Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

O progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este mai mare (sau mai mic) decât cel anterior cu aceeași cantitate.

Acest subiect pare adesea complex și de neînțeles. Indici de litere al n-lea termen progresii, diferențe de progresie - toate acestea sunt oarecum confuze, da... Să ne dăm seama care este sensul progresie aritmeticăși totul se va îmbunătăți imediat.)

Conceptul de progresie aritmetică.

Progresia aritmetică este un concept foarte simplu și clar. Ai vreo îndoială? Degeaba.) Vezi singur.

Voi scrie o serie neterminată de numere:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Poți extinde această serie? Ce numere vor urma, după cele cinci? Toată lumea... uh..., pe scurt, toată lumea își va da seama că vor urma numerele 6, 7, 8, 9 etc.

Să complicăm sarcina. Vă dau o serie neterminată de numere:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Veți putea să prindeți modelul, să extindeți seria și să denumiți al șaptelea numărul rândului?

Dacă ți-ai dat seama că acest număr este 20, felicitări! Nu numai că ai simțit puncte cheie progresie aritmetica, dar și le-a folosit cu succes în afaceri! Dacă nu ți-ai dat seama, citește mai departe.

Acum să traducem punctele cheie din senzații în matematică.)

Primul punct cheie.

Progresia aritmetică se ocupă de serii de numere. Acest lucru este confuz la început. Suntem obișnuiți să rezolvăm ecuații, să desenăm grafice și toate astea... Dar aici extindem seria, găsim numărul seriei...

E bine. Doar că progresiile sunt prima cunoaștere cu o nouă ramură a matematicii. Secțiunea se numește „Serii” și funcționează în mod specific cu serii de numere și expresii. Obisnuieste-te.)

Al doilea punct cheie.

Într-o progresie aritmetică, orice număr este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.

În primul exemplu, această diferență este una. Indiferent de numărul pe care îl luați, este cu unul mai mult decât cel anterior. În al doilea - trei. Orice număr este cu trei mai mult decât precedentul. De fapt, acest moment ne oferă posibilitatea de a înțelege modelul și de a calcula numerele ulterioare.

Al treilea punct cheie.

Acest moment nu este izbitor, da... Dar este foarte, foarte important. Aici era: fiecare numărul de progresie stă la locul ei. Există primul număr, există al șaptelea, există al patruzeci și cinci, etc. Dacă le amesteci la întâmplare, modelul va dispărea. De asemenea, progresia aritmetică va dispărea. Ceea ce a mai rămas este doar o serie de numere.

Asta e toată ideea.

Desigur, în subiect nou apar noi termeni și denumiri. Trebuie să le cunoști. Altfel nu vei înțelege sarcina. De exemplu, va trebui să decideți ceva de genul:

Notați primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Inspirant?) Scrisori, niște indexuri... Și sarcina, apropo, nu ar putea fi mai simplă. Trebuie doar să înțelegeți semnificația termenilor și a denumirilor. Acum vom stăpâni această chestiune și ne vom întoarce la sarcină.

Termeni și denumiri.

Progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este diferit de cel precedent cu aceeași sumă.

Această cantitate se numește . Să ne uităm la acest concept mai detaliat.

Diferența de progresie aritmetică.

Diferența de progresie aritmetică este valoarea cu care orice număr de progresie Mai mult precedentul.

unu punct important. Vă rugăm să acordați atenție cuvântului "Mai mult". Din punct de vedere matematic, aceasta înseamnă că fiecare număr de progresie este prin adăugarea diferența de progresie aritmetică față de numărul anterior.

Pentru a calcula, să zicem al doilea numerele seriei, trebuie primul număr adăuga tocmai această diferență a unei progresii aritmetice. Pentru calcul a cincea- diferenta este necesara adăuga La Al patrulea, bine, etc.

Diferența de progresie aritmetică Pot fi pozitiv, atunci fiecare număr din serie se va dovedi a fi real mai mult decât precedentul. Această progresie se numește crescând. De exemplu:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Aici se obține fiecare număr prin adăugarea număr pozitiv, +5 față de cel precedent.

Diferența poate fi negativ, atunci fiecare număr din serie va fi mai puțin decât precedentul. Această progresie se numește (nu o să crezi!) in scadere.

De exemplu:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Aici se obține și fiecare număr prin adăugarea la precedentul, dar deja număr negativ, -5.

Apropo, atunci când lucrați cu progresie, este foarte util să determinați imediat natura acesteia - dacă este în creștere sau în scădere. Acest lucru vă ajută foarte mult să navigați în decizie, să vă identificați greșelile și să le corectați înainte de a fi prea târziu.

Diferența de progresie aritmetică notată de obicei prin literă d.

Cum să găsești d? Foarte simplu. Este necesar să se scadă din orice număr din serie anterior număr. Scădea. Apropo, rezultatul scăderii se numește „diferență”.)

Să definim, de exemplu, d pentru creșterea progresiei aritmetice:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Luăm orice număr din serie pe care îl dorim, de exemplu, 11. Scădem din el numărul anterior acestea. 8:

Acesta este răspunsul corect. Pentru această progresie aritmetică, diferența este de trei.

O poți lua orice număr de progresie, deoarece pentru o anumită progresie d-întotdeauna la fel. Cel puțin undeva la începutul rândului, cel puțin la mijloc, cel puțin oriunde. Nu poți lua doar primul număr. Pur și simplu pentru că primul număr nici unul precedent.)

Apropo, știind asta d=3, găsirea celui de-al șaptelea număr al acestei progresii este foarte simplă. Să adăugăm 3 la al cincilea număr - obținem al șaselea, va fi 17. Să adăugăm trei la al șaselea număr, obținem al șaptelea număr - douăzeci.

Să definim d pentru progresia aritmetică descrescătoare:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Vă reamintesc că, indiferent de semne, să se determine d necesare din orice număr ia-l pe cel precedent. Alegeți orice număr de progres, de exemplu -7. Numărul său anterior este -2. Apoi:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Diferența unei progresii aritmetice poate fi orice număr: întreg, fracțional, irațional, orice număr.

Alți termeni și denumiri.

Fiecare număr din serie este numit membru al unei progresii aritmetice.

Fiecare membru al progresiei are propriul său număr. Cifrele sunt strict în ordine, fără trucuri. Primul, al doilea, al treilea, al patrulea etc. De exemplu, în progresia 2, 5, 8, 11, 14, ... doi este primul termen, cinci este al doilea, unsprezece este al patrulea, bine, înțelegeți...) Vă rugăm să înțelegeți clar - numerele în sine poate fi absolut orice, întreg, fracționat, negativ, orice, dar numerotarea numerelor- strict în ordine!

Cum se scrie o progresie în vedere generala? Nici o problemă! Fiecare număr dintr-o serie este scris ca o literă. Pentru a desemna o progresie aritmetică, se folosește de obicei litera A. Numărul membrului este indicat printr-un index în dreapta jos. Scriem termeni separați prin virgule (sau punct și virgulă), astfel:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....

a 1- acesta este primul număr, a 3- al treilea etc. Nimic de lux. Această serie poate fi scrisă pe scurt astfel: (un n).

Se întâmplă progrese finit și infinit.

Final progresia are un număr limitat de membri. Cinci, treizeci și opt, orice. Dar este un număr finit.

Infinit progresie - are un număr infinit de membri, după cum ați putea ghici.)

Puteți scrie progresia finală printr-o serie ca aceasta, toți termenii și un punct la sfârșit:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5.

Sau așa, dacă sunt mulți membri:

un 1, un 2, ... un 14, un 15.

În intrarea scurtă va trebui să indicați suplimentar numărul de membri. De exemplu (pentru douăzeci de membri), astfel:

(a n), n = 20

O progresie infinită poate fi recunoscută prin punctele de suspensie de la sfârșitul rândului, ca în exemplele din această lecție.

Acum puteți rezolva sarcinile. Sarcinile sunt simple, doar pentru înțelegerea semnificației unei progresii aritmetice.

Exemple de sarcini privind progresia aritmetică.

Să ne uităm la sarcina dată mai sus în detaliu:

1. Scrieți primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Traducem sarcina într-un limbaj ușor de înțeles. Se dă o progresie aritmetică infinită. Al doilea număr al acestei progresii este cunoscut: a 2 = 5. Diferența de progresie este cunoscută: d = -2,5. Trebuie să găsim primul, al treilea, al patrulea, al cincilea și al șaselea termen al acestei progresii.

Pentru claritate, voi scrie o serie în funcție de condițiile problemei. Primii șase termeni, în care al doilea termen este cinci:

un 1, 5, un 3, un 4, un 5, un 6,...

a 3 = a 2 + d

Înlocuiți în expresie a 2 = 5Și d = -2,5. Nu uita de minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Al treilea mandat s-a dovedit mai putin de doi. Totul este logic. Dacă numărul este mai mare decât cel precedent negativ valoare, ceea ce înseamnă că numărul în sine va fi mai mic decât cel anterior. Progresia este în scădere. Bine, să luăm în considerare.) Numărăm al patrulea termen al seriei noastre:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Deci, au fost calculati termeni de la al treilea la al saselea. Rezultatul este următoarea serie:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Rămâne de găsit primul termen a 1 De al doilea celebru. Acesta este un pas în cealaltă direcție, spre stânga.) Deci, diferența de progresie aritmetică d nu trebuie adăugată a 2, A la pachet:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Asta este. Răspuns la sarcină:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

În treacăt, aș dori să notez că am rezolvat această sarcină recurent cale. Acest cuvânt înfricoșătorînseamnă pur și simplu căutarea unui membru al progresiei conform numărului anterior (adiacent). Vom analiza mai jos alte moduri de a lucra cu progresia.

Din această sarcină simplă se poate trage o concluzie importantă.

Tine minte:

Dacă cunoaștem cel puțin un termen și diferența unei progresii aritmetice, putem găsi orice termen al acestei progresii.

Vă amintiți? Această concluzie simplă vă permite să rezolvați majoritatea problemelor cursului școlar pe această temă. Toate sarcinile se învârt în jurul trei principale parametri: membru al unei progresii aritmetice, diferență a unei progresii, număr al unui membru al progresiei. Toate.

Desigur, toată algebra anterioară nu este anulată.) Inegalitățile, ecuațiile și alte lucruri sunt atașate progresiei. Dar conform progresiei în sine- totul se învârte în jurul a trei parametri.

De exemplu, să ne uităm la câteva sarcini populare pe acest subiect.

2. Scrieți progresia aritmetică finită ca o serie dacă n=5, d = 0,4 și a 1 = 3,6.

Totul este simplu aici. Totul a fost deja dat. Trebuie să vă amintiți cum sunt numărați membrii unei progresii aritmetice, să-i numărați și să le scrieți. Este recomandabil să nu pierdeți cuvintele din condițiile sarcinii: „final” și „ n=5„. Pentru a nu număra până nu ești complet albastru la față.) Există doar 5 (cinci) membri în această progresie:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Rămâne de scris răspunsul:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

O altă sarcină:

3. Stabiliți dacă numărul 7 va fi membru al progresiei aritmetice (a n), dacă a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Cine știe? Cum să determine ceva?

Cum-cum... Notează progresia sub forma unei serii și vezi dacă va fi un șapte acolo sau nu! Numaram:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Acum se vede clar că suntem doar șapte strecurat prin intre 6,5 si 7,7! Șapte nu s-au înscris în seria noastră de numere și, prin urmare, șapte nu vor fi un membru al progresiei date.

Raspuns: nu.

Și iată o problemă bazată pe o versiune reală a GIA:

4. Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; 15; X; 9; 6; ...

Iată o serie scrisă fără sfârșit și fără început. Fără numere de membri, fără diferențe d. E bine. Pentru a rezolva problema, este suficient să înțelegeți semnificația unei progresii aritmetice. Să ne uităm și să vedem ce este posibil a sti din seria asta? Care sunt cei trei parametri principali?

Numerele membrilor? Nu există un singur număr aici.

Dar sunt trei numere și - atenție! - cuvânt "consistent" in conditie. Aceasta înseamnă că numerele sunt strict în ordine, fără lacune. Sunt două în acest rând? vecine numere cunoscute? Da, am! Acestea sunt 9 și 6. Prin urmare, putem calcula diferența progresiei aritmetice! Scădeți din șase anterior număr, adică nouă:

Au mai rămas doar fleacuri. Ce număr va fi cel anterior pentru X? Cincisprezece. Aceasta înseamnă că X poate fi găsit cu ușurință prin simplă adăugare. Adăugați diferența progresiei aritmetice la 15:

Asta e tot. Răspuns: x=12

Următoarele probleme le rezolvăm singuri. Notă: aceste probleme nu se bazează pe formule. Pur și simplu pentru a înțelege semnificația unei progresii aritmetice.) Scriem doar o serie de numere și litere, ne uităm și ne dăm seama.

5. Aflați primul termen pozitiv al progresiei aritmetice dacă a 5 = -3; d = 1,1.

6. Se știe că numărul 5,5 este membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determinați numărul n al acestui membru.

7. Se știe că în progresia aritmetică a 2 = 4; a 5 = 15,1. Găsiți un 3.

8. Se scriu mai mulți termeni consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Găsiți termenul progresiei indicat de litera x.

9. Trenul a început să se deplaseze din gară, crescând uniform viteza cu 30 de metri pe minut. Care va fi viteza trenului după cinci minute? Dati raspunsul in km/ora.

10. Se știe că în progresia aritmetică a 2 = 5; a 6 = -5. Găsiți un 1.

Răspunsuri (în dezordine): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

S-a rezolvat totul? Uimitor! Puteți stăpâni progresia aritmetică pentru mai mult nivel inalt, în lecțiile următoare.

Nu a mers totul? Nici o problemă. În Secțiunea Specială 555, toate aceste probleme sunt rezolvate bucată cu bucată.) Și, desigur, este descrisă o tehnică practică simplă care evidențiază imediat soluția la astfel de sarcini clar, clar, dintr-o privire!

Apropo, în puzzle-ul trenului există două probleme de care oamenii se poticnesc adesea. Unul este pur în termeni de progresie, iar al doilea este general pentru orice problemă de matematică și fizică. Aceasta este o traducere a dimensiunilor de la una la alta. Acesta arată cum trebuie rezolvate aceste probleme.

În această lecție ne-am uitat la semnificația elementară a unei progresii aritmetice și principalii ei parametri. Acest lucru este suficient pentru a rezolva aproape toate problemele pe această temă. Adăuga d la numere, scrie o serie, totul se va rezolva.

Soluția cu degetul funcționează bine pentru bucăți foarte scurte dintr-un rând, ca în exemplele din acest tutorial. Dacă seria este mai lungă, calculele devin mai complicate. De exemplu, dacă în problema 9 din întrebare înlocuim "cinci minute" pe „treizeci și cinci de minute” problema se va agrava semnificativ.)

Și există și sarcini simple în esență, dar absurde în ceea ce privește calculele, de exemplu:

Este dată o progresie aritmetică (a n). Aflați un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.

Deci ce, vom adăuga 1/6 de multe, de multe ori?! Poți să te sinucizi!?

Puteți.) Dacă nu cunoașteți o formulă simplă prin care puteți rezolva astfel de sarcini într-un minut. Această formulă va fi în lecția următoare. Și acolo se rezolvă această problemă. Intr-un minut.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Concept succesiune de numere implică faptul că fiecărui număr natural îi corespunde o anumită valoare reală. O astfel de serie de numere poate fi fie arbitrară, fie poate avea anumite proprietăți - o progresie. ÎN acest din urmă caz fiecare element (membru) ulterior al secvenței poate fi calculat folosind cel anterior.

O progresie aritmetică este o succesiune de valori numerice în care termenii săi vecini diferă unul de celălalt prin acelasi numar(toate elementele seriei, începând cu a 2-a, au o proprietate similară). Acest număr– diferența dintre termenii anterior și următor este constantă și se numește diferență de progresie.

Diferența de progresie: definiție

Se consideră o succesiune formată din j valorile A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j aparține mulțimii numere naturale N. Progresia aritmetică, conform definiției sale, este o succesiune în care a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j ) – a(j-1) = d. Valoarea d este diferența dorită a acestei progresii.

d = a(j) – a(j-1).

A evidentia:

• O progresie crescătoare, caz în care d > 0. Exemplu: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Progresie descrescătoare, apoi d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresia diferențelor și elementele sale arbitrare

Dacă se cunosc 2 termeni arbitrari ai progresiei (i-th, k-th), atunci diferența pentru o anumită secvență poate fi determinată pe baza relației:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, ceea ce înseamnă d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Diferența de progresie și primul său termen

Această expresie va ajuta la determinarea unei valori necunoscute numai în cazurile în care numărul elementului de secvență este cunoscut.

Diferența de progresie și suma ei

Suma unei progresii este suma termenilor ei. Pentru a calcula valoarea totală a primelor sale j elemente, utilizați formula corespunzătoare:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, dar din moment ce a(j) = a(1) + d(j – 1), apoi S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Progresie aritmetică denumește o succesiune de numere (termeni ai unei progresii)

În care fiecare termen ulterior diferă de cel precedent printr-un termen nou, care se mai numește diferență de pas sau de progresie.

Astfel, prin specificarea pasului de progresie și a primului său termen, puteți găsi oricare dintre elementele acestuia folosind formula

Proprietățile unei progresii aritmetice

1) Fiecare membru al unei progresii aritmetice, începând de la al doilea număr, este media aritmetică a membrilor anteriori și următori ai progresiei

Este adevărat și invers. Dacă media aritmetică a termenilor impari (pari) adiacenți ai unei progresii este egală cu termenul care se află între ei, atunci această succesiune de numere este o progresie aritmetică. Folosind această declarație, este foarte ușor să verifici orice secvență.

De asemenea, prin proprietatea progresiei aritmetice, formula de mai sus poate fi generalizată la următoarele

Acest lucru este ușor de verificat dacă scrieți termenii în dreapta semnului egal

Este adesea folosit în practică pentru a simplifica calculele în probleme.

2) Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice se calculează folosind formula

Amintiți-vă bine formula pentru suma unei progresii aritmetice este indispensabilă în calcule și se găsește destul de des în situații simple de viață.

3) Dacă trebuie să găsiți nu întreaga sumă, ci o parte a secvenței începând cu al k-lea termen, atunci următoarea formulă a sumei vă va fi utilă

4) De interes practic este găsirea sumei n termeni ai unei progresii aritmetice pornind de la numărul k-lea. Pentru a face acest lucru, utilizați formula

Aceasta încheie materialul teoretic și trece la rezolvarea problemelor comune în practică.

Exemplul 1. Aflați al patruzecilea termen al progresiei aritmetice 4;7;...

Soluţie:

Dupa starea pe care o avem

Să stabilim pasul de progres

Folosind o formulă binecunoscută, găsim al patruzecelea termen al progresiei

Exemplul 2. O progresie aritmetică este dată de al treilea și al șaptelea termen. Găsiți primul termen al progresiei și suma a zece.

Soluţie:

Să notăm elementele date ale progresiei folosind formulele

Pe prima o scadem din a doua ecuatie, ca rezultat gasim pasul de progresie

Înlocuim valoarea găsită în oricare dintre ecuații pentru a găsi primul termen al progresiei aritmetice

Calculăm suma primilor zece termeni ai progresiei

Fără a folosi calcule complexe, am găsit toate cantitățile necesare.

Exemplul 3. O progresie aritmetică este dată de numitor și unul dintre termenii săi. Găsiți primul termen al progresiei, suma celor 50 de termeni ai săi începând de la 50 și suma primilor 100.

Soluţie:

Să notăm formula pentru al sutelea element al progresiei

și găsește-l pe primul

Pe baza primului, găsim al 50-lea termen al progresiei

Aflarea sumei părții din progresie

și suma primelor 100

Valoarea progresiei este de 250.

Exemplul 4.

Aflați numărul de termeni ai unei progresii aritmetice dacă:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Soluţie:

Să scriem ecuațiile în termenii primului termen și al pasului de progresie și să le determinăm

Înlocuim valorile obținute în formula sumei pentru a determina numărul de termeni din sumă

Efectuăm simplificări

și rezolvați ecuația pătratică

Dintre cele două valori găsite, doar numărul 8 se potrivește condițiilor problemei. Astfel, suma primilor opt termeni ai progresiei este 111.

Exemplul 5.

Rezolvați ecuația

1+3+5+...+x=307.

Rezolvare: Această ecuație este suma unei progresii aritmetice. Să scriem primul său termen și să găsim diferența în progresie

Calculator online.
Rezolvarea unei progresii aritmetice.
Dați: a n , d, n
Găsiți: a 1

Acest program de matematică găsește \(a_1\) a unei progresii aritmetice bazată pe numerele specificate de utilizator \(a_n, d\) și \(n\).
Numerele \(a_n\) și \(d\) pot fi specificate nu numai ca numere întregi, ci și ca fracții. În plus, un număr fracționar poate fi introdus ca fracție zecimală (\(2,5\)) și ca fracție comună(\(-5\frac(2)(7)\)).

Programul nu numai că oferă răspunsul la problemă, dar afișează și procesul de găsire a unei soluții.

Acest calculator online poate fi util pentru elevii de liceu scoala secundaraîn pregătire pentru testeși examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul de stat unificat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să o faci cât mai repede posibil? teme pentru acasă la matematică sau algebră? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate.

În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formare a fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul rezolvării problemelor crește.

Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de introducere a numerelor, vă recomandăm să vă familiarizați cu acestea.

Reguli pentru introducerea numerelor

Numerele \(a_n\) și \(d\) pot fi specificate nu numai ca numere întregi, ci și ca fracții.
Numărul \(n\) poate fi doar un întreg pozitiv.

Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
Părțile întregi și fracționale din fracții zecimale pot fi separate fie prin punct, fie prin virgulă.
De exemplu, puteți intra zecimale deci 2,5 sau cam asa 2,5

Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.
Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.

Numitorul nu poate fi negativ.

La intrare fracție numerică Numătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire: /
Intrare:
Rezultat: \(-\frac(2)(3)\)

Toată parte separate de fracție printr-un ampersand: &
Intrare:
Rezultat: \(-1\frac(2)(3)\)

Introduceți numerele a n , d, n

Găsiți un 1

S-a descoperit că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.

JavaScript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru ca soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browserul dvs.

Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...

daca tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback.
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Puțină teorie.

Secvență de numere

În practica de zi cu zi, numerotarea diferitelor obiecte este adesea folosită pentru a indica ordinea în care sunt aranjate. De exemplu, casele de pe fiecare stradă sunt numerotate. În bibliotecă, abonamentele cititorilor sunt numerotate și apoi aranjate în ordinea numerelor atribuite în fișiere speciale de card.

Într-o bancă de economii, folosind numărul de cont personal al deponentului, puteți găsi cu ușurință acest cont și puteți vedea ce depozit este pe el. Lăsați contul nr. 1 să conțină un depozit de a1 ruble, contul nr. 2 să conțină un depozit de a2 ruble etc. Se pare că succesiune de numere
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
unde N este numărul tuturor conturilor. Aici, fiecare număr natural n de la 1 la N este asociat cu un număr a n.

A studiat și matematică secvențe de numere infinite:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Se numește numărul a 1 primul termen al secvenței, numărul a 2 - al doilea termen al secvenței, numărul a 3 - al treilea termen al secvenței etc.
Se numește numărul a n al n-lea (n-lea) membru al secvenței, iar numărul natural n este al acestuia număr.

De exemplu, în succesiunea de pătrate de numere naturale 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... și 1 = 1 este primul termen al șirului; iar n = n 2 este al n-lea termen secvențe; a n+1 = (n + 1) 2 este (n + 1)-al-lea (n plus primul) termen al secvenței. Adesea, o secvență poate fi specificată prin formula celui de-al n-lea termen. De exemplu, formula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) definește șirul \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Progresie aritmetică

Durata anului este de aproximativ 365 de zile. O valoare mai precisă este \(365\frac(1)(4)\) zile, astfel încât la fiecare patru ani se acumulează o eroare de o zi.

Pentru a ține seama de această eroare, la fiecare al patrulea an se adaugă o zi, iar anul prelungit se numește an bisect.

De exemplu, în mileniul trei ani bisecți sunt anii 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

În această secvență, fiecare membru, începând cu al doilea, este egal cu precedentul, adăugat la același număr 4. Astfel de secvențe se numesc progresii aritmetice.

Definiție.
Se numește șirul de numere a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... progresie aritmetică, dacă pentru toate naturale n egalitatea
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
unde d este un număr.

Din această formulă rezultă că a n+1 - a n = d. Numărul d se numește diferență progresie aritmetică.

Prin definiția unei progresii aritmetice avem:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
Unde
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), unde \(n>1 \)

Astfel, fiecare termen al unei progresii aritmetice, începând de la al doilea, este egal cu media aritmetică a celor doi termeni adiacenți ai săi. Aceasta explică denumirea de progresie „aritmetică”.

Rețineți că, dacă sunt date a 1 și d, atunci termenii rămași ai progresiei aritmetice pot fi calculați folosind formula recurentă a n+1 = a n + d. În acest fel, nu este dificil să calculezi primii termeni ai progresiei, cu toate acestea, de exemplu, un 100 va necesita deja o mulțime de calcule. De obicei, formula a n-a termen este folosită pentru aceasta. Prin definiția progresiei aritmetice
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
etc.
Deloc,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
întrucât al n-lea termen al unei progresii aritmetice se obține din primul termen prin adăugarea de (n-1) ori numărul d.
Această formulă se numește formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice.

Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice

Aflați suma tuturor numerelor naturale de la 1 la 100.
Să scriem această sumă în două moduri:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Să adăugăm aceste egalități termen cu termen:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Această sumă are 100 de termeni
Prin urmare, 2S = 101 * 100, deci S = 101 * 50 = 5050.

Să considerăm acum o progresie aritmetică arbitrară
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Fie S n suma primilor n termeni ai acestei progresii:
S n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
Apoi suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice este egală cu
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Deoarece \(a_n=a_1+(n-1)d\), atunci înlocuind un n în această formulă obținem o altă formulă pentru găsirea suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Cărți (manuale) Rezumate ale examenului de stat unificat și ale examenului de stat unificat online Jocuri, puzzle-uri Trasarea graficelor funcțiilor Dicționar ortografic al limbii ruse Dicționar al argoului pentru tineri Catalogul școlilor rusești Catalogul instituțiilor de învățământ secundar din Rusia Catalogul universităților rusești Lista a sarcinilor

Suma unei progresii aritmetice.

Suma unei progresii aritmetice este un lucru simplu. Atât în ​​sens, cât și în formulă. Dar există tot felul de sarcini pe această temă. De la bază la destul de solidă.

În primul rând, să înțelegem sensul și formula sumei. Și atunci vom decide. Pentru plăcerea ta.) Sensul sumei este la fel de simplu ca un moo. Pentru a găsi suma unei progresii aritmetice, trebuie doar să adăugați cu atenție toți termenii acesteia. Dacă acești termeni sunt puțini, puteți adăuga fără formule. Dar dacă există mult, sau mult... adaosul este enervant.) În acest caz, formula vine în ajutor.

Formula pentru cantitate este simplă:

Să ne dăm seama ce fel de litere sunt incluse în formulă. Acest lucru va clarifica foarte mult lucrurile.

S n - suma unei progresii aritmetice. Rezultat adaos toata lumea membri, cu primul De ultimul. Este important. Se adună exact Toate membri la rând, fără săriți sau săriți. Și, tocmai, pornind de la primul.În probleme precum găsirea sumei termenilor al treilea și al optulea sau a sumei termenilor cinci și al douăzecilea, aplicarea directă a formulei va dezamăgi.)

a 1 - primul membru al progresiei. Totul este clar aici, e simplu primul numărul rândului.

un n- ultimul membru al progresiei. Ultimul număr rând. Nu este un nume foarte familiar, dar atunci când este aplicat sumei, este foarte potrivit. Atunci vei vedea singur.

n - numărul ultimului membru. Este important să înțelegeți că în formulă acest număr coincide cu numărul de termeni adăugați.

Să definim conceptul ultimul membru un n. Întrebare dificilă: care membru va fi ultimul dacă este dat fără sfârşit progresie aritmetică?)

Pentru a răspunde cu încredere, trebuie să înțelegeți semnificația elementară a progresiei aritmetice și... citiți cu atenție sarcina!)

În sarcina de a găsi suma unei progresii aritmetice, ultimul termen apare întotdeauna (direct sau indirect), care ar trebui limitată.În caz contrar, o sumă finală, specifică pur si simplu nu exista. Pentru soluție, nu contează dacă progresia este dată: finită sau infinită. Nu contează cum este dat: o serie de numere sau o formulă pentru al n-lea termen.

Cel mai important este să înțelegeți că formula funcționează de la primul termen al progresiei până la termenul cu număr n. De fapt, numele complet al formulei arată astfel: suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice. Numărul acestor primi membri, adică n, este determinată exclusiv de sarcină. Într-o sarcină, toate aceste informații valoroase sunt adesea criptate, da... Dar nu contează, în exemplele de mai jos dezvăluim aceste secrete.)

Exemple de sarcini pe suma unei progresii aritmetice.

În primul rând, informatii utile:

Principala dificultate în sarcinile care implică suma unei progresii aritmetice constă în determinarea corectă a elementelor formulei.

Scriitorii de sarcini criptează chiar aceste elemente cu o imaginație nemărginită.) Principalul lucru aici este să nu-ți fie frică. Înțelegând esența elementelor, este suficient să le descifrezi pur și simplu. Să ne uităm la câteva exemple în detaliu. Să începem cu o sarcină bazată pe un GIA real.

1. Progresia aritmetică este dată de condiția: a n = 2n-3.5. Aflați suma primilor 10 termeni ai săi.

Loc de muncă bun. Ușor.) Pentru a determina cantitatea folosind formula, ce trebuie să știm? Primul membru a 1, ultimul termen un n, da numărul ultimului membru n.

De unde pot obține numărul ultimului membru? n? Da, chiar acolo, cu condiție! Se spune: găsiți suma primii 10 membri. Ei bine, cu ce număr va fi? ultimul, al zecelea membru?) Nu veți crede, numărul lui este al zecelea!) Prin urmare, în loc de un n Vom înlocui în formulă un 10, Și în schimb n- zece. Repet, numărul ultimului membru coincide cu numărul membrilor.

Rămâne de stabilit a 1Și un 10. Acest lucru este ușor de calculat folosind formula pentru al n-lea termen, care este dată în enunțul problemei. Nu știi cum să faci asta? Participați la lecția anterioară, fără aceasta nu există nicio cale.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

un 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Am aflat semnificația tuturor elementelor formulei pentru suma unei progresii aritmetice. Tot ce rămâne este să le înlocuiți și să numărați:

Asta este. Raspuns: 75.

O altă sarcină bazată pe GIA. Puțin mai complicat:

2. Având în vedere o progresie aritmetică (a n), a cărei diferență este 3,7; a 1 =2,3. Aflați suma primilor 15 termeni ai săi.

Scriem imediat formula sumei:

Această formulă ne permite să găsim valoarea oricărui termen după numărul său. Căutăm o înlocuire simplă:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Rămâne să înlocuiți toate elementele în formula pentru suma unei progresii aritmetice și să calculați răspunsul:

Răspuns: 423.

Apropo, dacă în formula sumei în loc de un n Pur și simplu înlocuim formula pentru al n-lea termen și obținem:

Să prezentăm altele similare și să obținem o nouă formulă pentru suma termenilor unei progresii aritmetice:

După cum puteți vedea, al n-lea termen nu este necesar aici un n. În unele probleme această formulă ajută foarte mult, da... Vă puteți aminti această formulă. Sau pur și simplu îl puteți afișa la momentul potrivit, ca aici. La urma urmei, trebuie să vă amintiți întotdeauna formula pentru sumă și formula pentru al n-lea termen.)

Acum sarcina sub forma unei criptări scurte):

3. Aflați suma tuturor celor pozitive numere cu două cifre, multipli de trei.

Wow! Nici primul tău membru, nici ultimul, nici progresia deloc... Cum să trăiești!?

Va trebui să gândești cu capul și să scoți toate elementele sumei progresiei aritmetice din condiție. Știm ce sunt numerele din două cifre. Sunt formate din două numere.) Ce număr de două cifre va fi primul? 10, probabil.) A ultimul lucru număr cu două cifre? 99, desigur! Cei din trei cifre îl vor urma...

Multipli de trei... Hm... Acestea sunt numere care sunt divizibile cu trei, aici! Zece nu este divizibil cu trei, 11 nu este divizibil... 12... este divizibil! Deci, ceva iese la iveală. Puteți nota deja o serie în funcție de condițiile problemei:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Va fi această serie o progresie aritmetică? Cu siguranță! Fiecare termen diferă de cel precedent prin strict trei. Dacă adăugați 2 sau 4 unui termen, să zicem rezultatul, de exemplu. noul număr nu mai este divizibil cu 3. Puteți determina imediat diferența progresiei aritmetice: d = 3. Asta o să ne mai folosească!)

Deci, putem scrie în siguranță câțiva parametri de progresie:

Care va fi numărul? n ultimul membru? Oricine crede că 99 se înșală fatal... Numerele merg mereu la rând, dar membrii noștri sar peste trei. Nu se potrivesc.

Există două soluții aici. O modalitate este pentru cei super muncitori. Puteți nota progresia, întreaga serie de numere și puteți număra numărul de membri cu degetul.) A doua cale este pentru cei gânditori. Trebuie să vă amintiți formula pentru al n-lea termen. Dacă aplicăm formula problemei noastre, aflăm că 99 este al treizecilea termen al progresiei. Acestea. n = 30.

Să ne uităm la formula pentru suma unei progresii aritmetice:

Ne uităm și ne bucurăm.) Am scos din enunțul problemei tot ceea ce era necesar pentru a calcula suma:

a 1= 12.

un 30= 99.

S n = S 30.

Tot ce rămâne este aritmetica elementară. Înlocuim numerele în formulă și calculăm:

Răspuns: 1665

Un alt tip de puzzle popular:

4. Având în vedere o progresie aritmetică:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Aflați suma termenilor de la douăzeci la treizeci și patru.

Ne uităm la formula pentru suma și... ne supărăm.) Formula, să vă reamintesc, calculează suma din prima membru. Și în problemă trebuie să calculați suma din al XX-lea... Formula nu va funcționa.

Puteți, desigur, să scrieți întreaga progresie într-o serie și să adăugați termeni de la 20 la 34. Dar... este cumva stupid și durează mult, nu?)

Există o soluție mai elegantă. Să împărțim seria noastră în două părți. Prima parte va fi de la primul termen până la al nouăsprezecelea. A doua parte - de la douăzeci la treizeci şi patru. Este clar că dacă calculăm suma termenilor primei părți S 1-19, să-l adunăm cu suma termenilor din partea a doua S 20-34, obținem suma progresiei de la primul termen la al treizeci și patrulea S 1-34. Ca aceasta:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Din aceasta putem vedea că găsim suma S 20-34 se poate face prin simpla scădere

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Sunt luate în considerare ambele sume din partea dreaptă din prima membru, adică formula sumei standard le este destul de aplicabilă. Să începem?

Extragem parametrii de progresie din enunțul problemei:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Pentru a calcula sumele primilor 19 și primilor 34 de termeni, vom avea nevoie de al 19-lea și al 34-lea termen. Le calculăm folosind formula pentru al n-lea termen, ca în problema 2:

un 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

un 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Nu a mai rămas nimic. Din suma a 34 de termeni scade suma a 19 termeni:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Răspuns: 262,5

O notă importantă! Există un truc foarte util în rezolvarea acestei probleme. În loc de calcul direct de ce ai nevoie (S 20-34), am numărat ceva ce ar părea că nu este nevoie - S 1-19.Și atunci s-au hotărât S 20-34, aruncand din rezultat complet inutil. Acest tip de „făcătoare cu urechile tale” te salvează adesea în probleme rele.)

În această lecție ne-am uitat la probleme pentru care este suficient să înțelegem sensul sumei unei progresii aritmetice. Ei bine, trebuie să știți câteva formule.)

Sfaturi practice:

Când rezolvați orice problemă care implică suma unei progresii aritmetice, vă recomand să scrieți imediat cele două formule principale din acest subiect.

Formula pentru al n-lea termen:

Aceste formule vă vor spune imediat ce să căutați și în ce direcție să gândiți pentru a rezolva problema. Ajută.

Și acum sarcinile pentru o soluție independentă.

5. Aflați suma tuturor numerelor din două cifre care nu sunt divizibile cu trei.

Cool?) Sugestia este ascunsă în nota la problema 4. Ei bine, problema 3 va ajuta.

6. Progresia aritmetică este dată de condiția: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Aflați suma primilor 24 de termeni.

Neobișnuit?) Aceasta este o formulă recurentă. Puteți citi despre asta în lecția anterioară. Nu ignora legătura, astfel de probleme se găsesc adesea în Academia de Științe de Stat.

7. Vasya a făcut economii pentru vacanță. Cât de mult 4550 de ruble! Și am decis să-i ofer persoanei mele preferate (mie) câteva zile de fericire). Trăiește frumos fără a te nega nimic. Cheltuiește 500 de ruble în prima zi, iar în fiecare zi următoare cheltuiește cu 50 de ruble mai mult decât în ​​cea anterioară! Până se epuizează banii. Câte zile de fericire a avut Vasya?

Este dificil?) Va ajuta? formula suplimentara din sarcina 2.

Răspunsuri (în dezordine): 7, 3240, 6.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.