Reprezentarea grafică a câmpului electrostatic. Linii electrice

Reprezentare grafică câmpurile care utilizează vectori de intensitate în diferite puncte ale câmpului este foarte incomod. Vectorii de tensiune se suprapun unul pe altul, iar rezultatul este o imagine foarte confuză. Metoda de reprezentare a câmpurilor electrice folosind linii de forță, propusă de Faraday, este mai vizuală.

Liniile de tensiune (liniile de câmp) sunt linii desenate în câmp astfel încât tangentele la ele în fiecare punct să coincidă în direcție cu vectorul intensității câmpului într-un punct dat (Fig. 8).

Liniile de tensiune nu se intersectează, pentru că în fiecare punct al câmpului vectorul de intensitate are o singură direcție. Figura 9 prezintă câmpurile electrostatice ale sarcinilor punctiforme și un dipol și un plan infinit de mare.

Fie că sarcina q se mișcă de-a lungul unui plan infinit încărcat uniform de la punctul 1 la punctul 2. Liniile câmpului câmp electrostatic iar vectorul intensitate al acestui câmp sunt direcționați perpendicular pe plan (Fig. 9). Să calculăm munca forțelor electrice atunci când deplasăm o sarcină.

, pentru că

Dar aceeași muncă ar putea fi determinată folosind ecuația. Și deoarece este egal cu zero, potențialele câmpului în punctele 1 și 2 sunt egale. În consecință, suprafețe cu potențial egal, adică echipotenţială şi suprafeţe situate de-a lungul planului şi normale cu liniile de tensiune. Acest lucru este valabil și pentru câmpul unei încărcări punctiforme, câmpul unei bile încărcate fie peste suprafață, fie peste volum și alte câmpuri.

Astfel, liniile de tensiune sunt întotdeauna normale suprafete echipotentiale, adică suprafete cu potential egal.

Figura 9 arată că câmpurile sarcinilor punctiforme au simetria centrală. Liniile de tensiune sunt drepte, ele părăsesc sarcina dacă este pozitivă și intră în sarcină dacă este negativă. Prin urmare, o sarcină pozitivă poate fi considerată începutul liniilor de tensiune, iar o sarcină negativă poate fi considerată locul unde acestea se termină. Tangentele la liniile de forță coincid cu liniile în sine și sunt direcționate în fiecare punct al câmpului în aceeași direcție cu tensiunea.

În cazul unui dipol, aceste linii sunt curbe. Este de remarcat faptul că în toate aceste cazuri câmpurile electrostatice sunt neuniforme - în fiecare punct al câmpului intensitatea diferă atât ca mărime, cât și ca direcție. Este evident că liniile unui câmp omogen sunt drepte paralele cu vectorul intensitate.

Numărul de linii electrice conduse în spațiu nu este limitat în niciun fel. Liniile de tensiune, în timp ce caracterizează direcția tensiunii, nu caracterizează mărimea tensiunii. Cu toate acestea, puteți introduce o condiție care conectează magnitudinea tensiunii cu numărul de linii de forță conduse. Acolo unde este mai multă tensiune, liniile sunt desenate mai groase, iar acolo unde este mai puțină tensiune, liniile sunt desenate mai puțin dens. Se acceptă că numărul de linii care trec printr-o suprafață unitară, care este situată perpendicular pe liniile de forță, este egal cu valoarea numerică a tensiunii.

Număr total liniile de tensiune care pătrund pe o anumită suprafață vor fi numite flux de tensiune prin această suprafață.

Obținem o ecuație de calcul a fluxului de tensiune – N E . Mai întâi, determinăm fluxul de tensiune printr-o zonă elementară situată la un anumit unghi față de vectorul de tensiune (Fig. 10).

Reprezentarea câmpului electrostatic folosind vectori de intensitate în diferite puncte ale câmpului este foarte incomod, deoarece imaginea se dovedește a fi foarte confuză. Faraday a propus o metodă mai simplă și mai vizuală pentru a descrie câmpul electrostatic folosind linii de tensiune sau linii electrice. Linii electrice se numesc curbe ale căror tangente în fiecare punct coincid cu direcţia vectorului intensităţii câmpului (fig. 1.2). Direcția liniei câmpului coincide cu direcția. Liniile de forță încep la sarcini pozitive si se termina in negativ. Liniile câmpului nu se intersectează, deoarece în fiecare punct al câmpului vectorul are o singură direcție. Un câmp electrostatic este considerat uniform dacă intensitatea în toate punctele sale este aceeași ca mărime și direcție. Liniile de forță ale unui astfel de câmp sunt drepte paralele cu vectorul intensitate.

Liniile de forță ale câmpului sarcinilor punctiforme sunt drepte radiale care ies din sarcină și merg la infinit dacă aceasta este pozitivă (Fig. 1.3a). Dacă sarcina este negativă, direcția liniilor câmpului se dovedește a fi inversă: ele încep la infinit și se termină la sarcina -q (Fig. 1.3b). Câmpul sarcinilor punctuale are simetrie centrală.

Fig.1.3.

Liniile de tensiune ale sarcinilor punctiforme: a - pozitiv, b - negativ.

Figura 1.3 prezintă secțiuni plate ale câmpurilor electrostatice ale unui sistem de două sarcini de mărime egală: a) sarcini de același semn, b) sarcini de semn diferit.

Sarcina principală a electrostaticei este de a determina mărimea și direcția vectorului de intensitate în fiecare punct al câmpului, creat fie de un sistem de sarcini punctuale staționare, fie de suprafețe încărcate de formă arbitrară. Să considerăm primul caz, când câmpul este creat de un sistem de sarcini q 1, q 2,..., q n. Dacă o sarcină de testare q 0 este plasată în orice punct al acestui câmp, atunci forțele coulombiane vor acționa asupra ei din partea sarcinilor q 1, q 2,..., q n. Conform principiului independenței acțiunii forțelor, considerat în mecanică, forța rezultantă este egală cu suma vectorială a acestora.

.

Folosind formula pentru intensitatea câmpului electrostatic, partea stângă a egalității poate fi scrisă: , unde este intensitatea câmpului rezultat creat de întregul sistem de sarcini în punctul în care se află sarcina de testareq 0. Partea dreaptă a egalității poate fi scrisă în consecință , unde este intensitatea câmpului creat de o sarcină q i . Egalitatea va lua forma . Reducând cu q 0, obținem .

Intensitatea câmpului electrostatic a unui sistem de sarcini punctiforme este egală cu suma vectorială a intensităților câmpului create de fiecare dintre aceste sarcini separat. Aceasta este principiul independenței de acțiune a câmpurilor electrostatice sau principiul suprapunerii (suprapuneri) câmpuri .

Să notăm cu vectorul rază tras de la sarcina punctiformă q i până la punctul de câmp studiat. Intensitatea câmpului din acesta din sarcina q i este egală cu . Atunci tensiunea rezultată creată de întregul sistem de sarcini este egală cu . Formula rezultată este de asemenea aplicabilă pentru calcularea câmpurilor electrostatice ale corpurilor încărcate de formă arbitrară, deoarece orice corp poate fi împărțit în părți foarte mici, fiecare dintre acestea putând fi considerată o sarcină punctiformă q i. Apoi, calculul în orice punct al spațiului va fi similar cu cel de mai sus.

Există foarte mod convenabil descriere vizuală câmp electric. Această metodă se reduce la construirea unei rețele de linii, cu ajutorul căreia sunt descrise mărimea și direcția intensității câmpului în diferite puncte din spațiu.

Să selectăm un punct din câmpul electric (Fig. 31, a) și să desenăm un mic segment de linie dreaptă din acesta, astfel încât direcția sa să coincidă cu direcția câmpului în punctul . Apoi, dintr-un punct al acestui segment, desenăm un segment, a cărui direcție coincide cu direcția câmpului în punctul respectiv, etc. Obținem o linie întreruptă care arată ce direcție are câmpul în punctele acestei linii.

Orez. 31. a) linie întreruptă, care arată direcția câmpului în doar patru puncte, b) O linie întreruptă care arată direcția câmpului în șase puncte. c) O linie care arată direcția câmpului în toate punctele. Linia întreruptă arată direcția câmpului în punctul respectiv

Linia întreruptă construită în acest fel nu determină cu exactitate direcția câmpului în toate punctele. Într-adevăr, segmentul este direcționat precis de-a lungul câmpului doar într-un punct (prin construcție); dar în alt punct de pe același segment câmpul poate avea o direcție ușor diferită. Această construcție va transmite, totuși, direcția câmpului mai precis decât prieten mai apropiat unul față de celălalt punctele selectate. În fig. În Fig. 31b, direcția câmpului este reprezentată nu pentru patru, ci pentru șase puncte, iar imaginea este mai precisă. Imaginea direcției câmpului va deveni destul de precisă atunci când punctele de întrerupere se vor apropia la nesfârșit. În acest caz, linia întreruptă se transformă într-o curbă netedă (Fig. 31, c). Direcția tangentei la această dreaptă în fiecare punct coincide cu direcția intensității câmpului în acest punct. Prin urmare, se numește de obicei linia câmpului electric. Astfel, orice linie trasată mental într-un câmp, direcția tangentei la care în orice punct coincide cu direcția intensității câmpului în acest punct, se numește linie de câmp electric.

Dintre cele două direcții opuse determinate de tangentă, vom fi întotdeauna de acord să alegem direcția care coincide cu direcția forței care acționează asupra sarcinii pozitive și vom marca această direcție în desen cu săgeți.

În general, liniile câmpului electric sunt curbe. Cu toate acestea, pot exista și linii drepte. Exemple de câmp electric descris prin linii drepte sunt câmpul unei sarcini punctiforme, aflată la distanță de alte sarcini (Fig. 32) și câmpul unei bile încărcate uniform, de asemenea îndepărtată de alte corpuri încărcate (Fig. 33).

Orez. 32. Liniile de câmp ale unei sarcini punctuale pozitive

Orez. 33. Liniile de câmp ale unei mingi încărcate uniform

Folosind linii de câmp electric, puteți nu numai să descrieți direcția câmpului, ci și să caracterizați modulul intensității câmpului. Să luăm din nou în considerare câmpul unei sarcini punctuale (Fig. 34). Liniile acestui câmp sunt linii drepte radiale divergente de la sarcină în toate direcțiile. Din locația încărcăturii, ca și din centru, vom construi o serie de sfere. Toate liniile de câmp trasate de noi trec prin fiecare dintre ele. Deoarece aria acestor sfere crește proporțional cu pătratul razei, adică pătratul distanței până la sarcină, numărul de linii care trec printr-o unitate de suprafață a sferelor scade pe măsură ce pătratul sferelor. distanta pana la sarcina. Pe de altă parte, știm că și intensitatea câmpului electric scade. Prin urmare, în exemplul nostru, putem judeca intensitatea câmpului după numărul de linii de câmp care trec printr-o unitate de suprafață perpendiculară pe aceste linii.

Orez. 34. Sfere desenate în jurul unei sarcini punctiforme pozitive. Fiecare dintre ele arată un singur site

Dacă sarcina ar fi luată de două ori mai mare, atunci intensitatea câmpului în toate punctele ar crește cu un factor. Prin urmare, pentru ca în acest caz să putem judeca intensitatea câmpului după densitatea liniilor de câmp, suntem de acord să tragem mai multe linii din sarcină, cu atât sarcina este mai mare. Cu această metodă de imagistică, densitatea liniilor de câmp poate servi pentru a descrie cantitativ intensitatea câmpului. Vom retine aceasta metoda de reprezentare in cazul in care campul nu este format dintr-o singura sarcina, ci are un caracter mai complex.

Este de la sine înțeles că numărul de linii pe care le trasăm printr-o suprafață unitară pentru a descrie un câmp de o anumită intensitate depinde de arbitrarul nostru. Este necesar doar ca atunci când înfățișați zone diferite a aceluiași câmp sau la înfățișarea mai multor câmpuri în comparație între ele, s-a păstrat densitatea liniilor adoptată pentru înfățișarea unui câmp a cărui putere este egală cu unitatea.

În desene (de exemplu, în Fig. 35) este posibil să se descrie nu distribuția liniilor de câmp în spațiu, ci doar o secțiune transversală a imaginii acestei distribuții după planul desenului, ceea ce va face posibilă pentru a obține așa-numitele „hărți electrice”. Astfel de hărți oferă o reprezentare vizuală a modului în care un anumit câmp este distribuit în spațiu. Acolo unde intensitatea câmpului este mare, liniile sunt trase dens, acolo unde câmpul este slab, densitatea liniilor este mică.

Orez. 35. Liniile de câmp între plăci încărcate opus. Intensitatea câmpului: a) minimă – densitatea liniilor de câmp este minimă; 6) medie – densitatea liniilor de câmp este medie; c) cea mai mare – densitatea liniilor de câmp este maximă

Un câmp a cărui putere în toate punctele este aceeași ca mărime și direcție se numește omogen. Liniile omogene de câmp sunt drepte paralele. În desene, un câmp omogen va fi reprezentat și printr-o serie de drepte paralele și echidistante, cu cât este mai dens, cu atât câmpul pe care acestea îl reprezintă este mai puternic (Fig. 35).

Rețineți că lanțurile formate de boabele din experimentul din § 13 au aceeași formă ca liniile câmpului. Acest lucru este natural, deoarece fiecare bob alungit este situat în direcția intensității câmpului în punctul corespunzător. Prin urmare Fig. 26 și 27 sunt ca hărți ale liniilor de câmp electric între plăci paralele și lângă două bile încărcate. Folosind corpuri diverse forme, cu ajutorul unor astfel de experimente este posibil să se găsească cu ușurință modele de distribuție a liniilor de câmp electric pentru diferite câmpuri.

O b

Cunoscând vectorul intensității câmpului electrostatic în fiecare dintre punctele sale, puteți reprezenta vizual acest câmp folosind linii de intensitate a câmpului (linii vectoriale ). Liniile de tensiune sunt trasate astfel încât tangenta la ele în fiecare punct să coincidă cu direcția vectorului de tensiune (Fig. 1.4, O).

Numărul de linii care străpung o unitate de suprafață dS perpendicular pe ele este trasat proporțional cu modulul vectorial (Fig. 1.4, b).

Linilor de forță li se atribuie o direcție care coincide cu direcția vectorului . Imaginea rezultată a distribuției liniilor de tensiune ne permite să judecăm configurația unui câmp electric dat în diferitele sale puncte. Liniile de forță încep la sarcini pozitive și se termină la sarcini negative. În fig. Figura 1.5 prezintă liniile de tensiune ale sarcinilor punctiforme (Fig. 1.5, O, b); sisteme de două sarcini opuse (Fig. 1.5, V) este un exemplu de câmp electrostatic neuniform și două plane paralele încărcate opus (Fig. 1.5, G) este un exemplu de câmp electric uniform.

1.5. Distribuția taxelor

În unele cazuri, pentru a simplifica calculele matematice, este convenabil să înlocuiți distribuția adevărată a sarcinilor punctiforme discrete cu o distribuție continuă fictivă.

(1.12)

La trecerea la o distribuție continuă a sarcinilor, se folosește conceptul de densitate de sarcină - liniar , suprafață  și volumetric , i.e.
unde dq este sarcina distribuită corespunzător pe elementul de lungime

Luând în considerare aceste distribuții, formula (1.11) poate fi scrisă într-o formă diferită. De exemplu, dacă sarcina este distribuită pe volum, atunci în loc de q i trebuie să utilizați dq = dV și să înlocuiți simbolul sumei cu o integrală, atunci

. (1.13)

1.6. Dipol electric

Pentru a explica fenomenele asociate cu sarcinile în fizică, este folosit conceptul dipol electric.

Un sistem de două sarcini punctuale opuse de dimensiuni egale, distanța dintre care este mult mai mică decât distanța până la punctele spațiului studiat, se numește dipol electric. Conform definiției unui dipol +q=q= q.

Linia dreaptă care leagă spre deosebire de sarcini (poli) se numește axa dipolului; punctul 0 este centrul dipolului (Fig. 1.6). Un dipol electric se caracterizează prin brațul dipolului: vector , direcționat de la sarcina negativă la cea pozitivă. Caracteristica principală a unui dipol este moment dipol electric = q . (1.14)

Prin valoare absolută

p = q . (1.15)

În SI, momentul dipolului electric este măsurat în coulombs ori pe metru (C m).

Să calculăm potențialul și intensitatea câmpului electric al unui dipol, considerându-l un punct unu, dacă  r.

Potențial de câmp electric creat de un sistem de sarcini punctuale într-un punct arbitrar caracterizat printr-un vector cu rază , o scriem sub forma:

unde r 1 r 2  r 2 , r 1  r 2  r =
, pentru că r;   unghiul dintre vectorii cu rază Şi (Fig. 1.6) . Ținând cont de asta, obținem

. (1.16)

Folosind formula care raportează gradientul de potențial la intensitate, vom găsi intensitatea creată de câmpul electric al dipolului. Să extindem vectorul electric câmpurile dipolare în două componente reciproc perpendiculare, adică
(Fig. 1. 6).

Prima dintre ele este determinată de mișcarea unui punct caracterizat de vectorul rază (pentru o valoare fixă ​​a unghiului), adică găsim valoarea lui E  prin diferențierea (1.81) față de r, i.e.

. (1.17)

A doua componentă este determinată de mișcarea punctului asociată cu modificarea unghiului  (pentru un r fix), adică E  se va găsi prin diferențierea (1.16) față de :
, (1.18)

Unde
,d = rd.

Tensiunea rezultată E 2 = E  2 + E  2 sau după înlocuire
. (1.19)

Comentariu: La  = 90 o
, (1.20)

adică tensiunea într-un punct de pe o linie dreaptă care trece prin centrul dipolului (adică O) și perpendicular pe axa dipolului.

La  = 0 o
, (1.21)

adică într-un punct de pe continuarea dreptei care coincide cu axa dipolului.

Analiza formulelor (1.19), (1.20), (1.21) arată că intensitatea câmpului electric al unui dipol scade cu distanța în proporție inversă cu r 3, adică mai rapid decât pentru o sarcină punctiformă (invers proporțional cu r 2).