Cum se rezolvă o ecuație pătratică. Rădăcinile unei ecuații pătratice

Mai mult într-un mod simplu. Pentru a face acest lucru, puneți z din paranteze. Veți obține: z(аz + b) = 0. Factorii se pot scrie: z=0 și аz + b = 0, deoarece ambii pot rezulta zero. În notația az + b = 0, îl deplasăm pe al doilea la dreapta cu alt semn. De aici obținem z1 = 0 și z2 = -b/a. Acestea sunt rădăcinile originalului.

Dacă nu există ecuație completă de forma аz² + с = 0, în acest caz se găsesc prin simpla mutare a termenului liber în partea dreaptă a ecuației. Schimbați-i și semnul. Rezultatul va fi az² = -с. Exprimați z² = -c/a. Luați rădăcina și scrieți două soluții - o rădăcină pătrată pozitivă și una negativă.

Vă rugăm să rețineți

Dacă există coeficienți fracționali în ecuație, înmulțiți întreaga ecuație cu factorul corespunzător pentru a scăpa de fracții.

Cunoașterea modului de rezolvare a ecuațiilor pătratice este necesară atât pentru școlari, cât și pentru elevi, uneori, acest lucru poate ajuta și un adult viata obisnuita. Există mai multe metode specifice de rezolvare.

Rezolvarea ecuațiilor cuadratice

Ecuație pătratică de forma a*x^2+b*x+c=0. Coeficientul x este variabila dorită, a, b, c sunt coeficienți numerici. Amintiți-vă că semnul „+” se poate schimba într-un semn „-”.

Pentru a rezolva această ecuație, este necesar să folosiți teorema lui Vieta sau să găsiți discriminantul. Cea mai comună metodă este găsirea discriminantului, deoarece pentru unele valori ale lui a, b, c nu este posibil să se folosească teorema lui Vieta.

Pentru a găsi discriminantul (D), trebuie să scrieți formula D=b^2 - 4*a*c. Valoarea D poate fi mai mare, mai mică sau egală cu zero. Dacă D este mai mare sau mai mic decât zero, atunci vor fi două rădăcini dacă D = 0, atunci rămâne doar o rădăcină, putem spune că D în acest caz are două rădăcini echivalente; Înlocuiți coeficienții cunoscuți a, b, c în formulă și calculați valoarea.

După ce ați găsit discriminantul, utilizați formulele pentru a găsi x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, unde sqrt este o funcție care înseamnă luarea rădăcinii pătrate a număr dat. După calcularea acestor expresii, veți găsi două rădăcini ale ecuației dvs., după care ecuația este considerată rezolvată.

Dacă D este mai mic decât zero, atunci are totuși rădăcini. Această secțiune practic nu este studiată la școală. Studenții ar trebui să știe că sub rădăcină apare un număr negativ. Ei scapă de ea prin evidențierea părții imaginare, adică -1 sub rădăcină este întotdeauna egal cu elementul imaginar „i”, care este înmulțit cu rădăcina cu același număr pozitiv. De exemplu, dacă D=sqrt(-20), după transformare obținem D=sqrt(20)*i. După această transformare, rezolvarea ecuației se reduce la aceeași constatare a rădăcinilor descrisă mai sus.

Teorema lui Vieta constă în selectarea valorilor lui x(1) și x(2). Se folosesc două ecuații identice: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Și foarte punct important este semnul din fața coeficientului b, amintiți-vă că acest semn este opus celui din ecuație. La prima vedere, se pare că calcularea x(1) și x(2) este foarte simplă, dar la rezolvare, te vei confrunta cu faptul că va trebui să selectezi numerele.

Elemente de rezolvare a ecuațiilor pătratice

După regulile matematicii, unele pot fi factorizate: (a+x(1))*(b-x(2))=0, dacă ai reușit să transformi folosind formule matematice într-un mod similar dată o ecuație pătratică, apoi nu ezitați să scrieți răspunsul. x(1) și x(2) vor fi egali cu coeficienții adiacenți dintre paranteze, dar cu semnul opus.

De asemenea, nu uitați de ecuațiile pătratice incomplete. Este posibil să vă lipsească unii dintre termeni, dacă da, atunci toți coeficienții săi sunt pur și simplu egali cu zero. Dacă nu există nimic în fața lui x^2 sau x, atunci coeficienții a și b sunt egali cu 1.

Acest subiect poate părea complicat la început din cauza multor formule nu atât de simple. Nu numai că ecuațiile pătratice în sine au notații lungi, dar rădăcinile se găsesc și prin discriminant. În total, se obțin trei formule noi. Nu foarte ușor de reținut. Acest lucru este posibil numai după rezolvarea frecventă a unor astfel de ecuații. Atunci toate formulele vor fi reținute de la sine.

Vedere generală a unei ecuații pătratice

Aici vă propunem înregistrarea lor explicită, când este cel mai mult grad înalt scris mai întâi, apoi în ordine descrescătoare. Există adesea situații în care termenii sunt inconsecvenți. Atunci este mai bine să rescrieți ecuația în ordinea descrescătoare a gradului variabilei.

Să introducem o notație. Ele sunt prezentate în tabelul de mai jos.

Dacă acceptăm aceste notații, toate ecuațiile pătratice sunt reduse la următoarea notație.

Mai mult, coeficientul a ≠ 0. Fie ca această formulă să fie desemnată numărul unu.

Când este dată o ecuație, nu este clar câte rădăcini vor fi în răspuns. Pentru că una dintre cele trei opțiuni este întotdeauna posibilă:

• soluția va avea două rădăcini;
• răspunsul va fi un număr;
• ecuația nu va avea deloc rădăcini.

Și până la finalizarea deciziei, este greu de înțeles care opțiune va apărea într-un anumit caz.

Tipuri de înregistrări ale ecuațiilor pătratice

Pot exista diferite intrări în sarcini. Nu vor arăta întotdeauna ca formula generală ecuație pătratică. Uneori îi vor lipsi niște termeni. Ceea ce a fost scris mai sus este ecuația completă. Dacă eliminați al doilea sau al treilea termen din el, obțineți altceva. Aceste înregistrări sunt numite și ecuații pătratice, doar incomplete.

Mai mult, numai termenii cu coeficienții „b” și „c” pot dispărea. Numărul „a” nu poate fi egal cu zero în nicio circumstanță. Pentru că în acest caz formula se transformă într-o ecuație liniară. Formulele pentru forma incompletă a ecuațiilor vor fi următoarele:

Deci, există doar două tipuri, pe lângă cele complete, există și ecuații pătratice incomplete. Prima formulă să fie numărul doi, iar a doua - trei.

Discriminarea și dependența numărului de rădăcini de valoarea acestuia

Trebuie să cunoașteți acest număr pentru a calcula rădăcinile ecuației. Poate fi întotdeauna calculată, indiferent de formula ecuației pătratice. Pentru a calcula discriminantul, trebuie să folosiți egalitatea scrisă mai jos, care va avea numărul patru.

După înlocuirea valorilor coeficientului în această formulă, puteți obține numere cu semne diferite. Dacă răspunsul este da, atunci răspunsul la ecuație va fi două rădăcini diferite. Dacă numărul este negativ, nu vor exista rădăcini ale ecuației pătratice. Dacă este egal cu zero, va exista un singur răspuns.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică completă?

De fapt, luarea în considerare a acestei probleme a început deja. Pentru că mai întâi trebuie să găsești un discriminant. După ce se stabilește că există rădăcini ale ecuației pătratice și numărul acestora este cunoscut, trebuie să utilizați formule pentru variabile. Dacă există două rădăcini, atunci trebuie să aplicați următoarea formulă.

Deoarece conține un semn „±”, vor exista două valori. Expresia de sub semnul rădăcinii pătrate este discriminantul. Prin urmare, formula poate fi rescrisă diferit.

Formula numărul cinci. Din aceeași înregistrare reiese clar că dacă discriminantul egal cu zero, atunci ambele rădăcini vor lua aceleași valori.

Dacă rezolvarea ecuațiilor pătratice nu a fost încă elaborată, atunci este mai bine să notați valorile tuturor coeficienților înainte de a aplica formulele discriminante și variabile. Mai târziu, acest moment nu va crea dificultăți. Dar la început există confuzie.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică incompletă?

Totul este mult mai simplu aici. Nici măcar nu este nevoie de formule suplimentare. Iar cele care au fost deja notate pentru discriminant și necunoscut nu vor fi necesare.

Să luăm în considerare mai întâi ecuație incompletă la numărul doi. În această egalitate, este necesar să scoateți cantitatea necunoscută din paranteze și să rezolvați ecuația liniară, care va rămâne între paranteze. Răspunsul va avea două rădăcini. Prima este neapărat egală cu zero, deoarece există un multiplicator format din variabila însăși. Al doilea se va obține prin rezolvarea unei ecuații liniare.

Ecuația incompletă numărul trei se rezolvă prin mutarea numărului din partea stângă a egalității la dreapta. Apoi, trebuie să împărțiți cu coeficientul în fața necunoscutului. Tot ce rămâne este să extragi rădăcina pătrată și să nu uiți să o notezi de două ori cu semne opuse.

Mai jos sunt câteva acțiuni care vă vor ajuta să învățați cum să rezolvați tot felul de egalități care se transformă în ecuații pătratice. Ele vor ajuta elevul să evite greșelile din cauza neatenției. Aceste neajunsuri pot cauza note slabe atunci când studiezi subiectul extins „Ecuații cadrate (clasa a 8-a).” Ulterior, aceste acțiuni nu vor trebui efectuate în mod constant. Pentru că va apărea o abilitate stabilă.

• Mai întâi trebuie să scrieți ecuația în formă standard. Adică, mai întâi termenul cu cel mai mare grad al variabilei, apoi - fără un grad, și ultimul - doar un număr.

• Dacă înaintea coeficientului „a apare un minus”, poate complica munca unui începător care studiază ecuațiile pătratice. Este mai bine să scapi de el. În acest scop, întreaga egalitate trebuie înmulțită cu „-1”. Aceasta înseamnă că toți termenii vor schimba semnul invers.

• Se recomandă să scăpați de fracții în același mod. Pur și simplu înmulțiți ecuația cu factorul corespunzător, astfel încât numitorii să se anuleze.

Exemple

Este necesar să se rezolve următoarele ecuații pătratice:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prima ecuație: x 2 − 7x = 0. Este incompletă, prin urmare se rezolvă așa cum este descris pentru formula numărul doi.

După ce o scoateți din paranteze, rezultă: x (x - 7) = 0.

Prima rădăcină ia valoarea: x 1 = 0. A doua va fi găsită din ecuația liniară: x - 7 = 0. Este ușor de observat că x 2 = 7.

A doua ecuație: 5x 2 + 30 = 0. Din nou incompletă. Doar că se rezolvă așa cum este descris pentru a treia formulă.

După ce mutați 30 în partea dreaptă a ecuației: 5x 2 = 30. Acum trebuie să împărțiți la 5. Rezultă: x 2 = 6. Răspunsurile vor fi numerele: x 1 = √6, x 2 = - √6.

A treia ecuație: 15 − 2x − x 2 = 0. Aici și mai departe, rezolvarea ecuațiilor pătratice va începe prin a le rescrie în forma standard: − x 2 − 2x + 15 = 0. Acum este timpul să folosiți a doua ecuație. sfaturi utileși înmulțiți totul cu minus unu. Se dovedește x 2 + 2x - 15 = 0. Folosind a patra formulă, trebuie să calculați discriminantul: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Este un număr pozitiv. Din cele spuse mai sus, reiese că ecuația are două rădăcini. Ele trebuie calculate folosind a cincea formulă. Rezultă că x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Atunci x 1 = 3, x 2 = - 5.

A patra ecuație x 2 + 8 + 3x = 0 se transformă în aceasta: x 2 + 3x + 8 = 0. Discriminantul său este egal cu această valoare: -23. Deoarece acest număr este negativ, răspunsul la această sarcină va fi următoarea intrare: „Nu există rădăcini”.

A cincea ecuație 12x + x 2 + 36 = 0 ar trebui rescrisă după cum urmează: x 2 + 12x + 36 = 0. După aplicarea formulei discriminantului, se obține numărul zero. Aceasta înseamnă că va avea o singură rădăcină, și anume: x = -12/ (2 * 1) = -6.

A șasea ecuație (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) necesită transformări, care constau în aducerea termeni similari, înainte de a deschide parantezele. În locul primei va exista următoarea expresie: x 2 + 2x + 1. După egalitate, va apărea această intrare: x 2 + 3x + 2. După ce se numără termeni similari, ecuația va lua forma: x 2 - x = 0. A devenit incomplet . Ceva similar cu asta a fost deja discutat puțin mai sus. Rădăcinile acestuia vor fi numerele 0 și 1.

Ecuațiile cuadratice apar adesea la rezolvarea diferitelor probleme de fizică și matematică. În acest articol ne vom uita la cum să rezolvăm aceste egalități într-un mod universal „printr-un discriminant”. În articol sunt prezentate și exemple de utilizare a cunoștințelor dobândite.

Despre ce ecuații vom vorbi?

Figura de mai jos arată o formulă în care x este o variabilă necunoscută și caractere latine a, b, c reprezintă câteva numere cunoscute.

Fiecare dintre aceste simboluri se numește coeficient. După cum puteți vedea, numărul „a” apare înaintea variabilei x pătrat. Aceasta este puterea maximă a expresiei reprezentate, motiv pentru care se numește ecuație pătratică. Celălalt nume al său este adesea folosit: ecuație de ordinul doi. Valoarea a însăși este un coeficient pătrat (în picioare cu variabila pătrat), b este un coeficient liniar (este lângă variabila ridicată la prima putere) și, în sfârșit, numărul c este termenul liber.

Rețineți că forma ecuației prezentate în figura de mai sus este cea generală clasică expresie pătratică. Pe lângă aceasta, există și alte ecuații de ordinul doi în care coeficienții b și c pot fi zero.

Când sarcina este setată să rezolve egalitatea în cauză, aceasta înseamnă că trebuie găsite astfel de valori ale variabilei x care să o satisfacă. Aici, primul lucru pe care trebuie să-l rețineți este următorul lucru: deoarece gradul maxim de X este 2, atunci acest tip de expresie nu poate avea mai mult de 2 soluții. Aceasta înseamnă că dacă, la rezolvarea unei ecuații, s-au găsit 2 valori ale lui x care o satisfac, atunci poți fi sigur că nu există un al treilea număr, înlocuindu-l cu x, egalitatea ar fi și ea adevărată. Soluțiile unei ecuații din matematică se numesc rădăcinile acesteia.

Metode de rezolvare a ecuațiilor de ordinul doi

Rezolvarea ecuațiilor de acest tip necesită cunoașterea unor teorii despre ele. La cursul de algebră școlară sunt luate în considerare 4 metode diferite de rezolvare. Să le enumerăm:

• folosind factorizarea;
• folosind formula pentru un pătrat perfect;
• prin aplicarea graficului funcției patratice corespunzătoare;
• folosind ecuația discriminantă.

Avantajul primei metode este simplitatea ei, cu toate acestea, nu poate fi folosită pentru toate ecuațiile. A doua metodă este universală, dar oarecum greoaie. A treia metodă se distinge prin claritatea sa, dar nu este întotdeauna convenabilă și aplicabilă. Și, în cele din urmă, utilizarea ecuației discriminante este o modalitate universală și destul de simplă de a găsi rădăcinile oricărei ecuații de ordinul doi. Prin urmare, în acest articol vom lua în considerare doar asta.

Formula pentru obținerea rădăcinilor ecuației

Să ne întoarcem la forma generală a ecuației pătratice. Să o scriem: a*x²+ b*x + c =0. Înainte de a utiliza metoda de rezolvare „printr-un discriminant”, ar trebui să aduceți întotdeauna egalitatea în forma sa scrisă. Adică, trebuie să fie compus din trei termeni (sau mai puțin dacă b sau c este 0).

De exemplu, dacă există o expresie: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², atunci ar trebui mai întâi să mutați toți termenii săi într-o parte a egalității și să adăugați termenii care conțin variabila x în aceleași puteri.

În acest caz, această operație va duce la următoarea expresie: -6*x²-4*x+8=0, care este echivalentă cu ecuația 6*x²+4*x-8=0 (aici am înmulțit stânga și părţile drepte ale egalităţii prin -1) .

În exemplul de mai sus, a = 6, b=4, c=-8. Rețineți că toți termenii egalității luate în considerare sunt întotdeauna însumați împreună, deci dacă apare semnul „-”, aceasta înseamnă că coeficientul corespunzător este negativ, ca și numărul c în acest caz.

După ce am examinat acest punct, să trecem acum la formula însăși, care face posibilă obținerea rădăcinilor unei ecuații pătratice. Arata ca cel din fotografia de mai jos.

După cum se poate vedea din această expresie, vă permite să obțineți două rădăcini (atenție la semnul „±”). Pentru a face acest lucru, este suficient să înlocuiți coeficienții b, c și a în el.

Conceptul de discriminant

În paragraful anterior, a fost dată o formulă care vă permite să rezolvați rapid orice ecuație de ordinul doi. În ea, expresia radicală este numită discriminant, adică D = b²-4*a*c.

De ce este evidențiată această parte a formulei și de ce are chiar propriul nume? Faptul este că discriminantul conectează toți cei trei coeficienți ai ecuației într-o singură expresie. Ultimul faptînseamnă că transportă complet informații despre rădăcini, care pot fi exprimate în următoarea listă:

1. D>0: egalitatea are 2 diverse solutii, ambele fiind numere reale.
2. D=0: Ecuația are o singură rădăcină și este un număr real.

Sarcina de determinare discriminantă

Să dăm un exemplu simplu despre cum să găsim un discriminant. Să fie dată următoarea egalitate: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Să-l aducem la vedere standard, obținem: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, de la care ajungem la egalitatea: -2*x²+ 2*x- 11 = 0. Aici a=-2, b=2, c=-11.

Acum puteți folosi formula de mai sus pentru discriminant: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Numărul rezultat este răspunsul la sarcină. Deoarece discriminantul din exemplu este mai mic decât zero, putem spune că această ecuație pătratică nu are rădăcini reale. Soluția sa va fi doar numere de tip complex.

Un exemplu de inegalitate prin discriminant

Să rezolvăm probleme de un tip ușor diferit: având în vedere egalitatea -3*x²-6*x+c = 0. Este necesar să găsim valori ale lui c pentru care D>0.

În acest caz, se cunosc doar 2 din 3 coeficienți, deci nu se poate calcula valoarea exactă a discriminantului, dar se știe că este pozitiv. Utilizăm ultimul fapt când compunem inegalitatea: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Rezolvarea inegalității rezultate duce la rezultatul: c>-3.

Să verificăm numărul rezultat. Pentru a face acest lucru, calculăm D pentru 2 cazuri: c=-2 și c=-4. Numărul -2 satisface rezultatul obţinut (-2>-3), discriminantul corespunzător va avea valoarea: D = 12>0. La rândul său, numărul -4 nu satisface inegalitatea (-4. Astfel, orice numere c care sunt mai mari decât -3 vor îndeplini condiția.

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații

Să prezentăm o problemă care implică nu numai găsirea discriminantului, ci și rezolvarea ecuației. Este necesar să găsiți rădăcinile pentru egalitatea -2*x²+7-9*x = 0.

În acest exemplu, discriminantul este următoarea valoare: D = 81-4*(-2)*7= 137. Atunci rădăcinile ecuației se vor determina astfel: x = (9±√137)/(-4). Acestea sunt valorile exacte ale rădăcinilor, dacă calculați aproximativ rădăcina, atunci obțineți numerele: x = -5,176 și x = 0,676.

Problemă geometrică

Vom rezolva o problemă care va necesita nu numai capacitatea de a calcula discriminantul, ci și aplicarea deprinderilor gândire abstractăși cunoștințe despre cum se scrie ecuații pătratice.

Bob avea o plapumă de 5 x 4 metri. Băiatul a vrut să-i coasă o fâșie continuă de material frumos pe tot perimetrul. Cât de groasă va fi această bandă dacă știm că Bob are 10 m² de material.

Lăsați banda să aibă o grosime de x m, apoi aria țesăturii de-a lungul părții lungi a păturii va fi (5+2*x)*x și, deoarece există 2 laturi lungi, avem: 2*x *(5+2*x). Pe partea scurtă, zona țesăturii cusute va fi de 4*x, deoarece există 2 dintre aceste laturi, obținem valoarea 8*x. Rețineți că valoarea 2*x a fost adăugată laturii lungi, deoarece lungimea păturii a crescut cu acel număr. Suprafața totală a țesăturii cusute pe pătură este de 10 m². Prin urmare, obținem egalitatea: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Pentru acest exemplu, discriminantul este egal cu: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Rădăcina sa este 22. Folosind formula, găsim rădăcinile necesare: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Evident, dintre cele două rădăcini, doar numărul 0,5 este potrivit în funcție de condițiile problemei.

Astfel, fâșia de material pe care Bob o coase pe pătură va avea 50 cm lățime.

Să lucrăm cu ecuații pătratice. Acestea sunt ecuații foarte populare! În chiar vedere generală ecuația pătratică arată astfel:

De exemplu:

Aici O =1; b = 3; c = -4

Aici O =2; b = -0,5; c = 2,2

Aici O =-3; b = 6; c = -18

Ei bine, înțelegi...

Cum se rezolvă ecuații pătratice? Dacă aveți o ecuație pătratică în fața dvs. sub această formă, atunci totul este simplu. Să ne amintim cuvânt magic discriminant . Rareori un elev de liceu nu a auzit acest cuvânt! Expresia „rezolvăm printr-un discriminant” inspiră încredere și liniște. Pentru că nu trebuie să vă așteptați la trucuri de la discriminant! Este simplu și fără probleme de utilizat. Deci, formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice arată astfel:

Expresia de sub semnul rădăcinii este cea discriminant. După cum puteți vedea, pentru a găsi X, folosim doar a, b și c. Aceste. coeficienții dintr-o ecuație pătratică. Doar înlocuiți cu atenție valorile a, b și c Aceasta este formula pe care o calculăm. Să înlocuim cu semnele tale! De exemplu, pentru prima ecuație O =1; b = 3; c= -4. Aici o scriem:

Exemplul este aproape rezolvat:

Asta este.

Ce cazuri sunt posibile când se utilizează această formulă? Sunt doar trei cazuri.

1. Discriminantul este pozitiv. Aceasta înseamnă că rădăcina poate fi extrasă din ea. Dacă rădăcina este extrasă bine sau prost este o altă întrebare. Important este ceea ce se extrage în principiu. Atunci ecuația ta pătratică are două rădăcini. Două soluții diferite.

2. Discriminantul este zero. Atunci ai o soluție. Strict vorbind, aceasta nu este o singură rădăcină, ci două identice. Dar acest lucru joacă un rol în inegalități, unde vom studia problema mai detaliat.

3. Discriminantul este negativ. Dintr-un număr negativ rădăcină pătrată neextras. Oh bine. Asta înseamnă că nu există soluții.

Este foarte simplu. Și ce, crezi că este imposibil să faci o greșeală? Ei bine, da, cum...
Cele mai frecvente greșeli sunt confuzia cu valorile semnelor a, b și c. Sau mai degrabă, nu cu semnele lor (unde să ne încurcăm?), ci cu substituția valori negativeîn formula de calcul a rădăcinilor. Ceea ce ajută aici este o înregistrare detaliată a formulei cu numere specifice. Dacă există probleme cu calculele, face asta!

Să presupunem că trebuie să rezolvăm următorul exemplu:

Aici a = -6; b = -5; c = -1

Să presupunem că știi că rar primești răspunsuri prima dată.

Ei bine, nu fi leneș. Va dura aproximativ 30 de secunde pentru a scrie o linie suplimentară și numărul de erori va scădea brusc. Așa că scriem în detaliu, cu toate parantezele și semnele:

Pare incredibil de dificil să scrii cu atâta atenție. Dar doar așa pare. Încearcă. Ei bine, sau alege. Ce e mai bine, rapid sau corect? În plus, te voi face fericit. După un timp, nu va mai fi nevoie să scrieți totul atât de atent. Se va descurca de la sine. Mai ales dacă utilizați tehnici practice care sunt descrise mai jos. Acest exemplu rău cu o grămadă de minusuri poate fi rezolvat ușor și fără erori!

Aşa, cum se rezolvă ecuații pătratice prin discriminantul de care ne-am amintit. Sau au învățat, ceea ce este și bine. Știți să determinați corect a, b și c. Știi cum? atentînlocuiți-le în formula rădăcină și atent numărați rezultatul. Ai înțeles asta cuvânt cheie Aici - atent?

Cu toate acestea, ecuațiile pătratice arată adesea ușor diferit. De exemplu, așa:

Acest ecuații pătratice incomplete . Ele pot fi rezolvate și printr-un discriminant. Trebuie doar să înțelegeți corect cu ce sunt ele egale aici. a, b și c.

Ți-ai dat seama? În primul exemplu a = 1; b = -4; O c? Nu este deloc acolo! Ei bine, da, așa este. În matematică asta înseamnă că c = 0 ! Asta este. În schimb, înlocuiți zero în formulă c, si vom reusi. La fel si cu al doilea exemplu. Numai că nu avem zero aici Cu, A b !

Dar ecuațiile pătratice incomplete pot fi rezolvate mult mai simplu. Fără nicio discriminare. Să luăm în considerare prima ecuație incompletă. Ce poți face în partea stângă? Puteți scoate X din paranteze! Hai să-l scoatem.

Deci ce-i cu asta? Și faptul că produsul este egal cu zero dacă și numai dacă oricare dintre factori este egal cu zero! Nu mă crezi? Bine, atunci veniți cu două numere diferite de zero care, atunci când sunt înmulțite, vor da zero!
Nu merge? Asta este...
Prin urmare, putem scrie cu încredere: x = 0, sau x = 4

Toate. Acestea vor fi rădăcinile ecuației noastre. Ambele sunt potrivite. Când înlocuim oricare dintre ele în ecuația originală, obținem identitatea corectă 0 = 0. După cum puteți vedea, soluția este mult mai simplă decât utilizarea unui discriminant.

A doua ecuație poate fi rezolvată și simplu. Mutați 9 în partea dreaptă. Primim:

Tot ce rămâne este să extragi rădăcina din 9 și atât. Se va dovedi:

De asemenea, două rădăcini . x = +3 și x = -3.

Așa se rezolvă toate ecuațiile pătratice incomplete. Fie plasând X dintre paranteze, fie pur și simplu deplasând numărul la dreapta și apoi extragând rădăcina.
Este extrem de greu de confundat aceste tehnici. Pur și simplu pentru că în primul caz va trebui să extragi rădăcina lui X, care este cumva de neînțeles, iar în al doilea caz nu este nimic de scos din paranteze...

Acum luați notă de tehnicile practice care reduc dramatic numărul de erori. Aceleași care se datorează neatenției... Pentru care ulterior devine dureros și jignitor...

Prima numire. Nu fi leneș înainte de a rezolva o ecuație pătratică și aduce-o la forma standard. Ce înseamnă acest lucru?
Să presupunem că după toate transformările obținem următoarea ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcină! Aproape sigur vei amesteca șansele a, b și c. Construiți corect exemplul. Mai întâi, X pătrat, apoi fără pătrat, apoi termenul liber. Ca aceasta:

Și din nou, nu te grăbi! Un minus în fața unui X pătrat te poate supăra cu adevărat. E usor sa uiti... Scapa de minus. Cum? Da, așa cum a fost predat în subiectul anterior! Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu -1. Primim:

Dar acum puteți scrie în siguranță formula rădăcinilor, puteți calcula discriminantul și puteți termina de rezolvat exemplul. Decide pentru tine. Acum ar trebui să aveți rădăcinile 2 și -1.

Recepție secundă. Verificați rădăcinile! Conform teoremei lui Vieta. Nu vă fie teamă, vă explic totul! Control dura ecuaţie. Aceste. cea pe care o folosim pentru a scrie formula rădăcinii. Dacă (ca în acest exemplu) coeficientul a = 1, verificarea rădăcinilor este ușoară. Este suficient să le înmulțim. Rezultatul ar trebui să fie un membru liber, adică. în cazul nostru -2. Vă rugăm să rețineți, nu 2, ci -2! Membru gratuit cu semnul tău . Dacă nu funcționează, înseamnă că s-au încurcat deja undeva. Căutați eroarea. Dacă funcționează, trebuie să adăugați rădăcinile. Ultima si ultima verificare. Coeficientul ar trebui să fie b Cu opus familiar. În cazul nostru -1+2 = +1. Un coeficient b, care este înaintea lui X, este egal cu -1. Deci, totul este corect!
Este păcat că acest lucru este atât de simplu doar pentru exemplele în care x pătrat este pur, cu un coeficient a = 1. Dar măcar verificați astfel de ecuații! Vor fi din ce în ce mai puține erori.

Recepția a treia. Dacă ecuația ta are coeficienți fracționali, scapă de fracții! Înmulțiți ecuația cu numitor comun, așa cum este descris în secțiunea anterioară. Când lucrați cu fracții, erorile continuă să apară din anumite motive...

Apropo, am promis să simplific exemplul rău cu o grămadă de minusuri. Vă rog! Iată-l.

Pentru a nu ne confunda cu minusurile, înmulțim ecuația cu -1. Primim:

Asta este! Rezolvarea este o plăcere!

Deci, haideți să rezumam subiectul.

Sfaturi practice:

1. Înainte de a rezolva, aducem ecuația pătratică la forma standard și o construim Corect.

2. Dacă în fața pătratului X există un coeficient negativ, îl eliminăm înmulțind întreaga ecuație cu -1.

3. Dacă coeficienții sunt fracționali, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu factorul corespunzător.

4. Dacă x pătrat este pur, coeficientul său este egal cu unu, soluția poate fi ușor verificată folosind teorema lui Vieta. Fă-o!

Ecuații fracționale. ODZ.

Continuăm să stăpânim ecuațiile. Știm deja cum să lucrăm cu ecuații liniare și pătratice. Ultima vedere rămasă - ecuații fracționale. Sau sunt, de asemenea, numiți mult mai respectabil - fracționat ecuații raționale . Este același lucru.

Ecuații fracționale.

După cum sugerează și numele, aceste ecuații conțin în mod necesar fracții. Dar nu doar fracții, ci fracții care au necunoscut la numitor. Cel puțin într-una. De exemplu:

Permiteți-mi să vă reamintesc că dacă numitorii sunt numai numere, Aceasta ecuații liniare.

Cum să decizi ecuații fracționale? În primul rând, scapă de fracții! După aceasta, ecuația se transformă cel mai adesea în liniară sau pătratică. Și atunci știm ce să facem... În unele cazuri se poate transforma într-o identitate, precum 5=5 sau o expresie incorectă, precum 7=2. Dar asta se întâmplă rar. Voi mentiona asta mai jos.

Dar cum să scapi de fracții!? Foarte simplu. Aplicând aceleași transformări identice.

Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu aceeași expresie. Ca să se reducă toți numitorii! Totul va deveni imediat mai ușor. Să explic cu un exemplu. Trebuie să rezolvăm ecuația:

Cum ai fost predat în școala elementară? Mutăm totul într-o parte, îl aducem la un numitor comun etc. Uita cum vis urât! Acesta este ceea ce trebuie să faceți când adăugați sau scădeți fracții. Sau lucrezi cu inegalități. Și în ecuații, înmulțim imediat ambele părți cu o expresie care ne va oferi posibilitatea de a reduce toți numitorii (adică, în esență, cu un numitor comun). Și care este această expresie?

În partea stângă, reducerea numitorului necesită înmulțirea cu x+2. Și în dreapta, este necesară înmulțirea cu 2 Aceasta înseamnă că ecuația trebuie înmulțită cu 2(x+2). Multiplica:

Aceasta este o multiplicare comună a fracțiilor, dar o voi descrie în detaliu:

Vă rugăm să rețineți că încă nu deschid suportul (x + 2)! Deci, în întregime, o scriu:

Pe partea stângă se contractă în întregime (x+2), iar în dreapta 2. Care este ceea ce s-a cerut! După reducere obținem liniar ecuaţie:

Și toată lumea poate rezolva această ecuație! x = 2.

Să rezolvăm un alt exemplu, puțin mai complicat:

Dacă ne amintim că 3 = 3/1, și 2x = 2x/ 1, putem scrie:

Și din nou scăpăm de ceea ce nu ne place cu adevărat - fracții.

Vedem că pentru a reduce numitorul cu X, trebuie să înmulțim fracția cu (x – 2). Și câteva nu sunt o piedică pentru noi. Ei bine, hai să ne înmulțim. Toate partea stângă și toate partea dreapta:

Din nou paranteze (x – 2) Nu dezvălui. Lucrez cu paranteza ca un întreg ca și cum ar fi un număr! Acest lucru trebuie făcut întotdeauna, altfel nimic nu va fi redus.

Cu un sentiment de satisfacție profundă reducem (x – 2)și obținem o ecuație fără fracții, cu o riglă!

Acum să deschidem parantezele:

Aducem altele asemănătoare, mutam totul în partea stângă și obținem:

Ecuație pătratică clasică. Dar minusul din față nu este bun. Puteți scăpa oricând de el înmulțind sau împărțind cu -1. Dar dacă te uiți cu atenție la exemplu, vei observa că cel mai bine este să împărțiți această ecuație la -2! Într-o singură lovitură, minusul va dispărea, iar șansele vor deveni mai atractive! Împărțiți la -2. În partea stângă - termen cu termen, iar în dreapta - pur și simplu împărțim zero la -2, zero și obținem:

Rezolvăm prin discriminant și verificăm folosind teorema lui Vieta. Primim x = 1 și x = 3. Două rădăcini.

După cum puteți vedea, în primul caz, ecuația de după transformare a devenit liniară, dar aici devine pătratică. Se întâmplă ca, după ce scăpați de fracții, toate X-urile să fie reduse. Rămâne ceva, ca 5=5. Aceasta înseamnă că x poate fi orice. Orice ar fi, tot va fi redus. Și va funcționa adevărul pur, 5=5. Dar, după ce scăpați de fracții, se poate dovedi a fi complet neadevărat, cum ar fi 2=7. Și asta înseamnă că fara solutii! Orice X se dovedește a fi neadevărat.

Am realizat soluția principală ecuații fracționale? Este simplu și logic. Schimbăm expresia originală, astfel încât tot ce nu ne place să dispară. Sau interferează. În acest caz, acestea sunt fracții. Vom face la fel cu tot felul de exemple complexe cu logaritmi, sinusuri și alte orori. Noi Întotdeauna Să scăpăm de toate acestea.

Cu toate acestea, trebuie să schimbăm expresia originală în direcția de care avem nevoie conform regulilor, da... A cărui stăpânire este pregătirea pentru Examenul Unificat de Stat la matematică. Deci o stăpânim.

Acum vom învăța cum să ocolim unul dintre principalele ambuscade la examenul de stat unificat! Dar mai întâi, să vedem dacă ai căzut în asta sau nu?

Să ne uităm la un exemplu simplu:

Problema este deja familiară, înmulțim ambele părți cu (x – 2), obținem:

Vă reamintesc, cu paranteze (x – 2) Lucrăm parcă cu o singură expresie integrală!

Aici nu am mai scris unul la numitori, e nedemn... Si nu am tras paranteze la numitori, cu exceptia x – 2 nu există nimic, nu trebuie să desenezi. Să scurtăm:

Deschideți parantezele, mutați totul spre stânga și dați altele similare:

Rezolvăm, verificăm, obținem două rădăcini. x = 2Şi x = 3. Mare.

Să presupunem că sarcina spune să scrieți rădăcina sau suma lor dacă există mai multe rădăcini. Ce vom scrie?

Dacă decizi că răspunsul este 5, tu au fost pândiți în ambuscadă. Și sarcina nu vă va fi creditată. Au lucrat degeaba... Răspunsul corect este 3.

Ce s-a întâmplat?! Și încerci să faci o verificare. Înlocuiți valorile necunoscutului în original exemplu. Și dacă la x = 3 totul va crește împreună minunat, obținem 9 = 9, apoi când x = 2 Va fi împărțire cu zero! Ceea ce absolut nu poți face. Mijloace x = 2 nu este o soluție și nu este luată în considerare în răspuns. Aceasta este așa-numita rădăcină străină sau suplimentară. Pur și simplu îl aruncăm. Rădăcina finală este una. x = 3.

Cum așa?! – Aud exclamații indignate. Am fost învățați că o ecuație poate fi înmulțită cu o expresie! Aceasta este o transformare identică!

Da, identic. Sub o condiție mică - expresia prin care înmulțim (împărțim) - diferit de zero. O x – 2 la x = 2 este egal cu zero! Deci totul este corect.

Deci ce ar trebui să facem acum?! Nu înmulți prin expresie? Ar trebui să verific de fiecare dată? Din nou, nu este clar!

Calm! Nu vă panicați!

În această situație dificilă, trei litere magice ne vor salva. Știu la ce te gândești. Corect! Acest ODZ . Zona de valori acceptabile.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Bugetul municipal instituție de învățământ medie școală gimnazială № 11

Textul lucrării este postat fără imagini și formule.
Versiune completă munca este disponibilă în fila „Fișiere de lucru” în format PDF

Istoria ecuațiilor pătratice

Babilonul

Necesitatea de a rezolva ecuații nu numai de gradul I, ci și de al doilea, a fost cauzată în antichitate de nevoia de a rezolva probleme legate de găsirea suprafețelor de teren, odată cu dezvoltarea astronomiei și a matematicii în sine. Ecuațiile cuadratice au putut fi rezolvate în jurul anului 2000 î.Hr. e. babilonienii. Regulile de rezolvare a acestor ecuații, expuse în textele babiloniene, coincid în esență cu cele moderne, dar în aceste texte nu există conceptul de număr negativ și metode generale rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Grecia antică

Rezolvarea ecuațiilor pătratice s-a făcut și în Grecia antică oameni de știință precum Diophantus, Euclid și Heron. Diophantus Diophantus din Alexandria este un matematician antic grec care probabil a trăit în secolul al III-lea d.Hr. Lucrarea principală a lui Diophantus este „Aritmetica” în 13 cărți. Euclid. Euclid este un matematician antic grec, autorul primului tratat teoretic de matematică care a ajuns până la noi, Heron. Heron - matematician și inginer grec pentru prima dată în Grecia în secolul I d.Hr. oferă o modalitate pur algebrică de a rezolva o ecuație pătratică

India

Probleme privind ecuațiile pătratice se găsesc deja în tratatul astronomic „Aryabhattiam”, compilat în 499 de matematicianul și astronomul indian Aryabhatta. Un alt om de știință indian, Brahmagupta (secolul al VII-lea), a subliniat regula generala soluții de ecuații pătratice reduse la o singură formă canonică: ax2 + bx = c, a> 0. (1) În ecuația (1) coeficienții pot fi negativi. Regula lui Brahmagupta este în esență aceeași cu a noastră. Competițiile publice pentru rezolvarea problemelor dificile erau obișnuite în India. Una dintre cărțile vechi indiene spune următoarele despre astfel de competiții: „Pe măsură ce soarele eclipsează stelele cu strălucirea sa, așa om învăţatîși va eclipsa gloria în adunările publice propunând și rezolvând probleme algebrice.” Problemele erau adesea prezentate sub formă poetică.

Aceasta este una dintre problemele celebrului matematician indian din secolul al XII-lea. Bhaskars.

„Un stol de maimuțe pline de joc

Și doisprezece de-a lungul viței de vie, după ce au mâncat după pofta inimii mele, s-au distrat

Au început să sară, spânzurați

Partea a opta dintre ele este pătrat

Câte maimuțe erau?

Mă distram în poiană

Spune-mi, în pachetul ăsta?

Soluția lui Bhaskara indică faptul că autorul știa că rădăcinile ecuațiilor pătratice au două valori. Bhaskar scrie ecuația corespunzătoare problemei ca x2 - 64x = - 768 și, pentru a completa partea stângă a acestei ecuații la un pătrat, adaugă 322 la ambele părți, obținând apoi: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Ecuații cuadratice în Europa XVII secol

Formulele pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice de-a lungul liniilor lui Al-Khorezmi în Europa au fost expuse pentru prima dată în Cartea lui Abacus, scrisă în 1202 de matematicianul italian Leonardo Fibonacci. Această lucrare voluminoasă, care reflectă influența matematicii, atât din țările islamice, cât și din Grecia antică, se remarcă prin caracterul complet și claritatea prezentării. Autorul a dezvoltat în mod independent unele noi exemple algebrice rezolvarea problemelor și a fost primul din Europa care a introdus-o numere negative. Cartea sa a contribuit la răspândirea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe probleme din Cartea Abacului au fost folosite în aproape toate manualele europene din secolele XVI-XVII. și parțial XVIII. Derivarea formulei pentru rezolvarea unei ecuații pătratice în formă generală este disponibilă de la Vieth, dar Vieth a recunoscut doar rădăcini pozitive. Matematicienii italieni Tartaglia, Cardano, Bombelli au fost printre primii în secolul al XVI-lea. Pe lângă cele pozitive, se iau în considerare și rădăcinile negative. Abia în secolul al XVII-lea. Datorită muncii lui Girard, Descartes, Newton și alți oameni de știință, metoda de rezolvare a ecuațiilor pătratice capătă o formă modernă.

Definiția unei ecuații pătratice

O ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a, b, c sunt numere, se numește pătratică.

Coeficienții ecuației cuadratice

Numerele a, b, c sunt coeficienții ecuației pătratice a este primul coeficient (înainte de x²), a ≠ 0 este cel de-al doilea coeficient (înainte de x);

Care dintre aceste ecuații nu sunt pătratice??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Tipuri de ecuații pătratice

Nume	Forma generală a ecuației	Caracteristică (care sunt coeficienții)	Exemple de ecuații
	ax 2 + bx + c = 0	a, b, c - alte numere decât 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Incomplet
			x 2 - 1/5x = 0
Dat	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Redusă este o ecuație pătratică în care coeficientul principal este egal cu unu. O astfel de ecuație poate fi obținută prin împărțirea întregii expresii la coeficientul principal o:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

O ecuație pătratică se numește completă dacă toți coeficienții ei sunt nenuli.

O ecuație pătratică se numește incompletă în care cel puțin unul dintre coeficienți, cu excepția celui de început (fie al doilea coeficient, fie termenul liber), este egal cu zero.

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Metoda I Formula generală pentru calcularea rădăcinilor

Pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice topor 2 + b + c = 0 V caz general ar trebui să utilizați algoritmul de mai jos:

Calculați valoarea discriminantului unei ecuații pătratice: aceasta este expresia acesteia D= b 2 - 4ac

Derivarea formulei:

Nota: Este evident că formula pentru o rădăcină de multiplicitate 2 este un caz special al formulei generale, obținută prin substituirea egalității D=0 în ea și concluzia despre absența rădăcinilor reale la D0 și (stil de afișare (sqrt ( -1))=i) = i.

Metoda prezentată este universală, dar este departe de a fi singura. Rezolvarea unei singure ecuații poate fi abordată într-o varietate de moduri, preferințele depind de obicei de rezolvator. În plus, adesea, în acest scop, unele dintre metode se dovedesc a fi mult mai elegante, simple și mai puțin laborioase decât cea standard.

Metoda II. Rădăcinile unei ecuații pătratice cu un coeficient par b metoda III. Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Metoda IV. Folosind rapoarte parțiale ale coeficienților

Există cazuri speciale de ecuații pătratice în care coeficienții sunt în relații între ei, făcându-i mult mai ușor de rezolvat.

Rădăcinile unei ecuații pătratice în care suma coeficientului principal și a termenului liber este egală cu al doilea coeficient

Dacă într-o ecuație pătratică topor 2 + bx + c = 0 suma primului coeficient și a termenului liber este egală cu al doilea coeficient: a+b=c, atunci rădăcinile sale sunt -1 și numărul opus raportului dintre termenul liber și coeficientul principal ( -c/a).

Prin urmare, înainte de a rezolva orice ecuație pătratică, ar trebui să verificați posibilitatea de a-i aplica această teoremă: comparați suma coeficientului principal și a termenului liber cu al doilea coeficient.

Rădăcinile unei ecuații pătratice a cărei sumă a tuturor coeficienților este zero

Dacă într-o ecuație pătratică suma tuturor coeficienților săi este zero, atunci rădăcinile unei astfel de ecuații sunt 1 și raportul dintre termenul liber și coeficientul principal ( c/a).

Prin urmare, înainte de a rezolva o ecuație folosind metode standard, ar trebui să verificați aplicabilitatea acestei teoreme la aceasta: adunați toți coeficienții acestei ecuații și vedeți dacă această sumă nu este egală cu zero.

metoda V. Factorizarea unui trinom pătratic în factori liniari

Dacă trinomul este de forma (stil de afișare ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) poate fi reprezentat cumva ca un produs al factorilor liniari (stil de afișare (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), atunci putem găsi rădăcinile ecuației topor 2 + bx + c = 0- vor fi -m/k și n/l, într-adevăr, până la urmă (stil de afișare (kx+m)(lx+n)=0Săgeată lung-dreapta kx+m=0cup lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, iar după rezolvarea ecuațiilor liniare indicate, obținem cele de mai sus. Rețineți că trinom pătratic nu se descompune întotdeauna în factori liniari cu coeficienți reali: acest lucru este posibil dacă ecuația corespunzătoare are rădăcini reale.

Să luăm în considerare câteva cazuri speciale

Folosind formula sumei pătrate (diferența).

Dacă trinomul pătratic are forma (stil de afișare (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , atunci prin aplicarea formulei de mai sus, îl putem factoriza în factori liniari și , prin urmare, găsiți rădăcini:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Izolarea pătratului complet al sumei (diferența)

Formula de mai sus este folosită și folosind o metodă numită „selectarea pătratului complet al sumei (diferenței).” În raport cu ecuația pătratică de mai sus cu notația introdusă anterior, aceasta înseamnă următoarele:

Nota: Dacă observați, această formulă coincide cu cea propusă în secțiunea „Rădăcinile ecuației pătratice reduse”, care, la rândul ei, poate fi obținută din formula generală (1) prin înlocuirea egalității a=1. Acest fapt nu este doar o coincidență: folosind metoda descrisă, deși cu un raționament suplimentar, se poate deduce formula generala, și, de asemenea, să demonstreze proprietățile discriminantului.

Metoda VI. Folosind teorema Vieta directă și inversă

Teorema directă a lui Vieta (vezi mai jos în secțiunea cu același nume) și teorema sa inversă vă permit să rezolvați ecuațiile pătratice de mai sus pe cale orală, fără a recurge la calcule destul de greoaie folosind formula (1).

Conform teoremei inverse, fiecare pereche de numere (număr) (stil de afișare x_(1),x_(2))x 1, x 2, fiind o soluție a sistemului de ecuații de mai jos, sunt rădăcinile ecuației

În cazul general, adică pentru o ecuație pătratică neredusă ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

O teoremă directă vă va ajuta să găsiți numere care satisfac aceste ecuații oral. Cu ajutorul acestuia, puteți determina semnele rădăcinilor fără a cunoaște rădăcinile în sine. Pentru a face acest lucru, ar trebui să urmați regula:

1) dacă termenul liber este negativ, atunci rădăcinile au semn diferit, iar cel mai mare modul al rădăcinilor este semnul opus semnului celui de-al doilea coeficient al ecuației;

2) dacă termenul liber este pozitiv, atunci ambele rădăcini au cu acelasi semn, iar acesta este semnul opus semnului celui de-al doilea coeficient.

Metoda VII. Metoda de transfer

Așa-numita metodă de „transfer” vă permite să reduceți soluția ecuațiilor nereduse și ireductibile la forma de ecuații reduse cu coeficienți întregi, împărțindu-le la coeficientul principal la soluția ecuațiilor reduse cu coeficienți întregi. Este după cum urmează:

Apoi, ecuația este rezolvată oral în modul descris mai sus, apoi revin la variabila inițială și găsesc rădăcinile ecuațiilor (stil de afișare y_(1)=ax_(1)) y 1 =ax 1 Şi y 2 =ax 2 .(stil de afișare y_(2)=ax_(2))

Sensul geometric

Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Soluțiile (rădăcinile) unei ecuații pătratice sunt abscisele punctelor de intersecție ale parabolei cu axa absciselor. Dacă parabola descrisă funcţie pătratică, nu se intersectează cu axa x, ecuația nu are rădăcini reale. Dacă o parabolă intersectează axa x într-un punct (la vârful parabolei), ecuația are o rădăcină reală (se spune că ecuația are și două rădăcini care coincid). Dacă parabola intersectează axa x în două puncte, ecuația are două rădăcini reale (vezi imaginea din dreapta.)

coeficient dacă (stil de afișare a) o pozitiv, ramurile parabolei sunt îndreptate în sus și invers. Dacă coeficientul (stil de afișare b) bpozitiv (dacă este pozitiv (stil de afișare a) o, dacă este negativ, invers), atunci vârful parabolei se află în semiplanul stâng și invers.

Aplicarea ecuațiilor pătratice în viață

Ecuația pătratică este utilizată pe scară largă. Este folosit în multe calcule, structuri, sport și, de asemenea, în jurul nostru.

Să luăm în considerare și să dăm câteva exemple de aplicare a ecuației pătratice.

Sport. Sărituri în înălțime: în timpul alergării săritorului, calculele legate de parabolă sunt folosite pentru a obține cel mai clar impact posibil asupra barei de decolare și zborului înalt.

De asemenea, sunt necesare calcule similare la aruncare. Raza de zbor a unui obiect depinde de ecuația pătratică.

Astronomie. Traiectoria planetelor poate fi găsită folosind o ecuație pătratică.

Zborul cu avionul. Decolarea avionului este componenta principală a zborului. Aici luăm calculul pentru rezistența scăzută și accelerația decolare.

Ecuațiile pătratice sunt, de asemenea, folosite în diverse discipline economice, în programele de procesare a graficelor audio, video, vectoriale și raster.

Concluzie

Ca rezultat al muncii depuse, s-a dovedit că ecuațiile pătratice au atras oamenii de știință înapoi în timpuri străvechi, le-au întâlnit deja la rezolvarea unor probleme și au încercat să le rezolve. Având în vedere diverse moduri rezolvând ecuații pătratice, am ajuns la concluzia că nu toate sunt simple. Dupa parerea mea cel mai mult cel mai bun mod rezolvarea ecuațiilor pătratice este rezolvarea prin formule. Formulele sunt ușor de reținut, această metodă este universală. S-a confirmat ipoteza conform căreia ecuațiile sunt utilizate pe scară largă în viață și în matematică. După ce am studiat subiectul, am învățat multe fapte interesante despre ecuații pătratice, utilizarea, aplicarea lor, tipuri, soluții. Și voi fi fericit să le studiez în continuare. Sper că acest lucru mă va ajuta să mă descurc bine la examene.

Lista literaturii folosite

Materiale site:

Wikipedia

Deschideți lecția.rf

Manual de matematică elementară Vygodsky M. Ya.