Continuând subiectul „Rezolvarea ecuațiilor”, materialul din acest articol vă va introduce în ecuațiile pătratice.

Să ne uităm la totul în detaliu: esența și înregistrarea ecuației pătratice, definiți termenii asociați, analizați schema pentru rezolvarea incompletă și ecuații complete, ne vom familiariza cu formula rădăcinilor și discriminantului, vom stabili legături între rădăcini și coeficienți și, bineînțeles, vom oferi o soluție vizuală exemplelor practice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ecuația pătratică, tipurile sale

Definiția 1

Ecuație cuadratică este o ecuație scrisă ca a x 2 + b x + c = 0, Unde x– variabilă, a , b și c– unele numere, în timp ce o nu este zero.

Adesea, ecuațiile pătratice sunt numite și ecuații de gradul doi, deoarece în esență o ecuație pătratică este o ecuație algebrică de gradul doi.

Să dăm un exemplu pentru a ilustra definiția dată: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 etc. Acestea sunt ecuații pătratice.

Definiția 2

Numerele a, b și c sunt coeficienții ecuației pătratice a x 2 + b x + c = 0, în timp ce coeficientul o se numește primul, sau senior, sau coeficient la x 2, b - al doilea coeficient, sau coeficient la x, A c numit membru liber.

De exemplu, în ecuația pătratică 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 coeficientul principal este 6, al doilea coeficient este − 2 , iar termenul liber este egal cu − 11 . Să fim atenți la faptul că atunci când coeficienții bși/sau c sunt negative, apoi utilizați formă scurtăînregistrări ca 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, nu 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Să lămurim şi acest aspect: dacă coeficienţii oși/sau b egal 1 sau − 1 , atunci ei nu pot participa în mod explicit la scrierea ecuației pătratice, ceea ce se explică prin particularitățile scrierii coeficienților numerici indicați. De exemplu, în ecuația pătratică y 2 − y + 7 = 0 coeficientul principal este 1, iar al doilea coeficient este − 1 .

Ecuații patratice reduse și nereduse

Pe baza valorii primului coeficient, ecuațiile pătratice sunt împărțite în reduse și nereduse.

Definiția 3

Ecuație pătratică redusă este o ecuație pătratică în care coeficientul principal este 1. Pentru alte valori ale coeficientului principal, ecuația pătratică este neredusă.

Să dăm exemple: ecuațiile pătratice x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 sunt reduse, în fiecare dintre ele coeficientul principal este 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- ecuație pătratică neredusă, unde primul coeficient este diferit de 1 .

Orice ecuație pătratică neredusă poate fi convertită într-o ecuație redusă prin împărțirea ambelor părți la primul coeficient (transformare echivalentă). Ecuația transformată va avea aceleași rădăcini ca și ecuația neredusă dată sau, de asemenea, nu va avea deloc rădăcini.

Considerare exemplu concret ne va permite să demonstrăm clar trecerea de la o ecuație pătratică neredusă la una redusă.

Exemplul 1

Având în vedere ecuația 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Este necesar să convertiți ecuația originală în forma redusă.

Soluţie

Conform schemei de mai sus, împărțim ambele părți ale ecuației inițiale la coeficientul de conducere 6. Apoi obținem: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, și acesta este același cu: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 si mai departe: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. De aici: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Astfel, se obține o ecuație echivalentă cu cea dată.

Răspuns: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Ecuații pătratice complete și incomplete

Să ne întoarcem la definiția unei ecuații pătratice. În el am precizat că a ≠ 0. O condiție similară este necesară pentru ecuație a x 2 + b x + c = 0 era tocmai pătrat, din moment ce or a = 0 se transformă în esență într-o ecuație liniară b x + c = 0.

În cazul în care coeficienţii bŞi c sunt egale cu zero (ceea ce este posibil, atât individual, cât și în comun), ecuația pătratică se numește incompletă.

Definiția 4

Ecuație pătratică incompletă- o astfel de ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0, unde cel puţin unul dintre coeficienţi bŞi c(sau ambele) egal cu zero.

Ecuație pătratică completă– o ecuație pătratică în care toți coeficienții numerici nu sunt egali cu zero.

Să speculăm de ce tipurile ecuații pătratice Acestea sunt numele date.

Când b = 0, ecuația pătratică ia forma a x 2 + 0 x + c = 0, care este la fel ca a x 2 + c = 0. La c = 0 ecuația pătratică se scrie ca a x 2 + b x + 0 = 0, care este echivalent a x 2 + b x = 0. La b = 0Şi c = 0 ecuația va lua forma a x 2 = 0. Ecuațiile pe care le-am obținut diferă de ecuația pătratică completă prin aceea că laturile lor din stânga nu conțin nici un termen cu variabila x, nici un termen liber, sau ambele. De fapt, acest fapt a dat numele acestui tip de ecuație – incompletă.

De exemplu, x 2 + 3 x + 4 = 0 și − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sunt ecuații patratice complete; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – ecuații patratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Definiția dată mai sus face posibilă distingerea următoarelor tipuri de ecuații pătratice incomplete:

• a x 2 = 0, această ecuație corespunde coeficienților b = 0şi c = 0;
• a · x 2 + c = 0 la b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 la c = 0.

Să considerăm secvenţial soluţia fiecărui tip de ecuaţie pătratică incompletă.

Rezolvarea ecuației a x 2 =0

După cum am menționat mai sus, această ecuație corespunde coeficienților bŞi c, egal cu zero. Ecuaţie a x 2 = 0 poate fi convertit într-o ecuație echivalentă x 2 = 0, pe care îl obținem împărțind ambele părți ale ecuației inițiale la număr o, nu este egal cu zero. Faptul evident este că rădăcina ecuației x 2 = 0 acesta este zero pentru că 0 2 = 0 . Această ecuație nu are alte rădăcini, ceea ce poate fi explicat prin proprietățile gradului: pentru orice număr p, Nu egal cu zero, inegalitatea este adevărată p 2 > 0, din care rezultă că atunci când p ≠ 0 egalitate p 2 = 0 nu va fi niciodată atins.

Definiția 5

Astfel, pentru ecuația pătratică incompletă a x 2 = 0 există o singură rădăcină x = 0.

Exemplul 2

De exemplu, să rezolvăm o ecuație pătratică incompletă − 3 x 2 = 0. Este echivalent cu ecuația x 2 = 0, singura sa rădăcină este x = 0, atunci ecuația originală are o singură rădăcină - zero.

Pe scurt, soluția este scrisă după cum urmează:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Rezolvarea ecuației a x 2 + c = 0

Urmează pe linie soluția ecuațiilor pătratice incomplete, unde b = 0, c ≠ 0, adică ecuații de forma a x 2 + c = 0. Să transformăm această ecuație prin mutarea unui termen dintr-o parte a ecuației în cealaltă, schimbând semnul în cel opus și împărțind ambele părți ale ecuației la un număr care nu este egal cu zero:

• transfer cîn partea dreaptă, ceea ce dă ecuația a x 2 = − c;
• împărțiți ambele părți ale ecuației cu o, ajungem cu x = - c a .

Transformările noastre sunt echivalente în consecință, ecuația rezultată este și ea echivalentă cu cea originală, iar acest fapt face posibilă tragerea de concluzii despre rădăcinile ecuației. Din care sunt valorile oŞi c valoarea expresiei - c a depinde: poate avea semnul minus (de exemplu, dacă a = 1Şi c = 2, atunci - c a = - 2 1 = - 2) sau un semn plus (de exemplu, dacă a = − 2Şi c = 6, atunci - c a = - 6 - 2 = 3); nu este zero pentru că c ≠ 0. Să ne oprim mai în detaliu asupra situațiilor când - c a< 0 и - c a > 0 .

În cazul în care - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p egalitatea p 2 = - c a nu poate fi adevărată.

Totul este diferit când - c a > 0: amintiți-vă rădăcina pătrată și va deveni evident că rădăcina ecuației x 2 = - c a va fi numărul - c a, deoarece - c a 2 = - c a. Nu este greu de înțeles că numărul - - c a este și rădăcina ecuației x 2 = - c a: într-adevăr, - - c a 2 = - c a.

Ecuația nu va avea alte rădăcini. Putem demonstra acest lucru folosind metoda contradicției. Pentru început, să definim notațiile pentru rădăcinile găsite mai sus ca x 1Şi − x 1. Să presupunem că ecuația x 2 = - c a are și rădăcină x 2, care este diferit de rădăcini x 1Şi − x 1. Știm că prin substituirea în ecuație x rădăcinile sale, transformăm ecuația într-o egalitate numerică corectă.

Pentru x 1Şi − x 1 scriem: x 1 2 = - c a , iar pentru x 2- x 2 2 = - c a . Pe baza proprietăților egalităților numerice, scădem un termen de egalitate corect cu termen dintr-un altul, ceea ce ne va da: x 1 2 − x 2 2 = 0. Folosim proprietățile operațiilor cu numere pentru a rescrie ultima egalitate ca (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Se știe că produsul a două numere este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre numere este zero. Din cele de mai sus rezultă că x 1 − x 2 = 0și/sau x 1 + x 2 = 0, care este la fel x 2 = x 1și/sau x 2 = − x 1. A apărut o contradicție evidentă, deoarece la început s-a convenit că rădăcina ecuației x 2 diferit de x 1Şi − x 1. Deci, am demonstrat că ecuația nu are alte rădăcini decât x = - c a și x = - - c a.

Să rezumam toate argumentele de mai sus.

Definiția 6

Ecuație pătratică incompletă a x 2 + c = 0 este echivalentă cu ecuația x 2 = - c a, care:

• nu va avea rădăcini la - c a< 0 ;
• va avea două rădăcini x = - c a și x = - - c a pentru - c a > 0.

Să dăm exemple de rezolvare a ecuațiilor a x 2 + c = 0.

Exemplul 3

Având în vedere o ecuație pătratică 9 x 2 + 7 = 0. Este necesar să găsim o soluție.

Soluţie

Să mutam termenul liber în partea dreaptă a ecuației, apoi ecuația va lua forma 9 x 2 = − 7.
Să împărțim ambele părți ale ecuației rezultate la 9 , ajungem la x 2 = - 7 9 . În partea dreaptă vedem un număr cu semnul minus, ceea ce înseamnă: ecuația dată nu are rădăcini. Apoi ecuația pătratică incompletă inițială 9 x 2 + 7 = 0 nu va avea rădăcini.

Răspuns: ecuaţie 9 x 2 + 7 = 0 nu are rădăcini.

Exemplul 4

Ecuația trebuie rezolvată − x 2 + 36 = 0.

Soluţie

Să mutăm 36 în partea dreaptă: − x 2 = − 36.
Să împărțim ambele părți la − 1 , primim x 2 = 36. În partea dreaptă există un număr pozitiv, din care putem concluziona că x = 36 sau x = - 36 .
Să extragem rădăcina și să notăm rezultatul final: ecuație pătratică incompletă − x 2 + 36 = 0 are două rădăcini x=6 sau x = − 6.

Răspuns: x=6 sau x = − 6.

Rezolvarea ecuației a x 2 +b x=0

Să analizăm al treilea tip de ecuații pătratice incomplete, când c = 0. Pentru a găsi o soluție la o ecuație pătratică incompletă a x 2 + b x = 0, vom folosi metoda factorizării. Să factorizăm polinomul care se află în partea stângă a ecuației, luând factorul comun din paranteze x. Acest pas va face posibilă transformarea ecuației pătratice incomplete inițiale în echivalentul ei x (a x + b) = 0. Și această ecuație, la rândul său, este echivalentă cu un set de ecuații x = 0Şi a x + b = 0. Ecuaţie a x + b = 0 liniară și rădăcina sa: x = − b a.

Definiția 7

Astfel, ecuația pătratică incompletă a x 2 + b x = 0 va avea două rădăcini x = 0Şi x = − b a.

Să întărim materialul cu un exemplu.

Exemplul 5

Este necesar să găsim o soluție la ecuația 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Soluţie

O vom scoate xîn afara parantezelor obținem ecuația x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Această ecuație este echivalentă cu ecuațiile x = 0și 2 3 x - 2 2 7 = 0. Acum ar trebui să rezolvați ecuația liniară rezultată: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Scrieți pe scurt soluția ecuației după cum urmează:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 sau 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 sau x = 3 3 7

Răspuns: x = 0, x = 3 3 7.

Discriminant, formulă pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Pentru a găsi soluții la ecuații pătratice, există o formulă rădăcină:

Definiția 8

x = - b ± D 2 · a, unde D = b 2 − 4 a c– așa-numitul discriminant al unei ecuații pătratice.

Scrierea x = - b ± D 2 · a înseamnă în esență că x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Ar fi util să înțelegem cum a fost derivată această formulă și cum să o aplici.

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Să ne confruntăm cu sarcina de a rezolva o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0. Să efectuăm o serie de transformări echivalente:

• împărțiți ambele părți ale ecuației la un număr o, diferit de zero, obținem următoarea ecuație pătratică: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Să selectăm un pătrat complet din partea stângă a ecuației rezultate:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  După aceasta, ecuația va lua forma: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Acum este posibil să transferăm ultimii doi termeni în partea dreaptă, schimbând semnul în opus, după care obținem: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• În cele din urmă, transformăm expresia scrisă în partea dreaptă a ultimei egalități:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Astfel, ajungem la ecuația x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , echivalentă cu ecuația inițială a x 2 + b x + c = 0.

Am examinat soluția unor astfel de ecuații în paragrafele anterioare (rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete). Experiența acumulată deja face posibilă tragerea unei concluzii cu privire la rădăcinile ecuației x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• cu b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• când b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 ecuația este x + b 2 · a 2 = 0, atunci x + b 2 · a = 0.

De aici singura rădăcină x = - b 2 · a este evidentă;

• pentru b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, următoarele vor fi adevărate: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 sau x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , care este același cu x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 sau x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , adică. ecuația are două rădăcini.

Se poate concluziona că prezența sau absența rădăcinilor ecuației x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (și, prin urmare, ecuația inițială) depinde de semnul expresiei b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 scris în partea dreaptă. Iar semnul acestei expresii este dat de semnul numărătorului, (numitorul 4 la 2 va fi întotdeauna pozitiv), adică semnul expresiei b 2 − 4 a c. Această expresie b 2 − 4 a c se dă numele - discriminantul ecuației pătratice și litera D este definită ca desemnare a acesteia. Aici puteți nota esența discriminantului - pe baza valorii și semnului acestuia, ei pot concluziona dacă ecuația pătratică va avea rădăcini reale și, dacă da, care este numărul de rădăcini - una sau două.

Să revenim la ecuația x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Să o rescriem folosind notația discriminantă: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Să formulăm din nou concluziile noastre:

Definiția 9

• la D< 0 ecuația nu are rădăcini reale;
• la D=0 ecuaţia are o singură rădăcină x = - b 2 · a ;
• la D > 0 ecuația are două rădăcini: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 sau x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Pe baza proprietăților radicalilor, aceste rădăcini pot fi scrise sub forma: x = - b 2 · a + D 2 · a sau - b 2 · a - D 2 · a. Și, când extindem modulele și reducem fracțiile la numitor comun, obținem: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Deci, rezultatul raționamentului nostru a fost derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminant D calculat prin formula D = b 2 − 4 a c.

Aceste formule fac posibilă determinarea ambelor rădăcini reale atunci când discriminantul este mai mare decât zero. Când discriminantul este zero, aplicarea ambelor formule va da aceeași rădăcină ca singura soluție a ecuației pătratice. În cazul în care discriminantul este negativ, dacă încercăm să folosim formula pentru rădăcina unei ecuații pătratice, ne vom confrunta cu nevoia de a extrage rădăcină pătrată dintr-un număr negativ, care ne va duce dincolo de numerele reale. Cu un discriminant negativ, ecuația pătratică nu va avea rădăcini reale, dar este posibilă o pereche de rădăcini conjugate complexe, determinate de aceleași formule de rădăcină pe care le-am obținut.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice cu ajutorul formulelor rădăcinilor

Este posibil să se rezolve o ecuație pătratică folosind imediat formula rădăcinii, dar acest lucru se face în general atunci când este necesar să se găsească rădăcini complexe.

În majoritatea cazurilor, înseamnă de obicei să nu căutați rădăcini complexe, ci reale ale unei ecuații pătratice. Atunci este optim, înainte de a folosi formulele pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, să determinați mai întâi discriminantul și să vă asigurați că acesta nu este negativ (în caz contrar vom concluziona că ecuația nu are rădăcini reale), apoi să trecem la calcularea valoarea rădăcinilor.

Raționamentul de mai sus face posibilă formularea unui algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice.

Definiția 10

Pentru a rezolva o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0, necesar:

• conform formulei D = b 2 − 4 a c găsiți valoarea discriminantă;
• la D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• pentru D = 0, găsiți singura rădăcină a ecuației folosind formula x = - b 2 · a ;
• pentru D > 0, determinați două rădăcini reale ale ecuației pătratice folosind formula x = - b ± D 2 · a.

Rețineți că atunci când discriminantul este zero, puteți utiliza formula x = - b ± D 2 · a, va da același rezultat ca și formula x = - b 2 · a.

Să ne uităm la exemple.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Să dăm o soluție la exemplele pt sensuri diferite discriminant.

Exemplul 6

Trebuie să găsim rădăcinile ecuației x 2 + 2 x − 6 = 0.

Soluţie

Să notăm coeficienții numerici ai ecuației pătratice: a = 1, b = 2 și c = − 6. În continuare procedăm conform algoritmului, adică. Să începem să calculăm discriminantul, pentru care vom înlocui coeficienții a, b Şi cîn formula discriminantă: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Deci obținem D > 0, ceea ce înseamnă că ecuația originală va avea două rădăcini reale.
Pentru a le găsi, folosim formula rădăcină x = - b ± D 2 · a și, înlocuind valorile corespunzătoare, obținem: x = - 2 ± 28 2 · 1. Să simplificăm expresia rezultată prin eliminarea factorului din semnul rădăcinii și apoi reducând fracția:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 sau x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 sau x = - 1 - 7

Răspuns: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Exemplul 7

Trebuie să rezolvați o ecuație pătratică − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Soluţie

Să definim discriminantul: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Cu această valoare a discriminantului, ecuația inițială va avea o singură rădăcină, determinată de formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Răspuns: x = 3,5.

Exemplul 8

Ecuația trebuie rezolvată 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Soluţie

Coeficienții numerici ai acestei ecuații vor fi: a = 5, b = 6 și c = 2. Folosim aceste valori pentru a găsi discriminantul: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Discriminantul calculat este negativ, astfel încât ecuația pătratică originală nu are rădăcini reale.

În cazul în care sarcina este de a indica rădăcini complexe, aplicăm formula rădăcinii, efectuând acțiuni cu numere complexe:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 sau x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i sau x = - 3 5 - 1 5 · i.

Răspuns: nu există rădăcini reale; rădăcinile complexe sunt următoarele: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

ÎN programa școlară Nu există o cerință standard de a căuta rădăcini complexe, prin urmare, dacă în timpul soluției discriminantul este determinat ca fiind negativ, răspunsul este imediat scris că nu există rădăcini reale.

Formula rădăcină pentru chiar al doilea coeficienți

Formula rădăcină x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) face posibilă obținerea unei alte formule, mai compacte, care să permită găsirea soluțiilor ecuațiilor pătratice cu coeficient par pentru x ( sau cu un coeficient de forma 2 · n, de exemplu, 2 3 sau 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Să arătăm cum este derivată această formulă.

Să ne confruntăm cu sarcina de a găsi o soluție la ecuația pătratică a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Procedăm conform algoritmului: determinăm discriminantul D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), iar apoi folosim formula rădăcinii:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Să se noteze expresia n 2 − a · c cu D 1 (uneori se notează D”). Atunci formula pentru rădăcinile ecuației pătratice luate în considerare cu al doilea coeficient 2 · n va lua forma:

x = - n ± D 1 a, unde D 1 = n 2 − a · c.

Este ușor de observat că D = 4 · D 1, sau D 1 = D 4. Cu alte cuvinte, D 1 este un sfert din discriminant. Evident, semnul lui D 1 este același cu semnul lui D, ceea ce înseamnă că semnul lui D 1 poate servi și ca indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Definiția 11

Astfel, pentru a găsi o soluție la o ecuație pătratică cu un al doilea coeficient de 2 n, este necesar:

• găsiți D 1 = n 2 − a · c ;
• la D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• când D 1 = 0, determinați singura rădăcină a ecuației folosind formula x = - n a;
• pentru D 1 > 0, determinați două rădăcini reale folosind formula x = - n ± D 1 a.

Exemplul 9

Este necesar să se rezolve ecuația pătratică 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Soluţie

Putem reprezenta al doilea coeficient al ecuației date ca 2 · (− 3) . Apoi rescriem ecuația pătratică dată ca 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, unde a = 5, n = − 3 și c = − 32.

Să calculăm a patra parte a discriminantului: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Valoarea rezultată este pozitivă, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini reale. Să le determinăm folosind formula rădăcină corespunzătoare:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 sau x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 sau x = - 2

Ar fi posibil să se efectueze calcule folosind formula obișnuită pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, dar în acest caz soluția ar fi mai greoaie.

Răspuns: x = 3 1 5 sau x = - 2 .

Simplificarea formei ecuațiilor pătratice

Uneori este posibil să se optimizeze forma ecuației originale, ceea ce va simplifica procesul de calcul al rădăcinilor.

De exemplu, ecuația pătratică 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 este în mod clar mai convenabil de rezolvat decât 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Mai des, simplificarea formei unei ecuații pătratice se realizează prin înmulțirea sau împărțirea ambelor părți cu un anumit număr. De exemplu, mai sus am arătat o reprezentare simplificată a ecuației 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, obținută prin împărțirea ambelor părți la 100.

O astfel de transformare este posibilă atunci când coeficienții ecuației pătratice nu sunt reciproc numere prime. Apoi, de obicei, împărțim ambele părți ale ecuației la cel mai mare divizor comun valori absolute coeficienții săi.

Ca exemplu, folosim ecuația pătratică 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Să determinăm GCD al valorilor absolute ale coeficienților săi: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Să împărțim ambele părți ale ecuației pătratice originale la 6 și să obținem ecuația pătratică echivalentă 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Înmulțind ambele părți ale unei ecuații pătratice, de obicei scapi de coeficienții fracționali. În acest caz, ele se înmulțesc cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor coeficienților săi. De exemplu, dacă fiecare parte a ecuației pătratice 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 este înmulțită cu LCM (6, 3, 1) = 6, atunci se va scrie în mai multe în formă simplă x 2 + 4 x − 18 = 0 .

În cele din urmă, observăm că aproape întotdeauna scăpăm de minusul de la primul coeficient al unei ecuații pătratice prin schimbarea semnelor fiecărui termen al ecuației, ceea ce se realizează prin înmulțirea (sau împărțirea) ambelor părți cu - 1. De exemplu, din ecuația pătratică − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, puteți merge la versiunea sa simplificată 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Relația dintre rădăcini și coeficienți

Formula pentru rădăcinile ecuațiilor pătratice, deja cunoscută nouă, x = - b ± D 2 · a, exprimă rădăcinile ecuației prin coeficienții ei numerici. Pe baza acestei formule, avem posibilitatea de a specifica alte dependențe între rădăcini și coeficienți.

Cele mai cunoscute și aplicabile formule sunt teorema lui Vieta:

x 1 + x 2 = - b a și x 2 = c a.

În special, pentru ecuația pătratică dată, suma rădăcinilor este al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. De exemplu, privind forma ecuației pătratice 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, este posibil să se determine imediat că suma rădăcinilor sale este 7 3 și produsul rădăcinilor este 22 3.

De asemenea, puteți găsi o serie de alte conexiuni între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice. De exemplu, suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice poate fi exprimată în termeni de coeficienți:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Sper că, după ce ați studiat acest articol, veți învăța cum să găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice complete.

Folosind discriminantul, se rezolvă doar ecuații pătratice complete pentru a rezolva ecuații pătratice incomplete, se folosesc alte metode, pe care le veți găsi în articolul „Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete”.

Ce ecuații pătratice se numesc complete? Acest ecuații de forma ax 2 + b x + c = 0, unde coeficienții a, b și c nu sunt egali cu zero. Deci, pentru a rezolva o ecuație pătratică completă, trebuie să calculăm discriminantul D.

D = b 2 – 4ac.

În funcție de valoarea discriminantului, vom nota răspunsul.

Dacă discriminantul număr negativ(D< 0),то корней нет.

Dacă discriminantul este zero, atunci x = (-b)/2a. Când discriminantul este un număr pozitiv (D > 0),

atunci x 1 = (-b - √D)/2a și x 2 = (-b + √D)/2a.

De exemplu. Rezolvați ecuația x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Raspuns: 2.

Rezolvați ecuația 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Răspuns: fără rădăcini.

Rezolvați ecuația 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Răspuns: – 3,5; 1.

Deci, să ne imaginăm soluția ecuațiilor pătratice complete folosind diagrama din figura 1.

Folosind aceste formule puteți rezolva orice ecuație pătratică completă. Trebuie doar să fii atent ecuația a fost scrisă ca polinom vedere standard

O x 2 + bx + c, altfel poți să faci o greșeală. De exemplu, scriind ecuația x + 3 + 2x 2 = 0, puteți decide în mod eronat că

a = 1, b = 3 și c = 2. Atunci

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 și atunci ecuația are două rădăcini. Și acest lucru nu este adevărat. (Vezi soluția la exemplul 2 de mai sus).

Prin urmare, dacă ecuația nu este scrisă ca un polinom al formei standard, mai întâi trebuie scrisă ecuația pătratică completă ca un polinom al formei standard (monomul cu cel mai mare exponent ar trebui să fie primul, adică O x 2 , apoi cu mai putin – bxși apoi membru gratuit Cu.

Când rezolvați ecuația pătratică redusă și o ecuație pătratică cu un coeficient par în al doilea termen, puteți utiliza alte formule. Să facem cunoștință cu aceste formule. Dacă într-o ecuație pătratică completă, al doilea termen are un coeficient par (b = 2k), atunci puteți rezolva ecuația folosind formulele prezentate în diagrama din figura 2.

O ecuație pătratică completă se numește redusă dacă coeficientul la x 2 este egală cu unu și ecuația ia forma x 2 + px + q = 0. O astfel de ecuație poate fi dată pentru rezolvare sau poate fi obținută prin împărțirea tuturor coeficienților ecuației la coeficient O, stând la x 2 .

Figura 3 prezintă o diagramă pentru rezolvarea pătratului redus
ecuații. Să ne uităm la un exemplu de aplicare a formulelor discutate în acest articol.

Exemplu. Rezolvați ecuația

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Să rezolvăm această ecuație folosind formulele prezentate în diagrama din figura 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Răspuns: –1 – √3; –1 + √3

Puteți observa că coeficientul lui x din această ecuație număr par, adică b = 6 sau b = 2k, de unde k = 3. Atunci să încercăm să rezolvăm ecuația folosind formulele date în diagrama figurii D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Răspuns: –1 – √3; –1 + √3. Observând că toți coeficienții din această ecuație pătratică sunt divizibili cu 3 și efectuând împărțirea, obținem ecuația pătratică redusă x 2 + 2x – 2 = 0 Rezolvați această ecuație folosind formulele pentru ecuația pătratică redusă.
ecuații figura 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Răspuns: –1 – √3; –1 + √3.

După cum puteți vedea, atunci când rezolvăm această ecuație folosind formule diferite, am primit același răspuns. Prin urmare, stăpânind temeinic formulele prezentate în diagrama din figura 1, veți putea întotdeauna să rezolvați orice ecuație pătratică completă.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Cu asta program de matematică puteți rezolva ecuația pătratică.

Programul nu numai că oferă răspunsul la problemă, dar afișează și procesul de rezolvare în două moduri:
- folosirea unui discriminant
- folosind teorema lui Vieta (dacă este posibil).

Mai mult, răspunsul este afișat ca exact, nu aproximativ.
De exemplu, pentru ecuația \(81x^2-16x-1=0\) răspunsul este afișat în următoarea formă:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ și nu așa: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Acest program poate fi util pentru elevii de liceu scoli mediiîn pregătire pentru testeși examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul de stat unificat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să o faci cât mai repede posibil? teme pentru acasă

la matematică sau algebră? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate.

În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formare a fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul rezolvării problemelor crește. Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de intrare polinom pătratic

, vă recomandăm să vă familiarizați cu ele.

Reguli pentru introducerea unui polinom pătratic
Orice literă latină poate acționa ca o variabilă.

De exemplu: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.
Numerele pot fi introduse ca numere întregi sau fracționale. În plus, numere fracționare

poate fi introdus nu numai ca zecimală, ci și ca fracție obișnuită.
Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
În fracțiile zecimale, partea fracțională poate fi separată de întreaga parte fie prin punct, fie prin virgulă. De exemplu, puteți intra zecimale

astfel: 2,5x - 3,5x^2
Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.

Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.

Numitorul nu poate fi negativ. La intrare fracție numerică /
Numătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire: Toată parte &
separate de fracție printr-un ampersand:
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

La introducerea unei expresii poti folosi paranteze. În acest caz, la rezolvarea unei ecuații pătratice, expresia introdusă este mai întâi simplificată.
De exemplu: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Decide

S-a descoperit că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.

JavaScript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru ca soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browserul dvs.

Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...

Dacă tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback.
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Puțină teorie.

Ecuația pătratică și rădăcinile ei. Ecuații patratice incomplete

Fiecare dintre ecuații
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
arata ca
\(ax^2+bx+c=0, \)
unde x este o variabilă, a, b și c sunt numere.
În prima ecuație a = -1, b = 6 și c = 1,4, în a doua a = 8, b = -7 și c = 0, în a treia a = 1, b = 0 și c = 4/9. Astfel de ecuații se numesc ecuații pătratice.

Definiţie.
Ecuație cuadratică se numește ecuație de forma ax 2 +bx+c=0, unde x este o variabilă, a, b și c sunt niște numere și \(a \neq 0 \).

Numerele a, b și c sunt coeficienții ecuației pătratice. Numărul a se numește primul coeficient, numărul b este al doilea coeficient, iar numărul c este termenul liber.

În fiecare dintre ecuațiile de forma ax 2 +bx+c=0, unde \(a\neq 0\), cea mai mare putere a variabilei x este un pătrat. De aici și numele: ecuație pătratică.

Rețineți că o ecuație pătratică se mai numește și ecuație de gradul doi, deoarece partea stângă este un polinom de gradul doi.

Se numește o ecuație pătratică în care coeficientul lui x 2 este egal cu 1 ecuație pătratică dată. De exemplu, ecuațiile pătratice date sunt ecuațiile
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Dacă într-o ecuație pătratică ax 2 +bx+c=0 cel puțin unul dintre coeficienții b sau c este egal cu zero, atunci o astfel de ecuație se numește ecuație pătratică incompletă. Astfel, ecuațiile -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sunt ecuații patratice incomplete. În primul dintre ele b=0, în al doilea c=0, în al treilea b=0 și c=0.

Există trei tipuri de ecuații pătratice incomplete:
1) ax 2 +c=0, unde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, unde \(b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Să luăm în considerare rezolvarea ecuațiilor fiecăruia dintre aceste tipuri.

Pentru a rezolva o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +c=0 pentru \(c \neq 0 \), mutați termenul său liber în partea dreaptă și împărțiți ambele părți ale ecuației la a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Deoarece \(c \neq 0 \), atunci \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Dacă \(-\frac(c)(a)>0\), atunci ecuația are două rădăcini.

Dacă \(-\frac(c)(a) Pentru a rezolva o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +bx=0 cu \(b \neq 0 \) factorizează partea stângă și obținem ecuația
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matrice)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(matrice) \right.

Aceasta înseamnă că o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +bx=0 pentru \(b \neq 0 \) are întotdeauna două rădăcini.

O ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 =0 este echivalentă cu ecuația x 2 =0 și, prin urmare, are o singură rădăcină 0.

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Să ne gândim acum cum să rezolvăm ecuațiile pătratice în care ambii coeficienți ai necunoscutelor și termenul liber sunt nenuli.

Să rezolvăm ecuația pătratică în formă generală și ca rezultat obținem formula rădăcinilor. Această formulă poate fi apoi utilizată pentru a rezolva orice ecuație pătratică.

Să rezolvăm ecuația pătratică ax 2 +bx+c=0

Împărțind ambele părți la a, obținem ecuația pătratică redusă echivalentă
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Să transformăm această ecuație selectând pătratul binomului:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Expresia radicală se numește discriminant al unei ecuații pătratice ax 2 +bx+c=0 („discriminant” în latină - discriminator). Este desemnat prin litera D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Acum, folosind notația discriminantă, rescriem formula pentru rădăcinile ecuației pătratice:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), unde \(D= b^2-4ac \)

Este evident că:
1) Dacă D>0, atunci ecuația pătratică are două rădăcini.
2) Dacă D=0, atunci ecuația pătratică are o rădăcină \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Dacă D Astfel, în funcție de valoarea discriminantului, o ecuație pătratică poate avea două rădăcini (pentru D > 0), o rădăcină (pentru D = 0) sau să nu aibă rădăcini (pentru D Când se rezolvă o ecuație pătratică folosind aceasta formula, este recomandabil să procedați în felul următor:
1) calculați discriminantul și comparați-l cu zero;
2) dacă discriminantul este pozitiv sau egal cu zero, atunci folosiți formula rădăcinii dacă discriminantul este negativ, atunci scrieți că nu există rădăcini;

teorema lui Vieta

Ecuația pătratică dată ax 2 -7x+10=0 are rădăcinile 2 și 5. Suma rădăcinilor este 7, iar produsul este 10. Vedem că suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient luat cu opusul semn, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. Orice ecuație pătratică redusă care are rădăcini are această proprietate.

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse este egală cu al doilea coeficient luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber.

Aceste. Teorema lui Vieta afirmă că rădăcinile x 1 și x 2 ale ecuației pătratice reduse x 2 +px+q=0 au proprietatea:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Transformarea unei ecuații pătratice complete într-una incompletă arată astfel (pentru cazul \(b=0\)):

Pentru cazurile în care \(c=0\) sau când ambii coeficienți sunt egali cu zero, totul este similar.

Vă rugăm să rețineți că nu se pune problema ca \(a\) să fie egal cu zero nu poate fi egal cu zero, deoarece în acest caz se va transforma în:

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete.

În primul rând, trebuie să înțelegeți că o ecuație pătratică incompletă este încă o , și, prin urmare, poate fi rezolvată în același mod ca o ecuație pătratică obișnuită (prin ). Pentru a face acest lucru, adăugăm pur și simplu componenta lipsă a ecuației cu un coeficient zero.

Exemplu : Găsiți rădăcinile ecuației \(3x^2-27=0\)
Soluţie :

		Avem o ecuație pătratică incompletă cu coeficientul \(b=0\). Adică, putem scrie ecuația în urmatoarea forma:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		De fapt, aceasta este aceeași ecuație ca la început, dar acum poate fi rezolvată ca una pătratică obișnuită. Mai întâi scriem coeficienții.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Să calculăm discriminantul folosind formula \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Să găsim rădăcinile ecuației folosind formulele \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) și \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D)) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Scrieți răspunsul

Răspuns : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Exemplu : Găsiți rădăcinile ecuației \(-x^2+x=0\)
Soluţie :

		Din nou o ecuație pătratică incompletă, dar acum coeficientul \(c\) este egal cu zero. Scriem ecuația ca fiind completă.

„, adică ecuații de gradul I. În această lecție ne vom uita ceea ce se numește ecuație pătratică si cum se rezolva.

Ce este o ecuație pătratică?

Important!

Gradul unei ecuații este determinat de gradul cel mai înalt în care se află necunoscutul.

Dacă puterea maximă în care necunoscuta este „2”, atunci aveți o ecuație pătratică.

Exemple de ecuații pătratice

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Important! Forma generală a unei ecuații pătratice arată astfel:

A x 2 + b x + c = 0

„a”, „b” și „c” sunt date numere.

• „a” este primul sau cel mai mare coeficient;
• „b” este al doilea coeficient;
• „c” este un termen liber.

Pentru a găsi „a”, „b” și „c” trebuie să comparați ecuația cu forma generală a ecuației pătratice „ax 2 + bx + c = 0”.

Să exersăm determinarea coeficienților „a”, „b” și „c” în ecuații patratice.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Ecuaţie	Cote
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Cum se rezolvă ecuații cuadratice

Spre deosebire de ecuații liniare pentru a rezolva ecuații pătratice, o specială formula pentru găsirea rădăcinilor.

Ține minte!

Pentru a rezolva o ecuație pătratică aveți nevoie de:

• reduce ecuația pătratică la aspectul general„ax 2 + bx + c = 0”.
• Adică, doar „0” ar trebui să rămână în partea dreaptă;

utilizați formula pentru rădăcini:

Să ne uităm la un exemplu de utilizare a formulei pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. Să rezolvăm o ecuație pătratică.

X 2 − 3x − 4 = 0 Ecuația „x 2 − 3x − 4 = 0” a fost deja redusă la forma generală „ax 2 + bx + c = 0” și nu necesită simplificări suplimentare. Pentru a o rezolva, trebuie doar să aplicăm.

formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice

Să determinăm coeficienții „a”, „b” și „c” pentru această ecuație.
Să determinăm coeficienții „a”, „b” și „c” pentru această ecuație.
Să determinăm coeficienții „a”, „b” și „c” pentru această ecuație.
Să determinăm coeficienții „a”, „b” și „c” pentru această ecuație.

x 1;2 =

Poate fi folosit pentru a rezolva orice ecuație pătratică.
În formula „x 1;2 = ” expresia radicală este adesea înlocuită

„b 2 − 4ac” pentru litera „D” și se numește discriminant. Conceptul de discriminant este discutat mai detaliat în lecția „Ce este un discriminant”.

Să ne uităm la un alt exemplu de ecuație pătratică.

În această formă, este destul de dificil să se determine coeficienții „a”, „b” și „c”. Să reducem mai întâi ecuația la forma generală „ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Acum puteți folosi formula pentru rădăcini.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Răspuns: x = 3

Există momente când ecuațiile pătratice nu au rădăcini. Această situație apare atunci când formula conține un număr negativ sub rădăcină.