Valoarea medie a unei statistici. Universitatea de Stat de Arte Tipografie din Moscova

Fiecare persoană din lumea modernă, care plănuiește să contracteze un împrumut sau să se aprovizioneze cu legume pentru iarnă, întâlnește periodic un astfel de concept ca „valoare medie”. Să aflăm: ce este, ce tipuri și clase există și de ce este folosit în statistică și alte discipline.

Valoarea medie - ce este?

O denumire similară (SV) este o caracteristică generalizată a unui set de fenomene omogene, determinată de orice caracteristică variabilă cantitativă.

Cu toate acestea, oamenii care sunt departe de astfel de definiții abstruse înțeleg acest concept ca o cantitate medie de ceva. De exemplu, înainte de a contracta un împrumut, un angajat al băncii va cere cu siguranță unui potențial client să furnizeze date despre venitul mediu pe an, adică suma totală de bani pe care o câștigă o persoană. Se calculează prin însumarea câștigurilor pentru întregul an și împărțirea la numărul de luni. Astfel, banca va putea stabili dacă clientul său va putea rambursa datoria la timp.

De ce este folosit?

De regulă, valorile medii sunt utilizate pe scară largă pentru a oferi o descriere sumară a anumitor fenomene sociale de natură de masă. Ele pot fi folosite și pentru calcule la scară mai mică, ca în cazul unui împrumut din exemplul de mai sus.

Cu toate acestea, cel mai adesea valorile medii sunt încă folosite în scopuri globale. Un exemplu al uneia dintre ele este calculul cantității de energie electrică consumată de cetățeni pe parcursul unei luni calendaristice. Pe baza datelor obținute se stabilesc ulterior standarde maxime pentru categoriile de populație care beneficiază de beneficii de la stat.

De asemenea, folosind valori medii, se dezvoltă durata de viață în garanție a anumitor aparate electrocasnice, mașini, clădiri etc.

De fapt, orice fenomen al vieții moderne care este de natură de masă este într-un fel sau altul în mod necesar legat de conceptul luat în considerare.

Domenii de aplicare

Acest fenomen este utilizat pe scară largă în aproape toate științele exacte, în special în cele de natură experimentală.

Găsirea mediei este de mare importanță în medicină, inginerie, gătit, economie, politică etc.

Pe baza datelor obținute din astfel de generalizări, ei dezvoltă medicamente terapeutice, programe educaționale, stabilesc salarii și salarii minime de trai, își construiesc programe educaționale, produc mobilier, îmbrăcăminte și încălțăminte, produse de igienă și multe altele.

În matematică, acest termen este numit „valoarea medie” și este folosit pentru a rezolva diverse exemple și probleme. Cele mai simple sunt adunarea și scăderea cu fracții obișnuite. La urma urmei, după cum știți, pentru a rezolva astfel de exemple este necesar să aduceți ambele fracții la un numitor comun.

De asemenea, în regina științelor exacte este adesea folosit termenul „valoarea medie a unei variabile aleatoare”, care are un sens similar. Este mai familiar pentru cei mai mulți ca „așteptări matematice”, mai des considerată în teoria probabilității. Este de remarcat faptul că un fenomen similar se aplică și la efectuarea calculelor statistice.

Valoarea medie în statistici

Cu toate acestea, conceptul studiat este cel mai des folosit în statistică. După cum se știe, această știință în sine este specializată în calculul și analiza caracteristicilor cantitative ale fenomenelor sociale de masă. Prin urmare, valoarea medie în statistică este utilizată ca metodă specializată pentru atingerea obiectivelor sale principale - colectarea și analizarea informațiilor.

Esența acestei metode statistice este înlocuirea valorilor individuale unice ale caracteristicii luate în considerare cu o anumită valoare medie echilibrată.

Un exemplu este celebra glumă cu mâncare. Deci, la o anumită fabrică, marți, la prânz, șefii ei mănâncă de obicei caserolă de carne, iar muncitorii obișnuiți mănâncă varză înăbușită. Pe baza acestor date, putem concluziona că, în medie, personalul fabricii ia masa marți cu sarmale.

Deși acest exemplu este ușor exagerat, el ilustrează principalul dezavantaj al metodei de căutare a unei valori medii - nivelarea caracteristicilor individuale ale obiectelor sau personalităților.

În valori medii, acestea sunt folosite nu numai pentru analiza informațiilor colectate, ci și pentru planificarea și prognoza acțiunilor ulterioare.

De asemenea, este utilizat pentru evaluarea rezultatelor obținute (de exemplu, implementarea planului de cultivare și recoltare a grâului pentru sezonul primăvară-vară).

Cum să calculezi corect

Deși în funcție de tipul de SV există formule diferite pentru calcularea acestuia, în teoria generală a statisticii, de regulă, se folosește o singură metodă de calcul a valorii medii a unei caracteristici. Pentru a face acest lucru, mai întâi trebuie să adunați valorile tuturor fenomenelor și apoi să împărțiți suma rezultată la numărul lor.

Atunci când faceți astfel de calcule, merită să ne amintim că valoarea medie are întotdeauna aceeași dimensiune (sau unități) ca unitatea individuală a populației.

Condiții pentru calculul corect

Formula discutată mai sus este foarte simplă și universală, așa că este aproape imposibil să faci o greșeală cu ea. Cu toate acestea, merită întotdeauna luate în considerare două aspecte, altfel datele obținute nu vor reflecta situația reală.

Clasele SV

După ce am găsit răspunsuri la întrebările de bază: „Care este valoarea medie?”, „Unde se folosește?” și „Cum îl puteți calcula?”, merită să aflați ce clase și tipuri de SV există.

În primul rând, acest fenomen este împărțit în 2 clase. Acestea sunt medii structurale și de putere.

Tipuri de SV-uri de putere

Fiecare dintre clasele de mai sus, la rândul său, este împărțită în tipuri. Clasa de calmare are patru.

• Media aritmetică este cel mai frecvent tip de SV. Este termenul mediu, în determinarea căruia volumul total al caracteristicii luate în considerare într-un set de date este distribuit în mod egal între toate unitățile acestui set.

  Acest tip este împărțit în subtipuri: SV aritmetică simplă și ponderată.

• Media armonică este un indicator care este inversul mediei aritmetice simple, calculată din valorile reciproce ale caracteristicii luate în considerare.

  Este utilizat în cazurile în care sunt cunoscute valorile individuale ale caracteristicii și ale produsului, dar datele de frecvență nu sunt.

• Media geometrică este folosită cel mai des atunci când se analizează ratele de creștere ale fenomenelor economice. Face posibilă păstrarea neschimbată a produsului valorilor individuale ale unei cantități date, și nu a sumei.

  De asemenea, poate fi simplu și echilibrat.

• Valoarea pătratică medie este utilizată la calcularea indicatorilor individuali, cum ar fi coeficientul de variație, caracterizarea ritmului producției de produs etc.

  De asemenea, este folosit pentru a calcula diametrele medii ale țevilor, roților, laturile medii ale unui pătrat și cifre similare.

  Ca toate celelalte tipuri de medii, rădăcina pătrată medie poate fi simplă și ponderată.

Tipuri de mărimi structurale

Pe lângă SV medii, tipurile structurale sunt adesea folosite în statistici. Ele sunt mai potrivite pentru calcularea caracteristicilor relative ale valorilor unei caracteristici diferite și a structurii interne a seriei de distribuție.

Există două astfel de tipuri.

În matematică și statistică medie aritmetică (sau ușor medie) a unui set de numere este suma tuturor numerelor din această mulțime împărțită la numărul lor. Media aritmetică este o reprezentare deosebit de universală și cea mai comună a unei medii.

vei avea nevoie

• Cunoștințe de matematică.

Instrucţiuni

1. Să fie dat un set de patru numere. Trebuie descoperit medie sens acest kit. Pentru a face acest lucru, găsim mai întâi suma tuturor acestor numere. Numerele posibile sunt 1, 3, 8, 7. Suma lor este S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. Mulțimea numerelor trebuie să fie formată din numere de același semn, altfel se pierde sensul în calculul valorii medii.

2. Medie sens set de numere este egal cu suma numerelor S împărțită la numărul acestor numere. Adică se dovedește că medie sens este egal cu: 19/4 = 4,75.

3. Pentru un set de numere este, de asemenea, posibil să se detecteze nu numai medie aritmetică, dar și medie geometric. Media geometrică a mai multor numere reale regulate este un număr care poate înlocui oricare dintre aceste numere, astfel încât produsul lor să nu se modifice. Media geometrică G este căutată folosind formula: rădăcina N a produsului unei mulțimi de numere, unde N este numărul din mulțime. Să ne uităm la același set de numere: 1, 3, 8, 7. Să le găsim medie geometric. Pentru a face acest lucru, să calculăm produsul: 1*3*8*7 = 168. Acum din numărul 168 trebuie să extrageți a patra rădăcină: G = (168)^1/4 = 3,61. Astfel medie multimea geometrica a numerelor este 3,61.

Medie Media geometrică este, în general, utilizată mai rar decât media aritmetică, totuși, poate fi utilă la calcularea valorii medii a indicatorilor care se modifică în timp (salariul unui angajat individual, dinamica indicatorilor de performanță academică etc.).

vei avea nevoie

• Calculator de inginerie

Instrucţiuni

1. Pentru a găsi media geometrică a unei serii de numere, trebuie mai întâi să înmulțiți toate aceste numere. Să presupunem că vi se oferă un set de cinci indicatori: 12, 3, 6, 9 și 4. Să înmulțim toate aceste numere: 12x3x6x9x4=7776.

2. Acum din numărul rezultat trebuie să extrageți rădăcina unei puteri egală cu numărul de elemente ale seriei. În cazul nostru, din numărul 7776 va fi necesar să extragem a cincea rădăcină folosind un calculator de inginerie. Numărul obținut în urma acestei operații - în acest caz numărul 6 - va fi media geometrică pentru grupul inițial de numere.

3. Dacă nu aveți la îndemână un calculator de inginerie, atunci puteți calcula media geometrică a unei serii de numere folosind funcția SRGEOM din Excel sau folosind unul dintre calculatoarele online special concepute pentru calcularea valorilor medii geometrice.

Fiţi atenți!
Dacă trebuie să găsiți media geometrică a fiecăruia pentru 2 numere, atunci nu aveți nevoie de un calculator de inginerie: puteți extrage a doua rădăcină (rădăcină pătrată) a oricărui număr folosind cel mai obișnuit calculator.

Sfaturi utile
Spre deosebire de media aritmetică, media geometrică nu este atât de puternic afectată de abateri și fluctuații uriașe între valorile individuale din setul de indicatori studiati.

Medie valoare este una dintre colațiile unui set de numere. Reprezintă un număr care nu se poate situa în afara intervalului definit de cele mai mari și mai mici valori din acel set de numere. Medie valoarea aritmetică este un tip de medie folosit în mod deosebit.

Instrucţiuni

1. Adunați toate numerele din mulțime și împărțiți-le la numărul de termeni pentru a obține media aritmetică. În funcție de anumite condiții de calcul, uneori este mai ușor să împărțiți fiecare dintre numere la numărul de valori din set și să însumați totalul.

2. Folosiți, să zicem, calculatorul inclus cu sistemul de operare Windows dacă calcularea mediei aritmetice din cap nu este posibilă. Îl puteți deschide cu asistență din dialogul de lansare a programului. Pentru a face acest lucru, apăsați „tastele rapide” WIN + R sau faceți clic pe butonul „Start” și selectați comanda „Run” din meniul principal. După aceea, tastați calc în câmpul de introducere și apăsați Enter pe tastatură sau faceți clic pe butonul „OK”. Același lucru se poate face prin meniul principal - deschideți-l, mergeți la secțiunea „Toate programele” și la segmentele „Tipic” și selectați linia „Calculator”.

3. Introduceți toate numerele setului pas cu pas apăsând tasta Plus de pe tastatură după toate (în afară de ultimul) sau făcând clic pe butonul corespunzător din interfața calculatorului. De asemenea, puteți introduce numere fie de la tastatură, fie făcând clic pe butoanele interfeței corespunzătoare.

4. Apăsați tasta bară oblică sau faceți clic pe această pictogramă în interfața calculatorului după ce ați introdus ultima valoare a setului și introduceți numărul de numere din secvență. După aceea, apăsați semnul egal și calculatorul va calcula și va afișa media aritmetică.

5. Puteți utiliza editorul de foi de calcul Microsoft Excel în același scop. În acest caz, lansați editorul și introduceți toate valorile secvenței de numere în celulele adiacente. Dacă, după ce ați introdus întregul număr, apăsați Enter sau tasta săgeată în jos sau la dreapta, editorul însuși va muta focalizarea de intrare în celula adiacentă.

6. Selectați toate valorile introduse și în colțul din stânga jos al ferestrei editorului (în bara de stare) veți vedea valoarea medie aritmetică pentru celulele selectate.

7. Faceți clic pe celula de lângă ultimul număr introdus dacă doriți doar să vedeți media. Extindeți lista derulantă cu imaginea literei grecești sigma (Σ) în grupul de comenzi Editare din fila Principală. Selectați linia " Medie" iar editorul va introduce formula necesară pentru calcularea mediei aritmetice în celula selectată. Apăsați tasta Enter și valoarea va fi calculată.

Media aritmetică este una dintre măsurile înclinației centrale, utilizată pe scară largă în calcule matematice și statistice. Este foarte ușor să găsești media aritmetică pentru mai multe valori, dar fiecare problemă are propriile sale nuanțe, pe care trebuie să le cunoști pentru a efectua calcule corecte.

Ce este o medie aritmetică

Media aritmetică definește valoarea medie pentru fiecare matrice inițială de numere. Cu alte cuvinte, dintr-un anumit set de numere este selectată o valoare care este universală pentru toate elementele, a cărei comparație matematică cu toate elementele este aproximativ egală. Media aritmetică este utilizată de preferință la întocmirea rapoartelor financiare și statistice sau pentru calcularea rezultatelor cantitative ale unor abilități similare.

Cum se găsește media aritmetică

Găsirea mediei aritmetice pentru o matrice de numere ar trebui să înceapă prin determinarea sumei algebrice a acestor valori. De exemplu, dacă tabloul conține numerele 23, 43, 10, 74 și 34, atunci suma lor algebrică va fi egală cu 184. Când scrieți, media aritmetică este notată cu litera? (mu) sau x (x cu o linie). Apoi, suma algebrică trebuie împărțită la numărul de numere din tablou. În exemplul luat în considerare au fost cinci numere, prin urmare media aritmetică va fi egală cu 184/5 și va fi 36,8.

Caracteristicile lucrului cu numere negative

Dacă tabloul conține numere negative, atunci media aritmetică este găsită folosind un algoritm similar. Diferența există doar atunci când se calculează în mediul de programare sau dacă problema conține date suplimentare. În aceste cazuri, găsirea mediei aritmetice a numerelor cu semne diferite se reduce la trei pași: 1. Determinarea mediei aritmetice universale folosind metoda standard;2. Aflarea mediei aritmetice a numerelor negative.3. Calculul mediei aritmetice a numerelor pozitive Rezultatele fiecărei acțiuni sunt scrise separate prin virgule.

Fracții naturale și zecimale

Dacă o matrice de numere este reprezentată prin fracții zecimale, soluția se realizează folosind metoda de calcul a mediei aritmetice a numerelor întregi, dar reducerea totalului se face în funcție de cerințele problemei pentru precizia rezultatului lucrând cu fracții naturale, acestea ar trebui reduse la un numitor comun, cel care se înmulțește cu numărul de numere din matrice. Numătorul rezultatului va fi suma numărătorilor dați ai elementelor fracționale inițiale.

Media geometrică a numerelor depinde nu numai de valoarea absolută a numerelor în sine, ci și de numărul lor. Este imposibil să se confunde media geometrică și media aritmetică a numerelor, deoarece acestea se găsesc folosind metodologii diferite. În acest caz, media geometrică este invariabil mai mică sau egală cu media aritmetică.

vei avea nevoie

• Calculator de inginerie.

Instrucţiuni

1. Considerați că în general media geometrică a numerelor se găsește prin înmulțirea acestor numere și luând din ele rădăcina puterii care corespunde numărului de numere. De exemplu, dacă trebuie să găsiți media geometrică a cinci numere, atunci va trebui să extrageți a cincea rădăcină din produs.

2. Pentru a afla media geometrică a 2 numere, folosiți regula de bază. Găsiți produsul lor, apoi luați rădăcina pătrată a numărului doi, care corespunde gradului rădăcinii. Să spunem, pentru a găsi media geometrică a numerelor 16 și 4, găsiți produsul lor 16 4 = 64. Din numărul rezultat, se ia rădăcina pătrată?64=8. Aceasta va fi valoarea dorită. Vă rugăm să rețineți că media aritmetică a acestor 2 numere este mai mare și egală cu 10. Dacă rădăcina nu este extrasă în întregime, rotunjiți totalul la ordinea necesară.

3. Pentru a afla media geometrică a mai mult de 2 numere, utilizați și regula de bază. Pentru a face acest lucru, găsiți produsul tuturor numerelor pentru care trebuie să găsiți media geometrică. Din produsul rezultat, extrageți rădăcina puterii egală cu numărul de numere. Să spunem, pentru a găsi media geometrică a numerelor 2, 4 și 64, găsiți produsul lor. 2 4 64=512. Deoarece este necesar să găsiți rezultatul mediei geometrice a 3 numere, extrageți a treia rădăcină din produs. Este dificil să faci asta verbal, așa că folosește un calculator de inginerie. În acest scop are un buton „x^y”. Formați numărul 512, apăsați butonul „x^y”, apoi formați numărul 3 și apăsați butonul „1/x” pentru a găsi valoarea 1/3, apăsați butonul „=”. Obținem rezultatul ridicării lui 512 la puterea lui 1/3, care corespunde celei de-a treia rădăcini. Obține 512^1/3=8. Aceasta este media geometrică a numerelor 2,4 și 64.

4. Cu ajutorul unui calculator de inginerie, puteți găsi media geometrică folosind o altă metodă. Găsiți butonul jurnal de pe tastatură. După aceasta, luați logaritmul pentru toate numerele, găsiți suma lor și împărțiți-o la numărul de numere. Luați antilogaritmul din numărul rezultat. Aceasta va fi media geometrică a numerelor. Să spunem, pentru a găsi media geometrică a acelorași numere 2, 4 și 64, efectuați un set de operații pe calculator. Formați numărul 2, apoi apăsați butonul jurnal, apăsați butonul „+”, formați numărul 4 și apăsați din nou log și „+”, formați 64, apăsați jurnal și „=”. Rezultatul va fi un număr egal cu suma logaritmilor zecimali ai numerelor 2, 4 și 64. Împărțiți numărul rezultat la 3, deoarece acesta este numărul de numere prin care se caută media geometrică. Din total, luați antilogaritmul prin comutarea butonului de înregistrare și folosiți aceeași cheie de jurnal. Rezultatul va fi cifra 8, aceasta este media geometrică dorită.

Fiţi atenți!
Valoarea medie nu poate fi mai mare decât cel mai mare număr din set și mai mică decât cel mai mic.

Sfaturi utile
În statistica matematică, valoarea medie a unei mărimi se numește așteptare matematică.

Cel mai mult în ec. În practică, trebuie să folosim media aritmetică, care poate fi calculată ca medie aritmetică simplă și ponderată.

Media aritmetică (SA)-n Cel mai comun tip de medie. Este utilizat în cazurile în care volumul unei caracteristici variabile pentru întreaga populație este suma valorilor caracteristice ale unităților sale individuale. Fenomenele sociale se caracterizează prin aditivitatea (totalitatea) volumelor cu o caracteristică variabilă, aceasta determină domeniul de aplicare al SA și explică prevalența acestuia ca indicator general; de exemplu: fondul general de salarii este suma salariilor tuturor angajaţilor.

Pentru a calcula SA, trebuie să împărțiți suma tuturor valorilor caracteristicilor la numărul lor. SA este folosit sub 2 forme.

Să luăm mai întâi în considerare o medie aritmetică simplă.

1-CA simplu (forma originală, definitorie) este egală cu suma simplă a valorilor individuale ale caracteristicii care se face media, împărțită la numărul total al acestor valori (utilizat atunci când există valori de index negrupate ale caracteristicii):

Calculele efectuate pot fi generalizate în următoarea formulă:

(1)

Unde - valoarea medie a caracteristicii variabile, adică media aritmetică simplă;

înseamnă însumarea, adică adăugarea de caracteristici individuale;

x- valori individuale ale unei caracteristici variabile, care se numesc variante;

n - numarul de unitati ale populatiei

Exemplul 1, este necesar să se afle producția medie a unui muncitor (mecanic), dacă se știe câte piese a produs fiecare din 15 muncitori, adică. dat o serie de ind. valori atribute, buc.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

SA simplu se calculează folosind formula (1), buc.:

Exemplul 2. Să calculăm SA pe baza datelor condiționate pentru 20 de magazine incluse în societatea comercială (Tabelul 1). Tabelul.1

Repartizarea magazinelor societății comerciale „Vesna” pe suprafața de vânzare, mp. M

Magazinul nr.		Magazinul nr.

Pentru a calcula suprafața medie a magazinului ( ) este necesar să se adună suprafețele tuturor magazinelor și să se împartă rezultatul rezultat la numărul de magazine:

Astfel, suprafața medie a magazinului pentru acest grup de întreprinderi de retail este de 71 mp.

Prin urmare, pentru a determina un SA simplu, trebuie să împărțiți suma tuturor valorilor unui atribut dat la numărul de unități care posedă acest atribut.

2

Unde f 1 , f 2 , … ,f n – greutatea (frecvența de repetare a semnelor identice);

– suma produselor mărimii caracteristicilor și frecvențele acestora;

– numărul total de unități de populație.

- ponderat SA - Cu Mijlocul opțiunilor care se repetă de un număr diferit de ori sau, după cum se spune, au greutăți diferite. Ponderile sunt numărul de unități din diferite grupuri ale populației (opțiunile identice sunt combinate într-un grup). ponderat SA – media valorilor grupate x 1 , x 2 , .., x n, – calculat: (2)

Unde X- optiuni;

f- frecvența (greutatea).

SA ponderat este coeficientul de împărțire a sumei produselor opțiunilor și a frecvențelor corespunzătoare acestora la suma tuturor frecvențelor. Frecvențe ( f) care apar în formula SA se numesc de obicei cântare, în urma căruia SA calculată ținând cont de ponderi se numește ponderată.

Vom ilustra tehnica calculului SA ponderat folosind Exemplul 1 discutat mai sus. Pentru a face acest lucru, vom grupa datele inițiale și le vom plasa în tabel.

Media datelor grupate se determină astfel: mai întâi, opțiunile sunt înmulțite cu frecvențele, apoi produsele sunt adăugate și suma rezultată este împărțită la suma frecvențelor.

Conform formulei (2), SA ponderat este egal, buc.:

Distributie muncitori pentru productia de piese

P

Datele prezentate în exemplul anterior 2 pot fi combinate în grupuri omogene, care sunt prezentate în tabel. Masă

Distribuția magazinelor Vesna pe suprafața de vânzare, mp. m

Astfel, rezultatul a fost același. Cu toate acestea, aceasta va fi deja o valoare medie aritmetică ponderată.

În exemplul anterior, am calculat media aritmetică cu condiția ca frecvențele absolute (numărul de magazine) să fie cunoscute. Cu toate acestea, într-un număr de cazuri, frecvențele absolute sunt absente, dar frecvențele relative sunt cunoscute sau, așa cum sunt numite în mod obișnuit, frecvenţe care arată proporţia sau proporţia frecvenţelor din întregul set.

La calcularea utilizării ponderate SA frecvente vă permite să simplificați calculele atunci când frecvența este exprimată în numere mari, cu mai multe cifre. Calculul se face în același mod, însă, deoarece valoarea medie se dovedește a fi crescută de 100 de ori, rezultatul trebuie împărțit la 100.

Apoi formula pentru media ponderată aritmetică va arăta astfel:

Unde d– frecventa, adică ponderea fiecărei frecvențe în suma totală a tuturor frecvențelor.

(3)

În exemplul nostru 2, determinăm mai întâi ponderea magazinelor pe grupe în numărul total de magazine ale companiei Vesna. Deci, pentru primul grup, greutatea specifică corespunde la 10%
. Obținem următoarele date Tabelul 3

Tema 5. Valorile medii ca indicatori statistici

Conceptul de valoare medie. Domeniul de aplicare al mediilor în cercetarea statistică

Valorile medii sunt utilizate în etapa de prelucrare și rezumare a datelor statistice primare obținute. Necesitatea de a determina valori medii se datorează faptului că, de regulă, valorile individuale de aceeași caracteristică pentru diferite unități ale populațiilor studiate nu sunt aceleași.

Dimensiune medie numit indicator care caracterizează valoarea generalizată a unei caracteristici sau a unui grup de caracteristici în populația studiată.

Dacă se studiază o populație cu caracteristici omogene calitativ, atunci valoarea medie acționează aici ca medie tipică. De exemplu, pentru grupurile de lucrători dintr-o anumită industrie cu un nivel de venit fix, se determină cheltuielile medii tipice pentru produse de bază, adică. media tipică generalizează valori calitativ omogene ale atributului într-o anumită populație, care este ponderea cheltuielilor între lucrătorii acestui grup cu bunuri esențiale.

Când se studiază o populație cu caracteristici calitativ eterogene, atipicitatea indicatorilor medii poate trece în prim-plan. Aceștia sunt, de exemplu, indicatorii medii ai venitului național produs pe cap de locuitor (grupe de vârstă diferite), indicatorii medii ai randamentelor de cereale în toată Rusia (regiuni cu diferite zone climatice și diferite culturi de cereale), indicatori medii ai natalității populației pentru toate regiunile țării, temperaturi medii pentru o anumită perioadă etc. Aici, valorile medii generalizează valori calitativ eterogene ale caracteristicilor sau agregatelor spațiale sistemice (comunitate internațională, continent, stat, regiune, regiune etc.) sau agregate dinamice extinse în timp (secol, deceniu, an, anotimp etc.). ). Se numesc astfel de valori medii mediile sistemului.

Astfel, semnificația valorilor medii constă în funcția lor de generalizare. Valoarea medie înlocuiește un număr mare de valori individuale ale atributului, dezvăluind proprietăți comune inerente tuturor unităților populației. Acest lucru, la rândul său, ne permite să evităm cauzele aleatorii și să identificăm modele generale datorate cauzelor comune.

Tipuri de valori medii și metode de calcul a acestora

În etapa prelucrării statistice, pot fi stabilite o varietate de probleme de cercetare, pentru a căror rezolvare este necesară selectarea mediei adecvate. În acest caz, este necesar să ne ghidăm după următoarea regulă: cantitățile care reprezintă numărătorul și numitorul mediei trebuie să fie legate logic între ele.

medii de putere;

medii structurale.

Să introducem următoarele convenții:

Cantitatile pentru care se calculeaza media;

Medie, unde bara de mai sus indică faptul că are loc o medie a valorilor individuale;

Frecvență (repetabilitate a valorilor caracteristice individuale).

Din formula medie a puterii generale sunt derivate diferite medii:

(5.1)

când k = 1 - medie aritmetică; k = -1 - medie armonică; k = 0 - medie geometrică; k = -2 - rădăcină pătrată medie.

Valorile medii pot fi simple sau ponderate. Medii ponderate sunt numite cantități care țin cont de faptul că unele variante ale valorilor atributelor pot avea numere diferite și, prin urmare, fiecare opțiune trebuie înmulțită cu acest număr. Cu alte cuvinte, „scalele” sunt numerele de unități agregate din diferite grupuri, adică Fiecare opțiune este „ponderată” de frecvența sa. Se numește frecvența f ponderea statistica sau greutate medie.

Media aritmetică- cel mai comun tip de medie. Este utilizat atunci când calculul este efectuat pe date statistice negrupate, unde trebuie să obțineți termenul mediu. Media aritmetică este valoarea medie a unei caracteristici, la obținerea căreia volumul total al caracteristicii în agregat rămâne neschimbat.

Formula pentru media aritmetică (simplu) are forma

unde n este dimensiunea populației.

De exemplu, salariul mediu al angajaților unei întreprinderi este calculat ca medie aritmetică:

Indicatorii determinanți aici sunt salariul fiecărui angajat și numărul de angajați ai întreprinderii. La calcularea mediei, valoarea totală a salariilor a rămas aceeași, dar distribuită în mod egal între toți angajații. De exemplu, trebuie să calculați salariul mediu al lucrătorilor dintr-o companie mică care angajează 8 persoane:

La calcularea valorilor medii, valorile individuale ale caracteristicii care este mediată pot fi repetate, astfel încât valoarea medie este calculată folosind date grupate. În acest caz vorbim despre utilizare medie aritmetică ponderată, care are forma

(5.3)

Deci, trebuie să calculăm prețul mediu al acțiunilor unei societăți pe acțiuni la tranzacționarea la bursă. Se știe că tranzacțiile au fost efectuate în termen de 5 zile (5 tranzacții), numărul de acțiuni vândute la rata de vânzare a fost repartizat astfel:

1 - 800 ak. - 1010 rub.

2 - 650 ak. - 990 de ruble.

3 - 700 ak. - 1015 rub.

4 - 550 ak. - 900 de ruble.

5 - 850 ak. - 1150 de ruble.

Raportul inițial pentru determinarea prețului mediu al acțiunilor este raportul dintre valoarea totală a tranzacțiilor (TVA) și numărul de acțiuni vândute (KPA):

OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3.634.500;

KPA = 800+650+700+550+850=3550.

În acest caz, prețul mediu al acțiunilor a fost egal cu

Este necesar să se cunoască proprietățile mediei aritmetice, care este foarte importantă atât pentru utilizarea ei, cât și pentru calculul ei. Putem distinge trei proprietăți principale care au determinat cel mai mult utilizarea pe scară largă a mediei aritmetice în calculele statistice și economice.

Proprietatea unu (zero): suma abaterilor pozitive ale valorilor individuale ale unei caracteristici față de valoarea medie a acesteia este egală cu suma abaterilor negative. Aceasta este o proprietate foarte importantă, deoarece arată că orice abateri (atât + cât și -) cauzate de motive aleatorii vor fi anulate reciproc.

Dovada:

Proprietatea doi (minimum): suma abaterilor pătrate ale valorilor individuale ale unei caracteristici de la media aritmetică este mai mică decât de la orice alt număr (a), adică. există un număr minim.

Dovada.

Să compilăm suma abaterilor pătrate de la variabila a:

(5.4)

Pentru a găsi extremul acestei funcții, este necesar să echivalăm derivata ei în raport cu a la zero:

De aici obținem:

(5.5)

În consecință, extremul sumei abaterilor pătrate este realizat la . Acest extremum este un minim, deoarece o funcție nu poate avea un maxim.

Proprietatea trei: media aritmetică a unei constante este egală cu această constantă: pentru a = const.

Pe lângă aceste trei cele mai importante proprietăți ale mediei aritmetice, există și așa-numitele proprietăți de proiectare, care își pierd treptat semnificația datorită utilizării tehnologiei electronice de calcul:

dacă valoarea individuală a atributului fiecărei unități este înmulțită sau împărțită cu un număr constant, atunci media aritmetică va crește sau scade cu aceeași cantitate;

media aritmetică nu se va modifica dacă ponderea (frecvența) fiecărei valori de atribut este împărțită la un număr constant;

dacă valorile individuale ale atributului fiecărei unități sunt reduse sau crescute cu aceeași sumă, atunci media aritmetică va scădea sau crește cu aceeași sumă.

Mijloc armonic. Această medie se numește medie aritmetică inversă deoarece această valoare este utilizată atunci când k = -1.

Mijloace armonică simplă este utilizat atunci când ponderile valorilor atributelor sunt aceleași. Formula sa poate fi derivată din formula de bază prin înlocuirea k = -1:

De exemplu, trebuie să calculăm viteza medie a două mașini care au parcurs același drum, dar cu viteze diferite: primul cu o viteză de 100 km/h, al doilea cu 90 km/h. Folosind metoda mediei armonice, calculăm viteza medie:

În practica statistică se utilizează mai des ponderea armonică, a cărei formulă are forma

Această formulă este utilizată în cazurile în care ponderile (sau volumele fenomenelor) pentru fiecare atribut nu sunt egale. În raportul inițial pentru calcularea mediei, numărătorul este cunoscut, dar numitorul este necunoscut.

În matematică, media aritmetică a numerelor (sau pur și simplu media) este suma tuturor numerelor dintr-o mulțime dată împărțită la numărul de numere. Acesta este cel mai generalizat și răspândit concept de valoare medie. După cum ați înțeles deja, pentru a găsi trebuie să însumați toate numerele date și să împărțiți rezultatul rezultat la numărul de termeni.

Care este media aritmetică?

Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 1. Numerele date: 6, 7, 11. Trebuie să găsiți valoarea lor medie.

Soluţie.

Mai întâi, să găsim suma tuturor acestor numere.

Acum împărțiți suma rezultată la numărul de termeni. Deoarece avem trei termeni, vom împărți la trei.

Prin urmare, media numerelor 6, 7 și 11 este 8. De ce 8? Da, pentru că suma 6, 7 și 11 va fi aceeași cu trei opturi. Acest lucru se vede clar în ilustrație.

Media se aseamănă un pic la „ieșirea în seară” a unei serii de numere. După cum puteți vedea, mormanele de creioane au devenit la același nivel.

Să ne uităm la un alt exemplu pentru a consolida cunoștințele acumulate.

Exemplul 2. Numerele date: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Trebuie să găsiți media lor aritmetică.

Soluţie.

Găsiți suma.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Împărțiți la numărul de termeni (în acest caz - 15).

Prin urmare, valoarea medie a acestei serii de numere este 22.

Acum să ne uităm la numerele negative. Să ne amintim cum să le rezumăm. De exemplu, aveți două numere 1 și -4. Să le găsim suma.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Știind acest lucru, să ne uităm la un alt exemplu.

Exemplul 3. Aflați valoarea medie a unei serii de numere: 3, -7, 5, 13, -2.

Soluţie.

Aflați suma numerelor.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Deoarece există 5 termeni, împărțiți suma rezultată la 5.

Prin urmare, media aritmetică a numerelor 3, -7, 5, 13, -2 este 2,4.

În timpul nostru de progres tehnologic, este mult mai convenabil să folosim programe de calculator pentru a găsi valoarea medie. Microsoft Office Excel este unul dintre ele. Găsirea mediei în Excel este rapidă și ușoară. Mai mult, acest program este inclus în pachetul software Microsoft Office. Să ne uităm la o scurtă instrucțiune, valoarea utilizării acestui program.

Pentru a calcula valoarea medie a unei serii de numere, trebuie să utilizați funcția MEDIE. Sintaxa pentru această funcție este:
= Medie(argument1, argument2, ... argument255)
unde argument1, argument2, ... argument255 sunt fie numere, fie referințe de celule (celulele se referă la intervale și matrice).

Pentru a fi mai clar, haideți să încercăm cunoștințele pe care le-am dobândit.

1. Introduceți numerele 11, 12, 13, 14, 15, 16 în celulele C1 - C6.
2. Selectați celula C7 făcând clic pe ea. În această celulă vom afișa valoarea medie.
3. Faceți clic pe fila Formule.
4. Selectați Mai multe funcții > Statistică pentru a deschide
5. Selectați MEDIE. După aceasta, ar trebui să se deschidă o casetă de dialog.
6. Selectați și trageți celulele C1-C6 acolo pentru a seta intervalul în caseta de dialog.
7. Confirmați acțiunile dvs. cu butonul „OK”.
8. Dacă ați făcut totul corect, ar trebui să aveți răspunsul în celula C7 - 13.7. Când faceți clic pe celula C7, funcția (=Medie(C1:C6)) va apărea în bara de formule.

Această caracteristică este foarte utilă pentru contabilitate, facturi sau atunci când trebuie doar să găsiți media unei serii foarte lungi de numere. Prin urmare, este adesea folosit în birouri și companii mari. Acest lucru vă permite să mențineți ordinea în evidențele dvs. și vă permite să calculați rapid ceva (de exemplu, venitul mediu lunar). De asemenea, puteți utiliza Excel pentru a găsi valoarea medie a unei funcții.