Antiderivata functiei y f x se numeste. Antiderivată și integrală nedefinită – Knowledge Hypermarket

Antiderivat.

Antiderivatul este ușor de înțeles cu un exemplu.

Să luăm funcția y = x 3. După cum știm din secțiunile anterioare, derivata lui X 3 este 3 X 2:

(X 3)" = 3X 2 .

Prin urmare, din funcție y = x 3 obținem o nouă funcție: la = 3X 2 .
Figurat vorbind, funcția la = X 3 funcția produsă la = 3X 2 și este „părintele” acestuia. În matematică nu există cuvânt „părinte”, dar există un concept înrudit: antiderivat.

Adică: funcția y = x 3 este o antiderivată a funcției la = 3X 2 .

Definiția antiderivată:

În exemplul nostru ( X 3)" = 3X 2 prin urmare y = x 3 – antiderivat pt la = 3X 2 .

Integrare.

După cum știți, procesul de găsire a derivatei cu privire la funcţie dată se numeste diferentiere. Iar operația inversă se numește integrare.

Exemplu-explicație:

la = 3X 2 + păcat x.

Solutie:

Știm că antiderivatul pentru 3 X 2 este X 3 .

Antiderivat pentru păcat x este –cos x.

Adăugăm două antiderivate și obținem antiderivată pentru funcția dată:

y = x 3 + (–cos x),

y = x 3 – cos x.

Raspuns:
pentru functie la = 3X 2 + păcat x y = x 3 – cos x.

Exemplu-explicație:

Să găsim o antiderivată pentru funcție la= 2 sin x.

Solutie:

Observăm că k = 2. Antiderivată pentru păcat x este –cos x.

Prin urmare, pentru funcția la= 2 sin x antiderivata este functia la= –2cos x.
Coeficientul 2 în funcția y = 2 sin x corespunde coeficientului antiderivatei din care s-a format această funcție.

Exemplu-explicație:

Să găsim o antiderivată pentru funcție y= păcatul 2 x.

Solutie:

Observăm că k= 2. Antiderivat pentru păcat x este –cos x.

Aplicam formula pentru a gasi antiderivata functiei y= cos 2 x:

1
y= - · (–cos 2 x),
2

cos 2 x
y = – ----
2

cos 2 x
Răspuns: pentru o funcție y= păcatul 2 x antiderivata este functia y = – ----
2

(4)

Exemplu-explicație.

Să luăm funcția din exemplul anterior: y= păcatul 2 x.

Pentru această funcție, toate antiderivatele au forma:

cos 2 x
y = – ---- + C.
2

Explicaţie.

Să luăm prima linie. Se citește astfel: dacă funcția y = f( x) este 0, atunci antiderivata sa este 1. De ce? Deoarece derivata unității este zero: 1" = 0.

Rândurile rămase sunt citite în aceeași ordine.

Cum se scriu date dintr-un tabel? Să luăm linia opt:

(-cos x)" = păcat x

Scriem a doua parte cu semnul derivat, apoi semnul egal și derivata.

Citim: antiderivată pentru funcția sin x este funcția -cos x.

Sau: funcția -cos x este antiderivată pentru funcția sin x.

Integrală nedefinită

Sarcina principală a calculului diferențial a fost să calculeze derivata sau diferența unei funcții date. Calculul integral, la studiul căruia mergem mai departe, rezolvă problema inversă, și anume găsirea funcției în sine din derivata sau diferențiala ei. Adică având dF(x)= f(x)d (7.1) sau F ′(x)= f(x),

Unde f(x)- funcția cunoscută, trebuie să găsiți funcția F(x).

Definiţie:Se numește funcția F(x). antiderivat funcția f(x) pe segment dacă egalitatea este valabilă în toate punctele acestui segment: F′(x) = f(x) sau dF(x)= f(x)d.

De exemplu, una dintre funcțiile antiderivate ale funcției f(x)=3x 2 voinţă F(x)= x 3, pentru că ( x 3)′=3x 2. Dar un prototip pentru funcție f(x)=3x 2 vor exista si functii si , din moment ce .

Aşa, această funcție f(x)=3x 2 are un număr infinit de primitive, fiecare dintre ele diferă doar printr-un termen constant. Să arătăm că acest rezultat este valabil și în cazul general.

Teorema Două antiderivate diferite ale aceleiași funcții definite într-un anumit interval diferă între ele pe acest interval printr-un termen constant.

Dovada

Lasă funcția f(x) definit pe interval (a¸b)Şi F 1 (x) Şi F 2 (x) - antiderivate, i.e. F 1 ′(x)= f(x) și F 2 ′(x)= f(x).

Apoi F 1 ′(x)=F 2 ′(x)Þ F 1 ′(x) - F 2 ′(x) = (F 1 ′(x) - F 2 (x))′= 0. Þ F 1 (x) - F 2 (x) = C

De aici, F 2 (x) = F 1 (x) + C

Unde CU - constantă (un corolar al teoremei lui Lagrange este folosit aici).

Teorema este astfel demonstrată.

Ilustrație geometrică. Dacă la = F 1 (x) Şi la = F 2 (x) – antiderivate cu aceeași funcție f(x), apoi tangenta la graficele lor în puncte cu o abscisă comună X paralele între ele (fig. 7.1).

În acest caz, distanța dintre aceste curbe de-a lungul axei Oh rămâne constantă F 2 (x) - F 1 (x) = C , adică aceste curbe în ceva intelegere„paralele” unele cu altele.

Consecinţă .

Adăugând la unele antiderivate F(x) pentru această funcție f(x), definit pe interval X, toate constantele posibile CU, obținem toate antiderivatele posibile pentru funcție f(x).

Deci expresia F(x)+C , unde , și F(x) – unele antiderivate ale unei funcții f(x) include toate antiderivatele posibile pentru f(x).

Exemplul 1. Verificați dacă funcțiile sunt antiderivate ale funcției

Soluţie:

Răspuns: antiderivate pentru o funcție vor exista functii Şi

Definiţie: Dacă funcția F(x) este o antiderivată a funcției f(x), atunci mulțimea tuturor antiderivatelor F(x)+ C se numește integrală nedefinită a f(x) și notăm:

∫f(х)dх.

Prin definiție:

f(x) - funcția integrand,

f(х)dх - integrand

De aici rezultă că integrală nedefinită este o funcție vedere generală, a cărui diferenţială este egală cu integrandul şi a cărui derivată faţă de variabilă X este egal cu integrandul în toate punctele.

CU punct geometric viziune o integrală nedefinită este o familie de curbe, fiecare dintre acestea obținută prin deplasarea uneia dintre curbe paralele cu ea însăși în sus sau în jos, adică de-a lungul axei Oh(Fig. 7.2).

Operația de calcul a integralei nedefinite a unei anumite funcții se numește integrare această funcție.

Rețineți că dacă derivata unei funcții elementare este întotdeauna o funcție elementară, atunci antiderivata unei funcții elementare poate să nu fie reprezentată de un număr finit de funcții elementare.

Să luăm în considerare acum proprietățile integralei nedefinite.

Din definiția 2 rezultă:

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul, adica daca F′(x) = f(x) , Asta

2. Diferenţialul integralei nedefinite este egală cu integrandul

. (7.4)

Din definiția diferențialului și proprietății (7.3)

3. Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu această funcţie până la un termen constant, adică (7.5)

Anterior, dată fiind o funcție dată, ghidată de diverse formule și reguli, am găsit derivata ei. Derivatul are numeroase întrebuințări: este viteza de mișcare (sau, mai general, viteza oricărui proces); coeficientul unghiular al tangentei la graficul funcției; folosind derivata, puteți examina o funcție pentru monotonitate și extreme; ajută la rezolvarea problemelor de optimizare.

Dar, alături de problema găsirii vitezei după o lege cunoscută a mișcării, există și o problemă inversă - problema restabilirii legii mișcării după o viteză cunoscută. Să luăm în considerare una dintre aceste probleme.

Exemplul 1. Un punct material se mișcă în linie dreaptă, viteza mișcării sale la momentul t este dată de formula v=gt. Găsiți legea mișcării.
Soluţie. Fie s = s(t) legea de mișcare dorită. Se știe că s"(t) = v(t). Aceasta înseamnă că pentru a rezolva problema trebuie să selectați o funcție s = s(t), a cărei derivată este egală cu gt. Nu este greu de ghicit că \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Răspuns: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Să observăm imediat că exemplul este rezolvat corect, dar incomplet. Se obține \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). De fapt, problema are infinit de soluții: orice funcție de forma \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), unde C este o constantă arbitrară, poate servi drept lege a mișcare, deoarece \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Pentru a face problema mai specifică, a trebuit să remediem situația inițială: să indicăm coordonatele unui punct în mișcare la un moment dat în timp, de exemplu la t = 0. Dacă, de exemplu, s(0) = s 0, atunci din egalitatea s(t) = (gt 2)/2 + C obținem: s(0) = 0 + C, adică C = s 0. Acum legea mișcării este definită în mod unic: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

În matematică, operațiilor reciproc inverse li se dau nume diferite și se inventează notații speciale, de exemplu: pătrarea (x 2) și extragerea rădăcină pătrată(\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) și arcsinus (arcsin x), etc. Procesul de găsire a derivatei unei anumite funcții se numește diferenţiere, iar operația inversă, adică procesul de găsire a unei funcții dintr-o derivată dată, este integrare.

Termenul „derivat” însuși poate fi justificat „în termeni de zi cu zi”: funcția y = f(x) „da naștere” unei noi funcții y" = f"(x). Funcția y = f(x) acționează ca și cum ar fi un „părinte”, dar matematicienii, firesc, nu o numesc „părinte” sau „producător” ei spun că este, în raport cu funcția y” = f"(x) , imagine primară sau primitivă.

Definiţie. Funcția y = F(x) se numește antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X dacă egalitatea F"(x) = f(x) este valabilă pentru \(x \in X\)

În practică, intervalul X de obicei nu este specificat, dar este subînțeles (ca domeniul natural de definire al funcției).

Să dăm exemple.
1) Funcția y = x 2 este antiderivată pentru funcția y = 2x, deoarece pentru orice x egalitatea (x 2)" = 2x este adevărată
2) Funcția y = x 3 este antiderivată pentru funcția y = 3x 2, deoarece pentru orice x egalitatea (x 3)" = 3x 2 este adevărată
3) Funcția y = sin(x) este antiderivată pentru funcția y = cos(x), deoarece pentru orice x egalitatea (sin(x))" = cos(x) este adevărată

Atunci când se găsesc antiderivate, precum și derivate, se folosesc nu numai formule, ci și unele reguli. Ele sunt direct legate de regulile corespunzătoare pentru calcularea instrumentelor derivate.

Știm că derivata unei sume este egală cu suma derivatelor sale. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 1. Antiderivată a unei sume este egală cu suma antiderivatelor.

Știm că factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 2. Dacă F(x) este o antiderivată pentru f(x), atunci kF(x) este o antiderivată pentru kf(x).

Teorema 1. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x), atunci antiderivată pentru funcția y = f(kx + m) este funcția \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Teorema 2. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X, atunci funcția y = f(x) are infinit de antiderivate și toate au forma y = F(x) + C.

Metode de integrare

Metoda de înlocuire variabilă (metoda de înlocuire)

Metoda de integrare prin substituire presupune introducerea unui nou variabila de integrare(adică substituții). În acest caz, integrala dată este redusă la o nouă integrală, care este tabelară sau reductibilă la aceasta. Metode comune nu există o selecție de substituții. Capacitatea de a determina corect substituția este dobândită prin practică.
Să fie necesar să se calculeze integrala \(\textstyle \int F(x)dx \). Să facem substituția \(x= \varphi(t) \) unde \(\varphi(t) \) este o funcție care are o derivată continuă.
Atunci \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) și pe baza proprietății de invarianță a formulei de integrare pentru integrala nedefinită, obținem formula de integrare prin substituție:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integrarea expresiilor de forma \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Dacă m este impar, m > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția sin x = t.
Dacă n este impar, n > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția cos x = t.
Dacă n și m sunt pare, atunci este mai convenabil să se facă substituția tg x = t.

Integrare pe părți

Integrare pe părți - aplicând următoarea formulă de integrare:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
sau:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tabel de integrale nedefinite (antiderivate) ale unor funcții

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

Să luăm în considerare mișcarea unui punct de-a lungul unei linii drepte. Lasă-l să ia timp t de la începutul mișcării punctul a parcurs o distanță Sf). Apoi viteza instantanee v(t) egală cu derivata funcției Sf), adică v(t) = s"(t).

În practică, întâlnim problema inversă: dată fiind viteza de mișcare a unui punct v(t) găsi calea pe care a luat-o Sf), adică găsiți o astfel de funcție Sf), a cărui derivată este egală cu v(t). Funcţie Sf), astfel încât s"(t) = v(t), numită antiderivată a funcției v(t).

De exemplu, dacă v(t) = at, Unde O este un număr dat, apoi funcția
s(t) = (at 2) / 2v(t), deoarece
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

Funcţie F(x) numită antiderivată a funcției f(x) la un anumit interval, dacă pentru toate X din acest gol F"(x) = f(x).

De exemplu, funcția F(x) = sin x este antiderivată a funcției f(x) = cos x, deoarece (sin x)" = cos x; funcţie F(x) = x 4 /4 este antiderivată a funcției f(x) = x 3, pentru că (x 4 /4)" = x 3.

Să luăm în considerare problema.

Sarcină.

Demonstrați că funcțiile x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 sunt antiderivate ale aceleiași funcții f(x) = x 2.

Soluţie.

1) Să notăm F 1 (x) = x 3 /3, apoi F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x).

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( x).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

În general, orice funcție x 3 /3 + C, unde C este o constantă, este o antiderivată a funcției x 2. Aceasta rezultă din faptul că derivata constantei este zero. Acest exemplu arată că pentru o funcție dată antiderivatul său este determinat în mod ambiguu.

Fie F 1 (x) și F 2 (x) două antiderivate ale aceleiași funcții f(x).

Atunci F 1 "(x) = f(x) și F" 2 (x) = f(x).

Derivata diferenței lor g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) este egală cu zero, deoarece g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) ) – f (x) = 0.

Dacă g"(x) = 0 pe un anumit interval, atunci tangenta la graficul funcției y = g(x) în fiecare punct al acestui interval este paralelă cu axa Ox. Prin urmare, graficul funcției y = g(x) este o linie dreaptă paralelă cu axa Ox, adică g(x) = C, unde C este o constantă din egalitățile g(x) = C, g(x) = F 1 (x). – F 2 (x) rezultă că F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Deci, dacă funcția F(x) este o antiderivată a funcției f(x) pe un anumit interval, atunci toate antiderivatele funcției f(x) sunt scrise sub forma F(x) + C, unde C este un constantă arbitrară.

Să luăm în considerare graficele tuturor antiderivatelor unei funcții date f(x). Dacă F(x) este una dintre antiderivatele funcției f(x), atunci orice antiderivată a acestei funcții se obține prin adăugarea la F(x) a unei constante: F(x) + C. Grafice ale funcțiilor y = F( x) + C se obțin din graficul y = F(x) prin deplasare de-a lungul axei Oy. Alegând C, vă puteți asigura că graficul antiderivatei trece printr-un punct dat.

Să fim atenți la regulile pentru găsirea antiderivatelor.

Reamintim că se numește operația de găsire a derivatei pentru o funcție dată diferenţiere. Se numește operația inversă de găsire a antiderivatei pentru o funcție dată integrare(din cuvântul latin "restabili").

Tabel cu antiderivate pentru unele funcții poate fi compilat folosind un tabel de derivate. De exemplu, știind asta (cos x)" = -sin x, primim (-cos x)" = sin x, din care rezultă că toate funcțiile antiderivate sin x sunt scrise sub formă -cos x + C, Unde CU– constantă.

Să ne uităm la câteva dintre semnificațiile antiderivatelor.

1) Funcţie: x p, p ≠ -1. Antiderivat: (x p+1) / (p+1) + C.

2) Funcţie: 1/x, x > 0. Antiderivat: ln x + C.

3) Funcţie: x p, p ≠ -1. Antiderivat: (x p+1) / (p+1) + C.

4) Funcţie: e x. Antiderivat: e x + C.

5) Funcţie: sin x. Antiderivat: -cos x + C.

6) Funcţie: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Antiderivat: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Funcţie: 1/(kx + b), k ≠ 0. Antiderivat: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Funcţie: e kx + b, k ≠ 0. Antiderivat: (1/k) e kx + b + C.

9) Funcţie: sin (kx + b), k ≠ 0. Antiderivat: (-1/k) cos (kx + b).

10) Funcţie: cos (kx + b), k ≠ 0. Antiderivat: (1/k) sin (kx + b).

Reguli de integrare poate fi obținut folosind reguli de diferențiere. Să ne uităm la câteva reguli.

Lasă F(x)Şi G(x)– respectiv antiderivate ale funcţiilor f(x)Şi g(x) la un anumit interval. Apoi:

1) funcţie F(x) ± G(x) este antiderivată a funcției f(x) ± g(x);

2) funcţie аF(x) este antiderivată a funcției аf(x).

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Definiţia antiderivative.

O antiderivată a unei funcții f(x) pe intervalul (a; b) este o funcție F(x) astfel încât egalitatea este valabilă pentru orice x din intervalul dat.

Dacă luăm în considerare faptul că derivata constantei C este egală cu zero, atunci egalitatea este adevărată . Astfel, funcția f(x) are un set de antiderivate F(x)+C, pentru o constantă arbitrară C, iar aceste antiderivate diferă între ele printr-o valoare constantă arbitrară.

Definiția unei integrale nedefinite.

Întregul set de antiderivate ale funcției f(x) se numește integrală nedefinită a acestei funcții și se notează .

Expresia se numește integrandși f(x) – funcția integrand. Integrandul reprezintă diferența funcției f(x) .

Se numește acțiunea de a găsi o funcție necunoscută având în vedere diferența sa nesigur integrarea, deoarece rezultatul integrării nu este o funcție F(x), ci o mulțime de antiderivatele sale F(x)+C.

Pe baza proprietăților derivatului, se poate formula și dovedi proprietățile integralei nedefinite(proprietățile unui antiderivat).

Egalitățile intermediare ale primei și celei de-a doua proprietăți ale integralei nedefinite sunt date pentru clarificare.

Pentru a demonstra a treia și a patra proprietăți, este suficient să găsiți derivatele părților din dreapta ale egalităților:

Aceste derivate sunt egale cu integranții, ceea ce este o dovadă datorită primei proprietăți. Este folosit și în ultimele tranziții.

Astfel, problema integrării este inversul problemei diferențierii și există o legătură foarte strânsă între aceste probleme:

• prima proprietate permite verificarea integrării. Pentru a verifica corectitudinea integrarii efectuate este suficient sa se calculeze derivata rezultatului obtinut. Dacă funcția obținută ca urmare a diferențierii se dovedește a fi egală cu integrandul, aceasta va însemna că integrarea a fost efectuată corect;
• a doua proprietate a integralei nedefinite permite găsirea antiderivată a acesteia dintr-o diferenţială cunoscută a unei funcţii. Calculul direct al integralelor nedefinite se bazează pe această proprietate.

Să ne uităm la un exemplu.

Exemplu.

Găsi antiderivat al funcției, a cărui valoare este egală cu unu la x = 1.

Soluţie.

Din calculul diferenţial ştim că (doar uitați-vă la tabelul derivatelor funcțiilor elementare de bază). Astfel, . Prin a doua proprietate . Adică avem multe antiderivate. Pentru x = 1 obținem valoarea . Conform condiției, această valoare trebuie să fie egală cu unu, prin urmare, C = 1. Antiderivatul dorit va lua forma .

Exemplu.

Aflați integrala nedefinită și verificați rezultatul prin diferențiere.

Soluţie.

Folosind formula sinusului cu unghi dublu din trigonometrie , De aceea