Paralelepiped, cub. Teorie detaliată cu exemple

Elevii întreabă adesea indignați: „Cum îmi va fi de folos în viață?” Pe orice subiect al fiecărui subiect. Subiectul despre volumul unui paralelipiped nu face excepție. Și aici puteți spune doar: „Va fi util”.

Cum, de exemplu, puteți afla dacă un pachet va încăpea într-o cutie poștală? Desigur, îl puteți alege pe cel potrivit prin încercare și eroare. Ce se întâmplă dacă acest lucru nu este posibil? Apoi calculele vor veni în ajutor. Cunoscând capacitatea cutiei, puteți calcula volumul coletului (cel puțin aproximativ) și puteți răspunde la întrebarea pusă.

Paralelepiped și tipurile sale

Dacă traducem literal numele său din greaca veche, se dovedește că este o figură formată din planuri paralele. Există următoarele definiții echivalente ale unui paralelipiped:

• o prismă cu o bază sub formă de paralelogram;
• un poliedru, fiecare față fiind un paralelogram.

Tipurile sale se disting în funcție de figura se află la baza sa și de modul în care sunt direcționate coastele laterale. În general, vorbim despre paralelipiped înclinat, a cărui bază și toate fețele sunt paralelograme. Dacă fețele laterale ale vederii anterioare devin dreptunghiuri, atunci va trebui să fie apelată direct. Şi dreptunghiular iar baza are și unghiuri de 90º.

Mai mult, în geometrie ei încearcă să-l înfățișeze pe acesta din urmă în așa fel încât să se observe că toate marginile sunt paralele. Iată, apropo, principala diferență dintre matematicieni și artiști. Este important ca acesta din urmă să transmită corpul în conformitate cu legea perspectivei. Și în acest caz, paralelismul coastelor este complet invizibil.

Despre notațiile introduse

În formulele de mai jos sunt valabile notațiile indicate în tabel.

Formule pentru un paralelipiped înclinat

Primul și al doilea pentru zone:

Al treilea este de a calcula volumul unui paralelipiped:

Deoarece baza este un paralelogram, pentru a-și calcula aria va trebui să utilizați expresiile corespunzătoare.

Formule pentru un paralelipiped dreptunghiular

Similar cu primul punct - două formule pentru zone:

Și încă unul pentru volum:

Prima sarcină

Stare. Având în vedere un paralelipiped dreptunghiular, al cărui volum trebuie găsit. Se cunoaște diagonala - 18 cm - și faptul că formează unghiuri de 30 și 45 de grade cu planul feței laterale și respectiv al marginii laterale.

Soluţie. Pentru a răspunde la întrebarea problemă, va trebui să cunoașteți toate laturile din trei triunghiuri dreptunghiulare. Ei vor da valorile necesare ale marginilor prin care trebuie să calculați volumul.

Mai întâi trebuie să vă dați seama unde este unghiul de 30 de grade. Pentru a face acest lucru, trebuie să desenați o diagonală a feței laterale din același vârf de unde a fost desenată diagonala principală a paralelogramului. Unghiul dintre ele va fi ceea ce este necesar.

Primul triunghi care va da una dintre valorile laturilor bazei va fi următorul. Conține latura necesară și două diagonale desenate. Este dreptunghiulară. Acum trebuie să utilizați raportul dintre piciorul opus (partea bazei) și ipotenuza (diagonală). Este egal cu sinusul de 30º. Adică, latura necunoscută a bazei va fi determinată ca diagonală înmulțită cu sinusul de 30º sau ½. Să fie desemnat cu litera „a”.

Al doilea va fi un triunghi care conține o diagonală cunoscută și o muchie cu care formează 45º. De asemenea, este dreptunghiulară și puteți utiliza din nou raportul catetei la ipotenuză. Cu alte cuvinte, marginea laterală spre diagonală. Este egal cu cosinusul de 45º. Adică, „c” se calculează ca produsul dintre diagonală și cosinusul de 45º.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

În același triunghi trebuie să găsiți un alt picior. Acest lucru este necesar pentru a calcula apoi a treia necunoscută - „în”. Să fie desemnat cu litera „x”. Poate fi calculat cu ușurință folosind teorema lui Pitagora:

x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).

Acum trebuie să luăm în considerare un alt triunghi dreptunghic. Conține laturile deja cunoscute „c”, „x” și pe cea care trebuie numărată, „b”:

în = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).

Toate cele trei cantități sunt cunoscute. Puteți utiliza formula pentru volum și o puteți calcula:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).

Răspuns: volumul paralelipipedului este de 729√2 cm 3.

A doua sarcină

Stare. Trebuie să găsiți volumul unui paralelipiped. În el, laturile paralelogramului, care se află la bază, sunt cunoscute a fi de 3 și 6 cm, precum și unghiul său acut - 45º. Nerva laterală are o înclinare față de bază de 30º și este egală cu 4 cm.

Soluţie. Pentru a răspunde la întrebarea problemei, trebuie să luați formula care a fost scrisă pentru volumul unui paralelipiped înclinat. Dar ambele cantități sunt necunoscute în el.

Aria bazei, adică a unui paralelogram, va fi determinată de o formulă în care trebuie să înmulțiți laturile cunoscute și sinusul unghiului ascuțit dintre ele.

S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).

A doua necunoscută este înălțimea. Poate fi desenat din oricare dintre cele patru vârfuri de deasupra bazei. Poate fi găsit dintr-un triunghi dreptunghic în care înălțimea este catetul și marginea laterală este ipotenuza. În acest caz, un unghi de 30º se află opus înălțimii necunoscute. Aceasta înseamnă că putem folosi raportul dintre catete și ipotenuză.

n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.

Acum toate valorile sunt cunoscute și volumul poate fi calculat:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).

Răspuns: volumul este de 18 √2 cm 3.

A treia sarcină

Stare. Aflați volumul unui paralelipiped dacă se știe că este drept. Laturile bazei formează un paralelogram și sunt egale cu 2 și 3 cm. Unghiul ascuțit dintre ele este de 60º. Diagonala mai mică a paralelipipedului este egală cu diagonala mai mare a bazei.

Soluţie. Pentru a afla volumul unui paralelipiped folosim formula cu aria bazei și înălțimea. Ambele cantități sunt necunoscute, dar sunt ușor de calculat. Prima este înălțimea.

Deoarece diagonala mai mică a paralelipipedului coincide ca mărime cu baza mai mare, acestea pot fi desemnate prin aceeași literă d. Cel mai mare unghi al unui paralelogram este de 120º, deoarece formează 180º cu cel acut. Fie ca a doua diagonală a bazei să fie desemnată cu litera „x”. Acum pentru cele două diagonale ale bazei putem scrie teoremele cosinusului:

d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.

Nu are sens să găsești valori fără pătrate, deoarece mai târziu vor fi ridicate din nou la a doua putere. După înlocuirea datelor, obținem:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Acum, înălțimea, care este și marginea laterală a paralelipipedului, se va dovedi a fi un picior în triunghi. Ipotenuza va fi diagonala cunoscută a corpului, iar al doilea catet va fi „x”. Putem scrie teorema lui Pitagora:

n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.

Prin urmare: n = √12 = 2√3 (cm).

Acum, a doua cantitate necunoscută este aria bazei. Poate fi calculat folosind formula menționată în a doua problemă.

S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).

Combinând totul în formula de volum, obținem:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Răspuns: V = 18 cm 3.

A patra sarcină

Stare. Este necesar să se afle volumul unui paralelipiped care îndeplinește următoarele condiții: baza este un pătrat cu latura de 5 cm; fețele laterale sunt romburi; unul dintre vârfurile situate deasupra bazei este echidistant de toate vârfurile aflate la bază.

Soluţie. Mai întâi trebuie să te ocupi de afecțiune. Nu există întrebări cu primul punct despre pătrat. Al doilea, despre romburi, arată clar că paralelipipedul este înclinat. În plus, toate marginile sale sunt egale cu 5 cm, deoarece laturile rombului sunt aceleași. Și din a treia devine clar că cele trei diagonale trase din ea sunt egale. Acestea sunt două care se află pe fețele laterale, iar ultima este în interiorul paralelipipedului. Și aceste diagonale sunt egale cu marginea, adică au și o lungime de 5 cm.

Pentru a determina volumul, veți avea nevoie de o formulă scrisă pentru un paralelipiped înclinat. Nu există din nou cantități cunoscute în el. Cu toate acestea, aria bazei este ușor de calculat, deoarece este un pătrat.

S o = 5 2 = 25 (cm 2).

Situația cu înălțimea este puțin mai complicată. Va fi așa în trei figuri: un paralelipiped, o piramidă patruunghiulară și un triunghi isoscel. Ar trebui profitată de această ultimă împrejurare.

Deoarece este înălțimea, este un picior într-un triunghi dreptunghic. Ipotenuza din ea va fi o muchie cunoscută, iar al doilea catet este egal cu jumătate din diagonala pătratului (înălțimea este și mediana). Și diagonala bazei este ușor de găsit:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

Înălțimea va trebui calculată ca diferența dintre a doua putere a muchiei și pătratul jumătății diagonalei și apoi nu uitați să luați rădăcina pătrată:

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).

V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).

Răspuns: 62,5 √2 (cm 3).

Definiţie

Poliedru vom numi o suprafață închisă compusă din poligoane și care mărginește o anumită parte a spațiului.

Segmentele care sunt laturile acestor poligoane se numesc coaste poliedrul, iar poligoanele în sine sunt marginile. Vârfurile poligoanelor se numesc vârfuri poliedrice.

Vom lua în considerare numai poliedre convexe (acesta este un poliedru care este situat pe o parte a fiecărui plan care conține fața sa).

Poligoanele care alcătuiesc un poliedru formează suprafața acestuia. Partea de spațiu care este delimitată de un poliedru dat se numește interiorul său.

Definiție: prismă

Luați în considerare două poligoane egale \(A_1A_2A_3...A_n\) și \(B_1B_2B_3...B_n\) situate în plane paralele astfel încât segmentele \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) paralel. Un poliedru format din poligoane \(A_1A_2A_3...A_n\) și \(B_1B_2B_3...B_n\) , precum și paralelograme \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), se numește (\(n\)-gonal) prismă.

Poligoane \(A_1A_2A_3...A_n\) și \(B_1B_2B_3...B_n\) se numesc baze prisme, paralelograme \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– fețe laterale, segmente \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- coaste laterale.
Astfel, marginile laterale ale prismei sunt paralele și egale între ele.

Să ne uităm la un exemplu - o prismă \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), la baza căruia se află un pentagon convex.

Înălţime prismele sunt o perpendiculară căzută din orice punct al unei baze pe planul altei baze.

Dacă marginile laterale nu sunt perpendiculare pe bază, atunci se numește o astfel de prismă înclinat(Fig. 1), în caz contrar – direct. Într-o prismă dreaptă, marginile laterale sunt înălțimi, iar fețele laterale sunt dreptunghiuri egale.

Dacă un poligon regulat se află la baza unei prisme drepte, atunci prisma se numește corecta.

Definiție: conceptul de volum

Unitatea de măsură a volumului este un cub unitar (un cub care măsoară \(1\times1\times1\) unități\(^3\), unde unitatea este o anumită unitate de măsură).

Putem spune că volumul unui poliedru este cantitatea de spațiu pe care o limitează acest poliedru. În caz contrar: aceasta este o mărime a cărei valoare numerică arată de câte ori se încadrează o unitate de cub și părțile sale într-un poliedru dat.

Volumul are aceleași proprietăți ca și suprafața:

1. Volumele cifrelor egale sunt egale.

2. Dacă un poliedru este compus din mai multe poliedre care nu se intersectează, atunci volumul său este egal cu suma volumelor acestor poliedre.

3. Volumul este o cantitate nenegativă.

4. Volumul se măsoară în cm\(^3\) (centimetri cubi), m\(^3\) (metri cubi), etc.

Teorema

1. Aria suprafeței laterale a prismei este egală cu produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea prismei.
Suprafața laterală este suma suprafețelor fețelor laterale ale prismei.

2. Volumul prismei este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea prismei: \

Definiție: paralelipiped

Paralelipiped este o prismă cu un paralelogram la bază.

Toate fețele paralelipipedului (există \(6\) : \(4\) fețe laterale și \(2\) baze) sunt paralelograme, iar fețele opuse (paralele între ele) sunt paralelograme egale (Fig. 2) .

Diagonala unui paralelipiped este un segment care leagă două vârfuri ale unui paralelipiped care nu se află pe aceeași față (există \(8\) dintre ele: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) etc.).

Paralepiped dreptunghiular este un paralelipiped drept cu un dreptunghi la bază.
Deoarece Deoarece acesta este un paralelipiped drept, fețele laterale sunt dreptunghiuri. Aceasta înseamnă că, în general, toate fețele unui paralelipiped dreptunghiular sunt dreptunghiuri.

Toate diagonalele unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale (acest lucru rezultă din egalitatea triunghiurilor \(\triunghi ACC_1=\triunghi AA_1C=\triunghi BDD_1=\triunghi BB_1D\) etc.).

Comentariu

Astfel, un paralelipiped are toate proprietățile unei prisme.

Teorema

Suprafața laterală a unui paralelipiped dreptunghiular este \

Suprafața totală a unui paralelipiped dreptunghiular este \

Teorema

Volumul unui cuboid este egal cu produsul celor trei margini ale sale care ies dintr-un vârf (trei dimensiuni ale cuboidului): \

Dovada

Deoarece Într-un paralelipiped dreptunghic, marginile laterale sunt perpendiculare pe bază, atunci sunt și înălțimile acestuia, adică \(h=AA_1=c\) Deoarece baza este un dreptunghi, atunci \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). De aici provine această formulă.

Teorema

Diagonala \(d\) a unui paralelipiped dreptunghiular se găsește folosind formula (unde \(a,b,c\) sunt dimensiunile paralelipipedului) \

Dovada

Să ne uităm la Fig. 3. Pentru că baza este dreptunghi, atunci \(\triunghi ABD\) este dreptunghiular, prin urmare, după teorema lui Pitagora \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Deoarece toate marginile laterale sunt perpendiculare pe baze, atunci \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) perpendicular pe orice dreptă din acest plan, adică \(BB_1\perp BD\) . Aceasta înseamnă că \(\triunghiul BB_1D\) este dreptunghiular. Apoi, după teorema lui Pitagora \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Definiție: cub

Cub este un paralelipiped dreptunghic, ale cărui fețe sunt pătrate egale.

Astfel, cele trei dimensiuni sunt egale între ele: \(a=b=c\) . Deci următoarele sunt adevărate

Teoreme

1. Volumul unui cub cu muchia \(a\) este egal cu \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. Diagonala cubului se găsește folosind formula \(d=a\sqrt3\) .

3. Suprafața totală a unui cub \(S_(\text(cub complet))=6a^2\).

În geometrie, conceptele cheie sunt plan, punct, linie dreaptă și unghi. Folosind acești termeni, puteți descrie orice figură geometrică. Poliedrele sunt de obicei descrise în termeni de figuri mai simple care se află în același plan, cum ar fi un cerc, triunghi, pătrat, dreptunghi etc. În acest articol ne vom uita la ce este un paralelipiped, vom descrie tipurile de paralelipiped, proprietățile sale, din ce elemente constă și vom oferi, de asemenea, formulele de bază pentru calcularea ariei și volumului pentru fiecare tip de paralelipiped.

Definiţie

Un paralelipiped în spațiul tridimensional este o prismă, toate laturile căreia sunt paralelograme. În consecință, poate avea doar trei perechi de paralelograme paralele sau șase fețe.

Pentru a vizualiza un paralelipiped, imaginați-vă o cărămidă standard obișnuită. O cărămidă este un bun exemplu de paralelipiped dreptunghiular pe care și-l poate imagina chiar și un copil. Alte exemple includ case cu panouri cu mai multe etaje, dulapuri, containere de depozitare a alimentelor de formă adecvată etc.

Varietăți de figură

Există doar două tipuri de paralelipipede:

1. Dreptunghiular, ale căror toate fețele laterale sunt la un unghi de 90° față de bază și sunt dreptunghiuri.
2. Înclinat, ale cărui margini laterale sunt situate la un anumit unghi față de bază.

În ce elemente poate fi împărțită această figură?

• Ca în orice altă figură geometrică, într-un paralelipiped orice 2 fețe cu muchie comună se numesc adiacente, iar cele care nu o au sunt paralele (pe baza proprietății paralelogramului, care are perechi de laturi opuse paralele).
• Vârfurile unui paralelipiped care nu se află pe aceeași față se numesc opuse.
• Segmentul care leagă astfel de vârfuri este o diagonală.
• Lungimile celor trei margini ale unui cuboid care se întâlnesc la un vârf sunt dimensiunile acestuia (și anume lungimea, lățimea și înălțimea).

Proprietăți de formă

1. Este întotdeauna construit simetric față de mijlocul diagonalei.
2. Punctul de intersecție al tuturor diagonalelor împarte fiecare diagonală în două segmente egale.
3. Fețele opuse sunt egale ca lungime și se află pe linii paralele.
4. Dacă adăugați pătratele tuturor dimensiunilor unui paralelipiped, valoarea rezultată va fi egală cu pătratul lungimii diagonalei.

Formule de calcul

Formulele pentru fiecare caz particular al unui paralelipiped vor fi diferite.

Pentru un paralelipiped arbitrar, este adevărat că volumul său este egal cu valoarea absolută a produsului scalar triplu al vectorilor a trei laturi care emană dintr-un vârf. Cu toate acestea, nu există o formulă pentru calcularea volumului unui paralelipiped arbitrar.

Pentru un paralelipiped dreptunghiular se aplică următoarele formule:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V - volumul figurii;
• Sb - suprafata laterala;
• Sp - suprafata totala;
• a - lungime;
• b - latime;
• c - înălțime.

Un alt caz special al unui paralelipiped în care toate laturile sunt pătrate este un cub. Dacă oricare dintre laturile pătratului este desemnată de litera a, atunci următoarele formule pot fi utilizate pentru suprafața și volumul acestei figuri:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S - zona figurii,
• V este volumul figurii,
• a este lungimea feței figurii.

Ultimul tip de paralelipiped pe care îl luăm în considerare este un paralelipiped drept. Care este diferența dintre un paralelipiped drept și un cuboid, vă întrebați. Faptul este că baza unui paralelipiped dreptunghiular poate fi orice paralelogram, dar baza unui paralelipiped drept poate fi doar un dreptunghi. Dacă notăm perimetrul bazei, egal cu suma lungimilor tuturor laturilor, cu Po, și notăm înălțimea cu litera h, avem dreptul să folosim următoarele formule pentru a calcula volumul și ariile totalului și suprafețele laterale.

Un paralelipiped este o prismă patruunghiulară cu paralelograme la bază. Înălțimea unui paralelipiped este distanța dintre planurile bazelor sale. În figură, înălțimea este indicată de segment . Există două tipuri de paralelipipede: drepte și înclinate. De regulă, un profesor de matematică oferă mai întâi definițiile adecvate pentru o prismă și apoi le transferă pe un paralelipiped. Vom face la fel.

Permiteți-mi să vă reamintesc că o prismă se numește dreptă dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe baze, dacă nu există perpendicularitate, prisma se numește înclinată. Această terminologie este moștenită și de paralelipiped. Un paralelipiped drept nu este altceva decât un tip de prismă dreaptă, a cărei margine laterală coincide cu înălțimea. Sunt păstrate definițiile unor concepte precum față, margine și vârf, care sunt comune întregii familii de poliedre. Apare conceptul de fețe opuse. Un paralelipiped are 3 perechi de fețe opuse, 8 vârfuri și 12 muchii.

Diagonala unui paralelipiped (diagonala unei prisme) este un segment care leagă două vârfuri ale unui poliedru și nu se află pe niciuna dintre fețele sale.

Secțiune diagonală - o secțiune a unui paralelipiped care trece prin diagonala și diagonala bazei sale.

Proprietățile unui paralelipiped înclinat:
1) Toate fețele sale sunt paralelograme, iar fețele opuse sunt paralelograme egale.
2)Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct și bisectează în acest punct.
3)Fiecare paralelipiped este format din șase piramide triunghiulare de volum egal. Pentru a le arăta elevului, profesorul de matematică trebuie să taie jumătate din paraleliped cu secțiunea diagonală și să o împartă separat în 3 piramide. Bazele lor trebuie să se afle pe diferite fețe ale paralelipipedului original. Un profesor de matematică va găsi aplicarea acestei proprietăți în geometria analitică. Este folosit pentru a determina volumul unei piramide printr-un produs mixt de vectori.

Formule pentru volumul unui paralelipiped:
1), unde este aria bazei, h este înălțimea.
2) Volumul unui paralelipiped este egal cu produsul dintre aria secțiunii transversale și marginea laterală.
Profesor de matematică: După cum știți, formula este comună tuturor prismelor și dacă tutorele a dovedit-o deja, nu are rost să repeți același lucru pentru un paralelipiped. Totuși, atunci când lucrezi cu un elev de nivel mediu (formula nu este utilă unui elev slab), este indicat ca profesorul să acționeze exact invers. Lăsați prisma în pace și efectuați o probă atentă pentru paralelipiped.
3) , unde este volumul uneia dintre cele șase piramide triunghiulare care alcătuiesc paralelipipedul.
4) Dacă , atunci

Aria suprafeței laterale a unui paralelipiped este suma ariilor tuturor fețelor sale:
Suprafața totală a unui paralelipiped este suma ariilor tuturor fețelor sale, adică aria + două zone ale bazei: .

Despre munca unui tutore cu un paralelipiped înclinat:
Profesorii de matematică nu lucrează adesea la probleme care implică paralelipipedii înclinați. Probabilitatea ca acestea să apară la Examenul Unificat de Stat este destul de mică, iar didactica este indecent de slabă. O problemă mai mult sau mai puțin decentă asupra volumului unui paralelipiped înclinat ridică probleme serioase asociate cu determinarea locației punctului H - baza înălțimii acestuia. În acest caz, profesorul de matematică poate fi sfătuit să taie paralelipipedul la una dintre cele șase piramide ale sale (care sunt discutate în proprietatea nr. 3), să încerce să-i găsească volumul și să-l înmulțească cu 6.

Dacă marginea laterală a unui paralelipiped are unghiuri egale cu laturile bazei, atunci H se află pe bisectoarea unghiului A a bazei ABCD. Și dacă, de exemplu, ABCD este un romb, atunci

Sarcini de profesor de matematică:
1) Fețele unui paralelipiped sunt egale între ele cu o latură de 2 cm și un unghi ascuțit. Aflați volumul paralelipipedului.
2) Într-un paralelipiped înclinat, marginea laterală este de 5 cm. Secțiunea perpendiculară pe aceasta este un patrulater cu diagonale reciproc perpendiculare având lungimi de 6 cm și 8 cm. Calculați volumul paralelipipedului.
3) Într-un paralelipiped înclinat se știe că , iar în ABCD baza este un romb cu latura de 2 cm și un unghi . Determinați volumul paralelipipedului.

Profesor de matematică, Alexander Kolpakov

Teorema. În orice paralelipiped, fețele opuse sunt egale și paralele.

Astfel, fețele (Fig.) BB 1 C 1 C și AA 1 D 1 D sunt paralele, deoarece două drepte care se intersectează BB 1 și B 1 C 1 ale unei fețe sunt paralele cu două drepte care se intersectează AA 1 și A 1 D 1 ale celelalte. Aceste fețe sunt egale, deoarece B 1 C 1 =A 1 D 1, B 1 B=A 1 A (ca laturi opuse ale paralelogramelor) și ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1.

Teorema. În orice paralelipiped, toate cele patru diagonale se intersectează într-un punct și sunt încrucișate în el.

Să luăm (Fig.) vreo două diagonale în paralelipiped, de exemplu, AC 1 și DB 1, și să desenăm linii drepte AB 1 și DC 1.

Deoarece muchiile AD și B 1 C 1 sunt egale și, respectiv, paralele cu muchia BC, atunci ele sunt egale și paralele între ele.

Ca urmare, figura ADC 1 B 1 este un paralelogram în care C 1 A și DB 1 sunt diagonale, iar într-un paralelogram diagonalele se intersectează în jumătate.

Această demonstrație poate fi repetată la fiecare două diagonale.

Prin urmare, diagonala AC 1 intersectează BD 1 în jumătate, diagonala BD 1 intersectează A 1 C în jumătate.

Astfel, toate diagonalele se intersectează în jumătate și, prin urmare, într-un punct.

Teorema. Într-un paralelipiped dreptunghic, pătratul oricărei diagonale este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.

Fie (Fig.) AC 1 o diagonală a unui paralelipiped dreptunghic.

Desenând AC, obținem două triunghiuri: AC 1 C și ACB. Ambele sunt dreptunghiulare:

primul deoarece paralelipipedul este drept și, prin urmare, muchia CC 1 este perpendiculară pe bază,

al doilea deoarece paralelipipedul este dreptunghiular, ceea ce înseamnă că la baza lui există un dreptunghi.

Din aceste triunghiuri găsim:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 și AC 2 = AB 2 + BC 2

Prin urmare, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + CC 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Consecinţă. Într-un paralelipiped dreptunghic toate diagonalele sunt egale.