Calculator online Calculați integrala nedefinită (antiderivată). Antiderivată a funcției

Tabel cu antiderivate

Definiţie. Funcția F(x) pe un interval dat se numește antiderivată pentru funcția f(x) , pentru tot x din acest interval, dacă F"(x)=f(x) .

Operația de găsire a unei antiderivate pentru o funcție se numește integrare. Este inversul operației de diferențiere.

Teorema. Fiecare funcție (x) continuă pe un interval are o antiderivată pe același interval.

Teorema (proprietatea principală a antiderivatei). Dacă pe un anumit interval funcția F(x) este o antiderivată a funcției f(x), atunci pe acest interval funcția F(x)+C va fi și o antiderivată a lui f(x), unde C este o constantă arbitrară .

Din această teoremă rezultă că atunci când f(x) are o funcție antiderivată F(x) pe un interval dat, atunci există multe dintre aceste primitive. Dând C valori numerice arbitrare, de fiecare dată vom obține o funcție antiderivată.

Pentru a găsi utilizarea antiderivatelor tabelul antiderivatelor. Se obține din tabelul derivatelor.

Conceptul de integrală nedefinită

Definiţie. Se numește mulțimea tuturor funcțiilor antiderivate pentru funcția f(x). Nu integrală definită si este desemnat .

În acest caz se numește f(x). funcția integrandși f(x) dx - integrand.

Prin urmare, dacă F(x) este antiderivată a lui f(x), atunci .

Proprietățile integralei nedefinite

Conceptul de integrală definită

Să considerăm o figură plană mărginită de un grafic continuu și nenegativ pe intervalul [a; b] funcția f(x) , segment [a; b] și drepte x=a și x=b.

Cifra rezultată se numește trapez curbat. Să-i calculăm aria.

Pentru a face acest lucru, împărțim segmentul [a; b] în n segmente egale.

Lungimile fiecărui segment sunt egale cu Δx.
Acesta este un desen dinamic GeoGebra.

Elementele roșii pot fi modificate

Orez. 1. Conceptul de integrală definită

Pe fiecare segment, vom construi dreptunghiuri cu înălțimi f(x k-1) (Fig. 1).

Aria fiecărui astfel de dreptunghi este egală cu S k = f(x k-1)Δx k. .

Aria tuturor acestor dreptunghiuri este egală cu Această sumă se numește suma integrală

pentru funcția f(x) . Dacă n→∞ atunci aria figurii construite în acest fel va diferi din ce în ce mai puțin de aria.

trapez curbat Definiţie. Limita sumei integrale când se numește n→∞ integrală definită .

, și este scris astfel: citeste:

Numărul a se numește limita inferioară a integrării, b este limita superioară a integrării, segmentul [a; b] – interval de integrare.

Proprietățile unei integrale definite

formula Newton-Leibniz

Integrala definită este strâns legată de integrala antiderivată și nedefinită formula Newton-Leibniz

.

Folosind integrala

Calculul integral este utilizat pe scară largă în rezolvarea unei varietăți de probleme practice. Să ne uităm la unele dintre ele.

Calculul volumelor corpurilor

Să fie dată o funcție care specifică aria secțiunii transversale a corpului în funcție de o variabilă S = s(x), x[a; b] . Apoi volumul corp dat pot fi găsite prin integrarea acestei funcții în limite adecvate.
Dacă ni se dă un corp care se obține prin rotirea unui trapez curbiliniu în jurul axei Ox limitat de o funcție f(x), x [a; b] . (Fig. 3). Apoi, ariile secțiunii transversale pot fi calculate folosind formula binecunoscută S = π f 2 (x). Prin urmare, formula pentru volumul unui astfel de corp de revoluție este

Am văzut că derivata are numeroase întrebuințări: derivata este viteza de mișcare (sau, mai general, viteza oricărui proces); derivata este panta tangentei la graficul functiei; folosind derivata, puteți examina funcția pentru monotonitate și extreme; derivata ajută la rezolvarea problemelor de optimizare.

Dar în viata reala De asemenea, trebuie rezolvate probleme inverse: de exemplu, alături de problema găsirii vitezei conform unei legi cunoscute a mișcării, există și problema restabilirii legii mișcării conform unei viteze cunoscute. Să luăm în considerare una dintre aceste probleme.

Exemplul 1. Un punct material se deplasează în linie dreaptă, viteza sa la momentul t este dată de formula u = tg. Găsiți legea mișcării.

Soluţie. Fie s = s(t) legea de mișcare dorită. Se știe că s"(t) = u"(t). Aceasta înseamnă că pentru a rezolva problema trebuie să alegeți funcţie s = s(t), a cărui derivată este egală cu tg. Nu e greu de ghicit asta

Să observăm imediat că exemplul este rezolvat corect, dar incomplet. Am constatat că, de fapt, problema are infinit de soluții: orice funcție a formei o constantă arbitrară poate servi drept lege a mișcării, deoarece

Pentru a face sarcina mai specifică, trebuia să remediem situația inițială: indicați coordonatele unui punct în mișcare la un moment dat în timp, de exemplu, la t=0. Dacă, să spunem, s(0) = s 0, atunci din egalitate obținem s(0) = 0 + C, adică S 0 = C. Acum legea mișcării este definită în mod unic:
În matematică, operațiilor reciproc inverse li se dau nume diferite și se inventează notații speciale: de exemplu, pătrarea (x 2) și extragerea rădăcină pătrată sine(sinх) și arcsinus(arcsin x), etc. Procesul de găsire a derivatei cu privire la funcţie dată se numeste diferentiere, iar operatia inversa, i.e. procesul de găsire a unei funcții dintr-o derivată dată – integrare.
Termenul „derivat” în sine poate fi justificat „în viața de zi cu zi”: funcția y - f(x) „da naștere” unei noi funcții y"= f"(x) Funcția y = f(x) acționează ca un „părinte” , dar matematicienii, desigur, nu îl numesc „părinte” sau „producător” ei spun că aceasta, în raport cu funcția y"=f"(x), este imaginea primară, sau, în pe scurt, antiderivatul.

Definiția 1. Funcția y = F(x) se numește antiderivată pentru funcția y = f(x) pe un interval dat X dacă pentru tot x din X este valabilă egalitatea F"(x)=f(x).

În practică, intervalul X de obicei nu este specificat, dar este subînțeles (ca domeniul natural de definire al funcției).

Iată câteva exemple:

1) Funcția y = x 2 este antiderivată pentru funcția y = 2x, deoarece pentru tot x egalitatea (x 2)" = 2x este adevărată.
2) funcția y - x 3 este antiderivată pentru funcția y-3x 2, deoarece pentru tot x egalitatea (x 3)" = 3x 2 este adevărată.
3) Funcția y-sinх este o antiderivată pentru funcția y = cosx, deoarece pentru tot x egalitatea (sinx)" = cosx este adevărată.
4) Funcția este antiderivată pentru o funcție pe interval deoarece pentru toate x > 0 egalitatea este adevărată
În general, cunoscând formulele pentru găsirea derivatelor, nu este dificil să alcătuiești un tabel cu formule pentru găsirea antiderivatelor.

Sperăm că înțelegeți cum este compilat acest tabel: derivata funcției care este scrisă în a doua coloană este egală cu funcția care este scrisă în rândul corespunzător din prima coloană (verificați-l, nu fi leneș, este foarte util). De exemplu, pentru funcția y = x 5 antiderivată, după cum veți stabili, este funcția (vezi al patrulea rând al tabelului).

Note: 1. Mai jos vom demonstra teorema că, dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x), atunci funcția y = f(x) are infinit de antiderivate și toate au forma y = F(x ) + C. Prin urmare, ar fi mai corect să adăugați termenul C peste tot în a doua coloană a tabelului, unde C este un număr real arbitrar.
2. Din motive de concizie, uneori, în loc de expresia „funcția y = F(x) este o antiderivată a funcției y = f(x),” ei spun că F(x) este o antiderivată a lui f(x) .”

2. Reguli pentru găsirea antiderivatelor

La găsirea antiderivatelor, precum și la găsirea derivatelor, se folosesc nu numai formule (sunt enumerate în tabelul de la p. 196), ci și unele reguli. Ele sunt direct legate de regulile corespunzătoare pentru calcularea instrumentelor derivate.

Știm că derivata unei sume este egală cu suma derivatelor sale. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 1. Antiderivată a unei sume este egală cu suma antiderivatelor.

Vă atragem atenția asupra oarecum „ușurință” a acestei formulări. De fapt, ar trebui formulată teorema: dacă funcțiile y = f(x) și y = g(x) au antiderivate pe intervalul X, respectiv y-F(x) și y-G(x), atunci suma funcțiilor y = f(x)+g(x) are o antiderivată pe intervalul X, iar această antiderivată este funcția y = F(x)+G(x). Dar de obicei, atunci când formulează reguli (și nu teoreme), ele pleacă numai cuvinte cheie- acest lucru face mai convenabil aplicarea regulii în practică

Exemplul 2. Aflați antiderivată pentru funcția y = 2x + cos x.

Soluţie. Antiderivata pentru 2x este x"; antiderivata pentru cox este sin x. Aceasta înseamnă că antiderivata pentru funcția y = 2x + cos x va fi funcția y = x 2 + sin x (și în general orice funcție de forma Y = x 1 + sinx + C) .
Știm că factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 2. Factorul constant poate fi scos din semnul antiderivatei.

Exemplul 3.

Soluţie. a) Antiderivata pentru sin x este -soz x; Aceasta înseamnă că pentru funcția y = 5 sin x funcția antiderivată va fi funcția y = -5 cos x.

b) Antiderivata pentru cos x este sin x; Aceasta înseamnă că antiderivată a unei funcții este funcția
c) Antiderivată pentru x 3 este antiderivată pentru x este antiderivată pentru funcția y = 1 este funcția y = x. Folosind prima și a doua reguli pentru găsirea antiderivatelor, aflăm că antiderivată pentru funcția y = 12x 3 + 8x-1 este funcția
Comentariu. După cum se știe, derivata unui produs nu este egală cu produsul derivatelor (regula de diferențiere a unui produs este mai complexă), iar derivata unui cot nu este egală cu câtul derivatelor. Prin urmare, nu există reguli pentru găsirea antiderivatei produsului sau a antiderivatei coeficientului a două funcții. Atenție!
Să obținem o altă regulă pentru găsirea antiderivatelor. Știm că derivata funcției y = f(kx+m) se calculează prin formula

Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.
Regula 3. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x), atunci antiderivată pentru funcția y=f(kx+m) este funcția

De fapt,

Aceasta înseamnă că este o antiderivată pentru funcția y = f(kx+m).
Sensul celei de-a treia reguli este următorul. Dacă știți că antiderivata funcției y = f(x) este funcția y = F(x) și trebuie să găsiți antiderivata funcției y = f(kx+m), atunci procedați astfel: luați aceeași funcție F, dar în locul argumentului x, înlocuiți expresia kx+m; în plus, nu uitați să scrieți „factor de corecție” înainte de semnul funcției
Exemplul 4. Găsiți antiderivate pentru funcții date:

Soluţie, a) Antiderivata pentru sin x este -soz x; Aceasta înseamnă că pentru funcția y = sin2x antiderivată va fi funcția
b) Antiderivata pentru cos x este sin x; Aceasta înseamnă că antiderivată a unei funcții este funcția

c) Antiderivată pentru x 7 înseamnă că pentru funcția y = (4-5x) 7 antiderivată va fi funcția

3. Integrală nedefinită

Am observat deja mai sus că problema găsirii unei antiderivate pentru o funcție dată y = f(x) are mai multe soluții. Să discutăm această problemă mai detaliat.

Dovada. 1. Fie y = F(x) antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X. Aceasta înseamnă că pentru tot x din X este valabilă egalitatea x"(x) = f(x). găsiți derivata oricărei funcții de forma y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Deci, (F(x)+C) = f(x). Aceasta înseamnă că y = F(x) + C este o antiderivată pentru funcția y = f(x).
Astfel, am demonstrat că dacă funcția y = f(x) are o antiderivată y=F(x), atunci funcția (f = f(x) are infinite de antiderivate, de exemplu, orice funcție de forma y = F(x) +C este o antiderivată.
2. Să demonstrăm acum că tipul specificat funcțiile, întregul set de antiderivate este epuizat.

Fie y=F 1 (x) și y=F(x) două antiderivate pentru funcția Y = f(x) pe intervalul X. Aceasta înseamnă că pentru tot x din intervalul X sunt valabile următoarele relații: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Să considerăm funcția y = F 1 (x) -.F(x) și să găsim derivata ei: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
Se știe că dacă derivata unei funcții pe un interval X este identic egală cu zero, atunci funcția este constantă pe intervalul X (vezi Teorema 3 din § 35). Aceasta înseamnă că F 1 (x) - F (x) = C, adică. Fx) = F(x)+C.

Teorema este demonstrată.

Exemplul 5. Legea schimbării vitezei cu timpul este dată: v = -5sin2t. Aflați legea mișcării s = s(t), dacă se știe că la momentul t=0 coordonata punctului era egală cu numărul 1,5 (adică s(t) = 1,5).

Soluţie. Deoarece viteza este o derivată a coordonatei în funcție de timp, trebuie mai întâi să găsim antiderivata vitezei, adică. antiderivată pentru funcția v = -5sin2t. Unul dintre astfel de antiderivate este funcția , iar mulțimea tuturor antiderivatelor are forma:

Pentru a găsi sens specific constanta C, folosim condițiile inițiale, conform cărora s(0) = 1,5. Înlocuind valorile t=0, S = 1,5 în formula (1), obținem:

Înlocuind valoarea găsită a lui C în formula (1), obținem legea mișcării care ne interesează:

Definiția 2. Dacă o funcție y = f(x) are o antiderivată y = F(x) pe un interval X, atunci mulțimea tuturor antiderivatelor, i.e. multimea functiilor de forma y = F(x) + C se numeste integrala nedefinita a functiei y = f(x) si se noteaza cu:

(citește: " integrală nedefinită ef din x de x").
În paragraful următor vom afla ce este sens ascuns denumirea indicată.
Pe baza tabelului de antiderivate disponibil în această secțiune, vom compila un tabel cu principalele integrale nedefinite:

Pe baza celor trei reguli de mai sus pentru găsirea antiderivatelor, putem formula regulile corespunzătoare de integrare.

Regula 1. Integrala sumei funcțiilor este egală cu suma integralelor acestor funcții:

Regula 2. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:

Regula 3. Dacă

Exemplul 6. Găsiți integrale nedefinite:

Soluţie, a) Folosind prima și a doua reguli de integrare, obținem:

Acum să folosim formula de integrare a 3-a și a 4-a:

Ca rezultat obținem:

b) Folosind a treia regulă de integrare și formula 8, obținem:

c) Pentru a găsi direct o integrală dată, nu avem nici formula corespunzătoare, nici regula corespunzătoare. ÎN cazuri similare Uneori efectuate anterior transformări identice ale expresiei conținute sub semnul integral ajutor.

Să profităm formula trigonometrică Reducerea gradului:

Apoi găsim secvenţial:

A.G. Mordkovich Algebra clasa a X-a

Calendar-planificare tematică în matematică, videoîn matematică online, Matematică la școală

Una dintre operațiile de diferențiere este găsirea derivatei (diferențialei) și aplicarea acesteia în studiul funcțiilor.

Problema inversă nu este mai puțin importantă. Dacă se cunoaște comportamentul unei funcții în vecinătatea fiecărui punct al definiției sale, atunci cum se poate reconstrui funcția ca un întreg, i.e. pe întregul domeniu de aplicare al definiției sale. Această problemă este subiectul de studiu al așa-numitului calcul integral.

Integrarea este acțiunea inversă a diferențierii. Sau restabilind funcția f(x) dintr-o derivată dată f`(x). Cuvântul latin „integro” înseamnă restaurare.

Exemplul nr. 1.

Fie (f(x))’ = 3x 2. Să găsim f(x).

Soluţie:

Pe baza regulii de diferențiere, nu este greu de ghicit că f(x) = x 3, deoarece

(x 3)’ = 3x 2 Cu toate acestea, se poate observa cu ușurință că f(x) nu se găsește în mod unic. Ca f(x), puteți lua f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3 etc.

Deoarece derivata fiecăruia dintre ele este 3x 2. (Derivata unei constante este 0). Toate aceste funcții diferă între ele printr-un termen constant. De aceea solutie generala problema poate fi scrisă sub forma f(x)= x 3 +C, unde C este orice număr real constant.

Oricare dintre funcțiile găsite f(x) este numită antiderivat pentru funcția F`(x)= 3x 2

Definiţie.

O funcție F(x) se numește antiderivată pentru o funcție f(x) pe un interval dat J dacă pentru tot x din acest interval F`(x)= f(x). Deci funcția F(x)=x 3 este antiderivată pentru f(x)=3x 2 pe (- ∞ ; ∞). Deoarece pentru toate x ~R egalitatea este adevărată: F`(x)=(x 3)`=3x 2

După cum am observat deja, această funcție are un număr infinit de antiderivate.

Exemplul nr. 2.

Funcția este antiderivată pentru toate pe intervalul (0; +∞), deoarece pentru toate h din acest interval, egalitatea este valabilă.

Sarcina integrării este de a găsi toate antiderivatele sale pentru o funcție dată. La rezolvarea acestei probleme, următoarea afirmație joacă un rol important:

Un semn de constanță a funcției. Dacă F"(x) = 0 pe un interval I, atunci funcția F este constantă pe acest interval.

Dovada.

Să fixăm ceva x 0 din intervalul I. Atunci pentru orice număr x dintr-un astfel de interval, în virtutea formulei Lagrange, putem indica un număr c cuprins între x și x 0 astfel încât

F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).

Prin condiție, F’ (c) = 0, deoarece c ∈1, prin urmare,

F(x) - F(x 0) = 0.

Deci, pentru toți x din intervalul I

adică funcția F stochează valoare constantă.

Toate funcțiile antiderivate f pot fi scrise folosind o singură formulă, care se numește forma generala de antiderivate pentru functie f. Următoarea teoremă este adevărată ( proprietatea principală a antiderivatelor):

Teorema. Orice antiderivată pentru o funcție f pe intervalul I poate fi scrisă sub forma

F(x) + C, (1) unde F (x) este una dintre antiderivatele pentru funcția f (x) pe intervalul I și C este o constantă arbitrară.

Să explicăm această afirmație, în care două proprietăți ale antiderivatei sunt formulate pe scurt:

1. Orice număr punem în expresia (1) în loc de C, obținem antiderivată pentru f pe intervalul I;
2. indiferent de ce antiderivată Ф pentru f pe intervalul I este luată, este posibil să se selecteze un număr C astfel încât pentru tot x din intervalul I egalitatea

Dovada.

1. Prin condiție, funcția F este antiderivată pentru f pe intervalul I. Prin urmare, F"(x)= f (x) pentru orice x∈1, deci (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), adică F(x) + C este antiderivată pentru funcția f.
2. Fie Ф (x) una dintre antiderivatele pentru funcția f pe același interval I, adică Ф "(x) = f (х) pentru tot x∈I.

Atunci (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

De aici rezultă c. puterea semnului de constanță a funcției, că diferența Ф(х) - F(х) este o funcție care ia o valoare constantă C pe intervalul I.

Astfel, pentru toți x din intervalul I egalitatea Ф(x) - F(x)=С este adevărată, ceea ce trebuia demonstrat. Proprietatea principală a antiderivatei i se poate da o semnificație geometrică: graficele oricăror două antiderivate pentru funcția f sunt obținute una de la cealaltă prin translație paralelă de-a lungul axei Oy

Întrebări pentru note

Funcția F(x) este o antiderivată a funcției f(x). Aflați F(1) dacă f(x)=9x2 - 6x + 1 și F(-1) = 2.

Găsiți toate antiderivatele pentru funcție

Pentru funcția (x) = cos2 * sin2x, găsiți antiderivata lui F(x) dacă F(0) = 0.

Pentru o funcție, găsiți o antiderivată al cărei grafic trece prin punct

Funcția antiderivată și integrală nedefinită

Faptul 1. Integrarea este acțiunea inversă a diferențierii și anume restabilirea unei funcții din derivata cunoscută a acestei funcții. Funcția astfel restabilită F(x) se numește antiderivat pentru functie f(x).

Definiție 1. Funcție F(x f(x) pe un anumit interval X, dacă pentru toate valorile x din acest interval egalitatea este valabilă F "(x)=f(x), adică această funcție f(x) este derivata funcției antiderivative F(x). .

De exemplu, funcția F(x) = păcat x este o antiderivată a funcției f(x) = cos x pe întreaga dreaptă numerică, deoarece pentru orice valoare a lui x (păcat x)" = (cos x) .

Definiție 2. Integrală nedefinită a unei funcții f(x) este mulțimea tuturor antiderivatelor sale. În acest caz, se folosește notația

∫

f(x)dx

,

unde este semnul ∫ numit semn integral, funcția f(x) – funcția integrand și f(x)dx – expresie integrantă.

Astfel, dacă F(x) – unele antiderivate pt f(x), Asta

∫

f(x)dx = F(x) +C

Unde C - constantă arbitrară (constant).

Pentru a înțelege semnificația mulțimii de antiderivate ale unei funcții ca integrală nedefinită, este potrivită următoarea analogie. Să fie o uşă (uşă tradiţională din lemn). Funcția sa este de a „fi o ușă”. Din ce este făcută ușa? Din lemn. Aceasta înseamnă că mulțimea de antiderivate ale integrandului funcției „a fi o ușă”, adică integrala sa nedefinită, este funcția „a fi un arbore + C”, unde C este o constantă, care în acest context poate denotă, de exemplu, tipul de arbore. Așa cum o ușă este făcută din lemn folosind unele unelte, un derivat al unei funcții este „făcut” dintr-o funcție antiderivată folosind formule pe care le-am învățat în timp ce studiam derivata .

Apoi tabelul cu funcțiile obiectelor comune și antiderivatele lor corespunzătoare („a fi o ușă” - „a fi un copac”, „a fi o lingură” - „a fi metal”, etc.) este similar cu tabelul de bază. integrale nedefinite, care vor fi date mai jos. Tabelul de integrale nedefinite enumeră funcțiile comune, indicând antiderivatele din care sunt „alcătuite” aceste funcții. În parte din problemele de găsire a integralei nedefinite, sunt dați integranți care pot fi integrați direct fără prea mult efort, adică folosind tabelul integralelor nedefinite. În problemele mai complexe, integrandul trebuie mai întâi transformat astfel încât integralele de tabel să poată fi utilizate.

Faptul 2. Când restabilim o funcție ca antiderivată, trebuie să luăm în considerare o constantă (constant) arbitrară C, iar pentru a nu scrie o listă de antiderivate cu diverse constante de la 1 la infinit, trebuie să scrieți un set de antiderivate cu o constantă arbitrară C, de exemplu, astfel: 5 x³+C. Deci, o constantă arbitrară (constant) este inclusă în expresia antiderivatei, deoarece antiderivatul poate fi o funcție, de exemplu, 5 x³+4 sau 5 x³+3 și când este diferențiat, 4 sau 3 sau orice altă constantă ajunge la zero.

Să punem problema integrării: pentru această funcție f(x) găsiți o astfel de funcție F(x), al cărui derivat egal cu f(x).

Exemplul 1. Aflați mulțimea de antiderivate ale unei funcții

Soluţie. Pentru această funcție, antiderivată este funcția

Funcţie F(x) se numește antiderivată pentru funcție f(x), dacă derivata F(x) este egal cu f(x), sau, ceea ce este același lucru, diferențială F(x) este egală f(x) dx, adică

(2)

Prin urmare, funcția este o antiderivată a funcției. Cu toate acestea, nu este singurul antiderivat pentru . Ele servesc și ca funcții

Unde CU– constantă arbitrară. Acest lucru poate fi verificat prin diferențiere.

Astfel, dacă există o singură antiderivată pentru o funcție, atunci pentru aceasta există un număr infinit de antiderivate care diferă printr-un termen constant. Toate antiderivatele pentru o funcție sunt scrise în forma de mai sus. Aceasta rezultă din următoarea teoremă.

Teoremă (enunțul formal al faptului 2). Dacă F(x) – antiderivată pentru funcție f(x) pe un anumit interval X, apoi orice alt antiderivat pentru f(x) pe același interval poate fi reprezentat sub formă F(x) + C, Unde CU– constantă arbitrară.

În exemplul următor, ne întoarcem la tabelul integralelor, care va fi dat în paragraful 3, după proprietățile integralei nedefinite. Facem acest lucru înainte de a citi întregul tabel, astfel încât esența celor de mai sus să fie clară. Și după tabel și proprietăți, le vom folosi în întregime în timpul integrării.

Exemplul 2. Găsiți seturi de funcții antiderivate:

Soluţie. Găsim seturi de funcții antiderivate din care aceste funcții sunt „facute”. Când menționăm formule din tabelul integralelor, deocamdată acceptați doar că există astfel de formule acolo și vom studia tabelul integralelor nedefinite în sine puțin mai departe.

1) Aplicând formula (7) din tabelul de integrale pentru n= 3, obținem

2) Folosind formula (10) din tabelul de integrale pentru n= 1/3, avem

3) Din moment ce

apoi conform formulei (7) cu n= -1/4 găsim

Nu funcția în sine este scrisă sub semnul integral f, și produsul său prin diferenţial dx. Acest lucru se face în primul rând pentru a indica prin ce variabilă este căutat antiderivatul. De exemplu,

, ;

aici în ambele cazuri integrandul este egal cu , dar integralele sale nedefinite în cazurile considerate se dovedesc a fi diferite. În primul caz, această funcție este considerată ca o funcție a variabilei x, iar în al doilea - în funcție de z .

Procesul de găsire a integralei nedefinite a unei funcții se numește integrarea acelei funcții.

Sensul geometric al integralei nedefinite

Să presupunem că trebuie să găsim o curbă y=F(x)și știm deja că tangenta unghiului tangentei în fiecare dintre punctele sale este o funcție dată f(x) abscisa acestui punct.

După semnificația geometrică a derivatei, tangenta unghiului de înclinare a tangentei într-un punct dat al curbei y=F(x) egal cu valoarea derivatei F"(x). Deci trebuie să găsim o astfel de funcție F(x), pentru care F"(x)=f(x). Funcția necesară în sarcină F(x) este un antiderivat al f(x). Condițiile problemei sunt îndeplinite nu de o curbă, ci de o familie de curbe. y=F(x)- una dintre aceste curbe și orice altă curbă pot fi obținute din aceasta prin translație paralelă de-a lungul axei Oi.

Să numim graficul funcției antiderivative de f(x) curba integrala. Dacă F"(x)=f(x), apoi graficul funcției y=F(x) există o curbă integrală.

Faptul 3. Integrala nedefinită este reprezentată geometric prin familia tuturor curbelor integrale , ca in poza de mai jos. Distanța fiecărei curbe de la originea coordonatelor este determinată de o constantă de integrare arbitrară C.

Proprietățile integralei nedefinite

Faptul 4. Teorema 1. Derivata unei integrale nedefinite este egala cu integrandul, iar diferenta sa este egala cu integrandul.

Faptul 5. Teorema 2. Integrală nedefinită a diferenţialului unei funcţii f(x) egal cu funcţia f(x) până la un termen constant , adică

(3)

Teoremele 1 și 2 arată că diferențierea și integrarea sunt operații reciproc inverse.

Faptul 6. Teorema 3. Factorul constant din integrand poate fi scos din semnul integralei nedefinite , adică

Anterior, dată fiind o funcție dată, ghidată de diverse formule și reguli, am găsit derivata ei. Derivatul are numeroase întrebuințări: este viteza de mișcare (sau, mai general, viteza oricărui proces); coeficientul unghiular al tangentei la graficul funcției; folosind derivata, puteți examina funcția pentru monotonitate și extreme; ajută la rezolvarea problemelor de optimizare.

Dar, alături de problema găsirii vitezei după o lege cunoscută a mișcării, există și o problemă inversă - problema restabilirii legii mișcării după o viteză cunoscută. Să luăm în considerare una dintre aceste probleme.

Exemplul 1. Un punct material se mișcă în linie dreaptă, viteza mișcării sale la momentul t este dată de formula v=gt. Găsiți legea mișcării.
Soluţie. Fie s = s(t) legea de mișcare dorită. Se știe că s"(t) = v(t). Aceasta înseamnă că pentru a rezolva problema trebuie să selectați o funcție s = s(t), a cărei derivată este egală cu gt. Nu este greu de ghicit că \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Răspuns: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Să observăm imediat că exemplul este rezolvat corect, dar incomplet. Se obține \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). De fapt, problema are infinit de soluții: orice funcție de forma \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), unde C este o constantă arbitrară, poate servi drept lege a mișcare, deoarece \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Pentru a face problema mai specifică, a trebuit să remediem situația inițială: să indicăm coordonatele unui punct în mișcare la un moment dat în timp, de exemplu la t = 0. Dacă, de exemplu, s(0) = s 0, atunci din egalitatea s(t) = (gt 2)/2 + C obținem: s(0) = 0 + C, adică C = s 0. Acum legea mișcării este definită în mod unic: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

În matematică, operațiilor reciproc inverse li se dau nume diferite, se inventează notații speciale, de exemplu: pătrat (x 2) și rădăcină pătrată (\(\sqrt(x)\)), sinus (sin x) și arcsinus (arcsin x) și etc Procesul de găsire a derivatei unei funcții date se numește diferenţiere, iar operația inversă, adică procesul de găsire a unei funcții dintr-o derivată dată, este integrare.

Termenul „derivat” însuși poate fi justificat „în termeni de zi cu zi”: funcția y = f(x) „da naștere” unei noi funcții y" = f"(x). Funcția y = f(x) acționează ca și cum ar fi un „părinte”, dar matematicienii, firesc, nu o numesc „părinte” sau „producător” ei spun că este, în raport cu funcția y” = f"(x) , imagine primară sau primitivă.

Definiţie. Funcția y = F(x) se numește antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X dacă egalitatea F"(x) = f(x) este valabilă pentru \(x \in X\)

În practică, intervalul X de obicei nu este specificat, dar este subînțeles (ca domeniul natural de definire al funcției).

Să dăm exemple.
1) Funcția y = x 2 este antiderivată pentru funcția y = 2x, deoarece pentru orice x egalitatea (x 2)" = 2x este adevărată
2) Funcția y = x 3 este antiderivată pentru funcția y = 3x 2, deoarece pentru orice x egalitatea (x 3)" = 3x 2 este adevărată
3) Funcția y = sin(x) este antiderivată pentru funcția y = cos(x), deoarece pentru orice x egalitatea (sin(x))" = cos(x) este adevărată

Atunci când se găsesc antiderivate, precum și derivate, se folosesc nu numai formule, ci și unele reguli. Ele sunt direct legate de regulile corespunzătoare pentru calcularea instrumentelor derivate.

Știm că derivata unei sume este egală cu suma derivatelor sale. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 1. Antiderivată a unei sume este egală cu suma antiderivatelor.

Știm că factorul constant poate fi scos din semnul derivatei. Această regulă generează regula corespunzătoare pentru găsirea antiderivatelor.

Regula 2. Dacă F(x) este o antiderivată pentru f(x), atunci kF(x) este o antiderivată pentru kf(x).

Teorema 1. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x), atunci antiderivată pentru funcția y = f(kx + m) este funcția \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Teorema 2. Dacă y = F(x) este o antiderivată pentru funcția y = f(x) pe intervalul X, atunci funcția y = f(x) are infinit de antiderivate și toate au forma y = F(x) + C.

Metode de integrare

Metoda de înlocuire variabilă (metoda de înlocuire)

Metoda de integrare prin substituire presupune introducerea unui nou variabila de integrare(adică substituții). În acest caz, integrala dată este redusă la o nouă integrală, care este tabelară sau reductibilă la aceasta. Metode comune nu există o selecție de substituții. Capacitatea de a determina corect substituția este dobândită prin practică.
Să fie necesar să se calculeze integrala \(\textstyle \int F(x)dx \). Să facem substituția \(x= \varphi(t) \) unde \(\varphi(t) \) este o funcție care are o derivată continuă.
Atunci \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) și pe baza proprietății de invarianță a formulei de integrare pentru integrala nedefinită, obținem formula de integrare prin substituție:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integrarea expresiilor de forma \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Dacă m este impar, m > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția sin x = t.
Dacă n este impar, n > 0, atunci este mai convenabil să se facă substituția cos x = t.
Dacă n și m sunt pare, atunci este mai convenabil să se facă substituția tg x = t.

Integrare pe părți

Integrare pe părți - aplicând următoarea formulă de integrare:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
sau:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tabel de integrale nedefinite (antiderivate) ale unor funcții

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$