Cum se adaugă numere cu semne diferite. Adunarea și scăderea numerelor raționale

Sarcina 1. Jucătorul a înregistrat câștiguri cu semnul + și pierderile cu semnul –. Găsiți rezultatul fiecăreia dintre următoarele intrări: a) +7 rub. +4 frecții; b) –3 frecare. –6 frec.; c) –4 frecare. +4 frecții; d) +8 frecare. -6 ruble; e) –11 frecare. +7 frecții; f) +2 frecare. +3 frecare. -5 ruble; g) +6 frecare. -4 frecați. +3 frecare. -5 frecții. +2 frecare. – 6 freci.

Intrarea a) indică faptul că jucătorul a câștigat primul 7 ruble. și apoi a câștigat 4 ruble, - în total a câștigat 11 ruble; intrarea c) indică faptul că jucătorul a pierdut mai întâi 4 ruble. și apoi a câștigat 4 ruble - pentru că rezultat general= 0 (jucatorul nu a facut nimic); intrarea e) indică faptul că jucătorul a pierdut mai întâi 11 ruble, apoi a câștigat 7 ruble - pierderea depășește câștigul cu 4 ruble; prin urmare, în total, jucătorul a pierdut 4 ruble. Deci, avem dreptul să notăm pentru aceste înregistrări că

a) +7 frecare. +4 frecare. = +11 rub.; c) –4 frecare. +4 frecare. = 0; e) –11 frecare. + 7 frecții. = –4 frecare.

Restul intrărilor sunt la fel de ușor de înțeles.

În sensul lor, aceste probleme sunt similare cu cele care se rezolvă în aritmetică folosind acțiunea de adunare, prin urmare, și aici vom presupune că peste tot pentru a găsi rezultatul general al jocului trebuie să adunăm numere relative care exprimă rezultatele de jocuri individuale, de exemplu, în exemplul c) număr relativ –11 rub. se adună la numărul relativ +7 ruble.

Sarcina 2. Casiera a înregistrat încasările de numerar cu semnul + și cheltuielile cu semnul –. Aflați rezultatul total al fiecăreia dintre următoarele intrări: a) +16 rub. +24 rub.; b) –17 frecare. –48 rub.; c) +26 frec. -26 ruble; d) –24 frec. +56 rub.; e) –24 frec. +6 frecții; f) –3 frecare. +25 de frecare. -20 de frecări. +35 rub.; g) +17 frecare. – 11 frecare. +14 frecare. –9 frecați. -18 freacă. +7 frecții; h) –9 frec –7 frec. +15 frecții. – 11 frecare. +4 frecare.

Să analizăm, de exemplu, intrarea f): să numărăm mai întâi întreaga chitanță a casei de marcat: conform acestei intrări erau 25 de ruble. când ajung și încă 35 de ruble. veniți, venitul total a fost de 60 de ruble, iar cheltuiala a fost de 3 ruble și alte 20 de ruble, totalul a fost de 23 de ruble. cheltuiala; venitul depășește cheltuielile cu 37 de ruble. Urmări.,

– 3 frecții. + 25 de frecări. – 20 de freci. + 35 de frecări. = +37 frecare.

Sarcina 3. Punctul oscilează în linie dreaptă, începând din punctul A (Fig. 2).

la naiba. 2.

Notăm mutarea lui la dreapta cu semnul + și mutarea lui la stânga cu semnul –. Unde va fi punctul după mai multe oscilații, înregistrate într-una din următoarele înregistrări: a) +2 dm. -3 dm. +4 dm.; b) –1 dm. +2 dm. +3 dm. +4 dm. -5 dm. +3 dm.; c) +10 dm. -1 dm. +8 dm. -2 dm. +6 dm. -3 dm. +4 dm. –5 dm.; d) –4 dm. +1 dm. –6 dm. +3 dm. –8 dm. +5 dm.; e) +5 dm. –6 dm. +8 dm. -11 dm. În desen, centimetrii sunt indicați prin segmente mai mici decât cele reale.

Să analizăm ultima intrare (e): mai întâi punctul oscilant s-a mutat la dreapta lui A cu 5 inci, apoi a mutat la stânga cu 6 inci - în general, ar trebui să fie situat la stânga lui A cu 1 inch, apoi mutat la dreapta cu 8 inci, apoi este acum la dreapta lui A cu 7 inci, apoi mutat la stânga cu 11 inci, prin urmare, este la stânga lui A cu 4 inci.

Restul exemplelor lăsăm să fie analizate chiar de elevi.

Am acceptat că în toate înregistrările analizate trebuie să adăugăm numerele relative înregistrate. Prin urmare, să fim de acord:

Dacă mai multe numere relative sunt scrise una lângă alta (cu semnele lor), atunci aceste numere trebuie adăugate.

Să analizăm acum principalele cazuri întâlnite în timpul adunării și vom lua numere relative fără nume (adică, în loc să spunem, de exemplu, 5 ruble pentru câștig și alte 3 ruble pentru pierdere, sau punctul s-a mutat cu 5 inci la dreapta lui Oh, și apoi încă 3 inci la stânga, vom spune 5 unități pozitive și, de asemenea, 3 unități negative...).

Aici trebuie să adunați numere formate din 8 poziții. unități, și chiar din 5 poziții. unități, obținem un număr format din 13 poziții. unitati.

Deci + 8 + 5 = 13

Aici trebuie să adăugați un număr format din 6 negative. unități cu un număr format din 9 negative. unități, obținem 15 negative. unități (comparați: 6 ruble de pierdere și 9 ruble de pierdere - se va ridica la 15 ruble de pierdere). Aşa,

– 6 – 9 = – 15.

4 ruble de câștiguri și apoi 4 ruble. pierderile, în general, vor da zero (se anulează reciproc); de asemenea, dacă un punct se mișcă de la A mai întâi la dreapta cu 4 inci și apoi la stânga cu 4 inci, atunci va ajunge din nou în punctul A și, în consecință, distanța sa finală de A este zero și, în general, vom ar trebui să presupunem că 4 pozitive unitățile, și chiar 4 negative, în general, vor da zero, sau vor fi distruse reciproc. Aşa,

4 – 4 = 0, de asemenea – 6 + 6 = 0 etc.

Două numere relative care au aceeași valoare absolută, dar diverse semne, sunt distruse reciproc.

6 negativ unitățile vor fi distruse din 6 pozitive. unități și vor mai rămâne 3 poziții. unitati. Aşa,

– 6 + 9 = + 3.

7 poz. unitățile vor fi distruse din 7 negative. unități și vor mai rămâne 4 negative. unitati. Aşa,

7 – 11 = – 4.

Luând în considerare cazurile 1), 2), 4) și 5), avem

8 + 5 = + 13; – 6 – 9 = – 15; – 6 + 9 = + 3 și
+ 7 – 11 = – 4.

De aici vedem că trebuie să distingem între două cazuri de adunare a numerelor algebrice: cazul când termenii au aceleași semne (1 și 2) și cazul de adunare a numerelor cu semne diferite(a 4-a și a 5-a).

Nu e greu să vezi asta acum

la adăugarea numerelor cu semne identice ar trebui să adunați valorile lor absolute și să le scrieți semn generalși atunci când adăugați două numere cu semne diferite, trebuie să scădeți aritmetic valorile lor absolute (de la cel mai mare la cel mai mic) și să scrieți semnul numărului al cărui valoare absolută Mai mult.

Să presupunem că trebuie să găsim suma

6 – 7 – 3 + 5 – 4 – 8 + 7 + 9.

Putem adăuga mai întâi toate numerele pozitive + 6 + 5 + 7 + 9 = + 27, apoi le putem negativ pe toate. – 7 – 3 – 4 – 8 = – 22 și apoi rezultatele obținute între ele + 27 – 22 = + 5.

Putem folosi aici și faptul că numerele + 5 – 4 – 8 + 7 se anulează reciproc și apoi nu mai rămâne decât să adunăm numerele + 6 – 7 – 3 + 9 = + 5.

Un alt mod de a reprezenta adunarea

Puteți include fiecare termen între paranteze și puteți scrie un semn de adunare între paranteze. Ex:

(+7) + (+9); (–3) + (–8); (+7) + (–11); (–4) + (+5);
(–3) + (+5) + (–7) + (+9) + (–11), etc.

Putem, conform celui precedent, să scriem imediat suma, de exemplu. (–4) + (+5) = +1 (cazul adunării numerelor cu semne diferite: trebuie să scădeți pe cel mai mic din valoarea absolută mai mare și să scrieți semnul numărului a cărui valoare absolută este mai mare), dar noi se poate rescrie mai întâi același lucru fără paranteze, folosind condiția ca dacă numerele sunt scrise lângă semnele lor, atunci aceste numere trebuie adăugate; urmări.,

Pentru a deschide parantezele atunci când adăugați numere pozitive și negative, trebuie să scrieți termenii lângă semnele lor (omiteți semnul de adunare și parantezele).

De exemplu: (+ 7) + (+ 9) = + 7 + 9; (– 3) + (– 8) = – 3 – 8; (+ 7) + (– 11) = + 7 – 11; (– 4) + (+ 5) = – 4 + 5; (– 3) + (+ 5) + (– 7) + (+ 9) + (– 11) = – 3 + 5 – 7 + 9 – 11.

După aceasta, puteți adăuga numerele rezultate.

Într-un curs de algebră, ar trebui să acordați o atenție deosebită capacității de a deschide paranteze.

Exerciții.

1) (– 7) + (+ 11) + (– 15) + (+ 8) + (– 1);

>> Matematică: Adunarea numerelor cu semne diferite

33. Adunarea numerelor cu semne diferite

Dacă temperatura aerului a fost egală cu 9 ° C și apoi sa schimbat la - 6 ° C (adică a scăzut cu 6 ° C), atunci a devenit egală cu 9 + (- 6) grade (Fig. 83).

Pentru a adăuga numerele 9 și - 6 folosind , trebuie să mutați punctul A (9) la stânga cu 6 segmente de unitate (Fig. 84). Obținem punctul B (3).

Aceasta înseamnă 9+(- 6) = 3. Numărul 3 are același semn ca și termenul 9 și modul egală cu diferența dintre modulele termenilor 9 și -6.

Într-adevăr, |3| =3 și |9| - |- 6| = = 9 - 6 = 3.

Dacă aceeași temperatură a aerului de 9 °C s-a schimbat cu -12 °C (adică a scăzut cu 12 °C), atunci a devenit egală cu 9 + (-12) grade (Fig. 85). Adunând numerele 9 și -12 folosind linia de coordonate (Fig. 86), obținem 9 + (-12) = -3. Numărul -3 are același semn ca și termenul -12, iar modulul său este egal cu diferența dintre modulele termenilor -12 și 9.

Într-adevăr, | - 3| = 3 și | -12| - | -9| =12 - 9 = 3.

Pentru a adăuga două numere cu semne diferite, trebuie să:

1) scade pe cel mai mic din modulul mai mare al termenilor;

2) se pune in fata numarului rezultat semnul termenului al carui modul este mai mare.

De obicei, semnul sumei este mai întâi determinat și scris, apoi se găsește diferența de module.

De exemplu:

1) 6,1+(- 4,2)= +(6,1 - 4,2)= 1,9,
sau mai scurt 6,1+(- 4,2) = 6,1 - 4,2 = 1,9;

Când adăugați numere pozitive și negative, puteți utiliza microcalculator. Pentru a intra număr negativîn microcalculator, trebuie să introduceți modulul acestui număr, apoi apăsați tasta „schimbare semn” |/-/|. De exemplu, pentru a introduce numărul -56,81, trebuie să apăsați secvențial tastele: | 5 |, | 6 |, | ¦ |, | 8 |, | 1 |, |/-/|. Operațiile asupra numerelor de orice semn se efectuează pe un microcalculator în același mod ca pe numerele pozitive.

De exemplu, suma -6,1 + 3,8 este calculată prin program

? Numerele a și b au semne diferite. Ce semn va avea suma acestor numere dacă modulul mai mare este negativ?

dacă modulul mai mic este negativ?

dacă modulul mai mare este un număr pozitiv?

dacă modulul mai mic este un număr pozitiv?

Formulați o regulă pentru adunarea numerelor cu semne diferite. Cum se introduce un număr negativ într-un microcalculator?

LA 1045. Numărul 6 a fost schimbat în -10. Pe ce parte a originii se află numărul rezultat? La ce distanta de origine se afla? Cu ce ​​este egal sumă 6 și -10?

1046. Numărul 10 a fost schimbat în -6. Pe ce parte a originii se află numărul rezultat? La ce distanta de origine se afla? Care este suma dintre 10 și -6?

1047. Numărul -10 a fost schimbat în 3. Pe ce parte a originii se află numărul rezultat? La ce distanta de origine se afla? Care este suma dintre -10 și 3?

1048. Numărul -10 a fost schimbat în 15. Pe ce parte a originii se află numărul rezultat? La ce distanta de origine se afla? Care este suma dintre -10 și 15?

1049. În prima jumătate a zilei, temperatura s-a schimbat cu - 4 °C, iar în a doua jumătate - cu + 12 °C. Cu câte grade s-a schimbat temperatura în timpul zilei?

1050. Efectuați adăugarea:

1051. Adăugați:

a) la suma lui -6 și -12 numărul 20;
b) la numărul 2,6 suma este -1,8 și 5,2;
c) la suma -10 si -1,3 suma 5 si 8,7;
d) la suma de 11 și -6,5 suma de -3,2 și -6.

1052. Care număr este 8; 7,1; -7,1; -7; -0,5 este rădăcina ecuații- 6 + x = -13,1?

1053. Ghiciți rădăcina ecuației și verificați:

a) x + (-3) = -11; c) m + (-12) = 2;
b) - 5 + y=15; d) 3 + n = -10.

1054. Găsiți sensul expresiei:

1055. Urmați pașii folosind un microcalculator:

a) - 3,2579 + (-12,308); d) -3,8564+ (-0,8397) +7,84;
b) 7,8547+ (- 9,239); e) -0,083 + (-6,378) + 3,9834;
c) -0,00154 + 0,0837; e) -0,0085+ 0,00354+ (- 0,00921).

P 1056. Aflați valoarea sumei:

1057. Găsiți sensul expresiei:

1058. Câte numere întregi sunt situate între numere:

a) 0 și 24; b) -12 și -3; c) -20 și 7?

1059. Imaginează-ți numărul -10 ca sumă a doi termeni negativi astfel încât:

a) ambii termeni erau numere întregi;
b) ambii termeni erau fracții zecimale;
c) unul dintre termeni era un ordinar obișnuit fracţiune.

1060. Care este distanța (în segmente unitare) dintre punctele dreptei de coordonate cu coordonate:

a) 0 și a; b) -a și a; c) -a şi 0; d) a și -Za?

M 1061. Razele paralelelor geografice ale suprafeţei terestre pe care se află oraşele Atena şi Moscova sunt egale cu 5040 km şi respectiv 3580 km (Fig. 87). Cu cât este mai scurtă paralela Moscovei decât paralela Atena?

1062. Scrieți o ecuație pentru a rezolva problema: „Un câmp cu o suprafață de 2,4 hectare a fost împărțit în două secțiuni. Găsi pătrat fiecare site, dacă se știe că unul dintre site-uri:

a) cu 0,8 hectare mai mult decât altul;
b) cu 0,2 hectare mai putin decat altul;
c) de 3 ori mai mult decât altul;
d) de 1,5 ori mai puțin decât altul;
e) constituie alta;
e) este 0,2 din celălalt;
g) constituie 60% din celelalte;
h) este 140% din celălalt.”

1063. Rezolvați problema:

1) În prima zi, călătorii au parcurs 240 km, în a doua zi 140 km, în a treia zi au parcurs de 3 ori mai mult decât în ​​a doua, iar în a patra zi s-au odihnit. Câți kilometri au parcurs în a cincea zi, dacă peste 5 zile au condus în medie 230 km pe zi?

2) Venitul lunar al tatălui este de 280 de ruble. Bursa fiicei mele este de 4 ori mai mică. Cât câștigă o mamă pe lună dacă sunt 4 persoane în familie? fiul cel mic- un școlar și fiecare persoană primește în medie 135 de ruble?

1064. Urmați acești pași:

1) (2,35 + 4,65) 5,3:(40-2,9);

2) (7,63-5,13) 0,4:(3,17 + 6,83).

1066. Prezentați fiecare dintre numere ca o sumă a doi termeni egali:

1067. Aflați valoarea lui a + b dacă:

a) a= -1,6, b = 3,2; b) a=- 2,6, b = 1,9; V)

1068. Erau 8 apartamente la un etaj al unui bloc de locuit. 2 apartamente aveau o suprafață de locuit de 22,8 m2, 3 apartamente - 16,2 m2, 2 apartamente - 34 m2. Ce suprafață de locuit avea al optulea apartament dacă la acest etaj fiecare apartament avea în medie 24,7 m2 de spațiu de locuit?

1069. Trenul de marfă era format din 42 de vagoane. Erau de 1,2 ori mai multe mașini acoperite decât platforme, iar numărul de rezervoare era egal cu numărul de platforme. Câte vagoane de fiecare tip erau în tren?

1070. Găsiți sensul expresiei

N.Ya.Vilenkin, A.S. Cesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I Zhokhov, Matematică pentru clasa a VI-a, Manual pentru liceu

Planificare de matematică, manuale și cărți online, cursuri și sarcini de matematică pentru clasa a VI-a descărcare

Conținutul lecției notele de lecție sprijinirea metodelor de accelerare a prezentării lecției cadru tehnologii interactive Practica sarcini și exerciții ateliere de autotestare, instruiri, cazuri, întrebări teme pentru acasă întrebări de discuție întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini, grafice, tabele, diagrame, umor, anecdote, glume, benzi desenate, pilde, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole trucuri pentru pătuțurile curioși manuale dicționar de bază și suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment dintr-un manual, elemente de inovație în lecție, înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte plan calendaristic timp de un an recomandări metodologice programe de discuții Lecții integrate

Aproape întregul curs de matematică se bazează pe operații cu numere pozitive și negative. La urma urmei, de îndată ce începem să studiem linia de coordonate, numerele cu semne plus și minus încep să ne apară peste tot, în fiecare subiect nou. Nu este nimic mai ușor decât adunarea numerelor pozitive obișnuite, nu este dificil să scazi unul din celălalt. Chiar operatii aritmetice cu două numere negative devin rareori o problemă.

Cu toate acestea, mulți oameni devin confuzi cu privire la adunarea și scăderea numerelor cu semne diferite. Să ne amintim regulile după care au loc aceste acțiuni.

Adunarea numerelor cu semne diferite

Dacă pentru a rezolva o problemă trebuie să adăugăm un număr negativ „-b” unui număr „a”, atunci trebuie să acționăm după cum urmează.

• Să luăm modulele ambelor numere - |a| și |b| - și comparați aceste valori absolute între ele.
• Să notăm care modul este mai mare și care este mai mic și scădem valoarea mai mică din valoarea mai mare.
• Să punem în fața numărului rezultat semnul numărului al cărui modul este mai mare.

Acesta va fi răspunsul. Poate fi exprimat mai simplu: dacă în expresia a + (-b) modulul numărului „b” este mai mare decât modulul „a”, atunci scădem „a” din „b” și punem „minus”. ” în fața rezultatului. Dacă modulul „a” este mai mare, atunci „b” se scade din „a” - iar soluția se obține cu semnul „plus”.

De asemenea, se întâmplă ca modulele să fie egale. Dacă da, atunci vă puteți opri în acest moment - despre care vorbim despre numere opuse, iar suma lor va fi întotdeauna zero.

Scăderea numerelor cu semne diferite

Ne-am ocupat de adunare, acum să ne uităm la regula pentru scădere. De asemenea, este destul de simplu - și, în plus, repetă complet o regulă similară pentru scăderea a două numere negative.

Pentru a scădea dintr-un anumit număr „a” - arbitrar, adică cu orice semn - un număr negativ „c”, trebuie să adăugați la numărul nostru arbitrar „a” numărul opus „c”. De exemplu:

• Dacă „a” este un număr pozitiv, iar „c” este negativ și trebuie să scazi „c” din „a”, atunci îl scriem astfel: a – (-c) = a + c.
• Dacă „a” este un număr negativ, iar „c” este pozitiv, iar „c” trebuie să fie scăzut din „a”, atunci îl scriem după cum urmează: (- a)– c = - a+ (-c).

Astfel, la scăderea numerelor cu semne diferite ajungem să revenim la regulile adunării, iar la adunarea numerelor cu semne diferite, revenim la regulile scăderii. Memorarea acestor reguli vă permite să rezolvați problemele rapid și ușor.

În această lecție vom învăța ce este un număr negativ și ce numere se numesc opuse. Vom învăța, de asemenea, cum să adunăm numere negative și pozitive (numere cu semne diferite) și vom privi mai multe exemple de adunare a numerelor cu semne diferite.

Uitați-vă la acest angrenaj (vezi Fig. 1).

Orez. 1. Unelte de ceas

Aceasta nu este o mână care arată direct ora și nu un cadran (vezi Fig. 2). Dar fără această parte, ceasul nu funcționează.

Orez. 2. Uneltele din interiorul ceasului

Ce înseamnă litera Y? Nimic în afară de sunetul Y. Dar fără el, multe cuvinte nu vor „funcționa”. De exemplu, cuvântul „șoarece”. La fel și numerele negative: nu arată nicio cantitate, dar fără ele mecanismul de calcul ar fi mult mai dificil.

Știm că adunarea și scăderea sunt operații echivalente și pot fi efectuate în orice ordine. În ordine directă, putem calcula: , dar nu putem începe cu scăderea, deoarece nu ne-am pus încă de acord cu ce .

Este clar că creșterea numărului și apoi scăderea prin scădere în cele din urmă cu trei. De ce să nu desemnați acest obiect și să numărați așa: a adăuga înseamnă a scădea. Apoi .

Numărul poate însemna, de exemplu, un măr. Noul număr nu reprezintă nicio cantitate reală. În sine, nu înseamnă nimic ca litera Y. Este doar un instrument nou pentru a ușura calculele.

Să numim numere noi negativ. Acum putem scădea numărul mai mare din numărul mai mic. Din punct de vedere tehnic, mai trebuie să scădeți numărul mai mic din numărul mai mare, dar puneți semnul minus în răspunsul dvs.: .

Să ne uităm la un alt exemplu: . Puteți face toate acțiunile la rând: .

Cu toate acestea, este mai ușor să scădeți al treilea număr din primul număr și apoi să adăugați al doilea număr:

Numerele negative pot fi definite în alt mod.

Pentru fiecare număr natural, de exemplu , introducem un număr nou, pe care îl notăm , și determinăm că are următoarea proprietate: suma numărului și este egală cu : .

Vom numi numărul negativ, iar numerele și - opus. Astfel, avem un număr infinit de numere noi, de exemplu:

Opusul numărului;

Opusul numărului;

Opusul numărului;

Opusul numărului;

Scădeți numărul mai mare din numărul mai mic: . Să adăugăm la această expresie: . Avem zero. Totuși, conform proprietății: numărul care adaugă zero la cinci se notează minus cinci: . Prin urmare, expresia poate fi notată ca .

Fiecare număr pozitiv are un număr geamăn, care diferă doar prin faptul că este precedat de semnul minus opus(vezi Fig. 3).

Orez. 3. Exemple de numere opuse

Proprietățile numerelor opuse

1. Suma numerelor opuse este zero: .

2. Dacă scădeți un număr pozitiv din zero, rezultatul va fi numărul negativ opus: .

1. Ambele numere pot fi pozitive și știm deja cum să le adunăm: .

2. Ambele numere pot fi negative.

Am abordat deja adăugarea unor numere ca acestea în lecția anterioară, dar să ne asigurăm că înțelegem ce să facem cu ele. De exemplu: .

Pentru a găsi această sumă, adăugați numerele pozitive opuse și puneți semnul minus.

3. Un număr poate fi pozitiv, iar celălalt negativ.

Dacă ne este convenabil, putem înlocui adunarea unui număr negativ cu scăderea unui număr pozitiv: .

Un alt exemplu: . Din nou scriem suma ca diferență. Puteți scădea un număr mai mare dintr-un număr mai mic scăzând un număr mai mic dintr-un număr mai mare, dar folosind semnul minus.

Putem schimba termenii: .

Un alt exemplu similar: .

În toate cazurile, rezultatul este o scădere.

Pentru a formula pe scurt aceste reguli, să ne amintim încă un termen. Numerele opuse, desigur, nu sunt egale între ele. Dar ar fi ciudat să nu observăm ce au în comun. Noi am numit acest lucru comun număr modulo. Modulul numerelor opuse este același: pentru un număr pozitiv este egal cu numărul însuși, iar pentru un număr negativ este egal cu opusul, pozitiv. De exemplu: , .

Pentru a adăuga două numere negative, trebuie să adăugați modulele lor și să puneți semnul minus:

Pentru a adăuga un număr negativ și un număr pozitiv, trebuie să scădeți modulul mai mic din modulul mai mare și să puneți semnul numărului cu modulul mai mare:

Ambele numere sunt negative, prin urmare, adunăm modulele lor și punem semnul minus:

Două numere cu semne diferite, așadar, din modulul numărului (modulul mai mare), scădem modulul numărului și punem un semn minus (semnul numărului cu modulul mai mare):

Două numere cu semne diferite, așadar, din modulul numărului (modulul mai mare), scădem modulul numărului și punem semnul minus (semnul numărului cu modulul mai mare): .

Două numere cu semne diferite, așadar, din modulul numărului (modulul mai mare), scădem modulul numărului și punem un semn plus (semnul numărului cu modulul mai mare): .

Numerele pozitive și negative au avut în istorie roluri diferite.

Mai întâi am intrat numere naturale pentru numărarea articolelor:

Apoi am introdus alte numere pozitive - fracții, pentru numărarea cantităților neîntregi, părți: .

Numerele negative au apărut ca un instrument de simplificare a calculelor. Nu era ca și cum ar fi în viață cantități pe care să nu le putem număra și am inventat numere negative.

Adică, numerele negative nu au apărut din lumea reală. S-au dovedit a fi atât de convenabile încât în ​​unele locuri și-au găsit aplicație în viață. De exemplu, auzim adesea despre temperaturi negative. Cu toate acestea, nu întâlnim niciodată un număr negativ de mere. Care este diferența?

Diferența este că în viață, cantitățile negative sunt folosite doar pentru comparație, dar nu și pentru cantități. Dacă un hotel are un subsol și acolo este instalat un lift, atunci pentru a menține numerotarea obișnuită a etajelor obișnuite, poate apărea un etaj minus. Acest prim minus înseamnă doar un etaj sub nivelul solului (vezi Fig. 1).

Orez. 4. Minus primul și minus al doilea etaj

O temperatură negativă este doar negativă în comparație cu zero, care a fost ales de autorul scalei, Anders Celsius. Există și alte scale, iar aceeași temperatură poate să nu mai fie negativă acolo.

În același timp, înțelegem că este imposibil să schimbăm punctul de plecare astfel încât să nu fie cinci mere, ci șase. Astfel, în viață, numerele pozitive sunt folosite pentru a determina cantități (mere, prăjitură).

De asemenea, le folosim în loc de nume. Fiecărui telefon i se poate da propriul nume, dar numărul de nume este limitat și nu există numere. De aceea folosim numere de telefon. De asemenea, pentru comandă (secolul urmează secolul).

Numerele negative în viață sunt folosite în ultimul sens (minus primul etaj sub zero și primul etaj)

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematica clasa a VI-a. „Gimnaziul”, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. M.: Educație, 1989.
4. Rurukin A.N., Ceaikovski I.V. Teme pentru cursul de matematică pentru clasele 5-6. M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Ceaikovski K.G. Matematică 5-6. Un manual pentru elevii de clasa a VI-a la școala de corespondență MEPhI. M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematică: Manual-interlocutor pentru clasele 5-6 de liceu. M.: Educație, Biblioteca Profesorului de Matematică, 1989.

1. Math-prosto.ru ().
2. Youtube().
3. School-assistant.ru ().
4. Allforchildren.ru ().

Teme pentru acasă

În acest articol ne vom ocupa adunarea numerelor cu semne diferite. Aici vom da o regulă pentru adăugarea numerelor pozitive și negative și vom analiza exemple de aplicare a acestei reguli atunci când adunăm numere cu semne diferite.

Navigare în pagină.

Regula de adunare a numerelor cu semne diferite

Numerele pozitive și negative pot fi interpretate ca proprietate și, respectiv, datorie, în timp ce modulele de numere arată valoarea proprietății și a datoriei. Apoi, adăugarea numerelor cu semne diferite poate fi considerată ca adaos de proprietate și datorie. Este clar că dacă proprietatea este mai mică decât datoria, atunci după compensare va exista o datorie, dacă proprietatea este mai mare decât datoria, atunci după compensare va exista proprietate și dacă proprietatea este egală cu datoria, atunci după decontare nu vor mai exista nici datorii, nici proprietate.

Să combinăm argumentele de mai sus în regula de adunare a numerelor cu semne diferite. Pentru a adăuga un număr pozitiv și negativ, trebuie să:

• găsiți modulele termenilor;
• compara numerele obtinute, in timp ce
  • dacă numerele rezultate sunt egale, atunci termenii inițiali sunt numere opuse și suma lor este zero,
  • dacă numerele rezultate nu sunt egale, atunci trebuie să vă amintiți semnul numărului al cărui modul este mai mare;
• scade pe cel mai mic din modulul mai mare;
• Înainte de numărul rezultat se pune semnul termenului al cărui modul este mai mare.

Regula afirmată reduce adunarea numerelor cu semne diferite la scăderea unui număr mai mic dintr-un număr pozitiv mai mare. De asemenea, este clar că, în urma adunării unui număr pozitiv și negativ, puteți obține fie un număr pozitiv, fie un număr negativ, fie zero.

De asemenea, rețineți că regula de adunare a numerelor cu semne diferite este valabilă pentru numere întregi, pentru numere raționaleși pentru numere reale.

Exemple de adunare de numere cu semne diferite

Să luăm în considerare exemple de adunare de numere cu semne diferite conform regulii discutate la paragraful precedent. Să începem cu un exemplu simplu.

www.cleverstudents.ru

Adunarea și scăderea fracțiilor

Fracțiile sunt numere obișnuite și pot fi, de asemenea, adunate și scăzute. Dar datorită faptului că conțin un numitor, mai mult reguli complexe decât pentru numere întregi.

Să luăm în considerare cel mai simplu caz, când există două fracții cu aceiași numitori. Apoi:

Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat.

Pentru a scădea fracții cu aceiași numitori, trebuie să scădeți numărătorul celui de-al doilea din numărătorul primei fracții și să lăsați din nou numitorul neschimbat.

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

În cadrul fiecărei expresii, numitorii fracțiilor sunt egali. Prin definiția adunării și scăderii fracțiilor obținem:

După cum puteți vedea, nimic complicat: adăugați sau scădeți numărătorii - asta este tot.

Dar chiar și în acțiuni atât de simple, oamenii reușesc să facă greșeli. Ceea ce se uită cel mai adesea este că numitorul nu se schimbă. De exemplu, atunci când le adăugați, încep și ele să se adună, iar acest lucru este fundamental greșit.

Scăpa de obicei prost Adăugarea numitorilor este destul de simplă. Încercați același lucru când scădeți. Ca urmare, numitorul va fi zero, iar fracția își va pierde (din senin!) sensul.

Prin urmare, amintiți-vă odată pentru totdeauna: atunci când adunați și scădeți, numitorul nu se schimbă!

De asemenea, mulți oameni fac greșeli când adaugă mai multe fracții negative. Există confuzie cu semnele: unde se pune un minus și unde se pune un plus.

Această problemă este, de asemenea, foarte ușor de rezolvat. Este suficient să ne amintim că minusul dinaintea semnului unei fracții poate fi întotdeauna transferat la numărător - și invers. Și, desigur, nu uitați de două reguli simple:

• Plus cu minus dă minus;
• Două negative fac o afirmație.

Să ne uităm la toate acestea cu exemple specifice:



În primul caz totul este simplu, dar în al doilea introducem minusuri în numărătorii fracțiilor:



Ce să faci dacă numitorii sunt diferiți

Adunarea directă a fracțiilor cu numitori diferiti este interzis. Cel puțin, această metodă este necunoscută pentru mine. Cu toate acestea, fracțiile originale pot fi întotdeauna rescrise astfel încât numitorii să devină la fel.

Există multe moduri de a converti fracții. Trei dintre ele sunt discutate în lecția „Reducerea fracțiilor la numitor comun„, așa că nu ne vom opri aici asupra lor. Să ne uităm la câteva exemple:



În primul caz, reducem fracțiile la un numitor comun folosind metoda „încrucișată”. În al doilea vom căuta NOC. Rețineți că 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Ultimii factori din aceste expansiuni sunt egali, iar primii sunt relativ primi. Prin urmare, LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.



Ce să faci dacă o fracție are o parte întreagă

Vă pot mulțumi: numitorii diferiți în fracții nu sunt cel mai mare rău. Mult mai multe erori apar atunci când întreaga parte este evidențiată în fracțiile de adunare.

Desigur, există algoritmi proprii de adunare și scădere pentru astfel de fracții, dar sunt destul de complexe și necesită un studiu lung. Utilizare mai bună schema simpla, prezentat mai jos:

• Convertiți toate fracțiile care conțin o parte întreagă în fracții improprii. Obținem termeni normali (chiar cu numitori diferiți), care se calculează după regulile discutate mai sus;
• De fapt, calculați suma sau diferența fracțiilor rezultate. Ca urmare, practic vom găsi răspunsul;
• Dacă aceasta este tot ceea ce a fost cerut în problemă, efectuăm transformarea inversă, adică. Scăpăm de o fracție necorespunzătoare prin evidențierea întregii părți.

Reguli pentru trecerea la fracții impropriiși selectarea unei părți întregi sunt descrise în detaliu în lecția „Ce este fracție numerică" Dacă nu vă amintiți, asigurați-vă că o repetați. Exemple:

Totul este simplu aici. Numitorii din interiorul fiecărei expresii sunt egali, așa că tot ce rămâne este să convertiți toate fracțiile în fracții improprii și să numărați. Avem:



Pentru a simplifica calculele, am omis câțiva pași evidenti în ultimele exemple.

O mică notă despre ultimele două exemple, în care se scad fracțiile cu cele evidențiate întreaga parte. Minusul dinaintea celei de-a doua fracții înseamnă că întreaga fracție este scăzută, și nu doar întreaga sa parte.

Recitiți din nou această propoziție, uitați-vă la exemple - și gândiți-vă. Aici recunosc începătorii cantitate uriașă erori. Le place să le dea astfel de sarcini teste. De asemenea, le veți întâlni de mai multe ori la testele pentru această lecție, care va fi publicată în curând.

Rezumat: schema generala de calcul

In concluzie voi da algoritm general, care vă va ajuta să găsiți suma sau diferența a două sau mai multe fracții: