La cursul de matematică de clasa a VII-a ne întâlnim pentru prima dată ecuații cu două variabile, dar ele sunt studiate numai în contextul sistemelor de ecuații cu două necunoscute. De aceea, o serie întreagă de probleme în care se introduc anumite condiții asupra coeficienților ecuației care îi limitează scad din vedere. În plus, metodele de rezolvare a problemelor precum „Rezolvarea unei ecuații în numere naturale sau întregi” sunt, de asemenea, ignorate, deși în Materiale pentru examenul de stat unificat Iar la examenele de admitere se intalnesc tot mai des probleme de acest gen.
Care ecuație va fi numită ecuație cu două variabile?
Deci, de exemplu, ecuațiile 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 sau xy = 12 sunt ecuații în două variabile.
Luați în considerare ecuația 2x – y = 1. Devine adevărată când x = 2 și y = 3, deci această pereche de valori variabile este o soluție a ecuației în cauză.
Astfel, soluția oricărei ecuații cu două variabile este un set de perechi ordonate (x; y), valori ale variabilelor care transformă această ecuație într-o adevărată egalitate numerică.
O ecuație cu două necunoscute poate:
O) au o singura solutie. De exemplu, ecuația x 2 + 5y 2 = 0 are o soluție unică (0; 0);
b) au mai multe solutii. De exemplu, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 are 4 soluții: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
V) nu au solutii. De exemplu, ecuația x 2 + y 2 + 1 = 0 nu are soluții;
G) au infinit de solutii. De exemplu, x + y = 3. Soluțiile acestei ecuații vor fi numere a căror sumă este egală cu 3. Mulțimea soluțiilor acestei ecuații poate fi scrisă sub forma (k; 3 – k), unde k este orice real număr.
Principalele metode de rezolvare a ecuațiilor cu două variabile sunt metode bazate pe factorizarea expresiilor, izolarea unui pătrat complet, folosind proprietățile unei ecuații pătratice, expresii limitate și metode de estimare. Ecuația este de obicei convertită într-o formă din care se poate obține un sistem pentru găsirea necunoscutelor.
Factorizarea
Exemplul 1.
Rezolvați ecuația: xy – 2 = 2x – y.
Soluţie.
Grupăm termenii în scopul factorizării:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Din fiecare paranteză scoatem un factor comun:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Avem:
y = 2, x – orice număr real sau x = -1, y – orice număr real.
Astfel, răspunsul este toate perechile de forma (x; 2), x € R și (-1; y), y € R.
Egal cu zero nu este numere negative
Exemplul 2.
Rezolvați ecuația: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Soluţie.
Grupare:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Acum fiecare paranteză poate fi pliat folosind formula diferenței pătrate.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Suma a două expresii nenegative este zero numai dacă 3x – 2 = 0 și 2y – 3 = 0.
Aceasta înseamnă x = 2/3 și y = 3/2.
Răspuns: (2/3; 3/2).
Metoda de estimare
Exemplul 3.
Rezolvați ecuația: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Soluţie.
În fiecare paranteză selectăm un pătrat complet:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Să estimăm 
sensul expresiilor din paranteze.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 și (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, atunci partea stângă a ecuației este întotdeauna cel puțin 2. Egalitatea este posibilă dacă:
(x + 1) 2 + 1 = 1 și (y – 2) 2 + 2 = 2, ceea ce înseamnă x = -1, y = 2.
Răspuns: (-1; 2).
Să facem cunoștință cu o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor cu două variabile de gradul doi. Această metodă constă în tratarea ecuației ca pătrat în raport cu o variabilă.
Exemplul 4.
Rezolvați ecuația: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Soluţie.
Să rezolvăm ecuația ca o ecuație pătratică pentru x. Să găsim discriminantul:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Ecuația va avea o soluție numai când D = 0, adică dacă y = 4. Înlocuim valoarea lui y în ecuația originală și aflăm că x = 3.
Răspuns: (3; 4).
Adesea în ecuații cu două necunoscute indică restricții asupra variabilelor.
Exemplul 5.
Rezolvați ecuația în numere întregi: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Soluţie.
Să rescriem ecuația sub forma x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Latura dreaptă a ecuației rezultate atunci când este împărțită la 5 dă un rest de 2. Prin urmare, x 2 nu este divizibil cu 5. Dar pătratul lui a numărul nedivizibil cu 5 dă un rest de 1 sau 4. Astfel, egalitatea este imposibilă și nu există soluții.
Răspuns: fără rădăcini.
Exemplul 6.
Rezolvați ecuația: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Soluţie.
Să evidențiem pătratele complete din fiecare paranteză:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Partea stângă a ecuației este întotdeauna mai mare sau egală cu 3. Egalitatea este posibilă cu condiția |x| – 2 = 0 și y + 3 = 0. Astfel, x = ± 2, y = -3.
Răspuns: (2; -3) și (-2; -3).
Exemplul 7.
Pentru fiecare pereche de numere întregi negative (x;y) care satisface ecuația
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calculați suma (x + y). Vă rugăm să indicați cea mai mică sumă în răspunsul dvs.
Soluţie.
Să selectăm pătrate complete:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Deoarece x și y sunt numere întregi, pătratele lor sunt de asemenea numere întregi. Obținem suma pătratelor a două numere întregi egale cu 37 dacă adunăm 1 + 36. Prin urmare:
(x – y) 2 = 36 și (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 și (y + 2) 2 = 36.
Rezolvând aceste sisteme și ținând cont de faptul că x și y sunt negative, găsim soluții: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Răspuns: -17.
Nu disperați dacă aveți dificultăți în rezolvarea ecuațiilor cu două necunoscute. Cu puțină practică, poți gestiona orice ecuație.
Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații în două variabile?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.
I. ax 2 =0 – incomplet ecuație pătratică (b=0, c=0 ). Rezolvare: x=0. Raspuns: 0.
Rezolvați ecuații.
2x·(x+3)=6x-x 2 .
Soluţie. Să deschidem paranteze prin înmulțire 2x pentru fiecare termen dintre paranteze:
2x 2 +6x=6x-x 2 ; Mutăm termenii din partea dreaptă la stânga:
2x 2 +6x-6x+x 2 =0; Iată termeni similari:
3x 2 =0, deci x=0.
Răspuns: 0.
II. ax 2 +bx=0 –incomplet ecuație pătratică (c=0 ). Rezolvare: x (ax+b)=0 → x 1 =0 sau ax+b=0 → x 2 =-b/a. Raspuns: 0; -b/a.
5x 2 -26x=0.
Soluţie. Să eliminăm factorul comun Xîn afara parantezelor:
x(5x-26)=0; fiecare factor poate fi egal cu zero:
x=0 sau 5x-26=0→ 5x=26, împărțiți ambele părți ale egalității la 5 și obținem: x=5,2.
Răspuns: 0; 5,2.
Exemplul 3. 64x+4x 2 =0.
Soluţie. Să eliminăm factorul comun 4xîn afara parantezelor:
4x(16+x)=0. Avem trei factori, 4≠0, prin urmare, sau x=0 sau 16+x=0. Din ultima egalitate obținem x=-16.
Răspuns: -16; 0.
Exemplul 4.(x-3) 2 +5x=9.
Soluţie. Aplicând formula pentru pătratul diferenței a două expresii, vom deschide parantezele:
x 2 -6x+9+5x=9; transforma la forma: x 2 -6x+9+5x-9=0; Să prezentăm termeni similari:
x2-x=0; o vom scoate Xîn afara parantezelor, obținem: x (x-1)=0. De aici sau x=0 sau x-1=0→ x=1.
Răspuns: 0; 1.
III. ax 2 +c=0 –incomplet ecuație pătratică (b=0 ); Rezolvare: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.
Dacă (-c/a)<0 , atunci nu există rădăcini reale. Dacă (-с/а)>0
Exemplul 5. x 2 -49=0.
Soluţie.
x 2 =49, de aici x=±7. Răspuns:-7; 7.
Exemplul 6. 9x 2 -4=0.
Soluţie.
Adesea trebuie să găsiți suma pătratelor (x 1 2 +x 2 2) sau suma cuburilor (x 1 3 +x 2 3) a rădăcinilor unei ecuații pătratice, mai rar - suma valorilor reciproce a pătratelor rădăcinilor sau a sumei rădăcinilor pătrate aritmetice ale rădăcinilor unei ecuații pătratice:
Teorema lui Vieta poate ajuta cu asta:
x 2 +px+q=0
x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.
Să ne exprimăm prin pŞi q:
1) suma pătratelor rădăcinilor ecuației x 2 +px+q=0;
2) suma cuburilor rădăcinilor ecuației x 2 +px+q=0.
Soluţie.
1) Expresie x 1 2 +x 2 2 obţinută prin pătrarea ambelor părţi ale ecuaţiei x 1 + x 2 = -p;
(x1 +x2)2 =(-p)2; deschideți parantezele: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; exprimăm suma necesară: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Avem o egalitate utilă: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.
2) Expresie x 1 3 +x 2 3 Să reprezentăm suma cuburilor folosind formula:
(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2) -3q).
O altă ecuație utilă: x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).
Exemple.
3) x 2 -3x-4=0. Fără a rezolva ecuația, calculați valoarea expresiei x 1 2 +x 2 2.
Soluţie.
x 1 +x 2 =-p=3, si munca x 1 ∙x 2 =q=în exemplul 1) egalitate:
x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q. Avem -p=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Apoi x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.
Răspuns: x 1 2 +x 2 2 =17.
4) x 2 -2x-4=0. Calculați: x 1 3 +x 2 3 .
Soluţie.
După teorema lui Vieta, suma rădăcinilor acestei ecuații pătratice reduse este x 1 +x 2 =-p=2, si munca x 1 ∙x 2 =q=-4. Să aplicăm ceea ce am primit ( în exemplul 2) egalitate: x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.
Răspuns: x 1 3 +x 2 3 =32.
Întrebare: ce se întâmplă dacă ni se oferă o ecuație pătratică neredusă? Răspuns: poate fi întotdeauna „redusă” prin împărțirea termenului cu termen la primul coeficient.
5) 2x 2 -5x-7=0. Fără a decide, calculează: x 1 2 +x 2 2.
Soluţie. Ni se oferă o ecuație pătratică completă. Împărțiți ambele părți ale egalității la 2 (primul coeficient) și obțineți următoarea ecuație pătratică: x 2 -2,5x-3,5=0.
Conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor este egală cu 2,5 ; produsul rădăcinilor este egal cu -3,5 .
O rezolvăm în același mod ca exemplul 3) folosind egalitatea: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.
x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
Răspuns: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x 2 -5x-2=0. Găsi:
Să transformăm această egalitate și, folosind teorema lui Vieta, să înlocuim suma rădăcinilor -p, iar produsul rădăcinilor prin q, obținem o altă formulă utilă. La derivarea formulei, am folosit egalitatea 1): x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.
În exemplul nostru x 1 +x 2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Inlocuim aceste valori in formula rezultata:
7) x 2 -13x+36=0. Găsi:
Să transformăm această sumă și să obținem o formulă care poate fi folosită pentru a găsi suma rădăcinilor pătrate aritmetice din rădăcinile unei ecuații pătratice.
Avem x1 +x2 =-p=13; x 1 ∙x 2 =q=36. Inlocuim aceste valori in formula rezultata:
Sfaturi : Verificați întotdeauna posibilitatea de a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice folosind o metodă adecvată, deoarece 4 revizuit formule utile vă permit să finalizați rapid o sarcină, mai ales în cazurile în care discriminantul este un număr „incomod”. În toate cazurile simple, găsiți rădăcinile și operați asupra lor. De exemplu, în ultimul exemplu selectăm rădăcinile folosind teorema lui Vieta: suma rădăcinilor ar trebui să fie egală cu 13 , și produsul rădăcinilor 36 . Care sunt aceste numere? Cu siguranţă, 4 și 9. Acum calculați suma rădăcinilor pătrate ale acestor numere: 2+3=5. Asta este!
I. Teorema lui Vieta pentru ecuația pătratică redusă.
Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse x 2 +px+q=0 este egal cu al doilea coeficient luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber:
x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.
Găsiți rădăcinile ecuației pătratice date folosind teorema lui Vieta.
Exemplul 1) x 2 -x-30=0. Aceasta este ecuația pătratică redusă ( x 2 +px+q=0), al doilea coeficient p=-1, și membrul gratuit q=-30.În primul rând, să ne asigurăm că această ecuație are rădăcini și că rădăcinile (dacă există) vor fi exprimate în numere întregi. Pentru a face acest lucru, este suficient ca discriminantul să fie un pătrat perfect al unui număr întreg.
Găsirea discriminantului D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
Acum, conform teoremei lui Vieta, suma rădăcinilor trebuie să fie egală cu al doilea coeficient luat cu semnul opus, adică. ( -p), iar produsul este egal cu termenul liber, i.e. ( q). Apoi:
x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Trebuie să alegem două numere astfel încât produsul lor să fie egal cu -30 , iar suma este unitate. Acestea sunt numere -5 Şi 6 . Răspuns: -5; 6.
Exemplul 2) x 2 +6x+8=0. Avem ecuația pătratică redusă cu al doilea coeficient p=6și membru gratuit q=8. Să ne asigurăm că există rădăcini întregi. Să găsim discriminantul D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Discriminantul D 1 este pătratul perfect al numărului 1 , ceea ce înseamnă că rădăcinile acestei ecuații sunt numere întregi. Să selectăm rădăcinile folosind teorema lui Vieta: suma rădăcinilor este egală cu –р=-6, iar produsul rădăcinilor este egal cu q=8. Acestea sunt numere -4 Şi -2 .
De fapt: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Răspuns: -4; -2.
Exemplul 3) x 2 +2x-4=0. În această ecuație pătratică redusă, al doilea coeficient p=2, și membrul gratuit q=-4. Să găsim discriminantul D 1, deoarece al doilea coeficient este număr par. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Discriminantul nu este un pătrat perfect al numărului, așa că facem concluzie: Rădăcinile acestei ecuații nu sunt numere întregi și nu pot fi găsite folosind teorema lui Vieta. Aceasta înseamnă că rezolvăm această ecuație, ca de obicei, folosind formule (în acest caz, folosind formule). Primim:
Exemplul 4). Scrieți o ecuație pătratică folosind rădăcinile ei dacă x 1 =-7, x 2 =4.
Soluţie. Ecuația necesară va fi scrisă sub forma: x 2 +px+q=0și, pe baza teoremei lui Vieta –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Atunci ecuația va lua forma: x 2 +3x-28=0.
Exemplul 5). Scrieți o ecuație pătratică folosind rădăcinile sale dacă:
II. teorema lui Vieta pentru o ecuație pătratică completă ax 2 +bx+c=0.
Suma rădăcinilor este minus b, împărțit la O, produsul rădăcinilor este egal cu Cu, împărțit la O:
x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.
Exemplul 6). Aflați suma rădăcinilor unei ecuații pătratice 2x 2 -7x-11=0.
Soluţie.
Ne asigurăm că această ecuație va avea rădăcini. Pentru a face acest lucru, este suficient să creați o expresie pentru discriminant și, fără a o calcula, asigurați-vă că discriminantul este mai mare decât zero. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Acum să folosim teorema Vieta pentru supraponderali ecuații pătratice.
x 1 +x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.
Exemplul 7). Aflați produsul rădăcinilor unei ecuații pătratice 3x 2 +8x-21=0.
Soluţie.
Să găsim discriminantul D 1, deoarece al doilea coeficient ( 8 ) este un număr par. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Ecuația pătratică are 2 rădăcină, conform teoremei lui Vieta, produsul rădăcinilor x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.
I. ax 2 +bx+c=0– ecuație pătratică generală
Discriminant D=b2-4ac.
Dacă D>0, atunci avem două rădăcini reale:
Dacă D=0, atunci avem o singură rădăcină (sau două rădăcini egale) x=-b/(2a).
Daca D<0, то действительных корней нет.
Exemplu 1) 2x 2 +5x-3=0.
Soluţie. o=2; b=5; c=-3.
D=b2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 rădăcini adevărate.
4x 2 +21x+5=0.
Soluţie. o=4; b=21; c=5.
D=b2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 rădăcini adevărate.
II. ax 2 +bx+c=0 – ecuație pătratică de formă particulară cu chiar secundă
coeficient b
Exemplu 3) 3x 2 -10x+3=0.
Soluţie. o=3; b=-10 (număr par); c=3.
Exemplul 4) 5x 2 -14x-3=0.
Soluţie. o=5; b= -14 (număr par); c=-3.
Exemplul 5) 71x 2 +144x+4=0.
Soluţie. o=71; b=144 (număr par); c=4.
Exemplul 6) 9x 2 -30x+25=0.
Soluţie. o=9; b=-30 (număr par); c=25.
III. ax 2 +bx+c=0 – ecuație pătratică tip privat furnizat: a-b+c=0.
Prima rădăcină este întotdeauna egală cu minus unu, iar a doua rădăcină este întotdeauna egală cu minus Cu, împărțit la O:
x 1 =-1, x 2 =-c/a.
Exemplul 7) 2x 2 +9x+7=0.
Soluţie. o=2; b=9; c=7. Să verificăm egalitatea: a-b+c=0. Primim: 2-9+7=0 .
Apoi x 1 =-1, x 2 =-c/a=-7/2=-3,5. Răspuns: -1; -3,5.
IV. ax 2 +bx+c=0 – ecuație pătratică a unei anumite forme supuse : a+b+c=0.
Prima rădăcină este întotdeauna egală cu unu, iar a doua rădăcină este egală cu Cu, împărțit la O:
x 1 =1, x 2 =c/a.
Exemplul 8) 2x 2 -9x+7=0.
Soluţie. o=2; b=-9; c=7. Să verificăm egalitatea: a+b+c=0. Primim: 2-9+7=0 .
Apoi x 1 =1, x 2 =c/a=7/2=3,5. Răspuns: 1; 3,5.
Pagina 1 din 1 1
Ecuațiile cuadratice sunt studiate în clasa a VIII-a, așa că nu este nimic complicat aici. Capacitatea de a le rezolva este absolut necesară.
O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde coeficienții a, b și c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.
Înainte de a studia metode specifice de soluție, rețineți că toate ecuațiile pătratice pot fi împărțite în trei clase:
- Nu au rădăcini;
- Au exact o rădăcină;
- Au două rădăcini diferite.
Aceasta este o diferență importantă între ecuațiile pătratice și cele liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum se determină câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminant.
Discriminant
Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0 Atunci discriminantul este pur și simplu numărul D = b 2 − 4ac.
Trebuie să știi această formulă pe de rost. De unde vine nu este important acum. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului poți determina câte rădăcini are o ecuație pătratică. Anume:
- Daca D< 0, корней нет;
- Dacă D = 0, există exact o rădăcină;
- Dacă D > 0, vor exista două rădăcini.
Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini și deloc semnele acestora, așa cum cred din anumite motive mulți oameni. Aruncă o privire la exemple și vei înțelege totul singur:
Sarcină. Câte rădăcini au ecuațiile pătratice:
- x 2 − 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Să scriem coeficienții pentru prima ecuație și să găsim discriminantul:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Deci discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. Analizăm a doua ecuație într-un mod similar:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.
Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămasă este:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Discriminant egal cu zero- va exista o singură rădăcină.
Vă rugăm să rețineți că coeficienții au fost notați pentru fiecare ecuație. Da, este lung, da, este plictisitor, dar nu vei amesteca șansele și nu vei face greșeli stupide. Alege pentru tine: viteza sau calitate.
Apropo, dacă înțelegi, după un timp nu va trebui să notezi toți coeficienții. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după 50-70 de ecuații rezolvate - în general, nu atât de mult.
Rădăcinile unei ecuații pătratice
Acum să trecem la soluția în sine. Dacă discriminantul D > 0, rădăcinile pot fi găsite folosind formulele:
Formula de bază pentru rădăcinile unei ecuații pătratice
Când D = 0, puteți folosi oricare dintre aceste formule - veți obține același număr, care va fi răspunsul. În sfârșit, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0.
Prima ecuație:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Să le găsim:
A doua ecuație:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Să le găsim
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]
În sfârșit, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Se poate folosi orice formulă. De exemplu, primul:
După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știi formulele și poți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar la înlocuirea coeficienților negativi în formulă. Din nou, tehnica descrisă mai sus vă va ajuta: uitați-vă la formula literal, notați fiecare pas - și foarte curând veți scăpa de greșeli.
Ecuații patratice incomplete
Se întâmplă ca o ecuație pătratică să fie ușor diferită de ceea ce este dat în definiție. De exemplu:
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 − 16 = 0.
Este ușor de observat că acestor ecuații lipsește unul dintre termeni. Astfel de ecuații pătratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici măcar nu necesită calcularea discriminantului. Deci, să introducem un nou concept:
Ecuația ax 2 + bx + c = 0 se numește ecuație pătratică incompletă dacă b = 0 sau c = 0, adică. coeficientul variabilei x sau al elementului liber este egal cu zero.
Desigur, un caz foarte dificil este posibil când ambii acești coeficienți sunt egali cu zero: b = c = 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 = 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură rădăcină: x = 0.
Să luăm în considerare cazurile rămase. Fie b = 0, atunci obținem o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0. Să o transformăm puțin:
Din moment ce aritmetica rădăcină pătrată există doar dintr-un număr nenegativ, ultima egalitate are sens doar pentru (−c /a) ≥ 0. Concluzie:
- Dacă într-o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0 este satisfăcută inegalitatea (−c /a) ≥ 0, vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
- Dacă (−c /a)< 0, корней нет.
După cum puteți vedea, nu a fost necesar un discriminant - nu există deloc calcule complexe în ecuațiile pătratice incomplete. De fapt, nici nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c /a) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea x 2 și să vedem ce este de cealaltă parte a semnului egal. Dacă există un număr pozitiv, vor exista două rădăcini. Dacă este negativ, nu vor exista deloc rădăcini.
Acum să ne uităm la ecuații de forma ax 2 + bx = 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorizezi polinomul:
Scoaterea factorului comun din parantezeProdusul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. De aici vin rădăcinile. În concluzie, să ne uităm la câteva dintre aceste ecuații:
Sarcină. Rezolvarea ecuațiilor pătratice:
- x 2 − 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nu există rădăcini, pentru că un pătrat nu poate fi egal cu un număr negativ.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.
Serviciul online de rezolvare a ecuațiilor vă va ajuta să rezolvați orice ecuație. Folosind site-ul nostru, nu numai că veți primi răspunsul la ecuație, dar veți și vedea soluție detaliată, adică o afișare pas cu pas a procesului de obținere a rezultatului. Serviciul nostru va fi util elevilor de liceu scoli medii si parintii lor. Elevii se vor putea pregăti pentru teste și examene, își vor testa cunoștințele, iar părinții vor putea monitoriza rezolvarea ecuațiilor matematice de către copiii lor. Capacitatea de a rezolva ecuații este o cerință obligatorie pentru școlari. Serviciul vă va ajuta să vă educați și să vă îmbunătățiți cunoștințele în domeniul ecuațiilor matematice. Cu ajutorul lui poți rezolva orice ecuație: pătratică, cubică, irațională, trigonometrică etc. Beneficiu serviciu onlineși este de neprețuit, deoarece pe lângă răspunsul corect, primești o soluție detaliată pentru fiecare ecuație. Beneficiile rezolvării ecuațiilor online. Puteți rezolva orice ecuație online pe site-ul nostru absolut gratuit. Serviciul este complet automat, nu trebuie să instalați nimic pe computer, trebuie doar să introduceți datele și programul vă va oferi o soluție. Sunt excluse orice erori de calcul sau greșeli de scriere. Cu noi, rezolvarea oricărei ecuații online este foarte ușoară, așa că asigurați-vă că folosiți site-ul nostru pentru a rezolva orice fel de ecuații. Trebuie doar să introduceți datele și calculul va fi finalizat în câteva secunde. Programul funcționează independent, fără intervenție umană și primești un răspuns precis și detaliat. Rezolvarea ecuației în vedere generală. Într-o astfel de ecuație, coeficienții variabili și rădăcinile dorite sunt interconectate. Cea mai mare putere a unei variabile determină ordinea unei astfel de ecuații. Pe baza acesteia, se folosesc diverse metode și teoreme pentru ecuații pentru a găsi soluții. Rezolvarea ecuațiilor de acest tip înseamnă găsirea rădăcinilor necesare în formă generală. Serviciul nostru vă permite să rezolvați chiar și cea mai complexă ecuație algebrică online. Puteți obține atât o soluție generală a ecuației, cât și una particulară pentru valorile numerice ale coeficienților pe care îi specificați. Pentru a rezolva o ecuație algebrică pe site, este suficient să completați corect doar două câmpuri: părțile din stânga și din dreapta ecuației date. Ecuațiile algebrice cu coeficienți variabili au un număr infinit de soluții, iar prin setare anumite conditii, cele private sunt selectate dintr-o varietate de soluții. Ecuație cuadratică. Ecuația pătratică are forma ax^2+bx+c=0 pentru a>0. Rezolvarea ecuațiilor pătratice presupune găsirea valorilor lui x la care este valabilă egalitatea ax^2+bx+c=0. Pentru a face acest lucru, găsiți valoarea discriminantă folosind formula D=b^2-4ac. Dacă discriminantul este mai mic decât zero, atunci ecuația nu are rădăcini reale (rădăcinile sunt din câmp numere complexe), dacă este egală cu zero, atunci ecuația are o rădăcină reală, iar dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci ecuația are două rădăcini reale, care se găsesc prin formula: D= -b+-sqrt/2a. Pentru a rezolva o ecuație pătratică online, trebuie doar să introduceți coeficienții unei astfel de ecuații (numere întregi, fracții sau zecimale). Dacă într-o ecuație există semne de scădere, trebuie să puneți semnul minus în fața termenilor corespunzători ai ecuației. Puteți rezolva o ecuație pătratică online în funcție de parametru, adică de variabilele din coeficienții ecuației. Serviciul nostru online pentru găsire solutii generale. Ecuații liniare. Pentru a rezolva ecuații liniare(sau sisteme de ecuații) există patru metode principale utilizate în practică. Vom descrie fiecare metodă în detaliu. Metoda de înlocuire. Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda substituției necesită exprimarea unei variabile în termenii celorlalte. După aceasta, expresia este înlocuită în alte ecuații ale sistemului. De aici denumirea metodei soluției, adică în loc de variabilă, expresia acesteia este substituită prin variabilele rămase. În practică, metoda necesită calcule complexe, deși este ușor de înțeles, așa că rezolvarea unei astfel de ecuații online va ajuta la economisirea de timp și la ușurarea calculelor. Trebuie doar să indicați numărul de necunoscute din ecuație și să completați datele din ecuațiile liniare, apoi serviciul va face calculul. metoda Gauss. Metoda se bazează pe cele mai simple transformări ale sistemului pentru a ajunge la un sistem triunghiular echivalent. Din ea, necunoscutele sunt determinate unul câte unul. În practică, este necesar să rezolvi o astfel de ecuație online cu descriere detaliată, datorită căruia veți avea o bună înțelegere a metodei gaussiene pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Notați sistemul de ecuații liniare în formatul corect și luați în considerare numărul de necunoscute pentru a rezolva cu acuratețe sistemul. metoda lui Cramer. Această metodă rezolvă sisteme de ecuații în cazurile în care sistemul are o soluție unică. Principala acțiune matematică aici este calculul determinanților matricei. Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda Cramer se realizează online, rezultatul îl primiți instantaneu cu o descriere completă și detaliată. Este suficient doar să umpleți sistemul cu coeficienți și să selectați numărul de variabile necunoscute. Metoda matricei. Această metodă constă în colectarea coeficienților necunoscutelor din matricea A, a necunoscutelor în coloana X și a termenilor liberi în coloana B. Astfel, sistemul de ecuații liniare se reduce la o ecuație matriceală de forma AxX = B. Această ecuație are o soluție unică numai dacă determinantul matricei A este diferit de zero, în caz contrar sistemul nu are soluții, sau un număr infinit de soluții. Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda matricei implică găsirea matricei inverse A.
7 comerț și depozitare online
Legende urbane: Podul Anichkov, cai, Klodt
Templul lui Hatshepsut din Luxor Portretul lui Hatshepsut
De ce nu poți să-ți saluti și la revedere peste prag De ce nu transferi bani peste prag
Nivelul de educație în lume - clasamente și comparații pe țări