Antiderivată a unei funcții în formă generală. Calculator online Calculați integrala nedefinită (antiderivată).

Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru câțiva selectați. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar nu știu nimic sau aproape nimic despre ele. Integral... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce este cert și nu integrală definită s? Dacă singura utilizare pe care o știi pentru o integrală este să folosești o croșetată în formă de pictogramă integrală pentru a obține ceva util din locurile greu accesibile, atunci bine ai venit! Aflați cum să rezolvați integralele și de ce nu vă puteți descurca fără ea.

Studiem conceptul de „integral”

Integrarea era cunoscută în trecut Egiptul antic. Bineînțeles că nu în formă modernă, dar totusi. De atunci, matematicienii au scris multe cărți pe această temă. S-au distins mai ales Newton Şi Leibniz , dar esența lucrurilor nu s-a schimbat. Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect veți avea nevoie în continuare cunoștințe de bază elementele de bază analiză matematică. Aceste informații fundamentale le veți găsi pe blogul nostru.

Integrală nedefinită

Să avem o funcție f(x) .

Funcție integrală nedefinită f(x) această funcție este numită F(x) , a cărui derivată este egală cu funcția f(x) .

Cu alte cuvinte, integrala este o derivată inversă sau antiderivată. Apropo, citiți despre cum în articolul nostru.

Antiderivatul există pentru toată lumea funcții continue. De asemenea, un semn constant este adesea adăugat la antiderivată, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a integralei se numește integrare.

Exemplu simplu:

Pentru a nu calcula în mod constant antiderivate ale funcțiilor elementare, este convenabil să le puneți într-un tabel și să utilizați valori gata făcute:

Integrală definită

Când avem de-a face cu conceptul de integrală, avem de-a face cu cantități infinitezimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei figurii, a masei corpului neomogen, a distanței parcurse la mișcare neuniformă cale și multe altele. Trebuie amintit că o integrală este o sumă infinită cantitate mare termeni infinitezimali.

De exemplu, imaginați-vă un grafic al unei anumite funcții. Cum să găsiți aria unei figuri, limitat de orar functii?

Folosind o integrală! Să împărțim trapezul curbiliniu, limitat de axele de coordonate și de graficul funcției, în segmente infinitezimale. În acest fel figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da un rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem în așa măsură încât lungimea tinde spre zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde către aria figurii. Aceasta este o integrală definită, care este scrisă astfel:

Punctele a și b se numesc limite de integrare.

Bari Alibasov și grupul „Integral”

Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la

Reguli pentru calcularea integralelor pentru manechine

Proprietățile integralei nedefinite

Cum să decizi integrală nedefinită? Aici ne vom uita la proprietățile integralei nedefinite, care vor fi utile în rezolvarea exemplelor.

• Derivata integralei este egala cu integrandul:

• Constanta poate fi scoasă de sub semnul integral:

• Integrala sumei este egală cu suma integralelor. Acest lucru este valabil și pentru diferența:

Proprietățile unei integrale definite

• Linearitate:

• Semnul integralei se schimbă dacă limitele integrării sunt schimbate:

• La orice puncte o, bŞi Cu:

Am aflat deja că o integrală definită este limita unei sume. Dar cum să ajungi sens specific cand rezolvi un exemplu? Pentru aceasta există formula Newton-Leibniz:

Exemple de rezolvare a integralelor

Mai jos vom lua în considerare câteva exemple de găsire a integralelor nedefinite. Vă invităm să vă dați seama de complexitatea soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.

Pentru a consolida materialul, urmăriți un videoclip despre cum se rezolvă integralele în practică. Nu disperați dacă integrala nu este dată imediat. Întrebați și vă vor spune tot ce știu despre calcularea integralelor. Cu ajutorul nostru, orice integrală triplă sau curbată pe o suprafață închisă va fi în puterea ta.

Integrală nedefinită

Sarcina principală a calculului diferențial a fost calculul derivatei sau diferențialei funcţie dată. Calculul integral, la studiul căruia mergem mai departe, rezolvă problema inversă, și anume găsirea funcției în sine din derivata sau diferențiala ei. Adică având dF(x)= f(x)d (7.1) sau F ′(x)= f(x),

Unde f(x)- funcția cunoscută, trebuie să găsiți funcția F(x).

Definiţie:Se numește funcția F(x). antiderivat funcția f(x) pe segment dacă egalitatea este valabilă în toate punctele acestui segment: F′(x) = f(x) sau dF(x)= f(x)d.

De exemplu, una dintre funcțiile antiderivate ale funcției f(x)=3x 2 voinţă F(x)= x 3, pentru că ( x 3)′=3x 2. Dar un prototip pentru funcție f(x)=3x 2 vor exista si functii si , din moment ce .

Aşa, această funcție f(x)=3x 2 are un număr infinit de primitive, fiecare dintre ele diferă doar printr-un termen constant. Să arătăm că acest rezultat este valabil și în cazul general.

Teorema Două antiderivate diferite ale aceleiași funcții definite într-un anumit interval diferă între ele pe acest interval printr-un termen constant.

Dovada

Lasă funcția f(x) definit pe interval (a¸b)Şi F 1 (x) Şi F 2 (x) - antiderivate, i.e. F 1 ′(x)= f(x) și F 2 ′(x)= f(x).

Apoi F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C

De aici, F 2 (x) = F 1 (x) + C

Unde CU - constantă (un corolar al teoremei lui Lagrange este folosit aici).

Teorema este astfel demonstrată.

Ilustrație geometrică. Dacă la = F 1 (x) Şi la = F 2 (x) – antiderivate cu aceeași funcție f(x), apoi tangenta la graficele lor în puncte cu o abscisă comună X paralele între ele (Fig. 7.1).

În acest caz, distanța dintre aceste curbe de-a lungul axei Oh rămâne constantă F 2 (x) - F 1 (x) = C , adică aceste curbe în ceva intelegere„paralele” unele cu altele.

Consecinţă .

Adăugând la unele antiderivate F(x) pentru această funcție f(x), definit pe interval X, toate constantele posibile CU, obținem toate antiderivatele posibile pentru funcție f(x).

Deci expresia F(x)+C , unde , și F(x) – unele antiderivate ale unei funcții f(x) include toate antiderivatele posibile pentru f(x).

Exemplul 1. Verificați dacă funcțiile sunt antiderivate ale funcției

Soluţie:

Răspuns: antiderivate pentru o funcție vor exista functii Şi

Definiţie: Dacă funcția F(x) este o antiderivată a funcției f(x), atunci mulțimea tuturor antiderivatelor F(x)+ C se numește integrală nedefinită a f(x) și notăm:

∫f(х)dх.

Prin definiție:

f(x) - funcția integrand,

f(х)dх - integrand

De aici rezultă că integrala nedefinită este o funcție de formă generală, a cărei diferențială este egală cu integrandul și a cărei derivată în raport cu variabila X este egal cu integrandul în toate punctele.

CU punct geometric viziune o integrală nedefinită este o familie de curbe, fiecare dintre acestea obținută prin deplasarea uneia dintre curbe paralele cu ea însăși în sus sau în jos, adică de-a lungul axei Oh(Fig. 7.2).

Operația de calcul a integralei nedefinite a unei anumite funcții se numește integrare această funcție.

Rețineți că dacă derivata unei funcții elementare este întotdeauna o funcție elementară, atunci antiderivata unei funcții elementare poate să nu fie reprezentată de un număr finit de funcții elementare.

Să luăm în considerare acum proprietățile integralei nedefinite.

Din definiția 2 rezultă:

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul, adica daca F′(x) = f(x) , Asta

2. Diferenţialul integralei nedefinite este egală cu integrandul

. (7.4)

Din definiția diferențialului și proprietății (7.3)

3. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu această funcţie până la un termen constant, adică (7.5)

Există trei reguli de bază pentru găsirea funcțiilor antiderivate. Ele sunt foarte asemănătoare cu regulile de diferențiere corespunzătoare.

Regula 1

Dacă F este o antiderivată pentru o funcție f și G este o antiderivată pentru o funcție g, atunci F + G va fi o antiderivată pentru f + g.

Prin definiția unei antiderivate, F’ = f. G' = g. Și deoarece aceste condiții sunt îndeplinite, atunci conform regulii de calcul a derivatei pentru suma funcțiilor vom avea:

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

Regula 2

Dacă F este o antiderivată pentru o funcție f și k este o constantă. Atunci k*F este antiderivată a funcției k*f. Această regulă rezultă din regula de calcul a derivatei unei funcții complexe.

Avem: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Regula 3

Dacă F(x) este o antiderivată pentru funcția f(x), iar k și b sunt niște constante și k nu este egal cu zero, atunci (1/k)*F*(k*x+b) va fi o antiderivată pentru funcția f (k*x+b).

Această regulă rezultă din regula de calcul a derivatei unei funcții complexe:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Să ne uităm la câteva exemple despre cum se aplică aceste reguli:

Exemplul 1. Găsiți forma generală a antiderivatelor pentru funcția f(x) = x^3 +1/x^2. Pentru funcția x^3 una dintre antiderivate va fi funcția (x^4)/4, iar pentru funcția 1/x^2 una dintre antiderivate va fi funcția -1/x. Folosind prima regula, avem:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Exemplul 2. Să găsim forma generală a antiderivatelor pentru funcția f(x) = 5*cos(x). Pentru funcția cos(x), una dintre antiderivate va fi funcția sin(x). Dacă folosim acum a doua regulă, vom avea:

F(x) = 5*sin(x).

Exemplul 3. Găsiți una dintre antiderivatele pentru funcția y = sin(3*x-2). Pentru funcția sin(x) una dintre antiderivate va fi funcția -cos(x). Dacă folosim acum a treia regulă, obținem o expresie pentru antiderivată:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Exemplul 4. Găsiți antiderivată pentru funcția f(x) = 1/(7-3*x)^5

Antiderivată pentru funcția 1/x^5 va fi funcția (-1/(4*x^4)). Acum, folosind a treia regulă, obținem.

Funcția antiderivată f(x)între ele (a; b) această funcție este numită F(x), că egalitatea este valabilă pentru orice X dintr-un interval dat.

Dacă luăm în considerare faptul că derivata unei constante CU este egal cu zero, atunci egalitatea este adevărată. Deci funcția f(x) are multe primitive F(x)+C, pentru o constantă arbitrară CU, iar aceste antiderivate diferă unele de altele printr-o valoare constantă arbitrară.

Definiția unei integrale nedefinite.

Întregul set de funcții antiderivate f(x) se numeste integrala nedefinita a acestei functii si se noteaza .

Expresia se numește integrand, A f(x) – funcția integrand. Integrandul reprezintă diferența funcției f(x).

Se numește acțiunea de a găsi o funcție necunoscută având în vedere diferența sa nesigur integrare, deoarece rezultatul integrării este mai mult de o funcție F(x), și setul primitivelor sale F(x)+C.

Sensul geometric al integralei nedefinite. Graficul antiderivatei D(x) se numește curba integrală. În sistemul de coordonate x0y, graficele tuturor antiderivate ale unei anumite funcții reprezintă o familie de curbe care depind de valoarea constantei C și sunt obținute una de la cealaltă printr-o deplasare paralelă de-a lungul axei 0y. Pentru exemplul discutat mai sus, avem:

J 2 x^x = x2 + C.

Familia de antiderivate (x + C) este interpretată geometric printr-un set de parabole.

Dacă trebuie să găsiți unul dintr-o familie de antiderivate, atunci sunt stabilite condiții suplimentare care vă permit să determinați constanta C. De obicei, în acest scop, sunt stabilite condiții inițiale: când argumentul x = x0, funcția are valoarea D. (x0) = y0.

Exemplu. Este necesar să se constate că una dintre antiderivatele funcției y = 2 x care ia valoarea 3 la x0 = 1.

Antiderivată necesară: D(x) = x2 + 2.

Soluţie. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Proprietăţile de bază ale integralei nedefinite

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu functia integrand:

2. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu expresia integrand:

3. Integrala nedefinită a diferenţialului unei anumite funcţii este egală cu suma acestei funcţii însăşi şi o constantă arbitrară:

4. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:

5. Integrala sumei (diferența) este egală cu suma (diferența) integralelor:

6. Proprietatea este o combinație de proprietăți 4 și 5:

7. Proprietatea de invarianță a integralei nedefinite:

Dacă , Asta

8. Proprietate:

Dacă , Asta

De fapt, această proprietate este un caz special de integrare folosind metoda schimbării variabilei, care este discutată mai detaliat în secțiunea următoare.

Să ne uităm la un exemplu:

3. Metoda de integrareîn care o integrală dată este redusă la una sau mai multe integrale de tabel prin transformări identice ale integrandului (sau expresiei) și aplicarea proprietăților integralei nedefinite, se numește integrare directă. Când reduceți această integrală la una tabelară, sunt adesea folosite următoarele transformări diferențiale (operația " subscriind la semnul diferenţial»):

Deloc, f’(u)du = d(f(u)). Aceasta (formula este foarte des folosită la calcularea integralelor.

Găsiți integrala

Soluţie. Să folosim proprietățile integralei și să reducem această integrală la mai multe tabelare.

4. Integrarea prin metoda substituției.

Esența metodei este că introducem o nouă variabilă, exprimăm integrandul prin această variabilă și, ca urmare, ajungem la o formă tabelară (sau mai simplă) a integralei.

Foarte des, metoda substituției vine în ajutor atunci când se integrează funcții trigonometrice și funcții cu radicali.

Exemplu.

Aflați integrala nedefinită .

Soluţie.

Să introducem o nouă variabilă. Să ne exprimăm X prin z:

Înlocuim expresiile rezultate în integrala originală:

Din tabelul de antiderivate avem .

Rămâne să revenim la variabila inițială X:

Răspuns:

Lecție și prezentare pe tema: „O funcție antiderivată. Graficul unei funcții”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a 11-a
Probleme algebrice cu parametri, clasele 9–11
„Sarcini interactive privind construirea în spațiu pentru clasele a 10-a și a 11-a”

Funcția antiderivată. Introducere

Băieți, știți să găsiți derivate ale funcțiilor folosind diverse formule și reguli. Astăzi vom studia operația inversă de calcul a derivatei. Conceptul de derivat este adesea folosit în viata reala. Permiteți-mi să vă reamintesc: derivata este rata de schimbare a unei funcții într-un anumit punct. Procesele care implică mișcare și viteza sunt bine descrise în acești termeni.

Să ne uităm la această problemă: „Viteza unui obiect care se mișcă în linie dreaptă este descrisă de formula $V=gt$. Este necesară restabilirea legii mișcării.
Soluţie.
Cunoaștem bine formula: $S"=v(t)$, unde S este legea mișcării.
Sarcina noastră se rezumă la găsirea unei funcții $S=S(t)$ a cărei derivată este egală cu $gt$. Privind cu atenție, puteți ghici că $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
Să verificăm corectitudinea soluției acestei probleme: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Cunoscând derivata funcției, am găsit funcția în sine, adică am efectuat operația inversă.
Dar merită să acordați atenție acestui punct. Rezolvarea problemei noastre necesită clarificare dacă adăugăm orice număr (constant) la funcția găsită, atunci valoarea derivatei nu se va modifica: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+; c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.

Băieți, atenție: problema noastră are un număr infinit de soluții!
Dacă problema nu specifică o inițială sau o altă condiție, nu uitați să adăugați o constantă la soluție. De exemplu, sarcina noastră poate specifica poziția corpului nostru chiar la începutul mișcării. Atunci nu este dificil să calculăm constanta prin înlocuirea cu zero în ecuația rezultată, obținem valoarea constantei.

Cum se numește această operațiune?
Operația inversă de diferențiere se numește integrare.
Găsirea unei funcții dintr-o derivată dată – integrare.
Funcția în sine va fi numită antiderivată, adică imaginea din care a fost obținută derivata funcției.
Se obișnuiește să scrieți antiderivată cu majusculă $y=F"(x)=f(x)$.

Definiţie. Funcția $y=F(x)$ se numește antiderivată a funcției $у=f(x)$ pe intervalul X dacă pentru orice $хϵХ$ este valabilă egalitatea $F'(x)=f(x)$ .

Să facem un tabel cu antiderivate pentru diferite funcții. Ar trebui tipărit ca un memento și memorat.

În tabelul nostru nu au fost specificate condiții inițiale. Aceasta înseamnă că trebuie adăugată o constantă la fiecare expresie din partea dreaptă a tabelului. Vom clarifica această regulă mai târziu.

Reguli pentru găsirea antiderivatelor

Să scriem câteva reguli care ne vor ajuta să găsim antiderivate. Toate sunt similare cu regulile de diferențiere.

Regula 1. Antiderivată a unei sume este egală cu suma antiderivatelor. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Exemplu.
Găsiți antiderivată pentru funcția $y=4x^3+cos(x)$.
Soluţie.
Antiderivata sumei este egala cu suma antiderivatelor, atunci trebuie sa gasim antiderivata pentru fiecare dintre functiile prezentate.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Atunci antiderivata functiei originale va fi: $y=x^4+sin(x)$ sau orice functie de forma $y=x^4+sin(x)+C$.

Regula 2. Dacă $F(x)$ este o antiderivată pentru $f(x)$, atunci $k*F(x)$ este o antiderivată pentru funcția $k*f(x)$.(Putem lua cu ușurință coeficientul ca funcție).

Exemplu.
Găsiți antiderivate ale funcțiilor:
a) $y=8sin(x)$.
b) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
Soluţie.
a) Antiderivata lui $sin(x)$ este minus $cos(x)$. Atunci antiderivata funcției originale va lua forma: $y=-8cos(x)$.

B) Antiderivata lui $cos(x)$ este $sin(x)$. Atunci antiderivata funcției originale va lua forma: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.

C) Antiderivata pentru $x^2$ este $\frac(x^3)(3)$. Antiderivata pentru x este $\frac(x^2)(2)$. Antiderivata lui 1 este x. Atunci antiderivata funcției originale va lua forma: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$ .

Regula 3. Dacă $у=F(x)$ este o antiderivată pentru funcția $y=f(x)$, atunci antiderivată pentru funcția $y=f(kx+m)$ este funcția $y=\frac(1 )(k)* F(kx+m)$.

Exemplu.
Găsiți antiderivate ale următoarelor funcții:
a) $y=cos(7x)$.
b) $y=sin(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Soluţie.
a) Antiderivata lui $cos(x)$ este $sin(x)$. Atunci antiderivată pentru funcția $y=cos(7x)$ va fi funcția $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$.

B) Antiderivata lui $sin(x)$ este minus $cos(x)$. Atunci antiderivată pentru funcția $y=sin(\frac(x)(2))$ va fi funcția $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.

C) Antiderivata pentru $x^3$ este $\frac(x^4)(4)$, apoi antiderivata functiei originale $y=-\frac(1)(2)*\frac(((-) 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.

D) Simplificați ușor expresia la puterea $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$.
Antiderivata funcției exponențiale este însăși functie exponentiala. Antiderivata funcției originale va fi $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.

Teorema. Dacă $y=F(x)$ este o antiderivată pentru funcția $y=f(x)$ pe intervalul X, atunci funcția $y=f(x)$ are infinit de antiderivate și toate au forma $y=F(x)+С$.

Dacă în toate exemplele discutate mai sus a fost necesar să se găsească setul tuturor antiderivatelor, atunci constanta C ar trebui adăugată peste tot.
Pentru funcția $y=cos(7x)$ toate antiderivatele au forma: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
Pentru funcția $y=(-2x+3)^3$ toate antiderivatele au forma: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.

Exemplu.
Având în vedere legea schimbării vitezei unui corp în timp $v=-3sin(4t)$, găsiți legea mișcării $S=S(t)$, dacă în momentul de pornire timp corpul avea o coordonată egală cu 1,75.
Soluţie.
Deoarece $v=S’(t)$, trebuie să găsim antiderivată pentru o viteză dată.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
În această problemă, este dată o condiție suplimentară - momentul inițial de timp. Aceasta înseamnă că $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Atunci legea mișcării este descrisă prin formula: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.

Probleme de rezolvat independent

1. Găsiți antiderivate ale funcțiilor:
a) $y=-10sin(x)$.
b) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
c) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Găsiți antiderivate ale următoarelor funcții:
a) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
b) $y=sin(8x)$.
c) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. Conform legii date de modificare a vitezei unui corp în timp $v=4cos(6t)$, găsiți legea mișcării $S=S(t)$ dacă în momentul inițial de timp corpul avea o coordonata egala cu 2.