Cum să reprezentați grafic o ecuație cubică. Funcția cubică

Parabolă. Programa funcţie pătratică() reprezintă o parabolă. Luați în considerare cazul canonic:

Să ne amintim câteva proprietăți ale funcției.

Domeniul definiției este orice număr real (orice valoare a lui „x”). Ce înseamnă? Indiferent de punctul de pe axa pe care îl alegem, pentru fiecare „x” există un punct de parabolă. Matematic se scrie astfel: . Domeniul de definire al oricărei funcții este notat standard prin sau . Litera denotă un set de numere reale sau, mai simplu, „orice X” (când munca este scrisă într-un caiet, ei scriu nu o literă ondulată, ci o literă îngroșată R).

Intervalul este setul tuturor valorilor pe care le poate lua variabila „y”. În acest caz: – ansamblul tuturor valori pozitive, inclusiv zero. Intervalul de valori este notat standard cu sau .

Funcția este chiar Dacă funcția este pară, atunci graficul ei este simetric față de axă. Acest lucru este foarte proprietate utilă, ceea ce simplifică semnificativ construcția unui grafic, așa cum vom vedea în curând. Analitic, paritatea unei funcții este exprimată prin condiție. Cum se verifică orice funcție pentru paritate? În schimb, trebuie să înlocuiți în ecuație.În cazul unei parabole, verificarea arată astfel: aceasta înseamnă că funcția este pară.

Funcţie nelimitat de sus. Analitic, proprietatea se scrie astfel: . Iată, apropo, un exemplu de semnificație geometrică a limitei unei funcții: dacă mergem de-a lungul axei (la stânga sau la dreapta) până la infinit, atunci ramurile parabolei (adică „Y”) va merge în sus la infinit la „plus infinit”.

La studierea limitelor funcţiilor este indicat sa intelegi sens geometric limită.

Nu este o coincidență că am descris proprietățile funcției atât de detaliat;

Exemplul 2

Construiți un grafic al funcției.

În acest exemplu ne vom uita la un aspect important intrebare tehnica: Cum să construiești rapid o parabolă?ÎN sarcini practice nevoia de a desena o parabolă apare foarte des, în special la calcul zona figurii folosind integrală definită . Prin urmare, este recomandabil să învățați cum să finalizați un desen rapid, cu pierderi minime de timp. Propun următorul algoritm de construcție.

Mai întâi găsim vârful parabolei. Pentru a face acest lucru, luați prima derivată și echivalați-o cu zero:

Dacă ești prost cu derivatele, ar trebui să citești lecția Cum să găsesc derivatul?

Deci, soluția ecuației noastre: – în acest punct se află vârful parabolei. Calculăm valoarea corespunzătoare a lui „Y”:

Astfel, vârful este în punct

Acum găsim alte puncte, în timp ce folosim cu nerăbdare simetria parabolei. Trebuie remarcat faptul că funcția este nu este chiar, dar, cu toate acestea, nimeni nu a anulat simetria parabolei.

În ce ordine să găsim punctele rămase, cred că va fi clar din masa finală:

Acest algoritm structura poate fi numită la figurat „navetă”. Poate că nu toată lumea înțelege esența navetei, apoi, pentru comparație, vă amintesc de celebra emisiune TV „întors și înapoi cu Anfisa Cehova”.

Să facem desenul:

Din graficele examinate, îmi vine în minte o altă caracteristică utilă:

Pentru funcția pătratică (), este adevărat:

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

Parabolă cubică

O parabolă cubică este dată de funcție. Iată un desen cunoscut de la școală:

Să enumerăm principalele proprietăți ale funcției

Domeniul definiției este orice număr real: .

Gama de valori – orice număr real: .

Funcția este ciudat. Dacă o funcție este impară, atunci graficul ei este simetric față de origine. Analitic, ciudatenia unei functii este exprimata prin conditie . Să efectuăm o verificare pentru funcția cubică pentru a face acest lucru, în loc de „X” înlocuim „minus X”:
, ceea ce înseamnă că funcția este impară.

Funcţie nu limitat. În limbajul limitelor funcției, aceasta poate fi scrisă după cum urmează:

De asemenea, este mai eficient să construiești o parabolă cubică folosind algoritmul de transfer al lui Anfisa Cehova:

Cu siguranță, ați observat unde se mai manifestă ciudățenia funcției. Dacă am găsit asta , atunci când calculăm nu este nevoie să numărăm nimic, notăm automat că . Această caracteristică este valabilă pentru orice funcție ciudată.

Acum să vorbim puțin despre graficele polinoamelor.

Graficul oricărui polinom de gradul trei () are practic următoarea formă:

În acest exemplu, coeficientul pentru cel mai înalt grad este , deci graficul este întors „în sens invers”. Graficele polinoamelor de gradul 5, 7, 9 și alte grade impare au în esență același aspect. Cu cât gradul este mai mare, cu atât mai multe „zagibuline” intermediare.

Polinoamele de gradul 4, 6 și alte grade pare au un grafic în principiu următorul tip:

Aceste cunoștințe sunt utile atunci când studiați graficele funcțiilor.

Graficul unei funcții

Să facem desenul:

Principalele proprietăți ale funcției:

Domeniul de aplicare: .

Interval de valori: .

Adică, graficul funcției este complet situat în primul cadran de coordonate.

Funcţie nelimitat de sus. Sau folosind o limită:

Atunci când construiți cele mai simple grafice cu rădăcini, metoda de construcție punctuală este, de asemenea, adecvată și este avantajos să selectați astfel de valori „x”, astfel încât să fie extrasă întreaga rădăcină:

De fapt, aș vrea să mă uit la mai multe exemple cu rădăcini, de exemplu, dar sunt mult mai puțin frecvente. Mă concentrez pe cazuri mai frecvente și, așa cum arată practica, ceva de genul acesta trebuie construit mult mai des. Dacă apare nevoia de a afla cum arată graficele cu alte rădăcini, atunci vă recomand să vă uitați la un manual școlar sau o carte de referință matematică.

Graficul hiperbolei

Din nou, ne amintim de banala hiperbola „școală”.

Să facem desenul:

Principalele proprietăți ale funcției:

Domeniul de aplicare: .

Interval de valori: .

Notația înseamnă: „orice număr real excluzând zero”

La un moment dat funcția suferă o discontinuitate infinită. Sau folosind unilateral limite: , . Să vorbim puțin despre limitele unilaterale. Intrarea înseamnă că noi infinit de aproape apropiindu-se de axa la zero stânga. Cum se comporta programul? Se coboară până la minus infinit, infinit de aproape apropiindu-se de ax. Acest fapt este scris ca limită. La fel, notația înseamnă că noi infinit de aproape apropiindu-se de axa la zero corect. În acest caz, ramura hiperbolei crește până la plus infinit, infinit de aproape apropiindu-se de ax. Sau pe scurt: .

Funcția y=x^2 se numește funcție pătratică. Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Vedere generală Parabola este prezentată în figura de mai jos.

Funcția pătratică

Fig 1. Vedere generală a parabolei

După cum se poate vedea din grafic, este simetric față de axa Oy. Axa Oy se numește axa de simetrie a parabolei. Aceasta înseamnă că dacă desenați o linie dreaptă pe grafic paralelă cu axa Ox deasupra acestei axe. Apoi va intersecta parabola în două puncte. Distanța de la aceste puncte până la axa Oy va fi aceeași.

Axa de simetrie împarte graficul unei parabole în două părți. Aceste părți sunt numite ramuri ale parabolei. Iar punctul unei parabole care se află pe axa de simetrie se numește vârful parabolei. Adică, axa de simetrie trece prin vârful parabolei. Coordonatele acestui punct sunt (0;0).

Proprietățile de bază ale unei funcții pătratice

1. La x =0, y=0 și y>0 la x0

2. Funcția pătratică atinge valoarea minimă la vârf. Ymin la x=0; De asemenea, trebuie remarcat faptul că funcția nu are o valoare maximă.

3. Funcția scade pe interval (-∞;0] și crește pe interval)