Metoda Monte Carlo(Metode Monte Carlo, MMC) este denumirea generală a unui grup de metode numerice bazate pe obținerea unui număr mare de realizări ale unui proces stocastic (aleatoriu), care este format în așa fel încât caracteristicile sale probabilistice să coincidă cu valori similare a problemei care se rezolvă. Folosit pentru rezolvarea problemelor din diverse domenii ale fizicii, chimiei, matematicii, economiei, optimizarii, teoria controlului etc.

Poveste

Algoritmul lui Buffon pentru determinarea Pi

Variabile aleatorii au fost folosite pentru a rezolva diverse probleme aplicate de destul de mult timp. Un exemplu este metoda de determinare a numărului Pi, care a fost propusă de Buffon încă din 1777. Esența metodei a fost de a arunca o lungime de ac L pe un plan trasat de drepte paralele situate la distanță r unul de altul (vezi fig. 1).

Poza 1. metoda lui Buffon

Probabilitate (după cum se poate vedea din contextul ulterioară, nu vorbim despre probabilitate, ci despre așteptarea matematică a numărului de intersecții dintr-un experiment; aceasta devine probabilitate numai dacă r>L) că segmentul intersectează linia este legat de numărul Pi:

, Unde

A- distanta de la inceputul acului pana la cea mai apropiata linie dreapta;

θ este unghiul acului în raport cu liniile drepte.

Este ușor să luați această integrală: (cu condiția ca r>L), prin urmare, numărând proporția segmentelor care intersectează liniile, putem determina aproximativ acest număr. Pe măsură ce numărul de încercări crește, acuratețea rezultatului obținut va crește.

În 1864, căpitanul Fox, în timp ce se recupera după o accidentare, pentru a se ocupa cumva, a efectuat un experiment de aruncare a unui ac. Rezultatele sunt prezentate în următorul tabel:

	Numărul de aruncări	Numărul de intersecții	Lungimea acului	Distanța dintre linii	Rotație	Valoarea Pi
Prima încercare					absent
A doua încercare					prezent
A treia încercare					prezent

Comentarii:

Rotația plană a fost folosită (și, după cum arată rezultatele, cu succes) pentru a reduce eroarea sistematică.

În a treia încercare, lungimea acului a fost mai mare decât distanța dintre linii, ceea ce a făcut posibilă, fără a crește numărul de aruncări, creșterea efectivă a numărului de evenimente și îmbunătățirea preciziei.

Relația dintre procesele stocastice și ecuațiile diferențiale

Crearea aparatului matematic al metodelor stocastice a început la sfârșitul secolului al XIX-lea. În 1899, Lord Rayleigh a arătat că o mers aleatorie unidimensională pe o rețea infinită ar putea oferi o soluție aproximativă unei ecuații diferențiale parabolice. Andrei Kolmogorov în 1931 a dat un mare impuls dezvoltării abordărilor stocastice pentru rezolvarea diferitelor probleme matematice, deoarece a reușit să demonstreze că lanțurile Markov sunt legate de anumite ecuații integro-diferențiale. În 1933, Ivan Petrovsky a arătat că mersul aleatoriu care formează un lanț Markov este legat asimptotic de soluția unei ecuații diferențiale parțiale eliptice. După aceste descoperiri, a devenit clar că procesele stocastice pot fi descrise prin ecuații diferențiale și, în consecință, studiate folosind metode matematice bine dezvoltate pentru rezolvarea acestor ecuații la acel moment.

Nașterea metodei Monte Carlo la Los Alamos

Mai întâi, Enrico Fermi în anii 1930 în Italia, iar apoi John von Neumann Stanislaw Ulam în anii 1940 în Los Alamos, au sugerat că este posibil să se folosească legătura dintre procesele stocastice și ecuațiile diferențiale „în direcția opusă”. Ei au propus utilizarea unei abordări stocastice pentru a aproxima integralele multidimensionale în ecuațiile de transport care au apărut în legătură cu problema mișcării neutronilor într-un mediu vizotrop.

Ideea a fost dezvoltată de Ulam, care, în mod ironic, la fel ca Fox, se lupta cu leneșa forțată în timp ce se afla în stare de convalescență de la boală și, în timp ce juca un solitaire, s-a întrebat care este probabilitatea ca jocul de solitaire să „funcționeze”. El a venit cu ideea că, în loc să folosească considerațiile obișnuite ale combinatoriei pentru astfel de probleme, ar putea pur și simplu să efectueze „experimentul” de un număr mare de ori și, astfel, numărând numărul de rezultate de succes, să estimeze probabilitatea acestora. El a propus, de asemenea, utilizarea calculatoarelor pentru calculele Monte Carlo.

Apariția primelor calculatoare electronice, care puteau genera numere pseudoaleatoare cu viteză mare, a extins dramatic gama de probleme pentru care abordarea stocastică s-a dovedit a fi mai eficientă decât alte metode matematice. După aceasta, a avut loc o mare descoperire și metoda Monte Carlo a fost folosită în multe probleme, dar utilizarea ei nu a fost întotdeauna justificată din cauza numărului mare de calcule necesare pentru a obține un răspuns cu o precizie dată.

Anul nașterii metodei Monte Carlo este considerat a fi 1949, când a fost publicat articolul lui Metropolis și Ulam „Metoda Monte Carlo”. Denumirea metodei provine de la numele orașului din Principatul Monaco, cunoscut pentru numeroasele sale cazinouri, deoarece ruleta este unul dintre cei mai cunoscuți generatori de numere aleatoare. Stanislaw Ulam scrie în autobiografia sa, Adventures of a Mathematician, că numele a fost sugerat de Nicholas Metropolis în onoarea unchiului său, care era un jucător de noroc.

Această postare te va ajuta să ieși dintr-o situație destul de lipicioasă. Să presupunem că ești încuiat într-o cameră, ai o țesătură de ață și un ac și ți se cere constant să calculezi valoarea aproximativă a unui număr Pi, folosind doar aceste obiecte, ei bine, orice se poate întâmpla, știi. Așa că, astăzi, în timp ce ascultam un curs despre matan la Universitatea din Pennsylvania, am învățat brusc cum să fac asta. Ceea ce nici nu mi-am putut imagina a fost acel număr Pi se ascunde și aici. S-a dovedit că rădăcinile acestei întrebări se întorc în secolul al XVIII-lea, când Georges-Louis Leclerc de Buffon și-a propus următoarea sarcină: „să presupunem că podeaua este făcută din fâșii de lemn de două culori, ele alternează; Care este probabilitatea ca un ac aruncat să cadă în așa fel încât să intersecteze linia unde cele două benzi se unesc?” O simulare a acestui proces și răspunsul la întrebare pot fi găsite sub tăietură.

Simulare

Pentru a nu strica intriga, să începem cu un experiment. Deci, avem multe ace de lungime Lși o sferă de ață verde. Să aplicăm un anumit număr de segmente paralele de lungime egală pe suprafața de la distanță L unul de altul.

Să aruncăm 100 de ace pe acest câmp.

Poate nu suficient. Să mai adăugăm încă 900 și să marchem acele acele care încrucișează firele cu roșu.

Să presupunem că nu aruncăm toate acele deodată, ci unul câte unul și la fiecare pas am înregistrat raportul dintre numărul de ace care au aterizat pe fire și numărul total de ace aruncate, obținând astfel o aproximare din ce în ce mai mare a probabilitatea ca acul, căzând, să traverseze firul .

Dacă arunci 10.000 de ace, imaginea va fi mai precisă.

Acum să facem următoarea transformare: împărțim cele două la fiecare număr din seria rezultată.

Pentru 10.000 de ace este deja mai precis.

Dacă găsim media ultimilor cinci mii de termeni ai seriei, obținem 3.141685 , în timp ce pi este egal cu 3.141593 .

În general, nu mai este un secret pentru nimeni că ultima serie converge către număr Pi. Dar cum s-ar putea întâmpla asta? Am aflat despre asta când aveam 28 de ani de la cursul de mai sus. Să ne scufundăm în matan.

Teorie

Vom lua în considerare acul și linia cea mai apropiată de el în dreapta. Să notăm distanța de la capătul stâng al acului h, unghiul de abatere de la linie - A.

Evident, lungimea piciorului opus față de unghi A va fi egal cu sinusul unghiului înmulțit cu lungimea ipotenuzei. Atunci putem afirma că dacă h mai mic sau egal cu piciorul opus unghiului A, apoi acul traversează firul. Să desenăm un grafic:

Dacă socotim pentru fiecare ac aruncat hȘi Ași marcați aceste puncte pe graficul anterior, imaginea va fi după cum urmează:

Astfel, probabilitatea ca acul să traverseze firul va fi egală cu raportul dintre aria figurii de sub grafic și aria dreptunghiului, adică Pi, înmulțit cu lungimea acului.

De aici obținem aproximarea dorită a numărului Pi, așa cum a arătat experiența din prima parte.

PROBLEMA LUI BUFFON

despre un ac - o problemă clasică în teorie probabilități geometrice, considerat pe bună dreptate punctul de plecare al dezvoltării acestei teorii. A fost observat pentru prima dată de J. Buffon în 1733 și reprodus împreună cu soluția din. J. Buffon a considerat următoarea situație: un ac de lungimea a este aruncat la întâmplare pe o linie trasată de linii paralele distanțate la o distanță a. Ce înseamnă că acul traversează una dintre paralelele trasate? Evident, poziția acului este determinată de distanța de la centrul său până la cea mai apropiată linie dreaptă și de unghiul ascuțit făcut de ac cu o perpendiculară pe această linie. Valoarea se află între zero și - între zero și . Se presupune că punctul este distribuit uniform în dreptunghiul corespunzător (acest lucru este echivalent cu faptul că variabilele aleatoare xi sunt independente și uniform distribuite pe și). Atunci probabilitatea necesară este definită ca zonele corespunzătoare rezultatelor favorabile și tuturor rezultatelor posibile și este egală cu

La un moment dat B. z. a servit drept bază pentru verificarea experimentală teoremele lui Bernoulli.Într-adevăr, dacă acul este aruncat dintr-o dată și în cazurile în care acul traversează una dintre linii, atunci frecvența la valori mari, conform teoremei lui Bernoulli, ar trebui să fie aproape de probabilitate (*). Această considerație a fost folosită de mulți cercetători pentru a determina numărul i prin metoda testelor aleatorii (vezi,). J. Buffon a luat în considerare și alte probleme similare, în special problema probabilității ca un ac să se intersecteze drepte aparținând a două sisteme reciproc perpendiculare, care împart planul în dreptunghiuri cu laturile ai. b, respectiv. Răspunsul lui J. Buffon la această problemă este incorect. Răspuns corect:

a fost indicat de P. Laplace (PLaplace) în 1812.

Lit.: Buffon G., Essai d'arithmetique morale a „1” Histoire Naturelle”, v. 4 1777; Usрensky J.V., Introduction to mathematical Probability, N.Y.-L., 1937; Kendall M., Moran P., Geometric Probabilities, trad. din engleză, M., 1972. A. V. Prohorov.

VALEA POUSSIN METODA DE SUMARE- una dintre metodele de însumare a seriilor de numere; notat cu simbolul ( V.P.). Numeric

însumată prin metoda Ballet Poussin la număr S, dacă relația se menține

Metoda a fost propusă de C. Ballet Poussin. Pentru seria de funcții Fourier, Ballet Poussin înseamnă (vezi de asemenea Balet Poussin singular. integrală).avea

Așa-zisul Balet Poussin. V.P.m.s. este metoda de însumare obișnuită. Această metodă este mai puternică decât întreaga combinație Metode de însumare Cesaro(cm. Activarea metodelor de sumă). Datorită proprietăților aproximative slabe ale lui V. G1. Domnișoară. practic nu are aplicație în teoria aproximării funcțiilor.

Lit.: La Va11ee Poussin C h. J., "Bull. Acad. de Belgique", 1908, or. 3; Xapdi G., Seria divergentă, trad. din engleză, M., 1951: Gronwall T., "J. reine und angew. Math.", 1917, Bd 147, S. 16-35. A. A. Zaharov.

Enciclopedie matematică. - M.: Enciclopedia Sovietică. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Vedeți care este „PROBLEMA BUFFON” în alte dicționare:

1. Conceptul de stil. S. a determinat istoric unitatea estetică de conținut și diverse aspecte ale formei artistice, dezvăluind conținutul operei. S. apare ca urmare a „dezvoltării artistice” a anumitor aspecte ale social... Enciclopedie literară

Acest termen are alte semnificații, vezi Monte Carlo (sensuri). Metoda Monte Carlo (metode Monte Carlo, MMK) este denumirea generală a unui grup de metode numerice bazate pe obținerea unui număr mare de realizări ale stocastice (aleatorie) ... ... Wikipedia

- (din Bio... și...Logia este un set de științe despre natura vie. Subiectul de studiu îl reprezintă toate manifestările vieții: structura și funcțiile ființelor vii și ale comunităților lor naturale, distribuția, originea și dezvoltarea lor, legături între ele și cu neînsuflețite……

O ramură a matematicii în care unele caracteristici numerice speciale („măsuri”) sunt studiate pentru mulțimi de puncte, drepte, plane și alte obiecte geometrice, calculate, de regulă, folosind integrare. În acest caz, „măsura” ar trebui... Marea Enciclopedie Sovietică

ANATOMIE COMPARATĂ- se ocupa de studiul comparativ al organelor animale iar 43S stabileste morfologia acestora. asemănarea pe baza originii lor comune (omologie). Astfel S. a. face posibilă stabilirea naturii istorice (filogenie) a legăturilor familiale... Marea Enciclopedie Medicală

- (din grecescul óikos locuință, reședință și ... Logia) știință biologică care studiază organizarea și funcționarea sistemelor supraorganistice la diferite niveluri: populații, specii, biocenoze (comunități), ecosisteme, biogeocenoze și biosfera.... . .. Marea Enciclopedie Sovietică

Renumit matematician și fizician englez (1643 1727). Născut în satul Woolsthorpe, lângă Grantan, în Lincolnshire, la câteva luni după moartea tatălui său. Fiind născut prematur, era foarte slab și la început a arătat puține speranțe...

Legea lui Newton a T. universal poate fi formulată după cum urmează: fiecare atom interacționează cu fiecare alt atom, în timp ce forța de interacțiune (atracție) este întotdeauna direcționată de-a lungul unei linii drepte care leagă atomii, iar mărimea lui se schimbă... ... Dicţionar enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron

- (Diderot) Denis (1713 1784) Filosof și ideolog francez al Iluminismului, scriitor, teoretician al artei, șef al enciclopediștilor. Lucrări principale: traducere gratuită a autorului și comentariu asupra operei lui A.E.K. Shaftesbury „O anchetă asupra demnității și... Istoria filosofiei: Enciclopedia

- (Diderot) Denis (1713 1784) Filosof și ideolog francez al Iluminismului, scriitor, teoretician al artei, șef al enciclopediștilor. Lucrări principale: traducere gratuită a autorului și comentariu asupra operei lui A.E.K. Shaftesbury „O anchetă asupra demnității și... Cel mai recent dicționar filozofic

Planul este căptușit cu drepte paralele. Distanța dintre oricare două linii drepte adiacente este egală cu 1. Un ac de lungime fixă ​​cade pe un plan l (l ≤ 1).

Găsi probabilitatea cu care acul intersectează cel puțin una dintre drepte (adică are puncte comune cu cel puțin una dintre linii).
Presupunem că acul nu are grosime (este doar un segment) și că cade și se întinde plat pe plan și nu se lipește în el.

Sfat 1

Ce se înțelege prin probabilitatea unui eveniment?

1. În primul rând, să cădem de acord asupra a ceea ce înțelegem prin eveniment. Să realizăm o serie de experimente - teste identice, în fiecare dintre acestea fiind folosite aceleași condiții inițiale, iar rezultatul următorului test nu depinde în niciun fel de rezultatele celor anterioare. Exemple de manuale: aruncarea unei monede „perfecte”, aruncarea unui zar „perfect”. Sau, ca în problema noastră, aruncarea unui ac pe un avion căptușit.

Fiecare test are diferit rezultate elementare. De exemplu, aruncarea unui număr de la 1 la 6 în exemplul cu zaruri. Eveniment un subset al setului de rezultate elementare se numește. De exemplu, „rola 2”. Sau „da un număr impar” (adică, un 1, 3 sau 5). Puteți lua în considerare teste mai complexe, cum ar fi aruncarea a cinci monede. Aici rezultatele elementare vor fi: „au căzut cinci capete”, „au căzut patru capete și o coadă” și așa mai departe. Ca eveniment, putem lua în considerare, de exemplu, următoarele: „au căzut cel puțin trei capete”.

În problema noastră, un test este o aruncare a unui ac, iar evenimentul de care avem nevoie este intersecția a cel puțin unei linii.

2. Sub probabilitatea unui eveniment putem înțelege raportul dintre numărul de rezultate favorabile acestui eveniment și numărul tuturor rezultatelor posibile (de aici rezultă că probabilitatea este întotdeauna un număr de la 0 la 1). De exemplu, probabilitatea ca evenimentul „să arunce un număr impar” atunci când se aruncă un zar este 1/2, deoarece exact jumătate din toate rezultatele posibile se potrivesc. Probabilitatea evenimentului „cel puțin trei capete” atunci când aruncați 5 monede este de asemenea de 1/2.

Această definiție a probabilității funcționează bine atunci când setul de rezultate posibile este finit. Dar în problema noastră există infinit de multe rezultate - pozițiile acului căzut. Și există, de asemenea, o infinitate de rezultate potrivite. Cum să fii? Să ne adaptăm puțin „definiția”: probabilitatea unui eveniment- aceasta este ponderea pe care rezultatele favorabile „ocupă” în ansamblul tuturor rezultatelor. Cu această „definiție” este deja posibil să se calculeze probabilitatea necesară în problemă.

Sincer să fiu, tot ce s-a spus mai sus este o explicație „practică” și nu poate fi luat în considerare cu toată rigoarea matematică. Dar pentru scopurile noastre, această abordare este destul de suficientă.

3. Încă un exemplu pentru claritate. Să considerăm un pătrat și să conectăm punctele medii ale două laturi adiacente cu un segment, tăind astfel un colț. După aceasta, vom înfige aleatoriu acul în pătrat. Cu ce ​​probabilitate vom ajunge în colț? Aici, rezultatul fiecărui test este locul în care capătul acului aterizează, adică un punct în interiorul pătratului. Este clar că există infinit de multe rezultate și că există, de asemenea, infinit de multe rezultate potrivite pentru evenimentul nostru - intrarea în colț. Prin urmare, este deja inutil să vorbim despre numărul de rezultate pentru a calcula probabilitatea. Dar fracția poate fi calculată - este pur și simplu raportul dintre zonele colțului și pătratului. Este egal cu 1/8. Rețineți că limitele figurilor au zonă zero, așa că nu trebuie să vă gândiți la ele. În special, acul va lovi segmentul care a tăiat colțul cu probabilitatea 0.

Sfat 2

Ultimul exemplu din primul indiciu poate oferi un indiciu despre o posibilă modalitate de a rezolva problema. Este necesar să introducem parametri care să determine poziția acului și să ne permită să descriem toate cazurile când acesta traversează liniile. Doi parametri sunt suficient aici. După aceasta, trebuie să înțelegem ce valori pot lua acești parametri și ce valori descriu evenimentul nostru. Dacă alegeți bine parametrii, atunci aceste condiții vor fi destul de simple și le puteți chiar „descrie”: luați un plan de coordonate ale cărui axe corespund parametrilor și desenați o regiune ale cărei puncte îndeplinesc condițiile obținute. După aceasta, tot ce rămâne este să calculați aria întregii regiuni și aria acelei părți a acesteia care corespunde intersecției acului și liniilor. Și apoi găsiți raportul dintre aceste zone.

Soluţie

Să fim de acord că liniile drepte din condiție merg orizontal. Așa că am aruncat acul în avion. Cum să descrieți locația sa, astfel încât să fie convenabil să luați în considerare intersecția cu linii drepte? Să remarcăm o simetrie deosebită: nu este atât de important pentru noi care dungă (sau care, dacă există două) dungi între liniile drepte va cădea acul - dungile sunt toate la fel. De asemenea, este clar că deplasările orizontale nu au nici un efect. Dar ceea ce este cu adevărat important este cât de „departe” se află acul de liniile drepte și în ce unghi este înclinat față de acestea. Prin urmare, ca parametri din al doilea indiciu, puteți lua unghiul de înclinare α al acului față de liniile drepte și distanța d de la mijlocul acului până la cel mai apropiat drept (fig. 1). Astfel, folosim o altă „simetrie” care a apărut în problemă.

Ce valori pot lua acești parametri? Măsura radianilor unghiului α variază de la 0 la π și d ia valori de la 0 (dacă mijlocul acului este pe o linie dreaptă) la 1/2 (mijlocul acului nu poate fi mai departe de o linie dreaptă). Pe planul cu coordonatele (α, d) aceste restricții definesc un dreptunghi (Fig. 2).

Din figura 3 este clar în ce condiții pe α și d acul intersectează cel puțin o linie dreaptă: proiecția jumătate a acului în direcția perpendiculară pe liniile drepte trebuie să fie mai mare d. Adică inegalitatea trebuie satisfăcută.

Deci avem o descriere a tuturor cazurilor în care acul intersectează cel puțin o linie (va exista o intersecție cu două linii numai dacă egalitățile α = π/2 și d= 1/2, care poate da doar un punct în dreptunghiul nostru - un set infinit de toate valorile posibile ale unei perechi de parametri). Rămâne să calculați aria de sub graficul sinusoidului și să o împărțiți la aria întregului dreptunghi, care este egală cu π/2 (Fig. 4).

După cum se știe, aria de sub graficul unei funcții este egală cu o anumită integrală a acestei funcții pe intervalul necesar: .

Ca rezultat, constatăm că probabilitatea dorită este egală cu .

Postfaţă

Se crede că această problemă a fost pusă și studiată pentru prima dată destul de amănunțit de omul de știință francez din secolul al XVIII-lea, contele de Buffon - o persoană destul de extraordinară, cu o gamă foarte largă de interese, care a făcut o mulțime de lucruri utile în diverse domenii ale cunoașterii. Prin urmare, este adesea numită problema acului lui Buffon. Aparent, aceasta a fost prima problemă despre așa-numita probabilitate geometrică. După cum am văzut, esența acestei abordări este de a reprezenta setul de rezultate elementare ale unui test sub forma unei figuri geometrice și de a reduce problema găsirii probabilității unui anumit eveniment la calcularea raportului dintre zonele figurilor adecvate. . În acest fel, puteți rezolva mai multe probleme destul de cunoscute - poate vă veți familiariza cu unele dintre ele mai târziu aici, pe „Elemente”. Prin urmare, vom prezenta doar încă o sarcină simplă ca exercițiu:

Cu ce ​​probabilitate este o monedă rotundă cu diametrul d, aruncată pe un plan în carouri (împărțită în pătrate unitare), să nu acopere niciuna dintre liniile grilei, adică să ajungă în întregime în interiorul unuia dintre pătrate?

Rețineți că atunci când rezolvați problema lui Buffon, se poate raționa puțin diferit. Cursul unei astfel de decizii este descris în detaliu (deși în engleză).

Acum puțin despre semnificația răspunsului pe care l-am primit. La l = 1 răspunsul este aproximativ 0,6366197... Ce reprezintă exact acest număr? Ca de obicei, în teoria probabilității acest lucru ar trebui înțeles după cum urmează. Să presupunem că am făcut o serie foarte lungă de teste. Să presupunem că am avut răbdarea să aruncăm un ac de un milion de ori în fiecare test și să ne amintim de câte ori a traversat linii drepte într-un avion. Și am efectuat și un milion de astfel de teste. Se pare că în cele mai multe dintre ele (cel mai probabil, numărul copleșitor) numărul de intersecții este aproape de 636.619 și cu cât efectuăm mai multe astfel de teste, cu atât proporția rezultatelor de succes (când acul a trecut linia) va fi mai apropiată. la. Și, de fapt, desigur, nu contează deloc cum împărțiți testele în serii - doar numărul total este important. În realitate, nu există suficientă răbdare pentru a efectua o serie atât de lungă de teste. Dar puteți scrie un program (sau să folosiți programe existente ca acesta) care să efectueze operații de rutină și să dea doar numărul de intersecții pentru un număr mare de aruncări.

Ceea ce s-a spus în paragraful anterior oferă o abordare neobișnuită a problemei importante de a calcula cu exactitate numărul π = 3,1415926... Să reamintim că acest număr este definit ca raportul dintre lungimea unui cerc și diametrul său (pentru toate cercurile acest raport este același). Numărul π este una dintre principalele constante din matematică și fizică. Acest lucru poate fi explicat parțial prin faptul că cercurile și elipsele apar în matematică și fizică într-o varietate de probleme și modele - de la cele pur geometrice la cele practice, cum ar fi calculele orbitelor planetelor și sateliților. Prin urmare, este important să puteți calcula cu exactitate valoarea numărului π. Se știe că acest număr este irațional, adică nu poate fi reprezentat ca o fracție rațională (raportul a două numere întregi), dar există fracții apropiate cu numitori mici. Arhimede știa, de asemenea, că fracția 22/7 = 3,(142.857) aproximează π cu o rază de miimi. În jurul secolului al V-lea d.Hr. e. aproximarea 355/113 = 3,14159292... era deja cunoscută - eroarea este mai mică de o milioneme.

Ce legătură are acul lui Buffon cu el? După cum înțelegem deja, într-o serie lungă de teste, proporția intersecțiilor din numărul total de aruncări de ac va fi aproximativ egală cu 2/π. Prin urmare, putem găsi empiric această fracție și calcula o valoare aproximativă. Cu cât sunt mai multe aruncări, cu atât va fi mai precisă fracția și, prin urmare, valoarea lui π. În secolul al XIX-lea existau eroi care erau gata să petreacă mai multe seri la o astfel de activitate. Au primit valori diferite în jurul valorii de 3,14. Puteți citi mai multe pe această pagină pe Wikipedia în engleză.

Acum, desigur, nimeni nu aruncă un ac, iar numărul π a fost deja calculat cu mult peste 10 trilioane de cifre. Este amuzant că o astfel de precizie nu este nici pe departe necesară pentru calculele practice - se estimează că este suficient să cunoști π până la a 40-a zecimală pentru a calcula cu exactitate volumul Universului vizibil la un atom. Deci, calcularea π cu o asemenea acuratețe este mai degrabă o cursă pentru înregistrări și o competiție între supercalculatoare.

Calculele exacte se bazează pe diferite formule. Practic, se folosesc secvențe care converg către π și însumarea serii, mulți algoritmi pot fi găsiți pe Wikipedia. Vă prezentăm aici doar o formulă minunată

care vă permite să calculați orice cifră a lui π fără a calcula cifrele rămase.