor. Cu ajutorul lor, puteți simplifica și calcula valorile expresiilor cu logaritmi, care sunt dificil de calculat direct.

Exemplu : Găsiți valoarea expresiei \(36^(\log_(6)(5))\)

Soluţie :

Răspuns : \(25\)

Cum se scrie un număr ca logaritm?

După cum am menționat mai sus, orice logaritm este doar un număr. Este adevărat și invers: orice număr poate fi scris ca logaritm. De exemplu, știm că \(\log_(2)(4)\) este egal cu doi. Apoi, în loc de două, puteți scrie \(\log_(2)(4)\).

Dar \(\log_(3)(9)\) este, de asemenea, egal cu \(2\), ceea ce înseamnă că putem scrie și \(2=\log_(3)(9)\) . La fel și cu \(\log_(5)(25)\), și cu \(\log_(9)(81)\), etc. Adică se dovedește

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Astfel, dacă avem nevoie, putem scrie doi ca logaritm cu orice bază oriunde (fie ea într-o ecuație, într-o expresie sau într-o inegalitate) - pur și simplu scriem baza la pătrat ca argument.

Este la fel și cu triplul – poate fi scris ca \(\log_(2)(8)\), sau ca \(\log_(3)(27)\), sau ca \(\log_(4)( 64) \)... Aici scriem baza în cub ca argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Și cu patru:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Și cu minus unu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Și cu o treime:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Orice număr \(a\) poate fi reprezentat ca un logaritm cu baza \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Exemplu : Găsiți sensul expresiei \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Soluţie :

Răspuns : \(1\)

Logaritmul unui număr pozitiv b la baza a (a>0, a nu este egal cu 1) este un număr c astfel încât a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Rețineți că logaritmul unui număr nepozitiv este nedefinit. În plus, baza logaritmului trebuie să fie un număr pozitiv care nu este egal cu 1. De exemplu, dacă pătratăm -2, obținem numărul 4, dar asta nu înseamnă că baza -2 logaritmului lui 4 este egală. la 2.

Identitatea logaritmică de bază

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Este important ca domeniul de aplicare al definiției părților din dreapta și din stânga acestei formule să fie diferit. Partea stângă este definită numai pentru b>0, a>0 și a ≠ 1. Partea dreaptă este definită pentru orice b și nu depinde deloc de a. Astfel, aplicarea „identității” logaritmice de bază la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților poate duce la o modificare a DO.

Două consecințe evidente ale definiției logaritmului

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Într-adevăr, când ridicăm numărul a la prima putere, obținem același număr, iar când îl ridicăm la puterea zero, obținem unul.

Logaritmul produsului și logaritmul coeficientului

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Aș dori să îi avertizez pe școlari să nu folosească fără gânduri aceste formule atunci când rezolvă ecuații și inegalități logaritmice. Când le folosiți „de la stânga la dreapta”, ODZ se îngustează, iar când se trece de la suma sau diferența de logaritmi la logaritmul produsului sau al coeficientului, ODZ se extinde.

Într-adevăr, expresia log a (f (x) g (x)) este definită în două cazuri: când ambele funcții sunt strict pozitive sau când f(x) și g(x) sunt ambele mai mici decât zero.

Transformând această expresie în suma log a f (x) + log a g (x), suntem forțați să ne limităm doar la cazul în care f(x)>0 și g(x)>0. Există o restrângere a intervalului de valori acceptabile, iar acest lucru este categoric inacceptabil, deoarece poate duce la pierderea soluțiilor. O problemă similară există pentru formula (6).

Gradul poate fi scos din semnul logaritmului

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Și din nou aș dori să îndemn la prudență. Luați în considerare următorul exemplu:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Partea stângă a egalității este în mod evident definită pentru toate valorile lui f(x), cu excepția zero. Partea dreaptă este doar pentru f(x)>0! Luând gradul din logaritm, restrângem din nou ODZ. Procedura inversă duce la o extindere a intervalului de valori acceptabile. Toate aceste observații se aplică nu numai puterii 2, ci și oricărei puteri egale.

Formula pentru trecerea la o nouă fundație

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Acel caz rar în care ODZ nu se schimbă în timpul transformării. Dacă ați ales baza c cu înțelepciune (pozitivă și nu egală cu 1), formula pentru trecerea la o nouă bază este complet sigură.

Dacă alegem numărul b ca nouă bază c, obținem un caz special important de formula (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Câteva exemple simple cu logaritmi

Exemplul 1. Calculați: log2 + log50.
Soluţie. log2 + log50 = log100 = 2. Am folosit formula sumei logaritmilor (5) și definiția logaritmului zecimal.

Exemplul 2. Calculați: lg125/lg5.
Soluţie. log125/log5 = log 5 125 = 3. Am folosit formula pentru trecerea la o nouă bază (8).

Tabel de formule legate de logaritmi

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Logaritmii, ca orice numere, pot fi adunați, scăzuți și transformați în orice fel. Dar, deoarece logaritmii nu sunt chiar numere obișnuite, există reguli aici, care sunt numite proprietăți principale.

Cu siguranță trebuie să cunoașteți aceste reguli - fără ele, nici o problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată. În plus, sunt foarte puține dintre ele - puteți învăța totul într-o singură zi. Asadar, haideti sa începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu aceleași baze: log A Xși log A y. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

1. Buturuga A X+ jurnal A y=log A (X · y);
2. Buturuga A X− jurnal A y=log A (X : y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este egală cu logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este temeiuri identice. Dacă motivele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vă vor ajuta să calculați o expresie logaritmică chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

Jurnalul 6 4 + jurnalul 6 9.

Deoarece logaritmii au aceleași baze, folosim formula sumei:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 2 48 − log 2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 3 135 − log 3 5.

Din nou bazele sunt aceleași, deci avem:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt calculate separat. Dar după transformări se obțin numere complet normale. Multe teste se bazează pe acest fapt. Da, expresii asemănătoare testelor sunt oferite cu toată seriozitatea (uneori practic fără modificări) la examenul de stat unificat.

Extragerea exponentului din logaritm

Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă baza sau argumentul unui logaritm este o putere? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă ODZ al logaritmului: A > 0, A ≠ 1, X> 0. Si inca ceva: invata sa aplici toate formulele nu numai de la stanga la dreapta, ci si invers, i.e. Puteți introduce numerele înainte de semnul logaritmului în logaritmul însuși. Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 7 49 6 .

Să scăpăm de gradul din argument folosind prima formulă:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

[Letină pentru imagine]

Rețineți că numitorul conține un logaritm, a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Avem:

[Letină pentru imagine]

Cred că ultimul exemplu necesită unele clarificări. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment lucrăm doar cu numitorul. Am prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de puteri și am scos exponenții - am obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul conțin același număr: log 2 7. Deoarece log 2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne la numitor. Conform regulilor de aritmetică, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce s-a făcut. Rezultatul a fost răspunsul: 2.

Tranziția la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Ce se întâmplă dacă motivele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă fundație vin în ajutor. Să le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat jurnalul de logaritm A X. Apoi pentru orice număr c astfel încât c> 0 și c≠ 1, egalitatea este adevărată:

[Letină pentru imagine]

În special, dacă punem c = X, primim:

[Letină pentru imagine]

Din a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, adică. logaritmul apare la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea doar atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există probleme care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să ne uităm la câteva dintre acestea:

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 5 16 log 2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi conțin puteri exacte. Să scoatem indicatorii: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Acum să „inversăm” al doilea logaritm:

[Letină pentru imagine]

Deoarece produsul nu se schimbă la rearanjarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi ne-am ocupat de logaritmi.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să notăm asta și să scăpăm de indicatorii:

[Letină pentru imagine]

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

[Letină pentru imagine]

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, următoarele formule ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine un indicator al gradului aflat în argument. Număr n poate fi absolut orice, pentru că este doar o valoare logaritmică.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Așa se numește: identitatea logaritmică de bază.

De fapt, ce se va întâmpla dacă numărul b ridică la o asemenea putere încât numărul b acestei puteri dă numărul A? Așa este: obțineți același număr A. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni rămân blocați în el.

Asemenea formulelor pentru trecerea la o nouă bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

[Letină pentru imagine]

Rețineți că log 25 64 = log 5 8 - pur și simplu a luat pătratul de la baza și argumentul logaritmului. Ținând cont de regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

[Letină pentru imagine]

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală de la examenul de stat unificat :)

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care cu greu pot fi numite proprietăți - mai degrabă, sunt consecințe ale definiției logaritmului. Apar constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și pentru elevii „avansați”.

1. Buturuga A A= 1 este o unitate logaritmică. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritm la orice bază A chiar din această bază este egal cu unu.
2. Buturuga A 1 = 0 este zero logaritmic. Baza A poate fi orice, dar dacă argumentul conține unul, logaritmul este egal cu zero! Deoarece A 0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.